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PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL
Tulcán – Ecuador
DOCENTE: MSC. JORGE POZO
INTEGRANTES
Diana Coral Rivera
6to B Comercio
MARZO 2012- AGOSTO 2012
INTRODUCCION
La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna
afirmación sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística
inferencial hace que ese salto de la parte al todo se haga de una manera
“controlada”. Aunque nunca nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá
una respuesta probabilística. Esto es importante: la estadística no decide;
sólo ofrece elementos para que el investigador o el lector decidan. En
muchos casos, distintas personas perciben diferentes conclusiones de los
mismos datos.
El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de
modelos que están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de
formular, en primer lugar, una pregunta en términos estadísticos. Luego
hemos de comprobar que nuestra situación se ajusta a algún modelo (si no
se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero si se ajusta, el modelo nos
ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta estadística. Es tarea
nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de contenido
psicológico.
La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad
describir. Así, si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un
grupo de personas, la estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero
será tomar medidas, en todos los miembros del grupo, de esos aspectos o
variables para, posteriormente, indagar en lo que nos interese. Sólo con
esos indicadores ya podemos hacernos una idea, podemos describir a ese
conjunto de personas.
1
OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la
recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos
pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o
cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las
observaciones. La estadística sirve en administración y economía para tomar
mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y
de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y
administrativos.
JUSTIFICACIÓN
El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado
en clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el
contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos
permitirá analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse
el estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el
análisis de cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es
amplia y abarca problemas que estas relacionados con el entorno para
poder sacar nuestras propias decisiones ya que la estadística inferencial nos
ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo como lo es comercio
exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el razonamiento y
sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente en el
entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así
poderlos emplear a futuro .
2
CAPITULO I
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en
fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden
reducir. Se citan las unidades fundamentales de interés en la asignatura de
ciencias e ingenierías de os materiales.
Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades
fundamentales utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división.
Por ejemplo las unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro
cubico algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos especiales.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo (Diaz, 2008)
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos
de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
HIPERFINOS del estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad
de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores
paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y
3
situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)
Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de
temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua. (Diaz, 2008)
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia
de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay
en 0,012 kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en
una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática
de frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha
dirección es 1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)
Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial.
(Diaz, 2008)
Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)
Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)
Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza.
(Diaz, 2008)
Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la
gravedad de la tierra (Diaz, 2008)
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS
Múltiplo
Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero
de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido
por n, da por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al
diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)
4
Submúltiplo
Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo
de a, (Pineda, 2008).
COMENTARIO:
El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el
establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y
como estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el
podemos obtener los resultados al almacenar una mercancía en el
contenedor sin perder el tiempo que es valioso en la carrera, y también si
perder el espacio dentro de dicho contenedor.
El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales
y a su vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la
carrera Para una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial
que cada unidad fundamental de magnitudes de un sistema, sea
especificada y reproducible con la mayor precisión posible.
5
ORGANIZADOR GRAFICO:
6
Sistema Internacional de Medidas y Unidades
Magnitudes fundamentales
Una magnitud fundamental
es aquella que se define
por sí misma y es
independiente de las
demás (masa, tiempo,
longitud, etc.).
Magnitudes derivadas
Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se emplea para representarla:
Son la que
dependen de las
magnitudes
fundamentales.
Múltiplos Submúltiplos
Un número es un
submúltiplo si otro lo
contiene varias veces
exactamente. Ej.: 2 es
un submúltiplo de 14,
Un múltiplo de n es un número tal que,
dividido por n, da por resultado un número
entero
TRABAJO # 1
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son
aquellos que se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al
multiplicarlo por cualquier número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005,
pág. 94).
Ejemplo:
Múltiplos de 5:
5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000
SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones
exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).
Por ejemplo :
Submúltiplos de 30:
6, 10, 5, 2, 3, etc.
7
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es
aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa,
tiempo, longitud, etc.).
LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre
dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus
extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway &
Faughn, 2006).
MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un
cuerpo, (Serway & Faughn, 2006).
TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de
acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a
observación, (Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina
intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa
a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo,
(Serway & Faughn, 2006).
TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes
de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una
temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se
define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una
dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie
por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002).
CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la
necesidad de contar partículas o entidades elementales
microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas
(como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas,
(Enríquez, 2002).
8
MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes
fundamentales.
VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de
posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por
un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).
AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una
figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida
denominadas superficiales, (Enríquez, 2002).
VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por
un cuerpo, (Enríquez, 2002).
FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de
deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o
vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles,
(Enríquez, 2002).
TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una
fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que
forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).
La unidad del trabajo es el JOULE.
ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado
dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en
los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez,
2002).
9
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo A = 6 a2 V = a3
PrismaA = (perim. base •h) + 2 •
area base
V = área base •
h
Pirámide
10
CONCLUSIONES
El sistema internacional de unidades es muy importante porque se
involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con
otros países mediante comercio internacional y su negociación entre
ellos. como también la práctica de problemas del sistema
internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro
entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de
exportar una mercancía, que cantidad de materia prima,
electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran
cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.
El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los
negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través
de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de
trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas
por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy
fundamental en la carrera de comercio exterior.
Recomendaciones
Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de
unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de
las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda
ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos
permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de
mercancía que puede introducirse en el transporte.
Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de
comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas
que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una
correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las
medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y
11
por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional
ya que permite una mejor movimiento e intercambio.
12
BIBLIOGRAFÍA
Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.
Altamirano, E. (2007).
Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning.
Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
13
Pineda, L. (2008). matematicas.
Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés.
Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia: COMPOBELL.
Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York: THOMSON.
Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: Learning Inc.
Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning.
LINKOGRAFIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm
file:///K:/books.htm
file:///K:/volumenes/areas_f.html
file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm
ANEXOS:
1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.
14
2.- Convertir 27,356 Metros a Millas
3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.
4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.
5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
15
TRANSFORMACIONES
En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes
que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los
cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades
de forma que se cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos,
2002).
Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se
mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30
segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el
problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora, mientras
que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las
dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio
de homogeneidad y que el cálculo sea acertado, (Ledanois & Ramos, 2002).
Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión.
Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos
unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los
valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois &
Ramos, 2002).
EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE
Volumen 300m3 transformar en pulgadas 3
v=300m3X (100)3¿¿
V= 100000mmh
ms
16
V= 100000mmh
x4m
1000m ,mx
1h3600 s
=0 .028ms
Q= 7200000 PULGADA
h8transformar
litros
s2
Q=7200000pulgada3
h8 X (2 .54 )3 ¿¿
Vol. Paralelepípedo L x a x h
Vol. Cubo a3
Vol. Esfera 43II R3
Vol. Cilindro II R2hVol. Pirámide A X B
3
Área cuadrada l2
Área de un rectángulo B x h
Área de un circulo II R2
Área de un triangulo b X h2
En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de
manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y
30 de ancho y 40 de altura.
Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400 m3
Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000 cm3
TRANSFORMACIÓN
17
72000cm3 x1m3
1000000cm3 =0.0072m3
X= 1caja x54000m3
0.072m3 =75000cajas
Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m.
¿Cuántos litros se puede almacenar en dicho tanque?.
RESOLUCION
VOL. CILINDRO = II R2h
VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50¿2 X (17)= 0 120.17 m3
TRANSFORMACIÓN
120.17 m3 x1000000 cm3
1m3 x1 l
100 cm3 =120165 .20 litros
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
18
LONGITUD
1 Km 1000 m
1 m 100 cm
1 cm 10 mm
1 milla 1609 m
1 m 1000 mm
MASA
1qq 100 lbs.
1 Kg 2.2 lbs.
1 qq 45.45 Kg
1 qq 1 arroba
1 arroba 25 lbs.
1 lb 454 g
1 lb 16 onzas
1 utm 14.8 Kg
1 stug 9.61 Kg
1 m 10 Kg
1 tonelada 907 Kg
ÁREA
m2 100 cm2
1 m2 10000 cm2
1 hectárea 10000 m2
1 acre 4050 m2
1 pie (30.48 cm¿2
1 pie 900.29 cm2
1 m2 10.76 pies2
COMENTARIO EN GRUPO:
19
Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos
servirá en la carrera del comercio exterior y además poder resolver
problemas que se presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y
tanque etc., y otras formas geométricas nos servirá para determinar cuántas
cajas o bultos, etc. que pueden alcanzar en una almacenera o en cada uno
de los contenedores esto nos servirá al realizar prácticas o al momento de
emprender nuestro conocimientos a futuro.
ORGANIZADOR GRAFICO:
LONGITUD
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Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los
múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la
anterior, (Riley & Sturges, 2004).
LONGITUD1 KM 100 M1 M 100M, 1000MM1 MILLA 1609M1 PIE 30,48CM, 0,3048M1 PULGADA 2,54CM1 AÑO LUZ 9,46X1015M
TIEMPO.
El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación
de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación,
esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste
aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación
perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido
frecuentemente concebido como un flujo sucesivo de situaciones
atomizadas, (López, March, García, & Álvarez, 2004).
MEDIDAS DEL TIEMPO1 AÑO 365 DIAS1 MES 30 DIAS1SEMANA 7 DIAS1 DIA 24 HR1 HORA 60 MIN,3600SEG1 MINUTO 60 SEG.
MASA Y PESO.
La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en
Sevres, hay copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para
ser regladas y ver si han perdido masa con respecto a la original. El
kilogramo (unidad de masa) tiene su patrón en: la masa de un cilindro
fabricado en 1880, compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % platino
- 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se
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guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres, cerca de
París, (Hewitt, 2004).
PESO
De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada
cuerpo es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de
atracción hace que el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con
una unidad diferente: el Newton (N), (Torre, 2007).
SISTEMA DE CONVERSION DE MASA1 TONELADA
1000 KG
1 QQ 4 ARROBAS, 100 L1 ARROBA 25 L1 KG 2,2 L
1 SLUG 14,58 KG1 UTM 9,8 KG1 KG 1000 GR1 L 454 GR, 16 ONZAS
TRABAJO # 2
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DIANA CORAL RIVERA
CONCLUSIÓN:
La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada
en una cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele
realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de
conversión del Sistema Internacional de Unidades.
Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado
es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades
se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que
el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.
Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la
necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro,
por lo cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de
los diferentes sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una
unidad a otra, tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los
diferentes lugares.
RECOMENDACIÓN:
En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir
"algo"; ya sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen,
ángulos, potencia, etc. Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad
con qué medirlo, ya que las personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan
rápido, qué cantidad, cuánto pesa, en términos que se entiendan, que sean
reconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos; debido a esto es
necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema De Conversión De
Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o patrón de
referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades de
medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de
nuestro contexto.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE MARZO-ABRIL
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas
X X
Ejecución del Formato del Trabajo X
Resumen de los textos investigados X X
Finalización del Proyecto X
Presentación del Proyecto X
BIBLIOGRAFIA
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia:
I.S.B.N.
Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y
Conversiones de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.
López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de
Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.
Pineda, L. (2008). matematicas.
Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.
LINKOGRAFIA:
33
http://es.wikipedia.org/wiki/
Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Sistema_Internacional_de_Unid
ades_.28SI.29
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29
http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
ANEXOS:
1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,
además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y
arroz. Con esa información calcular el número de cajas y quintales que
alcanzan en cada uno de los vehículos.
TRAILER MULA CAMION SENCILLO
Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m
Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m
Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m
Medidas de las cajas:
Medidas de las cajas de plátano
LARGO ANCHO ALTO
20cm 51cm 34cm
Medidas de las cajas de manzana
7.5cm 9.5cm 7.5cm
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Desarrollo:
vol. trailer=l∗h∗a
vol. trailer=14.30m∗2.6 m∗2.45m
vol. trailer=91.09m3
vol.mula=l∗h∗a
vol.mula=8.27m∗1.44 m∗2.50m
vol.mula=29.77m3
vol. camion sencillo=l∗h∗a
vol. camion sencillo=10.8m∗4.40m∗2.60m
vol. camion sencillo=123.55m3
vol. caja platano=l∗h∗a
vol. caja platano=14.30cm∗2.6 cm∗2.45cm
vol. caja platano=91.09cm3
vol. caja platano=91.09cm3∗(1m)3
(100cm)3 =9.11∗10−05 m3
vol. cajamanzana=l∗h∗a
vol. cajamanzana=7.5cm∗9.5cm∗7.5cm
vol. cajamanzana=534.38cm3
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vol. cajamanzana=534.38cm3∗(1m)3
(100cm)3 =5.3∗108m3
a. vol. trailer=91.09m3
vol. caja platano=9.11∗10−05m3
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 91.09m3
x=1cajade platano∗91.09m3
9.11∗10−05 m3
x=999820.23 cajas de platano .
b. vol. trailer=91.09m3
vol. cajamanzana=5.3∗108m3
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 9.11*10-05m3
x=1cajade manzana∗¿9.11∗10−05m3
5.3∗108m3
x=1.7¿10−13cajas de manzana.
c. vol. trailer=91.09m3
1qqpapa∗( 100 lb1qq )( 1kg
2.2 lb )( 1000cm3
1kg )( 1m3
1kg )=( 100000m3
2200000 )=0.05m3
36
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
x=1qqde papa∗9.11∗10−05 m3
0.05m3
x=1.82¿10−03 qqde papa
d. vol. trailer=91.09m3
1qqde arroz∗( 100 lb1qq )( 1kg
2.2lb )( 1000cm3
1kg )( 1m3
1kg )=( 100000m3
2200000 )=0.05m3
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
x=1qqdearroz∗9.11∗10−05 m3
0.05m3
x=1.82¿10−03 qqde arroz
e. vol.mula=29.77m3
vol. caja platano=9.11∗10−05m3
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 29.77m3
37
x=1cajade platano∗29.77m3
9.11∗10−05 m3
x=326783.75cajas de platano .
f. vol.mula=29.77m3
vol. cajamanzana=5.3∗108m3
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 29.77m3
x=1cajade manzana∗29.77m3
5.3∗108m3
x=5.62¿108 cajas demanzana .
g. vol.mula=29.77m3
1qq papa=0.05m3
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 29.77m3
x=1qqde papa∗29.77m3
0.05m3
x=595.4 qqde papa.
h. vol.mula=29.77m3
1qqarroz=0.05m3
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
38
x=1qqdearroz∗9.11∗10−05 m3
0.05m3
x=1.82¿10−03 qqde arroz
i. vol. camion sencillo=123.55m3
vol. caja platano=9.11∗10−05m3
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 123.55m3
x=1cajade platano∗123.55m3
9.11∗10−05m3
x=1.36∗106 cajas de platano .
j. vol. camion sencillo=29.77m3
vol. cajamanzana=5.3∗108m3
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 123.55m3
x=1cajade manzana∗123.55m3
5.3∗108m3
x=2.33¿10−07cajas de manzana.
k. vol. camion sencillo=29.77m3
1qq papa=0.05m3
39
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 123.55m3
x=1qqde papa∗123.55m3
0.05m3
x=2471qqde papa.
l. vol. camion sencillo=29.77m3
1qq papa=0.05m3
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 123.55m3
x=1qqdearroz∗123.55m3
0.05m3
x=2471qqde arroz.
40
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:
TiempoActividades
MARZO ABRIL MAYO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
PRIMERA CLASE
Competencia especifica (27-Marzo-2012)
X
Introducción de la Materia(27-Marzo-2012)
x
SEGUNDA CLASE
Sistema Internacional de Unidades(03-Abril-2012)
X
Tarea Sistema Internacional de Unidades.Entregar el 10 de abril del 2012
X
TERCERA CLASE
Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)
X
Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones(24 de abril del 2012)
X
CUARTA CLASE
Evaluación primer capitulo(03 de Mayo del 2012)
x
41
42
43
44
CAPITULO II
MARCO TEORICO:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las
dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,
determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la
otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o
que hay correlación entre ellas.
Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de
relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación
debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se
calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el
producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables
aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de
carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).
Comentario:
A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas
estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos
variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la
independiente.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.
45
Características principales
A continuación se comentan una serie de características que ayudan a
comprender la naturaleza de la herramienta.
Impacto visual
Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación
entre dos variables de un vistazo.
Comunicación
Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.
Guía en la investigación
El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que
el simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y
alternativas de estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en
su utilización, (García, 2000).
Comentario:
El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y
útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos
variables, en donde aparece representado como un punto en el plano
cartesiano.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON
En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la
relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la
covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de
las variables.
