UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

POUCEVANJE, PREDMETNO POUCEVANJE

GORAZD VASILJEVIC

O SIMETRICNIH NEST GRAFIH

MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

POUCEVANJE, PREDMETNO POUCEVANJE

GORAZD VASILJEVIC

O SIMETRICNIH NEST GRAFIHMAGISTRSKO DELO

Mentor: doc. dr. PRIMOZ SPARL

Ljubljana, 2017

Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Primozu Sparlu za vso pomoc, koristne nasvete instrokovno znanje s katerim je prispeval k mojemu magistrskemu delu.

Za usmeritve v casu pisanja magistrske naloge na studijski izmenjavi na Portugalskem,se zahvaljujem gostujocemu mentorju Carlosu Vaz de Carvalhu.

Hvala tudi vsem najblizjim, ki so mi v casu studija stali ob strani, me spodbujali in pod-pirali pri uresnicevanju mojih ciljev. Brez vseh vas bi mi bilo veliko tezje.

“Vse se da, ce se hoce.”

Povzetek

Magistrsko delo sodi na podrocje algebraicne teorije grafov. V tej veji teorije grafov naspogosto zanimajo t. i. avtomorfizmi (simetrije) grafov, torej permutacije mnozice vo-zlisc grafa, ki ohranjajo sosednosti. Pri tem je nas cilj pogosto klasifikacija vseh grafov znekimi danimi simetrijskimi lastnostmi. Pri posebej “lepih” grafih velja, da za poljubenpar vozlisc obstaja avtomorfizem, ki eno vozlisce preslika v drugo (t. i. grupa avtomor-fizmov grafa deluje tranzitivno na mnozico vozlisc). Pravimo, da so taki grafi vozliscnotranzitivni. Na podoben nacin je lahko graf povezavno tranzitiven, ce grupa avtomor-fizmov deluje tranzitivno na mnozico njegovih povezav in je locno tranzitiven (oziromasimetricen), ce grupa avtomorfizmov deluje tranzitivno na mnozico njegovih lokov.

Bicirkulant je graf, ki dopusca avtomorfizem z dvema orbitama iste dolzine. Za zacetekpreucevanja simetrij bicirkulantov stejemo rezultate Fruchta, Graverja in Watkinsa iz leta1971, ki so preucili druzino t. i. Posplosenih Petersenovih grafov in klasificirali vse njenevozliscno in povezavno tranzitivne clane. Naslednji korak je leta 2008 storil Wilson, kije opravil velik del klasifikacije povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov, njegovo delo paso dve leti kasneje dokoncali Kovacs, Kutnar in Marusic. Podobno so Arroyo, Hubard,Kutnar, O’Reilly in Sparl leta 2015 klasificirali vse simetricne Tabacjn grafe.

V magistrskem delu vpeljemo posplositev Posplosenih Petersenovih grafov na stopnjo 6.Gre za doslej se neraziskano druzino bicirkulantov. Pripadajoce grafe poimenujemo Nestgrafi. Glavni namen magistrskega dela je zacetek klasifikacije simetricnih Nest grafov, pricemer storimo nekaj prvih, pomembnih korakov. Poleg predstavitve same druzine Nestgrafov, v kateri pokazemo nekaj njihovih osnovnih lastnosti in dejstev, povezanih z njimi,se v nadaljevanju osredotocimo predvsem na njihove simetrijske lastnosti. Na podlagi re-zultatov programskega paketa Magma identificiramo nekatere druzine locno tranzitivnihNest grafov in za njihove clane dokazemo, da so res simetricni. Kot zelo pomemben rezul-tat magistrsko delo predstavi skoraj popolno klasifikacijo simetricnih Nest grafov ozine 3.

Kljucne besede: teorija grafov, bicirkulant, avtomorfizem, Nest graf, locno tranzitivengraf

Klasifikacija MSC (2010): 05C25, 05C99, 20B25

Title: On symmetric Nest graphs

Abstract

This MSc thesis deals with certain topics from algebraic graph theory. In this field ofmathematics, we usually study so-called graph automorphisms (also called symmetries),which are permutations of the graph’s vertex set, perserving adjacency. Quite often, thegoal is to classify all of the graphs with chosen symmetry properties. There exist graphs,which are symmetric enough, so that their automorphism group acts transitively on theirvertex set. This means that for any pair of vertices of the graph there is an automorphism,mapping one vertex to the other. Such graphs are called vertex-transitive. Similarly, agraph is edge-transitive, if its automorphism group acts transitively on its edge set and isarc-transitive if its automorphism group acts transitively on its arc set.

A bicirculant is a graph, admitting an automorphism with two orbits of the same length.Frucht, Graver and Watkins were the first to systematically study symmetries of Generali-zed Petersen Graphs (1971) and classifing all vertex and edge-transitive ones. In this waythey began the study of symmetries of bicirculants. The next step was done by Wilsonin 2008, who made an important step towards the classification of edge-transitive Rose-Window graphs by identifying four families of such graphs. His work was completed twoyears later by Kovacs, Kutnar and Marusic. Similarly, Arroyo, Hubard, Kutnar, O’Reillyand Sparl classified all arc-transitive Tabacjn graphs in 2015.

In this thesis, we introduce 6-valent generalization of Generalized Petersen graphs. Thechosen family of graphs was not a subject of any research until now. We name the corre-sponding graphs as Nest graphs. The main goal of the thesis is to start a classification ofsymmetric Nest graphs, where we make a few first, but, nonetheless, important steps. Wefirstly present the family of Nest graphs, along with some of their basic properties andfacts about them, where we focus on their symmetry properties. Based on the results,obtained with the aid of the computer package Magma, we then identify some fami-lies of symmetric Nest graphs and for each of their members prove that they indeed aresymmetric Nest graphs. One of the key results of the thesis is also an almost completedclassification of symmetric Nest graphs of girth 3.

Keywords: graph theory, bicirculant, automorphism, Nest graph, arc-transitive graph

MSC (2010) classification: 05C25, 05C99, 20B25

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovne definicije, trditve in izreki 32.1 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Delovanja grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Nekatere znane druzine grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Preslikave med grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Nekatere znane druzine grafov, cirkulanti in bicirkulanti . . . . . . . 10

3 Posploseni Petersenovi grafi GP (n, k) in Rozetni grafi Rn(a, k) 13

4 Tabacjn grafi T (n; a, b; k) 19

5 Nest grafi N (n; a, b, c; k) 23

6 Locno tranzitivni Nest grafi 316.1 Rezultati programskega paketa Magma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Posebni primeri simetricnih Nest grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2.1 Poseben primer pri n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2.2 Poseben primer pri n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2.3 Ostali posebni primeri za n = 8, n = 10 in n = 12 . . . . . . . . . . 41

6.3 Druzine simetricnih Nest grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3.1 Druzina N (n; 2, n

4, n4

+ 2; n2− 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3.2 Druzina N (n; 2, n2, n2

+ 2; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3.3 Druzina N (2(m2 −m+ 1); 1, 2m− 1, 2m; 1) . . . . . . . . . . . . . 476.3.4 Druzina N (18(2p− 1); 3(2p− 1), 18p− 11, 2(12p− 7); 1) . . . . . . 486.3.5 Druzina N (6(r2 − r) + 2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1) . . . . . . . . . . 49

6.4 Simetricni Nest grafi ozine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7 Zakljucek 61

Literatura 63

Poglavje 1

Uvod

Magistrsko delo, ki je pred bralcem, sodi na podrocje algebraicne teorije grafov. Greza mlado vejo matematike, ki se sicer ukvarja s kombinatoricnimi objekti, imenovanimigrafi, vendar jih obravnava predvsem z vidika algebre. To podrocje se se vedno zelo hitrorazvija in tako omogoca odkrivanje izvirnih in unikatnih rezultatov. Prav slednje dejstvoje mocno botrovalo k izbiri teme magistrskega dela, saj je bil osnovni cilj narediti nekajizvirnega in postaviti rezultate, ki bi bili v pomoc pri nadaljnjem razvoju teorije grafov.Osnova magistrskega dela je diplomsko delo [15], v katerem lahko bralec najde natancenopis stevilnih osnovnih pojmov algebraicne teorije grafov in si nabere zadostno kolicinopredznanja, da bo lahko brez tezav sledil toku tega dela.

V osnovi je graf abstrakten objekt, ki ga dolocimo tako, da definiramo mnozico njego-vih vozlisc in povemo, katera so med seboj povezana in katera ne. Prav iz povezanostivozlisc izhaja zanimiv koncept avtomorfizma grafa (simetrije), to je permutacija vozlisctega grafa, ki ohranja sosednosti. Za nekatere posebej “lepe” grafe velja, da za poljubenpar vozlisc obstaja avtomorfizem, ki eno vozlisce preslika v drugo (t. i. grupa avto-morfizmov grafa na mnozico vozlisc deluje tranzitivno). Take grafe imenujemo vozliscnotranzitivni. Na podoben nacin je lahko graf povezavno tranzitiven, ce grupa avtomor-fizmov na mnozico njegovih povezav deluje tranzitivno in je locno tranzitiven (oziromasimetricen), ce grupa avtomorfizmov na mnozico njegovih lokov deluje tranzitivno.

Pri preucevanju grafov in njihovih simetrij na podlagi njihove strukture je obicajno koncnicilj klasifikacija vseh grafov dolocene oblike z neko predpisano mero simetrije. Zacetki kla-sifikacije grafov v tem smislu segajo v drugo polovico 20. stoletja, ko so bili “zanimivi”predvsem grafi stopnje tri (kubicni grafi). Takrat so Frucht, Graver in Watkins klasifi-cirali vse vozliscno in povezavno tranzitivne Posplosene Petersenove grafe [5], kasneje paso postali zanimivi tudi grafi visjih stopenj. V zadnjem casu raziskovalci veliko pozor-nosti namenjajo t. i. bicirkulantom, to je grafom, ki na nek nacin posnemajo strukturoPosplosenih Petersenovih grafov. Tako je na primer Wilson zacel klasifikacijo povezavnotranzitivnih Rozetnih grafov (posplositev Posplosenih Petersenovih grafov na stopnjo 4),ko je identificiral stiri druzine takih grafov [16], dokoncali pa so jo Kovacs, Kutnar inMarusic, ki so dokazali da drugih povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov ni [7]. Podobnoso za 5-valentne posplositve Posplosenih Petersenovih grafov, t. i. Tabacjn grafe, klasifi-kacijo naredili Arroyo, Hubard, Kutnar, O’Reilly in Sparl, z nadaljnjimi posplositvami pa

1

se, vsaj do sedaj, se nihce ni ukvarjal. Prav zato je torej osnovna ideja tega magistrskegadela zaceti klasifikacijo posplositev Posplosenih Petersenovih grafov na stopnjo 6, ki jihpoimenujemo Nest grafi.

Locna tranzitivnost pri grafih ni posebej pogost pojav, saj gre v resnici za precej strozjipogoj od vozliscne in povezavne tranzitivnosti. Kljub temu, ali pa morda prav zato, paje klasifikacija taksnih grafov obicajno zelo naporno delo, ki zahteva veliko predznanja inpoznavanje poglobljenih rezultatov iz razlicnih podrocij matematike. V magistrskem delubomo tako najprej obnovili zahtevano predznanje s podrocja algebre, natancneje teorijegrup, in nato tudi podrocja teorije grafov. Nato si bomo, v locenih poglavjih, na kratkoogledali znane rezultate o klasifikaciji simetricnih Posplosenih Petersenovih, Rozetnih inTabacjn grafov, s cimer bomo postavili temelj za osrednji del magistrskega dela, klasi-fikacijo simetricnih Nest grafov. Te se bomo lotili tako, da bomo najprej zapisali nekajosnovnih definicij in dejstev o Nest grafih, nato pa bomo, prek rezultatov, ki smo jih dobilis pomocjo programskega paketa Magma, poskusili identificirati (vse) druzine simetricnihNest grafov. V splosnem bi morali nato dokazati, da drugih simetricnih Nest grafov ni,vendar pa tak dokaz precej presega okvirje magistrskega dela in ga bomo zato izpustili.Izkaze se, da nam vseh druzin simetricnih Nest grafov iz tabele rezultatov do reda 320ne uspe identificirati, zato pa se lotimo vsaj klasifikacije vseh simetricnih Nest grafov sposebno lastnostjo, to je ozino 3. V resnici se izkaze, da je tudi ta klasifikacija precej ne-trivialen problem. Kljub temu ze v okviru tega magistrskega dela opravimo vecino dela,postavimo pa tudi vrsto domnev o celotni druzini simetricnih Nest grafov, ki bodo lahkoizhodisce za nadaljnje raziskovanje.

2

Poglavje 2

Osnovne definicije, trditve in izreki

V tem poglavju bomo podali osnovne definicije in trditve, ki jih potrebujemo za razume-vanje tega magistrskega dela. Tako teorija grup, kot tudi teorija grafov, sta zelo obseznimatematicni podrocji, vendar bomo v tem magistrskem delu v locenih razdelkih zapisalile tiste definicije in rezultate, na podlagi katerih bomo v kasnejsih poglavjih gradili inrazvijali nove rezultate. Rezultatov, ki jih navajamo v tem poglavju, v vecini ne bomodokazovali, bralca pa lahko spodbudimo, da dokaze poisce sam ali pa si jih ogleda v lite-raturi.Pred branjem magistrskega dela priporocamo ogled diplomskega dela [15], sicer pa jerazdelek 2.1 povzet po [4], [9] in [12], razdelek 2.2 pa po [6] in [13].

2.1 Teorija grup

2.1.1 Osnovni pojmi

Ko govorimo o algebraicni teoriji grafov, ima, poleg teorije grafov, kljucno vlogo tuditeorija grup. Najpomembnejsa struktura pri obravnavi le-te je grupa:

Definicija. Neprazna mnozica G skupaj z dvocleno operacijo ∗ : G×G→ G tvori grupo(oznacimo (G, ∗)), ce velja:

1. Operacija ∗ je asociativna, to je, ∀g1, g2, g3 ∈ G : (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3).

2. V G obstaja element 1G, za katerega velja ∀g ∈ G : 1G ∗ g = g ∗ 1G = g. Element1G imenujemo nevtralni element (enica) grupe G.

3. Za vsak element g ∈ G obstaja element g−1 ∈ G, za katerega velja g−1∗g = g∗g−1 =1G. Element g−1 imenujemo inverz elementa g v grupi G.

Ce poleg nastetih lastnosti velja se ∀g1, g2 ∈ G : g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1 (operacija ∗ je komuta-tivna), recemo, da je grupa (G, ∗) komutativna (oziroma je abelska grupa).

Opomba. Tako za nevtralni element, kot tudi za inverzni element se v literaturi pojavljavec razlicnih oznak. Najpogostejsi oznaki za nevtralni element sta 1 z oznako grupe vindeksu (tak zapis je smiseln, saj je nevtralni element v vsaki grupi en sam) in e, medtemko za inverzni element v grupah, kjer je operacija mnozenje, najpogosteje uporabljamo

3

oznako g−1, v grupah, kjer je operacija sestevanje, pa oznako −g. Omenimo, da je tudiinverzni element za vsak element g ∈ G v grupi G enolicno dolocen. Poleg tega pri zapisusame grupe oklepaje in operacijo navadno izpuscamo in tako namesto (G, ∗) pisemo G,prav tako pa namesto g1 ∗ g2 pisemo kar g1g2.

Omeniti velja, da dejstvo, da je ∗ dvoclena operacija, pravzaprav pomeni, da je produktdveh poljubnih elementov iz mnozice enolicno dolocen in lezi v tej isti mnozici. V grupi(G, ∗) torej velja ∀g1, g2 ∈ G : g1 ∗ g2 ∈ G, ta pogoj pa imenujemo tudi zaprtost grupe zaoperacijo ∗.

Definicija. Neprazna mnozica H ⊂ G je podgrupa grupe G (oznacimo H ≤ G), ce je Hgrupa za podedovano operacijo.

Izkaze se, da je zgornja definicija ekvivalentna spodnji trditvi, s katero lahko hitro preve-rimo ali je grupa H podgrupa v dani grupi G.

Trditev 2.1. Neprazna mnozica H ⊂ G je podgrupa grupe G, ce hkrati velja, da je Hzaprta za podedovano operacijo iz G, vsebuje nevtralni element 1G in da H vsebuje inverzevseh svojih elementov.

Premislimo lahko, da vsaka grupa G vsebuje vsaj dve podgrupi:

• {1G} ≤ G, ki jo imenujemo trivialna podgrupa.

• G ≤ G, ki jo imenujemo neprava podgrupa.

Vse druge podgrupe v grupi G so prave, netrivialne podgrupe.

Definicija. Naj bo G grupa in naj bo M ⊆ G,M 6= ∅. Podgrupa, generirana z M(oznacimo 〈M〉), je najmanjsa podgrupa grupe G, ki vsebuje M . Elemente mnozice Mimenujemo generatorji grupe 〈M〉.

Ker je G mnozica, iz teorije mnozic vemo, da je lahko koncna ali neskoncna. V primeru,da je G koncna, pravimo, da je tudi grupa G koncna, v nasprotnem primeru pa gre zaneskoncno grupo. Ker se bomo v nadaljevanju ukvarjali predvsem s koncnimi grupami,je smiselno uvesti pojem red grupe (oznacimo |G|), ki pove, koliko elementov vsebujemnozica G (gre torej za moc mnozice G).Poleg reda grupe poznamo tudi red elementa (oznacimo |g|). Red elementa g ∈ G je enaknajmanjsemu naravnemu stevilu n, za katerega velja gn = 1G, ce obstaja. V nasprotnemprimeru ima g neskoncen red, ni pa tezko videti, da to pomeni, da je tudi grupa G, vkateri lezi g, neskoncna.

2.1.2 Preslikave

Pomemben pojem, s katerim se bomo v nadaljevanju magistrskega dela neprestano srecevali,je preslikava. Spomnimo, da je preslikava med dvema mnozicama ϕ : A→ B:

• surjektivna, ce je vsak element iz mnozice B slika kaksnega elementa iz mnozice A:∀b ∈ B ∃a ∈ A : ϕ(a) = b.

4

• injektivna, ce je vsak element mnozice B slika najvec enega elementa iz mnozice A:∀a1, a2 ∈ A : (a1 6= a2 ⇒ ϕ(a1) 6= ϕ(a2)).

• bijektivna, ce je vsak element mnozice B slika natanko enega elementa iz mnoziceA (oziroma drugace, ce je preslikava injektivna in surjektivna hkrati).

Vsaka bijektivna preslikava ϕ : A→ B ima enolicno doloceno inverzno preslikavo ϕ−1 : B →A, ki deluje obratno kot ϕ in je prav tako bijektivna preslikava.

Definicija. Naj bo A mnozica. Bijektivni preslikavi ϕ : A → A pravimo permutacijamnozice A.

Naj bo ϕ : A→ B preslikava. Ce zelimo preveriti bijektivnost ϕ, moramo v splosnem pre-veriti injektivnost in surjektivnost. Naj bo sedaj φ : C → C, kjer je C koncna mnozica.V tem primeru za bijektivnost zadosca ze injektivnost (ali surjektivnost) preslikave φ.

Spomnimo, da preslikave med seboj navadno komponiramo (operacija je torej kompozitumpreslikav), pri cemer gre za asociativno operacijo.

Definicija. Naj bosta (G1, ∗) in (G2, ◦) grupi. Preslikavo ϕ : G1 → G2 imenujemo homo-morfizem grup, ce velja:

∀g, h ∈ G1 : ϕ(g ∗ h) = ϕ(g) ◦ ϕ(h)

Bijektivnemu homomorfizmu ϕ : G1 → G2 pravimo izomorfizem grupe.

Bijektivnemu homomorfizmu ϕ : G→ G pravimo avtomorfizem grupe.

Omenili smo ze, da je obicajna operacija med dvema preslikavama kompozitum. Veljanaslednja trditev.

Trditev 2.2. Kompozitum dveh homomorfizmov grup je homomorfizem.

Opomba. V zgornji trditvi smo povedali, da je kompozitum dveh homomorfizmov spethomomorfizem. Poleg tega velja, da je kompozitum dveh bijektivnih preslikav spet bi-jektivna preslikava in tako sledi, da je kompozitum dveh izomorfizmov spet izomorfizem,kompozitum dveh avtomorfizmov pa avtomorfizem.

2.1.3 Delovanja grup

Pomemben pojem za obravnavo tega magistrska dela je tudi delovanje grup, s katerimnajveckrat povezujemo tudi izrek o orbiti in stabilizatorju.

Definicija. Naj bo X neprazna mnozica in G poljubna grupa. (Levo) delovanje grupe Gna mnozico X je vsaka preslikava • : G×X → X, za katero velja:

1. ∀x ∈ X : • (1G, x) = x in

2. ∀x ∈ X ∀g1, g2 ∈ G : • (g1g2, x) = •(g1, •(g2, x)).

5

Dogovor. Navadno namesto •(g, x) pisemo kar gx.

Definicija. Naj bo G grupa, ki deluje na mnozico X in naj bo x ∈ X. Tedaj je orbitatocke x pri delovanju G na X mnozica OG(x) = {gx : g ∈ G} vseh tock, v katere se zelementi grupe G preslika x. Stabilizator tocke x pri delovanju grupe G (oznacimo Gx) jemnozica vseh g ∈ G, ki fiksirajo x, torej Gx = {g ∈ G : gx = x}.

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju magistrskega dela v primeru, da bogrupa G razvidna iz konteksta, namesto OG(x) uporabljali oznako O(x). Dogovorimo setudi, da bomo orbitam pri delovanju grupe G rekli G−orbite.

Opazimo lahko, da velja O(x) ⊂ X, Gx pa sestoji iz elementov grupe G. V resnici veljaspodnja trditev.

Trditev 2.3. Naj bo G grupa, ki deluje na naprazno mnozico X, in naj bo x ∈ X. Tedajvelja Gx ≤ G.

Opomba. V zgornji definiciji in trditvi govorimo o stabilizatorju, ki fiksira tocno dolocenelement mnoziceX. Naj bo sedajG grupa, ki deluje na mnozicoX in naj bodo x1, x2, ..., xk ∈X. Tedaj je Gx1,x2,...,xk

= {g ∈ G : gxi = xi ∀i : 1 ≤ i ≤ k} tockovni stabilizator mnozicetock {x1, x2, ..., xk}, ki je definiran kot mnozica vseh elementov g ∈ G, ki fiksirajo vsa-kega od elementov x1, x2, ..., xk. Ker velja Gx1,x2,...,xk

= Gx1 ∩Gx2 ∩ ... ∩Gxk, ocitno sledi

Gx1,x2,...,xk≤ G.

Na tem mestu si sedaj oglejmo osrednji izrek tega podrazdelka, ki nam bo (predvsem vzadnjem delu magistrskega dela) mocno koristil.

