Embed Size (px)
Citation preview
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ
Přírodovědecká fakulta
Katedra matematiky
Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce
Brno 2006 Kateřina Rábová
Prohlášení
Prohlašuji, že tato bakalářská práce je mým původním autorským dílem, které jsem
vypracovala samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování
používala nebo z nich čerpala, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný
zdroj.
Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma
2
Obsah
Prohlášení ...................................................................................................................................2
Obsah..........................................................................................................................................3
Posloupnosti ...............................................................................................................................4
Pojem posloupnosti................................................................................................................4
Rekurentní určení posloupnosti .............................................................................................8
Některé vlastnosti posloupností ...........................................................................................10
Aritmetické a geometrické posloupnosti...................................................................................14
Aritmetické posloupnosti .....................................................................................................14
Užití aritmetických posloupností .........................................................................................19
Geometrické posloupnosti ...................................................................................................21
Užití geometrických posloupností .......................................................................................26
Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností .....................................................28
Limity posloupnosti ..................................................................................................................30
Výsledky a návody k řešení úloh...............................................................................................37
Seznam zkratek a značek...........................................................................................................43
3
Posloupnosti
Pojem posloupnosti
4
Funkce, jejíž definiční obor je množina N všech přirozených čísel nebo její podmnožina
typu {1, 2, …, k}, kde k∈N, se nazývá posloupnost.
Posloupnost ( ) , jejíž definiční obor je množina N se nazývá nekonečná posloupnost. ∞=1nna
Posloupnost , jejíž definiční obor je množina {1, 2, …, k} se nazývá konečná
posloupnost.
( )knna 1=
Příklad 1
V soustavě souřadnic v rovině na obrázku (Obr. 1) je zobrazeno prvních sedm členů jisté
nekonečné posloupnosti . Vypište je: ( )∞=1nna
-2
-1
0
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7
1
Obr. 1
Řešení
372121 654301 21 ===−===−= , a , aa ., a, a, a, a
∞=13 nn
( ) 3131 =⋅=f 31 a
Příklad 2
Vypočtěte prvních šest členů posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen ( ) .
Řešení
První člen posloupnosti je hodnota funkce f v bodě n = 1, po dosazení do vzorce dostaneme
. První člen posloupnosti je tedy = .
Dále:
65432
n n n n n
=====
18636155351243493336232
6
5
4
3
2
=⋅===⋅===⋅===⋅===⋅==
a)f(a)f(a)f(a)f(a)f(
Prvních šest členů posloupnosti jsou tedy čísla 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Příklad 3
Určete vzorcem n-tý člen posloupnosti posloupnost zadanou několika prvními členy: 3, –3, 3,
–3, 3, –3, …
Řešení
Vidíme, že 3a3 264212531 −==…=====…=== + nn aaa a aaaa , tj. liché a sudé členy
posloupnosti se liší pouze ve znaménku. Vidíme, že základem bude číslo 3 a bude násobeno
mocninou čísla –1. Protože u sudých členů je lichá mocnina čísla –1 musí být mocnitel tvaru
n + 1. Tvar n-tého členu posloupnosti je ( ) 31 1 ⋅−= +nna .
5
Příklad 4
Znázorněte prvních 5 členů posloupnosti ∞
=
⎟⎠⎞
⎝ 12 n
n⎜⎛ .
Řešení
25,2,
23,1,
21
54321 ===== a a a aa . Znázornění těchto členů je na obrázku (Obr. 2).
Grafem posloupnosti je množina navzájem izolovaných bodů A1, A2, …, An, …,
přičemž An má souřadnice [n,an], kde n
( )∞=1nna
∈N, an∈R.
( )knna 1=Grafem konečné posloupnosti je konečná množina navzájem izolovaných bodů
A1, A2, …, An, …, Ak přičemž An má souřadnice [n,an], kde n∈N, an∈R.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
Obr. 2
Cvičení
1. Překreslete si do sešitu následující tabulky a doplňte je:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
n! 1 2 6
n 1 2 3 4 5 6 7
2sin πn 0 –1
2. Napište prvních pět členů těchto posloupností:
a) ∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
n =1n
b) ∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2)1(nn
=1n
c) ∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2cos nπ
=1n
d) ( ) 512 =n
n
3. Vypište prvních šest členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen:
a) ∞
=⎠⎝ 1n⎟⎟⎞⎛ n
n⎜⎜2 b) ( ) ∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
12
n
n c) ( )( )∞
=− 12 nn
d) e) ( )( )∞−+ 22 nn
=1n =1n( )( )( )∞⋅−+ 11 nn n
4. Vypište prvních šest členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen:
a) ∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4cos nπ
=1n
b) ∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3sin3 nπ
=1n
5. Napište prvních deset členů posloupnosti h, která je dána takto, h(n) = 0, je-li n
mocninou čísla 2, a h(n) = 1, není-li n mocninou čísla 2. Máme na mysli mocninu
s přirozeným exponentem.
6
7
6. Najděte vyjádření n-tého členu konečné posloupnosti:
a) 21 ,
32 ,
43 ,
54 ,
65 b)
31 ,
92 ,
273 ,
814 ,
2435 ,
7296
c) 42
− , 51
− , 0, 71 ,
82 ,
93 d) tg 20°, tg 40°, tg 60°, tg 80°
e) 2log21 , 5log
41 , 8log
61 , 11log
81 , 14log
101
7. Určete vzorcem pro n-tý člen tyto konečné posloupnosti:
a) 3, 3, 3, 3, 3, 3 b) –3, –3, –3, –3, –3, –3, –3
c) 3, –3, 3, –3, 3 d) –3, 3, –3, 3, –3, 3, –3, 3
8. Posloupnost ( )∞=1nna je definována takto: Je-li číslo n prvočíslo, je 1=na , není-li
číslo n prvočíslo, je 0=na . Určete členy a1, a7, a11, a15, a19, a21, a89, a99, a101, a2001.
9. Zjistěte, která z čísel –12, 65, –242 jsou členy posloupnosti ( )∞=+ . − 185 nn
10. V nekonečné posloupnosti ( )∞=1nna je pro každé sudé číslo n an = 4, pro každé liché
číslo n platí an = 1. Zapište tuto posloupnost vzorcem pro n-tý člen.
11. Najděte zákon vytvoření posloupnosti a vyjádřete její n-tý člen:
a) 1, –3, 9, –27, 81 b) 1, 3, 5, 7, 9, 11 c) 0, 3, 8, 15, 24
12. Znázorněte graficky prvních pět členů posloupnosti:
a) b) ( )( )∞
=− 11 nn ( )( ∞
=− 12 nnn ) c) ( )( )∞
=+− −+ 1
112 nnn
13. Je dána posloupnost )∞=− 110 . Kolik bodů grafu této posloupnosti leží: (68 nn
a) nad osou x;
b) vlevo od osy y.
Rekurentní určení posloupnosti
8
11 =a 121 +⋅
Nechť je posloupnost ( ) zadána vzorcem pro n-tý člen: ∞=1nna ...2211 +⋅+⋅= −− nnn acaca
, kde { }nc+... nc cc ,...,, 21n a +⋅− 11 nc 0=icR a kde pro některé i ,...,1∈∈ může platit, že .