46
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de
dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos
variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de
+ 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de
correlación. Los primeros dan a entender que existe una correlación
directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente,
(Willliams, 2008).
Comentario:
El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan
relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el
coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un
coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre
ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta.
INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1
encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre
las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica
necesariamente que no exista correlación ya que las variables pueden presentar
una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de
gestación. En este caso el r infraestima la asociación al medirse linealmente. Los
métodos no paramétrico estarían mejor utilizados en este caso para mostrar si las
variables tienden a elevarse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes.
Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de
relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se
47
dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula
cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).
Comentario:
El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos
variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su
correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones
entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente
calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.
FORMULA
R=n¿¿
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la
variable bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la
forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión
lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente, tendremos a la
recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se
obtendrá la recta de regresión de X sobre Y.
Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta
cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la
relación entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y
dado X=x para ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)
COMENTARIO:
48
Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y
representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de
puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el
hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar
relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya
que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos
presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan
buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el
Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones.
CORRELACIÓN POR RANGOS
Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables
para un mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están
relacionadas o no y de estarlo, el grado de asociación entre ellas.
Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en
investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas
cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde
se pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus
resultados son bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)
COMENTARIO:
Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas
para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas.
Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos
vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos
aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas
que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación
entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos
49
dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si
su relación es positiva o negativa.
RANGO
La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3,
y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar
también todos los valores de resultado de una función.
Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su
situación profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el
rango del superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su
rango o será sancionado. (MORER, 2004)
COMENTARIO:
Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango
puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se
puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados
que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante
ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto
nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más
precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas.
COMENTARIO GENERAL:
La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las
cuales nos ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber
qué es y cómo se relacionan entre sí dos o más variables en una población que
deseemos estudiar para así poder determinar posibles resultados que nos darán
50
en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior
está muy relacionada con ese ámbito.
La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar
determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o
investigado. La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de
una variable con base en los valores conocidos de la otra.
Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un
estudio ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos
variables a estudiar, y facilitara la recolección de información.
ORGANIZADOR GRAFICO:
51
CORRELACION Y REGRESION LINEAL
ayuda a la toma de decisiones segun lo resultante en la
aplicacion de estos
grupodetécnicasestadísticasusadasparamedirlafuerzadelaasociaciónentredosvaria
bles
se ocupa de establecer si existe una relación así
como de determinar su magnitud y dirección
mientras que la regresión se encarga
determinar posibles resultados como por ejemplo del exito en
un estudi de mercado
permite evaluar decisiones que se tomen en una poblacion
herramienta basica para estudios y analisis que pueden determinar el exito o fracaso
entre dos opciones
TRABAJO #3
52
DIANA CORAL RIVERA
53
54
55
56
57
58
59
60
61
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76
77
78
79
80
81
Diana Coral
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
Actividad
Días
ResponsableMar, 08 Mié, 09 Jue, 10 Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17
Copias Tamara Apraez, Diana Coral, Diana García, Tania Herrera., Janeth Reina
Iniciar con los ejercicios
Tamara Apraez, Diana Coral, Diana Garcia, Tania Herrera., Janeth Reina
Terminar los ejercicios
Tamara Aprez, Diana Coral, Diana García, Tania Herrera., Janeth Reina
Prueba Tamara Aprez, Diana Coral, Diana Garcia, Tania Herrera., Janeth Reina
82
ANEXOS:
Ejemplo 1:
La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e
Y.
X: 6 3 7 5 4 2 1
Y: 7 6 2 6 5 7 2
Calcule:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas
c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y
la varianza error (
a)
X Y XY X2 Y2
6375421
7626572
4218143020142
36949251641
49364
3625494
28 35 140 140 203
83
b)
c)
Ejemplo 2:
Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se
muestran en la tabla:
X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13
Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10
a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje
de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.
b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos
un valor de 10?
c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X,
¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).
84
a) Completamos la siguiente tabla:
X Y XY X2 Y2
1 1 1 1 1
3 4 12 9 16
5 6 30 25 36
7 6 42 49 36
9 7 63 81 49
11 8 88 121 64
13 10 130 169 100
49 42 366 455 302
El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se
interpreta como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las
variaciones de la variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no
explicada. Esta proporción multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.
b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la
pendiente y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.
85
c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable
X es con el que cometemos menos error de pronóstico.
Ejemplo 3:
Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las
edades en días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces
aplicamos esta prueba.
Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de
niños de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.
Hipótesis.
Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación
significativa.
Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe
correlación significativa.
86
Ejemplo 4:
Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus
puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos
que reconocieran un conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de
calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe que
87
para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de
0,888 en Y. También se sabe que la desviación típica de las puntuaciones
pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
Sujeto Xi
1 13 169
2 9 81
3 17 289
4 25 625
5 21 441
6 33 1089
7 29 841
Sumatorio
147 3535
a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y
a partir de X
88
a. La varianza de los errores del pronóstico.
Ejemplo 5:
De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes
datos que se muestran en la tabla:
Calcular:
a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.
89
b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.
EJEMPLO 6:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El
Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis
de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el
país de importación.
Empresas
Valor de los transformadore
sX
Unidades posibles a
vendery
X2 Y2 XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑
x2=8.462.50
0
∑
y2=33.21
2
∑xy=
528.100
Fórmula:
90
r=n¿¿
r=5 (528.100 )−(6.250 )(398)
√ [5 (8.462 .500 )−(39.062.500)2 ] ¿¿¿
r= 2.640.500−2.487 .500
√ [ 42.312 .500−39.062 .500 ] [166.060−158.404 ]
r= 153.000
√ [ 3.250 .000 ] [ 7.656 ]
r= 153.000157.740,29
r=0,969948768=0,97
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la
empresa importadora.
EJEMPLO 7:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El
Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis
de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el
país de importación.
Empresas
Valor de los transformadore
sX
Unidades posibles a
vendery
X2 Y2 XY
91
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑
x2=8.462.50
0
∑
y2=33.21
2
∑xy=
528.100
Fórmula:
r=n¿¿
r=5 (528.100 )−(6.250 )(398)
√ [5 (8.462 .500 )−(39.062.500)2 ] ¿¿¿
r= 2.640.500−2.487 .500
√ [ 42.312 .500−39.062 .500 ] [166.060−158.404 ]
r= 153.000
√ [ 3.250 .000 ] [ 7.656 ]
r= 153.000157.740,29
r=0,969948768=0,97
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la
empresa importadora.
EJEMPLO 8:
92
La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad
las mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos
mensuales sobre las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo:
MESES Mercancías
Peligrosas
Mercancías
Frágiles
X y x^2 y^2 xy
Enero 189 85 35721 7225 16065,00
Febrero 105 96 11025 9216 10080,00
Marzo 125 78 15625 6084 9750,00
Abril 116 48 13456 2304 5568,00
Mayo 124 98 15376 9604 12152,00
659 405 91203 34433 53615
r=n¿¿
r=5 (53615 )−(659)(405)
√¿¿¿
r= 268075−266895
√ [ 456015−434,281 ] [172165−164025 ]
r= 1180
√ [ 21734 ] [ 8410 ]
r= 1180
√182782940
93
r= 118013519.72
r= 118013519.72
=0.08
La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a
positiva como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica
respecto al eje x y eje y.
EJEMPLO 9:
94
3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los
siguientes datos, referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al
gasto en publicidad ( en miles de dólares) de los últimos 6 años:
a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en
publicidad?
95
r=N ¿¿
r=6 (7312 )−(296)(129)
√¿¿¿
r= 5688
√34803.195=0.3 04
ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y
es imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.
EJEMPLO 10:
La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no
está seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a
esto esta empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas
empresas en el transporte por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a
obtenido los siguientes resultados.
96
EMPRESAS DE
TRANSPORTE
CALIDAD DE
SERVICIO (X)
RENDIMIENTO
(Y)
X2 Y 2 XY
TRANSCOMERINTER
TRANSURGIN
TRANSBOLIVARIANA
SERVICARGAS
19
17
16
14
46
44
40
30
361
289
256
196
2116
1936
1600
900
874
748
640
420
66 160 1102 6552 2682
r¿(∑ XY )−(
(∑x ) (∑Y )N
)
√[∑X 2−((∑ X)2/(N ))][∑X 2−((∑ X)2/(N ))]
r=4 (2682 )−( (66 )160 )
√(4 (1102 )−(662 )) (4 (6552 )−(1602 ))
r= 0,038
Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender
de las dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.
97
EJEMPLO 11:
Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar
si existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El
objetivo de estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años
de servicio. Los resultados de la muestra son:
Empleados
Años de Servicio
“X”
Puntuación de eficiencia
“Y”XY X2 Y2
Y`A 1 6 6 1 36 3.23B 20 5 100 400 25 4.64C 6 3 18 36 9 3.61D 8 5 40 64 25 3.77E 2 2 4 4 4 3.31F 1 2 2 1 4 3.23G 15 4 60 225 16 4.30H 8 3 24 64 9 3.77
61 30 254 795 128
0 5 10 15 20 250
1
2
3
4
5
6
7
r=n¿¿
98
r=8¿¿
r = .3531
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
syx=√∑ ¿¿¿¿
syx=√∑ y2−a¿¿¿
b = 202 = .0765
2639
a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16
( y - y )2 ( y - y´ )2
5.0625 7.6729
1.5625 0.0961
0.5625 0.3721
1.5625 1.5129
3.0625 1.7161
3.0625 1.5129
0.0625 0.09
0.5625 0.5929
r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247
EJEMPLO 12:
99
Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la
relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se
toma una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los
siguientes datos:
EMPRESAMILES DE
UNIDADES xMILES DE
$ yXY X2 Y2
A 40 150 6000 1600 22500
B 42 140 5880 1764 19600
C 48 160 7680 2304 25600
D 55 170 9350 3025 28900
E 65 150 9750 4225 22500
F 79 162 12798 6241 26244
G 88 185 16280 7744 34225
H 100 165 16500 10000 27225
I 120 190 22800 14400 36100
J 140 185 25900 19600 34225
Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy 2 277119
20 40 60 80 100 120 140 1600
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
100
r=N∑ XY−¿¿
r = 1´329,380 - 1´287,489 =
[709030 - 603729][2771190 - 2745949]
r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078
(105301) (25541) 51860.32
DESVIACION ESTANDAR
syx=√∑ ¿¿¿¿
syx=√∑ y2−a¿¿¿
Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)
10 - 2
Syx = 10.53
MARCO TEORICO:
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la
relación entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De
establecer si existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección,
101
mientras que la regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En
este capítulo analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal
Relaciones;
La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.
Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que
comprenderemos mejor este tema.
Relaciones lineales:
Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el
salario mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de
las mercancías vendidas por cada uno de ellos en ese mes.
Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)1 0 5002 1000 9003 2000 13004 3000 17005 4000 2100
Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica
trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha
grafica. Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.
La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el
cuadro.
Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con
la mejor exactitud mediante una línea recta.
102
Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos
anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su
valor Z transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en
la escala Z.
Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,
consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su
barrio está vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene
marcado el precio total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las
naranjas de cada bolsa y su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar
seis bolsas y la pesa, de hecho están relacionadas estas variables. Existe una
correlación positiva perfecta entre el costo y el peso de las naranjas. Asi el
coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.
Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su
valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo
con alguna algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
cálculo que utilice datos en bruto:
Ecuación para el cálculo de la r de pearson
r¿(∑ XY )−(
(∑x ) (∑Y )N
)
√[∑X 2−((∑ X)2/(N ))][∑X 2−((∑ X)2/(N ))]
Donde ∑XY es la suma de los productos de cada pareja XyY ∑ XY
también se llama la suma de los productos cruzados.
103
Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos:
r¿(∑ XY )−(
(∑x ) (∑Y )N
)
√[∑X 2−((∑ X)2/(N ))][∑X 2−((∑ X)2/(N ))]
r¿(106 )−(
(21 ) (22 )5
)
√[111−((21)2/(5))][112−((22)2/(5))]
13.618.616
=0.731=0.73
PROBLEMA DE PRÁCTICA:
104
SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY
A 1 2 1 4 2
B 3 5 9 25 15
C 4 3 16 9 12
D 6 7 36 49 42
E 7 5 49 25 35
TOTAL 21 22 111 112 106
Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la
magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r
Pearson.
# de
estudiantes
IQ
(promedio de
calificaciones)
Promedio
de datos
Y
X2 Y2 XY
123456789
101112
TOTAL
110112118119122125127130132134136138
1503
1.01.61.22.12.61.82.62.03.22.63.03.6
27.3
12.10012.54413.92414.16114.88415.62516.12916.90017.42417.95618.49619.044
189.187
1.002.561.444.416.763.246.764.00
10.246.769.00
12.9669.13
110.0179.2141.6249.9317.2225.0330.2260.0422.4384.4408.0496.8
3488.0
r¿(∑ XY )−(
(∑x ) (∑Y )N
)
√[∑X 2−((∑ X)2/(N ))][∑X 2−((∑ X)2/(N ))]
r¿(3488.7 )−(
(1503 ) (27.3 )12
)
√[189.187−((1503)2/(12))] [69.13−((27.3)2/(12))]
x=69.37581.088
=0.856=0.86
105
Una segunda interpretación de la r de pearson es que también se puede
interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este
punto de vista produce más información importante acerca de r y la relación entre
X y Y en este ejemplo la variable X representa una competencia de ortografía y la
variable Y la habilidad de la escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga
que queremos que queremos predecir la calificación de la escritura de Esteban, el
estudiante cuya calificación en ortografía es de 88.
Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B,
donde la correlación es menor, a algunos de los valores
r= ∑ ZxZy /(N−1)=¿¿
ZxZy Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo
cual hace que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C
todos los productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r
aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones
dentro de sus propias distribuciones, los productos ZxZy tienen el mismo signo, la
cual produce una mayor magnitud de r
Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto
¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?
Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la
ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?
Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.
Sería justo decir que este es un examen confiable
Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en
quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre
106
dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El
cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar
el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el
ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se
considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir
más de 50 puntos. el número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes
requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los
eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la
siguiente tabla.
EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS
Muerte de la esposa 100 80
Divorcio 73 95
Separación de la pareja 65 85
Temporada en prisión 63 52
Lesiones personales 53 72
Matrimonio 50 50
Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30
Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42
Reajustes económicos 39 36
Problemas con la
familia política
29 41
Problemas con el jefe 23 35
Vacaciones 13 16
Navidad 12 10
107
a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la
correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos
b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre
los datos de ambas culturas
INDIVIDUO EXAMEN CON
LÁPIZ Y PAPEL
PSIQUIATRA
A
PSIQUIATRA
B
1 48 12 9
2 37 11 12
3 30 4 5
4 45 7 8
5 31 10 11
6 24 8 7
7 28 3 4
8 18 1 1
9 35 9 6
10 15 2 2
11 42 6 10
12 22 5 3
un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para
comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con
perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son
calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de
108
depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los
datos aparecen a continuación.
Los datos mayores corresponden a una mayor depresión.
a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras?
b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de
cada psiquiatra?
Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de
recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de
hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la
institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica
el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a
estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y
papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de
desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como
dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la
manufactura, garantizando que una amplio rango de desempeño quede representado en
la muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando
durante los últimos seis meses.
Desempeño
en el
trabajo
Examen 1
Examen 2
1
50
10
25
2
74
19
35
3
62
20
40
4
90
20
49
5
98
21
50
6
52
14
29
7
68
10
32
8
80
24
44
9
88
16
46
10
76
14
35
CORRELACIÓN
4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
109
En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola
variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente
de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables
están relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación
lineal.
4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES
Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de
habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos
cinco estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en
estas dos pruebas.
Tabla Nº 4.1.1
Estudiantes X
Prueba de habilidad
mental
Y
Examen de Admisión
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo 9 32
Juan 3 18
110
La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con
puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en
el examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de
habilidad mental. Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En
circunstancia como la presente (cuando los puntajes altos de una variable están
relacionados con los puntajes altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos
que hay una relación lineal positiva entre las variables, entonces podemos definir
una relación lineal positiva entre ese conjunto de pares valores X y Y, tal la
muestra la tabla N º 4.1.1
Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos
obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar
que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse
para pronosticar los puntajes del examen de admisión? También, aunque en este
caso mostramos una relación contraria a la que ocurre en la realidad ya que los
sujetos con puntajes altos en el test de habilidad mental aparecen con puntajes
bajos en el examen de admisión y los sujetos con puntajes bajos en el test de
habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de admisión, entonces
podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valores X
y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están
apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados
con los puntajes de Y.
