Rana renesansa Visoka renesansa

Povijest matematikeMatematika u doba renesanse

Franka Miriam Bruckler

7. travnja 2021.

Rana renesansa Visoka renesansa

Simbolika

Velik problem matematike u starih naroda, pa cak i Arapa i ueuropskom srednjem vijeku bio je nedostatak sustavne notacije.Problemi i rjesenja izlagani su rijecima, bez standardiziranognazivlja i simbolike. Bila je to jedna od najvecih zapreka brzogdaljeg razvoja.Tijekom srednjeg vijeka postepeno su se uvele arapske brojke, teim se do renesanse ustalio i oblik. Fibonacci je uveo razlomackucrtu, a bio je i jedan od prvih koji su za nepoznanice koristiliodredene standardizirane rijeci (res, radix ; census; cubus). Tu jetzv. res-census-terminologiju koristio i Regiomontanus:

Rana renesansa Visoka renesansa

Regiomontanus (1436.–1476.)

Roden je kao Johann Muller u u Konigsbergu. Od 1468. je bio jedvorski astronom kralja Matijasa Korvina. Godine 1472. zabiljezioje pojavu kometa (Halleyevog). Kopiju Regiomontanusovihastronomskih tablica na svoje cetvrto putovanje ponio je Kolumbo.Pisao je o reformi kalendara te ga je papa Siksto IV. 1475. pozvaou Rim. Imenovao ga je i za biskupa Regensburga, ali jeRegiomontanus umro prije nego je preuzeo duznost.Njegovi najznacajniji doprinosi su u trigonometriji i astronomiji: Natemelju arapskih izvora postavio je temelje moderne trigonometrije(De triangulis omnimodis, napisano 1464., objavljeno 1533.).

Godine 1471. je postavio poznati Regiomontanusov problem .

Rana renesansa Visoka renesansa

Plus i minus

Tijekom kasnog srednjeg vijeka za zbrajanje se vrlo cesto koristiolatinski veznik et (povremeno i rijec plus). Kod d’Oresmea (ilinekog njegovog prepisivaca) mogu se naci zapisi koji podsjecaju na+, vjerojatno pokrate za et. Smatra se da se znak + pojavio iustalio tijekom 15. stoljeca. Tocno porijeklo oznake − nije poznato.Prvi put su se u tisku znakovi + i − pojavili 1489. u knjizi oaritmetici za trgovce ceskog Nijemca Johannesa Widmanna .Ipak, smatra se da je Widmann te simbole, i to upravo kao oznakeza operacije, vidio i preuzeo od nekog drugog autora. Tijekom15. st. koristeni su i drugi simboli (cesto: P i M).Ovisno o autoru, prva osoba koja je znakove + i − koristila ualgebarskim izrazima je Giel Vander Hoecke u knjizi objavljenoj uAntwerpenu 1514., ili pak Heinrich Schreiber (HeinrichGrammateus) 1518. Sigurno je da se tijekom 16. st. simboli + i −ustalili u upotrebi.

Rana renesansa Visoka renesansa

Nicolas Chuquet (ca. 1445.–1487.)

Najznaajniji francuski matematiar u 15. st., za zivot je zaradivaokao prepisivac, bio je autor prve knjige o algebri na francuskomjeziku (Triparty en la science des nombres, 1484.; mali utjecaj jerje stampana tek 1880.). Kod njega susrecemo i izraze milijun,bilijun i trilijun.Bio je prvi matematicar koji je koristio zapis eksponentanepoznanice kao superskripta i pritom je prvi koristio 0 kaoeksponent i negativne eksponente (njegovih 123 je nas 12x3, 120 jenas 12, 121m je nas 12x−1). Npr.

R242p41p21p1⇔√

4x2 + 4x + 2x + 1

(najcesca renesansna oznaka drugog korijena bila je R (lat. radix),cesto s prekrizenom

”nogicom”).

Rana renesansa Visoka renesansa

Matematika i likovna umjetnost

Do renesanse ne postoji dokaz da je ikoji umjetnik razumio ilirazradio matematicke zakone perspektivnog crtanja i slikanja. Oko1420. Filippo Brunelleschi (1377.–1446.) izrice glavno pravilolinearne perspektive: Svi pravci danog smjera u nekoj ravnini (kojanije ravnina slike)

”konvergiraju” istoj izbjeznoj tocki. Razvio je i

precizna pravila za odredivanje velicine objekta na slici ovisno onjegovoj udaljenosti od slike, ali nikad nije zapisao objasnjenjepravila linearne perspektive .

Prvi je ta pravila objasnio Leone Alberti (1404.–1472.) u svojadva djela De pictura (na latinskom, 1435.) i Della pittura (natalijanskom, 1436.).

Rana renesansa Visoka renesansa

Pierro della Francesca (1412.–1492.) je bio ne samo umjetnik,nego i matematicar, a u djelo o perspektivi je ukljucio i dijelove oaritmetici i algebri te dug dio o geometriji, ukljucivo originalnihdoprinosa. U detaljnom prikazu Arhimedovih tijela ukljucuje injihove pravilne perspektivne slike. Matematicke principeperspektive Pierro della Francesca opisao je u djeluDe prospectiva pingendi (oko 1470.).