Pak řekneme, že posloupnost je zadána rekurentně (z latinského recurrere, což znamená
vraceti se zpět).
Příklad 1
Nechť , =+ nn aa
1271632126313121231115212
1517212713212311212
67
56
45
34
23
12
=+⋅=+⋅==+⋅=+⋅==+⋅=+⋅=
=+⋅=+⋅==+⋅=+⋅==+⋅=+⋅=
. Určete prvních sedm členů této posloupnosti.
Řešení
Do rekurentního vzorce budeme postupně dosazovat vypočítané hodnoty, dokud nezískáme
prvních sedm členů.
11 =
aaaaaaaaaaaa
a
Prvních sedm členů zadané posloupnosti jsou čísla 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127.
Poznámka:
Posloupnost zadaná rekurentně, může být také zadána jinými vzorci pro vyjádření n-tého
členu posloupnosti v závislosti na předchozích členech než rekurentním vzorcem uvedeným
v předchozí definici. Lze použít například vzorce:
n
a
na +
n ac
=+1 , kde c∈R
21 nac ⋅= , kde c∈R
Cvičení
1. Najděte prvních sedm členů posloupnosti ( )∞=1nna , v níž je:
a) 12,10 11 −== + nn aaa b) n2n21 bb1,b0,b === +
c) d) 1-nn1n2 1 ccc2,c3,c −=== + n1n2n21 ddd10,d0,1,d ⋅=== ++
2. Vypište prvních sedm členů posloupnosti ( )∞=1nna , která je dána rekurentně:
a) 1,2 11 +== + nn aaa b) nn aaa ⋅−=−= + 2,2 11
c) n
n aaa 1,
21
11 == + d) 211 ,
21
nn aaa =−= +
3. Určete dané posloupnosti rekurentně:
a) b) ( ∞=+ 1)1( nnn )
∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ 11 nnn c) ( )∞
=110log nn
4. Určete první a sedmý člen posloupnosti, pro kterou platí:
a) b) 20
5
4
1
=−=+
aaa nn
243
12
1010 ==
⋅= ++
,aa
aaa nnn
5. Určete první člen posloupnosti ( )∞=1nna , pro kterou platí 5,24 =a , 465 ,a = a pro všechna
n∈N je 1
2 2+
+ ⋅=n
nn a
aa .
6. Najděte zákon vytvoření posloupnosti a vyjádřete rekurentním vzorcem:
a) 1, 3, 6, 10, 15, 21 b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
9
Některé vlastnosti posloupností
10
Příklad 1
Dokažte, že posloupnost ( )∞
=
∞= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
131 3
1
nnn n
b je klesající.
Řešení
Vypíšeme si několik prvních členů posloupnosti ( )∞=1nnb :
3751,
1921,
811,
241,
31
54321 ===== bbbbb { }4,3,2,1∈n
1+> nn bb
( )∞=1nnb
a vidíme, že pro každé platí
.
Zdá se, že posloupnost je klesající. K tomu je však nutné ověřit, že pro všechna n∈N
platí:
1+> nn bb
neboli:
( )33 1n31
31
+>
n
Úpravami nerovnosti dostaneme postupně:
( )
111
131
31
233
233
+++>
+++
nnnn
nnnn
1233 +++< nnnn
>
Tato nerovnost je pravdivá pro každé n∈N. Tímto jsme dokázali, že posloupnost ( )∞=1nnb je
klesající.
Posloupnost se nazývá rostoucí, právě když pro všechna r, s( )∞=1nna ∈N platí:
Je-li r < s, pak ar < as.
Posloupnost se nazývá klesající, právě když pro všechna r, s( )∞=1nna ∈N platí:
Je-li r < s, pak ar > as.
11
Posloupnost ( ) se nazývá neklesající, právě když pro všechna r, s∈N platí: ∞=1nna
Je-li r < s, pak ar as. ≤
Posloupnost ( ) se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna r, s∈N platí: ∞=1nna
Je-li r < s, pak ar as. ≥
Příklad 2
Rozhodněte, zda posloupnost ( ) =∞=1nnb
∞
=
⎟⎠⎞
231
nn⎜⎝⎛
+ 1
je nerostoucí nebo neklesající.
Řešení
Opět si vypíšeme prvních několik členů posloupnosti: ,b,b,b,111
91
71
51
4321 ====b
131
5 =b ({ }4,3,2, 1+≥ nn bb a vidíme, pro každé 1∈n platí . Zdá se, že posloupnost )∞=1nnb je
nerostoucí. K tomu je však nutné ověřit, že pro všechna n∈N platí:
1+≥ nn bb
neboli:
( )123 ++≥
+ nn 2311
Úpravami nerovnosti postupně dostaneme:
2231
231
++≥
+ nn
nn 2325
+ ≥ +
02 >
(Tato nerovnost je pravdivá pro každé n∈N. Tím jsme ukázali, že posloupnost )∞=1nnb je
nerostoucí. Dokonce vidíme, že posloupnost je klesající.
Posloupnosti , které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní
posloupnosti.
( )∞=1nna
Příklad 3
Rozhodněte, zda je posloupnost monotónní. ( )∞=13 1log nn
Řešení
Vypíšeme si několik prvních členů posloupnosti: 0, 0, 0, 0, 0. Víme, že logaritmus 1 o
jakémkoli základu je vždy 0. Vidíme, že tato posloupnost má všechny členy stejné. Daná
posloupnost tedy není ani rostoucí ani klesající, ale je monotónní.
12
Posloupnost se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo h( )∞=1nna ∈R, že
pro všechna n∈N je an h. ≤
Posloupnost se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo d( )∞=1nna ∈R, že
pro všechna n∈N je an d. ≥
Posloupnost ( ) se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola. ∞=1nna
Příklad 4
Dokažte, že posloupnost ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
12
2 1
nnn je omezená.
Řešení
,...3635,
2524,Vypíšeme si několik členů posloupnosti:
1615,
98,
21,0 . Vidíme, že nejmenší člen je 0
a největší člen se přibližuje 1. Posloupnost ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
12
2 1
nnn je omezená shora číslem 1 a zdola
číslem 0.
Nyní toto tvrzení musíme dokázat pro n∈N:
2
2
2
2
11
110
10
n
n
nn
≥
−≤
−≤
011
11
22
2
2
<−≤−
≤−
nnn
n
První nerovnost bude vždy platit, protože zlomek 21n
nikdy nepřevýší číslo 1 pro n > 1.
Rovnost nastane pouze pro n = 1. Druhá nerovnost platí vždy pro každé n∈N.
Posloupnost je tedy omezená shora číslem 1 a zdola číslem 0. Dohromady je tedy posloupnost
omezená.
Cvičení
1. Zjistěte, zda posloupnost ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ 112
nnn je rostoucí nebo klesající.