Izrek 2.4 (Izrek o orbiti in stabilizatorju). Naj bo G koncna grupa, ki deluje na mnozicoX. Tedaj za vsak x ∈ X velja:

|G| = |O(x)| · |Gx|

Definicija. Naj bo G grupa, ki deluje na mnozico X. Ce za poljubna x1, x2 ∈ X obstajag ∈ G, da velja gx1 = x2, grupa G na mnozico X deluje tranzitivno.

Opomba. Grupa G torej na mnozico deluje tranzitivno natanko tedaj, ko ima pri temdelovanju eno samo orbito.

2.1.4 Nekatere znane druzine grup

V tem razdelku si oglejmo se nekatere znane druzine grup.

Ciklicna grupa Zn:Gre za komutativno grupo (Zn,+) = 〈1〉, pri cemer je Zn mnozica ostankov pri deljenjuz n, operacija pa je sestevanje po modulu n. Velja |Zn| = n.

Simetricna grupa Sn:Simetricna grupa nad koncno mnozico X = {1, 2, ..., n} je grupa, katere elementi sovse permutacije mnozice X, operacija pa je komponiranje permutacij. Red grupe je|Sn| = n!.

6

Diedrska grupa Dn:Diedrska grupa Dn je mnozica simetrij pravilnega n-kotnika, operacija pa je komponi-ranje preslikav. Velja Dn

∼= 〈r, z : |r| = n, |z| = 2, zrz = r−1〉. Grupa Dn je reda 2n,velja pa tudi Dn ≤ Sn, o cemer lahko bralec premisli sam.

Alternirajoca grupa An:Gre za grupo sodih permutacij iz Sn, to je vseh tistih permutacij iz Sn, ki jih lahkozapisemo kot produkt sodo mnogo transpozicij (ciklov dolzine 2). Velja An ≤ Sn in|An| = n!

2.

2.2 Teorija grafov

2.2.1 Osnovni pojmi

Definicija. (Enostaven neusmerjen) graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par mnozic, od ka-terih je V (Γ) neprazna mnozica vozlisc, E(Γ) ⊆ {{u, v} : u, v ∈ V (Γ), u 6= v} pa mnozicapovezav, ki je torej podmnozica mnozice vseh neurejenih parov razlicnih elementov izV (Γ).

Kardinalnosti (moci) mnozice V (Γ) recemo tudi red grafa Γ.

Opomba. Obstajajo tudi posplositve enostavnih neusmerjenih grafov, pri katerih dopu-scamo usmeritve povezav, veckratne povezave in zanke1. Zainteresirani bralec si lahko veco tem prebere v literaturi, v tem magistrskem delu pa se bomo ukvarjali le z enostavnimineusmerjenimi grafi. Dogovorimo se torej, da nam bo beseda “graf” v nadaljevanju delapredstavljala “enostaven neusmerjen graf”, vsako povezavo {u, v} pa bomo, kjer bo topotrebno, opazovali kot par usmerjenih lokov (u, v) in (v, u).

Definicija. Naj bo Γ graf in u, v ∈ V (Γ) poljubni vozlisci. Ce velja {u, v} ∈ E(Γ),imenujemo u in v krajisci povezave {u, v} in recemo, da sta vozlisci u in v povezanioziroma sosednji, kar oznacimo z u ∼ v.

Dogovor. Povezavo {u, v} lahko krajse zapisemo kot uv. Tak zapis bomo v nadaljevanjumagistrskega dela uporabili na mestih, kjer bo to bolj prikladno.

Definicija. Naj bo Γ graf. Ce za poljuben par vozlisc u, v ∈ V (Γ) obstaja zaporedjevozlisc, katerega prvi in zadnji element sta vozlisci u in v in je v njem vsak par zaporednihvozlisc povezava danega grafa, je Γ povezan graf.

Definicija. Naj bo Γ graf in v ∈ V (Γ) poljubno vozlisce. Stopnja vozlisca v (oznacimodeg(v)) je stevilo povezav v grafu Γ, ki imajo v za krajisce. Ce velja deg(v) = k za vsakv ∈ V (Γ), pravimo, da je graf Γ k−regularen. Stevilo k imenujemo stopnja (tudi valenca)grafa Γ.

Definicija. Naj bosta Γ1 in Γ2 grafa. Graf Γ2 je podgraf grafa Γ1, ce velja:

V (Γ2) ⊆ V (Γ1), E(Γ2) ⊆ E(Γ1).

1Zanka je povezava, ki ima zacetek in konec v istem vozliscu.

7

Ce velja V (Γ2) = V (Γ1), je graf Γ2 vpet podgraf grafa Γ1.Ce velja, da ima Γ2 na vseh svojih vozliscih iste povezave kot Γ1, je graf Γ2 induciranipodgraf grafa Γ1.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj je njegov komplement graf ΓC = (V,EC), kjerje EC mnozica vseh povezav {x, y}, x 6= y, za katere {x, y} 6∈ E.

2.2.2 Preslikave med grafi

Definicija. Naj bosta Γ1 in Γ2 grafa. Preslikava ϕ : V (Γ1) → V (Γ2) je izomorfizemgrafov, ce je bijektivna in ohranja sosednost, to je, ce velja

∀u, v ∈ V (Γ1) : u ∼ v ⇔ ϕ(u) ∼ ϕ(v).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna, ce med njima obstaja izomorfizem grafov (oznacimo Γ1∼=

Γ2).

Opomba. Na tem mestu bralca spomnimo, da je graf Γ = (V,E) kot urejen par dvehmnozic abstrakten matematicen objekt. Za lazjo predstavo pa lahko graf Γ predstavimooziroma upodobimo tako, da elemente mnozice vozlisc V (Γ) narisemo kot tocke, razlicnitocki u in v pa povezemo natanko tedaj, ko velja {u, v} ∈ E(Γ) (v ravnini, ali pa nakaksni drugi ploskvi). S tem je graf pravzaprav do izomorfizma natancno dolocen. Zaraditega obicajno grafe studiramo le do izomorfizma natancno.

Definicija. Naj bo Γ graf. Preslikava ϕ : V (Γ) → V (Γ) je avtomorfizem grafa Γ, ce jebijektivna in za poljubna u, v ∈ V (Γ) velja:

u ∼ v ⇔ ϕ(u) ∼ ϕ(v)

Opomba. Avtomorfizmi grafa so permutacije mnozice vozlisc tega grafa, ki ohranjajososednost. Gre torej za izomorfizme grafa nase.

Opomba. V definiciji izomorfizma (ter tako posledicno tudi avtomorfizma) je treba zah-tevati, da gre za bijektivno preslikavo, ki povezave preslika v povezave in “nepovezave”v “nepovezave”. Kljub temu je pri preverjanju ali je neka permutacija vozlisc koncnegagrafa res avtomorfizem grafa, dovolj preveriti samo ali ta permutacija preslika povezavev povezave. Bralcu ne bo tezko razmisliti, da zaradi bijektivnosti preslikave od tod avto-matsko sledi, da se “nepovezave” preslikajo v “nepovezave”.Prav tako je v primeru, ko dokazujemo, da je neka bijekcija med dvema grafoma istegareda in z istim stevilom povezav res izomorfizem grafov dovolj preveriti le, da se vsepovezave preslikajo v povezave.

Trditev 2.5. Mnozica avtomorfizmov grafa Aut(Γ), skupaj z operacijo komponiranja pre-slikav, tvori grupo.

Trditve na tem mestu ne bomo dokazovali, bralec pa si lahko dokaz ogleda v [15].

8

Definicija. Naj bo Γ graf in Aut(Γ) njegova grupa avtomorfizmov.Γ je tockovno (vozliscno) tranzitiven, ce Aut(Γ) na mnozico V (Γ) deluje tranzitvno, to je,ce za poljubni vozlisci u, v ∈ V (Γ) obstaja ϕ ∈ Aut(Γ), da je ϕ(u) = v.Γ je povezavno tranzitiven, ce Aut(Γ) na mnozico E(Γ) deluje tranzitvno, to je, ce za po-ljubni povezavi {u1, v1}, {u2, v2} ∈ E(Γ) obstaja ϕ ∈ Aut(Γ), da je ϕ({u1, v1}) = {u2, v2}.Γ je simetricen oz. locno tranzitiven, ce Aut(Γ) na mnozico lokov grafa Γ deluje tranzi-tivno, to je, ce za poljubna para povezanih vozlisc {u1, v1} in {u2, v2} obstajata ϕ, ψ ∈Aut(Γ), tako da je ϕ(u1) = u2, ϕ(v1) = v2, ψ(u1) = v2 in ψ(v1) = u2.

Opomba. Graf Γ je torej vozliscno tranzitiven, ce za poljuben par vozlisc u, v ∈ V (Γ)obstaja avtomorfizem, ki prvo vozlisce preslika v drugo.Graf Γ je povezavno tranzitiven, ce za poljuben par povezav iz E(Γ) obstaja avtomorfizem,ki prvo povezavo preslika v drugo.Graf Γ je simetricen (locno tranzitiven), ce za poljuben par lokov obstaja avtomorfizem,ki prvi lok preslika v drugi lok.

Na tem mestu si bolj natancno oglejmo razliko med povezavno in locno tranzitivnostjo.Pri preverjanju prve nas pravzaprav ne zanima, kako izbrani avtomorfizem ϕ ∈ Aut(Γ)povezavo {u1, v1} ∈ E(Γ) preslika v povezavo {u2, v2} ∈ E(Γ). Velja lahko ϕ(u1) = u2in ϕ(v1) = v2 ali pa ϕ(u1) = v2 in ϕ(v1) = u2, pomembno je le, da se vsaka povezavalahko preslika v vsako drugo povezavo. Pri preverjanju locne tranzitivnosti smo precejbolj strogi. Pri njenem preverjanju si zelimo, da se lahko povezava {u1, v1} ∈ E(Γ) zizbranima avtomorfizmoma ϕ, ψ ∈ Aut(Γ) preslika v povezavo {u2, v2} ∈ E(Γ) tako, davelja ϕ(u1) = u2, ϕ(v1) = v2 in tudi tako, da velja ψ(u1) = v2, ψ(v1) = u2.

Zelo zanimivo je dejstvo, da povezavno tranzitivni grafi niso nujno tudi vozliscno tranzi-tivni. Lep primer je druzina grafov Kn1,n2 , imenovanih polni dvodelni grafi (o njih si lahkozainteresirani bralec vec prebere v literaturi), kjer n1 6= n2. Ce velja ta pogoj, gre zaneregularne grafe, kar avtomatsko pomeni, da graf ni vozliscno tranzitiven. Kljub temupa obstajajo avtomorfizmi, ki poskrbijo, da je graf povezavno tranzitiven.Naslednja trditev nakazuje, da je med povezavno in locno tranzitivnostjo res bistvenarazlika. Povezavna tranzitivnost namrec ni zadosten pogoj za locno tranzitivnost, medtemko locna za povezavno je.

Trditev 2.6. Naj bo Γ povezan graf, ki je locno tranzitiven. Potem je Γ tudi vozliscnoin povezavno tranzitiven.

Dokaz. Ce je Γ reda 1, ni kaj dokazovati, zato privzemimo, da je Γ reda vsaj 2. Najbosta u in v poljubni vozlisci locno tranzitivnega grafa Γ. Ker gre za povezan graf,imata u in v vsaj po enega soseda. Oznacimo ju z u′ in v′, kjer je u ∼ u′ in v ∼ v′.Ker je Γ locno tranzitiven, obstaja avtomorfizem ϕ ∈ Aut(Γ), ki lok (u, u′) preslika vlok (v, v′), posledicno pa u v v. Iz tega sledi, da je Γ vozliscno tranzitiven.Ze zgoraj smo ugotovili, da je locna tranzitivnost “strozji” pogoj kot povezavna tranzi-tivnost, zato je ocitno, da je vsak locno tranzitiven graf tudi povezavno tranzitiven. �

Omeniti velja, da obrat trditve 2.6 ne velja. Obstajajo namrec velike druzine grafov,ki so vozliscno in povezavno tranzitivni, pa vendar niso locno tranzitivni. Taksne grafeimenujemo pol-locno tranzitivni grafi, zainteresirani bralec pa si lahko vec o njih prebere

9

v literaturi ([10]). Omenimo lahko se, da je najmanjsi pol-locno tranzitiven graf Holtovoziroma Doylov graf na 27 vozliscih.

Kot zadnji rezultat v temu podrazdelku dodajmo trditev, ki povezuje grupo avtomorfiz-mov grafa in grupo avtomorfizmov njegovega komplementa.

Trditev 2.7. Naj bo Γ graf in ΓC njegov komplement. Tedaj velja Aut(Γ) = Aut(ΓC).

Trditve ne bomo dokazovali, spomnimo le na to, da ze v definiciji izomorfizma (in po-sledicno tudi avtomorfizma) zahtevamo bijektivnost preslikave, ki povezave preslika vpovezave, “nepovezave” pa v “nepovezave”.

2.2.3 Nekatere znane druzine grafov, cirkulanti in bicirkulanti

V temu podrazdelku si najprej oglejmo nekatere znane druzine grafov, ki jih bomo ome-njali v nadaljevanju magistrskega dela.

Pot Pn je graf z mnozico vozlisc V (Pn) = {u0, u1, ..., un−1} in mnozico povezav E(Pn) ={{ui, ui+1} : 0 ≤ i ≤ n − 2}. Tako velja deg(u0) = deg(un−1) = 1 in ∀i ∈ {1, ..., n −2} : deg(ui) = 2.

Cikel Cn je graf z mnozico vozlisc V (Cn) = {u0, u1, ..., un−1} in mnozico povezavE(Cn) = {{ui, ui+1} : i ∈ Zn}. Velja torej ∀i ∈ Zn : deg(ui) = 2.

Poln graf Kn je graf z mnozico vozlisc V (Kn) = {u0, u1, ..., un−1} in mnozico povezavE(Kn) = {{ui, uj} : ui, uj ∈ V (Kn), i 6= j}. Velja ∀i ∈ Zn : deg(ui) = n− 1.

Cayleyev graf Cay(G,S):Naj bo G grupa, S pa taka njena podmnozica S ⊂ G, da velja S = S−1 in 1G 6∈ S.Tedaj je Cayleyev graf Cay(G,S) grupe G glede na mnozico S graf z mnozico vozliscV (Cay(G,S)) = G in mnozico povezav E(Cay(G,S)) = {{g, gs} : g ∈ G, s ∈ S}.

Izkaze se, da je vsak Cayleyev graf Cay(G,S) vozliscno tranzitiven, vendar pa na temmestu tega ne bomo dokazovali (bralec si dokaz lahko ogleda v [6]). Celo vec, izkaze se, davecino sorazmeroma majhnih vozliscno tranzitivnih grafov lahko zapisemo kot Caylejevgraf neke grupe in njene ustrezne podmnozice.

Na tem mestu povejmo, da obstaja se veliko drugih druzin grafov, ki pa jih v magistrskemdelu ne bomo opisovali. Omenimo na primer kolesa, drevesa, hiperkocke in Hammingovegrafe.

Oglejmo si sedaj druzino grafov, s katero se bomo ukvarjali v nadaljevanju. Gre za druzinobicirkulantov. Ker je beseda “bicirkulant” sestavljena iz besede “cirkulant” in predpone“bi”, je najbolj naravno, da prej spoznamo druzino cirkulantov.

10

Definicija. Naj velja G = Zn in S ⊆ Zn \ {0}, tako da je S = −S. Tedaj Cayleyev grafCay(G,S) oznacimo s Circ(n, S) in ga imenujemo cirkulant (reda n). Vozlisca cirkulantatorej lahko predstavimo z mnozico V (Circ(n, S)) = {ui : i ∈ Zn}, povezave pa z urejenimipari {ui, uj}, za katere velja j − i ∈ S. Povezave so torej oblike {ui, ui+s}, kjer je s ∈ S.

Naslednjih dveh trditev z zvezi s cirkulanti v magistrskem delu ne bomo dokazovali, bralecpa si dokaza lahko ogleda v [15].

Trditev 2.8. Naj bo n ∈ N, n ≥ 3 in S ⊆ Zn taka podmnozica, da velja S = −Sin 0 6∈ S. Tedaj grupa avtomorfizmov Aut(Circ(n, S)) vsebuje podgrupo reda 2n, ki jeizomorfna diedrski grupi Dn.

Trditev 2.9. Naj bo Γ graf reda n. Tedaj je Γ ∼= Circ(n, S) za neko mnozico S natankotedaj, ko Γ dopusca avtomorfizem reda n, ki ciklicno permutira njegova vozlisca.

Sedaj, ko smo spoznali druzino cirkulantov, lahko spoznamo tudi druzino bicirkulantov,s katero se bomo ukvarjali v preostanku magistrskega dela. Bralca ob tem spodbudimo,da si za boljse razumevanje in povezavo med cirkulanti in bicirkulanti ogleda tudi drugoliteraturo, predvsem [15] in [6].

Izkaze se, da lahko druzino bicirkulantov definiramo na dva ekvivalentna nacina. Da greres za eno in isto druzino grafov smo pokazali ze v [15].

Definicija. Bicirkulant je graf sodega reda 2n za nek n ∈ N, n ≥ 3, ki dopusca avtomor-fizem z dvema orbitama dolzine n. Taksnemu avtomorfizmu recemo (2, n)-semiregularenavtomorfizem.

Definicija. Naj bo n ∈ N, n ≥ 3 in naj bodo L,M in R take podmnozice v Zn, da veljaL = −L, R = −R in 0 6∈ L ∪ R. Tedaj je bicirkulant BCn[L,M,R] graf, katerega vo-zlisca lahko predstavimo z mnozico V (BCn[L,M,R]) = {ui, vi : i ∈ Zn}, mnozico povezavE(BCn[L,M,R]) pa kot unijo treh mnozic:

L =⋃i∈Zn

{{ui, ui+l} : l ∈ L}

M =⋃i∈Zn

{{ui, vi+m} : m ∈M}

R =⋃i∈Zn

{{vi, vi+r} : r ∈ R}

Druga formulacija druzine bicirkulantov nam omogoca precej intuitivno upodobitev takihgrafov v ravnini, ki se jo bomo tudi v nadaljevanju magistrskega dela najbolj posluzevali.Najprej narisemo dve koncentricni orbiti vozlisc (zunanja oznacimo z ui, notranja pa zvi, kjer je i ∈ Zn), nato pa jih med seboj ustrezno povezujemo glede na mnozice L, Min R. Mnozica L nam pove, kako med seboj povezati vozlisca ui, mnozica M nam pove,kako vozlisca ui povezati z vozlisci vj, mnozica R pa nam pove, kako med seboj povezativozlisca vi.

11

Poleg te upodobitve je pri upodabljanju bicirkulantov zelo znana tudi t. i. Fruchtovanotacija bicirkulantov, ki jo je uvedel Robert Frucht ([6]). Gre za notacijo, kjer s krogiponazorimo orbite vozlisc (v primeru bicirkulantov imamo torej dva kroga), znotraj kate-rih zapisemo koliko vozlisc orbita vsebuje in kaksne “skoke” predstavljajo povezave znotrajorbite. Med paroma krogov narisemo toliksno stevilo povezav, kolikor je tako imenova-nih spic, oziroma povezav med posameznim vozliscem ene orbite in vozlisci druge orbite.Nad te povezave zapisemo parametre, ki predstavljajo “skoke” spic, pri cemer s pusciconakazemo tudi, kam so ti skoki usmerjeni.Primer Fruchtove notacije za Rozetne grafe, o katerih si bralec lahko vec prebere v [15],v magistrskem delu pa jih bomo srecali v enem izmed naslednjih poglavij, je prikazan nasliki 2.1.

Slika 2.1: Fruchtova notacija za Rozetne grafe.

Ker Rozetni grafi spadajo med bicirkulante, narisemo dve orbiti, ki obe vsebujeta po nvozlisc. Zunanja vozlisca so povezana zaporedno, zato je “skok” v prvi orbiti enak 1, no-tranja vozlisca pa s povezavami “skacejo” za parameter k. Med obema orbitama vozliscimamo dva tipa spic (“ravne” spice in a-spice), zato med obema krogoma narisemo dvepovezavi.

V nadaljevanju magistrskega dela se bomo torej posvetili obravnavi bicirkulantov, kjerbomo najvec pozornosti namenili preucevanju njihove locne tranzitivnosti. Na kratko sibomo ogledali Posplosene Petersenove grafe, Rozetne grafe in Tabacjn grafe, podrobnopa bomo preucili locno tranzitivnost druzine sestvalentnih bicirkulantov, tako imenovanihNest grafov.

12

Poglavje 3

Posploseni Petersenovi grafi GP (n, k)in Rozetni grafi Rn(a, k)

Ena izmed bolj znanih druzin, ce ne grafov nasploh, pa gotovo bicirkulantov, so takoimenovani Posploseni Petersenovi grafi. Dandanes obstaja veliko clankov in raziskav oomenjenih grafih, vendar pa je najbrz najbolj znan clanek Fruchta, Graverja in Watkinsaiz leta 1970 [5], v katerem so postavili prvi vecji mejnik v preucevanju simetricnih bicir-kulantov. Omenjeni avtorji so namrec prvi uspesno klasificirali vozliscno in povezavnotranzitivne Posplosene Petersenove grafe. Ker se s temi grafi v magistrskem delu nebomo posebej ukvarjali, bomo o njih brez dokazov navedli zgolj nekaj rezultatov, ki bodoomogocili sirsi vpogled v studij simetricnih bicirkulantov. Zainteresirani bralec si lahkopri branju clanka [5] pomaga tudi z diplomskim delom [14], ki je namenjeno prav obrav-navi le-tega. Omenimo, da bomo dokazali le eno izmed trditev v zvezi z najbolj slavnimPosplosenim Petersenovim grafom, namrec Petersenovim grafom GP (5, 2), po katerem soti grafi tudi dobili ime. Potrebovali jo bomo namrec v enem izmed naslednjih poglavijmagistrskega dela.

Oglejmo si najprej definicijo Posplosenih Petersenovih grafov:

Definicija. Naj bosta n, k ∈ N in 2 ≤ 2k < n. Tedaj je Posploseni Petersenov grafGP (n, k) graf z mnozico vozlisc V (GP (n, k)) = {ui, vi : i ∈ Zn} in mnozico povezavE(GP (n, k)), ki sestoji iz treh disjunktnih podmnozic:

• podmnozica vseh zunanjih povezav oblike {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh notranjih povezav oblike {{vi, vi+k} : i ∈ Zn} in

• podmnozica vseh ravnih spic oblike {{ui, vi} : i ∈ Zn}.

Opomba. Posplosene Petersenove grafe s pomocjo definicije iz prejsnjega poglavja zapisemokot BCn[{±1}, {0}, {±k}].