Na osnovi della Francescinih djela Fra Luca Pacioli (1445.–1517.)je napisaosvoj prikaz pravila perspektive u sklopu djeluDe divina proportione (1509.). To je djelo napisao u Milanu,

kamo je oko 1496. na poziv vojvode Ludovica Sforze dosaopoducavati matematiku na njegovu dvoru, gdje je upoznaoLeonarda da Vincija (1452.–1519.) i s njime se sprijateljio te je onilustirao navedenu knjigu. Da Vinci je i sam imao mnogo interesaza geometriju i dao vlastite prikaze i objasnjenja perspektivnihpravila i konstrukcija, a bavio se i inverznim problemomperspektive (kako za danu sliku odrediti gdje se nalazi okopromatraca ako je prikaz perspektivno korektan).

Rana renesansa Visoka renesansa

Pacioli je svoje znanje matematike usavrsio u sluzbi bogatogvenecijanskog trgovca, a 1470-ih godina studirao je teologiju ipostao franjevac. Mnogo je putovao i poducavao matematiku naraznim sveucilistima, medu inim i u Zadru, koji je u to doba bio dioMletacke republike.Bio je autor prvog znacajnog algebarskog djelo u renesansi: Summade arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (Summa,1494.). Radi se o izuzetno utjecajnom djelu, ne samo jer je pregledmatematike tog vremena, nego i jer je pisano na narodnomtalijanskom jeziku i tiskano. Dio Summe je posvecen rjesavanjuonih jednadzbi 4. stupnja koje se mogu rijesiti supstitucijom.Pacioli je koristio res-census terminologiju, za + koristi p., za −koristi m., za

√koristi R.. Prije nego nastavimo s algebrom,

spomenimo jos jednog matematicara-umjetnika:

Rana renesansa Visoka renesansa

Albrecht Durer (1471.–1528.), Nijemac madarskog porijekla, unukzlatara, trece od 18 djece u obitelji, vec s 13 godina se istaknuokao slikar. Na putu u Italiju 1494. saznao je za Paciolijeva djela ivaznost matematike u slikarstvu te po povratku u Nurnberg poceoproucavati matematicka djela. Od oko 1500. se u Durerovimdjelima moze otkriti matematicki utjecaj.Poznati su Durerovi bakrorezi koji prikazuju vezu slike i originalapo perspektivnim pravilima. Kako bi produbio znanje matematike,1505.–1507. ponovno putuje po Italiji te po povratku skupljamaterijal za pisanje djela o primjeni matematike u umjetnosti. Todjelo nikad nije zavrsio.Najpoznatija Durerova

”matematicka” slika Melencolia I (1514.).

Durer je 1525. objavio svoje znamenito djeloUnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen ,

detaljan prikaz teorije sjena i perspektive, a ujedno se radi o prvojmatematickoj knjizi na njemackom jeziku koja donosi noverezultate.

Rana renesansa Visoka renesansa

Renesansna algebra

Talijanski matematicari 16. stoljeca bavili su se problemomrjesivosti u radikalima kubnih jednadzbi bez kvadratnog clana:

x3 + bx = c

x3 = bx + c ,

x3 + c = bx .

Koeficijenti su b = A2 > 0 i c = B3 > 0, uz uzimanje u obzirtzv. principa homogenosti (duljine se mogu zbrajati samo sduljinama, povrsine s povrsinama, volumeni s volumenima).Naime, supstitucijom y = x+trecina koeficijenta uz kvadratni clanse svaka normirana kubna jednadzba svodi na takvu:

Primjer

x3 + 3x2 = 12x + 18 : (x = y − 1)⇒ y3 = 15y + 4

Rana renesansa Visoka renesansa

Scipione del Ferro (1463.?–1526.)

Profesor matematike u Bologni, oko 1515. nasao je algebarskumetodu za rjesavanje kubnih jednadzbi tipa x3 + bx = c . Svoje jerezultate cuvao tajnim (u to doba u Italiji moglo se dobro zaraditirjesavajuci jednadzbe onima koji su ih trebali).Pred smrt je svoju metodu priopcio svom studentu Antoniu Fioru,a njegove je biljeske naslijedio zet mu Hanninal Nave. Ubrzo nakondel Ferrove smrti se proculo da je rijesen prvi tip kubne jednadzbe.U to se doba tim pitanjima bavio i:

Rana renesansa Visoka renesansa

Niccolo Fontana Tartaglia (1500.?–1557.)

Samouki matematicar iz Brescie. Tartaglia mu je zapravo

nadimak (”mucavac”), kojeg je dobio zbog govorne mane koja je

bila posljedica ozljede u djetinjstvu: Kad su Francuzi 1512. osvojilinjegovu rodnu Bresciu, jedan mu je vojnik macem rasjekao celjust.Majka mu je uspjela spasiti zivot, ali ostala mu je govorna mana ivelik oziljak kojeg je kao odrastao skrivao bujnom bradom.Kad je imao 16 godina trebao je nauciti abecedu, no novaca je bilosamo do slova K. Tartaglia je ukrao udzbenik i sam naucio dalje nesamo abecedu, vec i latinski i kasnije matematik. Taj mu je talentdonio mjesta predavaca matematike prvo u Veroni, a u doba naseprice u Veneciji.Osim po doprinosu rjesenju kubne jednadzbe, poznat je po uviduda projektil ima najveci domet ako se ispali pod kutom od 45◦.