2. Rozhodněte, zda následující posloupnosti jsou rostoucí nebo klesající:
a) ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
13
1
nn b) ( ) c) ∞
=17log nn ( )∞
=14,0logn
n
d) ( e) )∞=1cos nnπ
∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 1)1(
1
nnn
3. Rozhodněte, zda posloupnost ( )∞
=⋅ 121, je nerostoucí nebo neklesající. 0 nn
4. Zjistěte, které z následujících posloupností jsou monotónní:
a) ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
121
nnn b) ( c) )∞
=−− 12 12 nnn ( )∞
=13 1log nn d) ( )( )∞=14
1cos nnπ
5. Pro která x∈R je posloupnost ( )∞=1nna ,
1+=
nnxan :
a) rostoucí ; b) klesající; c) monotónní.
6. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou shora omezené; zdola omezené;
omezené:
a) ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
13
2 52
nnn b) c) ( )[ ]( ∞
=⋅−+ 111 nnn n) ( )( )∞
=− 13
nn d) ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
13 nntg π
7. Je dána posloupnost . ( )∞
=12log nn
a) Dokažte, že daná posloupnost je rostoucí;
b) rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená, omezená;
c) vyjádřete tuto posloupnost rekurentně.
13
Aritmetické a geometrické posloupnosti
Aritmetické posloupnosti
14
51 =a
2−=d
51 a = 3252
Aritmetickou posloupností rozumíme takovou číselnou posloupnost ( ) , v níž se rozdíl
mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími členy nemění (je konstantní). Tento rozdíl,
tj. a , označíme d a nazveme diference aritmetické posloupnosti.
∞=1nna
na−n+1
( )∞=1nnaJe-li posloupnost aritmetická s diferencí d, pak vzorec pro n-tý člen posloupnosti má
tvar:
( ) dnaan ⋅−+= 11 .
Příklad 1
Zapište prvních pět členů aritmetické posloupnosti, jejíž první člen a diference
. Znázorněte je v soustavě souřadnic.
Řešení
První člen je ze zadání . Druhý člen je − ==a , třetí člen , čtvrtý
člen a a pátý člen
1233 =−=a
1214 −=−= 3215 − − = −=a .
Tyto členy pak znázorníme v soustavě souřadnic (viz Obr. 3):
-3
-1
1
3
5
0 1 2 3 4 5
Obr. 3
V aritmetické posloupnosti s diferencí d platí pro každé n( )∞=1nna ∈N rekurentní vzorec:
daa nn +=+1 .
Příklad 2
V aritmetické posloupnosti jsou dány její členy( )∞=1nna 84 71 −== , a a . Určete diferenci
této posloupnosti a člen a12.
Řešení
Uvedené členy dosadíme do vzorce pro n-tý člen, a vyřešením dostaneme diferenci posloup-
nosti:
( )
2612
6481717 = + − ⋅
=−+=−
15
−=dd
ddaa
Zjistili jsme tedy, že diference 2−=d . Nyní určíme člen a12:
18224)2(114)2)(112(412 −=−=−+=−−+=a ;
tedy člen . 1812 −=a
V aritmetické posloupnosti ( ) s diferencí d platí pro všechna r, s∈N vzorec: ∞=1nna
( ) drsaa rs ⋅−+= .
Příklad 3
V aritmetické posloupnosti jsou dány její členy ( )∞=1nna 15,5 83 = =aa
15
. Určete diferenci d a
členy a1 a a17.
Řešení Nejdříve podle vzorce spočteme diferenci d. Platí tedy:
255
)58(38
=+=
= + −
d
da
1225
2
1
1
31
13
=⋅−=
−=
da
2
Tedy diference d = 2. Dále spočítáme člen a1 podle vzorce:
+=
aa
daadaa
Tedy první člen posloupnosti a1 = 1.
Nakonec spočítáme člen a17 podle stejného vzorce:
332161
)117(
17
17
117
=⋅+=
⋅−+=
aa
daa
Sedmnáctý člen posloupnosti je tedy 3317 =a .
16
( )∞=1nnaSoučtem sn prvních n členů aritmetické posloupnosti rozumíme součet prvních
n členů posloupnosti, tj. naaa +++ ...21 .
( )nn aans +⋅= 12Součet sn vypočítáme vzorcem: .
Důkaz vzorce:
Nejdříve si zapíšeme součet prvních n členů vzestupně a poté sestupně:
11
−≤= 00
11
121
≤+++++≤≤+++++
−−
+
ka...a...aka...a...a
knnn
nk=nasnas
n
n −
Tyto dvě rovnice nyní sečteme:
( ) ( ) ( ) ( )12 aaas nn +1121 ...aa...aaa knknn ++++++++ −+− =
kdaaaaa
nkn
k
−=
Platí:
( )( )dnknkd
n =−−++=
−
+1 1
Je tedy:
( ) ( ) nnknk aakdakdaaa = + + − =+ −+ 111 +
Odtud plyne, že každý z n sčítanců je roven a1+ an. Můžeme proto psát:
( )
( )nn
nn
aans
aans
+⋅=
= ⋅
1
1
2
2 +
Příklad 4
Určete součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti, ve které je . 424 73 ,, aa =−=
Řešení
Nejdříve musíme zjistit diferenci, a potom první a desátý člen posloupnosti:
6,144,6
444,2)37(37
==
+−=⋅−+=
dd
ddaa
2,7
6,124)13(
1
1
13
−=⋅+=−
⋅−+=
aa
daa
2,76,192,7)110(
10
10
110
=⋅+−=
⋅−+=
aa
daa
Nyní dosadíme do vzorce a zjistíme součet prvních deseti členů posloupnosti:
( )
005
2,72,72
10
10
10
10
=⋅=
+−⋅=
ss
s
Součet prvních deseti členů je tedy 0.
Cvičení
1. Vypište prvních šest členů aritmetické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) b) 2,21 == da 3,11 =−= da
c) 5,1,5,01 −=−= da d) 0,21 == da
2. Vypište prvních pět členů aritmetické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) b) 3,83 −== da 16,12 98 −=−= aa
c) d)58,4 101 == aa 3,17 116 −== aa
3. Určete první člen a1 a diferenci d aritmetické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) b) 1839
410
61
=−=+
aaaa
6,14
512
94
−=+=+
aaaa
c) 00
53
31
=+=+
aaaa
d) 6017
32
32
=⋅=+
aaaa
4. Určete součet prvních k členů aritmetické posloupnosti ( )∞=+ . − 14 nn
5. V aritmetické posloupnosti je 4,851 =−= da . Určete index prvního členu této
posloupnosti, který je kladným číslem.
17
6. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku jsou tři po sobě následující členy aritmetické
posloupnosti, délka delší odvěsny je 4,8 dm. Vypočítejte délky zbývajících stran.
7. V tabulce jsou některé údaje o aritmetických posloupnostech. Překreslete si tabulku a
doplňte ji:
a1 d n an sn
2 18 330
0 11 5
3 –0,5 0
14 140 1 050
8. Obvod trojúhelníku je 24, velikosti stran jsou celá čísla a tvoří tři za sebou jdoucí členy
aritmetické posloupnosti. Určete velikosti stran tohoto trojúhelníka.
9. V aritmetické posloupnosti je 4,0a8,41 == da . Kolik za sebou jdoucích členů, počínaje
prvním, je třeba sečíst, aby součet byl větší než 170?
10. Mezi čísla 4 a 37 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o
součtu 246. Určete počet vložených čísel a diferenci takto vytvořené aritmetické
posloupnosti.
11. Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí:
271
325
641
=−−=++
aaaaaa
Kolik členů posloupnosti dává součet 182?
12. Osm čísel tvoří aritmetickou posloupnost. Určete ji, víte-li, že součet prostředních členů
415 a součin krajních 11484 =+ aa 1 =⋅ aa .
13. Určete aritmetickou posloupnost, ve které 0105 51 =+ aa a 144 =s .
18
Užití aritmetických posloupností
Příklad 1
Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je třeba ji pokrýt taškami. Víme, že do řady
u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu 102 tašek. Přitom tašky budou
srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí.
Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy?
Řešení
Počty tašek v řadách směrem od hřebenu k okapu přibývají vždy o jednu. To znamená,
že počty tašek v jednotlivých řadách tvoří členy aritmetické posloupnosti, jejíž diference
d = 1.
Naším úkolem je určit počet tašek, které stačí k pokrytí části střechy. K tomuto budeme moci
využít vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti.
Víme, že , neznáme však ještě n (které označuje počet řad). 102,851 == naa
K výpočtu neznámého n využijeme vzorec pro výpočet n-tého členu posloupnosti:
181)1(85102
=⋅−+=
nn
Nyní můžeme vypočítat s18:
6831
)10285(2
18
18
18
=
+⋅=
s
s
Na pokrytí příslušné střechy je tedy potřeba 1 683 kusů tašek.
Cvičení
1. Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer
dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou-li v nejhořejší vrstvě 2 roury? Kolik
rour je v nejspodnější vrstvě?
2. Buduje se hlediště letního kina přibližně pro 1 200 diváků. Do první řady je plánováno
40 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude
mít hlediště?
19
3. Vypočtěte vnitřní úhly šestiúhelníku, tvoří-li úhly aritmetickou posloupnost a nejmenší je
70°. Součet všech úhlů v šestiúhelníku je 720°.
4. Dělník vyrobí za směnu 26 součástek. Kdyby zvyšoval svůj výkon denně o jednu
součástku, kolik součástek by vyrobil za 18 dní?
5. Dělník obsluhuje 16 automatických stavů, z nichž každý vyrobí za hodinu k metrů látky.
První stav uvede v chod v 8:00 hod. a každý následující zapojí vždy za 5 minut. Kolik
metrů látky je vyrobeno, když zapíná poslední stav?
6. Jaká je teplota v našich dolech 1 015 m pod povrchem, víme-li, že teplota Země přibývá
o 1 °C na 33 m hloubky a je-li v hloubce 25 m stálá teplota + 9 °C?
7. Jak dlouho by padala koule do hloubky 1 961,6 m, bylo-li zjištěno, že v první vteřině
prolétne dráhu s = 4,904 m a v každé další vteřině o 9,808 m více než v předchozí?
20
Geometrické posloupnosti
21
81 =a
5,0−=q
Geometrickou posloupností rozumíme takovou číselnou posloupnost ( ) , v níž se
podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů nemění (je konstantní). Tento podíl, tj.
∞=1nna
Příklad 1 Zapište prvních pět členů geometrické posloupnosti, jejíž první člen a kvocient
. Znázorněte je v soustavě souřadnic v rovině.
Řešení
První člen posloupnosti a1 je ze zadání 81 =a .
Další členy posloupnosti dopočítáme pomocí vzorce:
( )( ) ( )( )( ) ( ) 5,015,0
125,0245,0
485,0
5
4
3
2
=−⋅−=−=⋅−=
=−⋅−=−=⋅−=
aaaa
Nyní vypočítané členy zobrazíme v soustavě souřadnic v rovině (viz Obr. 4).
-4-3-2-1012345678
0 1 2 3 4 5
Obr. 4
n
na 1+ , označíme q a nazveme kvocient geometrické posloupnosti. a
n
n
aa 1+( )∞
=1nnaObecný n-tý člen geometrické posloupnosti o kvocientu q = je dán vzorcem:
11
−⋅= nn qaa .
22
( )∞=1nnb 21
V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí pro každé n∈N rekurentní
vzorec:
( )∞=1nna
nn aqa ⋅=+1 .
Příklad 2
V geometrické posloupnosti jsou dány její členy =b 4866 −, =b . Určete kvocient
této posloupnosti a členy b2, b3, b4 a b5.
Řešení
Kvocient q vypočítáme pomocí vzorce:
3243
2435
5
´2486 5
−=−=
=−
⋅=−
)3()54(54)3(1818)3()6(
6)3(2
5
4
3
2
=−⋅−=−=−⋅==−⋅−=
1616 ⋅= −qbb
Nyní víme, že kvocient q = –3 a můžeme spočítat členy b2, b3, b4 a b5.
bbbb
( )∞=1nnb
= ⋅ − = −
162
V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí pro všechna r, s∈N vzorec: ( )∞=1nna
rsrs qa −⋅=a .
Příklad 3
V geometrické posloupnosti jsou dány její členy 163
3 −= 126 =
3636
−⋅= qbb
b a b . Určete q a b1.
Řešení
Kvocient q vypočítáme pomocí vzorce:
Po dosazení členů ze zadání do tohoto vzorce dostáváme:
464
6416312
3
3
3
−=−=
=−
⋅−=
q
q
Tedy kvocient q = – 4. A nyní spočítáme první člen posloupnosti b1:
2563
)4(12
1
51
1616
−=
−⋅=
⋅= −
b
b
qbb
Tedy první člen posloupnosti je 2563
− .
23
Součtem sn prvních n členů geometrické posloupnosti ( )∞=1nna rozumíme součet prvních
n členů posloupnosti, tj. naaa +++ ...21 .
Součet sn lze vypočítat vzorci:
1ansn ⋅= pro q = 1; a)
Důkaz vzorců:
a) Pro každé n∈N je an = a1, a tedy:
1111 ... anaaasn ⋅=+++= .
b) Nejdříve napíšeme součet prvních n členů a následně jej vynásobíme kvocientem q:
nnn
nn
qaqa...qasq
qa...qaas
⋅+⋅++⋅=⋅
⋅++⋅+=−
−
11
11
1111
Tyto dvě rovnice odečteme a po úpravě dostáváme:
( ) 111 aqaqs nn −⋅=−⋅ .
b) 11
1 −−
⋅=q
qasn
n pro q 1. ≠
Vzhledem k tomu, že q 1, můžeme obě strany rovnice vydělit číslem (q – 1) a dostaneme
hledaný vzorec.
≠
Příklad 4
Vypočítejte součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti ( )( )∞
=−⋅ 125,0 nn .
Řešení
Nejdříve si vypočítáme první a druhý člen posloupnosti:
( ) ( )( ) 245,025,0
125,025,02
2
11
=⋅=−⋅=
−=−⋅=−⋅=
a
a
Již známe první dva členy posloupnosti a tak můžeme vypočítat kvocient q:
21
2
1
2 −=−
==aaq .
A nyní můžeme spočítat součet prvních osmi členů podle vzorce:
( ) ( )( )
853
25512121
11
8
8
8
8
18
==
−−−−
⋅−=
−−
⋅=
s
s
qqas
Tedy součet prvních osmi členů posloupnosti je 85.