Tabla Nº 4.1.2
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 32
Susana 12 60
Aldo 9 68
111
Juan 3 82
Tabla Nº 4.1.3
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 82
Susana 12 68
Aldo 9 60
Juan 3 32
Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los
puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del
examen de admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y
algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareados con otros
puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no
existe una relación lineal entre las variables X y Y.
4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco
parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma
alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una
grafica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo
de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión, gráfico de
dispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que corresponde a la Tabla N
º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a cada valor de la variable
independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir, para la alumna
Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad mental (12)
con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos
112
corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del
examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el
sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2
Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el
diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la
sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es
característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque estos
cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta. Se puede trazar una
línea recta que describa que estos puntos en forma bastante aproximada
conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la relación es lineal.
Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una
sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado
en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la
relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una
sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos
se encuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos
variables es menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una línea
recta afirmamos que la relación lineal es más fuerte.
GRÁFICO Nª 4.1.1.
113
Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar
empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión,
tal como se muestra en el gráfico Nº 4.1.3.
Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. que la nube de puntos de la gráfica
pueden delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación
114
lineal entre las dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de
izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que decimos que la relación
lineal entre las dos variables es negativa.
Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se
muestra en la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil
cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama de
dispersión.
Diagrama de Dispersión
GRÁFICO Nº 4.1.4.
115
Y
80
70
60
50
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
80
70
60
50
40
30
Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta
4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON
Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o
diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es
positiva o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos
cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del
coeficiente r de Pearson.
El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +
pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los
puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente
una línea recta). El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta.
(los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando
perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene
cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos
mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores positivos menores
que 1 indican una correlación positiva.
116
80
70
60
50
40
30
Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo,
cuando el valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la
correlación, es así que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos
valores débiles) los valores -0.93 y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos
son dos valores fuertes).
Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora
cuando los datos no son muy numerosos.
Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos
calcular el coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la
siguiente fórmula.
r=N ¿¿
Tabla Auxiliar 4.1.4.
(1)x
(2)Y
(3)X^2
(4)Y^2
(5)XY
18 82 324 6724 1476
15 68 225 4624 1020
12 60 144 3600 720
9 32 81 1024 288
3 18 9 324 54
∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558
En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se
han elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al
cuadrado los valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada
pareja de valores X y Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene:
r=(5 ) (3558 )−(57 )(260)
√ [5 (783 )−(57)2 ] [5 (16 296 )−(260)2 ]
r= 17 790−14 820
√ (3915−3249 )(81 480−67 600)
117
r= 2970
√ (666 )(13 880);r= 2 970
√9244080
r= 29703 040,4
;r=0,98
INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de
correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables.
Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de
relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que
un r de 0,50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de
0, 25. Ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r
= 0,60 equivalga a un aumento de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una
correlación de 0,60 indica una relación tan estrecha como una correlación de +
0,60. La relación difiere solamente en la dirección.
Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos
variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar
únicamente que la situación medida está contaminada por algún factor o factores
no controlados. Es fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han
mantenido constantes todos los factores que o sean pertinentes, el r podría haber
sido 1 en lugar de 0,20. Por ejemplos: generalmente la correlación entre la
puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos
se miden en una población cuyo aprovechamiento académico también es
influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de calificación de los
profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores
determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las
notas, el r seria 1 en vez de 0,50.
118
Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a
la situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún
hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente
relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz
de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.
Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación
como de medida del grado de relación lineal entre dos variables es una
interpretación matemática pura y está completamente desprovista de
implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan a
aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga
algún efecto directo o indirecto sobre la otra.
A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de
PEARSON de la relación presentada en la tabla.
Cuadro Auxiliar 4.1.5.
(1)x
(2)Y
(3)X^2
(4)Y^2
(5)XY
18 18 324 324 324
15 32 225 1024 480
12 60 144 3600 720
9 68 81 4624 612
3 82 9 6724 246∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =2382
r=(5 ) (2382 )−(57 )(260)
√ [5 (783 )−(57)2 ] [5 (16 296 )−(260)2 ]
r= 11910−14 820
√ (3915−3249 )(81 480−67 600)
r= −2910
√ (666 )(13 880);r= −2910
√9244080
119
r=−29103 040,4
;r=−0,96 Vemos que la correlación es fuerte y negativa.
Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de
Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3.
Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6
(1)x
(2)Y
(3)X^2
(4)Y^2
(5)XY
18 18 324 324 324
15 82 225 6724 1230
12 68 144 4624 816
9 60 81 3600 540
3 32 9 1024 96∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006
r=(5 ) (3006 )−(57 )(260)
√ [5 (783 )−(57)2 ] [5 (16 296 )−(260)2 ]
r= 15 030−14 820
√ (3915−3249 )(81 480−67 600)
r= 210
√ (666 )(13 880);r= 210
√9244080
r= 2103 040,4
;r=0,07 La correlación es muy débil y positiva.
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN
CLASES
120
El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos
proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos
conjuntos.
Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en
inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen
matemático, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.
^-^X Hábitos de Y ^\esiudio
Matemáticas^
20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy
70 -* 803 2 2 7
60 -> 70 1 0 4 5 10
50 ~» 60 2 6 16 3 27
40 50 4 14 19 10 47
30 >-'■» 40 7 15 6 0 28
20 M 30 8 2 0 1 t 1
10 20 1 1 2 4
Total f. 23 40 48 23 134
Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado,
que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7.
Este): cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de
clase 0» la variable Y, los que cubren todos los posibles datos acerca de las
puntuaciones! alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática.
Nótese que los in te rva los los crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior
se presentan les intervalos <%
Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran
las frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un
intervalo de la variable Y como un intervalo de la variable X.
La fórmula que utilizaremos es la siguiente
121
Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el
cuadro auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de
esa formula
Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por
sus respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7
cinco columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la
primera.
1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la
columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma
fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe
en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de
clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7.
2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en
la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente
las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23
3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo
significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas.
Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas : -1-2
y -3 corresponden a los intervalos menores.
4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la
variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la
fila superior del cuadro , por esa razón , escribimos cero debajo de la
frecuencia marginal 48.
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna
encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar
cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la
tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En
efecto:
122
(3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-
3)(-12)=36
La suma 63+40+27+28+44+36=238
Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu
por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por
su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la
segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila.
(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23
Sumando horizontalmente:
(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63
Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada
elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila
por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo
elemento de la cuarta fila así:
(-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23
Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores
el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el
segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación
unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3
que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que
tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente.
Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha
hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el
numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9
encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida
En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)
Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6
123
X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y
suma de los # en semicírculos
75 2 3 2 2 7 3 21 63 -365 1 0 4 5 10 2 20 40 655 2 6 16 3 27 1 27 27 -745 4 14 19 10 47 0 0 0 035 7 15 6 0 28 -1 -28 23 2925 8 2 0 1 11 -2 -22 44 3415 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0
∑FxUx = 6
∑FxUx^2= 238
∑FxyUxUy= 59
Fx 23 40 48 23 134Ux -2 -1 0 1 FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155
La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar
horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de esa
primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.
Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.
(0)(-1)(+2)= 0
(4)(0)(+2)= 0
(5)(+1)(+2)= 10
Sumando 0 + 0 + 10 = 10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)= -4
(6)(-1)(+1)= -6
124
(16)(0)(+1)= 0
(0)(+1)(+1)= 3
Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7
Cuarta fila
(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0
Quinta fila
(7)(-2)(-1)= 14
(15)(-1)(-1)= 15
(6)(0)(-1)= 0
(0)(+1)(-1)= 0
La suma es: 14+15= 29
(8)(-2)(-2)= 32
(2)(-1)(-2)= 4
(0)(0)(-2)= 0
(1)(+1)(-2)= -2
La suma es: 32 + 4 -2 = 34
Séptima fila:
(1)(-2)(-3)= 6
(1)(0)(-3)= 0
(2)(1)(-3)= -6
Sumando: 6 + 0 – 6 = 0
125
Sumando los valores de la columna quinta.
Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula
n= 134
∑f xyU xU y= 59
∑f xU x = -63
∑f yU y= 6
∑f xU x2 = 155
∑f yU y2 = 238
r= (134 ) (59 )−(−63 )(6)
√ {(134 ) (155 )− (−63 )2 }{(134 ) (238 )−(62)
r= 7906+378
√(20770−3969 )(39892−36)
r= 0,358
Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre
Conjuntos de Datos Agrupados
Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y
físicas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN
126
X Puntuación matemáticas
Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL90 - 100 0 0 0 2 5 5 1280 - 90 0 0 1 3 6 5 1570 - 80 0 1 2 11 9 2 2560 - 70 2 3 10 3 1 0 1950 - 60 4 7 6 1 0 0 1840 - 50 4 4 4 0 0 0 11TOTAL 10 15 22 20 21 12 100
127
PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA
SUMA DE LOS NÚMEROS
ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN
CADA FILA
45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y
PU
NT
UA
CIO
N E
NF
ISIS
CA
Y
95 2 5 5 12 2 24 48 54
85 1 3 6 5 15 1 15 15 30
75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0
65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2
55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28
45 4 4 3 11 -3 -33 99 36
fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150
Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2y Σ fxy Ux Uy
FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux
Fx U2x 40 15 0 20 84 10
8
267 Σfx U2x
128
En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para
dos conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100,
en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de
cierta universidad
Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea
horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de
matemáticas desde 40 hasta 100.
Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos
para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Notese
que en la columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia
arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas
crecen izquierda a derecha.
A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos
datos aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior.
1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de
las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro
N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el
lado derecho y cuatro filas por la parte interior
Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en
matemáticas y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de
clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el
primer intervalo 40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60
por su marca de clase 55 y de esta manera se han remplazado los demás
intervalos por sus marcas de clases en el cuadro N° 4.1.10.
De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos
se han remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en
física el primer intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de
clase 95, el segundo intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca
129
de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se
ha remplazado por su marca de clase 45.
Ahora vamos a realizar los pasos siguientes
1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la
primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5=
12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85
obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de fy.
2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer
resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que
tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe
en el primer casillero de fx para el segundo casillero tenemos el número 15
que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene
de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás
columnas llenamos las frecuencias marginales fx.
3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros
arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo
y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero
contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de
la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física.
Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba
entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo
hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son
números negativos que van decreciendo hacia abajo.
Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes.
De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por
los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia
abajo decrece: -1,-2,-3.
4) Veamos la fila Ux
130
Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de
izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de
izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno
del casillero Ux el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos
asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así
tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2.
5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su
correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el
numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su
correspondiente desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el
segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta
terminar con 11*(-3)= -33.
6) Observemos la columna Fy U2y. L primera celda de esta columna tiene el
número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda
columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es
decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna fy U2y , tenemos 15
que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás
valores de la columna Fy U2y.
7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se
obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente
desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20.
Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así
sucesivamente 12*3= 36.
8) Veamos Fx U2x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de
multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su
correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el
segundo casillero de fx U2x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -
15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1)
*(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros Ux por
sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108.
131
9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo
ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la
puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en
física.
10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia
la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2.
Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la
fila Ux y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado
en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy =
(2) (1) (2) = 4.
Podemos anunciar la siguiente regla:
Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del
cuadro N°4..1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual
estamos haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y Ux ,
obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también hacia
abajo hasta legar a la fila Ux.
Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en
matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos
factores son: Uy =1 y Ux = 1.
Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.
Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de
clase 45 en física, tenemos:
fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1
132
fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos
proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.
Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100.
Sumando los valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los
valores de la cuarta columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de
la quinta columna:
∑fxy Ux Uy = 150
Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los
valores de la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.
Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63
Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267
Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula.
r=(100 ) (150 )−(63 )(−49)
√ [100 (267 )−(63)2 ] [100 (253 )−(−49)2 ]
r= 15 000−3 087
√ (26 700−3969 )(25 300−2401)
r= 18087
√ (22731 )(22899);r=18087
22 815
r=0,79 Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.
Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos
Conjuntos Agrupados de Datos.
133
Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de
conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable
y).
Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:
Resultado:
r=(30 ) (70 )− (35 )(26)
√ [30(93)−(35)2 ] [30 (78 )−(26)2 ]
r= 2100−910
√ (2790−1225 )(2340−676)
r= 1190
√ (1565 )(1664 );r= 1190
1613,7
r=0,74
Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos
conjunto de datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta
compañía. Estos vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como
lo muestra el cuadro N°4.1.13, el que también muestra el número de años de
experiencia que tiene como vendedores.
Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.
0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 TOTAL
15 18 1 1
134
Años de experiencia
X
Monto de ventas
12 15 2 3 4 9
9 12 7 3 2 12
6 9 6 9 4 19
3 6 5 2 7
1 3 2 2
TOTAL 2 11 18 12 7 50
Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la
formula N° 4.1.12, se tiene.
r=50 (46 )−(11 )(22)
√ ¿¿
r= 2300−242√(2950−121)(3600−484)
= 2058
√(2829 ) (3116 )
135
r=20582969
=0.6
136
Progresiones lineales simples
4.2.1. Regresión lineal simple
Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que
estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a
una de las variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora,
estudiaremos la forma de predecir v valores de Y conociendo primero los
valores de X. Es así que viendo la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos
cuando estudiamos correlación, conociendo el puntaje en la prueba de
habilidad mental (variable X) para un alumno determinado, podemos anticipar
el puntaje del examen de admisión (variable Y) del mismo alumno.
Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si dibujamos
esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar todos los
puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el
nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos
predecir cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25,
según la recta, correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc.
En este caso se trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de
correlación es +1.
Prueba de habilidad
mental X
Examen de Admisión
Y
SUSANA 5 15
IVAN 10 20
LOURDES 15 25
ALDO 20 30
JUAN 25 35
MARIA 30 40
CESAR 35 45
137
OLGA 40 50
Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos
correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado
por una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de
dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos
del diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos
debajo, se llama línea de regresión.
ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA
La ecuación que describe la línea de regresión es:
YR=Y+r (S y
S x)x−r (S y
S x)x
Y=mediade la variableY en lamuestra.
GRÁFICO
X = media de la variable X en la muestra.
138
r = 1,00
X = un valor de la variable X
r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.
SY = desviación estándar de Y en la muestra.
SX = desviación estándar de X en la muestra.
Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.
Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X.
como el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su
coeficiente de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes
resultados:
X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46
Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro.
Apliquemos estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:
YR=32,5+( 1)( 11,46
11,46 )X−(1 )( 11,4611,46 )22,5(a)
Simplificando términos obtenemos:
Y R=32,5+X−22,5 (b )
Y R=10+X
Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando
este valor en (b).
Y R=10+30=40 (c )
Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es
decir podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los
valores de X.
Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las
cuales no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no
es obligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1.
139
Este valor de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier
valor distinto de 1.
Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal Simple
Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por
800 alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación
estándar de 12,6 puntos.
La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de
3,2 años.
El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los
sujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos,
fue r = 0,89.
Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad
en base del puntaje del rendimiento mental.
¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:
X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos
X2 = 25 Puntos X5 = 60 Puntos
X3 = 45 Puntos X6 = 80 Puntos
Datos:
Y = 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89
X = 30,4 SX = 12,6
Aplicando estos datos en la fórmula se tiene:
YR=14,5+( 0,89)( 3,2
12,6 )X−(0,89 )( 3,212,6 )30,4
Y R=14,5+0,226 X−6,87
Y R=7,63+0,226 XEs la ecuación de regresión buscada.
140
Respuesta de la 1ra. Pregunta
X1 = 18
YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07
YR = 11,7 años
Segunda pregunta
X2 = 25
YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65
YR = 13,28 años
Tercera pregunta
X3 = 45
YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17
YR = 17,8 años
Cuarta pregunta
X4 = 50
YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3
YR = 18,93 años
Quinta pregunta
X5 = 60
YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56
YR = 21,19 años
Sexta pregunta
X6 = 80
141
YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08
YR = 25,71 años
Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la
segunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se
hallan los rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están
las diferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la
quinta columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas.
CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4
ALUMNOS RENGO DE
X
RANGO DE
Y
D=
DIFERENCIA
D2
Rodríguez 3 3 0 0
Fernández 4 5 -1 1
Córdova 2 1 1 1
Flores 1 2 -1 1
Lema 5 4 1 1
APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENE
[p= −6 (4 )5(52−1)
=1−0.02]P= 0.08
Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la
práctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento
escolar en las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5.