Rana renesansa Visoka renesansa

Tartaglia i kubna jednadzba

1530-ih godina je Tartaglia otkrio metodu za rjesavanje kubnejednadzbe oblika x3 + px2 = q3 i svoje otkrice nije tajio.Fior, uvjeren da samo on zna rijesiti tip x3 + bx = c , izazvao jeTartagliu na javno natjecanje (1535.) na kojem je svaki trebaozadati drugome po 30 zadataka. Tartaglia je ocekivao taj tip iuspio osmisliti vlastitu, u osnovi ponovno del Ferrovu metodu, zarjesenje takvih zadataka. Tako je on rijesio sve Fiorove zadatke, aliFior nije znao rijesiti sve njegove te je izgubio, a Tartaglia stekaoslavu.

Primjer

Primjer Fiorovog zadatka: Nadi mi broj koji zbrojen sa svojimkubom daje 6 (x3 + x = 6).

Za Tartaglia-inu pobjedu cuo je:

Rana renesansa Visoka renesansa

Girolamo Cardano (1501.–1576.)

Milanski lijecnik i matematicar, roden u Paviji kao izvanbracnodijete milanskog pravnika i mlade udovice. Cardano je studiraomedicinu i postao medunarodno poznat lijecnik, cak je 1552. nazahtjev nadbiskupa Johna Hamiltona iz Edinburgha putovao uSkotsku da ga izlijeci od astme. Paralelno sa svojom lijecnickompraksom bavio se matematikom, ali i kockanjem iastrologijom.Osim o matematici, objavio je djela i o astrologiji,fizici, sahu, kockanju, utjehi, cudesnim lijekovima, otrovima, zraku,vodi, snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti, moralu i glazbi.Njegovo je djelo o utjesi navodno je izvor za Hamletove komentareo snu i smrti. Stric mu je otrovan, a i samog Cardana i ocapokusavali su otrovati. Zena mu je umrla 1546. Imao je dva sina ijednu kcer.

Rana renesansa Visoka renesansa

Starijem je sinu 1560. odrubljena glava jer je arsenom u kolacuotrovao zenu (koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu,a koja se vlastitom muzu javno rugala da nije otac njihovo trojedjece). Mladi sin je kao i otac bio ovisnik o kocki. Okrao jevlastito g oca koji ga je istjerao iz Bologne, a navodno da mu jeCardano u napadu bijesa i odrezao uho. Kcer je umrla od sifilisa.Skandali oko Cardana se gomilaju te ga sveuciliste pokusavaizbaciti, no Cardano tih godina ima jaku zastitu pape Grgura XIII.Godine 1570. uhapsen je kao heretik zbog objave horoskopa IsusaKrista, ali ga inkvizicija nije mucila. Po izlasku iz zatvora gubiposao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj zivota je proveou Rimu, uz malu mirovinu koju mu je osigurao papa. Premalegendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odredenogdana te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.Dva najpoznatija njegova djela su Ars Magna (1545.) i Liber deLudo Aleae (objavljeno tek 1663.).

Rana renesansa Visoka renesansa

U doba Tartagliaine pobjede Cardano se upravo spremao objavitidjelo Practica arithmeticae. Cardano je pozvao Tartaglia-u uMilano da ga pokusa nagovoriti da mu oda svoju metodu. Napisaomu je da ju zeli objaviti u svojoj knjizi, ali Tartaglia je odgovorioda ce ju sam objaviti.Na to je Cardano molio da mu metodu oda

”u povjerenju”. no i to

je Tartaglia isprva odbio. Cardano mu je pak zatim napisao da je onjemu razgovarao s milanskim guvernerom, te je Tartaglia, zelecipoboljsati svoju zaradu, pristao doci u Milano. Cardano ga jeugostio, ali guvernera nije bilo u gradu.Nakon puno nagovaranja Tartaglia je pristao odati metodu, uzuvjet da se Cardano zakune da ju nece objaviti prije nego ju samTartaglia objavi.

Rana renesansa Visoka renesansa

Cardano je zakletvu prekrsio objavom djela Ars Magna (1545.), ukojem navodi Tartagliau kao autora metode, a uz nju objavljuje isvoje prosirenje metode1 te rezultate svog studenta Ferrarija orjesenju jednadzbe cetvrtog stupnja.U Cardanovu obranu moze se reci da je Tartaglia dugo izbjegavaoobjaviti svoju metodu, a da je njena modifikacija do opceg rjesenjakubne jednadzbe Cardanov rezultat.Za Tartagliau ova je objava bila katastrofa, jer je njome izgubioprednost na natjecanjima (koja su mu osiguravala odredenufinancijsku dobit) te je optuzio Cardana za izdaju i izazvao ga nanatjecanje. Na to natjecanje (1548.) Cardano salje Ferrarija kojipobjeduje Tartagliau i Tartaglia je bio prisiljen otici s natjecanja, teTartaglia gubi i prestiz i dohodak te je zivot zavrsio kako ga je izapoceo: siromasan.

123 slucaja!

Rana renesansa Visoka renesansa

Rjesenje reducirane kubne jednadzbe x3 + bx + c = 0

1 Nepoznanicu zapisi kao u + v i sredi jednadzbu na obliku3 + v3 + 3(uv − b/3)(u + v) + c = 0.

2 Dodaj uvjet uv = b/3 i kubiraj.3 Rijesi sustav za u3, v3 koji se supstitucijom svodi na

kvadratnu jednadzbu.