Opazimo lahko torej, da gre za kubicne bicirkulante (regularne bicirkulante stopnje 3),ki tako tvorijo eno izmed (na nek nacin) najbolj enostavnih druzin bicirkulantov. Vsakovozlisce ima namrec le po enega soseda v “drugi” orbiti vozlisc semiregularnega elementain ce bi vse te povezave odstranili, bi dobili grafe, ki niso vec povezani. Prikaz Fruchtove

13

notacije za Posplosene Petersenove grafe je prikazan na sliki 3.1.

Slika 3.1: Fruchtova notacija za Posplosene Petersenove grafe.

Kot ze omenjeno, je najbolj znan predstavnik druzine t. i. Petersenov graf GP (5, 2), ki jeprikazan na sliki 3.2. Graf ima sicer na omenjeni sliki za voljo dokaza trditve 3.4 drugaceoznacena vozlisca, vendar bralcu iz definicije Posplosenih Petersenovih grafov ne bo tezkougotoviti, kako bi vozlisca oznacili sicer.

Oznacimo z A(n, k) grupo avtomorfizmov Aut(GP (n, k)) Posplosenega Petersenovegagrafa GP (n, k). Ena izmed zanimivih trditev iz [5] nam pove, da je permutacija α, ki jodefiniramo kot α(ui) = vki in α(vi) = uki za vse i ∈ Zn avtomorfizem grafa GP (n, k) (torejα ∈ A(n, k)) natanko tedaj, ko velja k2 ≡ ±1 (mod n). V omenjenem clanku Fruchta,Graverja in Watkinsa ima zelo pomembno vlogo tudi podgrupa B(n, k) ≤ A(n, k) vsehtistih avtomorfizmov, ki pri svojem delovanju na mnozico povezav grafa ohranja mnozicovseh spic. Izkaze se, da velja Dn ≤ B(n, k) (posledicno seveda tudi Dn ≤ A(n, k)), raz-mislek o tem pa prepuscamo bralcu.

Strnimo sedaj glavne ugotovitve clanka [5] v nekaj naslednjih trditev in lem:

Trditev 3.1. Graf GP (n, k) je vozliscno tranzitiven natanko tedaj, ko velja k2 ≡ ±1 (mod n),ali pa je n = 10 in k = 2.

Trditev 3.2. Graf GP (n, k) je povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko je (n, k) edenizmed naslednjih parov:

• (4, 1)

• (5, 2)

• (8, 3)

• (10, 2)

• (10, 3)

• (12, 5)

• (24, 5)

Opomba. Kot smo povedali ze v razdelku 2.2, ni nujno, da je vsak graf, ki je vozliscnoin povezavno tranzitiven, hkrati tudi locno tranzitiven. Po drugi strani smo v trditvi 2.6pokazali, da obrat velja. Sledi torej, da so edini kandidati za locno tranzitivne PosplosenePetersenove grafe grafi iz trditve 3.2, saj so tako vozliscno, kot tudi povezavno tranzitivni.Ceprav na tem mestu tega ne bomo dokazovali, se izkaze, da so vsi ti grafi res locnotranzitivni in tako edini taki v tej druzini grafov.

Lema 3.3. Naslednje trditve so si ekvivalentne:

a) Graf GP (n, k) je povezavno tranzitiven.

b) Obstaja α ∈ A(n, k), ki neko spico preslika v povezavo, ki ni spica.

c) B(n, k) je prava podgrupa v A(n, k).

14

Opomba. Zgornja lema nam torej pove, da je za potrditev povezavne tranzitivnostidanega Posplosenega Petersenovega grafa dovolj najti tak avtomorfizem, ki neko spicopreslika v povezavo, ki ni spica.

Za konec obravnave Posplosenih Petersenovih grafov v magistrskem delu si oglejmo sezanimivo trditev v zvezi z GP (5, 2), ki nam bo prisla prav v nadaljevanju:

Trditev 3.4. Za Petersenov graf GP (5, 2) velja Aut(GP (5, 2)) ∼= S5.

Dokaz. Naj bo P = GP (5, 2) in G = Aut(P ). Poleg “obicajne” definicije grafa Ppoznamo tudi to, kjer P definiramo kot graf z mnozico vozlisc V (P ) = {{x, y} : x, y ∈{1, 2, 3, 4, 5}, x 6= y}, pri cemer sta dve vozlisci med seboj povezani ce in samo ce je njunpresek prazna mnozica: ∀{u, v}, {z, w} ∈ V (P ) : {u, v} ∼ {z, w} ⇔ {u, v}∩{z, w} = ∅.Dobljeni graf je prikazan na sliki 3.2 in je ocitno res izomorfen grafu GP (5, 2).Vzemimo neko poljubno permutacijo ϕ ∈ S5. Ker je ϕ bijekcija, podmnozice velikosti2 slika v podmnozice velikosti 2, poleg tega pa disjunktne pare mnozic slika v disjunk-tne pare mnozic in je zato ocitno avtomorfizem grafa P . Tako mora veljati S5 ≤ G,oziroma |G| ≥ 120.Oglejmo si sedaj vozlisce {1, 2} ∈ V (P ). Po izreku o orbiti in stabilizatorju velja|G| = |O({1, 2})| · |G{1,2}|, glede na to, da je G ≥ S5, pa ni tezko videti, da velja|O({1, 2})| = 10. Tako sledi |G| = 10 · |G{1,2}|.Fiksirajmo sedaj vozlisce {1, 2} in si oglejmo njegovega soseda {3, 4}. Ker velja G{1,2} ≤G, sledi |G{1,2}| = |OG{1,2}({3, 4})| · |G{1,2},{3,4}|. Ker moramo ohraniti sosednosti inje (3 4 5) ∈ G{1,2}, velja OG{1,2}({3, 4}) = {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}, oziroma |Aut(P )| =10 · 3 · |G{1,2},{3,4}|.Po istem postopku lahko premislimo, da zaradi (3 4) ∈ G{1,2},{3,4} veljaOG{1,2},{3,4}({3, 5}) = {{3, 5}, {4, 5}} in posledicno |Aut(P )| = 10 ·3 ·2 · |G{1,2},{3,4},{3,5}|.Nazadnje si oglejmo se vozlisce {1, 5}. Zaradi (1 2) ∈ G{1,2},{3,4},{3,5} veljaOG{1,2},{3,4},{3,5}({1, 5}) = {{1, 5}, {2, 5}} in zato|Aut(P )| = 10 · 3 · 2 · 2 · |G{1,2},{3,4},{3,5},{1,5}| = 120 · |G{1,2},{3,4},{3,5},{1,5}|. Spo-mnimo se, da imamo v tem trenutku, ko iscemo |G{1,2},{3,4},{3,5},{1,5}|, fiksirana vozlisca{1, 2}, {3, 4}, {3, 5} in {1, 5}, iz cesar pa lahko sklepamo, da je G{1,2},{3,4},{3,5},{1,5} trivi-alen. Namrec, vsak avtomorfizem, ki fiksira omenjena stiri vozlisca, gotovo fiksira tudivozlisce {2, 4}, ki je edini skupni sosed {3, 5} in {1, 5}, podobno pa mora veljati tudiza ostala vozlisca. Ker je torej |G{1,2},{3,4},{3,5},{1,5}| = 1, sledi |Aut(P )| = 120. Ker zeod prej poznamo dejstvo S5 ≤ Aut(P ), zato koncno sledi Aut(P ) ∼= S5. �

Posploseni Petersenovi grafi se torej smatrajo za osnovno druzino bicirkulantov, predvsemzaradi najmanjse mozne netrivialne stopnje, pa tudi zaradi svoje strukture. Iz upodobi-tve s pomocjo dveh koncentricnih orbit vozlisc je namrec lepo vidno, da znotraj vsakeorbite obstaja en “tip” povezav, prav tako pa so “istolezna” vozlisca znotraj razlicnihorbit povezana z eno spico. Omeniti velja, da druzina GP (n, k) vendarle ni edina druzinakubicnih (simetricnih) bicirkulantov, vendar se v magistrskem delu v podrobnosti ne bomospuscali. Zainteresirani bralec si lahko vec o klasifikaciji vseh kubicnih simetricnih bicir-kulantov prebere v clanku Pisanskega ([11]).Druzina GP (n, k) je dobro izhodisce za obravnavo bicirkulantov tudi zato, ker s svojostrukturo dopuscajo kar nekaj moznih posplositev. Tako bi lahko na primer dodajali po-vezave znotraj posameznih orbit, modificirali zunanje povezave iz ui ∼ ui+1 v ui ∼ ui+m

15

Slika 3.2: GP (5, 2) z oznako vozlisc kot v dokazu trditve 3.4.

za m ∈ Zn,m 6= 1, itd. Ena od najbolj “naravnih” moznosti pa se zdi dodajanje povezav(spic) med obema orbitama. Tako simultano povecujemo stopnjo vozlisc v obeh orbi-tah, kar posledicno pomeni, da ohranjamo regularnost grafa, pri tem pa ne “porusimo”osnovne strukture samega grafa. To je tudi pot, ki jo uberemo v magistrskem delu. Vnadaljevanju bomo na kratko predstavili dve ze znani posplositvi Petersenovih grafov,pridobljeni na tak nacin. Gre za tako imenovane Rozetne grafe in Tabacjn grafe. Najvecpozornosti bomo nato namenili “novi” druzini posplositev, Nest grafom.

Prva taksna posplositev Posplosenih Petersenovih grafov, kjer imamo dve spici med obemaorbitama, so torej tako imenovani Rozetni grafi (originalno Rose-Window grafi), ki jih jeprvi obravnaval in tudi poimenoval Steve Wilson v [16]. Gre torej za bicirkulante stopnje4, vec o samem izvoru imena druzine pa si lahko bralec prebere v literaturi (na kratko tudiv [15], kjer je bila ta druzina grafov precej podrobno obravnavana). Oglejmo si definicijo:

Definicija. Naj bodo n, k, a ∈ N, n ≥ 3 in 1 ≤ a, k < n−1. Tedaj je Rozetni graf Rn(a, k)graf z mnozico vozlisc V (Rn(a, k)) = {ui, vi : i ∈ Zn} in mnozico povezav E(Rn(a, k)), kisestoji iz stirih disjunktnih podmnozic:

• podmnozica vseh zunanjih povezav oblike {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh notranjih povezav oblike {{vi, vi+k} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh ravnih spic oblike {{ui, vi} : i ∈ Zn} in

• podmnozica vseh (−a)-spic oblike {{ui, vi−a} : i ∈ Zn}.

Opomba. Rozetne grafe Rn(a, k) lahko s pomocjo definicije iz 2. poglavja zapisemo kotBCn[{±1}, {0,−a}, {±k}].

Opomba. Kot receno, naj bi slo za 4-valentne grafe. Zato navadno dodatno zahtevamotudi pogoj k 6= n

2, saj sicer graf sploh ni regularen.

16

Slika 3.3: R10(7, 6).

Prikaz Rozetnih grafov s pomocjo Fruchtove notacije je podan na sliki 2.1, primer Roze-tnega grafa R10(7, 6) pa na sliki 3.3.Ce so bili Posploseni Petersenovi grafi za obravnavo z vidika njihovih simetrij zaradi svojestrukture dokaj enostavni, pa pri Rozetnih grafih ni vec tako. Dodatna spica lahko namreciskanje avtomorfizmov precej zaplete. Kljub temu so nam v pomoc nekatera bolj ali manjocitna dejstva v zvezi z omenjeno druzino. V dokazovanje trditev se v magistrskem delune bomo spuscali, dokaze pa si bralec lahko ogleda v [15] in [16].

Trditev 3.5. Graf GP (n, k) je vpeti podgraf grafa Rn(a, k).

Trditev 3.6. Naj bodo n, k, a ∈ N, n ≥ 3 in 1 ≤ a, k ≤ n− 1. Tedaj velja naslednje:

• Rn(a, k) ∼= Rn(n− a, k).

• Rn(a, k) = Rn(a,−k).

• Ce velja D(n, k) = 1, potem je Rn(a, k) ∼= Rn(ak−1, k−1), kjer je k−1 multiplikativniinverz elementa k v Zn.

Trditev 3.7. Naj bodo n, k, a ∈ N, n ≥ 3 in 1 ≤ a, k ≤ n− 1. Tedaj grupa Aut(Rn(a, k))premore podgrupo, izomorfno diedrski grupi Dn.

Pri preucevanju avtomorfizmov Posplosenih Petersenovih grafov kljucno vlogo odigralema 3.3, ki pove, da je GP (n, k) povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko njegova grupaavtomorfizmov vsebuje avtomorfizem, ki neko spico preslika v povezavo, ki ni spica. Za-nimivo je, da podobna trditev velja tudi pri druzini Rozetnih grafov:

Trditev 3.8. Naj bodo n, k, a ∈ N, n ≥ 3 in 1 ≤ a, k ≤ n−1. Graf Rn(a, k) je povezavnotranzitiven natanko tedaj, ko obstaja avtomorfizem, ki neko spico preslika v povezavo, kini spica.

Opomba. Opozoriti velja, da zgornja trditev velja tako za ravne, kot tudi a-spice.

17

Wilson je v svojem clanku sicer prvi obravnaval Rozetne grafe, vendar njegov rezultat za-jema “le” identifikacijo stirih druzin povezavno tranzitivnih grafov iz te druzine. Njegovodelo so dokoncali Kovacs, Kutnar in Marusic, ki so v [7] pokazali, da drugih povezavnotranzitivnih Rozetnih grafov ni. Njihov skupni rezultat je tako naslednji izrek, ki ga vmagistrskem delu ne bomo dokazovali, bralec pa si lahko podroben dokaz, da gre res zapovezavno tranzitivne grafe, ogleda v [15]:

Izrek 3.9. Vsak povezavno tranzitiven Rozetni graf Rn(a, k) pripada eni izmed naslednjihstirih druzin:

1. Rn(2, 1), kjer je n ≥ 3,

2. R2m(m+ 2,m+ 1), kjer je m ≥ 3,

3. R12m(3m+ 2, 3m− 1) in R12m(3m− 2, 3m+ 1), kjer je m ≥ 1 in

4. R2m(2b, k), kjer je m ≥ 2, b2 ≡ ±1 (mod m), 2 ≤ 2b ≤ m, k ∈ {1,m− 1} in 2 - k.

18

Poglavje 4

Tabacjn grafi T (n; a, b; k)

V tem poglavju si bomo, sicer poblizje, a se vedno precej bezno, ogledali naslednjo po-splositev Posplosenih Petersenovih grafov, tako imenovane Tabacjn grafe.Tabacjn grafi si v magistrskem delu zasluzijo posebno poglavje, saj njihov pregled v di-plomskem delu [15] ni bil narejen. To poglavje je tako povzeto po clankih [1] in [8]. Vprvem clanku so Arroyo, Hubard, Kutnar, O’Reilly in Sparl kot prvi klasificirali locnotranzitivne Tabacjn grafe, v drugem pa so si Kutnar, Marusic, Miklavic in Strasek po-blizje ogledali avtomorfizme obravnavanih grafov.

Oglejmo si definicijo Tabacjn grafov:

Definicija. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N, in naj bodo a, b in k taksna naravna stevila, da velja1 ≤ a, b, k ≤ n − 1, k 6= n

2in a 6= b. Tedaj je Tabacjn graf T (n; a, b; k)1 graf z mnozico

vozlisc V (T (n; a, b; k)) = {ui, vi : i ∈ Zn} in mnozico povezav E(T (n; a, b; k)), ki sestoji izpetih disjunktnih podmnozic:

• podmnozica vseh zunanjih povezav oblike {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh notranjih povezav oblike {{vi, vi+k} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh ravnih spic oblike {{ui, vi} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh a-spic oblike {{ui, vi+a} : i ∈ Zn} in

• podmnozica vseh b-spic oblike {{ui, vi+b} : i ∈ Zn}.

Primer T (6; 1, 5; 2) je prikazan na sliki 4.1, Fruchtova notacija za Tabacjn grafe pa nasliki 4.2.

V nadaljevanju tega poglavja nevajamo nekaj zanimivih rezultatov, povzetih po prej ome-njeni literaturi, ki so povezani z nasim delom v nadaljevanju, vendar jih na tem mestune bomo dokazovali. Bralca vabimo, da si za boljsi pregled simetricnih Tabacjn grafovogleda [1], vendar hkrati opozorimo, da omenjeno delo sloni na nekaterih rezultatih, kizahtevajo poglobljeno znanje algebraicne teorije grafov.

1Originalna notacija Tabacjn grafa v [1] je sicer T (n; a, b; r), vendar zaradi enotnosti zapisa in v izogibzmedi na tem mestu raje uporabimo zapis T (n; a, b; k).

19

Slika 4.1: T (6; 1, 5; 2).

Slika 4.2: Fruchtova notacija za Tabacjn grafe.

Trditev 4.1. Grafa GP (n, k) in Rn(−a, k) sta vpeta podgrafa grafa T (n; a, b; k).

Trditev 4.2. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bodo a, b in k taksna naravna stevila, da velja1 ≤ a, b, k ≤ n− 1, k 6= n

2in a 6= b. Tedaj velja naslednje:

• T (n; a, b; k) ∼= T (n; a, b;−k) ∼= T (n;n−a, n−b; k) ∼= T (n;n−a, b−a; k) ∼= T (n;n−b, a− b; k).

• Ce velja D(n, k) = 1, potem je T (n; a, b; k) ∼= T (n;−ak−1,−bk−1; k−1), kjer je k−1

multiplikativni inverz elementa k v Zn.

Opomba. V zgornji trditvi parametre b− a, a− b, −ak−1 ... racunamo po modulu n.

Ze pri obravnavi avtomorfizmov Posplosenih Petersenovih in Rozetnih grafov, oziromaiskanju simetricnih grafov iz obeh druzin, lahko opazimo, da so avtorji poiskali nek “me-hanizem”, s katerim so si pomagali pri dokazovanju (povezavne) tranzitivnosti posameznihpoddruzin ali pa posameznih primerov grafov. Zanimivo je, da so avtorji v [1] ubrali precejdrugacno pot. Najprej so pokazali spodnji dve lemi 4.3 in 4.4, pri cemer so si pri dokazudruge pomagali z racunalnikom. Pred samima lemama si oglejmo se naslednjo definicijo:

Definicija. Naj bo Γ graf, G = Aut(Γ) in naj bo s ∈ N. Graf Γ je s-locno tranzitivengraf, ce G deluje tranzitivno na mnozici njegovih s-lokov, pri cemer je s-lok zaporedjevozlisc (v0, v1, ..., vs) v grafu Γ, za katera velja vi ∼ vi+1, kjer je 0 ≤ i < s in vi−1 6= vi+1,kjer je 0 < i ≤ s− 1.

20

Opomba. Ce se omejimo na grafe z minimalno stopnjo vsaj 2, je s-locno tranzitivengraf ocitno tudi (s − 1)-locno tranzitiven, o cemer bralcu ne bo tezko razmisliti. 0-locnatranzitivnost je drugo ime za vozliscno tranzitivnost, 1-locna tranzitivnost pa za locnotranzitivnost.

Lema 4.3. Ne obstaja noben Tabacjn graf T (n; a, b; k), ki bi bil 3-locno tranzitiven.

Lema 4.4. Grafa T (3; 1, 2; 1) ∼= K6 in T (6; 2, 4; 1) ∼= K6,6−6K2 sta edina 2-locno tranzi-tivna Tabacjn grafa T (n; a, b; k) za n < 240, graf T (6; 1, 5; 2) pa je edini preostali 1-locnotranzitiven Tabacjn graf T (n; a, b; k) za n < 40.

Predvsem s pomocjo zgornjih dveh lem, pa tudi z nekaterimi drugimi, globljimi rezultati spodrocja algebraicne teorije grafov, so nato avtorji v [1] zapisali in dokazali glavni rezultatsvojega dela:

Izrek 4.5. Tabacjn graf T (n; a, b; k) je locno tranzitiven, ce in samo ce je izomorfenenemu izmed naslednjih grafov:

• T (3; 1, 2; 1) ∼= K6,

• T (6; 2, 4; 1) ∼= K6,6 − 6K2, ali pa

• T (6; 1, 5; 2) (ki je izomorfen grafu ikozaedra2).

Na tem mestu v magistrskem delu zakljucujemo kratek pregled dela dosedanje obravnavesimetricnih bicirkulantov in se selimo na druzino 6-valentnih posplositev Posplosenih Pe-tersenovih grafov. Gre za druzino grafov, ki doslej ni bila obravnavana, zato so tudi vsidobljeni rezultati v zvezi z njimi izkljucno plod raziskave v okviru tega magistrskega dela.

Zanimivo je dejstvo, da se pri druzini GP (n, k) izkaze, da obstaja koncno mnogo sime-tricnih grafov, prav tako tudi pri druzini T (n; a, b; k), medtem ko pri druzini bicirkulantovRn(a, k) lahko identificiramo neskoncne druzine simetricnih primerkov. Ceprav ni jasno,zakaj je simetricnih bicirkulantov v obeh druzinah lihe valence koncno mnogo (lahko jerazlog v tem, da gre za liha stevila, mogoce, ker je valenca prastevilo, ...), pa iz doseda-njega trenda lahko predvidevamo, da bomo pri 6-valentnih bicirkulantih zopet naleteli naneskoncne poddruzine simetricnih grafov, oziroma da bo taksnih grafov neskoncno mnogo.Prav slednje, torej vprasanje, kaj se dogaja s simetrijami bicirkulantov seste stopnje, jebila glavna motivacija za nastanek tega magistrskega dela.

2Gre za skeletni graf istoimenskega platonskega telesa.

21

22

Poglavje 5

Nest grafi N (n; a, b, c; k)

Druzina tako imenovanih Nest grafov je druzina bicirkulantov stopnje 6, ki se torej odomenjenih Tabacjn grafov razlikuje v tem, da ima med obema orbitama vozlisc se po enododatno spico za vsako vozlisce.

Kot smo ze omenili, Nest grafi niso bili tema se nobene znanstvene raziskave, zato so vsirezultati, pridobljeni v nadaljevanju tega magistrskega dela, unikatni in sluzijo kot uvodv klasifikacijo simetricnih grafov te druzine.

Grafe iz te druzine smo poimenovali kot Nest grafe zaradi njihove “prepletenosti”, ko jihupodobimo s pomocjo koncentricnih orbit vozlisc. Tedaj spominjajo na ogrodje nacio-nalnega stadiona v Pekingu (Beijing National Stadium), imenovanega tudi Pticje gnezdo(Bird’s Nest). Stadion so zgradili za Olimpijske igre leta 2008 v Pekingu, od takrat paga uporabljajo za priloznostne prireditve (koncerti, prijateljske nogometne tekme, ...).Uporabo stadiona nacrtujejo tudi za Olimpijske in Paraolimpijske igre leta 2022.

