-
PotensrekkerForelesning i Matematikk 1 TMA4100
Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag
11. november 2011
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
Kapittel 8.8.Taylorrekker og Maclaurinrekker
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
3
Taylor-polynomer
Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f (x))
La f (x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som
inneholderx = a.Taylorpolynomet til f (x) av orden n er
n∑
k=0
f (k)(a)k!
(x − a)k
= f (a) + f ′(a)(x − a) + f′′(a)2!
(x − a)2 + · · · + f(n)(a)n!
(x − a)n
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
sin x ≈
= P(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
sin x ≈ x
= P1(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
sin x ≈ x− 13!x3
= P3(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5
= P5(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7
= P7(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7+ 19!x
9
= P9(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7+ 19!x
9− 111!x11
= P11(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7+ 19!x
9− 111!x11+ 113!x
13
= P13(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
P15
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7+ 19!x
9− 111!x11+ 113!x
13− 115!x15
= P15(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−11 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
P15
P17
sin x ≈ x− 13!x3+ 15!x
5− 17!x7+ 19!x
9− 111!x11+ 113!x
13− 115!x15+ 117!x
17
= P17(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
5
En tankevekker-rekke
Taylorrekken til
f (x) =
{
0 x = 0
e−|1/x| x 6= 0
1
1 2 3 4−1−2−3−4
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
5
En tankevekker-rekke
Taylorrekken til
f (x) =
{
0 x = 0
e−|1/x| x 6= 0
1
1 2 3 4−1−2−3−4= 0
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
Kapittel 8.9.Konvergens av Taylorrekker
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte
f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte
f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.2 Da finnes
et punkt c mellom a og b slik at
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte
f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.2 Da finnes
et punkt c mellom a og b slik at
f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f′′(a)2!
(b − a)2 + · · ·
· · · + f(n)(a)n!
(b − a)n + f(n+1)(c)(n + 1)!
(b − a)n+1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)1 Gitt en funksjon f og dens
første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)1 Gitt en funksjon f og dens
første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.2 Da finnes et punkt c
mellom a og b slik at
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)1 Gitt en funksjon f og dens
første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.2 Da finnes et punkt c
mellom a og b slik at
f (b) = f (a) + f ′(c)(b − a)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
9
Taylors teorem (og praksis)Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I
sominneholder a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
9
Taylors teorem (og praksis)Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I
sominneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
9
Taylors teorem (og praksis)Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I
sominneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved
Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x − a)n+1
der c ligger mellom a og x.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
9
Taylors teorem (og praksis)Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I
sominneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved
Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x − a)n+1
der c ligger mellom a og x.
f (x) = f (a) + f ′(a)(a − b) + f′′(a)2!
(a − b)2 + · · · + f(n)(a)n!
(a − b)n + Rn(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
Rn(1) <e
(n + 1)!(<
1n!
som oftest:)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
Rn(1) <e
(n + 1)!(<
1n!
som oftest:)
Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
11
Estimering av restleddetTeorem (Restledds-estimerings
teoremet)
M positiv konstant.∣
∣f (n+1)(t)∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og xda tilfredstiller restleddet
ulikheten
|Rn(x)| ≤ M|x − a|n+1(n + 1)!
Anvendelser:
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
11
Estimering av restleddetTeorem (Restledds-estimerings
teoremet)
M positiv konstant.∣
∣f (n+1)(t)∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og xda tilfredstiller restleddet
ulikheten
|Rn(x)| ≤ M|x − a|n+1(n + 1)!
Anvendelser:
Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x
.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
11
Estimering av restleddetTeorem (Restledds-estimerings
teoremet)
M positiv konstant.∣
∣f (n+1)(t)∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og xda tilfredstiller restleddet
ulikheten
|Rn(x)| ≤ M|x − a|n+1(n + 1)!
Anvendelser:
Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x
.
Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle
tall x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
11
Estimering av restleddetTeorem (Restledds-estimerings
teoremet)
M positiv konstant.∣
∣f (n+1)(t)∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og xda tilfredstiller restleddet
ulikheten
|Rn(x)| ≤ M|x − a|n+1(n + 1)!