Diskriminanta kvadratne jednadzbe koja se dobije u gornjempostupku zove se diskriminantom kubne jednadzbe. Ako je ona 0,sva rjesenja su realna (i jedno je bar dvostruko), ako je pozitivna,samo jedno rjesenje je realno, a ako je negativna u i v sukompleksni, no kubna jednadzba ima tri razlicita realna rjesenja.

x −v

u

Rana renesansa Visoka renesansa

Primjer: x3 = 15x + 4

u3 + v3 = 4, u3v3 =

(15

3

)3

= 125⇒

u6 − 4u3 + 125 = 0,

(u3 − 2)2 + 121 = 0,

u3 − 2 = ±√−121

(!!!!! prva pojava kompleksnih brojeva u povijesti !!!!!). Kako jeCardano znao da x3 = 15x + 4 ima rjesenje x = 4, zapisao jeu3 = 2 +

√−121 i iz toga izracunao v3 = 4− u3 = 2−

√−121 i

stoga

x = u + v =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.

Ali, x = 4?! To je kasnije pokazao Rafael Bombelli.

Rana renesansa Visoka renesansa

Lodovico Ferrari (1522.–1565.)

Nakon sto mu je otac poginuo, zivio je kod strica, ciji sin je pobjegao odkuce i zaposlio se kao sluga kod Cardana, no ubrzo je shvatio da mu jekod kuce bilo bolje te je bez obavijesti napustio Cardana i vratio se kuci.Kad je Cardano kontaktirao njegova oca, on je Cardanu umjesto sinaposlao tad 14-godisnjeg Lodovica.Lodovico je znao citati i pisati pa ga je zaposlio kao tajnika, a kako jebrzo uocio i njegov matematicki talent, Cardano ga je poducio imatematici. Ferrari je brzo napredovao i metodu za kubnu jednadzbudopunio do metode za rjesavanje jednadzbe cetvrtog stupnja.Nakon natjecanja s Tartagliom, Ferrari je trazio bolje placen posao.Obogatio se u sluzbi milanskog upravitelja, don Ferranda di Gonzage, aliga je sklonost uzicima kostala zdravlja. Otisao je zivjeti sa sestrom,udovicom, u Bolognu, gdje je dobio i profesuru matematike na sveucilistu,no godinu kasnije je umro. Smatra se da ga je otrovala sestra, koja jeodbila tugovati na pogrebu i dva tjedna nakon sto je naslijedila njegovobogatstvo ponovno se udala (no, kad je sve svoje vlasnistvo prepisalamuzu, on ju je odmah ostavio te je umrla u siromastvu).

Rana renesansa Visoka renesansa

Rjesavanje jednadzbe 4. stupnja

Primjer

Rijesimox4 + 4x3 − 17x2 − 24x + 36 = 0.

Ferrarijevom metodom.

Supstitucija x = y − 1 (x je y minus 14 koeficijenta uz x3)

eliminira kvadratni clan, a ostatak jednadzbe pisemo tako dalijevo ostanu clanovi 2. i 4. stupnja: y4 − 23y2 = −18y − 40.

Svodimo lijevu stranu na potpun kvadrat: Pribrojimo 232

4 i

dobijemo 4(y2 − 23

2

)2= 369

4 − 18y .

Uvodimo dodatnu nepoznanicu t pribrajanjemt2 + 2t(y2 − 23/2) (dakle, t2 + 2t

(x2 + A

), gdje je lijeva

strana prethodne jednadzbe (y2 + A)2):

Rana renesansa Visoka renesansa

(y2 − 23

2 + t)2

= 2ty2 − 18y + t2 − 23t + 3694 .

Biramo jedan t za koji je diskriminanta desne strane s obziromna x jednaka 0, npr. t = 1

2 .

Onda preostaje(y2 − 11

)2= y2 − 18y + 81 = (y − 9)2.

y2 − 11 = ±(y − 9)⇒ y1,2,3,4 = −5;−1; 2, 4⇒ x1,2,3,4 =−6;−2; 1, 3.

Napomena

U to doba jos ne postoji svijest o vezi broja rjesenja i stupnjajednadzbe. O tom potom.

Rana renesansa Visoka renesansa

Rafael Bombelli (1526.–1572.)

Primjer

Bombelli je prvi pokazao da je Cardanovo rjesenjex = 3

√2 +√−121 + 3

√2−√−121 jednako 4. Uocio je prvo da

ako to uopce jest smisleno, onda je 3√

2±√−121 = a± b

√−1. D

3

√2 +√−121 = a + b

√−1,

2 +√−121 = a(a2 − 3b2) + b(3a2 − b2)

√−1,

2 = a(a2 − 3b2), 11 = b(3a2 − b2).

Za a = 2 i b = 1 je to OK, dakle je3√

2 +√−121 = 2 +

√−1 = 2 +

√−1 + 2−

√−1 = 4.

Rana renesansa Visoka renesansa

Time je Bombelli prva osoba u povijesti koja je kao smisleneprihvatila kompleksne brojeve, a opisao je i pravila racuna s njima.Bombelli imaginarne brojeve zapisuje kao kvadratne korijenenegativnih brojeva te daje pravila za njihovo zbrajanje, oduzimanjei mnozenje, npr.