EJEMPLO 2
Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de
correlación por rangos.
142
CUADRO Nº 4.3.5
EXAMINADOS PRUEBA DE
HABILIDAD MENTAL
X
APTITUD ACADÉMICA
Y
Susana 49 55
Iván 46 50
Lourdes 45 53
Aldo 42 35
Juan 39 48
María 37 46
Cesar 20 29
Olga 15 32
Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de
habilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango
que se podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el
segundo, para Lourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.
De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según
los resultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo
que se muestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el
número de orden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango
dos en esa prueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su
rango en la pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa
el rango 8 en tal prueba.
CORRELACIÓN POR RANGOS
Es el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de
elementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en
un punto de esa escala.
143
Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo
a los puntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1
que sigue:
CUADRO Nº 4.3.1
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
PUNTAJES 40 65 52 70 76 56
Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos
siguientes en el cuadro Nº 4.3.1.
CUADRO Nº 4.3.2
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
RANGOS 6 3 5 2 1 4
4.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS
La correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento
de los elementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide
por medio del coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:
[p=1−6∑ D2
n(n2−1) ]
En donde.
P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.
D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos
variables X y Y. Por ejemplo d= X1−Y 1
n= numero de pares correspondientes.
144
EJEMPLOS Nº 1
En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo
de 5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se
consideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican
los resultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas
puntuaciones son valores de la variable Y.
CUADRO Nº 4.3.3
ALUMNOS NIVEL MENTAL
X
MATEMÁTICAS
Y
Rodríguez medio 35
Fernández interior al promedio 17
Córdova superior al promedio 48
flores muy superior al
promedio
42
lema muy inferior al promedio 20
Calcular el coeficiente de correlación por rangos.
ESTUDIANTES CLASIFICACION
DE LOS RANGOS
CLASIFICACION DE
LOS RANGOS
D= DIF D2
RANGO X RANGO Y
SUSANA 1 1 0 0
ESTEBAN 2 3 -1 1
LOURDES 3 2 1 1
ALDO 4 6 -2 4
145
JUAN 5 4 1 1
MARIA 6 5 1 1
CESAR 7 8 -1 1
OLGA 8 7 1 1
∑D2 = 10
En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las
pruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las
pruebas de los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a
la diferencia del rango de un elemento de la columna X menos el rango de su
correspondiente elemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el
cuadrado de la diferencia anotada en la columna D.
Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad
mental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el
que los datos están transformados en rangos.
Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este
tipo de problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de
rangos de spearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en donde
N= 8 pares
∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados
al cuadrado que figuran la columna D2.
Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la
prueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del
examen de admisión.
Caso de rangos empatados o repetidos
146
Examinemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de
Susana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera
de los dos le corresponde los rangos primero o segundo para romper esta
indeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de
ambos
Rangos, o sea 1+2
2= 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el
rango
Tratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están
empleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le
corresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el
resultado de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2
=5.5 será el número que le asignamos como rango.
Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos
dos les corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos
será (3+4) /2 = 3.5.
Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los
profesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les
asignaremos el rango 3 Y 5. los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2
respectivamente.
En La Columna D se colocan las diferencias X – Y
Nos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran
valores de la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de
la columna D2 y obtenemos ∑D
2 = 17.
Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.
Aquí ∑D
2 = 17.
N= 6
P= 1- = 0.5
1476 (17)
6 (36 -1)
Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V
ciclo y los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no
es ni muy fuerte ni muy débil.
2º EJERCICIO
Cinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de
estas se ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la
columna Y los rangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan
al mirar la tv.? (Ver cuadro Nº 4.3.1)
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que
gastan mirando tv.?
Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos
igualados obtenemos:
ALUMNOS x YA 1 4 o 5B 2 4 o 5C 3 2 o 3D 4 1E 5 2 o 3
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan mirando tv.?
Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los rangos iguales obtenemos:
X Y DX - Y
D2
A 1 4.5 -3.5 12.25B 2 4.5 -2.5 6.25
148
C 3 2.5 0.5 0.25D 4 1 3 9E 5 2.5 2.5 6.25
ΣD2 = 34.00
Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos
Sumado Los Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son
5 Y 4 Y Luego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados
Que Son Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A
Y B Es 4.5
DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo
para ellos como nuevo rango 2.5.
Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos
diferencia entre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.
Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la
columna del cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y
obtenemos ΣD2 =34.00
P=1−6 (34 )
2 !5 (25−1 )=1−204
120
P= 1 – 1.7=+0.7
Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un
valor fuerte para este tipo de situación.
EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMAN
La tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron
su número de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en
un curso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN.
ALUMNOS PRACTICA X TEORIA YA 7 6
149
B 4 7C 6 5D 3 2E 5 1F 2 4G 1 3
2º EJERCICIO
El cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de
padres y de sus hijos primogénitos.
1) calcular el coeficiente de correlación de espermas
2) calcular también el coeficiente de Pearson
3) son parecidos?
ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y172 178164 154180 180190 184164 166164 166165 166180 175
RESPUESTA 1 p= 0.89
3º EJERCICIO
En la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5
sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación.
X YA 2 3B 1 2C 3 1D 5 5E 4 4
150
RESPUESTA 1 p= 0.7
EJERCICIO
El gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la
variable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero.
Recoge una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en
dólares por semana.
a) Determinar el diagrama de dispersión
b) De su comentario sobre el valor de la pendiente
La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por
todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a
uno.
c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.
Salario (x)
Gasto (y)
X2 Y2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2
28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56
25 20 625 400 500 25 625 20 400
35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024
40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369
45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600
50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600
50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025
151
35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900
70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025
80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600
ƩX=458 ƩY=384
ƩX2=23784 ƩY2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi -Ẋ) =412,2
Ʃ(xi - Ẋ)^2=
23316,84
Ʃ(Yi -Ῡ) =345,6
Ʃ(Yi-Ῡ)^2=15722,56
r=n¿¿
r=10 (19550 )− (458 )(384 )
√ [10 (23784 )−(458)2 ]¿¿¿
r= 195 500−175 872
√ [ 237840−209764 ] [161680−147456 ]
r= 19 628
√ [ 28076 ] [14224 ]
r= 19 628
√399 353 024
r= 19 62819 983 ,82
r=0,98
Desviación Estándar (X)
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 23316,8410
=√2331,4 = 48,28
Ẋ = Ʃ X in
=45810
=45 ,8 Sy = √ 15722 ,5610
=√1572 ,256 = 39, 65
Ῡ = ƩY in
=38410
=38 ,4
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x Y R=38,4+0 ,98( 39 ,65
48 ,28 )x−0 ,98( 39 ,6548 ,28 )45 ,8
152
Y R=38,4 +0 ,80 x−0 ,80(45 ,8) Y R=1,54 +0,80 x Y R=1,54 +0,80(90) = 73, 54 gasto de un salario semanal
r=n¿¿
r=6 (260 )−(47)(35)
√¿¿¿
r=1560−1645√¿¿¿
r= −85
√277472490
r= −8516657.51
r = -0.005
153
COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con los de 40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones que los de 40 debido a que son más ligeros al transportar las mercancías.
Cronograma de actividades
TiempoActividades
MARZO ABRIL MAYO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
PRIMERA CLASE
Competencia especifica (27-Marzo-2012)
X
Introducción de la Materia(27-Marzo-2012)
x
SEGUNDA CLASE
Sistema Internacional de Unidades(03-Abril-2012)
X
Tarea Sistema Internacional de Unidades.Entregar el 10 de abril del 2012
X
TERCERA CLASE
154
Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)
X
Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones(24 de abril del 2012)
X
CUARTA CLASE
Evaluación primer capitulo(03 de Mayo del 2012)
x
155
156
Diana Coral
157
158
159
CAPITULO I
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Hipótesis Estadística
Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el propósito de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis, se adquiere el compromiso de verificada en base a los datos de la muestra obtenida. La hipótesis estadística es fundamentalmente distinta de una proposición matemática, debido que al decidir sobre su certeza podemos tomar decisiones equivocadas, mientras que en la proposición matemática podemos afirmar categóricamente si es verdadera o falsa.
Hipótesis Nula
Es una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se supone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene determinado valor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se formula con la intención de rechazarla.
Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario, es decir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o proporción de salir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional de cara) y Q (proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o 100% de los casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q, reemplazando P por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción poblacional de éxito (cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta base, durante la ejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente las leyes del azar, descartando la influencia de cualquier otro factor.
Hipótesis Alternativa
Es una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente creemos es factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le designa por el símbolo H a. En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería: H a: P ≠ 0.5, es decir, P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente
averiguar que la moneda no es legal.
Concepto de significación en una Prueba Estadística
160
Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento para someterla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere marcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula H 0, en ese caso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula H 0 o, al menos no aceptarla en base a la muestra obtenida.
En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro establecido en H 0 y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan
solo al error de muestreo (en este caso aceptamos H 0); o si la diferencia es tan grande que el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del error de muestreo, en este caso rechazamos H 0.
Prueba de Hipótesis
Se le llama también ensayo de hipótesis o dócima de hipótesis. Son procedimientos que se usan para determinar, se es razonable o correcto, aceptar que el estadístico obtenido en la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, el formulado en H 0.
Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos H 0. Si
aceptamos H 0, convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo, puede dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si rechazamos H 0, convenimos que la diferencia es tan grande, que no es fruto del error de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la muestra no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.
El mecanismo para rechazar la hipótesis H 0, es el siguiente: suponemos como
válida la hipótesis nula H 0, la que afirma que el parámetro tiene cierto valor
(supongamos el caso de la media poblacional entonces H 0: ʯ = ʯ0. Tomamos una muestra y calculamos el estadístico de la muestra (para el caso de la media el estadístico es la media muestral xv ). Como suponemos que H 0 es cierta, podemos suponer que la muestra proviene de la población que tiene como parámetro el de H 0 (es decir, ʯ0 no serán muy diferentes) y la probabilidad de que dicha diferencia muestral pequeña aparezca, será grande. Si en cambio tomamos una muestra de una población que no tiene como parámetro ʯ0, en dicho caso el valor de xv - ʯ0, será grande, (xv será muy
distinto que ʯ0), es decir, dicha diferencia será significativa, y la probabilidad de obtener dicha diferencia muestral al muestrear, será pequeña. Necesitamos un estándar, es decir, un valor tal que, al comparar con él la probabilidad de obtener una diferencia entre xv y ʯ0, nos permita aceptar o rechazar H 0. Llamemos a este valor α el nivel de significación. Este será tal que, si la
161
probabilidad de la diferencia entre xv y ʯ0 es muy pequeña (menor que α),
rechazaremos H 0 y la muestra aleatoria no proviene de la población con
parámetro ʯ0; si la probabilidad de la diferencia entre xv - ʯ0 es grande (mayor
que α) aceptamos H 0 y la muestra aleatoria proviene de la población con
parámetro ʯ0.
Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis H 0, se corre el riesgo de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una diferencia entre xv y ʯ0 y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.
Estos posibles errores son:
Error tipo I
Consiste en rechazar la hipótesis H 0, cuando en realidad no debería ser rechazada, por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se llama alfa (α).
Error tipo II
Consiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser
falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).
Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más
pequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer
disminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La
única forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.
Nivel de significación de una Prueba Estadística.
En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de
significación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la
hipótesis nula Ho.
Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de
0.01 (1%).
162
El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100
casos, cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al
rechazar la hipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.
Pasos de una Prueba de Hipótesis
1o Formular la Ho y la H1
2o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.
3o Asumir el nivel de significación de la prueba.
4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.
5o Elaborar el esquema de la prueba.
6o Calcular el estadístico de la prueba.
7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte.
5o, con el estadístico del paso 6o.
Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda,
obteniéndose 34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se
quiere averiguar si la moneda está cargada.
1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada.
H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5).
2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos
posibilidades en la H1:
a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada
de un lado (P>0.5).
b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada
del otro lado (P<0.5).
3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos
aceptando de que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se
163
rechace Ho, a pesar de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error
de tipo I. la probabilidad de no rechazar Ho, será de 0.95.
4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba.
Tenemos por dato muestral la proporción 3450
, el parámetro de Ho, es la
proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral
de proporciones para describir la variación de las muestras por el error d
muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande)
aproximaremos la distribución muestral de proporciones, mediante la
distribución normal, porque n=50> 30.
5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades
estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de
confianza será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes
de confianza para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z
≤ 1.96.
El esquema correspondiente es:
164
Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos
que Z cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe
rechazar H˳
Si por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que
no debemos rechazar H˳
Vemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba
bilateral o de dos colas.
6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2
165
Z= Xi−U pσ
Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p`
U p: es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la
proporción poblacional P de H˳
σ : es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones,
llamada también error estándar de la proporción: σ p`
Z= p−pσp
166
Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para
curar una enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160.
Determinar que a afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del
90% de los casos. Sea el nivel de significación 0.05.
1) .- H˳: P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito.
H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar.
2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la
que la proporción de personas curadas por la medicina es menor que
0.90; luego se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta
caso de cola izquierda, que es la dirección a la que apunta la
desigualdad de H1.
3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución
normal de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de
Z= -1.65.
4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción
poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones.
5) El esquema de la prueba es:
167
6)
Z= p−pσp
´P = Proporción de la muestra = 160200
=0.8
P = Proporción de la población P = 0.9
Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger datos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar corregida
s=√∑ (Xi−μ )2
n−1
Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional û mediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo tanto por grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar
168
ha disminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado un parámetro, la media poblacional.
En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos medias poblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los datos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2 donde n1 es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el tamaño de la muestra tomada de la población 2.
Los grados de libertad están representados por la siguiente formula
Gl=n-k
N: numero de observaciones independientes
K: numero de parámetros estimados
Distribución de Student
Cuando:
i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30
ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmente
iii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso de la distribución de Student
La distribución de Student está representada por el estadístico t:
t= x−us
√n−1
El estadístico z de la distribución normal era
z= x−uσ
√n
En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es una constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad,
169
los valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice de este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado con un determinado nivel de significación.
La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución normal Z.
Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student
Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de clase de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una desviación estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en los colegios secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101. Asumiendo un nivel de significación de 1% probar que el rendimiento mental del grupo de 15 alumnos, es más alto que el promedio de estandarización del test.
U= rendimiento mental medio de estandarización = 101
X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4
1) formulación de la hipótesis
H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la
muestra X y de la población
H1: µ= >101
2) prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,
3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01
4) Distribución aplicable para la prueba
170
Distribución de student
Distribución normal
Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media
poblacional µ, se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además
como n <30 (muestra pequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la
población) se empleara la distribución de student, ya que ese sabe los valores
de CI siguen una distribución normal.
5) Esquema grafico de la prueba
El nivel de significación es a = 0.01
Los grados de libertad son:
Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de lib
En la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,
encontramos el t crítica: tc =2.624
171
6) Cálculo del estadístico de la prueba
Datos
X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 15
7) toma de decisiones
Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta
que µ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos
tiene rendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.
Ejemplo:
Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto
medicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si
la maquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra
de 10 tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01;
1.97; 1.94; 2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que
la maquina no está en
Buenas condiciones de producción.
Llamemos:
172
µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina.
1) Formulación de hipótesis
H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones.
H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones
2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad
µ>2 o µ< 2
3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01
4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.
Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se
da como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede
calcular la media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las
medias para efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la
desviación de student o de la población desconocida, no es aplicable la
distribución normal y por tanto recurridos a la distribución de student,
asumiendo que la población.
173
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de
efectividad para curar una enfermedad. En una muestra de 200
personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no es
cierta, es decir que la medicina cura menos del 90% de los casos.
Si el nivel de significancia (error de estimación) es del 0,05
1.- HALLAR H0 Y HA
H 0U=90 %U=0,9
174
H 0U<90 %U <0,9
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
Es unilateral de una cola
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
Nivel de confianza=95 %
Error deestimaci ón=0,05
Z=±1,65
4.- DETERMINAR EL VALOR DE n
N 1=200n>30
Utilizala prueba dehip ó tesis
5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL VALOR DE Z
P=160200
= 0,80
175
P=PROBABILIDAD DE LA POBLACIÓN
P=0,9
QX=ERROR DEESTIMACIÓN
QX=√ pqn
QX=√ (0,9 )(0,1)200
Qx=0,02
Z=P−PQx
Z=0.8−0,90,02
Z=−5
7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque
los medicamentos curan menos del 90% a los pacientes.
Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A,
da una resistencia media a la rotura de 1230lobras con una
desviación estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres de
acero producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la
rotura de 1190 libras con una desviación estándar de 90 libras.
176
¿Hay una diferencia real en la resistencia media de las dos marcas
de alambre de acero, si el nivel de confianza es el 95%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U1 = U2
Ha: U1 U2
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es bilateral de 2 colas
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
Nivel de significancia o E.E. = 0,05
Z =1,96 valor estandarizado
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
n 1 = 80 n > 30
n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
177
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
x 1 = 1230 S1 = 120
x 2 = 1190 S2 = 90
Z= X 1−X2
√ S 12
n1+ S22
n2
Z= 1230−1190
√ 1202
80+ 902
100
Z= 40
√180+81
Z= 40
√261
Z= 4016,155
Z=42,4760
√261
178
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los
alambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica
B.
Los salarios diarios de una industria particular tiene una
distribución normal con media de 23,20 dólares y una desviación
estándar de 4,50 dólares. Si una compañía de esta industria emplea
40 trabajadores, les paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede se
acusada esta compañía de pagar salarios inferiores con un nivel de
significancia del 1%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U = 23,20
Ha: U > 23,20
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es de una cola
3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%
Nivel de significancia o E .E .=0,01
Z=−2,33
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
n=40n>30
40>30Prueba de Hipótesis
179
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
Z=
X−Us
√n
Z=
21,20−23,204,50
√40
Z=
−24,50
√40
Z=
−24,506,32
Z=−2,811
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando
a los trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para
resolver este inconveniente.
EJERCICIO PLANTEADO
Según una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo
tiene el 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional.
En una muestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se
180
reflejaron que 35 países los más grandes importadores de petróleo tienen
ventas elevadas. Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la
exportación de petróleo se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel
de significancia del 0,05.
1. Ho: U = 95%
Ha: U < 95%
2. La campana de Gauss es de una cola
3. α = 95%
Error de Estimación: 0,05
Z = -1,65
4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis
5. Construir Campana de Gauss
6. z= P−PQp
z=0,78−0,950,032
z=−5,31
P=3545
181
P=0,78
Qx=√ pqn
Qx=√ (0,95 )(0,05)45
Qx=0,032
7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa.
Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países
se comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar
realizando sus exportaciones al exterior.
DISTRIBUCIÓN T-STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente:
f(t)=
Γ ( n+12
)
Γ (n2)√nΠ
(1+t2
n)−1
2(n+1 )
, -∞<t <+∞ , Γ ( p )=∫
0
∞
x p−1e−xdx siendo p>0
La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de n, y de forma semejante a la distribución normal.
Propiedades:
1. La media es 0 y su varianza
nn−2 , n>2.
2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.
3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.
4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).
182
5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal.
6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.
Ejercicio: La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcán adquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas cada uno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una muestra de 7 camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn, 14,96tonn, 15tonn, 14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un nivel de significancia de 0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso establecido.
1) Ho: u=15tonnHa: u≠2 u es diferente de dos
2) Bilateral
3) 99% 0,01 gl=n-1gl= 10-1= 9t=±3,250
4) n˂30 T-student
5) GRAFICA
183
S=√∑¿¿¿
6)x= X – u
S
√n−1.
x=15,034 – 150,082
√7−1.
1,030,34
0,0822,44.
=0,340,33.
=1,03
7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya que el peso que puede transportar cada camión se encuentra en la zona de aceptación.
Ejercicio. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
184
Xi (Xi-X) (Xi-X)2
15,04 0,0060,000032
653
14,96 -0,0740,005518
367
15 -0,0340,001175
51
14,98 -0,0540,002946
939
15,2 0,1660,027461
224
15,1 0,0660,004318
367
14,96 -0,0740,005518
367
105,24
-0,00000000000000888
17841970,046971
429
PRUEBA CHI - CUADRADO
Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen
tres requisitos fundamentales:
1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.
Ejemplos.
1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.
2. La prueba de student.
Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre.
Son aquellas que:
1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.
Ejemplo.
La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).
Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable
es cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.
El Estadístico Chi – Cuadrado
185
En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica
denominada prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables
cualitativas, esto es, variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores
no pueden expresarse numéricamente. Los valores de estas variables son
categorías que sólo sirven para clasificar los elementos del universo del
estudio. También puede utilizarse para variables cuantitativas,
transformándolas, previamente, en variables cualitativas ordinales.
El estadísticos chi- cuadrado se define por
x2=(n−1 ) S2
a2
En donde:
n= número de elementos de la muestra.
n-1= número de grados de libertad
s2= varianza de la muestra
a2= varianza de la población
Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de
Chi – cuadrado.
Ejemplo:
En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de
una población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó
una prueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos
obtenidos se calculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional
es de α2= 12,37, calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.
Datos:
n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37
x2=(40−1 )8,4
12,37
186
x2=26,48
Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL
ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.
Supongamos que se realiza los pasos siguientes:
1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles
del mismo tamaño n.
2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado.
3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de
frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.
Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de
coordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi-
cuadrado.
Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-cuadrado.
El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar la probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.
El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2
(gl), representa la probabilidad ∝ de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado. Esta probabilidad ∝ es el nivel de significación de la prueba. El valor
187
x2 (gl) se llama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una tabla especial, que representa al final del libro el aprendizaje de tablas.
Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para una probabilidad dad, por ejemplo ∝=0.05, al aumentar el número de grados de libertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en las tres figuras siguientes:
Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de grados de libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar una forma más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.
Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentra en el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada
columna se hayan los valores de .
188
En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplos siguientes el manejo de la tabla.
1. Ejemplo:
∝=0.05 y gl= 4 g de l
A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la
visual que baja por ∝=0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico
∝=9.488 .
2. Ejemplo:
Si ∝=5 %=0.05 y gl=6 gdel
Hallamos x2 (6)=12.592
3. Ejemplo:
Si ∝=5 %=0.05 y gl=10gde l
Encontramos x2 (10) = 18.307
Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de
frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.
Cuadro 11. 3. 2
Intervalos Conteo Frecuencias
Observadas
Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6
6 , 26 a 11,62 IIII - I 6
11,62 a 15,51 III 3
15,51 a 18,80 IIII 5
18,80 a 21,96 IIII 4
21,96 a 25,12 IIII - IIII 10
25,12 a 28,41 III 3
28,41 a 32,30 IIII 4
32,30 a 37,66 IIII 4
37,66 a más. IIII 5
189
A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es
decir, colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por
una tarja. La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de
esta clase.
Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula
indicada
(X 2=∑ (Oi−E i)2
Ei
)
Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se
presenta a continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5
en cada intervalo, luego:
Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado
de Bondad de Ajuste.
Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5
X2 (7 )= (6−5 )2
5+
(6−5 )2
5+
(3−5 )2
5+
(5−5 )2
5+
(4−5 )2
5+(10−5)2
5+
(3−5 )2
5+
(4−5 )2
5+
(4−5 )2
5+
(5−5 )2
5
X2(7)=38+5=7,6
7) Toma de decisiones
Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura
11.3.5) se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos H o esto es,
que la muestra se obtiene de una población distribuida normalmente.
Problema
De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos
países se distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años,
35%; 41 -61 años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.
190
Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución
poblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una
muestra respectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5
categorías fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80
años, 100; 81 – 100 años, 100.
1) H o la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución
del censo
H 1 La distribución actual por edades no es igual a la del año de
ejecución
2) La prueba es unilateral y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.10
4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO
ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a =
0.10 en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos
x2 ( 4 )=7.779
191
77.14
7.779
5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
200 300 300 100 100
Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de
los 1.000 habitantes.
CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS
E1 = 1.000 X 25% = 250 E2 = 1.000 X 35% = 350
E3 = 1.000 X 25% = 250 E4 = 1.000 X 105% = 100
E5 = 1.000 X 5% = 50
CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO
192
250 350 250 100 5
x2 ( 4 )=∑I=1
5 (Oi−Ei)2
E i
x2 ( 4 ) = (200−250)
250
2
+ (300−350)
350
2
+(300−250)
250
2
+(100−100)
100
2 +(100−50)50
2
x2 ( 4 ) = 10+7.14+10+0+50
x2 ( 4 )= 77.14
6) TOMA DE DECISIONES
Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor
que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae
en la región de rechazo por lo tanto rechazamos H o y aceptamos H 1, es
decir la distribución actual por edades no es igual a la de la investigación
demográfica.
CORRECCIÓN DE YATES
Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario
realizar una corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la
prueba. Esta corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05
al valor absoluto de la diferencia ¿ entre las frecuencias observadas y as
frecuencias esperadas.
El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.
PROBLEMA
193
11.21
3.841
En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de
enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de
verificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las
proporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó una
muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40
mujeres. Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI
– CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%.
1) H o la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es
de 75% y de 25% respectivamente
H 1 La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del
75% ni del 25% respectivamente
2) La prueba es universal y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.05
4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO
194
5) ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con
estos datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos x2 (1 )
3.841.
6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
60 40
OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS
Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75
Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25
CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates
x2 (1 ) (|O1−E1|−0.5¿¿¿2)
E1
+(|O2−E2|−0.5¿¿¿2)
E2
x2 (1 ) (|60−75|−0.5¿¿¿2 )75
+(|40−25|−0.5¿¿¿2 )
25
195
75 25
x2 (1 ) (|−15|−0.5¿¿¿2 )
751
+(|−15|−0.5¿¿¿2 )
25
x2 (1 ) (15−0.05¿¿¿2 )
75+
(15−0.05¿¿¿2 )25
x2 (1 ) =2.8+8.41= 11.21
7) TOMA DE DESICIONES
Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor
CHI – CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo,
luego rechazamos la H o por lo tanto afirmamos que la distribución de
hombres y mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.
En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca del perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico
Lugar de residenciaGrado de perjuicio
Barriadas Barrios populares
intermedios
Barrios residenciales
total
Alto 32 225 50 307Bajo 28 290 79 397Total 60 515 129 704
Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo los resultados que presenta la siguiente tabla
Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia el negro y lugar de residencia son independientes
1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes
H1: existe dependencia entre las variables.
2. La prueba es unilateral y la cola derecha 3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.054. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos
variables son cualitativas.
196
5. Esquema de la prueba
Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4
Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4
Gl= 2
Q= 0.05
X2 = (2) = 5.991
C= # de columnas
F= # de filas
6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54 5.991Formula
x2=∑ij
❑
(Qij−EijEij )2
X2= 3.54
Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias marginales de dos variables
¿(32−26.16)2
26.16+(25−224.58)2
224.58+(50−56.25)2
56.25+
(28−33.84 )233.84
+(79−72.78 ) 2
72.75=3 .54
Lugar de ResidenciaGrado de perjuicio
Barriadas Barrios populares
(intermedios)
Barrios residenciales
total
Alto E11 E12 E13 307Bajo E21 E22 E23 397Total 60 515 129 704
Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el tamaño de la muestra.
197
E11=60∗307704
=26.16
E12=515∗307704
=224.58
E13=129∗307704
=56.25
E21=60∗397704
=33.84
E22=515∗397704
=290.42
E23=129∗397704
=72.75
Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas anteriormente
ORGANIZADOR GRAFICO:
198
26.16
32
224.58
225
33.84
28
290.42
290
72.75
79
56.25
50
ESTADISTICA INFERENCIAL
T- STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la
CHI CUADRADO
La estadística inferencial es una parte de la estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades de una población estadística, a partir de una pequeña parte de la misma. La estadística
inferencial comprende como aspectos importantes a continuación explicados.
En estadística, una prueba t de Student, prueba t-Student, o Test-T es cualquier prueba en la que el
MINIMOS CUADRADOS
HIPOTESIS
Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste
TEMA:
Mínimos cuadrados
PROBLEMA:
El escaso conocimiento de los mínimos cuadrados y la solución de problemas
aplicados en la carrera de comercio exterior
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar cada uno de los ejercicios relacionados con los mínimos cuadrados
con el propósito de aplicar la materia en problemas relacionados con la carrera
de comercio exterior para sacar soluciones y buenas decisiones a futuro.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
199
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la
En estadística, una prueba t de Student, prueba t-Student, o Test-T es cualquier prueba en la que el
es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: (variable independiente, variable dependiente) y una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste
Investigar bibliográficamente cada uno de los ejercicios de mínimos cuadrados
para que el estudiante pueda auto educarse y poder ampliar los conocimientos
y a la vez investigar problemas relacionados con el comercio exterior y así
aplicar lo aprendido en clases y reforzar la materia de la estadística inferencial.
Indagar y hacer críticas constructivas acerca de los temas dados en clases
para el apoyo del estudiante y así para la resolución de problemas
relacionados con la materia, con el entorno y la estadística inferencial.
Analizar cada uno de los ejercicios de la estadística inferencial en base a los
mínimos cuadrados para así ampliar más los conocimientos del estudiante
universitario.
JUSTIFICACIÓN
El presente trabajo tiene como justificación recolectar todo el trabajo del estudiante y
además ampliar mas el contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que
esto nos permitirá analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse el
estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el análisis de
cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarca
problemas que estas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias
decisiones ya que la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos
siguiendo como lo es comercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar
más el razonamiento y sacar conclusiones adecuadas según el problema que se
presente en el entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro
para así poderlos emplear en el mismo.
200
ABSTRA
The justification of this work is to collect all the workload and also extend over the
content of books with bibliographic research as this will allow us to analyze and
investigate the issues not understood for self-education student and so clear the
doubts you have with research and analysis of each of the chapters as inferential
statistics is broad and covers such issues related to the environment to make our own
decisions and inferential statistics that help us on the run in which we are following as
foreign trade is expanding more our knowledge and using reasoning and conclusions
as appropriate to the problem that is present in the environment to and that
mathematics and statistics will serve us well they can be used for future in it.
MARCO TEORICO:
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la
optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: (variable
independiente, variable dependiente) y una familia de funciones, se intenta encontrar
la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor
ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. (J. Brown)
El cálculo, la probabilidad, la estadística, la programación lineal y la teoría de juegos,
así como otras áreas de las matemáticas, se utilizan para analizar, interpretar y
predecir diversos variables y sistemas económicos, como el precio, las reacciones del
mercado, el coste de producción, la tendencia de los negocios y la política económica.
(L. Ermud)
Los mínimos cuadrados se encuentran dentro de la estadística y nos ayuda para
encontrar resultados de las variables estudiadas y tomar decisiones adecuadas con el
resultado obtenido.
201
Ejercicio en clase:
N X (salario) Y (gasto) X^2 Y^2 X.Y (Xi-X) (Xi-X)^2 (Yi-Y) (Yi-Y)^21 28 25 784 625 700 -17.8 316.84 -13.4 179.562 25 20 625 400 500 -20.8 432.64 -18.4 338.563 35 32 1225 1024 1120 -10.8 116.64 -6.4 40.964 40 37 1600 1369 1480 -5.8 33.64 -1.4 1.965 45 40 2025 1600 1800 -0.8 0.64 1.6 2.566 50 40 2500 1600 2000 4.2 17.64 1.6 2.567 50 45 2500 2025 2250 4.2 17.64 6.6 43.568 35 30 1225 900 1050 -10.8 116.64 -8.4 70.569 70 55 4900 3025 3850 24.2 585.64 16.6 275.56
10 80 60 6400 3600 4800 34.2 1169.64 21.6 466.56458 384 23784 16168 19550 0 2807.6 0 1422.4
media x 45,8media y 38,4
r=n¿¿
¿
r=0.98
202
se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error
cuadrático.
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: (variable
independiente, variable dependiente) y una familia de funciones
MÍNIMOS CUADRADOS
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=0,69
a= y−bx
a=6,38
Y=a+bx
Y=6,38+0,69 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿
Ẋ = 45,80
Ῡ = 38,40
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2
Sxy=∑ xyn
−x y
S x2=∑ x2
n−x2=¿
a= y−bx
a=6,38
Y=a+bx
Y=6,38−0,69 x
Comentario: la relación que existe entre el
203
salario y el gasto de un 70% y la grafica nos
indica que es positiva y dispersa
Regresión Lineal Múltiple
La regresión múltiple comprende tres o más variables. Existe solo una variable
dependiente, pero hay dos o más tipo independiente. Esta operación al desarrollo de
una ecuación que se puede utilizar para predecir valores de y, respecto a valores
dados de la diferencia, variables independientes adicionales es incrementar la
capacidad predicativa sobre la de la regresión lineal simple.