Anvendelser:
Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x
.
Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle
tall x .
Taylor rekken for sin x konvergerer mot sin x for alle reelle
tall x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
2 Estimer Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx med feil mindre enn 0,000001.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
2 Estimer Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx med feil mindre enn 0,000001.
3 Regn ut limx→0sin x − ln(1 + x
2)
xx3
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
2 Estimer Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx med feil mindre enn 0,000001.
3 Regn ut limx→0sin x − ln(1 + x
2)
xx3
1
∫
sin xx
dx = C + x − 13 · 3!x
3 +1
5 · 5!x5 − · · ·
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
2 Estimer Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx med feil mindre enn 0,000001.
3 Regn ut limx→0sin x − ln(1 + x
2)
xx3
1
∫
sin xx
dx = C + x − 13 · 3!x
3 +1
5 · 5!x5 − · · ·
2 Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx ≈ 1 − 13·3! + 15·5! − 17·7! = 0,9460827664.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
12
Anvendelser av taylorrekker1 Skriv
∫
sin xx
dx som en potensrekke.
2 Estimer Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx med feil mindre enn 0,000001.
3 Regn ut limx→0sin x − ln(1 + x
2)
xx3
1
∫
sin xx
dx = C + x − 13 · 3!x
3 +1
5 · 5!x5 − · · ·
2 Si(1) =∫ 1
0sin x
x dx ≈ 1 − 13·3! + 15·5! − 17·7! = 0,9460827664.3 limx→0
sin x− 1x ln(1+x2)
x3 =13
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
13
i
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
13
i
Løs likningen
x2 + 1 = 0
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
13
i
Løs likningen
x2 + 1 = 0
Løsningene er
x = ±i
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
13
i
Løs likningen
x2 + 1 = 0
Løsningene er
x = ±i
i =√−1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
14
Eulers identitet
e√−1·x = cos x +
√−1 · sin x
ei x = cos x + i · sin x
ei π = −1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
15
Bevis av Taylors teorem
Anvend rolles teorem.
Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i
boka.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
15
Bevis av Taylors teorem
Anvend rolles teorem.
Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i
boka.
Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem(ved
å se i boka).
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
15
Bevis av Taylors teorem
Anvend rolles teorem.
Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i
boka.
Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem(ved
å se i boka).
Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å
forståteoremet.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
Kapittel 8.10.Binomialrekker
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
17
Binomial rekker
Definisjon (Binomialrekke)Maclaurinrekken til (1 + x)m kalles
for en binomial-rekke
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
17
Binomial rekker
Definisjon (Binomialrekke)Maclaurinrekken til (1 + x)m kalles
for en binomial-rekke
1 + m x +m(m − 1)
2!x2 +
m(m − 1)(m − 2)3!
x3 + · · ·
· · · + m(m − 1) · · · (m − n + 1)n!
xn + · · ·
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
18
Binomial rekker
Definisjon (Binomial koeffisienter)
(
m1
)
= m,(
m2
)
=m(m − 1)
2!, . . . ,
(
mn
)
=m(m − 1) · · · (m − n + 1)
n!.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
18
Binomial rekker
Definisjon (Binomial koeffisienter)
(
m1
)
= m,(
m2
)
=m(m − 1)
2!, . . . ,
(
mn
)
=m(m − 1) · · · (m − n + 1)
n!.
Definisjon (Binomialrekke)Binomial rekken til (1 + x)m er
1 +∞
∑
k=1
(
mk
)
xk .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
19
Eksempler
Binomialrekken til
er
Binomialrekken til
er
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
19
Eksempler
Binomialrekken til(1 + x)−1?
er
Binomialrekken til
er
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
19
Eksempler
Binomialrekken til(1 + x)−1?
er1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · ·
Binomialrekken til
er
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
19
Eksempler
Binomialrekken til(1 + x)−1?
er1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · ·
Binomialrekken til3√
1 + x?
er
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
-
19
Eksempler
Binomialrekken til(1 + x)−1?
er1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · ·
Binomialrekken til3√
1 + x?
er1 + 13x − 19x
2 + 581x3 − 10243x
4 + · · ·
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