”plus od minusa puta plus od minusa je minus”2

(+√−n · +

√−n = −n). Dokazao je i da ireducibilni slucaj kubnejednadzbe ima tri realna rjesenja. Kod Bombellija se moze naci igeometrijska definicija realnih brojeva: ako se odabere jedinicnaduljina, onda se brojevi mogu predstaviti kao duljine.

2Primjer oznake: p.d.m.11 je nas +√−121.

Rana renesansa Visoka renesansa

Bombelli je bio arhitekt iz Bologne. Obrazovao ga je arhitektClementi te i sam Bombelli, uz podrsku rimskog plemicaAlessandra Ruffinija, postaje arhitekt. Godine 1555. dolazi doprekida projekta isusivanja mocvara koji je radio za Ruffinija te utoj pauzi Bombelli odlucuje napisati knjigu iz algebre, smatrajucida su sukobi oko rezultata posljedica njihova nedovoljno pazljivaizlaganja, koje je uz to cesto bilo nepristupacno nematematicarima.Bombelli je za cilj imao napisati opci i lakse razumljiv prikazalgebre. Ipak, spomenuti projekt se ubrzo nastavlja, a Bombellinastavlja svoju uspjesnu arhitektonsku karijeru prije zavrsetkaknjige. Prve tri knjige Bombellijeve Algebre objavljene su 1572., adruge dvije su ostale nedovrsene i izdane posthumno. NjegovaAlgebra daje potpun prikaz tada poznate algebre, ukljucivsi pravilaaritmetike s pozitivnim i negativnim brojevima, dokaz da jeproblem trisekcije kuta ekvivalentan rjesavanju kubne jednadzbe tedetaljnu diskusiju kompleksnih brojeva.

Rana renesansa Visoka renesansa

Bombelli je koristio vlastitu sustavnu algebarsku notaciju:

p. za zbrajanje, m. za oduzimanje, izraz eguale a za jednakost;

L i zrcalno L u funkciji zagrada za izraze koji se korjenuju, R sprekrizenom nogicom za korjenovanje (Rq i Rc ako zelinaglasiti drugi i treci korijen);

za monome koeficijent pise ispod `, a potenciju nepoznaniceiznad

R b 7 p. R 14 cKako bi Bombelli zapisao 4 +

√24− 20x2?

Danasnji znak za kvadratni korijen je vjerojatno pokrata od r, aprvi put se javlja 1525. u prvoj njemackoj knjizi o algebri Die Cosspoljskog Nijemca Christoffa Rudolffa (1499.–1545.), po kojoj senjemacki renesansni algebraicari nazivaju kosistima.

Rana renesansa Visoka renesansa

Nepoznanice i njihove potencije

Vec smo spomenuli res-census-terminologiju i Chuquetove ideje. U16. st. jos ce neki matematicari doprinijeti razvoju modernealgebarske notacije. Medu njima je najpoznatiji Francois Viete(Vieta, 1540.–1603.), koji je prvi predlozio koristenje slova zakonstante i nepoznanice (suglasnike za konstante, samoglasnike zanepoznanice). Osnovne cetiri operacije oznacavao je s +, −, in,razlomackom crtom, a jednakost s aequibitur.Glavno djelo mu je In artem analyticem isagoge (1591.). NakonViete algebra postaje opca znanost o algebarskim jednadzbamaoslonjena na simbolicke oznake. On je i prvi koji je dao primjerejednadzbi koje imaju onoliko rjesenja koliki im je stupanj. Viete usvom djelu prikazuje (vec prije poznate, ali i svoje nove) metode zarjesavanje jednadzbi do stupnja 4 i daje vezu (Vieteove formule)izmedu koeficijenata3 i rjesenja jednadzbe.

3Sam pojam”koeficijent” je uveo upravo Viete.

Rana renesansa Visoka renesansa

Viete je bio francuski pravnik i zastupnik u parlamentu, amatematikom se bavio u slobodno vrijeme.U to doba jedna je od najvecih svjetskih sila Spanjolska, a njeniagenti komunicirali su koristeci sifre s oko 500 znakova. Spanjolskikralj Filip II, poznati borac protiv reformacije, zagovornik inkvizicijei pokretac armade protiv Engleske, 1590. je godine postaviozahtjev za francuskim prijestoljem na osnovi rodbinskih veza.Francuski kralj Henrik IV, protestant, odbio je te zahtjeve te jedoslo do rata. Francuzi su presreli jednu spanjolsku poruku te ju jekralj dao Vieteu da ju desifrira, sto mu je uspjelo: 15. ozujka 1590.kralju je predao desifriranu poruku, a poslije je desifrirao i jos nekedruge poruke. Spanjolci su to shvatili tek jedno dvije godinekasnije. Filip II je tuzio Francusku papi da se koristi crnommagijom: trazilo se da se Vieteu sudi kao carobnjaku i nekromantuu paktu s vragom. Papa (vj. Klement VIII) u to nije povjerovao, acini se da ga je cijela situacija zabavljala, iako je pokrenuta istragakoja do dana danasnjeg nikad nije sluzbeno zakljucena.

Rana renesansa Visoka renesansa

Godine 1593. belgijski matematicar Adrian van Roomen postavioje zadatak , jednadzbu stupnja 45. Tadasnji nizozemskiambasador u Francuskoj kralju komentirao je da su francuskimatematicari preslabi da ijedan od njih rijesi Roomenov problem.Kralj Henrik IV je problem dao Vieteu, koji ga je brzo rijesiouocivsi da je u pozadini jednadzbe trigonometrijska relacija.

