Interaktiv ForelesningMatematikk 1

Stine Marie Berge

21.08.19

Oppgave 1

Bestem grenseverdiene

(i) limx→9

√x − 3

x − 9(ii) lim

x→2

|x − 2|x − 2

(iii) limx→0

x sin 1x

eller forklar hvorfor de ikke eksisterer.

Hint:— i) Konjugatsetningen— ii) Finn høyre og venstregrense— iii) Skviseregelen

2

Oppgave 1

Bestem grenseverdiene

(i) limx→9

√x − 3

x − 9(ii) lim

x→2

|x − 2|x − 2

(iii) limx→0

x sin 1x

eller forklar hvorfor de ikke eksisterer.

Hint:— i) Konjugatsetningen

— ii) Finn høyre og venstregrense— iii) Skviseregelen

2

Oppgave 1

Bestem grenseverdiene

(i) limx→9

√x − 3

x − 9(ii) lim

x→2

|x − 2|x − 2

(iii) limx→0

x sin 1x

eller forklar hvorfor de ikke eksisterer.

Hint:— i) Konjugatsetningen— ii) Finn høyre og venstregrense

— iii) Skviseregelen

2

Oppgave 1

Bestem grenseverdiene

(i) limx→9

√x − 3

x − 9(ii) lim

x→2

|x − 2|x − 2

(iii) limx→0

x sin 1x

eller forklar hvorfor de ikke eksisterer.

Hint:— i) Konjugatsetningen— ii) Finn høyre og venstregrense— iii) Skviseregelen

2

Oppgave 1

i)

Konjugatsetningen: a2 − b2 = (a + b) (a− b)

ii)

Teorem: limx→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L.Konsekvens: Hvis limx→a+ f (x) 6= limx→a− f (x) = L så kan ikkegrensen eksistere.

iii)

Skviseregelen: Dersom limx→a f (x) = limx→a h(x) = L ogf (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i en omegn rundt a, så er limx→a g(x) = L.

3

Oppgave 1

i)

Konjugatsetningen: a2 − b2 = (a + b) (a− b)

ii)

Teorem: limx→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L.

Konsekvens: Hvis limx→a+ f (x) 6= limx→a− f (x) = L så kan ikkegrensen eksistere.

iii)

Skviseregelen: Dersom limx→a f (x) = limx→a h(x) = L ogf (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i en omegn rundt a, så er limx→a g(x) = L.

3

Oppgave 1

i)

Konjugatsetningen: a2 − b2 = (a + b) (a− b)

ii)

Teorem: limx→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L.Konsekvens: Hvis limx→a+ f (x) 6= limx→a− f (x) = L så kan ikkegrensen eksistere.

iii)

Skviseregelen: Dersom limx→a f (x) = limx→a h(x) = L ogf (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i en omegn rundt a, så er limx→a g(x) = L.

3

Oppgave 1

i)

Konjugatsetningen: a2 − b2 = (a + b) (a− b)

ii)

Teorem: limx→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L.Konsekvens: Hvis limx→a+ f (x) 6= limx→a− f (x) = L så kan ikkegrensen eksistere.

iii)

Skviseregelen: Dersom limx→a f (x) = limx→a h(x) = L ogf (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i en omegn rundt a, så er limx→a g(x) = L.

3

MA Oppgave 1

Bestem m slik at funksjonen

f (x) =

{x3 −m x < 21−mx3 x ≥ 2

blir kontinuerlig.

Hint:—

f (2) = limx→2

f (x)

— Om funksjonen er kontinuerlig må høyre og venstregrense værelike.

— f (2) = 1− 8m = limx→2+ f (x) må være lik limx→2− f (x) = 8−m.

4

MA Oppgave 1

Bestem m slik at funksjonen

f (x) =

{x3 −m x < 21−mx3 x ≥ 2

blir kontinuerlig.

Hint:—

f (2) = limx→2

f (x)

— Om funksjonen er kontinuerlig må høyre og venstregrense værelike.

— f (2) = 1− 8m = limx→2+ f (x) må være lik limx→2− f (x) = 8−m.

4

MA Oppgave 1

Bestem m slik at funksjonen

f (x) =

{x3 −m x < 21−mx3 x ≥ 2

blir kontinuerlig.

Hint:—

f (2) = limx→2

f (x)

— Om funksjonen er kontinuerlig må høyre og venstregrense værelike.

— f (2) = 1− 8m = limx→2+ f (x) må være lik limx→2− f (x) = 8−m.

4

MA Oppgave 1

Bestem m slik at funksjonen

f (x) =

{x3 −m x < 21−mx3 x ≥ 2

blir kontinuerlig.

Hint:—

f (2) = limx→2

f (x)

— Om funksjonen er kontinuerlig må høyre og venstregrense værelike.

— f (2) = 1− 8m = limx→2+ f (x) må være lik limx→2− f (x) = 8−m.

4

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.

— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.

— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.

— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

MA Oppgave 2

La

p(x) =

x2 − 3x + 23x2 − 5x + 2

x 6= 1

L x = 1.

Bestem limx→0 p(x), limx→1 p(x) og limx→∞ p(x). Hva må L være forat p skal være kontinuerlig i x = 1?

Hint:— limx→0 p (x): Prøv å sett inn i den rationelle funksjonen.— limx→1 p (x): Finn ut hva nevneren og telleren er i punktet.— limx→1 p (x): Faktoriser polyomene i nevner og teller.— limx→∞ p (x): Forkort brøken med 1

x2 .

— Hva er limx→1 p (x)?

5

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave 2

Vis at grenseverdien

limx→0

sin1x

ikke eksisterer.

Hint:

— Vis at det eksisterer en ε > 0 slik atdet ikke eksisterer en δ > 0 som haregenskapen at|x − 0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

— Set ε = 1/2 og anta av kontradiksjonat det finnes en koresponderende δ.

— p = 13π/2+2πN < q = 1

π/2+2πN < δ for N stor nok.

— Vis at |f (p)− L| ≥ 1/2 = ε.

6

Oppgave U

Vis at

limx→√

2

12

(2x+ x

)=√

2

ved å bruke definisjonen av en grenseverdi.

Hint:— Må vise at for alle ε > 0 eksisterer en δ slik at |x −

√2| < δ

medfører at |12(2x + x)−

√2| < ε.

— Må finne en δ som gjør at det over passer. Vis at|12(

2x + x)−

√2| ≤ 1√

2|x−√

2||x | + |x−

√2|

2 ved å bruke|x − y | ≤ |x − z|+ |y − z|.

— Vi kan anta at |x −√

2| < δ ≤ 1 (Hvorfor?). Bruk denneantagelsen til å vise at

√2− 1 < |x | og jobb mer med ulikheten

over.

7

Oppgave U

Vis at

limx→√

2

12

(2x+ x

)=√

2

ved å bruke definisjonen av en grenseverdi.

Hint:— Må vise at for alle ε > 0 eksisterer en δ slik at |x −

√2| < δ

medfører at |12(2x + x)−

√2| < ε.

— Må finne en δ som gjør at det over passer. Vis at|12(

2x + x)−

√2| ≤ 1√

2|x−√

2||x | + |x−

√2|

2 ved å bruke|x − y | ≤ |x − z|+ |y − z|.

— Vi kan anta at |x −√

2| < δ ≤ 1 (Hvorfor?). Bruk denneantagelsen til å vise at

√2− 1 < |x | og jobb mer med ulikheten

over.

7

Oppgave U

Vis at

limx→√

2

12

(2x+ x

)=√

2

ved å bruke definisjonen av en grenseverdi.

Hint:— Må vise at for alle ε > 0 eksisterer en δ slik at |x −

√2| < δ

medfører at |12(2x + x)−

√2| < ε.

— Må finne en δ som gjør at det over passer. Vis at|12(

2x + x)−

√2| ≤ 1√

2|x−√

2||x | + |x−

√2|

2 ved å bruke|x − y | ≤ |x − z|+ |y − z|.

— Vi kan anta at |x −√

2| < δ ≤ 1 (Hvorfor?). Bruk denneantagelsen til å vise at

√2− 1 < |x | og jobb mer med ulikheten

over.

7

Oppgave U

Vis at

limx→√

2

12

(2x+ x

)=√

2

ved å bruke definisjonen av en grenseverdi.

Hint:— Må vise at for alle ε > 0 eksisterer en δ slik at |x −

√2| < δ

medfører at |12(2x + x)−

√2| < ε.

— Må finne en δ som gjør at det over passer. Vis at|12(

2x + x)−

√2| ≤ 1√

2|x−√

2||x | + |x−

√2|

2 ved å bruke|x − y | ≤ |x − z|+ |y − z|.

— Vi kan anta at |x −√

2| < δ ≤ 1 (Hvorfor?). Bruk denneantagelsen til å vise at

√2− 1 < |x | og jobb mer med ulikheten

over.7