Cvičení
1. Vypište prvních šest členů geometrické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) b) 2201 == q,,a 5011 ,q,a =−=
c) 1531 =−= q,,a d) 1531 −=−= q,,a
2. V geometrické posloupnosti ( )∞=1nna jsou dány její členy a1 = 2, a6 = – 486. Určete
kvocient q této posloupnosti a členy a2, a3, a4 a a5.
3. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, v níž platí:
729
654
321
=+−=+−
aaaaaa
24
4. V geometrické posloupnosti ( )∞=1nnc jsou dány její členy
163
3 −=c , 126 =c . Určete q a c1.
5. Vypište prvních pět členů geometrické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) 2163 −== q,a 512 b) 1 101 =−= a,a c) 3041944,0241 115 == aa
6. Zjistěte, která z čísel 18, 12, 6, 0, –8 jsou členy geometrické posloupnosti ( )∞=1nna , v níž je
32271 == q,a .
7. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti ( )∞=1nna , ve které platí:
a) b) 244
24
21
=−=+
aaaa
414
23
41
−=+=+
aaaa
c) 22
42
31
=+=+
aaaa
d) 20
31
32
=+=+
aaaa
8. Mezi čísla 8 a 27 vložte pět takových čísel, aby spolu s dvěma danými tvořila prvních
sedm členů geometrické posloupnosti.
9. Vypočítejte součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti ( )( )∞
=−⋅ 1250 nn, .
10. Kolik členů geometrické posloupnosti ( )∞
=−
115 n
n, musíme sečíst, aby součet byl větší
než 2?
0
11. Součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti je s4 = 80. Určete je, víte-li, že platí
24 9aa = .
12. Vyroste-li za rok z jednoho zrna průměrně 15 zrn, jaké množství zrn vyroste z jednoho
zrna za 5 let?
13. Určete počet prvních n členů geometrické posloupnosti ( )∞=1nna , znáte-li
( )393123271 +−=−=−= nn s,a,a .
25
Užití geometrických posloupností
Příklad 1
Banka poskytla podnikateli počátkem roku 2000 úvěr ve výši 1 000 000,- Kč, a to na dobu tří
let s roční úrokovou mírou 14 % (úrokovací období je 1 rok). Podnikatel splatí půjčku ve
třech stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude
činit jedna splátka? (Jedná se o složené úrokování).
Řešení
Neznámou je výše jedné splátky, označme ji k Kč.
Dluh podnikatele na konci roku 2000 (banka si připsala úroky):
( )[ ] Kč1401106 ,+⋅ .
Dluh na počátku roku 2001 (po první splátce):
( )[ ] Kč1401106 k, −+⋅ .
Dluh na počátku roku 2002 (po připsání úroků z dluhu za rok 2001 a po druhé splátce):
( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] Kč14,0114,0110Kč14,0114,0110 266 kkkk −−−+⋅=−+⋅−+⋅ .
Dluh na počátku roku 2003 (po třetí splátce):
( ) ( )( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] Kč14011401140110
Kč14011401140110236
26
k,k,k,
k,k,k,
−−−−−+⋅=
=−+−−−+⋅
Úvěr na počátku roku 2003 bude splacen a je tedy:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0114011401140110
014011401140110236
236
=+−+−−+⋅
=−−−−−+⋅
,,k,
k,k,k,
S využitím vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme:
( ) ( )( ) 0
1140111401140110
336 =
−+−+
⋅−+⋅,,k, .
Odtud je:
( )( ) 114,01
14,014,01103
36
−+⋅+⋅
=k
731430≈k .
Jedna splátka činí 430 731 Kč.
26
Cvičení
1. Kupec chtěl koupit koně. S prodavačem se dohodl takto: koně dostane zadarmo, zaplatí
pouze hřebíky v jeho podkovách. Každá podkova je přibita šesti hřebíky, celkem jich
tedy je 24. Za první hřebík zaplatí 1 groš, za druhý 2 groše, za každý další zaplatí dvakrát
u, víte-li, že velikosti
it
stek 54 %.
r drátu zmenší o 10 %.
a součet hran,
tolik co za předchozí. Kolik grošů by měl kupec zaplatit?
2. Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelník
jeho úhlů tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.
3. V roce 1971 bylo v naší republice 275 počítačů. Určete, ve kterém roce byl u nás použ
první počítač, jestliže od zavedení počítačů až do roku 1971 činil roční přírů
4. Drát má průměr 5 mm. Jedním protažením se průmě
a) Jaký bude průměr drátu po deseti protaženích?
b) Po kolika protaženích bude průměr drátu menší než 3 mm?
5. Kvádr, jehož hrany tvoří geometrickou posloupnost, má povrch S = 78
které procházejí jedním vrcholem, je 13. Vypočtěte objem V kvádru.
6. Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou 151 své jasnosti. Jaká je jasnost
chceme-li mít koncem
tliže by tuto
bude mít
roku,
jestliže si v průběhu celé doby nevybíral úroky a je-li úrokovací období čtvrt roku.
paprsku po průchodu pěti stejnými deskami?
7. Kolik je nutno ukládat počátkem každého roku po dobu deseti let,
desátého roku nastřádáno 10 000,- Kč při 2 % složitém úrokování.
8. Jistý druh baktérií se rozmnožuje v příznivých podmínkách tak, že každá bakterie se za
půl hodiny rozdělí na dvě. Kolik bakterií vznikne takto za 24 hodin?
9. Kuřák prokouří ročně přibližně 2 000,- Kč. Kolik by ušetřil za 10 let, jes
částku ukládal koncem každého roku na vkladní knížku s 4 % úrokováním?
10. Vkladatel uložil na počátku roku do banky 15 000,- Kč na termínovaný vklad na 1 rok
s roční úrokovou mírou 9 %. Úrokovací období je 1 rok. Jakou celkovou částku
na termínovaném vkladu na konci roku. Úroky z vkladu jsou zdaňovány 15 %.
11. Vkladatel uložil na počátku roku na termínovaný vklad na 2 roky částku 32 000,- Kč.
Roční úroková míra je 9,5 %. Jak vysokou částku bude mít na konci druhého
27
Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností
28
Aritmetické a geometrické posloupnosti mají stejné vlastnosti jako všechny posloupnosti,
tj. mohou být rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní; zdola nebo shora
omezené, omezené.
Příklad 1
Rozhodněte, zda posloupnost ( ) , kde a1 = –2, d = 1, je rostoucí nebo klesající, omezená. ∞=1nna
Řešení
Nejdříve si načrtneme graf (Obr. 5):
-2-101234567
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Obr. 5
Posloupnost je zřejmě rostoucí: Pro každé n( )∞=1nna ∈N je an+1 = an + 1 a tedy an < an+1.
Posloupnost je omezená zdola číslem –2 , protože pro všechna přirozená čísla n je
an ≥ –2.
( )∞=1nna
Zjistíme, zda je tato posloupnost shora omezená. Ptáme se tedy, zda existuje nějaké číslo
h∈R takové, že pro všechna n∈N je an h, čili: ≤
( ) hn ≤⋅−+ 112
≤
−
Tato poslední nerovnost však platí jen pro taková přirozená čísla n, pro něž je n h + 3. Pro
každé n > h + 3 je an > h. Posloupnost ( )∞=1nna není shora omezená a není tedy omezená.