Zanimljivu algebrasku notaciju imao je i jedan od dva velikaengleska renesansna matematicara, Thomas Harriot(1560.–1621.), engleski matematicar, istrazivac i astronom. On jepisao a, aa, aaa, . . . za danasnje a, a2, a3, . . .. Prvi je koristioznakove < i >:

”Signum majoritatis ut a > b significet a majorem

quam b”,”Signum minoritatis ut a < b significet a minorem quam

b.”.

Rana renesansa Visoka renesansa

U Englesku je znakove + i − u upotrebu uveo Robert Recorde(1510.–1558.), a on je prva osoba koja 1557. koristi znak =.Recorde je bio na raznim funkcijama u doba kralja Edwarda VI, aumro je u zatvoru u koji je dospio zbog duga vezanog za politickanadmetanja, a vjerojatno i tezih zlocina. Znak = se nije ponovnopojavio u tisku do 1618., a uporaba tog znaka se prosirila tektijekom 17. stoljeca (u 16. i 17. st. mnogi su autori za jednakostkoristili ||, a neki [, |, ae, oe, . . . ).Tijekom renesanse mnozenje se cesto oznacavalo s M (ilijednostavno nadopisivanjem), a dijeljenje s D (ili razlomackomcrtom), no znakovi × i · te : i ÷ pojavili su se tek u 17. st.Jedna od popularnijih notacija za dijeljenje potjece od MichaelStifela (1487.–1567.) za nase 24 : 8 pise 8)24 (a mnozenjeoznacava nadopisivanjem). On je za nas A pise 1A, nas A2 pise1AA, nas A3 pise 1AAA, . . .

Rana renesansa Visoka renesansa

Stifel je bio njemacki redovnik, jedan od ranih Lutherovihsljedbenika. Neko vrijeme je cak zivio kod Luthera, koji mu jenasao mjesto pastora koje je Stifel izgubio nakon krivogpredskazivanja kraja svijeta za 18. listopada 1533. U kasnijemrazdoblju je stjecajem okolnosti vise puta morao mijenjati mjestosluzbe.Kod njega susrecemo spominjanje iracionalnosti kao brojeva, iakomu se razmatranje temelji na EEX. Stifel kaze da iracionalni brojne moze biti racionalan, ali moze biti izmedu dva racionalna.Promatrao je samo pozitivne brojeve, a negativne smatraobesmislenim (ali ih ipak proglasava manjima od nule: kaze da jenula izmedu pozitivnih i negativnih brojeva).Najznacajnije djelo mu je Arithmetica integra (1544.). U tom sedjelu po prvi put u Europi pojavljuje i Pascalov trokut, a koriste sei znakovi +, −,

√, no posebno je znacajno jer je postalo temelj

otkrica logaritama.

Rana renesansa Visoka renesansa

Prosthaphaeresis

Kako pojednostaviti mnozenje i dijeljenje brojeva s punoznamenki? I zasto bi to trebalo renesansnim ljudima?Njemacki matematicar i astronomo Paul Wittich boravio je oko1580 vise mjeseci u Uraniborgu, opservatoriju danskog astronomaTycho Brahe-a na otoku Hvenu.

Rana renesansa Visoka renesansa

Wittich je u Dansku donio sa sobom ideju koristenja ranije poznateformule

sinα · sinβ =cos(α− β)− cos(α + β)

2

u svrhu svodenja mnozenja na zbrajanje i oduzimanje.

Prosthaphaeresis: Primjer

0,99027 · 0,17365 =?

Prvo nademo iz trigonometrijskih tablica: 0,99027 = sin 82◦,0,17365 = sin 10◦. Izracunamo: α− β = 72◦, α + β = 92◦. Opetiz tablica: cos 72◦ = 0,309017, cos 92◦ = −0,034899. Oduzmemo ipodijelimo s 2:

0,99027 · 0,17365 =0,309017− (−0,034899)

2= 0,17463

Dijeljenje? Potenciranje?

Rana renesansa Visoka renesansa

U 14. st. D’Oresme je znao pravilo aman = am+n za pozitivneracionalne eksponente m i n. To je u 15. st. N. Chuquet prosiriona slucajeve kad su kao eksponenti dozvoljeni i 0 i negativni (cijeli)brojevi. Stifel je pak u Arithmetica integra uocio: Zbrajanje uaritmetickom nizu odgovara mnozenju u geometrijskom nizu, a istotako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u drugom. dijeljenjuu potonjem. dijeljenju u potonjem.

. . . 0 1 2 3 . . .

. . . 1 2 4 8 . . .

Npr.: 8 · 16 se racuna tako da zbrojimo 3 + 4 = 7 i u drugom reduocitamo rezultat. Kako dobiti finiju raspodjelu?

