Postulaty±ci Ameryka«scy - Strona główna - Zakład ...logic.amu.edu.pl/images/2/24/Khl62jp.pdf · O±rodki akademickie oraz wybitni matematycy American Mathematical Society (1888)

Postulaty±ci Ameryka«scy

Jerzy Pogonowski

Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM

[email protected]

KHL 62

Jerzy Pogonowski (MEG) Postulaty±ci Ameryka«scy KHL 62 1 / 24

Wst¦p

Plan na dzi±

Omawiamy prace niektórych matematyków ameryka«skich,publikowane w trzech pierwszych dekadach XX wieku w Transactions

of the American Mathematical Society.

Szczególn¡ uwag¦ po±wi¦camy wyªanianiu si¦ poj¦¢ metalogicznych(kategoryczno±ci oraz zupeªno±ci).

Odczyt stanowi streszczenie fragmentu cz¦±ci pierwszejprzygotowywanej rozprawy Extremal Axioms.

Oprócz oryginalnych tekstów ¹ródªowych wykorzystujemy te» ustaleniaz: Awodey, Reck 2002, Corcoran 1981, Scanlan 1991, 2003, Tarski1940.


Wst¦p

Projekt badawczy NCN

Odczyt zostaª przygotowany w ramach projektu badawczego NCN2015/17/B/HS1/02232:Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.

Projekt jest realizowany w Zakªadzie Logiki i Kognitywistyki UAM(2016�2018).

Strona projektu: http://logic.amu.edu.pl/index.php/Ncn2015jp

W ramach projektu przewiduje si¦ dwa skromne stypendia dladoktorantów, ewentualnie zainteresowanych wspóªprac¡.

Konkurs zostanie ogªoszony pod koniec 2016 roku.


Wst¦p Tªo

Matematyczne korzenie bada« logicznych

Matematyka w Europie w XIX wieku

Trend algebraiczny w logice

Aksjomaty dla systemów liczbowych

Rewolucyjne zmiany w algebrze, geometrii i analizie

Matematyka w USA w XIX wieku

O±rodki akademickie oraz wybitni matematycy

American Mathematical Society (1888)

Transactions of the American Mathematical Society (1900)


Wst¦p Tªo

Prapocz¡tki metalogiki

Gottlob Frege, Bertrand Russell: logika jest jedna i uniwersalna.

Gregorius Itelson (1904): Moreover, no science, no theory can be priorto or higher than Logic, which is the foundation of any science and ofany theory; one can say, in parodying the word of Pascal: that whichsurpasses Logic surpasses us; thus there cannot be metalogic.

Gerhard Stammler (1928): There is no metalogic as extralogicalgrounding of logic. Logic stands for itself.

Pierwsze wyniki w metalogice: Löwenheim 1915, Skolem 1919,Bernays 1918, Post 1920.

Carnap: Versuch einer Metalogik (1931).

Alfred Tarski: Pocz¡tek Przygód Metalogicznych.


Osoby Ojcowie Zaªo»yciele

Postulaty±ci Ameryka«scy

Eliakim Hastings Moore (1862�1932). Postulaty dla: grup orazgeometrii n-wymiarowej. Pó¹niej: prace z analizy matematycznej.

Oswald Veblen (1880�1960). Postulates for: geometrii euklidesowejoraz rzutowej, kontinuum oraz zbiorów dobrze uporz¡dkowanych.Pó¹niej: prace z topologii algebraicznej oraz geometrii ró»niczkowej.

Edward Vermilye Huntington (1874�1952). Postulaty dla: grup, ciaª,dodatnich liczb caªkowitych i wymiernych, geometrii, wielko±cici¡gªych, algebry zespolonej, algebr Boole'a.

Leonard Eugene Dickson (1874�1954). Postulaty dla: grup, ciaª,ª¡cznych algebr liniowych. Liczne prace dotycz¡ce algebr z dzieleniemoraz algebraicznej teorii liczb.