Aritmetická posloupnost s diferencí d je rostoucí pro d > 0 a klesající pro d < 0. ( )∞=1nna
Pro aritmetickou posloupnost s diferencí d platí:
a) Je-li d > 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená;
b) Je-li d < 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená;
c) Je-li d = 0, pak je shora omezená i zdola omezená.
Geometrická posloupnost s kvocientem q je: ( )∞=1nna
a) Rostoucí pro q > 1, a1 > 0 nebo 0 < q < 1, a1 < 0;
b) Klesající pro 0 < q < 1, a1 > 0 nebo q < 1, a1 < 0.
29
Geometrická posloupnost s kvocientem q je: ( )∞=1nna
a) Omezená, právě když |q| 1 nebo a1 = 0; ≤
b) Zdola omezená, ale není shora omezená, právě když a1 > 0, q > 1;
c) Shora omezená, ale není zdola omezená, právě když a1 < 0, q > 1;
d) Není omezená ani shora ani zdola, právě když a1 0, q < –1. ≠
Cvičení
1. Uveďte příklady aritmetických posloupností, které jsou rostoucí; klesající; nejsou ani
rostoucí ani klesající.
2. Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen geometrickou posloupnost ( )∞=1nna , ve které je c1 = 0,3,
q = 0,3. Rozhodněte pak, zda je tato posloupnost rostoucí či klesající; shora omezená či
zdola omezená.
3. Uveďte příklady geometrických posloupností, které jsou rostoucí; klesající; nejsou ani
rostoucí ani klesající.
Limity posloupnosti
30
Řekneme, že posloupnost ( ) je konvergentní, právě když existuje takové číslo
a∈R, že platí: Ke každému ε > 0 existuje n0
∞=1nna
∈N tak, že pro všechna přirozená čísla
n ≥ n0 je
Příklad 1
Je dána posloupnost ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ 1351
nn. Zjistěte, zda existuje takový člen an této posloupnosti, od
kterého počínaje platí 010,an < .
Řešení
Určíme všechna n∈N, pro která platí
1001
351
<+ n
.
Protože zlomek n35
1+
je kladný pro všechna n∈N, platí nn 35
135
1+
=+
a odtud
dostáváme:
631,100
135
1
>
<+
nn
Počínaje členem a32 platí pro všechny členy posloupnosti 010,an < .
<− aan ε .
Číslo a se pak nazývá limita posloupnosti ( )∞=1nna .
Skutečnost, že posloupnost má limitu rovnu číslu a, zapisujeme: ( )∞=1nna
aann=
∞→lim
a čteme „limita an pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a“ nebo stručněji „limita an je a“.
Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.
Příklad 2
Znázorněte v kartézské soustavě souřadnic několik prvních členů posloupnosti ( ) ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
1
1
n
n
n a
zjistěte ke kterému číslu posloupnost konverguje.
Řešení
Členy dané posloupnosti jsou čísla ,a,a,a,a41
31
211 4321 =−==−= ,...a,a
61
51
65 =−= .
Grafické znázornění prvních šesti členů posloupnosti je na obrázku (Obr. 6). Je zřejmé, že
obrazy všech členů dané posloupnosti lze umístit do pásu určeného rovnoběžkami s osou x,
které procházejí např. body [0, 1] a [0, –1].
A3
A1
A2
A4
A5
A6
-1-0,8-0,6-0,4-0,2
00,20,40,60,8
1
0 1 2 3 4 5 6
Obr. 6
Vidíme, že členy této posloupnosti se s rostoucím n neomezeně blíží k číslu 0, tzn. že tato
posloupnost konverguje k 0. Přitom však pro žádné n neplatí, že ( ) 01=
−n
n
.
Příklad 3
Dokažte, že posloupnost , ( )∞=1nnb
1+=
nnbn je konvergentní.
Řešení
Obrázek (Obr. 7) nás vede k hypotéze, že členy této posloupnosti se s rostoucím n neomezeně
blíží k číslu 1, čili
11
lim =+∞→ nn
n.
31
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8
Obr. 7
Naším úkolem je tedy dokázat, že ke každému ε > 0 existuje n0∈N tak, že pro všechna
přirozená čísla n ≥ n0 je |bn – 1| < ε, čili
ε<−+
11n
n .
Tuto nerovnici s neznámou n∈N. Nejprve upravíme výraz, který tvoří levou stranu této
nerovnice:
11
11
111
1 +=
+−=
+−−
=−+ nnn
nnn
n .
Dosazením do původní nerovnice můžeme nyní přejít k následující nerovnici a tu vyřešíme:
11
11
11
−>
>+
<+
ε
ε
ε
n
n
n
Řešením nerovnice jsou všechna přirozená čísla 11−>
εn , čili pro všechna tato n platí
ε<−1nb . Za n0 můžeme vzít např. celé číslo z intervalu ⎜⎝⎛ +11,1
εε.
Posloupnost , ( )∞=1nnb
1+n=
nbn je tedy konvergentní a její limitou je číslo 1:
1lim =∞→n nb .
32
33
Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé
reálné číslo K existuje takové n0
( )∞=1nna
∈N, že pro všechna přirozená čísla n n0 je an > K.
Zapisujeme:
≥
+∞=∞→ nn
alim .
Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu mínus nekonečno, právě když pro
každé reálné číslo L existuje takové n0
( )∞=1nna
∈N, že pro všechna přirozená čísla n n0 je an < L.
Zapisujeme:
≥
−∞=∞→ nn
alim .
Příklad 4
Zjistěte limitu posloupnosti ( ) . ∞=− 15053 nn,,
Řešení
Nejdříve si znázorníme prvních několik členů v soustavě souřadnic (Obr. 8):
-2-1,5
-1-0,5
00,5
11,5
22,5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Obr. 8
Vidíme, že posloupnost s rostoucím n stále klesá (diverguje k – ∞ ). To ale musíme dokázat.
Ať zvolíme jakkoli malé reálné číslo L, vždy existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je
bn < L. Číslo n0 můžeme zjistit na základě řešení nerovnice:
0,53,5-
5153Ln
Ln,,
−>
− <
Za n0 lze vzít jakékoli přirozené číslo, které je větší než 0,5
3,5-L
)∞=− 15053 nn,,
− . Tudíž řekneme, že
posloupnost ( má nevlastní limitu – ∞ a zapíšeme:
( ) −∞=−∞→
n,,n
5053lim .
34
Věty o limitách posloupností
Příklad 5
Rozhodněte, zda posloupnost ∞
=
⎟⎠⎞
⎝ 12
3
nn⎜⎛ je konvergentní, a pak vypočtěte její limitu.
Řešení
nnn1133
2 ⋅⋅= . Posloupnosti ( )∞
=
∞= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
11
13n
n n, jsou konvergentní a proto je i konvergentní
posloupnost ∞
=
⎟⎠⎞
⎝ 12
3
nn⎜⎛ . Platí:
00031lim1lim3lim3lim 2 =⋅⋅=⋅⋅=∞→∞→∞→∞→ nnn nnnn
.