Nest grafe oznacimo z N (n; a, b, c; k), vec o samih parametrih in lastnostih teh grafov pabomo povedali v nadaljevanju. Oglejmo si definicijo:

Definicija. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj je Nest graf

N (n; a, b, c; k) graf z mnozico vozlisc V (N (n; a, b, c; k)) = {ui, vi : i ∈ Zn} in mnozicopovezav E(N (n; a, b, c; k)), ki sestoji iz sestih disjunktnih podmnozic:

• podmnozica vseh zunanjih povezav oblike {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh notranjih povezav oblike {{vi, vi+k} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh ravnih spic oblike {{ui, vi} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh a-spic oblike {{ui, vi+a} : i ∈ Zn},

• podmnozica vseh b-spic oblike {{ui, vi+b} : i ∈ Zn} in

• podmnozica vseh c-spic oblike {{ui, vi+c} : i ∈ Zn}.

23

Opomba. V definiciji Nest grafov zahtevamo tudi pogoj k 6= n2. Parameter k predstavlja

“skoke” povezav v notranji orbiti vozlisc in v primeru, ko je k = n2

(kar je mogoce le,ko je n sodo stevilo), sta med seboj povezani po dve in dve nasprotni vozlisci (v0 ∼ vn

2,

v1 ∼ vn2+1, ...). S tem se dve povezavi zdruzita v eno in tako so vsa vozlisca vi stopnje 5. To

pomeni, da graf ni vec regularen in ne more biti vec niti vozliscno tranzitiven, posledicnopa tudi ne simetricen. Ker je glavni cilj magistrskega dela obravnava simetricnih Nestgrafov, je torej obravnava primerov, kjer velja k = n

2, nepotrebna in brezpredmetna.

Opomba. Nest grafe lahko s pomocjo druge definicije bicirkulantov iz 2. poglavjazapisemo kot BCn[{±1}, {0, a, b, c}, {±k}].

Primer Nest grafa je prikazan na sliki 5.1, slika 5.2 pa prikazuje Fruchtovo notacijo zaNest grafe.

Slika 5.1: N (6; 1, 3, 4; 1).

Slika 5.2: Fruchtova notacija za grafe N (n; a, b, c; k).

Za zacetek si poglejmo nekaj trditev, od katerih bodo nekatere bralcu v nadaljevanjukoristile pri razumevanju dokazov, nekatere pa bomo zapisali le kot zanimivost. Nekajtrditev je precej ocitnih, zato bomo premislek o njih prepustili bralcu, druge pa bomodokazali.

24

Trditev 5.1. Grafi GP (n, k), Rn(−a, k) in T (n; a, b; k) so vpeti podgrafi grafa N (n; a, b, c; k).

Trditev 5.2. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, da velja1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj velja N (n; a, b, c; k) =

N (n; a, c, b; k) = N (n; b, a, c; k) = N (n; b, c, a; k) = N (n; c, a, b; k) = N (n; c, b, a; k).

Dogovor. Ker velja zgornja trditev, je vrstni red parametrov a-, b- in c-spic v zapisuNest grafa nepomemben. Zaradi lazje obravnave bomo tako v nadaljevanju magistrskegadela parametre, ko bo slo za konkretna stevila, praviloma navajali po velikosti.

Trditev 5.3. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, da velja1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj velja N (n; a, b, c; k) ∼=

N (n;n− a, b− a, c− a; k) ∼= N (n; a− b, n− b, c− b; k) ∼= N (n; a− c, b− c, n− c; k).

Dokaz. Oglejmo si izomorfnost grafov N (n; a, b, c; k) ∼= N (n;n− a, b− a, c− a; k).Oznacimo vozlisca grafa Γ1 = N (n; a, b, c; k) z ui in vi za i ∈ Zn in vozlisca grafaΓ2 = N (n;n − a, b − a, c − a; k) z u′i in v′i za i ∈ Zn kot obicajno. Definirajmopreslikavo ϕ : V (Γ1) → V (Γ2), ki je podana s predpisom: ϕ(ui) = u′i in ϕ(vi) = v′i−a.Ocitno gre za bijekcijo, oglejmo pa si njeno delovanje na povezavah grafa Γ1:

• zunanje povezave {ui, ui+1} grafa Γ1 se preslikajo v zunanje povezave {u′i, u′i+1} grafaΓ2,

• notranje povezave {vi, vi+k} grafa Γ1 se preslikajo v notranje povezave {v′i−a, v′(i+k)−a} =

{v′i−a, v′(i−a)+k} grafa Γ2,

• ravne spice {ui, vi} grafa Γ1 se preslikajo v (n − a)-spice {u′i, v′i−a} = {u′i, v′i+(n−a)}grafa Γ2,

• a-spice {ui, vi+a} grafa Γ1 se preslikajo v ravne spice {u′i, v′(i+a)−a} = {u′i, v′i} grafaΓ2,

• b-spice {ui, vi+b} grafa Γ1 se preslikajo v (b− a)-spice {u′i, v′(i+b)−a} = {u′i, v′i+(b−a)}grafa Γ2,

• c-spice {ui, vi+c} grafa Γ1 se preslikajo v (c− a)-spice {u′i, v′(i+c)−a} = {u′i, v′i+(c−a)}grafa Γ2.

S tem smo pokazali, da je preslikava ϕ izomorfizem grafov in tako res veljaN (n; a, b, c; k) ∼=N (n;n− a, b− a, c− a; k), ostale izomorfizme iz trditve pa lahko najdemo na podobennacin. �

Opomba. V zgornjem dokazu smo pri preslikavi ravne spice v (n − a)-spico uporabilidejstvo, da v kolobarju Zn velja −a = n − a. To seveda izhaja iz dejstva, da indekseracunamo po modulu n, kar bomo v nadaljevanju magistrskega dela uporabili se veckrat.

Ceprav smo v zgornjem dokazu eno od izomorfnosti utemeljili tako, da smo nasli ustrezenizomorfizem, pa pravzaprav ni tezko razmisliti, da gre za izomorfizem grafov, kjer jenotranja orbita vozlisc grafa Γ2 zavrtena za amest. Bralec lahko razmisli, da po podobnemrazmisleku lahko pokazemo tudi drugi dve izomorfnosti iz trditve, ki sta pravzaprav vrteznotranje orbite vozlisc za b oziroma c mest.

25

Trditev 5.4. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila,da velja 1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj velja

N (n; a, b, c; k) = N (n; a, b, c;n− k) = N (n; a, b, c;−k).

Opomba. Bralec naj opazi, da v trditvi 5.4 ne govorimo o izomorfnosti, pac pa o enakosti.Gre torej za en in isti graf.

Trditev 5.5. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila,da velja 1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj velja

N (n; a, b, c; k) ∼= N (n;n− a, n− b, n− c; k) = N (n;−a,−b,−c; k).

Opomba. Zgornja trditev spada med tiste, katerih dokaz bomo prepustili bralcu. Vpomoc lahko zapisemo preslikavo ϕ : V (Γ1)→ V (Γ2), podano s predpisom ϕ(ui) = u′−i inϕ(vi) = v′−i, za katero je moc dokazati, da je res izomorfizem grafov.

Trditev 5.6. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1, a 6= b 6= c in D(n, k) = 1. Tedaj velja

N (n; a, b, c; k) ∼= N (n;−ak−1,−bk−1,−ck−1; k−1), kjer je k−1 multiplikativni inverz k vZn.

Dokaz. Ker velja D(n, k) = 1, zagotovo obstaja multiplikativni inverz k-ja v kolobarjuZn. Oznacimo ga s k−1.Oznacimo sedaj vozlisca grafa Γ1 = N (n; a, b, c; k) z ui in vi (i ∈ Zn), vozlisca grafaΓ2 = N (n;−ak−1,−bk−1,−ck−1; k−1) pa z u′i in v′i (i ∈ Zn) kot obicajno.Oglejmo si preslikavo ϕ : V (Γ1) → V (Γ2), podano s predpisom ϕ(ui) = v′ik−1 inϕ(vi) = u′ik−1 . Ker velja D(n, k) = 1, je tudi D(n, k−1) = 1, torej je ϕ ocitno bijekcija,oglejmo pa si njeno delovanje na mnozici povezav V (Γ1):

• zunanje povezave {ui, ui+1} grafa Γ1 se preslikajo v notranje povezave{v′ik−1 , v′(i+1)k−1} = {v′ik−1 , v′ik−1+k−1} grafa Γ2,

• ravne spice {ui, vi} grafa Γ1 se preslikajo v ravne spice {v′ik−1 , u′ik−1} grafa Γ2,

• a-spice {ui, vi+a} grafa Γ1 se preslikajo v (−ak−1)-spice {v′ik−1 , u′(i+a)k−1} =

{v′ik−1 , u′ik−1+ak−1} grafa Γ2,

• b-spice {ui, vi+b} grafa Γ1 se preslikajo v (−bk−1)-spice {v′ik−1 , u′(i+b)k−1} =

{v′ik−1 , u′ik−1+bk−1} grafa Γ2,

• c-spice {ui, vi+c} grafa Γ1 se preslikajo v (−ck−1)-spice {v′ik−1 , u′(i+c)k−1} =

{v′ik−1 , u′ik−1+ck−1} grafa Γ2,

• notranje povezave {vi, vi+k} grafa Γ1 se preslikajo v zunanje povezave{u′ik−1 , u′(i+k)k−1} = {u′ik−1 , u′ik−1+1} grafa Γ2.

Preslikava ϕ je torej bijektivna in ohranja sosednosti in je zato izomorfizem med gra-foma Γ1 in Γ2. �

26

Slika 5.3: Γ1 = N (7; 1, 2, 5; 2) (levo) ∼= Γ2 = N (7; 1, 3, 6; 4) (desno).

Primer izomorfizma iz trditve 5.6 je prikazan na sliki 5.3. Pri desnem grafu (grafu Γ2) sopoleg njegovih vozlisc (u′i, v

′i : i ∈ Z7) za pomoc bralcu z modro prikazana tudi vozlisca

grafa Γ1 (ui, vi : i ∈ Z7), ki se, s pomocjo izomorfizma ϕ (iz dokaza trditve), vanjepreslikajo.Izomorfizmi med dvema Nest grafoma iz vseh prejsnjih trditev se zdijo s pomocjo pri-merne interpretacije konkretnega izomorfizma precej enostavni in naravni (kot receno,lahko izomorfizme iz trditve 5.3 zlahka opazimo kot vrtenja notranje orbite vozlisc). Zaizomorfizem iz trditve 5.6 se na prvi pogled morda zdi, da gre za precej kompliciran in“umeten” izomorfizem. Kljub temu lahko tudi v tem primeru premislimo, da gre pravza-prav za izomorfizem, ki zgolj zamenja vlogi zunanje in notranje orbite.

S pomocjo vseh zgornjih trditev smo tako pokazali obstoj dolocenih konkretnih izomorfiz-mov med Nest grafi. Pri bicirkulantih nizje stopnje, konkretneje Posplosenih Petersenovihin Rozetnih grafih, se je pozkazalo, da poleg (2, n)-semiregularnega avtomorfizma ρ vednoobstaja vsaj se neko zrcaljenje τ , posledicno pa zato pri teh grafih grupa avtomorfizmovvedno vsebuje vsaj diedrsko grupo Dn, kjer gre za graf reda 2n.Pri Nest grafih se izkaze, da obstajajo taki Nest grafi reda 2n, za katere je grupa avto-morfizmov reda n (trditev 5.7), ko pa so parametri a, b in c dovolj “lepi” (trditev 5.8), vgrupi avtomorfizmov zopet najdemo diedrsko grupo Dn. Kot bomo videli v nadaljevanjumagistrskega dela, pogoj iz trditve 5.8 velja za skoraj vse smetricne Nest grafe, ki jihsrecamo v nadaljevanju.

Trditev 5.7. Naj bo d ≥ 3 poljubno naravno stevilo. Tedaj za Nest graf N (3d; 1, d, 2d; d)velja |Aut(N (3d; 1, d, 2d; d))| = 3d.

Dokaz. Oznacimo Γ = N (3d; 1, d, 2d; d) in G = Aut(Γ). Ker je Γ Nest graf, je bi-cirkulant in po definiciji dopusca avtomorfizem, ki v dveh orbitah dolzine 3d ciklicnopermutira njegova vozlisca (tudi na tem mestu ga oznacimo z ρ).Vzemimo vozlisce u0 ∈ V (Γ). Po izreku o orbiti in stabilizatorju (2.4) velja |G| =|O(u0)| · |Gu0|, opazimo pa lahko, da vozlisce u0 lezi na 5 triciklih ((u0, u1, v1),

27

(u−1, u0, v0), (u0, v0, vd), (u0, v0, v2d) in (u0, vd, v2d)). Po drugi strani vozlisce v0 ∈ V (Γ)lezi na 8 triciklih ((v0, vd, v2d), (u0, v0, vd), (u0, v0, v2d), (v0, vd, ud), (v0, v2d, u2d),(u0, v0, u−1), (v0, v2d, ud) in (v0, vd, u2d)), kar pomeni da si vozlisci u0 in v0 po lastnostihnista enaki. Zaradi obstoja semiregularnega avtomorfizma ρ posledicno velja, da sivozlisca zunanje orbite in vozlisca notranje orbite niso enaka in tako ne more obstajatinoben avtomorfizem, ki bi katerokoli vozlisce ui preslikal v katerokoli vozlisce vi. GrafΓ tako ni vozliscno tranzitiven, zato velja |O(u0)| = 3d. Pokazati moramo torej se,da velja |Gu0| = 1. Z drugimi besedami, pokazati moramo, da fiksiranje vozlisca u0pomeni tudi fiksiranje ostalih vozlisca grafa Γ.

Predpostavimo, da obstaja nek avtomorfizem ϕ, ki fiksira vozlisce u0, ne pa tudi nje-govega soseda u1. Ker je ϕ avtomorfizem, se u1 lahko preslika le v u−1 (v v0, v1, vd inv2d pa ne, saj smo ze prej pokazali, da so vozlisca zunanje in notranje orbite bistvenorazlicna). Ker je v1 edini skupni sosed vozlisc u0 in u1, prav tako pa je v0 edini skupnisosed vozlisc u−1 in u0, se mora v0 s ϕ preslikati v v1. Ker pa par {u0, v0} lezi na trehtriciklih, par {u0, v1} pa le na enem, avtomorfizem ϕ ne more fiksirati u0, hkrati pa v0preslikati v v1. Zakljucimo torej lahko, da tak ϕ, ki bi fiskiral u0, ne pa tudi njegovegasoseda u1, v G ne obstaja.

Pokazali smo, da ob fiksiranju vozlisca u0 fiksiramo tudi njegovega soseda u1. Induk-tivno ponavljamo ta razmislek in tako ugotovimo, da s fiksiranjem vozlisca u0 fiksiramovsa ostala vozlisca zunanje orbite semiregularnega avtomorfizma (torej vozlisca oblikeui). Na tem mestu si moramo ogledati se, kaj se dogaja z vozlisci notranje orbite, torejvozlisci vi, i ∈ Z3d. Iz zgornjega razmisleka, da le vozlisce v0 z u0 lezi na treh triciklih,opazimo, da tudi v0 ne moremo preslikati v nobeno drugo vozlisce notranje orbite. Poinduktivnem razmisleku torej fiksiramo tudi vsa vozlisca notranje orbite.

Ker torej ob fiksiranju vozlisca u0 fiskiramo tudi vsa ostala vozlisca grafa Γ, sledi|Gu0 | = 1 in tako |G| = 3d. �

Zgornja trditev torej pove, da obstaja konkretna druzina Nest grafov reda 2n, katerihgrupa avtomorfizmov je reda n. To posledicno pomeni, da dopusca le semiregularni av-tomorfizem ρ (in njegove potence), ki ciklicno permutira vozlisca v dveh orbitah in veljaAut(N (n; a, b, c; k)) ∼= Zn.

Ker je druzina iz trditve 5.7 neskoncna, lahko torej zakljucimo, da obstaja neskoncnomnogo Nest grafov, ki dopuscajo le semiregularni avtomorfizem ρ in njegove potence.Vidimo lahko, da ta druzina za vsak n, deljiv s 3, vsebuje natanko enega clana do izo-morfizma natancno, zaradi cesar jo lahko oznacimo za relativno majhno druzino. Kljubtemu to se zdalec ne pomeni, da je Nest grafov, ki dopuscajo le avtomorfizem ρ in njegovepotence, malo. Prav nasprotno, ce s pomocjo programskega paketa Magma izracunamodelez takih Nest grafov med vsemi Nest grafi (do izmorfizma natancno) med n = 20 inn = 30, dobimo kar 67,986 % (stevilo vseh Nest grafov med n = 20 in n = 30 je doizomorfizma natancno 30415, stevilo takih, ki dopuscajo le ρ in njegove potence, pa doizomorfizma natancno 20678).

28

Slika 5.4: Primer grafa iz trditve 5.7 za d = 4 (N (12; 1, 4, 8; 4)) z oznacenimi tricikli, nakaterih lezita u0 in v0.

Kot receno, v primeru, ko so parametri a, b in c dovolj “lepe” oblike, vendarle dobimododatne avtomorfizme.

Trditev 5.8. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n − 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1, a 6= b 6= c in (po morebitni pemutaciji

parametrov) a + b = c (mod n). Tedaj grupa avtomorfizmov Aut(N (n; a, b, c; k)) vsebujepodgrupo reda 2n, ki je izomorfna diedrski grupi Dn.

Dokaz. Definirajmo preslikavi vozlisc ρ in τ , ki sta podani s predpisoma:

∀i ∈ Zn : ρ(ui) = ui+1, ρ(vi) = vi+1

∀i ∈ Zn : τ(ui) = u−i, τ(vi) = v−i+c

Ker so Nest grafi bicirkulanti, je ρ seveda avtomorfizem. Oglejmo si sedaj delovanjepermutacije τ :

• zunanje povezave {ui, ui+1} se preslikajo v zunanje povezave {u−i, u−(i+1)} = {u−i, u−i−1},

• ravne spice {ui, vi} se preslikajo v c-spice {u−i, v−i+c},

• a-spice {ui, vi+a} se preslikajo v b-spice {u−i, v−(i+a)+c} = {u−i, v−i+c−a} = {u−i, v−i+b},

• b-spice {ui, vi+b} se preslikajo v a-spice {u−i, v−(i+b)+c} = {u−i, v−i+c−b} = {u−i, v−i+a},

• c-spice {ui, vi+c} se preslikajo v ravne spice {u−i, v−(i+c)+c} = {u−i, v−i},

• notranje povezave {vi, vi+k} se preslikajo v notranje povezave {v−i+c, v−(i+k)+c} ={v−i+c, v(−i+c)−k}.

29

Tako sta torej ρ in τ avtomorfizma grafa. Ocitno je, da velja |ρ| = n in |τ | = 2.Oznacimo sedaj H = 〈ρ, τ〉. Da bo veljalo H ∼= Dn moramo preveriti se pogoj, ki veljaza diedrske grupe, to je τρτ = ρ−1:

• ρ−1(ui) = ui−1 in τρτ(ui) = τρ(u−i) = τ(u−i+1) = ui−1,

• ρ−1(vi) = vi−1 in τρτ(vi) = τρ(v−i+c) = τ(v−i+c+1) = v−(−i+c+1)+c = vi−1.

Sledi τρτ = ρ−1 in tako Dn∼= H = 〈ρ, τ〉 ≤ Aut(N (n; a, b, c; k)). �

Dogovor. Na tem mestu se dogovorimo, da bomo v nadaljevanju magistrskega dela vprimerih, ko bo graf N (n; a, b, c; k) zadoscal pogojem trditve 5.8, s H vedno oznacevaligrupo 〈ρ, τ〉 ∼= Dn iz zgornjega dokaza.

Opomba. Bralec naj opazi, da ima grupa H pri delovanju na mnozici povezav 4 orbite.Avtomorfizem ρ poskrbi, da so v isti H-orbiti vse povezave istega tipa (torej vse zunanjepovezave v isti H-orbiti, vse a-spice v isti H-orbiti, itd.), avtomorfizem τ pa zdruzi 〈ρ〉-orbiti ravnih in c-spic ter 〈ρ〉-orbiti a- in b-spic. Tako dobimo naslednje 4 orbite delovanjagrupe H na mnozico povezav:

1. O1 = {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

2. O2 = {{ui, vi+a} ∪ {ui, vi+b} : i ∈ Zn},

3. O3 = {{ui, vi} ∪ {ui, vi+c} : i ∈ Zn} in

4. O4 = {{vi, vi+k} : i ∈ Zn}.

30

Poglavje 6

Locno tranzitivni Nest grafi

Ce bi zeleli v celoti klasificirati simetricne Nest grafe, bi morali v splosnem opraviti na-slednje tri korake. V prvem koraku moramo identificirati vse simetricne Nest grafe (naprimer v obliki neskoncnih druzin takih grafov), pri cemer nam je lahko v pomoc kakprogramski paket, na primer Magma [2]. V drugem koraku moramo za vsakega od iden-tificiranih grafov (oziroma pri druzinah za vsakega clana) teoreticno dokazati, da gre resza simetricne grafe, v zadnjem, najtezjem koraku, pa je potrebno pokazati, da drugihsimetricnih Nest grafov ni. Ker se je ze pri Rozetnih in Tabacjn grafih izkazalo, da jezadnji korak precej netrivialen in obsezen, uporablja pa tudi precej globoke rezultate izteorije grup in teorije grafov (na primer teorijo krovnih grafov), ne gre pricakovati, da biv okviru tega magistrskega dela dobili celotno klasifikacijo simetricnih Nest grafov. Kerje na izbiro grafov za preucevanje vplivalo predvsem dejstvo, da Nest grafi niso bili pred-met se nobene znanstvene raziskave, so rezultati magistrskega dela kljub temu izvirni inpostavljajo temelje za morebitno klasifikacijo vseh simetricnih Nest grafov v prihodnosti.

Oglejmo si najprej trditev, ki nam bo prisla prav kasneje, pri dokazovanju locne tranzi-tivnosti clanov identificiranih druzin Nest grafov.

Trditev 6.1. Graf Γ je locno tranzitiven natanko tedaj, ko je povezavno tranzitiven inobstaja par sosednjih vozlisc x, y ∈ V (Γ) ter avtomorfizem ϕ ∈ Aut(Γ), ki ju zamenja.