Eliakim HastingsMoore

Leonard EugeneDickson



Oswald VeblenEdward Vermilye

Huntington


Osoby Inni

Kilka dalszych postaci

Robert Lee Moore (1882�1974)

B. A. Bernstein (1881�1964)

Earle Raymond Hedrick (1876�1943)

John Robert Kline (1891�1955)

Henry Maurice She�er (1882�1964)

John Wesley Young (1879�1932)

Cassius Jackson Keyser (1862�1947)

Cooper Harold Langford (1895�1964)

Norbert Wiener (1894�1964)


Osoby Inni

Cooper HaroldLangford

Robert Lee Moore


Osoby Wybrane prace

Wybrane prace

Prace Postulatystów Ameryka«skich s¡ dost¦pne on line na stronachTransactions of the American Mathematical Society.

Dickson, L.E. 1905. De�nitions of a group and a �eld by independentpostulates. Transactions of the American Mathematical Society 6,198�204.

Moore, E.H. 1902. On the projective axioms of geometry.Transactions of the American Mathematical Society 3, 142�158.

Huntington, E.V. 1902. A complete set of postulates for the theory ofabsolute continuous magnitude. Transactions of the American

Mathematical Society 3, 264�279.

Veblen, O. 1904. A system of axioms for geometry. Transactions ofthe American Mathematical Society 5, 343�384.


Osoby Cytaty

Cytaty: Huntington

A complete set of postulates for the theory of absolute continuous

magnitude (1902): The object of the work which follows is to showthat these six postulates form a complete set; that is, they are (I)consistent, (II) su�cient, (III) independent (or irreducible). By thesethree terms we mean: (I) there is at least one assemblage in which thechosen rule of combination satis�es all the six requirements; (II) thereis essentially only one such assemblage possible; (III) none of the sixpostulates is a consequence of the other �ve.

Powy»szy cytat jest reprezentatywny dla wszystkich pracPostulatystów Ameryka«skich dotycz¡cych zestawów postulatów.


Osoby Cytaty

Cytaty: Huntington

A set of postulates for ordinary complex algebra (1905): In the case of anycategorical set of postulates one is tempted to assert the theorem that ifany proposition can be stated in terms of the fundamental concepts, eitherit is itself deducible from the postulates, or else its contradictory is sodeducible; it must be admitted, however, that our mastery of the processesof logical deduction is not yet, and possibly never can be, su�cientlycomplete to justify this assertion.A set of postulates for real algebra, comprising postulates for a

one-dimensional continuum and for the theory of groups (1905): Inconclusion, it should be noticed that the eight postulates of � 2 form a�disjunctive�, not a �categorical� set; for an abelian group may contain any�nite number of elements, or be in�nite; and even if the number ofelements in two groups is the same, the groups are not necessarilyisomorphic; hence there are many propositions concerning K and + whichare neither deducible from these postulates, nor in contradiction with them.


Osoby Cytaty

Cytaty: Veblen

A system of axioms for geometry (1904): [...] any proposition whichcan be made in terms of points and order either is in contradictionwith our axioms or is equally true of all classes that verify our axioms.The validity of any possible statement in these terms is thereforecompletely determined by the axioms; and so any further axiom wouldhave to be considered redundant. [Footnote: Even were it not

deducible from the axioms by a �nite number of syllogisms.] Thus, ifour axioms are valid geometrical propositions, they are su�cient forthe complete determination of euclidian geometry.

The foundations of geometry: A historical sketch and a simple

example (1906): But if a proposition is a consequence of the axioms,can it be derived from them by a syllogistic process? Perhaps not.

Uwaga: syllogistic process nale»y tu rozumie¢ jako dowód.


Osoby Cytaty

Cytaty: Veblen

Euclid's parallel postulate (1905): How shall we use the word exist?There is a technical usage which says that a mathematical science. . . exists if no two propositions deducible from its hypotheses are incontradiction. In this sense (due to Hilbert) we are able to say that allmathematical sciences exist if arithmetic exists � i.e., the science ofpositive whole numbers. One is tempted to say that surely the wholenumbers 1, 2, 3, . . . etc. exist. But what would be the content of suchstatement? And do we know these numbers except by the propositionswhich we wish to prove consistent?