Rana renesansa Visoka renesansa

John Napier (1550.–1617.)

linkNapier bio je skotski plemic i fanaticni protestant koji je napisaotekst kojim je htio pokazati da je papa Antikrist, a zbog sklonostinosenja dugih halja i nocnih setnji po dvorcu smatrali su ganekromantom. Matematikom se bavio samo iz hobija.Potrosio je 20 godina na konstrukciju prve tablice logaritama.Objavio ju je 1614., a 1619. je pod nazivom MirificiLogarithmorum Canonis Constructio objavljena i pripadna teorija.Uocio je da je problem za procjenu meduvrijednosti u Stifelovojtablici taj sto je 2 prevelik, odnosno potencije od 2 su previsemedusobno razmaknute. Dakle, treba nam geometrijski niz skvocijentom q ≈ 1, ali takvim da se qn lako moze racunati, a uz totreba i sto efikasnija metoda kojom se iz qn < a < qm mozeprocijeniti k takav da je a = qk .

Rana renesansa Visoka renesansa

Ne zaboravimo: Cilj je bio olaksati mnozenje brojeva utrigonometrijskim tablicama. U to doba je sinus bio duljinapolutetive za krug proizvoljnog radijusa. Najtocnije tadasnje tablicesu uzimale polumjer 107, dakle je u njima, primjerice, sin 30◦

iznosio 5.000.000, a sin 90◦ je bio 10.000.000 = 107. Trazila semetoda kojom cemo za sinuse koje hocemo mnoziti/dijeliti dobititablicu njihovih logaritama koje onda mozemo zbrojiti/oduzeti.Stoga je Napier uzeo geometrijski niz s pocetnim clanom 107 ikvocijentom q = 1− 10−7 = 0,9999999:

q2 = (1− 10−m)(1− 10−m) = q − 10−mq,

q3 = qq2 = q2 − 10−mq2, . . .

i t.d.: Svaku sljedecu potenciju dobijemo tako da pomaknemodecimalni zarez za m mjesta ulijevo i dobiveni broj oduzmemo odprethodnog: 10.000.000 = sin 90◦, 9.999.999 = sin 89,97◦,9.999.998,000.000.1 = sin 89,963762968◦, . . .

Rana renesansa Visoka renesansa

Iz tog prvog geometrijskog niza Napier je konstruirao jedan drugi sdrugim kvocijentom, a zatim treci. Sveukupno je dobio 1380brojeva izmedu 4.998.609,4034 i 10.000.000 (sinusi kutova od29,99◦ do 90◦) koji su oblika 107uiv j (u = 0,9995, v = 0,99) i zakoje bi

”eksponenti” bili

”logaritmi”. No, (ne jedini) problem je s

ovom tablicom bio taj da se ne radi o jednom geometrijskom nizu sjedinstvenim kvocijentom.Stoga je Napier okrenuo pricu: Umjesto cjelobrojnih eksponenata idecimalnih rezultata (sinusa) krenuo je od cjelobrojnih sinusatraziti odgovarajuce eksponente (logaritme). U tu svrhu osmislio jesljedece objasnjenje sto bi to bio logaritam:

Rana renesansa Visoka renesansa

Kako je Napier zamislio logaritme?

Dvije cestice a i g gibaju se pravocrtno i biljezimo njihove pozicijeu raznim trenucima t. Cestica a se giba konstatnom brzinom 107,a cestica g ima pocetnu brzinu 107 i u svakom trenutku joj jebrzina v razmjerna trenutnoj udaljenosti do cilja.

g

a

T S|TS | = 107

xt

yt

Napier definira: y je logaritam od”sinusa” x (pisat cemo

y = NapLog x). Ocito je NapLog107 = 0 i ocito je NapLogpadajuca funkcija.

Rana renesansa Visoka renesansa

Moderna interpretacija Napierovog logaritma

Po definiciji imamo v(t) = kx(t) za svaki t i takoder

v(t) = d(107−x)dt = −x . Uz to imamo pocetne uvjete x(0) = 107 i

v(0) = 107. Slijedi k = 1. S druge je strane y(t) = 107 za svaki t.Dakle:

dy

dx=

y

x= −107

x⇒ NapLog x = y = 107 ln

107

x.

No, Napier niti je znao diferencijalni racun niti funkciju ln. Sto jenapravio? Prvo je dokazao da (za jednake vremenske razmake,tj. za t = 0, 1, 2, . . . ) pozicije yt (Napierovi logaritmi pozicija xt)cine aritmeticki niz s pocetnim clanom 0 i diferencijom 107, audaljenosti xt cine geometrijski niz s pocetnim clanom 107 ikvocijentom 0,999.999.9, tj. tocno brojeve (sinuse) iz prve tablice.

Rana renesansa Visoka renesansa

Napier je zatim izveo odredena svojstva svog logaritma te jekoristeci linearnu interpolaciju izracunao logaritme sinusa iz drugetablice, tocnije njihove gornje i donje granice, pa onih iz trece.Onda je odbacio logaritme prve dvije tablice i zadrzao trecu kaoosnovu tablice logaritama (brojeva od 5.000.000 do 10.000.000).Za x od 0 do 5000000 koristio je svojstvoNapLogx = NapLog(2x) + NapLog 107

2 .

Zadatak

NapLog (107ab) = NapLog (107a) + NapLog (107b),NapLog (107 a

b ) = NapLog (107a)− NapLog (107b),

NapLog (107√a) = NapLog (107a)

2 .

Rana renesansa Visoka renesansa

Henry Briggs (1561.–1631.)