Dokaz. Naj bo Γ graf in naj bosta x, y ∈ V (Γ) sosednji vozlisci tega grafa.(⇒) Naj bo Γ simetricen. Po definiciji locne tranzitivnosti grupa Aut(Γ) na mnozicilokov deluje tranzitivno, kar pomeni, da lahko vsak lok preslikamo v vsak drug lokgrafa, med drugim tudi (x, y) v (y, x). Prav tako po trditvi 2.6 velja, da je Γ povezavnotranzitiven.(⇐) Naj bo Γ povezavno tranzitiven, ϕ ∈ Aut(Γ) avtomorfizem, ki zamenja x in y,z u, v in s, t ∈ V (Γ) pa oznacimo dva para sosednih vozlisc v Γ. Ker je Γ povezavnotranzitiven, obstaja nek avtomorfizem α, ki povezavo {u, v} preslika v {x, y}, pa tudiavtomorfizem β, ki preslika povezavo {x, y} v {s, t}. Kompozitum preslikav β ◦ αtako preslika {u, v} v {s, t}. Ce upostevamo se dejstvo, da ϕ zamenja vozlisci x in y,ugotovimo, da nam tudi kompozitum avtomorfizmov β ◦ ϕ ◦ α preslika {u, v} v {s, t},le da se enkrat u preslika v s, drugic pa v t. Torej smo lok (u, v) enkrat preslikali v lok(s, t), drugic pa v (t, s). Sledi, da lahko katerikoli lok grafa Γ preslikamo v katerikoli

31

drug lok tega grafa. S tem Aut(Γ) na mnozico lokov grafa deluje tranzitivno, kar podefiniciji pomeni, da je Γ locno tranzitiven. �

6.1 Rezultati programskega paketa Magma

Prvi korak, ki ga je smiselno storiti pri iskanju simetricnih Nest grafov je, da s pomocjoprogramskega paketa Magma poiscemo vse simetricne N (n; a, b, c; k) grafe do nekega ra-zumnega reda.

Ko programsko kodo, ki si jo lahko bralec ogleda v prilogi 1 (stran 65), zazenemo vprogramskem paketu, nam identificira locno tranzitivne Nest grafe do izbranega reda (doizomorfizma natancno). V spodnji tabeli 6.1 so prikazani vsi locno tranzitivni Nest grafido reda vkljucno 2 · 160 = 320. V njej so za vsak graf podani parametri n, a, b, c in k, patudi velikost grupe avtomorfizmov, velikost stabilizatorja in ozina grafa.

Tabela 6.1: Rezultati programskega paketa Magma

n a b c k Γ = N (n; a, b, c; k) |Aut(Γ)| |Aut(Γ)x| Ozina

4 1 2 3 1 N (4; 1, 2, 3; 1) 384 48 3

5 1 2 3 2 N (5; 1, 2, 3; 2) 120 12 3

6 1 3 4 1 N (6; 1, 3, 4; 1) 144 12 3

8 1 2 5 3 N (8; 1, 2, 5; 3) 192 12 3

8 1 3 4 3 N (8; 1, 3, 4; 3) 1152 72 3

10 2 5 7 1 N (10; 2, 5, 7; 1) 240 12 4

10 1 3 4 3 N (10; 1, 3, 4; 3) 240 12 3

10 2 4 6 3 N (10; 2, 4, 6; 3) 240 12 4

12 1 3 10 5 N (12; 1, 3, 10; 5) 144 6 3

12 2 4 8 5 N (12; 2, 4, 8; 5) 1152 48 4

14 1 5 6 1 N (14; 1, 5, 6; 1) 168 6 3

14 2 7 9 1 N (14; 2, 7, 9; 1) 336 12 4

18 2 9 11 1 N (18; 2, 9, 11; 1) 432 12 4

18 3 7 10 1 N (18; 3, 7, 10; 1) 216 6 4

20 2 5 7 9 N (20; 2, 5, 7; 9) 240 6 4

22 2 11 13 1 N (22; 2, 11, 13; 1) 528 12 4

26 1 7 8 1 N (26; 1, 7, 8; 1) 312 6 3

26 2 13 15 1 N (26; 2, 13, 15; 1) 624 12 4

28 2 7 9 13 N (28; 2, 7, 9; 13) 336 6 4

30 2 15 17 1 N (30; 2, 15, 17; 1) 720 12 4

34 2 17 19 1 N (34; 2, 17, 19; 1) 816 12 4

32

36 2 9 11 17 N (36; 2, 9, 11; 17) 432 6 4

38 1 15 16 1 N (38; 1, 15, 16; 1) 456 6 3

38 2 19 21 1 N (38; 2, 19, 21; 1) 912 12 4

42 1 9 10 1 N (42; 1, 9, 10; 1) 504 6 3

42 2 21 23 1 N (42; 2, 21, 23; 1) 1008 12 4

44 2 11 13 21 N (44; 2, 11, 13; 21) 528 6 4

46 2 23 25 1 N (46; 2, 23, 25; 1) 1104 12 4

50 2 25 27 1 N (50; 2, 25, 27; 1) 1200 12 4

52 2 13 15 25 N (52; 2, 13, 15; 25) 624 6 4

54 2 27 29 1 N (54; 2, 27, 29; 1) 1296 12 4

54 9 25 34 1 N (54; 9, 25, 34; 1) 648 6 4

58 2 29 31 1 N (58; 2, 29, 31; 1) 1392 12 4

60 2 15 17 29 N (60; 2, 15, 17; 29) 720 6 4

62 1 11 12 1 N (62; 1, 11, 12; 1) 744 6 3

62 2 31 33 1 N (62; 2, 31, 33; 1) 1488 12 4

66 2 33 35 1 N (66; 2, 33, 35; 1) 1584 12 4

68 2 17 19 33 N (68; 2, 17, 19; 33) 816 6 4

70 2 35 37 1 N (70; 2, 35, 37; 1) 1680 12 4

70 5 27 32 1 N (70; 5, 27, 32; 1) 840 6 4

74 1 21 22 1 N (74; 1, 21, 22; 1) 888 6 3

74 2 37 39 1 N (74; 2, 37, 39; 1) 1776 12 4

76 2 19 21 37 N (76; 2, 19, 21; 37) 912 6 4

78 1 33 34 1 N (78; 1, 33, 34; 1) 936 6 3

78 2 39 41 1 N (78; 2, 39, 41; 1) 1872 12 4

82 2 41 43 1 N (82; 2, 41, 43; 1) 1968 12 4

84 2 21 23 41 N (84; 2, 21, 23; 41) 1008 6 4

86 1 13 14 1 N (86; 1, 13, 14; 1) 1032 6 3

86 2 43 45 1 N (86; 2, 43, 45; 1) 2064 12 4

90 2 45 47 1 N (90; 2, 45, 47; 1) 2160 12 4

90 15 43 58 1 N (90; 15, 43, 58; 1) 1080 6 4

92 2 23 25 45 N (92; 2, 23, 25; 45) 1104 6 4

94 2 47 49 1 N (94; 2, 47, 49; 1) 2256 12 4

98 1 37 38 1 N (98; 1, 37, 38; 1) 1176 6 3

98 2 49 51 1 N (98; 2, 49, 51; 1) 2352 12 4

100 2 25 27 49 N (100; 2, 25, 27; 49) 1200 6 4

102 2 51 53 1 N (102; 2, 51, 53; 1) 2448 12 4

33

106 2 53 55 1 N (106; 2, 53, 55; 1) 2544 12 4

108 2 27 29 53 N (108; 2, 27, 29; 53) 1296 6 4

110 2 55 57 1 N (110; 2, 55, 57; 1) 2640 12 4

114 1 15 16 1 N (114; 1, 15, 16; 1) 1368 6 3

114 2 57 59 1 N (114; 2, 57, 59; 1) 2736 12 4

116 2 29 31 57 N (116; 2, 29, 31; 57) 1392 6 4

118 2 59 61 1 N (118; 2, 59, 61; 1) 2832 12 4

122 1 27 28 1 N (122; 1, 27, 28; 1) 1464 6 3

122 2 61 63 1 N (122; 2, 61, 63; 1) 2928 12 4

124 2 31 33 61 N (124; 2, 31, 33; 61) 1488 6 4

126 2 63 65 1 N (126; 2, 63, 65; 1) 3024 12 4

126 8 51 83 1 N (126; 8, 51, 83; 1) 1512 6 4

126 9 43 52 1 N (126; 9, 43, 52; 1) 1512 6 4

126 10 43 93 1 N (126; 10, 43, 93; 1) 1512 6 4

126 21 61 82 1 N (126; 21, 61, 82; 1) 1512 6 4

130 2 65 67 1 N (130; 2, 65, 67; 1) 3120 12 4

130 8 53 85 1 N (130; 8, 53, 85; 1) 1560 6 4

132 2 33 35 65 N (132; 2, 33, 35; 65) 1584 6 4

134 1 59 60 1 N (134; 1, 59, 60; 1) 1608 6 3

134 2 67 69 1 N (134; 2, 67, 69; 1) 3216 12 4

138 2 69 71 1 N (138; 2, 69, 71; 1) 3312 12 4

140 2 35 37 69 N (140; 2, 35, 37; 69) 1680 6 4

142 2 71 73 1 N (142; 2, 71, 73; 1) 3408 12 4

146 1 17 18 1 N (146; 1, 17, 18; 1) 1752 6 3

146 2 73 75 1 N (146; 2, 73, 75; 1) 3504 12 4

148 2 37 39 73 N (148; 2, 37, 39; 73) 1776 6 4

150 2 75 77 1 N (150; 2, 75, 77; 1) 3600 12 4

154 2 77 79 1 N (154; 2, 77, 79; 1) 3696 12 4

154 13 33 46 1 N (154; 13, 33, 46; 1) 1848 6 4

156 2 39 41 77 N (156; 2, 39, 41; 77) 1872 6 4

158 1 47 48 1 N (158; 1, 47, 48; 1) 1896 6 3

158 2 79 81 1 N (158; 2, 79, 81; 1) 3792 12 4

Ko nam programski paket vrne rezultate, sledi naslednji korak, to je identifikacija druzinlocno tranzitivnih Nest grafov. Ta korak zahteva veliko razmisleka in iznajdljivosti, in vsplosnem ni preprost, vendar pa se po natancni analizi izkaze, da lahko izluscimo nekajlastnosti (na primer vrednost parametra k), po katerih je mogoce nekatere izmed druzinprecej preprosto identificirati.

34

Po drugi strani se bo v nadaljevanju magistrskega dela izkazalo, da se vseh locno tran-zitivnih Nest grafov vendarle ne da na tako preprost nacin razvrstiti v katero od druzin.Takih grafov je sicer za relativno majhne rede malo, vendar nam vseeno povedo, da polegidentificiranih druzin iz naslednjega razdelka obstajajo se druge.

V nadaljevanju magistrskega dela si bomo ogledali rezultate, ki jih lahko izluscimo iztabele 6.1. Najprej bomo postavili nekaj ocitnih domnev in izpostavili nekatera ocitnadejstva, nato bomo pridobljene simetricne Nest grafe razporedili v neskoncne druzine inza njihove clane v locenih podrazdelkih dokazali, da so res locno tranzitivni, predstavilipa bomo tudi manjse, sporadicne primere, ki jih, zaradi njihove unikatnosti, ne moremouvrstiti v nobeno od druzin. Oglejmo si sedaj te domneve:

Domneva 6.2. Naj bo n > 5 liho naravno stevilo, a, b, c in k pa naj bodo taksna naravnastevila, da velja 1 ≤ k ≤ n− 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n− 1 in a 6= b 6= c. Tedaj graf N (n; a, b, c; k)ni locno tranzitiven.

Opomba. Domnevamo torej, da za lihe n-je, vecje od 5, ne obstaja noben locno tranzi-tiven Nest graf reda 2n.

Domneva 6.3. Naj bo n > 8, n ∈ N in n ≡ 0 (mod 8), a, b, c in k pa naj bodo taksnanaravna stevila, da velja 1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Tedaj grafN (n; a, b, c; k) ni locno tranzitiven.

Opomba. Domnevamo torej, da za n-je, vecje od 8, ki so deljivi z 8, ne obstaja nobenlocno tranzitiven Nest graf reda 2n.

Domneva 6.4. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, a, b, c in k pa naj bodo taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n− 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n− 1 in a 6= b 6= c. Ce je Nest graf N (n; a, b, c; k) locnotranzitiven, potem (po morebitni permutaciji parametrov a, b in c) velja a+b = c (mod n),ali pa gre za graf N (8; 1, 2, 5; 3) ali N (12; 2, 4, 8; 5).

Domneva 6.5. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, a, b, c in k pa naj bodo taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Ce je Nest graf N (n; a, b, c; k)simetricen, je red njegovega stabilizatorja vozlisca enak 6 ali 12, ali pa gre za enega odNest grafov N (4; 1, 2, 3; 1), N (12; 2, 4, 8; 5) (slednja imata stabilizator vozlisca reda 48),oziroma N (8; 1, 3, 4; 3) (red stabilizatorja vozlisca je 72).

Domneva 6.6. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N, a, b, c in k pa naj bodo taksna naravna stevila, davelja 1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n − 1 in a 6= b 6= c. Ce je Nest graf N (n; a, b, c; k)simetricen, ima ozino 3 ali 4.

Domnevamo torej, da imajo vsi simetricni Nest grafi ozino 3 ali 4. V nadaljevanju ma-gistrskega dela bomo poskusili storiti se korak naprej in klasificirati vse simetricne Nestgrafe ozine 3. Kot posledico postavljamo spodnjo domnevo 6.7, ki jo bomo v nadaljevanjuuspeli tudi skoraj v celoti dokazati. Ker se del dokaza izkaze za pretrd oreh, 6.7 zaenkratostaja domneva.

35

Domneva 6.7 (Klasifikacija simetricnih Nest grafov ozine 3). Naj bo Γ povezan grafstopnje 6 in ozine 3. Tedaj je Γ locno tranzitiven Nest graf natanko tedaj, ko je izomorfengrafu N (n; 1, 2b0 + 1, 2b0 + 2; 1), kjer je b0 ≥ 1, n pa je poljuben sodi delitelj stevila2(b20 + b0 + 1), ki ni manjsi od 4b0 + 2, ali pa je Γ izomorfen enemu izmed naslednjih Nestgrafov:

a) N (4; 1, 2, 3; 1),

b) N (5; 1, 2, 3; 2),

c) N (8; 1, 3, 4; 3),

d) N (8; 1, 2, 5; 3),

e) N (10; 1, 3, 4; 3),

f) N (12; 1, 3, 10; 5).

Poleg tega velja, da v primeru f) vsaka povezava grafa Γ lezi na natanko enem triciklu,v primeru b) vsaka povezava grafa Γ lezi na natanko treh triciklih, v primeru a) vsakapovezava grafa Γ lezi na natanko stirih triciklih, v vseh ostalih primerih pa vsaka povezavagrafa Γ lezi na natanko dveh triciklih.

Osnovno vodilo magistrskega dela je bilo izvesti prva dva koraka klasifikacije simetricnihNest grafov, saj se je ze na zacetku zdelo, da bo zadnji korak, to je dokaz, da drugih locnotranzitivnih Nest grafov ni, prezahteven. Zal se izkaze, da lahko sicer vecino simetricnihNest grafov iz tabele 6.1 razporedimo v druzine, ki jih bomo identificirali v razdelku 6.3,vendar pa nam to ne uspe za vse grafe. Na tem mestu navedimo druzine, ki smo jih uspeliidentificirati:

Naj bodo n,m, p, r ∈ N, n ≥ 4 in m, r ≥ 2, a, b, c in k pa naj bodo taksna naravna stevila,da velja 1 ≤ k ≤ n− 1, k 6= n

2, 1 ≤ a, b, c ≤ n− 1 in a 6= b 6= c.

Identificirane druzine locno tranzitivnih grafov so:

1. N (n; 2, n4, n4

+ 2; n2− 1), kjer je n > 8 in n ≡ 4 (mod 8).

Clane prve druzine simetricnih Nest grafov je v tabeli 6.1 najlazje razbrati, predvsemzaradi karakteristik parametra k. Bralec lahko opazi, da je ta pri vseh clanih iden-tificirane druzine enak n

2− 1, medtem ko je parameter a konstanten (enak 2). Hitro

lahko opazimo tudi povezavo med parametroma b in c ter n (b = n4

in c = n4

+ 2).

2. N (n; 2, n2, n2

+ 2; 1), kjer je n ≡ 2 (mod 4).Druga druzina identificiranih simetricnih Nest grafov je prva od identificiranih druzin,kjer velja k = 1. Tudi clane te druzine je iz tabele 6.1 precej lahko opaziti, saj zanjeocitno velja a = 2, b = n

2in c = n

2+ 2.

3. N (2(m2 −m+ 1); 1, 2m− 1, 2m; 1).Ce je bilo pri prvih dveh druzinah iz rezultatov, ki jih vrne programski paket Ma-gma, precej preprosto razbrati formuli, oznaciti njune clane in omejiti n, pa pri tretjidruzini naletimo na malce vecje tezave. Bolj kot na parameter n se tokrat pri iska-nju osredotocimo na parameter b in si tako v vzorcu ogledamo grafe N (14; 1, 5, 6; 1),

36

N (26; 1, 7, 8; 1), N (42; 1, 9, 10; 1), N (62; 1, 11, 12; 1), N (86; 1, 13, 14; 1) inN (114; 1, 15, 16; 1). Opazimo lahko, da si njihovi parametri b-spic (in posledicnoc-spic) sledijo v lepem zaporedju, zato si lahko ogledamo n-je. Bralec lahko za za-poredje 14, 26, 42, 62, 86... hitro opazi rekurzivno formulo am+1 = am + 4(m − 1),vendar 14 ni prvi clen. Tako sledi a0 = 2 (in posledicno a1 = 2 in a2 = 6, odtodtudi pogoj m ≥ 3 v definiciji druzine). Z uporabo rodovnih funkcij lahko hitropridelamo eksplicitno formulo zaporedja n = 2(m2 −m+ 1), bralcu pa ne bo tezkoopaziti zveze med m in parametroma b-spic in c-spic.

4. N (18(2p− 1); 3(2p− 1), 18p− 11, 2(12p− 7); 1).Bralec bo lahko opazil, da se oblika same druzine precej razlikuje od prejsnjih, zatoje bila tudi njena identifikacija precej tezavna. Na sreco si parametri a-spic sledijov zaporedju, katerega vsak clen je deljiv s 3, opazimo pa lahko tudi, da je n ravnosestkratnik tega parametra. Od tukaj dalje je bilo potrebno povezati pridobljenerezultate z ostalima dvema parametroma (b- in c-spic). Ceprav povezava ni vidnatakoj, pa jo z nekaj dela hitro pridelamo, medtem ko je parameter k v obravnavanidruzini konstanten (enak 1).

5. N (6(r2 − r) + 2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1).Identifikacija te poddruzine Nest grafov je iz tabele iz razdelka 6.1 potekala predvsemprek parametrov b- in c-spic, ki si evidentno sledijo v aritmeticnem zaporedju (kjerje razlika dveh zaporednih clenov enaka 6). Ker sta oba parametra a in k konstantna(enaka 1), je bilo potrebno samo se povezati parametre med seboj, oziroma izluscitin.

Kot receno, bomo v nadaljevanju magistrskega dela v locenih podrazdelkih pokazali, daso pripadniki posameznih druzin simetricnih Nest grafov res locno tranzitivni, podobnopa bomo pokazali tudi za posebne, majhne sporadicne primere, ki ne sodijo v nobenood zgoraj identificiranih druzin. To bomo v splosnem storili tako, da najprej opazimo,da velja enakost a + b = c (trditev 5.8), nato pa bomo poiskali ustrezne avtomorfizme,zaradi katerih so grafi res locno tranzitivni, saj zagotovijo, da ima grupa avtomorfizmov pridelovanju na mnozico lokov samo eno orbito. Delo nam precej olajsa trditev 6.1, po katerimoramo najti avtomorfizme, ki delovanje grupe avtomorfizmov na mnozico povezav (nelokov) obravnavanih Nest grafov “skrci” na eno samo orbito delovanja, in avtomorfizem,ki zamenja par sosednjih vozlisc. Slednje pri identificiranih Nest grafih ni tezko, saj lahkohitro razmislimo, da kompozitum ρτ , kjer sta ρ in τ kakor v dokazu trditve 5.8, zamenjasosednji vozlisci u0 in u1. Poleg tega po opombi iz zakljucka 5. poglavja vemo, da imagrupa H = 〈ρ, τ〉 ≤ Aut(Γ) pri delovanju na mnozico povezav vedno natanko stiri orbite.

6.2 Posebni primeri simetricnih Nest grafov

Kot omenjeno v prejsnjem razdelku, z identificiranimi druzinami pokrijemo skoraj vsegrafe iz tabele 6.1. Do vkljucno n = 70 dobimo cisto vse grafe, z izjemo nekaj majhnih,sporadicnih grafov, in sicer po enega za n ∈ {4, 5, 12} in po dva grafa za n ∈ {8, 10}.V tem razdelku bomo zato najprej posebej obravnavali te primere. Omeniti velja se,da je Nest graf N (6; 2, 3, 5; 1) (ki pripada drugi druzini) po trditvi 5.3 izomorfen grafuN (6; 1, 3, 4; 1) (ta pripada druzini 3).

37

6.2.1 Poseben primer pri n = 4

Glede na definicijo Nest grafov iz zacetka 5. poglavja je 4 najmanjsa mozna vrednost, ki sijo se lahko izberemo za n pri konstrukciji grafa N (n; a, b, c; k). Ce poleg tega upostevamose ostale omejitve (torej, 1 ≤ k ≤ n− 1, 1 ≤ a, b, c ≤ n− 1, k 6= n

2in a 6= b 6= c), dejstvo,

da lahko parametre spic v zapisu N (n; a, b, c; k) “premesamo” in trditev 5.4, opazimo,da lahko pri n = 4 konstruiramo le en Nest graf in sicer N (4; 1, 2, 3; 1), ki je prikazanna sliki 6.1. Ce graf upodobimo drugace (slika 6.2), dobimo tako imenovani graf 16-celica (oznacimo β4; izomorfizem ϕ : V (N (4; 1, 2, 3; 1)) → V (β4) je podan s predpisomϕ(ui) = u′i in ϕ(vi) = v′i). Gre za skeletni graf regularenega konveksnega 4-politopa in jeeden izmed prvih sestih regularnih konveksnih politopov, ki jih je opisal svicarski mate-matik Ludwig Schlafli sredi 19. stoletja. Politopi so naravne posplositve mnogokotnikovin poliedrov na visje dimenzije, gre pa za zelo bogato matematicno teorijo, o kateri silahko zainteresirani bralec vec prebere v [3]. Najpreprostejsa oblika je mnogokotnik (2-politop), politop v stirih razseznostih (mednje spada tudi 16-celica), pa imenujemo tudipolihoron. 16-celica je eden izmed sestih pravilnih polihoronov, imenujemo pa jo lahkotudi C16, heksadekahoron in hiperoktaeder. Njen dual je hiperkocka (4-kocka), ki imasestnajst vozlisc (zato ima 16-celica sestnajst celic, od koder tudi njeno ime).Zanimivo je, da lahkoN (4; 1, 2, 3; 1) predstavimo tudi kot cirkulant Circ(8, {±1,±2,±3}),kot prikazuje slika 6.3 (izomorfizem ε : V (N (4; 1, 2, 3; 1))→ V (Circ(8, {±1,±2,±3})) jepodan s predpisom: ε(ui) = u′2i, ε(vi) = u′2i+1).Opaziti velja tudi, da je N (4; 1, 2, 3; 1) ∼= K2,2,2,2. Od tod brz vidimo, da je grupa avto-morfizmov izomorfna poldirektnemu produktu (Z2 × Z2 × Z2 × Z2) o S4, in je tako reda24 · 24 = 384 (nekaj osnov o poldirektnem produktu grup si lahko bralec prebere v [17]).Sledi |Aut(N (4; 1, 2, 3; 1))| = 384 (to dejstvo sta leta 1998 prva dokazala Buekenhout inParker).