Cytowane za: Scanlan 1991, 992.


Metodologia Wybór terminów pierwotnych

Co jest najbardziej podstawowe?

Algebra

E.H. Moore: tabliczka dziaªania (rule of combination) dla grup.

Huntington: dziaªania: ◦ (grupy); ⊕ oraz � (ciaªa); ⊕, � oraz relacja< (algebra logiki); relacja ternarna (grupy).

Dickson: funkcja ◦ (grupy); funkcje ⊕ oraz ⊗ (ciaªa); liniowoniezale»ne jednostki lub wspóªrz¦dne (ª¡czne algebry liniowe).

Geometria

E.H. Moore: punkty, proste, odcinki.

Veblen: punkty i porz¡dek (relacja le»enia mi¦dzy).

Huntington: sfery oraz inkluzja.


Metodologia Dedukcje

Rozumowania matematyczne

Wspóªczesny czytelnik mo»e bez trudno±ci czyta¢ omawiane teksty,cho¢ napisane zostaªy ponad sto lat temu.

Postulaty±ci Ameryka«scy deklarowali korzystanie z formalizmulogicznego w przygotowywaniu dowodów, ale (z nielicznymiwyj¡tkami) nie u»ywali go w publikacjach.

Postulaty±ci Ameryka«scy w kilku przypadkach poprawiali wynikiwcze±niej uzyskane przez innych.

W kilku przypadkach dokonywali te» korekt wªasnych dokona«.


Metodologia Niezale»no±¢ postulatów

Ekonomia opisu

Dowody niezale»no±ci postulatów prowadzone s¡ metod¡ znan¡ zGrundlagen der Geometrie Hilberta.

Aby pokaza¢, »e zbiór A postulatów jest niezale»ny, dowodzi si¦, »edla dowolnego A ∈ A istnieje struktura speªniaj¡ca wszystkie warunki zA− {A}, lecz nie speªniaj¡ca A.

W dowodach niezale»no±ci omawiani autorzy korzystaj¡ zestandardowych obiektów matematycznych: liczb caªkowitych,rzeczywistych i zespolonych, sfer oraz innych obiektówgeometrycznych.

Niektóre z rozwa»anych przykªadów s¡ do±¢ zabawne (np. egg-shapedobjects w jednej z prac Huntingtona). Zdarzaj¡ si¦ te» trudne dowyja±nienia przykªady.


Poj¦cia metalogiczne Niesprzeczno±¢, niezale»no±¢, kategoryczno±¢

Tworzenie poj¦¢ metalogicznych

Niesprzeczno±¢. Rozumiana semantycznie przez Huntingtona (istnieniestruktury). Veblen zgªaszaª pewne zastrze»enia (zob. cytaty powy»ej).

Wynikanie. Rozumiane na sposób semantyczny.

Niezale»no±¢. Rozumiana na sposób przed chwil¡ omówiony.

Su�ciency. Termin wprowadzony przez Huntingtona (1902):nieodró»nialno±¢ ze wzgl¦du na izomor�zm.

Kategoryczno±¢. Veblen zast¡piª powy»szy termin terminemcategoricity (1904).

Kategoryczno±¢ w mocy. Nie jest brana pod uwag¦.


Poj¦cia metalogiczne Zupeªno±¢, de�niowalno±¢, rozstrzygalno±¢


Zupeªno±¢. Nie ma precyzyjnego poj¦cia zupeªno±ci, ale omawianiautorzy wyra»aj¡ pewne przeczucia metodologiczne (zob. cytatypowy»ej).

De�niowalno±¢. De�nicje rozumiane jako skróty. Tarski skorygowaªpewne nietrafne stwierdzenia Veblena dotycz¡ce de�niowalno±ci.

Aksjomat zupeªno±ci Hilberta. Wspominany w pracach Huntingtona iVeblena.

Rozstrzygalno±¢. Praca Langforda (1926) dotycz¡ca g¦stych liniowychporz¡dków.

Neutralno±¢ epistemologiczna. Postulaty±ci Ameryka«scy unikaj¡deklaracji �lozo�cznych.