Profesor geometrije u Oxfordu, saznao je za Napierovukonstrukciju te 1615. otputovao k Napieru u Edinburgh. Napier seslozio s Briggsovim prijedlogom da bi puno zgodniji bili logaritmikojima je nultocka 1 jer time dobivamo uobicajena svojstvalogaritama s obzirom na · i :. Uz to su se slozili i da bi bilo zgodnoda 10 puta veci broj ima za 1 veci logaritam. Briggs je nakonNapierove smrti nastavio i 1624. objavio svoju tablicu ArithmeticaLogarithmica dekadskih logaritama, koji su zbog toga ponekadpoznati i kao Briggsovi logaritmi.Briggs je uveo pojmove mantisa i karakteristika: Svaki decimalnibroj mozemo zapisati u obliku m · 10k , gdje je m ∈ [1, 10〉, k ∈ Z.Buduci da je log(a · 10k) = k + log a, dovoljno je znati samologaritme mantisa.

Rana renesansa Visoka renesansa

Joost Burgi (1552.–1632.)

Najpoznatiji svicarski urar svog doba, radio i na carskom dvoru uPragu, gdje je imao prilike susresti Keplera. Vjerojatno je da ga jeupravo Kepler nagovorio da objavi svoju konstrukciju logaritama,koja je pak vjerojatno bila inspirirana Stifelovim razmatranjima.Svoj je rad objavio 1620 pod nazivom Progress Tabulen .Za razliku od Napiera, on kao kvocijent geometrijskog niza uzima1,0001. Za broj N = 108 · 1,0001L on broj 10L zove

”crvenim

brojem crnog broja” N: Suvremene oznake povlace da je Burgijevlogaritam zapravo 10

ln 1,0001 · ln(10−8x).

Rana renesansa Visoka renesansa

Primijenjeni matematicari u renesansi

u 15. st. astronomija se jos temeljila na PtolemejevomAlmagestu

Kopernik prvi predlaze heliocentricni sustav (DeRevolutionibus Orbium Coelestium, 1543.)

problem: pretpostavlja da su putanje kruzne

Galileo Galilei (1564.–1642.) je prvi pokazao mogucnostkretanja planeta oko Sunca, no za matematiku je vazniji po tridoprinosa:

prva eksplicitna pjava beskonacnih skupova: prirodnih brojevaima jednako mnogo kao njihovih kvadrata

objasnio je zasto pri bacanju tri kockice nisu svi zbrojevijednako vjerojatni i

postavio je temelje racuna pogreske

Rana renesansa Visoka renesansa

Galileove temeljne postavke racuna pogreske

Galileo je svijestan da svako mjerenje nosi gresku. U Dialogo opra idue Massimi Sistemi del Mondo Tolemaico e Copernicano (1632)tvrdi, da cemo dobiti pouzdanije podatke ako provedemo sto visemjerenja, a pritom vrijedi

Samo je jedna stvarna vrijednost fizikalne velicine(npr. udaljenost sredista Zemlje do neke zvijezde).

Mjerenja nose gresku uslijed nesavrsenosti promatraca imjernog instrumenta.

Greske se rasporeduju simetricno s obzirom na 0.

Manje gresek su vjerojatnije od velikih.

Nazalost, Galileo jos nije dao prijedlog kako iz rezultata mjerenja(podataka) dobiti procjenu stvarne vrijednosti.

Rana renesansa Visoka renesansa

Johannes Kepler (1571.–1630.)

Kepler je medu velikim renesansnim astronomima najvisematematicar.Keplerov prvi model Suncevog sustava (Mysterium

cosmographicum, 1596.).1599. je postao asistent danskog astronoma Tycho Brahea(1546.–1601.) u Pragu. Koristeci Braheove podatke, Kepler jeformulirao svoja tri znamenita zakona gibanja planeta(1609. odnosno 1619.).

1 Planeti se oko Sunca krecu po elipsama, u cijem jednomzaristu je Sunce.

2 Radij-vektori planeta (spojnice planeta sa Suncem) ujednakim vremenskim razmacima prelaze jednake povrsine.

3 Kvadrat godine (vremena obilaska) planeta je razmjeran kubuvelike osi pripadne orbite.

Rana renesansa Visoka renesansa

Kepler se bavio i poliedrima . Prvi im je pristupio sustavno iponovno je otkrio Arhimedova tijela. Otkrio je novu klasupoliedara (antiprizme) i neke nove poliedre ( rompski dodekaedar i

rompski triakontaedar ). Prvi se bavio i zvjezdastim poliedrima.

Keplerova hipoteza, 1611.:

Rana renesansa Visoka renesansa

Simon Stevin (1548.–1620.)

Stevin je objavio nekoliko znacajnih fizikalnih djela. Osobito jevazno njegovo djelo De Beghinselen der Weegconst iz 1586. ukojem se bavi tzv. trokutom sila (sto mozemo smatrati pocetkomvektorskog racuna), pitanjima ravnoteze i tlakom. Stevin tim i josnekim djelima ostvaruje prvi napredak na podrucju statike ihidrostatike nakon Arhimeda.Za matematiku je osobito znacajna njegova knjizica De Thiende(Desetina) iz 1585. u kojoj daje prvo europsko izlaganje teorijedecimalnih razlomaka i decimalnog mjernog sustava. No, trebat cejos ca. 200 godina dok decimalni brojevi budu u siroj uporabi.

Primjer

Nas 27,847 kod Stevina izgleda: 27 0© 8 1© 4 2© 7 3©.