Slika 6.1: N (4; 1, 2, 3; 1). Slika 6.2: Graf 16-celica oziroma β4.

Za nas je najpomembnejse dejstvo, povezano z grafom N (4; 1, 2, 3; 1), naslednje.

Trditev 6.8. Graf N (4; 1, 2, 3; 1) je locno tranzitiven.

38

Slika 6.3: Circ(8, {±1,±2,±3}).

Dokaz. Oglejmo si avtomorfizem ω grafa Γ = N (4; 1, 2, 3; 1), podan s predpisom:∀i ∈ Z4 :

ω(ui) =

{ui : i ≡ 0 (mod 2)

vi−1 : i ≡ 1 (mod 2)ω(vi) =

{ui−1 : i ≡ 0 (mod 2)

vi : i ≡ 1 (mod 2)

Bralec se bo zlahka preprical, da gre res za avtomorfizem grafa Γ.Opazimo lahko, da avtomorfizem zunanje povezave {ui, ui+1} preslika v ravne spice{ui, vi}, ce velja i ≡ 0 (mod 2) (npr. {u0, u1} → {u0, v0}, kar pomeni, da se zdruzitaH-orbiti O1 in O3), oziroma v povezave oblike {vi−1, ui+1}, ce je i ≡ 1 (mod 2) (npr.{u1, u2} → {v0, u2}, kar pomeni, da se zdruzita H-orbiti O1 in O2). Poleg tega pove-zave oblike {vi, vi+1} za i ≡ 0 (mod 2) preslika v {ui−1, vi+1} (npr. {v2, v3} → {u1, v3},kar pomeni, da se zdruzita tudi H-orbiti O4 in O2).

Bralec lahko torej opazi, da se v zgornjem postopku “zdruzijo” vse stiri H-orbite,oziroma da so pri delovanju grupe avtomorfizmov na mnozico povezav grafa Γ vsepovezave v isti orbiti delovanja. To pomeni, da Aut(Γ) na mnozico povezav delujetranzitivno in tako je graf N (4; 1, 2, 3; 1) po trditvah 5.8 in 6.1 locno tranzitiven. �

6.2.2 Poseben primer pri n = 5

Naslednji poseben primer, ki ga kot simetricnega identificira programski paket Magma,je N (5; 1, 2, 3; 2). Gre za edini simetricen Nest graf do vkljucno reda 320 za katerega je nliho stevilo (zato tudi nasa domneva trdi, da je ta sploh edini primer simetricnega Nestgrafa z lihim n), prikazan pa je na sliki 6.4. Bralcu ne bo tezko opaziti, da ta graf kotvpeti podgraf vsebuje tudi slavni Petersenov graf GP (5, 2). Se bolj je zanimivo dejstvo,da velja celo (N (5; 1, 2, 3; 2))C = GP (5, 2) (slika 6.6).

39

Slika 6.4: N (5; 1, 2, 3; 2).

Trditev 6.9. Graf N (5; 1, 2, 3; 2) je locno tranzitiven in velja |Aut(N (5; 1, 2, 3; 2))| ∼= S5.

Skica dokaza. Naj bo Γ = N (5; 1, 2, 3; 2).Kot ze omenjeno, je Γ komplement grafa GP (5, 2), iz cesar po trditvah 2.7 in 3.4 slediAut(Γ) ∼= S5. Od tu dalje lahko bralec sam premisli, da je graf Γ res simetricen.V pomoc pa mu je lahko tudi preslikava ν : V (Γ) → V (Γ), podana s predpisom ν =(u1, v0)(u3, v4)(u4, v1)(v2, v3), za katero bo s pomocjo slike 6.5, ki prikazuje sliko grafa Γz oznakami vozlisc po apliciranju preslikave ν, zlahka preveril, da gre za avtomorfizemgrafa Γ in da le-ta “zdruzi” vse stiri H-orbite povezav.

Slika 6.5: N (5; 1, 2, 3; 2) po apliciranju preslikave ν.

40

Opomba. Za n = 5 v resnici obstajata le dva razlicna Nest grafa (do izomorfizmanatacno), kar sledi iz trditev o izomorfizmih iz poglavja 5. Poleg N (5; 1, 2, 3; 2) takoobstaja le se graf N (5; 1, 2, 3; 1), za katerega pa lahko bralec sam dokaze, da ni sime-tricen.

Slika 6.6: Na levi so povezave grafaN (5; 1, 2, 3; 2) oznacene s sivo barvo, povezave grafa ΓC

pa z rdeco barvo. Na desni je graf ΓC lepse prerisan, opazimo pa lahko tudi ΓC ∼= GP (5, 2).

6.2.3 Ostali posebni primeri za n = 8, n = 10 in n = 12

V tem podrazdelku si bomo ogledali se sporadicne primere pri n = 8, n = 10 in n = 12,vendar vseh podrobnosti dokaza, da so simetricni, ne bomo navajali. Podali bomo leavtomorfizme, s pomocjo katerih bo bralec lahko sam dokazal, da gre res za simetricnegrafe. Pri tem mora s pomocjo (podanih) avtomorfizmov pokazati, da je graf povezavnotranzitiven in da je mogoce s primernim avtomorfizmom zamenjati sosednji vozlisci.Vseh pet grafov je prikazanih na slikah 6.7 - 6.11. GrafovN (10; 2, 5, 7; 1) inN (12; 1, 3, 10; 5),ki je izomorfen N (12; 2, 3, 5; 5), tu ne navajamo, saj pripadata identificiranima druzinama(drugi in prvi).

Trditev 6.10. Grafi N (8; 1, 2, 5; 3), N (8; 1, 3, 4; 3), N (10; 1, 3, 4; 3), N (10; 2, 4, 6; 3) inN (12; 2, 4, 8; 5) so locno tranzitivni.

Skica dokaza. Naj bo Γ1 = N (8; 1, 2, 5; 3), Γ2 = N (8; 1, 3, 4; 3), Γ3 = N (10; 1, 3, 4; 3),Γ4 = N (10; 2, 4, 6; 3) in Γ5 = N (12; 2, 4, 8; 5).

Bralec se lahko preprica, da sta ζ1 : V (Γ1) → V (Γ1) in ζ2 : V (Γ2) → V (Γ2), kjer jeζ1 = (u1, v0)(u2, u6)(u3, v6)(u5, v4)(u7, v2)(v1, v5) inζ2 = (u1, v0)(u2, u4)(u5, v2)(u7, v1)(v3, v4)(v6, v7), avtomorfizma grafov Γ1 in Γ2. Ker zagraf Γ1 ne velja c = a + b, je potrebno najti se en dodaten avtomorfizem, da lahkoutemeljimo locno tranzitivnost grafa Γ1. Ker je N (8; 1, 2, 5; 3) ∼= N (8; 1, 4, 7; 3), prislednjem pa ocitno zaradi “simetricnosti spic” (c = −a, b = −b) obstaja se “zrcalje-nje” preko ravne spice {u0, v0}, tudi tokrat najdemo podgrupo Aut(N (8; 1, 2, 5; 3)), ki

41

Slika 6.7: N (8; 1, 2, 5; 3). Slika 6.8: N (8; 1, 3, 4; 3).

Slika 6.9: N (10; 1, 3, 4; 3). Slika 6.10: N (10; 2, 4, 6; 3).

je izomorfna D8. Sedaj bo bralec s pomocjo avtomorfizmov ζ1 in ζ2 zlahka pokazal, daje se stiri H-orbite povezav “zdruzijo” v eno.

Tudi ζ3 : V (Γ3)→ V (Γ3) in ζ4 : V (Γ4)→ V (Γ4), podana zζ3 = (u1, v0)(u2, u7)(u3, u8)(u4, v9)(u6, v5)(u9, v4)(v1, v3)(v2, v7)(v6, v8) inζ4 = (u1, v0)(u2, u8)(u3, u7)(u4, v1)(u6, v5)(u9, v6), sta avtomorfizma grafov Γ3 in Γ4

(bralcu bosta v pomoc tudi sliki 6.12 in 6.13, ki prikazujeta vozlisca grafov Γ3 in Γ4 poapliciranju preslikav ζ3, oziroma ζ4), ki zagotavljata, da se vse stiri H-orbite povezav“zdruzijo”.

Bralec bo preveril, da je ζ5 : V (Γ5)→ V (Γ5), kjer jeζ5 = (u1, v0)(u2, u4)(u5, v10)(u8, v9)(u10, v1)(v2, v8)(v3, v7), tudi avtomorfizem grafa Γ5.Tudi tokrat ne velja c = a + b, vendar pa lahko zopet opazimo N (12; 2, 4, 8; 5) ∼=N (12; 2, 6, 10; 5), kjer so spice “simetricne”, kar nam zagotovi se zeljeni dodatni avto-morfizem.

42

Slika 6.11: N (12; 2, 4, 8; 5).

Slika 6.12: N (10; 1, 3, 4; 3) po aplici-ranju avtomorfizma ζ3.

Slika 6.13: N (10; 2, 4, 6; 3) po aplici-ranju avtomorfizma ζ4.

6.3 Druzine simetricnih Nest grafov

V tem razdelku si bomo natancneje ogledali identificirane druzine simetricnih Nest grafoviz tabele 6.1, najprej pa povejmo, kako smo se identifikacije sploh lotili. Ob opazovanjutabele najprej padejo v oci tisti Nest grafi, kjer vrednost parametra k ni enaka 1 (prvadruzina). Pri tem lahko hitro opazimo, da si ti primeri v tabeli 6.1 sledijo v lepem za-poredju (vrednost n se povecuje za 8), tudi vrednosti parametrov spic pa so povezane zvrednostjo parametra n, kar pomeni, da vsi taki grafi spadajo v isto druzino. Splosneformule za identificirano druzino tako ni tezko zapisati. Naslednjo druzino opazimo prekvrednosti parametra b, ki je kar enak n

2, ob tem pa ima parameter a konstantno vrednost

2, vrednost c pa je enaka sestevku parametrov a in b, to je n2

+ 2 (druga druzina). Bralecbo opazil, da z identificiranima druzinama “pokrijemo” ze vecino grafov iz tabele, zato je

43

bilo preostale druzine malce tezje identificirati. Tako nam eno izmed naslednjih druzin(tretja druzina) uspe najti predvsem s pomocjo dejstva, da za njene predstavnike veljaa = k = 1 in c = b + 1, se naslednjo (cetrta druzina) pa prek vrednosti parametra ain deljivosti le-tega s 3. Bralec bo lahko opazil, da ima ta druzina ze zelo kompleksnosplosno formulo, kar velja tudi za zadnjo (peto) druzino. To smo izmed preostalih grafov,s precej truda, identificirali predvsem prek vrednosti parametrov b in c.

Za vsako od identificiranih druzin je potrebno dokazati, da gre res za druzino simetricnihNest grafov. Pri tem bomo uporabili strategijo, kjer najprej opazimo, da velja c = a+ b,iz cesar po trditvi 5.8 sledi, da imamo stiri H-orbite, ki jih nato z iskanjem ustreznihizomorfizmov “zdruzujemo”. Iskanje samih avtomorfizmov je potekalo s pomocjo pro-gramskega paketa Magma, medtem ko si moramo delovanje le-teh nato v splosnem sevedno ogledati povsem teoreticno. Izkaze se, da v resnici v vseh druzinah zadosca najtile en tak avtomorfizem, celoten postopek pa bomo izvedli le pri prvi druzini. Za ostaledruzine bomo druzino le predstavili in zapisali ustrezne avtomorfizme, s katerimi si bolahko pri dokazovanju pomagal bralec sam.

6.3.1 Druzina N (n; 2, n4 ,n4 + 2; n

2 − 1)

Prvo druzino simetricnih Nest grafov sestavljajo vsi grafi oblike N (n; 2, n4, n4

+ 2; n2−

1), kjer velja n ≡ 4 (mod 8) in n > 8. Najmanjsi graf, ki sodi v to druzino, je torejN (12; 2, 3, 5; 5) ∼= N (12; 1, 3, 10; 5), prikazan pa je na sliki 6.14.

Slika 6.14: N (12; 2, 3, 5; 5).

Opomba. Nest grafi so sestvalentni bicirkulanti, zato se njihove povezave “med orbitama”precej prepletejo in tako sama slika postane ze za majhne vrednosti n precej nepregledna.Primer grafa na sliki 6.14 je ze taksen (pa je n sele 12), zato so spice istega tipa medorbitama obarvane z isto barvo.

44

Trditev 6.11. Naj bo n > 8 tako naravno stevilo, da je n ≡ 4 (mod 8). Tedaj je Nestgraf N (n; 2, n

4, n4

+ 2; n2− 1) locno tranzitiven.

Dokaz. Oznacimo Γ = N (n; 2, n4, n4

+ 2; n2− 1). Ker je izpolnjen pogoj iz trditve 5.8,

ima po opombi, ki trditvi sledi, grupa H na mnozici povezav Γ natanko 4 orbite insicer:

O1 = {{ui, ui+1} : i ∈ Zn},

O2 = {{ui, vi+2}, {ui, vi+n4} : i ∈ Zn},

O3 = {{ui, vi}, {ui, vi+n4+2} : i ∈ Zn} in

O4 = {{vi, vi+n2−1} : i ∈ Zn}.

Oglejmo si preslikavo ϕ1 : V (Γ)→ V (Γ), podano s spodnjim predpisom:

∀i ∈ Zn :

ϕ1(ui) =

{u−i : i ≡ 0 (mod 2)

v−i+1 : i ≡ 1 (mod 2)ϕ1(vi) =

{u−i+1 : i ≡ 0 (mod 2)

v−i+n2+2 : i ≡ 1 (mod 2)

V skladu z dogovorom indekse vozlisc seveda vedno racunamo modulo n.

Bralec se bo zlahka preprical (spomni naj se, da je n ≡ 4 (mod 8)), da je ϕ1 bijekcija.Oglejmo si se delovanje preslikave ϕ1 na mnozici povezav grafa Γ:

• za sode i (i ≡ 0 (mod 2)) preslika:

– zunanjo povezavo {ui, ui+1} v ravno spico {u−i, v−i} (zdruzimo H-orbiti O1 inO3),

– ravno spico {ui, vi} v zunanjo povezavo {u−i, u−i+1},– 2-spico {ui, vi+2} v zunanjo povezavo {u−i−1, u−i} (zdruzimo H-orbiti O1 inO2),

– n4-spico {ui, vi+n

4} v (n

4+ 2)-spico {u−i, v−i+n

4+2}1,

– (n4

+ 2)-spico {ui, vi+n4+2} v n

4-spico {u−i, v−i+n

4} in

– notranjo povezavo {vi, vi+n2−1} v 2-spico {u−i+1, v−i+3} (zdruzimo H-orbiti O2

in O4).

• za lihe i (i ≡ 1 (mod 2)) preslika:

– zunanjo povezavo {ui, ui+1} v 2-spico {u−i−1, v−i+1},– ravno spico {ui, vi} v notranjo povezavo {v−i+n

2+2, v−i+1},

– 2-spico {ui, vi+2} v notranjo povezavo {v−i+1, v−i+n2},

1Ker velja n ≡ 4 (mod 8), je n4 liho stevilo, saj je n = 8l + 4, oziroma n

4 = 2l + 1.

45

Slika 6.15: N (14; 2, 7, 9; 1). Slika 6.16: N (14; 2, 7, 9; 1) drugace.

– n4-spico {ui, vi+n

4} v n

4-spico {u−i−n

4+1, v−i+1},

– (n4

+ 2)-spico {ui, vi+n4+2} v (n

4+ 2)-spico {u−i−n

4−1, v−i+1} in

– notranjo povezavo {vi, vi+n2−1} v ravno spico {u−i−n

2+2, v−i+n

2+2}.

Ker je torej ϕ1 bijektivna preslikava, ki ohranja sosednosti v grafu Γ, gre za avtomorfi-zem grafa. Obenem opazimo, da nam ze ϕ1 delovanje grupe avtomorfizmov na mnozicopovezav grafa Γ “skrci” na eno samo orbito. Zato je graf Γ po trditvi 6.1 res locnotranzitiven Nest graf. �

6.3.2 Druzina N (n; 2, n2 ,n2 + 2; 1)

V drugi druzini simetricnih Nest grafov najdemo vse grafe oblike N (n; 2, n2, n2

+ 2; 1), kjerje n ≡ 2 (mod 4), n ≥ 6. Drugi najmanjsi graf, ki se spada v to druzino je N (14; 2, 7, 9; 1),prikazan pa je na sliki 6.15. Ker tudi pri tej obravnavani druzini grafov velja a + b ≡c (mod n), je razlika med parametri ravnih spic (0) in parametri a-spic enaka kot razlikamed parametri b- in c-spic. To pomeni, da lahko vsakega izmed grafov upodobimo nadrugacen, bolj “simetricen” nacin, tako da notranjo orbito vozlisc nekoliko zasucemo.Taka upodobitev je za graf N (14; 2, 7, 9; 1) prikazana na sliki 6.16.

Trditev 6.12. Naj bo n ≥ 6 tako naravno stevilo, da je n ≡ 2 (mod 4).Tedaj je Nest grafN (n; 2, n

2, n2

+ 2; 1) locno tranzitiven.

Skica dokaza. Oznacimo Γ = N (n; 2, n2, n2

+ 2; 1).

Oglejmo si preslikavo ϕ2,1 : V (Γ)→ V (Γ), podano s predpisom:∀i ∈ Zn :

ϕ2,1(ui) =

{u−i : i ≡ 0 (mod 2)

v−i+1 : i ≡ 1 (mod 2)ϕ2,1(vi) =

{u−i+1 : i ≡ 0 (mod 2)

v−i+2 : i ≡ 1 (mod 2)

46

Bralcu se ne bo tezko prepricati, da gre za avtomorfizem grafa Γ. Poleg tega lahko napodoben nacin, kot v dokazu v prejsnjem podrazdelku, preveri tudi, da ϕ2,1 “zdruzi”vse stiri H-orbite delovanja grupe avtomorfizmov na mnozico povezav grafa Γ v enosamo, iz cesar po trditvi 6.1 sledi, da je Γ locno tranzitiven.

Kot je razvidno iz tabele iz razdelka 6.1, so grafi Γ trenutno obravnavane druzine edini(ce izvzamemo zacetne sporadicne primere), za katere velja |Aut(Γ)x| = 12. Ni tezkovideti, da pri obravnavani druzini res obstaja se en avtomorfizem. Podan je s spodnjimpredpisom. Na tem mestu dokaza, da gre res za avtomorfizem, ne bomo navajali, bralca papovabimo, da to stori sam. Avtomorfizem ϕ2,2 : V (Γ)→ V (Γ) (kjer je Γ = N (n; 2, n

2, n2

+2; 1)), je podan s predpisom:

∀i ∈ Zn : ϕ2,2(ui) = ui, ϕ2,2(vi) = vi+n2

Glede na izsledke, ki jih dobimo s pomocjo Magme, lahko postavimo celo spodnjo zani-mivo domnevo.

Domneva 6.13. Naj bo n ≥ 6 naravno stevilo.Tedaj so Nest grafi oblike N (n; 2, n2, n2

+2; 1), kjer je n sodo stevilo, edini locno tranzitivni Nest grafi reda 2n, za katere obstaja ne-trivialen avtomorfizem, ki fiksira vsa vozlisca ene od orbit semiregularnega avtomorfizma.

6.3.3 Druzina N (2(m2 −m+ 1); 1, 2m− 1, 2m; 1)

Naslednja druzina identificiranih simetricnih Nest grafov je druzina grafov oblikeN (2(m2−m+1); 1, 2m−1, 2m; 1), kjer je m ≥ 2. Drugi najmanjsi graf iz te druzine, N (14; 1, 5, 6; 1),je prikazan na sliki 6.17.

Slika 6.17: N (14; 1, 5, 6; 1).

47

Trditev 6.14. Naj bo m ≥ 2 naravno stevilo. Tedaj je Nest graf N (2(m2−m+1); 1, 2m−1, 2m; 1) locno tranzitiven.

Skica dokaza. Oznacimo Γ = N (2(m2 −m+ 1); 1, 2m− 1, 2m; 1).

Oglejmo si preslikavo ϕ3 : V (Γ)→ V (Γ), podano s spodnjim predpisom:

∀i ∈ Z2(m2−m+1) :

ϕ3(ui) =

{u−mi : i ≡ 0 (mod 2)

v−mi+m : i ≡ 1 (mod 2)ϕ3(vi) =

{v−mi+2m−1 : i ≡ 0 (mod 2)

u−mi+m−1 : i ≡ 1 (mod 2)

Bralec se bo sam preprical, da je ϕ3 bijektivna preslikava (v tem delu naj opazi, dasta stevili m in 2(m2 − m + 1) tuji, razen ce je m sodo stevilo, ko je njun najvecjiskupni delitelj 2), ki ohranja sosednosti in je tako avtomorfizem grafa Γ. V drugemdelu dokaza bo z nekaj truda pokazal tudi, da ϕ3 “zdruzi” vse stiri H-orbite delovanjagrupe avtomorfizmov na mnozico povezav grafa Γ. Po trditvah 5.8 in 6.1 je torej Γlocno tranzitiven Nest graf.

6.3.4 Druzina N (18(2p− 1); 3(2p− 1), 18p− 11, 2(12p− 7); 1)

V primerjavi z druzinami Nest grafov iz prejsnjih podrazdelkov je druzina simetricnihNest grafov N (18(2p − 1); 3(2p − 1), 18p − 11, 2(12p − 7); 1), kjer je p ∈ N, v tabeli 6.1precej manj stevilcna. Vendar pa to ne pomeni, da je ta druzina manj stevilcna odostalih tudi v splosnem, saj parameter n = 18(2p − 1) narasca linearno, parameter n =2(m2 − m + 1) pa na primer kvadratno. Ce bi torej presteli stevilo clanov te druzinein stevilo clanov tretje druzine do izbranega “velikega” reda, bi ugotovili, da je v tejdruzini precej vec clanov. Prvi stirje grafi, ki spadajo v to druzino, so N (18; 3, 7, 10; 1),N (54; 9, 25, 34; 1), N (90; 15, 43, 58; 1) in N (126; 21, 61, 82; 1), najmanjsi izmed njih pa jeprikazan na sliki 6.18.