El gerente de personal de la empresa P&C quiere estudiar la relación entre el ausentismo y la edad de sus trabajadores. Tomó una muestra aleatoria de 10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.
Edad (años) 25 46 58 37 55 32 41 50 23 60Ausentismo (días por año) 18 12 8 15 10 13 7 9 16 6
a) Use el método de mínimos cuadrados para hallar la ecuación muestral que relaciona las dos variables.
Edad (años)
X
Ausentismo (días por
año) Y(3)
X^2(4)
Y^2(5)XY
(6)(Xi-X )^2
(7)(Yi-Y )^2
25 18 625 324 450 313,29 43,5646 12 2116 144 552 1197,16 14458 8 3364 64 464 3364 6437 15 1369 225 555 1369 22555 10 3025 100 550 3025 10032 13 1024 169 416 1024 16941 7 1681 49 287 1681 4950 9 2500 81 450 2500 8123 16 529 256 368 529 25660 6 3600 36 360 3600 36
∑X = 427 ∑Y = 114
∑ X^2 = 19833
∑ Y^2= 1448
∑ XY = 4452
∑(Xi-X)^2 =
18602,45
∑(Yi-Y)^2 =
1167,56
X = 42,7y = 11,4
b) Calcule el coeficiente de determinación. De su comentario sobre el ajuste de la línea de regresión a los datos de la muestra.
204
r=n¿¿
r=10 (4452 )−(427 )(114)
√ [10 (19833 )−(427)2 ] ¿¿¿
r= 44520−48678
√ [ 198330−182329 ] [ 14480−12996 ]
r= −4158
√ [ 16001 ] [ 1484 ]
r= −4158
√23745484
r= −41584872,93
r=−0,85
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (4452 )−(427 )(114)10 (19833 )−(1822329)
b= 44520−48678198330−(182329)
b=−415816001
b=−0,259
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=22,46
Y=a+bx
Y=22,46+(−0,26)x
SEGUNDO MÉTODO
205
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=11,4+(−0,85 )( 10,8043,13 ) x−(−0,85 )( 10,80
43,13 )42,7
Y R=11,4+(−0,21 ) x−(−0,21)(42,7)
Y R=20,36 -0,26 x
r = - 0, 85
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 18602 ,4510
=√11860 ,25 = 43, 13
Sy = √ 1167 ,5610
=√116 ,76 = 10, 80
X = 42, 7
Y = 11,4
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−41,58
160,01=−0,259
Sxy=∑ xyn
−x y= 445210
− (42,7 ) (11,4 )=−41,58
S x2=∑ x2
n−x2=19833
10−(42,7 )2=160,01
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=2 2,46
Y=a+bx
Y=22,46−0,26 x
206
El Banco “PRESTAMO” estudia la relación entre las variables, ingresos (X) y ahorros (Y) mensuales de sus clientes. Una muestra aleatoria de sus clientes reveló los siguientes datos en dólares:
X 350 400 450 500 950 850 700 900 600Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130
X
Y X^2 Y^2 XY (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2350 100 122500 10000 35000 80275,89 12345,68400 110 160000 12100 44000 54442,89 10223,46
450 130 202500 16900 58500 33609,89 6579,01
500 160 250000 25600 80000 17776,89 2612,35
950 350 902500 122500 332500 100279,89 19290,12
850 350 722500 122500 297500 46945,89 19290,12
700 250 490000 62500 175000 4444,89 1512,35
900 320 810000 102400 288000 71112,89 11856,79
600 130 360000 16900 78000 1110,89 6579,01
∑X=5700 ∑Y=1900∑X^2=
4020000∑ Y^2=491400
∑XY=1388500
∑(Xi-X)^2=409999,92
∑(Yi-Y)^2=90288,89
X = 633,33y = 211,11
r=n¿¿
r=9 (1388 500 )−(5700 )(1900)
√¿¿¿
r=12 496 500−10 830 000
√ [3 690 000 ] [ 812600 ]
r=1 666 5001 731 616
r=0,96
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
207
b=9 (1388 500 )−(5700 )(1900)
9 (4020000 )−(5700)2
b=1666 5003690 000
b=0,45
a= y−bx
a=211,11−(0,45 )633,33
a=−73,88
Y=a+bx
Y=−73,88+0,45 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=211,11+(0,96 )( 100,16213,44 ) x−(0,96 )(100,16
213,44 )633,33
Y R=211,11+(0,45 ) x−(285,31)
Y R=−73,88 –0,45 x
r = 0, 96
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 409999 ,929
=213,44
Sy = √ 90288 ,879
=100 ,16
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=20575,48
45 559,78=0,45
208
Sxy=∑ xyn
−x y=13885009
−(633,33 ) (211,11 )=20 575,48
S x2=∑ x2
n−x2=4 020 000
9−(633,33 )2=45559,78
a= y−bx
a=211,11−0,45 (633,33)
a=−73,88
Y=a+bx
Y=−73,88+0,45 x
Continuando con el ejercicio 10 determine el intervalo de confianza del 95% para:a.- La cantidad de ahorro promedio Uy /X0 si el ingreso es X0 = 1200.
Y=−0,7+0,45 x
Y=−0,7+0,45 (1200)
Y=539,30
b.- La cantidad de ahorro Y0, cuando el ingreso es X0 = 1200.
Y=−0,7+0,45 x
1200=−0,7+0,45 x
1200+0,7=0,45 x
1200,7=0,45 x
x=268,22
Continuado con el ejercicio 10.
a.- Calcule el coeficiente de correlación. Interprete la tendencia.
r=n¿¿
209
r=9 (1388 500 )−(5700 )(1900)
√¿¿¿
r=12 496 500−10 830 000
√ [3 690 000 ] [ 812600 ]
r=1 666 5001 731 616
r=0,96
b.- Utilizando la significación al 5% del coeficiente de regresión muestral,
¿podemos concluir que hay una relación positiva entre ahorro e ingresos?
Si, porque tenemos una pendiente positiva perfecta
Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la relación
entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de sus productos.
En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Gastos (X)
Ventas (Y)
X2 Y2 XY (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ)^2
30 300 900 90000 9000 653,09 86697,53
20 250 400 62500 5000 1264,20 118641,98
40 400 1600 160000 16000 241,98 37808,64
30 0 0 0 0,00 0,00
50 550 2500 302500 27500 30,86 1975,31
70 750 4900 562500 52500 208,64 24197,53
60 630 3600 396900 37800 19,75 1264,20
80 930 6400 864900 74400 597,53 112597,53
70 700 4900 490000 49000 208,64 11141,98
80 840 6400 705600 67200 597,53 60297,53
∑x=500 ∑y=5350 ∑ X2=31600
∑ Y2=3634900
∑XY=338400 ∑(xi - Ẋ)^2=3822,22
∑(Yi -Ῡ)^2=454622,22
X= 55,56
y= 594,44
r=n¿¿
r=9 (338400 )−(500)(5350)
√ [9 (31600 )−(500)2 ] [9 (3634900 )−(5350)2 ]
210
r=(3045600 )−(2675000)
√(34400)(4091600)
r= 370600375168,02
r=0,987=0,99
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=9 (338400 )−(500 )(5350)
9 (31600 )−(500)2
b=3045600−2675000284400−250000
b=37060034400
b=10,77
a= y−bx
a=594,44−(10,77 ) 55,56
a=−3,94
Y=a+bx
Y=−3,94+10,77 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=594,44+(0,99 )( 224,7520,61 )x− (0,99 )( 224,75
20,61 )55,56
Y R=594,44+ 10,77x−(10,77)(55,56)
Y R=594,44+10,77 x−598,38
211
Y R=−3,94+10,77 x
r = 0, 99
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 3822 ,229
=20 ,61
Sy = √ 454622 ,229
=224 ,75
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−4572,91
424,20=10,77
Sxy=∑ xyn
−x y=3384009
−(55,56 ) (594,44 )=37600−33027,09=4572,91
S x2=∑ x2
n−x2=31600
9−(58,89 )2=3511,11−3086,91=424,20
a= y−bx
a=594,44−(10,77 ) 55,56
a=−3,94
Y=a+bx
Y=−3,94+10,77 x
b.- En cuánto estimaría las ventas de la quinta semana.
Y=−3,94+10,77 x
Y=−3,94+10,77 (30)
Y=319,16
Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre la cantidad
de fertilizante y producción de papa por hectárea.
212
Sacos de fertilizante por
hectárea (X)
Rendimiento
en quintales(Y)
X2 Y2 XY (xi - X)^2 (Yi -Y)^2
3 45 9 2025 135 20,25 19237,69
4 48 16 2304 192 3283,29 18414,49
5 52 25 2704 260 25 17344,89
6 55 36 3025 330 36 16563,69
7 60 49 3600 420 49 15301,69
8 65 64 4225 520 64 14089,69
9 68 81 4624 612 81 13386,49
10 70 100 4900 700 100 12927,69
11 74 121 5476 814 121 12034,09
12 76 144 5776 912 144 11599,29
∑X=75 ∑Y=613 ∑X2=645 ∑Y2=38659 ∑XY=4895 ∑(xi - X)^2=3923,54
∑(Yi -Y)^2=375769
X= 7,50
y= 61,30
r=n¿¿
r=9 (4895 )−(75)(613)
√ [9 (645 )−(75)2 ] [9 (38659 )−(613)2 ]
r=( 44055 )−(45975)
√(180)(−27838)
r= −1920−2238,49
r=0,85
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 ( 4895 )−(75 )(613)
10 (645 )−(75)2
b=48950−459756450−5625
b=2975825
213
b=3,60
a= y−bx
a=61,30−(3,60 )7,50
a=34,255
Y=a+bx
Y=34,255+3,60 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=61,30+(0,85 )( 193,8419,80 ) x−(0,85 )( 193,84
19,80 )7,50
Y R=61,30+ 8,32X−62,41
Y R=−1,11+8,32x
r = 0, 85
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 3923 ,5410
=√392 ,35 = 19, 80
Sy = √ 37576910
=√37576 ,9 = 193, 84
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−29,75
8,25=3,60
Sxy=∑ xyn
−x y= 489510
−(7,50 ) (61,30 )=29,75
S x2=∑ x2
n−x2=645
10−(7,50 )2=8,25
a= y−bx
214
a=61,30−(3,60 )7,50
a=34,4
Y=a+bx
Y=34,4+3,60 x
El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso de Matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes resultados.
Alumno A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10Horas de Estudio
14 16 22 20 18 16 18 22 10 08
Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05
Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de horas de estudio invertido. Interprete la ecuación de regresión.
Use el método de la prueba t para probar la hipótesis nula -------- β= 0 contra una alternativa bilateral. Utilice el valor P en la conclusión.
Calcule el grado de asociación entre calificación y horas de estudio, ¿es significativo al nivel 1%?
Halle el error estándar de estimación ----- ¿Qué porcentaje de los residuales de la muestra son menores que ---------Realice una ilustración gráfica.
Horas de estudio
(X)
Calificación(Y)
X2 Y2 XY (xi - X)^2 (Yi - Y)^2
14 12 196 144 168 5,76 29480,89
16 13 256 169 208 11,56 29138,49
22 15 484 225 330 484 28459,69
20 15 400 225 300 400 28459,69
18 17 324 289 306 324 27788,89
16 11 256 121 176 256 29825,29
18 14 324 196 252 324 28798,09
22 16 484 256 352 484 28123,29
10 8 100 64 80 100 30870,49
8 5 64 25 40 64 31933,69
∑X=164 ∑Y=126 ∑X2=2888 ∑Y2=1714 ∑XY =2212
∑(xi - X)^2=2453,32
∑(Yi - Y)^2= 15876
X= 16,40
y= 12,60
215
r=n¿¿
r=10 (2212 )−(164)(126)
√ [10 (2888 )−(164)2 ] [10 (1714 )−(126)2 ]
r=(22120 )−(20664 )
√(1984)(1264)
r= 14561583,59
r=0,919
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (2212 )−(164 )(126)
10 (2888 )−(164)2
b=22120−2066428880−26896
b=14561984
b=0,73
a= y−bx
a=12,60− (0,73 )16,40
a=0,623
Y=a+bx
Y=0,623+0,73 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
216
Y R=12,60+(0,92 )( 39,8415,66 )x−(0,92 )( 39,84
15,66 )16,4 0
Y R=12,60 + 2,34X−¿ 38,38
Y R=−25,78+2,34 x
r = 0, 92
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 2453 ,3210
=√245 ,53 = 15, 66
Sy = √ 1587610
=√1587 ,60 = 39, 84
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−14,56
−97,56=−0,15
Sxy=∑ xyn
−x y=221210
−(16,40 ) (12,60 )=14,56
S x2=∑ x2
n−x2=1714
10−(16,40 )2=¿ - 97, 56
a= y−bx
a=12,60− (−0,15 ) 16,40
a=15,06
Y=a+bx
Y=15,06−0,15 x
217
6.- CONCLUSIONES
Podemos decir que el método de los mínimos cuadrados para el desempeño
laboral de un ingeniero en comercio exterior es por ello que debemos conocer
como se lo aplica ya que así podremos reemplazar cantidades que deseemos
reemplazarlo.
Este método permite comparar dos variables objeto de estudio
Los mínimos cuadrados nos ayudan a poder encontrar la respuesta de algo
que deseemos saber para poner en comparación.
7. RECOMENDACIONES:
Es por esto que como una recomendación a cada estudiante de la universidad
politécnica estatal del Carchi debe conocer acerca de la aplicación de este
método.
Tenemos que utilizar este método correctamente para así poder encontrar
respuestas a ciertas investigaciones que deseemos realizar.
A futuro en nuestra vida laboral es muy probable que necesitemos aplicar lo
aprendido en el aula.
8 .-BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA:
http://www.unmsm.edu.pe/educacion/postgrado/estadistica.pdf
http://www.conevyt.org.mx/bachillerato/material_bachilleres/cb6/5sempdf/edin1/
edin1_f1.pdf
218
9.- CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE JUNIO
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Método de los mínimos cuadrados X X
Ejecución del Formato del Trabajo X
Resumen de los textos investigados X X
Finalización del trabajo X
Presentación del trabajo y evaluación X
10.- ANEXOS:
EJERCICIO PLANTEADO
La aduana del Ecuador SENAE estudia la relación entre las variables de recaudación del año 2011 (x) y el año 2012 (y). Una muestra aleatoria reveló los siguientes datos en miles de dólares.
2011 (X) 2012 (Y) X2 Y2 XY (xi - X)^2 (Yi -Y)^2
16 42 256 1764 672 3588,01 20078,89269 646 72361 417316 173774 7276,09 213721,29286 689 81796 474721 197054 81796 255328,0962 134 3844 17956 8308 3844 2470,0952 118 2704 13924 6136 2704 4316,4934 83 1156 6889 2822 1156 10140,4910 33 100 1089 330 100 22710,4926 83 676 6889 2158 676 10140,491 2 1 4 2 1 33014,893 7 9 49 21 9 31222,89
∑X=759 ∑Y=1837∑ X2=
162903∑ Y2=
940601∑XY =391277
∑(xi - X)^2=101150,1
∑(Yi -Y)^2=3374569
X= 75,9y= 183,7
219
r=n¿¿
r=10 (391277 )−(759)(1837)
√ [10 (162903 )−(759)2 ] [10 (940601 )−(1837)2 ]
r=(3912770 )−(1394283)
√(1052949)(60314401)
r= 17184877969189,93
r=0,21
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (391277 )−(759 )(1837)
10 (162903 )−(759)2
b=3912770−13942831629030−576081
b=25184871052949
b=2,39
a= y−bx
a=183,7−(2,39 )75,9
a=2,299
Y=a+bx
Y=2,299+2,39 x
SEGUNDO MÉTODO
220
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=183,7+(0,21 )( 580,91100,57 )x−( 0,21 )( 580,91
100,57 )75,9
Y R=183,7 + 1, 21 X−¿ 92, 06
Y R=91 ,64+1,21x
r = 0, 21
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 101150 ,110
=√10115 ,01 = 100, 57
Sy = √ 337456910
=√337456 ,9 = 580, 91
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−25184,87
157142,19=0,16
Sxy=∑ xyn
−x y=39127710
− (75,9 ) (183,7 )=25184,87
S x2=∑ x2
n−x2=162903
10−(75,9 )2=¿ 157142, 19
a= y−bx
a=183,7−(0,16 ) 75,9
a=171,56
Y=a+bx
Y=171,56+0,16 x
221
Importaciones 2011 (X)
Exportaciones 2011 (Y)
X2 Y2 XY (xi - X)^2 (Yi -Y)^2
20 16 400 256 320 0,81 28123,29
19,5 15 380,25 225 292,5 12,96 28459,69
18 14 324 196 252 324 28798,09
18,9 15,5 357,21 240,25 292,95 357,21 28291,24
21 16 441 256 336 441 28123,29
20,6 18 424,36 324 370,8 424,36 27456,49
18 16,5 324 272,25 297 324 27955,84
22 16 484 256 352 484 28123,29
15 18 225 324 270 225 27456,49
18 14 324 196 252 324 28798,09
191 159 3683,82 2545,5 3035,25 2917,34 25281
X= 19,10
y= 15,90
r=n¿¿
r=10 (391277 )−(759)(1837)
√ [10 (162903 )−(759)2 ] [10 (940601 )−(1837)2 ]
r=(3912770 )−(1394283)
√(1052949)(60314401)
r= 17184877969189,93
r=0,21
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (391277 )−(759 )(1837)
10 (162903 )−(759)2
b=3912770−13942831629030−576081
222
b=25184871052949
b=2,39
a= y−bx
a=183,7−(2,39 )75,9
a=2,299
Y=a+bx
Y=2,299+2,39 x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=183,7+(0,21 )( 580,91100,57 )x−( 0,21 )( 580,91
100,57 )75,9
Y R=183,7 + 1, 21 X−¿ 92, 06
Y R=91 ,64+1,21x
r = 0, 21
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 101150 ,110
=√10115 ,01 = 100, 57
Sy = √ 337456910
=√337456 ,9 = 580, 91
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−25184,87
157142,19=0,16
Sxy=∑ xyn
−x y=39127710
− (75,9 ) (183,7 )=25184,87
223
S x2=∑ x2
n−x2=162903
10−(75,9 )2=¿ 157142, 19
a= y−bx
a=183,7−(0,16 ) 75,9
a=171,56
Y=a+bx
Y=171,56+0,16 x
Según la Subsecretaría de Comercio Exterior de una región A, se exportaron (en miles
de dólares), durante el período comprendido entre 1993 y 1997, los valores que se
indican en la siguiente tabla:
Año (x) 1993 1994 1995 1996 1997
Exportaciones (y) 1640 1763 1875 1987 2006
r=∑ XY−¿¿¿
r: 0.976168
Una empresa de comercio exterior que realiza importaciones y exportaciones a determinados países y hace un estudio de cuanto envía mensualmente entre importaciones y exportaciones los 3 trimestres del año 2010.
Año 2010
X export.
350 400 450 500 950 850 700 900 600
Y import.
100 110 130 160 350 350 250 320 130
X
Y X^2 Y^2 XY (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2
224
350 100 122500 10000 35000 48400 8100400 110 160000 12100 44000 44100 12100450 130 202500 16900 58500 202500 16900500 160 250000 25600 80000 250000 25600950 350 902500 122500 332500 902500 122500850 350 722500 122500 297500 722500 122500700 250 490000 62500 175000 490000 62500900 320 810000 102400 288000 810000 102400600 130 360000 16900 78000 360000 16900
∑X=5700 ∑Y=1900
∑X^2=4020000
∑ Y^2=491400
∑XY=1388500
∑(Xi-X)^2=3830000
∑(Yi-Y)^2=489500
X = 570Y= 190
r=n¿¿
r=9 (1388500 )−(5700 )(1900)
√ [9 ( 4020000 )−(5700)2 ] ¿¿¿
r= 13374661500−10830000
√ [ 36180000−32490000 ] [ 4422600−36610000 ]
r= 13363831500
√ [ 3690000 ] [−32187400 ]
r= 13363831500−108998234,1
r= −41584872,93
r=−0,85
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (4452 )−(427 )(114)10 (19833 )−(1822329)
b= 44520−48678198330−(182329)
b=−415816001
b=−0,259
225
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=22,46
Y=a+bx
Y=22,46+(−0,26)x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=11,4+(−0,85 )( 10,8043,13 ) x−(−0,85 )( 10,80
43,13 )42,7
Y R=11,4+(−0,21 ) x−(−0,21)(42,7)
Y R=20,36 -0,26 x
r = - 0, 85
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 18602 ,4510
=√11860 ,25 = 43, 13
Sy = √ 1167 ,5610
=√116 ,76 = 10, 80
Ẋ = 42, 7
Ῡ = 11 ,4
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−41,58
160,01=−0,259
Sxy=∑ xyn
−x y= 445210
− (42,7 ) (11,4 )=−41,58
S x2=∑ x2
n−x2=19833
10−(42,7 )2=160,01
226
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=22,46
Y=a+bx
Y=22,46−0,26 x
El Copci realiza un estudio de la producción nacional de camarón que está destinada
ha ser exportada hacia la unión europea en donde x es la cantidad producida en
toneladas y la variable y representa
X
Y X^2 Y^2 XY (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2350 100 122500 10000 35000 48400 8100400 110 160000 12100 44000 44100 12100450 130 202500 16900 58500 202500 16900500 160 250000 25600 80000 250000 25600950 350 902500 122500 332500 902500 122500850 350 722500 122500 297500 722500 122500700 250 490000 62500 175000 490000 62500900 320 810000 102400 288000 810000 102400600 130 360000 16900 78000 360000 16900
∑X=5700 ∑Y=1900
∑X^2=4020000
∑ Y^2=491400
∑XY=1388500
∑(Xi-X)^2=3830000
∑(Yi-Y)^2=489500
X = 570Y= 190
r=n¿¿
r=9 (1388500 )−(5700 )(1900)
√ [9 ( 4020000 )−(5700)2 ] ¿¿¿
r= 13374661500−10830000
√ [ 36180000−32490000 ] [ 4422600−36610000 ]
r= 13363831500
√ [ 3690000 ] [−32187400 ]
r= 13363831500−108998234,1
227
r= −41584872,93
r=−0,85
PRIMER MÉTODO
b=n¿¿
b=10 (4452 )−(427 )(114)10 (19833 )−(1822329)
b= 44520−48678198330−(182329)
b=−415816001
b=−0,259
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=22,46
Y=a+bx
Y=22,46+(−0,26)x
SEGUNDO MÉTODO
Y R= y+r ( SySx )x−r ( SySx
) x
Y R=11,4+(−0,85 )( 10,8043,13 ) x−(−0,85 )( 10,80
43,13 )42,7
Y R=11,4+(−0,21 ) x−(−0,21)(42,7)
Y R=20,36 -0,26 x
r = - 0, 85
228
Sx = √∑ ¿¿¿¿¿ Sx = √ 18602 ,4510
=√11860 ,25 = 43, 13
Sy = √ 1167 ,5610
=√116 ,76 = 10, 80
Ẋ = 42, 7
Ῡ = 11 ,4
TERCER MÉTODO
b=Sxy
S x2=−41,58
160,01=−0,259
Sxy=∑ xyn
−x y= 445210
− (42,7 ) (11,4 )=−41,58
S x2=∑ x2
n−x2=19833
10−(42,7 )2=160,01
a= y−bx
a=11,4−(−0,259)42,7
a=22,46
Y=a+bx
Y=22,46−0,26 x
1. TEMA
Prueba de hipótesis y T- Student
2. PROBLEMA
El desconocimiento de la prueba de hipótesis y T- Student
229
no nos ha permitido resolver ejercicios y problemas prácticos que se presentan
en el modulo de Estadística Inferencial.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Resolver ejercicios con análisis de prueba de hipótesis y T- Student
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Fundamentar científica la prueba de hipótesis y T student
Aplicar correctamente la Prueba de Hipótesis en la estadística.
Resolver problemas aplicados al Comercio Exterior.
4. JUSTIFICACIÓN
El presente taller es realizado con la finalidad de poder emplear los
conocimientos impartidos en clase por el Docente para poder resolver
ejercicios empleando la teoría del análisis de prueba de hipótesis y T- Student.
La prueba de hipótesis en la estadística es de gran relevancia para poder
identificar los diferentes problemas de la vida, es otro aspecto de la estadística
Inferencial que al igual que la estimación del intervalo de confianza la cual es
basada en la información de la muestra. Saber i tener conocimiento de las
formulas que se utilizan en la prueba de hipótesis las que son muy
fundamentales para poder resolver con facilidad problemas relacionados con el
contexto del Comercio Exterior; puesto que los conocimientos se presentaran
en cualquier ocasión y sobre todo a futuro cuando ya obtengamos nuestra
ingeniería en Comercio Exterior.
5.- MARCO TÉORICO
230
Prueba de hipótesis
La estadística Inferencial es el proceso de usar la información de una muestra
para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que
usemos la información de una muestra para probar un reclamo o conjetura
sobre la población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El
proceso que corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el
reclamo se llama prueba de hipótesis (Tenorio Bahena, Jorge, 2006).
Los términos prueba de hipótesis y probar una hipótesis s utilizan
indistintamente. La prueba de hipótesis comienza como una afirmación, o
suposición sobre un parámetro de la población, como la media poblacional
(Tamayo y Tamayo, Mario, 2010).
Una prueba de hipótesis consiste en contratar dos hipótesis estadísticas. Tal
contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. La decisión
consiste en rechazar o no una hipótesis a favor de otra. (Lincoln L., 2008)
Hipótesis Nula (Ho).- Se refiere siempre a un valor específico del parámetro
de la población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y
el subíndice cero no hay diferencia por lo general hay un “no” en la hipótesis
nula que indica que “no hay cambio” podemos rechazar o aceptar “Ho”. (Pick,
Susan y López, Ana Luisa., 2009).
Hipótesis Alternativa (Ha).- Es cualquier hipótesis que sea diferente de la
nula es una afirmación que se acepta si los datos muéstrales proporcionan
evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa, se le conoce también
como hipótesis de investigación el planteamiento de hipótesis alternativa nunca
contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro
(Pick, Susan y López, Ana Luisa., 2009).
231
Nivel de Significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada
como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo
de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta
bajo el control de la persona que realiza la prueba (Lincoln L., 2008).
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de
área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de
aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos
regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de
no rechazo (aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de
aceptación, no se puede rechazar la hipótesis nula.
La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la
estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis
nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de
presentarse si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no
rechazo de la de rechazo.
232
Tipos de errores.- Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba
de hipótesis, ya sea de aceptación de la Ho o de la Ha, puede incurrirse en
error:
Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es
verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se
denomina con la letra alfa α
Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula
es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.
En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.
En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el
investigador y las consecuencias posibles.
Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno, debe diseñarse de forma
que minimice los errores de decisión. En la práctica un tipo de error puede
tener más importancia que el otro, y así se tiene a conseguir poner una
limitación al error de mayor importancia. La única forma de reducir ambos tipos
de errores es incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no ser
posible.
233
La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta
β, depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de
la población. Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la diferencia
entre la estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es
grande, la probabilidad de cometer un error de tipo II, probablemente sea
pequeña.
El estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera,
se habrán apoyado exclusivamente en el análisis de una parte de ésta. De la
probabilidad con la que estemos dispuestos a asumir estos errores, dependerá,
por ejemplo, el tamaño de la muestra requerida. Las contrastaciones se apoyan
en que los datos de partida siguen una distribución normal
Existe una relación inversa entre la magnitud de los errores α y β: conforme a
aumenta, β disminuye. Esto obliga a establecer con cuidado el valor de a para
las pruebas estadísticas. Lo ideal sería establecer α y β. En la práctica se
establece el nivel α y para disminuir el Error β se incrementa el número de
observaciones en la muestra, pues así se acortan los limites de confianza
respecto a la hipótesis planteada. La de las pruebas estadísticas es rechazar la
hipótesis planteada. En otras palabras, es deseable aumentar cuando ésta es
verdadera, o sea, incrementar lo que se llama poder de la prueba (1- β) La
aceptación de la hipótesis planteada debe interpretarse como que la
información aleatoria de la muestra disponible no permite detectar la falsedad
de esta hipótesis.
234
T Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución
de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la
construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de
dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y
ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
a distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
donde
Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
235
rechaza y acepta supuestosdos variables
HIPOTESIS permite relacionar temas
V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que
sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
la media muestral. Entonces
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de
antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,
donde
es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
236
donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución
depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.
Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de
Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el
error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza
para la media = .
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la
diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se
distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar
si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:
E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para n > 3
237
Ejercicios
1.-El banco “PRESTAMO” estudia la relación entre las variables, ingresos (x) y
ahorros (y) mensual de sus cliente. Una muestra aleatoria de sus clientes
revelo los siguientes datos en dólares:
X 350 400 450 950 850 700 900 600Y 100 110 130 160 350 250 320 130
¿Cuáles son los supuestos del modelo de regresión?
Ingresos x
AhorrosY XY X2 (xi−x ) ¿ Y2 (yi-y)2
350 100 35000 122500 -283,33 80275,89 10000 12345,43400 110 44000 160000 -233,33 54442,89 12100 10223,23
238
T- Student
desviacion tipica
menor a 30 observaciones
aparece de manera natural
probabilidad estadistica de la
distribucion
450 130 58500 202500 -183,33 33609,89 16900 6578,83500 160 80000 250000 -133,33 17776,89 25600 2612,23950 350 332500 902500 316,67 100279,89 122500 19290,43850 350 297500 722500 216,67 46945,89 122500 19290,43700 250 175000 490000 66,67 4444,89 62500 1512,43900 320 288000 810000 266,67 71112,89 102400 11857,03600 130 78000 360000 -33,33 1110,89 16900 6578,83
5700 1900 1388500 4020000 410000,01 491400 90288,89
X=∑ x1
n=5700
9=633.33
Y=∑ y1
n=1900
9=211.11
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=9 (1388500 )−(5700)(1900)
√¿¿¿
r= 1666500
√3690000∗812600=1666500
1731616=0.96
sx=√∑ ¿¿¿¿
sx=√ 4100009
=213.44→desviacion standar
s x2=¿
sy=√∑ ¿¿¿¿
sy=√ 90288,899
=100,16→desviacionstandar
s y2=¿
Yr= y+r ( sysx ) x−r ( sysx ) x
Yr=211.11+0.96 ( 100,16213,44 ) x−0.96 ( 100,16
213,44 )633,33
239
Yr=211,11+0,45 x−285,31
Yr=−74,2+0,45x
b=n∑ xy−∑ x∑ y
n∑ x2−¿¿¿
b=9 (1388500 )−(5700)(1900)
9 ( 4020000 )−(5700 )
b=12496500−1083000036180000−32490000
b=16665003690000
b=0.45
a= y−bx
a=211.11−0.45 (633.33)
a=¿-73.89
y=a+bx
y=−73,89+0.45 x
240
300 400 500 600 700 800 900 10000
50
100
150
200
250
300
350
400
Series2Linear (Series2)
ingresos
vent
as
Analice que tan bien se ajustan los puntos del diagrama de dispersión a la
línea de regresión utilizando el coeficiente de determinación.
r=N ¿¿
r=9 (1388500 )−(5700 )(1900)
√¿¿¿
r= 1666500
√ (36180000−32490000 )(4422600−3610000)
r= 166500
√ (3690000 )(812600)= 166500
√2,998494 x1012= 166500
1731616=0,096
La cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es X=$1200
y=−73 ,89+0 .45 x
y=−73 ,89+0 .45(1200)
y=466,11
Pasos de una prueba de hipótesis
1ero.-Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2do.-Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3ro.-Asumir el nivel se significación de la prueba
241
95% ± 1,96
4to.-Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
n<30
Como n es menor que 30 utilizaremos la T de estudent
5to.-Elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
6to.-Calcular el estadístico de la prueba
z= Pm−poQp
z=0.05−0
9 z=5.55
Q=√ SX 2+SY 2
n
Q=√ 45556,63+10032,109
Q=216.03
QP=√ PQn
QP=√ 0(216.03)9
QP=0
242
Pm= pn
Pm=0.459
Pm=0.05
4.- Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal por radio y ventas de sus productos. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Gasto de publicidad($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80
Ventas($) 300 250 400 550 75063
0 930 700 840En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio
Determinar la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de publicidad.
GastoPu x
VentasY XY X2 (xi−x ) ¿ Y2
( yi− y) ¿30 300 9000 900 -25,56 653,31 90000 -294,44 86694,91
20 250 5000 400 -35,56 1264,51 62500 -344,44 118638,91
40 400 16000 1600 -15,56 242,11 160000 -194,44 37806.91
50 550 27500 2500 -5,56 30,91 302500 -44,44 1974,91
70 750 52500 4900 14,44 208,51 562500 155,56 24198,91
60 630 37800 3600 4,44 19,71 396900 35,56 1264,51
80 930 74400 6400 24,44 597,31 864900 335,56 112600,51
70 700 49000 4900 14,44 208,51 490000 416,11 173147,53
80 840 67200 6400 24,44 597,31 705600 245,56 60299,71
500 5350 338400 31600 3822,84 3634900 507881,90
x=∑ xin
=5009
=55,56 y=∑ yin
=53509
=594,44
243
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=9 (338400)−(500)(5350)
√¿¿¿
r= 370600
√(34400)(4091600)
r= 370600375168,02
=1.00
SX=√∑ ¿¿¿¿
sx=√ 3822,229
=20,61→desviacion standar
s x2=¿
sy=√∑ ¿¿¿¿
sy=√ 454622,229
=224,75→desviacionstandar
s y2=(224,75)=50512,56→varianza
Yr=594,44+0.99( 224,7520,61 )x−0.99 ( 224,75
20,61 )55,55
Yr=594,44+10,79 x−599,71
Yr=−5,27+10,79 x
244
b=n∑ xy−∑ x∑ y
n∑ x2−¿¿¿
b=9 (338400 )−(500)(5350)
9 (31600 )−(250000 )
b=3045600−2675000284400−250000
b=370600334400
b=1.10
a= y−bx
a=594.44−1.10(55.56)
a=¿ 533.32
y=a+bx
y=−8,77+10.86 x
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
GastoPu xLinear (GastoPu x)Ventas YLinear (Ventas Y)
VENTAS
GAST
O
245
Pasos de una prueba de hipótesis
1er.-Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2do.-Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3er.-Asumir el nivel se significación de la prueba
95% ± 1,96
4to.-Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
n<30
Como n es menor que 30 utilizaremos la T de estudent
5to.-Elaborar el esquema de la prueba
-1.96 +1.96
246
6to.-Calcular el estadístico de la prueba
z= Pm−poQp
z=0.12−0
9 z=0.013
Q=√ SX 2+SY 2
n
Q=√ 424,77+50512,569
Q=77.69
QP=√ PQn
QP=√ 0(77.69)9
QP=0
Pm= pn
Pm=1.109
Pm=0.12
En cuánto estimaría las ventas de la quinta semana
y=−8,77+10.86 x
y=−8,77+10.86 (30 )=317,03
247
5.-Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de Fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rendimiento en Quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
Fertilizan x
Quintales Y XY X2 (xi−x ) ¿
3 45 135 9 -4,5 20,254 48 192 16 -3,5 12,255 52 260 25 -2,5 6,256 55 330 63 -1,5 2,257 60 420 49 -0,5 0,258 65 520 64 0,5 0,259 68 612 81 1,5 2,2510 70 700 100 2,5 6,2511 74 814 121 3,5 12,2512 76 912 144 4,5 20,25
∑ x=75 ∑ y=613 ∑ xy=¿4895¿ ∑ x2=672 ∑ (xi−x )282,50
Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante, por el método de mínimos cuadrados.
Y=a+bx
x=∑ xi
n=
7510
=7,5 y=∑ yi
n=
61310
=61,3
a=Y−b x
a=61,3−2,72(7,5)
a=61,3−20,4=40,9
b=n∑ xiyi−∑ xi∑ yi
n∑ xi2−¿¿¿
b=10 ( 4895 )−(75 )(613)
10(672)−¿¿
248
b=48950−459756720−5625
b=29751095
=2,72
Y=a+bx
Y=40,9+2,72 x
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=9¿¿
r= 370600
√(34400)(4091600)
r= 370600375168,02
=0.99
Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.
10 20 30 40 50 60 70 80 900
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Ahorros YLinear (Ahorros Y)
249
Determina el coeficiente de determinación.
Yr=−5,27+10,79 xyr= -5,27 + 10,79(30)yr= 318,43
Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el error o
residual?
y=34,07+3,63 xy=34,07+3,63 (12 )=77.63-76=1.63 es el error.
6.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso de Matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes resultados:
Alumno A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Horas de estudio 14 16 22 10 18 16 18 22 10 8
Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05
Horas de Estudio
XCalificación
Y XY X2 Y2 X1-X (X1-X )2 Y1-Y (Y1-Y )2
14 12 168 196 144 -2,4 5,8 -0,6 0,416 13 208 256 169 -0,4 0,2 0,4 0,222 15 330 484 225 5,6 31,4 2,4 5,820 15 300 400 225 3,6 13,0 2,4 5,818 17 306 324 289 1,6 2,6 4,4 19,416 11 176 256 121 -0,4 0,2 -1,6 2,618 14 252 324 196 1,6 2,6 1,4 2,022 16 352 484 256 5,6 31,4 3,4 11,610 8 80 100 64 -6,4 41,0 -4,6 21,28 5 40 64 25 -8,4 70,6 -7,6 57,8
164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4
Determinar la recta de regresión de la calificación sobre el número de horas de estudios invertidos. Interprete la ecuación de regresión.
X=∑ Yn
=12,6
250
Y=∑ Xn
=16,4
Sxy=∑ xy
n−Y X
Sxy=221210
−(12,6 ) (16,4 )
Sxy=14,56
Sx=√∑ (X1−X) ²
n
Sx=√ 198,410
Sx=19,84
Sy=√∑ (Y 1−Y )2
n
Sy=√ 126,410
Sy=12,64
S x2=∑ x2
n−X 2
Sx ²=288810
−(16,4)2
Sx ²=19,84
251
b=SXYSx ²
b=14,5619,84
b=0,734
a=Y−b X
a=12,6−(0,734 ) (16,4 )
a=0,565
Ecuación lineal de las dos variables.
y=a+bx
y=1.55+0.67 x
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=10¿¿
r= 1456
√(1984 )(1264)
r= 14561583.60
=¿ 0.92
252
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
10
20
30
40
50
60
70
80
Series2
Pasos de una prueba de hipótesis
1er.-Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2do.-Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3ro.-Asumir el nivel se significación de la prueba
99% ± 2.58
4to.-Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
n<30
253
5to.-Elaborar el esquema de la prueba
-2.58 +2.58
6to.-Calcular el estadístico de la prueba
z= Pm−poQp
z=0.073−0
0 z=0.013
Q=√ SX 2+SY 2
n
Q=√ 19.84+12.6410
Q=1.40
QP=√ PQn
QP=√ 0(1.40)10
QP=0
Pm= pn
254
Pm=0.7310
Pm=0.073
7.-Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una
importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y (ventas
en miles de dólares) ha dado los siguientes resultados:
x=10 , y=10 , ∑ x2=7000 ,∑ y2=42000 , ∑ xy=8000
Determine la ecuación de regresión:
Y=a+bX
sxy=∑ xy
n−x y
sxy=800060
−10∗20=−66.67
s x2=∑ x2
n−¿
s x2=700060
−¿
b= sxy
s x2=−66.67
16.67=−4
a= y−bx
a=20−(−4 ) (10 )=60
Ecuación
y=a+bx
y=60−4 x
255
Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la variación total es
explicada por la regresión?
y=∑ y
n
∑ y= y n
∑ y=20∗60=1200
x=∑ x
n
∑ x=xn
∑ x=10∗60=600
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=60 (8000 )−(600)(1200)
√¿¿¿
r= −240000254358.44
=−0,94
8.-Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados en el
nivel de producción. En la tabla que sigue se da la información recabada sobre
gastos generales y las unidades producidas en 10 plantas y se desea estimar una
ecuación de regresión para estimar gastos generales futuros.
Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200
Unidades producidas 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10
Gastos X2 Y2 X Y (xi-x)2 (yi-y)2
256
Generalesx
Unidades producidas
Y300 15 90000 225 4500 160000,00 412,09
1000 45100000
0 2025 45000 90000,00 94,09
1100 55121000
0 3025 60500 160000,00 388,09
1200 75144000
0 5625 90000 250000,00 1576,09600 30 360000 900 18000 10000,00 28,09800 40 640000 1600 32000 10000,00 22,09900 45 810000 2025 40500 40000,00 94,09500 20 250000 400 10000 40000,00 234,09400 18 160000 324 7200 90000,00 299,29200 10 40000 100 2000 250000.00 640.09
7000 353600000
0 16249 3097001100000,0
0 3788,10
Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de
regresión.
X=∑ X i
N
X=7 00010
X=700
Y=∑Y i
N
Y=35310
Y=35,3
SXY=∑ XY
n– X∗Y
257
SXY=309 700
10−(700)(35,3)
SXY=30 970−24 710
SXY=6260
SX=√∑ (X i−X )2
N
SX=√ 1100 00010
SX=331,66
SX 2=109 998,36
b=SXY
SX 2
b= 6 260109 998,36
b=0,06
a=Y−b X
a=35,3−0,06(700)
a=−6,7
Y=a+bx
Y=−6,7+0,06 x
258
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
10
20
30
40
50
60
70
80
Series2
Pasos de una prueba de hipótesis
1er.-Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2do.-Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3ro.-Asumir el nivel se significación de la prueba
99% ± 2.58
4to.-Determinar la distribución muestral que se usara en la prueba
259
n<30
5to.-Elaborar el esquema de la prueba
260
-2.58 +2.58
6to.-Calcular el estadístico de la prueba
z= Pm−poQp
z=0.073−0
0 z=0.013
Q=√ SX 2+SY 2
n
Q=√ 19.84+12.6410
Q=1.40
QP=√ PQn
QP=√ 0(1.40)10
QP=0
Pm= pn
Pm=0.7310
Pm=0.073
261
5. Abstrac
Inferential statistics is the process of using information from a sample to describe
the status of a population. However, it is often use information from a sample to
prove a claim or conjecture on the population. The claim or conjecture refers to a
hypothesis. The process that confirms whether the information from a sample
stands or refutes the claim is called hypothesis testing.
The terms of hypothesis testing and test a hypothesis s used interchangeably.
Hypothesis testing begins as a statement or assumption about a population
parameter, as the population mean.
A hypothesis test is to hire two statistical hypotheses. This contrast involves
making decisions about the hypothesis. The decision is to reject or not a
hypothesis in favor of another.
6. CONCLUSIONES
La prueba de hipótesis permite determinar el error muestral que existen entre
dos variables, es decir si los cambios de la una influyen en los cambios de la
otra.
La hipótesis nula afirma lo contrario de lo que se quiere probar, es decir en una
empresa o determinada organización.
7. RECOMENDACIONES
Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio
exterior conozcamos todo lo relacionado con la prueba de hipótesis para
que exista una correcta aplicación en los ejercicios propuestos.
La utilización correcta de las formulas de la prueba de hipótesis y por ende
son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional ya que permite
una mejor movimiento y reciprocidad.
262
Practicar con bastantes ejercicios para poder aclaran las dudas que se nos
presenten y no tener dificultad en resolver ejercicio propuestos.
8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividad
Días junio
ResponsableMar, 26 Mié, 27 Jue, 28 Vie,29 Sáb,30 Dom,31 Lun,1 Mar,2 Mié,3 Jue,4
Copias Diana Coral
Iniciar con los ejercicios
Diana Coral
Terminar los ejercicios
Diana Coral
BibliografíaLincoln L. (2008). INTRODUCCION A LA ESTADISTICA ED. CECSA. Argentina: .
Pick, Susan y López, Ana Luisa. (2009). RESOLUCION TOTAL DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. México: Ed. Trillas S.A.
Tamayo y Tamayo, Mario. (2010). EL PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA. México: Ed. Limusa S.A.
Tenorio Bahena, Jorge. (2006). NVESTIGACIÓN DOCUMENTA. MÉXICO: Ed. Mac Graw - Hill.
9. ANEXOS
263
Ejercicios al Comercio Exterior
La empresa de transporte TRASCOMERINTER S.A estudia la relación entre las variables, gastos (x) e ingresos (y) anules la empresa de trasporte. Revelo los expresado en mil dólares siguientes datos en dólares:
GastoPu x
IngresosY XY X2 (xi−x ) ¿ Y2
( yi− y) ¿15 30 450 225 -7 49 900 -31,56 996,03
20 35 700 400 -2 4 1225 -26,56 705,43
25 40 1000 625 3 9 1600 -21,56 464,83
15 55 825 825 -7 49 3025 -6,56 43,03
10 75 750 750 -12 144 5625 13,44 180,63
24 63 1512 1512 2 4 3969 1,44 2,07
30 93 2790 900 8 64 8649 31,44 988,47
34 75 2550 1156 12 144 5625 13,44 180,63
25 88 2200 625 3 9 7744 26,44 699,07198 554 12777 7018 467 32737 4260,19
Y=a+bx
x=∑ xi
n=
1989
=22 y=∑ yi
n=
5549
=61,56
a=Y−b x
a=61,56−0,05(22)
a=61,56−1,1=60,46
b=n∑ xiyi−∑ xi∑ yi
n∑ xi2−¿¿¿
b=9 (12777 )−(198 )(554)
9(7018)−¿¿
b=114993−10969263162−39204
264
b= 5301102366
=0,05
Y=a+bx
Y=60,46+0,05 x
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√¿¿¿
r=9 ()−(500)(5350)
√¿¿¿
r= 370600
√(34400)(4091600)
r= 370600375168,02
=0.99
Ejercicio 2
Los agentes de aduana de la Senae con frecuencia estiman los gastos generales
que se presentan en la importación. En la tabla que sigue se da la información
recabada sobre gastos generales y las importaciones del Ecuador que existen de
vehículos traídos desde Colombia en 10 plantas y se desea estimar una ecuación
de regresión para estimar gastos generales futuros.
Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200Importaciones de vehículos 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10
Gastos Generales
xUnidades
producidas
X2 Y2 X Y (xi-x)2 (yi-y)2
265
Y300 15 90000 225 4500 160000,00 412,09
1000 45100000
0 2025 45000 90000,00 94,09
1100 55121000
0 3025 60500 160000,00 388,09
1200 75144000
0 5625 90000 250000,00 1576,09600 30 360000 900 18000 10000,00 28,09800 40 640000 1600 32000 10000,00 22,09900 45 810000 2025 40500 40000,00 94,09500 20 250000 400 10000 40000,00 234,09400 18 160000 324 7200 90000,00 299,29200 10 40000 100 2000 250000.00 640.09
7000 353600000
0 16249 3097001100000,0
0 3788,10
Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de
regresión.
X=∑ X i
N
X=7 00010
X=700
Y=∑Y i
N
Y=35310
Y=35,3
SXY=∑ XY
n– X∗Y
SXY=309 700
10−(700)(35,3)
266
SXY=30 970−24 710
SXY=6260
SX=√∑ (X i−X )2
N
SX=√ 1100 00010
SX=331,66
SX 2=109 998,36
b=SXY
SX 2
b= 6 260109 998,36
b=0,06
a=Y−b X
a=35,3−0,06(700)
a=−6,7
Y=a+bx
Y=−6,7+0,06 x
Diagrama de dispersión en el plano cartesiano
267
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
10
20
30
40
50
60
70
80
Series2
Pasos de una prueba de hipótesis
1er.-Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Ho = β=0
La hipótesis alternativa
Ha= β<0; β>0
2do.-Determinar si la prueba es unilateral o bilateral
Bilateral
3ro.-Asumir el nivel se significación de la prueba
99% ± 2.58
4to.-Determinar la distribución muestra que se usara en la prueba
n<30
5to.-Elaborar el esquema de la prueba
268
-2.58 +2.58
6to.-Calcular el estadístico de la prueba
z= Pm−poQp
z=0.073−0
0 z=0.013
Q=√ SX 2+SY 2
n
Q=√ 19.84+12.6410
Q=1.40
QP=√ PQn
QP=√ 0(1.40)10
QP=0
Pm= pn
Pm=0.7310
Pm=0.073
7) podemos decir que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa ya que se encuentra en la zona de aceptación.
Pruebas:
269
270
271
272
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES CAPITULO III
TiempoActividades
MAYO JUNIO JULIO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
PRIMERA CLASE
Mínimos Cuadrados(21-Mayo-2012)
X
Refuerzo Mínimos Cuadrados
SEGUNDA CLASE
Prueba Hipótesis(29-mayo- 2012
X
Refuerzo Prueba de Hipótesis
TERCERA CLASE
T de Student(12-junio-2012)
X
Refuerzo T de Student
273
CUARTA CLASE
Chi cuadrado(03-Julio-2012)
x
274
275