Jsou-li posloupnosti , ( ) =1nn ( )∞=1n
∞a nb konvergentní a přitom , aann=
∞→lim bbnn
=∞→
lim ,
pak jsou konvergentní i posloupnosti ( ) ( ) ( )∞== ⋅1 nnn ba, ( )∞
=⋅ 11 nnac,∞∞= −+ 1 nnnnnn ba,ba ,
kde c je libovolné reálné číslo. Přitom platí:
( )( )
( )( )lim
lim
lim
lim
ac
ba
ba
ba
nn
nnnn
nnn
nnn
=⋅
=⋅
=−
.lim
;limlim
;limlim
;limlim
acac
baba
baba
baba
nn
nnn
nnnn
nnnn
⋅=⋅
⋅=⋅
−=−
+=+=+
∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→→
∞→
∞→
∞→
∞
Jsou-li posloupnosti , ( )∞=1nna ( )∞
=1nnb aann konvergentní, =
∞→lim , a přitom
b ≠ 0 a bn ≠ 0 a pro všechna n
bbnn=
∞→lim
∞
=⎟⎟⎠
⎞∈N, pak je konvergentní i posloupnost ⎜⎜ a platí:
⎝
⎛
1nn
n
ba
ba
b
a
ba
nn
nn
n
n
n==
∞→
∞→
∞→ lim
limlim .
Každá geometrická posloupnost ( )∞=1nna , pro jejíž kvocient q platí |q| < 1, je
konvergentní a . 0lim =∞→ nn
a
Cvičení
1. Je dána posloupnost ( )∞=1nnc ,
nncn
12 += .
a) Vypočítejte prvních deset členů této posloupnosti a znázorněte je v soustavě
souřadnic v rovině.
b) Rozhodněte, zda je ( )∞=1nnc konvergentní nebo divergentní a svůj závěr zdůvodněte.
c) Je-li ( )∞=1nnc konvergentní, zapište její limitu.
2. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní a které z nich mají
limitu rovnu číslu 7:
a) b) ( )∞=17 n
∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1
7
nnn c)
∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
71
nnn
d) ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
7
nnn e) f) ( )( ∞
=−+ 117 nn ) ( )
( )
∞
=+ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⋅1
1777
nn
n
3. Dokažte, že platí:
a) 11lim 2
2
=+
∞→ nn
n b) ( ) ( ) 011lim 3 =
+⋅−∞→ n
nnn
c) 57
6537lim 2
2
=+−
∞→ nnn
n
4. Pro která c, d∈R je posloupnost ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
135
25
nndnncn konvergentní a určete její limitu.
5. Rozhodněte, které z uvedených posloupností jsou konvergentní:
a) b) c) ( )∞
=110 nn, ( )( ∞
=−⋅ 15 5010 n
n, ) ( )∞
=121 nn,
6. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní, mají nevlastní limitu
+ ∞ nebo – ∞ , jsou divergentní a nemají vlastní limitu:
a) b) ( ) c) ( )∞
=14
nn ∞
=− 14
nn ( )( )∞
=⋅− 141 n
n n d) ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
14
1
nn
7. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní, mají nevlastní limitu
+ ∞ nebo – ∞ , jsou divergentní a nemají vlastní limitu:
a) b) ( c) ( )∞=110log nn )∞
=110log n, n ( )( )∞=⋅ 1cos nnn π d) ( )( )∞
=⋅ 1sin nnn π
35
8. Posloupnost ( ) ∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
1
1
n
n
nn konverguje k 1. Dokažte a znázorněte graficky.
9. Ukažte, že posloupnost ∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1235
nnn je konvergentní a vypočítejte její limitu.
10. Vypočítejte limitu: ( )( )!1!
!1lim+−
+∞→ nn
nn
.
36
37
Výsledky a návody k řešení úloh
Pojem posloupnosti 1. n! : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320
2sin πn : 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1
2. a) 1, 21 ,
31 ,
41 ,
51 ; b) 0, 1, 3, 6, 10; c) 0, –1, 0, 1, 0; d) 2, 4, 8, 16, 32
3. a) 2, 2, 38 , 4,
532 ,
332 ; b) 2 , 2, 22 , 4, 24 , 8; c) –2, 4, –8, 16, –32, 64; d) 0, 8, 0,
32, 0, 128; e) 0, 4, 0, 8, 0, 12.
4. a) 22 , 0,
22
− , -1, 22
− , 0; b) 323 , 3
23 , 0, 3
23
− , 323
− , 0.
5. 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1
6. a) 1+n
n ; b) n
n3
; c) 33
+−
nn ; d) tg n.30°; e) )13log(
21
−nn
.
7. a) ( )63 = ; b) ( )73 =− ; c) ; d) ( )( )( )5
1113 =
+−⋅ nn ( )8
113 =−⋅ nn 1n 1n
8. 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 9. –12, –242 ano, 65 ne. 10. ( )∞
= ⋅−+ 15,1)1(5,2 nn
11. a) ; b) ; c) ( )( )∞
=−− 113 n
n ( )∞− 1́12 nn ( )∞
=− 12 1 nn
12. a) –1, 1, –1, 1, –1 (Obrázek 1); b) 1, 0, –3, –8, –15 (Obrázek 2); c) 23 ,
43
− , 89 ,
1615
− ,
3233 (Obrázek 3)
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
Obrázek 1
-15-14-13-12-11-10
-9-8-7-6-5-4-3-2-101
0 1 2 3 4 5
Obrázek 2
-1,25-1
-0,75-0,5
-0,250
0,250,5
0,751
1,251,5
0 1 2 3 4 5
Obrázek 3
13. a) 6; b) žádný Rekurentní určení posloupnosti 1. a) 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577; b) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0; c) 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3; d) 10-1, 10,
1, 10, 10, 102, 103.
2. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; b) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128; c) 21 , 2,
21 , 2,
21 , 2,
21 ; d)
21
− ,
41 ,
161 ,
2561 ,
536651 ,
2969671 .
2944
3. a) 21 =a , nan
n 2+ , )1(2na 1 =+ 1 ++=+an n ; b) an 21
1 =a , ( )nn a
nnna
)2(1 2
1 ++
=+ ,
231
21 +++=+ n
aa nn n; c) 11 =a , na
nna 1+
n 1 =+ nna, a+=+1
351 =a 71 ,1=a
1
4. a) 5, 7 =a ; b) 810=a 5. 40
38
6. a) n ; b) n anaa ++== + )1(,1 11 1221 ,1,1 ++ +=== nnn aaaaa Některé vlastnosti posloupností 1. rostoucí. 2. a) klesající; b) rostoucí; c) klesající; d) ani rostoucí ani klesající; e) klesající. 3. neklesající. 4. a) ne (rostoucí); b) ne (rostoucí); c) ano; d) ne (ani rostoucí ani klesající). 5. a) x > 0; b) x < 0; c) x = 0. 6. a) omezená; b) zdola omezená; c) shora omezená; d) omezená 7. b) zdola omezená; c) 2log;2log 11 +== + nn aaa
Aritmetické posloupnosti 1. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12; b) –1, 2, 5, 8, 11, 14; c) –0,5, –2, –3,5, –5, –6,5, –8; d) 2 ,
2 , 2 , 2 , 2 , 2 . 2. a) 14, 11, 8, 5, 2; b) 16, 12, 8, 4, 0; c) 4, 10, 16, 22, 28; d) 37, 33, 29, 25, 21. 3. a) 3,121 == da ; b) 4,1,7,91 −== da ; c) 0,01 == da
17 323 − aa
; d) dvě řešení 7, d [Řešíme kvadratickou rovnici 060 =+ ]. 191 −=a ;7,2 1 ==−= ad
4. ( )72
+−⋅ kk
5. 3, 23 23 == an
6. 3,6 dm, 6 dm. [Řešíme rovnici ( )222 8,48,4)8,4( dd +=+− s neznámou d ∈ R]. 7.
8. Máme čtyři možnosti: {8, 8, 8}, {7, 8, 9}, {6, 8, 10}, {5, 8, 11}.
a1 d n an sn 2 0,5 33 18 330 0 0,5 11 5 27,5 3 –0,5 13 –3 0 10 10 14 140 1 050
9. n ≥ 20 10. d = 3, n = 12, vkládám 10 čísel (7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34) 11. 7,5 =d , sečteme sedm prvních členů. 1 =a
,neboa5,38 1112. Jsou dvě možnosti: buď 53 == − == ad8 −=d
da 13. 3, 1 =a Užití aritmetických posloupností 1. 12 vrstev, 13 rour 2. 17 3. °=°=° 170,,90, 2=°= 70,20 1 6ααα …d 4. 621 součástek 5. 10a metrů 6. 38 °C 7. asi 20 vteřin
39
Geometrické posloupnosti 1. a) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; b) –10; –5; –2,5; –1,25; –0,625; –0,3125; c) –3,5; –3,5; –3,5;
–3,5; –3,5; –3,5; d) –3,5; 3,5; –3,5; 3,5; –3,5; 3,5 2. 162541863 5432 =−==−=−= a;a;a;a;q 3. 23 1 == q,a4. 256
314 −=−= c;q
5. a) 4, –8, 16, –35, 64; b) –1, 2, –4, 8, 16; c) dvě možnosti: 4, 16, 64, 256, 1 024; 4, –161, 64, –256, 1 024
6. 12, –8 ano, zbytek ne 7. a) Dvě možnosti: 2431 11 −=−=== q,a;q,a [Přejdeme k soustavě rovnic a1·(1+q)=4,
a1·q·(q+1)·(q–1)=24; je-li q ≠ –1, pak a1 = 14+q a řešíme rovnici 1
4+q ·q·(q+1)·(q-1) = 24; pro q = –1 bychom
v první rovnici dané soustavy rovnic dostali a1·0 = 4]; b) dvě možnosti: 225016 11 −=−=−== q,a;,q,a
102 11 −==== q,a;q,a; c) a1 = 1, q = 1; [a2 + a4 = (a1 + a3)·q]; d) dvě možnosti:
1 [a2 + a3 = a1·q·(q+1) = 0, právě když a1 = 0 nebo q = 0 nebo q = –1; vyšetříme všechny tyto případy]
8. 2769186612648 ;;;;;; 9. 85 10. Součet libovolného počtu členů posloupnosti je vždy menší než 2. 11. 2, 6, 18, 54 12. asi 813 615 zrn [První člen posloupnosti a1 = 15 a kvocient q = 15] 13. n = 5 Užití geometrických posloupností 1. 16 777 215 grošů 2. '1038°=α 3. v roce 1958 [Předpokládejte, že první počítač byl použit n let před rokem 1971 a kvocient bude 1+0,54]. 4. a) 1,74 mm; b) asi po 5 protaženích 5. V = 27
6. Jasnost paprsku je 5
1514
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
7. Je nutné ukládat 805,60 Kč 8. 248 9. 24 012,- Kč 10. 16 147,50 Kč 11. 37 548,30 Kč [ 32 000 · (1 + 0,85 · 4
1100
59 ⋅, )8] Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností 2. cn = 0,3n, klesající, shora i zdola omezená.
40
Limity posloupností 1. a) 10
191
81
71
61
51
41
31
21 2222222223 ,,,,,,,,, , Obrázek 4; b) konvergentní [Dokážeme že ke
každému ε > 0 existuje n0∈N tak, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je |cn – 2| < ε čili
ε<−+ 212nn .]; c) 2
∞ lim
→ nnc =
22,12,22,32,42,52,62,72,82,9
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Obrázek 4
2. a), b), c) konvergentní, limita je 7; d) konvergentní, limita je 1; e) divergentní;
f) konvergentní, limita je –1
3. [a) nnnn 111 12
2++=+ ; b) ( ) ( )
33
2
311111nnn
nn
nn −== −+⋅− ; c) 26
1
625
22
27
2
2
5
7
657 n
n
n
n
n
n
nnn
+
−
+
−
+− ==
22 nnn
.]
4. Konvergentní pro tyto případy: d ≠ 0; d = 0 a zároveň c = 0. V prvním případě je limita
dc , ve druhém případě 0. (Je-li d = 0 a c ≠ 0 pak je posloupnost divergentní).
5. a, b) konvergentní; c) není konvergentní
6. a) + ∞ ; b) – ∞ ; c) divergentní, nemá nevlastní limitu; d) konvergentní
7. a) + ∞ ; b) – ∞ ; c) divergentní, nemá nevlastní limitu; d) konvergentní, 0
8. Posloupnost je znázorněna na obrázku (Obrázek 5).
00,20,40,60,8
11,21,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Obrázek 5
9. limita je 25
10. –1
41
Literatura [1] Benda P., Daňková B., Skála J.: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, Státní
pedagogické nakladatelství Praha 1966
[2] Bušek I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Státní pedagogické nakladatelství
Praha 1985
[3] Bydžovský B., Vojtěch J.: Mathematika pro nejvyšší třídu reálek, JČM Praha
1912
[4] Delventhal K. M. a kol.: Kompendium matematiky, Knižní klub Praha 2004
[5] Jarník J.: Posloupnosti a řady, Mladá fronta Praha 1979
[6] Kubát J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k přijímacím zkouškám
na vysoké školy, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1988
[7] Odvárko O.: Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady, Prometheus Praha
1996
[8] Odvárko O.: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia – Posloupnosti a řady,
Prometheus Praha 2000
[9] Polák J.: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus Praha 2000
[10] Smida J., Odvárko O.: Matematika pro III. ročník gymnázií – Posloupnosti a řady
reálných čísel, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1989
[11] Vyšín J.: O nekonečných řadách, Jednota československých matematiků a fysiků
Praha 1948
42
43
Seznam zkratek a značek
N množina všech přirozených čísel
R množina všech reálných čísel
a ∈ N prvek a náleží do množiny všech přirozených čísel
a < b prvek a je menší než prvek b
a > b prvek a je větší než prvek b
a ≤ b prvek a je menší nebo roven prvku b
a ≥ b prvek a je větší nebo roven prvku b
a ≠ b prvek a se nerovná prvku b
a ≈ 1 hodnota prvku a je přibližně 1
n! faktoriál čísla n. Jeho hodnota je rovna součinu ( ) nn ⋅−⋅⋅⋅⋅ 1...321