Trditev 6.15. Naj bo p ∈ N. Tedaj je Nest graf N (18(2p−1); 3(2p−1), 18p−11, 2(12p−7); 1) locno tranzitiven.

Skica dokaza. Oznacimo Γ = N (18(2p− 1); 3(2p− 1), 18p− 11, 2(12p− 7); 1).

Bralec bo premislil, da je preslikava ϕ4 : V (Γ) → V (Γ), podana s spodnjim predpi-som, res avtomorfizem grafa Γ. Pri dokazovanju bijektivnosti naj najprej pokaze, daje najvecji skupni delitelj 18(2p− 1) in 2(3p− 1) enak 2.

∀i ∈ Z18(2p−1) :

ϕ4(ui) =

{u2i(3p−1) = u6pi−2i : i ≡ 0 (mod 2)

v2(i−1)(3p−1) = v6pi−2i−6p+2 : i ≡ 1 (mod 2)

48

Slika 6.18: N (18; 3, 7, 10; 1).

ϕ4(vi) =

{v2i(3p−1)+3(2p−1) = v6pi−2i+6p−3 : i ≡ 0 (mod 2)

u2(i+1)(3p−1)+3(2p−1) = u6pi−2i+12p−5 : i ≡ 1 (mod 2)

Bralec naj opazi, da ϕ4 tudi zdruzi vse stiri H-orbite delovanja grupe Aut(Γ) namnozico povezav grafa Γ. Po trditvah 5.8 in 6.1 je tako Γ locno tranzitiven.

6.3.5 Druzina N (6(r2 − r) + 2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1)

V peto druzino locno tranzitivnih Nest grafov spadajo vsi grafi, ki so oblike N (6(r2−r)+2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1), r ≥ 2 in r ∈ N. Najmanjsi graf, ki se pripada obravnavanidruzini, N (14; 1, 9, 10; 1), je prikazan na sliki 6.19 in je izomorfen grafu N (14; 1, 5, 6; 1).

Trditev 6.16. Naj bo r ≥ 2 naravno stevilo. Tedaj je Nest graf N (6(r2− r) + 2; 1, 3(2r−1), 2(3r − 1); 1) locno tranzitiven.

Skica dokaza. Oznacimo Γ = N (6(r2 − r) + 2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1).

Tudi v tem primeru se bomo posluzili iste strategije dokazovanja, kot v prejsnjihdruzinah. Bralec bo pokazal, da je preslikava ϕ5 : V (Γ) → V (Γ) (predpis podan spo-daj) res avtomorfizem grafa Γ, nato pa bo, z nekaj vec truda, kot pri ostalih druzinahsimetricnih Nest grafov, pokazal, da ϕ5 zdruzi vse stiri H-orbite delovanja grupe Aut(Γ)na mnozico povezav Γ. Tako bo Γ po trditvah 5.8 in 6.1 locno tranzitiven graf.

49

Slika 6.19: N (14; 1; 1, 9, 10).

ϕ5 : V (Γ)→ V (Γ) je torej podana s predpisom:

∀i ∈ Z6(r2−r)+2 :

ϕ5(ui) =

{ui(3(r−1)2−1) = ui(3r2−6r−2) : i ≡ 0 (mod 2)

v(i−1)(3(r−1)2−1) = v3r2i−6ri+2i−3r2+6r−2 : i ≡ 1 (mod 2)

ϕ5(vi) =

{v(i−2)(3(r−1)2−1)−1 = v3r2i−6ri+2i−6r2+12r−5 : i ≡ 0 (mod 2)

u(i−1)(3(r−1)2−1)−1 = u3r2i−6ri+2i−3r2+6r−3 : i ≡ 1 (mod 2)

50

6.4 Simetricni Nest grafi ozine 3

Vidimo lahko, da smo z zacetnimi sporadicnimi primeri in z druzinami, identificiranimi vrazdelku 6.3, zajeli skoraj vse simetricne Nest grafe do vkljucno n = 160. Ce si pogledamoseznam, ki smo ga s pomocjo programskega paketa Magma sestavili v razdelku 6.1, ugo-tovimo, da z izjemo sporadicnih primerov iz razdelka 6.2 le grafi iz spodnje tabele 6.2 nespadajo v nobeno od identificiranih druzin iz prejsnjega razdelka. Ob uporabi program-skega paketa Magma se izkaze, da je taksnih Nest grafov pri vecjih vrednostih parametran se veliko, med njimi pa nismo uspeli identificirati nobenega vzorca. Opazimo lahko,da je med neuvrscenimi grafi precej takih, kjer velja a = k = 1 (do n = 500 jih lahko sprogramskim paketom prestejemo 22). Za grafe z a = 1 ocitno velja, da so ozine 3, sajv vsakem od njih gotovo obstaja tricikel (u0, v0, u−1), zanimivo pa je, da to velja tudi zaclane dveh izmed identificiranih druzin simetricnih Nest grafov.

Tabela 6.2: Nesporadicni Nest grafi iz tabele 6.1, ki ne spadajo v nobeno izmed identifi-ciranih druzin simetricnih Nest grafov.

n a b c k Γ = N (n; a, b, c; k)

70 5 27 32 1 N (70; 5, 27, 32; 1)

78 1 33 34 1 N (78; 1, 33, 34; 1)

98 1 37 38 1 N (98; 1, 37, 38; 1)

126 8 51 83 1 N (126; 8, 51, 83; 1)

126 9 43 52 1 N (126; 9, 43, 52; 1)

126 10 43 93 1 N (126; 10, 43, 93; 1)

130 8 53 85 1 N (130; 8, 53, 85; 1)

134 1 59 60 1 N (134; 1, 59, 60; 1)

154 13 33 46 1 N (154; 13, 33, 46; 1)

158 1 47 48 1 N (158; 1, 47, 48; 1)

Pogoj, da je Nest graf ozine 3 in poleg tega se simetricen, se zdi zelo restriktiven. Ker,kot receno, ni realno, da bi v okviru magistrskega dela klasificirali vse simetricne Nestgrafe, smo se odlocili, da skusamo klasificirati vsaj vse simetricne Nest grafe ozine 3. Kotbomo videli, je tudi to prezahteven problem, kljub temu pa bomo v zvezi z njim narediliogromen korak naprej.

Glede na rezultate, ki jih da programski paket Magma, in analizo, ki sledi v nadaljevanju,smo prepricani, da bo koncna klasifikacija simetricnih Nest grafov ozine 3 taksna, kot jepodana v domnevi 6.7.

Preden se lotimo natancne analize simetricnih Nest grafov ozine 3, si oglejmo nekaj do-datnih definicij in lem, s katerimi si bomo pri obravnavi pomagali.

51

Definicija. Naj bo Γ poljuben graf in {x, y} ∈ E(Γ). Tedaj je lokalna slika povezave{x, y}, ki jo oznacimo z LS[{x, y}], inducirani podgraf grafa Γ na mnozici vozlisc (N(x)∪N(y)) \ ({x, y} ∪ (N(x) ∩N(y))), kjer je N(u) mnozica sosedov vozlisca u v Γ. Gre torejza inducirani podgraf na mnozici vseh tistih vozlisc, razlicnih od x in y, ki so sosedna znatanko enim od obeh vozlisc.

Dogovor. Na tem mestu sklenimo dogovor, da bomo obicajno pri prikazu LS[{x, y}]zaradi boljse predstave prikazali tudi vozlisca x, y in vozlisca iz N(x)∩N(y) ter povezavemed njimi. Dogovorimo se tudi, da z N(x|y) oznacujemo N(x)\N(y) (skupaj z ustreznimipovezavami), z N(y|x) pa N(y) \N(x) (skupaj z ustreznimi povezavami). Povezave medN(x|y) in N(y|x) poimenujmo precne povezave.

Slika 6.20: Graf K3,3,3 in LS[{(0, 0), (1, 0)}].

Dogovor. Naj bo Γ poljuben graf in e ∈ E(Γ) njegova poljubna povezava. Z λ(e)oznacimo stevilo triciklov grafa Γ, na katerih lezi povezava e. Ce za poljubna e, e′ ∈ E(Γ)velja λ(e) = λ(e′), potem z λ(Γ) oznacimo stevilo triciklov, na katerih lezi vsaka povezavagrafa Γ.

Lema 6.17. Naj bo n ≥ 4, n ∈ N in naj bodo a, b, c in k taksna naravna stevila, da velja1 ≤ k ≤ n− 1, k 6= n

2in 1 ≤ a < b < c ≤ n− 1. Ce je graf Γ = N (n; a, b, c; k) simetricen,

velja 0 ≤ λ(Γ) ≤ 4. Se vec, λ(Γ) je enak stevilu veljavnih enakosti izmed a = 1, b = a+1,c = b+ 1, n = c+ 1.

Dokaz. Ker je Γ locno tranzitiven, je po trditvi 2.6 tudi (vozliscno in) povezavno tran-zitiven. To med drugim pomeni, da za poljubno povezavo e ∈ E(Γ) velja λ(e) = λ(Γ).Oglejmo si sedaj povezavo e = {u0, u1} ∈ E(Γ). Ker je n ≥ 4, vozlisci u0 in u1 nimatanobenega skupnega soseda oblike ui. Tretje vozlisce morebitnega tricikla, ki vsebujepovezavo e, je torej lahko le eno izmed vozlisc v1, v1+a, v1+b in v1+c. Pri tem zaradi1 ≤ a < b < c ≤ n− 1 velja:

• e lezi na triciklu (u0, u1, v1) natanko tedaj, ko velja a = 1.

• e lezi na triciklu (u0, u1, v1+c) natanko tedaj, ko velja c = n− 1.

• e lezi na triciklu (u0, u1, va+1) natanko tedaj, ko velja b = a+ 1.

• e lezi na triciklu (u0, u1, vb+1) natanko tedaj, ko velja c = b+ 1.

52

Ocitno je torej, da e lezi na toliko triciklih, kolikor zgornjih pogojev je izpolnjenih intako je res 0 ≤ λ(Γ) ≤ 4. �

Na tem mestu se lahko lotimo rezultatov v smeri potrditve domneve 6.7. Ker gre za izje-mno dolg in zahteven dokaz, bomo delo razdelili na vec lem glede na stevilo λ(N (n; a, b, c; k)).Kot bomo videli, celotne domneve zal ne bomo uspeli potrditi, bomo pa kljub temu opra-vili velik del naloge.

Lema 6.18. Naj bodo n, k, a, b, c ∈ N, 1 ≤ a < b < c ≤ n − 1, k < n2, in naj bo

Γ = N (n; a, b, c; k). Tedaj je Γ simetricen Nest graf ozine 3 z 3 ≤ λ(Γ) ≤ 4 natankotedaj, ko je Γ izomorfen N (4; 1, 2, 3; 1) ali N (5; 1, 2, 3; 1).

Dokaz. Denimo najprej, da je λ(Γ) = 4.Po lemi 6.17 morajo veljati vsi stirje pogoji iz te leme, torej je a = 1, b = a + 1 = 2,c = b+ 1 = 3 in n = c+ 1 = 4. Ker velja tudi k < n

2= 2, sledi, da je edini mozen graf

N (4; 1, 2, 3; 1). Da je slednji res simetricen, ze vemo (podrazdelek 6.2.1).

Denimo sedaj, da je λ(Γ) = 3.V tem primeru morajo izmed vseh stirih pogojev iz leme 6.17 veljati natanko trije.Tako dobimo stiri moznosti (pri vsaki od njih natanko en izmed pogojev iz leme nevelja), vendar pa so si te stiri moznosti zaradi izomorfizmov iz trditve 5.3 enakovrednein je zato dovolj preveriti le eno izmed njih.Izberimo si torej pogoje a = 1, b = a+ 1 = 2, c = b+ 1 = 3 in c 6= n− 1 (to je, n ≥ 5).Tako dobimo “lokalno” situacijo s slike 6.21, iz katere lahko opazimo, da povezava{u0, v0} lezi le na enem triciklu, katerega tretje vozlisce je oblike ui. Ce zelimo, davelja λ({u0, v0}) = 3, moramo to doseci z notranjimi povezavami, od koder sledi, dasta tako vk, kot tudi vn−k sosednji z u0, to je, k, n− k ∈ {1, 2, 3}. Ker je n− k > n

2in

je n ≥ 5, sledi n− k = 3 > n2, torej je n = 5 in k = 2.

Slika 6.21: “Lokalna” situacija pri a = 1, b = 2, c = 3 in c 6= n−1 z oznacenimi moznostmiza k.

Edini mozen graf z λ(Γ) = 3 je torej N (5; 1, 2, 3; 2). Da je slednji res simetricen, zevemo (podrazdelek 6.2.2). �

Lema 6.19. Naj bodo n, k, a, b, c ∈ N, 1 ≤ a < b < c ≤ n − 1, k < n2, in naj bo

Γ = N (n; a, b, c; k). Ce je Γ simetricen Nest graf ozine 3 z λ(Γ) = 2, je Γ izomorfenenemu od grafov N (8; 1, 3, 4; 3), N (8; 1, 2, 5; 3) in N (10; 1, 3, 4; 3), ali pa do izomorfizmanatancno velja a = 1, b ≥ 3, c = b+ 1 ≤ n− 2 in k = 1.

53

Dokaz. Od stirih pogojev a = 1, b = a+ 1, c = b+ 1 in c = n− 1 iz leme 6.17 moratav tem primeru veljati natanko dva. Ker poznamo izomorfizme iz trditve 5.3, ki vrtijonotranjo orbito vozlisc, lahko predpostavimo a = 1. Tako dobimo dve bistveno razlicnimoznosti in sicer je prva b = 2, 4 ≤ c ≤ n − 2, druga pa b ≥ 3 in c = b + 1 ≤ n − 2.Analizirajmo vsako posebej:

Primer 1: a = 1, b = 2, 4 ≤ c ≤ n− 2.

V tem primeru dobimo del “lokalne” situacije, prikazan na sliki 6.22, ki takoj pokaze,da k 6= 1, saj bi sicer povezava {u0, v1} lezala na kar stirih triciklih.

Slika 6.22: Del “lokalne” situacije pri a = 1, b = 2 in 4 ≤ c ≤ n− 2.

Oglejmo si sedaj moznosti za tricikle, na katerih lahko lezi povezava {u0, vc}. V tanamen poiscimo skupne sosede njenih krajisc:N(u0) \ {vc} = {///u1,////u−1, v0, v1, v2}N(vc) \ {u0} = {///uc,//////uc−1, vc−k, vc+k,//////uc−2}Potrebujemo natanko dva skupna soseda, vendar lahko nekatere moznosti izlocimo(oznaceno zgoraj). Tako na primer u1 6∈ {uc, uc−1, uc−2}, saj c 6∈ {1, 2, 3} (c ≥ 4),pa tudi u−1 6∈ {uc, uc−1, uc−2}, saj c 6∈ {−1, 0, 1} (c ≥ 4 in c 6= n − 1). Sledi|{0, 1, 2} ∩ {c− k, c+ k}| = 2, oziroma

c− k, c+ k ∈ {0, 1, 2}.

Zaradi k < n2

in c ≥ 4 sledi k < n2< c. Ce sedaj sestejemo c − k in c + k in

upostevamo, da gre zaradi k < n2

za dva razlicna elementa v Zn, dobimo:

2c ∈ {1, 2, 3},

kjer seveda 2c racunamo po modulu n.

Podobno zaradi k < n2

dobimo 2k ∈ {−1,−2}, posledicno pa je c + k ∈ {0, 1} in

c− k ∈ {1, 2}. Se vec, ker sta tako u1, kot u−1 skupna soseda sosednih vozlisc u0 inv1, je c+ k = 0 in c− k = 2 (sicer je tudi vc skupni sosed u0 in v1, kar pa je zaradiλ(Γ) = 2 nemogoce). Sledi 2k = −2 in tako je n sodo stevilo in velja:

k =n

2− 1

c =n

2+ 1

54

Slika 6.23: LS[{u0, u1}] in LS[{u0, v1}].

Hitro se lahko prepricamo, da mora veljati n ≥ 8, saj imata sicer sosedni vozlisci u0in v2 kar tri skupne sosede (u1, v0 in v4).Tako dobimo “kandidate”oblike N (n; 1, 2, n

2+ 1; n

2− 1), kjer je n ≥ 8 sodo stevilo.

Oglejmo si LS[{u0, u1}] in LS[{u0, v1}] v teh grafih (slika 6.23).

Na slikah so povezave, ki zagotovo obstajajo (brez dodatnih pogojev), narisane spolno crto, tiste s crtkano crto pa lahko obstajajo le ob dodatnih omejitvah. Kermora biti graf locno tranzitiven morata biti lokalni sliki izomorfni. Zaradi n ≥ 8drugih povezav na lokalnih slikah zagotovo ni, crtkana pa zaradi n ≥ 8 in k = n

2− 1

obstaja natanko tedaj, ko je k = n2− 1 = 3, torej n = 8 in k = 3.

Tako je edini kandidat N (8; 1, 2, 5; 3), za katerega pa ze vemo, da je res simetricen(podrazdelek 6.2.3).

Primer 2: a = 1, b ≥ 3, c = b+ 1 ≤ n− 2.

Ker je 1 = a = c− b, lahko zaradi izomorfizmov iz trditve 5.3 privzamemo b ≤ n2.

Oglejmo si najprej tricikle, na katerih lahko lezi povezava {u0, v0}. Dobimo:N(u0) \ {v0} = {u−1,///u1, v1, vb, vb+1}N(v0) \ {u0} = {u−1,/////u−b,///////u−b−1, v−k, vk}Dobiti moramo natanko dva skupna soseda vozlisc u0 in v0. Eden je zagotovo u−1,nekatere moznosti pa lahko tudi izlocimo. Tako u1 6∈ {u−b, u−b−1}, saj b 6= −1(c 6= 0) in b 6= −2 (c 6= −1). Sledi

|{1, b, b+ 1} ∩ {k,−k}| = 1.

Zaradi k < n2

in b ≤ n2

je k ∈ {1, b, b + 1}, razen v primeru, ko je b + 1 = −k > n2.

V slednjem primeru je bodisi n liho stevilo in b = n−12

= k, kar ne gre, ker imatapotem u0 in v0 tri skupne sosede, bodisi je n sodo stevilo in b = n

2ter k = n

2− 1.

Tudi grafi N (n; 1, n2, n2

+ 1; n2− 1) pa niso simetricni, saj imata za n = 6 vozlisci v0

in v2 tri skupne sosede (v4, u2 in u5), za n ≥ 8 pa sta lokalni sliki LS[{u0, u1}] in

55

Slika 6.24: LS[{u0, u1}] in LS[{u0, v0}].

LS[{u0, v0}] neizomorfni (bralec se bo s sliko o tem preprical sam). Odslej lahkotorej privzamemo k ∈ {1, b, b+ 1}.

Preverimo sedaj tricikle, na katerih lahko lezi povezava {u0, v1}. Dobimo:N(u0) \ {v1} = {u1,////u−1, v0, vb, vb+1}N(v1) \ {u0} = {u1,/////u1−b,////u−b, v1−k, v1+k}Zopet moramo dobiti natanko dva skupna soseda vozlisc u0 in v1, vendar imamospet enega ze podanega (namrec u1), nekatere moznosti pa lahko tudi izlocimo.Tako u−1 6∈ {u1−b, u−b}, saj b 6= 2 in b 6= 1. Dobimo

|{0, b, b+ 1} ∩ {1 + k, 1− k}| = 1.

Od tod sledi k 6= b + 1, saj zaradi n ≥ 6 in b ≤ n2

sledi b + 2 6∈ {0, b, b + 1}, torejbi v primeru k = b + 1 dobili 1 − k ∈ {0, b, b + 1}, kar pa zaradi 1 − k > n

2+ 1 in

b + 1 ≤ n2

+ 1 ne gre. Tako velja bodisi k = 1, bodisi k = b. Da zakljucimo dokazleme je torej treba analizirati le se moznost k = b.

Dobimo Nest grafe oblike N (n; 1, b, b + 1; b), kjer je 3 ≤ b < n2. Najprej opazimo,

da b 6= n−12

, saj sicer zaradi b = k dobimo se b + 1 = −k, kar pa ni mogoce, ker bisicer vozlisci u0 in v0 imeli tri skupne sosede. Torej zaradi b ≥ 3 dobimo n ≥ 8. Spomocjo lokalnih slik dveh povezav preverimo, ali gre res za locno tranzitivne Nestgrafe ozine 3.

Iz slike 6.24, kjer sta prikazani LS[{u0, u1}] in LS[{u0, v0}]) lahko razberemo, da vLS[{u0, v0}] zagotovo obstaja vsaj ena precna povezava, medtem ko je v LS[{u0, u1}]v splosnem ni, razen morda ob dolocenih pogojih. Bralec bo zlahka preveril, da sozaradi b = k < n−1

2in n ≥ 8 mozne le tiste precne povezave, ki so na sliki 6.24

oznacene crtkano in da te povezave dobimo natanko pri na sliki oznacenih pogojih.

56

Ker mora torej, ce zelimo, da so grafi oblike N (n; 1, b, b + 1; b) locno tranzitivni, vLS[{u0, u1}] obstajati vsaj ena precna povezava, mora tako veljati ali b = n

2− 1, ali

b = 3, ali pa oboje hkrati.

– Ce velja b = n2− 1 in b 6= 3, v LS[{u0, u1}] dobimo eno precno povezavo, v

LS[{u0, v0}] pa vsaj tri, kar je v nasprotju z locno tranzitivnostjo.

– Ce velja b 6= n2− 1 in b = 3, v LS[{u0, u1}] dobimo dve precni povezavi, torej

mora veljati tudi 3b = −1, da tudi v LS[{u0, v0}] dobimo dve precni povezavi.Od tod sledi 3b = n − 1 in b = 3, torej n = 10 in tako dobimo Nest grafN (10; 1, 3, 4; 3).

– Ce velja b = n2−1 = 3, je n = 8 in posledicno 3b = 1 6= −1, torej v obeh lokalnih

slikah dobimo po tri precne povezave. Tako dobimo graf N (8; 1, 3, 4; 3).

Da sta grafa N (10; 1, 3, 4; 3) in N (8; 1, 3, 4; 3) res simetricna, ze vemo (podrazde-lek 6.2.3). Tako sta do izomorfizma natancno to edina simetricna Nest grafa ozine3, za katera velja, da vsaka njuna povezava lezi na natanko dveh triciklih, polegtega pa velja se a = 1, b ≥ 3, c = b+ 1 ≤ n− 2 in k 6= 1. �

Da bi analizirali vse simetricne Nest grafe N (n; a, b, c; k) ozine 3 z λ(Γ) = 2, nam torejpreostanejo le se Nest grafi oblike N (n; 1, b, b+ 1; 1), kjer je 3 ≤ b ≤ n

2.

