Potenziale Elettrico

Il campo elettrostatico è conservativo; possiamo allora definire una funzione della posizione (coordinate spaziali) che chiameremo Potenziale Elettrico:

Il Potenziale Elettrico in un punto A di un campo elettrico è la grandezza scalare che misura il lavoro che la forza elettrica del campo deve compiere per spostare l’unità di carica elettrica positiva q dal punto A fino ad un punto situato a distanza infinita

AALVq

=

Nel SI si misura in Volt ; 1Joule(J) / 1coulomb (C)= 1 VOLT (V)

Differenza di Potenziale (d.d. p.) La d.d.p. tra due punti di un campo elettrico rappresenta il lavoro, riferito all’unità di carica elettrica unitaria positiva, che la forza elettrica esercitata dal campo deve compiere per spostare tale carica da un punto all’altro, lungo qualunque percorso.

( ) ABA B

LV Vq

− =

dL =F ⋅d s = q

E ⋅d s integrando dL

A

B

∫ = qE ⋅d s

A

B

∫

VB −VA = −E ⋅d s

A

B

∫Si ottiene :

VB −VA = −E ⋅d s

A

B

∫

Se B=∞ e si è posto VB=0 (potenziale nullo all’infinito)

RqkVA 0=

Potenziale dovuto ad una carica puntiforme q.

Il potenziale di una carica elettrica puntiforme q in un punto distante R da essa, se per convenzione il potenziale all’infinito è posto uguale a zero, sarà proporzionale alla carica q ed inversamente proporzionale alla distanza R.

Poiché il campo elettrico E è conservativo tutte le possibili integrazioni danno il medesimo risultato. Dimostriamolo con un esempio.

V f −Vi = −E ⋅d s

i

f

∫ V f −Vi = −E ⋅d s

i

c

∫ −E ⋅d s

c

f

∫=

Potenziale dovuto a molte cariche puntiformi

∑∑∑ ===== i

i

i

iN

ii

N

i Rqk

RqkVV 00

00

NOTA: A differenza del campo elettrico E col potenziale V si ha il vantaggio, non indifferente, di dover effettuare somme algebriche anziché somme vettoriali.

Il potenziale dovuto ad N cariche elettriche puntiformi è uguale alla somma dei valori dei potenziali dovuti da ogni singola carica i-esima.

Col relativo segno

R. V(P)=350V

Si calcoli il potenziale nel punto P, al centro del quadrato di cariche puntiformi mostrate nella figura. Si assuma che sia d = 1,3 m e che le cariche siano: q1 =+12nC, q2=+31, q3 =-24nC , q4=+17nC

•  Ordinare le disposizioni di carica a,b,c,d in base al potenziale netto generato all’origine. (porre: V∞=0 et distanza dall’ origine uguale per tutte)

Calcolo del Campo Elettrico partendo dalla conoscenza di V

•  Se è nota l’espressione di V(x,y,z) nello spazio, le singole componenti di E si ricavano derivando rispetto a quella direzione la funzione V(x,y,z).

Se V(r) , funzione radiale allora :

( )( )rdV rE V r

r dr∂

= − ≡∂

Esempio : Calcolo di E da V (Piano uniformemente carico)

0 02 2V xx x

σ σε ε

⎛ ⎞∂ ∂= − = −⎜ ⎟

∂ ∂ ⎝ ⎠

ricordiamo: ( )rE V rr∂⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

02V xσ

ε= −

02E σ

ε=

E=0

Scarica elettrica su un conduttore carico

Guscio sferico carico

1/r

1/r2

Le cariche elettriche in un conduttore si distribuiscono sulla superficie esterna in modo che il potenziale, in tutti i suoi punti interni e superficiali, sia costante.

Conduttore isolato in un campo elettrico esterno

•  Effetto: Modifica le linee del campo per via delle cariche indotte dal campo elettrico esterno.

Energia Potenziale U di un sistema di cariche elettriche

•  E’ uguale al lavoro speso da un agente esterno per portare il sistema nella configurazione indicata, spostando ciascuna carica da una distanza infinita alla propria posizione.

12

210121212 rqqkVqLU ===

Nel caso di due cariche 1 e 2, si avrà:

Lavoro Positivo

U>0 se q1*q2>0

Lavoro Negativo

U<0 se q1*q2<0

RICORDIAMO CHE : Il Potenziale Elettrico in un punto A di un campo elettrico è la grandezza scalare che misura il lavoro che la

forza elettrica del campo deve compiere per spostare l’unità di carica elettrica positiva q dal punto A fino ad un punto situato a distanza infinita

R. U=-17mJ

La figura mostra tre cariche tenute ferme da forze non indicate. Qual è l'energia potenziale elettrica del sistema di cariche? Si assuma che sia d = 12 cm e che q1 = +q , q2=-4q et q3 = +2q , dove q = 150 nC.

Problema Una carica puntiforme Q1=5µC è posta nell’origine ed una seconda carica Q2=2µC è posta nel punto (3m,0). a)  posto V=0 all’infinito, calcolare V nel punto P(0,4m); b)  Il lavoro richiesto per portare Q3=4µC dall’infinito in P; c)  L’energia potenziale totale del sistema.