Pó¹niejsze badania Podstawy matematyki

Wpªyw i kontynuacja

Skolem 1919: twierdzenie Löwenheima-Skolema.

Fraenkel 1923: rozwa»ania o zupeªno±ci.

Carnap 1930: Gabelbarkeitssatz.

Zermelo 1930: twierdzenia o izomor�zmie dziedzin normalnych.

Twierdzenia o izomor�zmie w algebrze (Frobenius 1878, Hurwitz1898/1923, Ostrowski 1916, Pontriagin 1932).

Seminaria Tarskiego w Warszawie (1927�1929): wypracowanie wielupoj¦¢ metalogicznych. Tarski, Lindenbaum 1935: m.in. warunekwystarczaj¡cy dla implikacji zupeªno±¢→kategoryczno±¢. Tarski 1940:uwagi o kategoryczno±ci i zupeªno±ci.

Tarski: aksjomaty dla geometrii oraz teorii ciaª rzeczywi±ciedomkni¦tych.


Sªowo ko«cowe Aksjomaty ekstremalne

Logiczny i matematyczny punkt widzenia

Przykªady aksjomatów ekstremalnych:

Geometria: aksjomat zupeªno±ci (Hilbert), zast¡piony pó¹niej przezaksjomat ci¡gªo±ci.

Arytmetyka: aksjomat indukcji (Peano).

Algebra: aksjomat ci¡gªo±ci (Cantor, Dedekind). Twierdzenia oizomor�zmie (Ostrowski, Frobenius, Hurwitz, Pontriagin).

Teoria mnogo±ci: aksjomaty ograniczenia (Fraenkel, Gödel, Suszko,Myhill). Aksjomaty maksymalno±ci: aksjomaty istnienia du»ych liczbkardynalnych (Zermelo oraz wspóªczesne propozycje).

Klasyczne prace o aksjomatach ekstremalnych: Carnap, Bachmann1936, Baer 1928, Baldus 1928, Bernays 1955, Fraenkel � Bar Hillel �Levy 1973. Prace wspóªczesne: Hintikka (analiza pogl¡dów Carnapa),Schiemer (aksjomat ograniczenia Fraenkla).


Sªowo ko«cowe Co dalej?

Charakterystyka modeli zamierzonych

Cz¦±¢ I: Aspekty logiczne


Konsekwencje twierdze« limitacyjnych

Cz¦±¢ II: Aspekty matematyczne

Przyj¦te oraz odrzucone aksjomaty ekstremalne

Wspóªczesne wyniki dotycz¡ce kategoryczno±ci i zupeªno±ci

Cz¦±¢ III: Aspekty kognitywne

Do czego potrzebujemy modeli zamierzonych?

Intuicje profesjonalnych matematyków

Rozumienie w matematyce


Wybrane pozycje bibliogra�czne

Awodey, S., Reck, E.H. 2002. Completeness and Categoricity. Part I:Nineteenth-century Axiomatics to Twentieth-century Metalogic.History and Philosophy of Logic 23, 1�30.

Carnap, R., Bachmann, F. 1936. Über Extremalaxiome. Erkenntnis 6,166�188.

Corcoran, J. 1981. From Categoricity to Completeness. History and

Philosophy of Logic 2, 113�119.

Scanlan, M. 1991. Who were the American Postulate Theorists? The

Journal of Symbolic Logic Volume 56, Number 3, 981�1002.

Scanlan, M. 2003. American Postulate Theorists and Alfred Tarski.History and Philosophy of Logic 24, 307�325.

Tarski, A. 1940. On the Completeness and Categoricity of DeductiveSystems. In: Mancosu, P. 2010. The Adventure of Reason. Interplay

between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic,

1900�1940. Oxford University Press, Oxford, 485�492.


Documents

Postulaty±ci Ameryka«scy - Strona główna - Zakład ...logic.amu.edu.pl/images/2/24/Khl62jp.pdf · O±rodki akademickie oraz wybitni matematycy American Mathematical Society (1888)