Lema 6.20. Naj bosta n, b ∈ N, 3 ≤ b ≤ n2

in naj bo Γ = N (n; 1, b, b + 1; 1). Ce je Γsimetricen Nest graf, je oblike N (n; 1, 2b0 + 1, 2b0 + 2; 1), kjer je n nek tak sodi delitelj2(b0

2 + b0 + 1), da velja n ≥ 4b0 + 2.

Dokaz. V tem primeru lahko hitro opazimo, da v lokalni sliki katerekoli povezave {x, y}obravnavanih Nest grafov velja N(x|y) ∼= N(y|x) ∼= P3. Primera lokalnih slik zaLS[{u0, u1}] in LS[{v0, v1}] v grafu N (n; 1, b, b + 1; 1) sta prikazana na sliki 6.25. Pritem so prikazane le povezave, ki so zagotovo prisotne, ne pa tudi tiste, ki obstajajoob morebitnih dodatnih pogojih. To pomeni, da za poljubni sosedni vozlisci x in yobstaja nek “odlikovani” sosed vozlisca x glede na y (edino vozlisce v N(x|y) stopnje3), oznacimo ga z x/y, in obstaja nek “odlikovani” sosed vozlisca y glede na vozliscex, oznacimo ga z y/x.Tako je na primer u0/u1 = u−1 in u1/u0 = u2 ter v0/v1 = v−1 in v1/v0 = v2.

Ce si ogledamo ustrezne lokalne slike za pripadajoce povezave, zlahka ugotovimo, daza poljuben i ∈ Zn velja:

• ui/ui+1 = ui−1 in ui+1/ui = ui+2

• ui/vi = vi+b+1 in vi/ui = ui−b−1

• ui/vi+1 = vi+b in vi+1/ui = ui+1−b

• ui/vi+b = vi+1 in vi+b/ui = ui+b−1

• ui/vi+b+1 = vi in vi+b+1/ui = ui+b+1

• vi/vi+1 = vi−1 in vi+1/vi = vi+2

57

Slika 6.25: LS[{u0, u1}] in LS[{v0, v1}].

Ob tem je potrebno opaziti, da zaradi 3 ≤ b ≤ n2

na vseh teh lokalnih slikah res dobimoenolicno dolocene odlikovane sosede (to je, v N(x|y) je res vedno le eno vozlisce stopnje2).

Vzemimo sedaj poljubno povezavo {x, y} grafa Γ = N (n; 1, b, b + 1; 1). Tedaj je odli-kovani cikel grafa Γ, ki vsebuje {x, y}, cikel, ki ga dobimo tako, da definiramo x0 = x,x1 = y, nato pa induktivno xi+1 = xi/xi−1 za vse i ≥ 1.

Ker je Γ simetricen, so seveda vsi odlikovani cikli iste dolzine. Odlikovani cikel, kivsebuje {u0, u1}, je ocitno (u0, u1, u2, ..., un−1, un), torej so vsi odlikovani cikli dolzinen.Odlikovani cikel, ki vsebuje povezavo {u0, v0}, je po zgornjem oblike(u0, v0, u−b−1, v−b−1, u−2(b+1), v−2(b+1), ...), torej je ta cikel dolzine 2|〈b+1〉|, kjer je 〈b+1〉podgrupa grupe Zn, generirana z b+ 1. Potemtakem je n sodo stevilo in 〈b+ 1〉 = 〈2〉(bralec se bo spomnil, da je v ciklicni grupi za vsak delitelj d njenega reda le ena pod-grupa reda d), od koder sledi, da je stevilo b liho, recimo b = 2b0 + 1.Podobno je odlikovani cikel, ki vsebuje povezavo {u0, v1}, po zgornjem oblike(u0, v1, u1−b, v1+1−b, u2(1−b), v1+2(1−b),...), torej je tudi 2|〈b − 1〉| = n, to je, 〈b − 1〉 =〈b + 1〉 = 〈2〉. Ker je b liho stevilo, je natanko eno od stevil b + 1 in b− 1 deljivo s 4,zato sledi n ≡ 2 (mod 4).

Naj bo sedaj β ∈ Aut(Γ) tak avtomorfizem, da je β(u0) = u0 in β(u1) = v0. Tedajβ odlikovani cikel, ki vsebuje povezavo {u0, u1}, preslika v odlikovani cikel, ki vsebujepovezavo {u0, v0}. Sledi:

β(uj) =

{u−j0(b+1) : j = 2j0

v−j0(b+1) : j = 2j0 + 1

58

Po zgornjem (〈b+1〉 = 〈2〉) se mnozica vseh vozlisc oblike ui preslika ravno na mnozicovseh vozlisc oblike uj in vj, kjer je j sodo stevilo. Torej je β(v0) = uj ali vj za neko lihostevilo j, podobno pa velja tudi za β(v1). Ker sta tako v0, kot v1 soseda vozlisca u0,sledi β(v0), β(v1) ∈ {u1, u−1, v1, vb}. Ker je v1 ∼ u1 in je β(u1) = v0, sledi β(v1) ∼ v0,torej je β(v1) ∈ {u−1, v1}.

Denimo najprej, da je β(v1) = v1. V tem primeru β fiksira vsa vozlisca odlikovanegacikla, ki vsebuje povezavo {u0, v1}. Po zgornjem torej β fiksira tudi vsa vozlisca oblikeuj, kjer je j ∈ 〈2〉. Med drugim to pomeni, da je β(u2) = u2. Po drugi strani pa jeβ(u2) = u−b−1, torej je b + 3 = 0. Ker je b ≤ n

2in je b ≥ 3 liho stevilo, sledi b = 3 in

n = 6. Torej je Γ = N (6; 1, 3, 4; 1). Da je ta graf res simetricen, ze vemo.

Denimo nazadnje, da je β(v1) = u−1. Ker je v0 ∼ v1, potem sledi se β(v0) = vb.Odlikovani cikel, ki vsebuje {v0, v1}, se torej preslika v odlikovani cikel, ki vsebujepovezavo {vb, u−1} in tako je:

β(vj) =

{vb−j0(b+1) : j = 2j0

u−1−j0(b+1) : j = 2j0 + 1

Sledi β(vb) = β(v2b0+1) = u−1−b0(b+1). Ker je hkrati tudi β(vb) ∈ {u1, u−1, v1, vb} invelja ze β(v1) = u−1, sledi −1 − b0(b + 1) = 1, to je, b0(b + 1) + 2 = 0. Tako je res2b0

2 + 2b0 + 2 = 0 oziroma 2(b02 + b0 + 1) = 0. Ker je b = 2b0 + 1 ≤ n

2, je n tak sodi

delitelj stevila 2(b02 + b0 + 1), da je n ≥ 4b0 + 2. �

Lema 6.20 nam torej pove, kaksne oblike so simetricni Nest grafi Γ = N (n; 1; b; b + 1; 1)ozine 3, kjer λ(Γ) = 2. Zapisimo sedaj se obrat te leme.

Lema 6.21. Naj bosta b0 in n taki naravni stevili, da je n ≥ 4b0 + 2 poljuben sodi delitelj2(b0

2 + b0 + 1). Tedaj je Γ = N (n; 1, 2b0 + 1, 2b0 + 2; 1) simetricen Nest graf ozine 3, zakaterega velja λ(Γ) = 2.

Neposrednega dokaza leme zaradi ze tako precejsnje obseznosti magistrskega dela ne bomonavedli, zapisemo pa lahko, da za dokaz locne tranzitivnosti, v luci trditev 5.8 in 6.1zadosca pokazati, da je preslikava β, definirana kot v zgornjem dokazu, avtomorfizemgrafa Γ, ki poskrbi, da se vse stiri H-orbite povezav grafa Γ “zdruzijo” v eno samo.

Da bi dokoncali klasifikacijo simetricnih Nest grafov ozine 3 bi tako morali klasificiratile se tiste primere Γ, pri katerih je λ(Γ) = 1. Rezultati analize s programskim paketomMagma iz razdelka 6.1 nakazujejo, da je N (12; 1, 3, 10; 5) edini tak graf. Na zalost se jeizkazalo, da bi bil morebiten dokaz tega dejstva prevec zahteven, zato zaenkrat ostajamozgolj pri domnevi 6.7. Kljub temu pa lahko nase rezultate tega razdelka zdruzimo vspodnjo trditev.

59

Trditev 6.22. Naj bo Γ povezan graf stopnje 6 in ozine 3 z λ(Γ) > 1. Tedaj je Γ locnotranzitiven Nest graf natanko tedaj, ko je izomorfen grafu N (n; 1, 2b0 + 1, 2b0 + 2; 1), kjerje b0 ≥ 1, n pa je poljuben sodi delitelj stevila 2(b20 + b0 + 1), ki ni manjsi od 4b0 + 2, alipa je Γ izomorfen enemu izmed naslednjih Nest grafov:

a) N (4; 1, 2, 3; 1),

b) N (5; 1, 2, 3; 2),

c) N (8; 1, 3, 4; 3),

d) N (8; 1, 2, 5; 3),

e) N (10; 1, 3, 4; 3).

60

Poglavje 7

Zakljucek

V magistrskem delu smo obravnavali klasifikacije simetricnih posplositev Posplosenih Pe-tersenovih grafov na visje stopnje. Predstavili smo 6-valentne bicirkulante, imenovaneNest grafi, in storili nekaj prvih korakov v klasifikaciji simetricnih (locno tranzitivnih)Nest grafov.

V tretjem in cetrtem poglavju smo povzeli rezultate razlicnih avtorjev, ki so se ukvarjalis klasifikacijo vozliscno in povezavno tranzitivnih Posplosenih Petersenovih grafov in nji-hovih posplositev na stopnjo 4 (Rozetni grafi) in stopnjo 5 (Tabacjn grafi). Pri tem smoopazovali predvsem metode, ki so jih avtorji uporabili, ter izpostavili nekatere ugotovitve,ki bi jih utegnili potrebovati v nadaljevanju magistrskega dela.

V nadaljevanju smo najprej predstavili 6-valentno posplositev Posplosenih Petersenovihgrafov. Pripadajoce grafe smo poimenovali Nest grafi. Pri tem smo, poleg definicije, po-dali razlicne upodobitve, navedli nekatere preproste trditve in pripravili teoreticno pod-lago za osrednji del magistrskega dela, to je klasifikacijo simetricnih Nest grafov. Takosmo najprej pokazali, da obstaja neskoncna druzina Nest grafov, oblike N (3d; 1, d, 2d; d),ki dopusca le semiregularni avtomorfizem ρ in njegove potence, navedli in dokazali pasmo tudi pomembno trditev, da grupa avtomorfizmov Aut(N (n; a, b, c; k)) ob posebnihpogojih vsebuje tudi podgrupo H = 〈ρ, τ〉, izomorfno diedrski grupi Dn. Za obravnavosimetricnih Nest grafov (oziroma posameznih druzin, identificiranih v okviru magistrskegadela), je bila pomembna tudi posledica te trditve, ki pove, da ima grupa H pri delovanjuna mnozico povezav Nest grafa stiri orbite.

Glavni cilj magistrskega dela je bila klasifikacija simetricnih Nest grafov. V prvem korakusmo s pomocjo programskega paketa Magma identificirali vse simetricne Nest grafe dovkljucno reda 320 (n = 160). Na podlagi rezultatov smo nato postavili vrsto domnev, kotna primer to, da so vsi simetricni Nest grafi ozine 3 ali 4. Enega od osrednjih doprinosovmagistrskega dela predstavlja domneva 6.7 in njena skoraj celotna potrditev, ki navajadomnevano klasifikacijo simetricnih Nest grafov ozine 3. Ta trdi, da so vsi simetricniNest grafi ozine 3 oblike N (n; 1, 2b0 + 1, 2b0 + 2; 1), kjer je b0 ≥ 1, n pa je poljubnisodi delitelj stevila 2(b20 + b0 + 1), ki ni manjsi od 4b0 + 2, z izjemo sestih manjsih Nestgrafov: N (4; 1, 2, 3; 1), N (5; 1, 2, 3; 2), N (8; 1, 3, 4; 3), N (8; 1, 2, 5; 3), N (10; 1, 3, 4; 3), alipaN (12; 1, 3, 10; 5). Dokazu domneve smo nato namenili celotno poglavje in jo tudi skoraj

61

v celoti potrdili, vendar se je izkazalo, da bi celoten dokaz terjal prevec dela in bi mocnopresegel okvir magistrskega dela.Kot drugi osrednji rezultat dela lahko zapisemo razvrstitev vecine simetricnih Nest grafovv naslednjih pet druzin:

• N (n; 2, n4, n4

+ 2; n2− 1), kjer je n ∈ N, n > 8 in n ≡ 4 (mod 8).

• N (n; 2, n2, n2

+ 2; 1), kjer je n ∈ N, n ≡ 2 (mod 4).

• N (2(m2 −m+ 1); 1, 2m− 1, 2m; 1), kjer je m ∈ N,m ≥ 2.

• N (18(2p− 1); 3(2p− 1), 18p− 11, 2(12p− 7); 1), kjer je p ∈ N.

• N (6(r2 − r) + 2; 1, 3(2r − 1), 2(3r − 1); 1), kjer je r ∈ N.

Poleg Nest grafov, ki spadajo v zgornje druzine, smo identificirali tudi t. i. sporadnicneprimere, ki se v neki lastnosti bistveno razlikujejo od drugih simetricnih Nest grafov, opi-sali in predstavili pa smo jih v locenih podrazdelkih. V nadaljevanju smo nato tudi zazapisane druzine pokazali, da gre res za druzine simetricnih Nest grafov. Pri tem je bilopri vsaki od njih potrebno identificirati avtomorfizme, ki stiri H-orbite delovanja zgorajomenjene podgrupe H grupe avtomorfizmov na mnozico povezav zdruzijo v eno samo.Zanimivo je, da je bilo potrebno za vsako od identificiranih druzin dovolj najti ze en takavtomorfizem.

Kljub temu, da nam v magistrskem delu ni uspelo klasificirati vseh simetricnih Nestgrafov, pa magistrsko delo vseeno predstavlja unikatne in izvirne rezultate, ki pomenijonov doprinos v teoriji grafov. Obenem magistrsko delo pusca se veliko prostora za dodelavein nadgradnje. Vsekakor bi bilo za zacetek potrebno dokoncati klasifikacijo simetricnihNest grafov ozine 3, nato pa se lotiti tudi drugih domnev. Ceprav bi se morda zdelonaravno, da bi nadaljevali s klasifikacijo simetricnih Nest grafov s pomocjo identificiranjanovih druzin simetricnih Nest grafov, pa menimo, da bi bilo bolje izkoristiti domnevo oozinah. Tako bi lahko najprej skusali dokazati domnevo o tem, da so vsi simetricni Nestgrafi ozine 3 ali 4, nato pa natancno analizirati in klasificirati se simetricne Nest grafeozine 4.

62

Literatura

[1] A. Arroyo, I. Hubard, K. Kutnar, E. O’Reilly, P. Sparl, Classification of symmetricTabacjn graphs, Graphs and combinatorics 31 (2015), 1137 - 1153.

[2] W. Bosma, J. J. Cannon, C. Fieker, A. Steel, “Handbook of Magma functions, Edi-tion 2.22” (2010).

[3] H. S. M. Coxeter, “Regular Polytopes”, Metheun Publishing, London, 1948.

[4] J. B. Fraleigh, “A first course in Abstract Algebra”, Addison-Wesley, Boston, 1967.

[5] R. Frucht, J. E. Graver, M. E. Watkins, The groups of the generalized Petersengraphs, Proceedings of Cambridge Philosophical Society 70 (1971), 211-218.

[6] C. Godsil, G. Royle, “Algebraic Graph theory”, Springer-Verlag, New York, 2001.

[7] I. Kovacs, K. Kutnar, D. Marusic, Cassification of edge-transitive Rose windowgraphs, Journal of graph theory 65 (2010), 216-231.

[8] K. Kutnar, D. Marusic, S. Miklavic, R. Strasek, Automorphisms of Tabacjn graphs,Filomat 27:7 (2013), 1157-1164.

[9] A. Malnic, “Zapiski pri predmetu algebrske strukture”, Pedagoska fakulteta Univerzev Ljubljani, Ljubljana, 2012.

[10] D. Marusic, Recent developments in half-transitive graphs, Discrete mathematics182 (1998), 219-231.

[11] T. Pisanski, A classification of cubic bicirculants, Discrete Math. 307 (2007), 567-578.

[12] P. Sparl, “Zapiski pri predmetu abstraktna algebra”, Pedagoska fakulteta Univerzev Ljubljani, Ljubljana, 2013.

[13] P. Sparl, “Zapiski pri predmetu diskretna matematika”, Pedagoska fakulteta Uni-verze v Ljubljani, Ljubljana, 2013.

[14] M. Vrecer, “Simetrije Posplosenih Petersonovih grafov”, diplomsko delo, Pedagoskafakulteta in Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Ljubljana, 2001.

[15] G. Vasiljevic, “O simetricnih bicirkulantih”, diplomsko delo, Pedagoska fakultetaUniverze v Ljubljani, Ljubljana, 2014.

63

[16] S. Wilson, Rose Window Graphs, Ars mathematica contemporanea 1 (2008), 7-19.

[17] L. Znidaric, “Pomen poldirektnega produkta v teoriji grup”, magistrsko delo, Pe-dagoska fakulteta Univerze v Ljubljani, Ljubljana, 2015.

64

Priloga 1

Koda programskega paketa Magma

/* FUNKCIJA, KI SESTAVI NEST GRAF V ODVISNOSTI OD n, k, a, b in c */

function NestGraph(n,k,a,b,c);

V := {<i,j>: i in {0,1}, j in {0..(n-1)}};

E := {{<0,j>, <1,(j + a) mod n>}: j in {0 .. (n - 1)}};

E := E join {{<0,j>, <1, (j + b) mod n>}: j in {0 .. (n - 1)}};

E := E join {{<0,j>, <1, (j + c) mod n>}: j in {0 .. (n - 1)}};

E := E join {{<0,j>, <1, j>}: j in {0 .. (n - 1)}};

E := E join {{<1,j>, <1, (j + k) mod n>}: j in {0 .. (n - 1)}};

E := E join {{<0,j>, <0, (j + 1) mod n>}: j in {0 .. (n - 1)}};

return Graph<V|E>;

end function;

/* POMOZNA FUNKCIJA: PRI DANEM n-JU POISCE MNOZICO USTREZNIH PARAMETROV k */

function k_ji(n)

kandidati := [1 .. (n - 1) div 2];

K := {};

while #kandidati ne 0 do

k := kandidati[1];

Include(~K, k);

d, s, _ := XGCD(k, n);

// dodatne elemente iz kandidatov in iz K odstranjujemo le,

// ce je najvecji skupni delitelj 1, ce k =/= 1,

// ce element ni obrat sam sebi (torej, da s =/= k) in

// ce velja, da k =/= n - (s mod n)

if (d eq 1) and (k ne 1) and ((s mod n) ne k) and ((n - (s mod n)) ne k) then

Exclude(~kandidati, (s mod n));

Exclude(~K, (s mod n));

Exclude(~kandidati, n - (s mod n));

Exclude(~K, n - (s mod n));

end if;

Exclude(~kandidati, k);

end while;

return K;

end function;

65

/* POMOZNA FUNKCIJA: UREDI PODANO TROJICO PO VELIKOSTI */

function rearrange(tupToSort)

seqToSort := [];

for el in tupToSort do

Append(~seqToSort, el);

end for;

seqToSort := Sort(seqToSort);

return (<seqToSort[1], seqToSort[2], seqToSort[3]>);

end function;

/* POMOZNA FUNKCIJA: PRI PODANEM n VRNE VSE MOZNE UREJENE TROJICE <a, b, c>

Z IZLOCENIMI OCITNIMI IZOMORFIZMI */

function trojice(n)

triples := [<a, b, c>: a, b, c in {1 .. (n - 1)} | a lt b and b lt c];

triples_return := [];

while #triples ne 0 do

curr := triples[1];

Exclude(~triples, rearrange(<(n - curr[1]) mod n, (curr[2] - curr[1]) mod n,

(curr[3] - curr[1]) mod n>));

Exclude(~triples, rearrange(<(curr[1] - curr[2]) mod n, (n - curr[2]) mod n,

(curr[3] - curr[2]) mod n>));

Exclude(~triples, rearrange(<(curr[1] - curr[3]) mod n,

(curr[2] - curr[3]) mod n, (n - curr[3]) mod n>));

Exclude(~triples, curr);

Append(~triples_return, curr);

end while;

return triples_return;

end function;

/* FUNKCIJA, KI FILTRIRA DANO ZAPOREDJE "GRAFOV" - ODSTRANI IZOMORFNE TROJICE */

function filter(zapN)

if #zapN gt 1 then

zapN2 := [];

while #zapN gt 0 do

quintuple := zapN[1];

Exclude(~zapN, quintuple);

Append(~zapN2, quintuple);

nestGraf := NestGraph(quintuple[1], quintuple[2], quintuple[3],

quintuple[4], quintuple[5]);

for quintuple2 in zapN do

if(IsIsomorphic(nestGraf, NestGraph(quintuple2[1], quintuple2[2],

quintuple2[3], quintuple2[4], quintuple2[5]))) then

Exclude(~zapN, quintuple2);

end if;

end for;

end while;

return zapN2;

end if;

66

return zapN;

end function;

/* GLAVNI PROGRAM */

for n := 3 to 160 do

simetricni := [];

K := k_ji(n);

tuples := trojice(n);

for k in K do

for tro in tuples do

if IsSymmetric(NestGraph(n, k, tro[1], tro[2], tro[3])) then

Append(~simetricni, <n, k, tro[1], tro[2], tro[3]>);

end if;

end for;

end for;

sym := filter(simetricni);

printf "n = %o:",n;

if (sym ne []) then

for quintuple in sym do

gr_aut := AutomorphismGroup(NestGraph(quintuple[1], quintuple[2],

quintuple[3], quintuple[4], quintuple[5]));

printf "\nN(%o; %o; %o, %o, %o). Velikost grupe avtomorfizmov: %o.

Velikost stabilizatorja: %o.", quintuple[1], quintuple[2], quintuple[3],

quintuple[4], quintuple[5], #gr_aut, #gr_aut div (2*n);

end for;

printf "\n\n";

else

printf " Ni simetricnega Nest grafa.\n\n";

end if;

end for;

67

Izjava o avtorstvu magistrskega dela

Podpisani Gorazd Vasiljevic z vpisno stevilko 01014746 sem avtor magistrskega dela znaslovom:

O simetricnih Nest grafih.

S svojim podpisom zagotavljam, da sem magistrsko delo izdelal samostojno pod mentor-stvom doc. dr. Sparla.

Ljubljana, maj 2017 Podpis avtorja: