Povijest matematike (7)

F. M. BrücklerAk.God. 2005/06

Otkriće logaritama

Zašto uvesti logaritme?• lakše je zbrajati nego množiti korisno je moći svesti

množenje dva broja na zbrajanje dva broja• ideja: napraviti tablice koje brojevima koje treba množiti

pridružuju brojeve koje ćemo umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara dobivenom zbroju

• dva izvora otkrića logaritama: izrada trigonometrijskih tablica za korištenje u navigaciji; kamatni račun

• 1593. dva danska matematičara predlažu korištenje trig. tablica za olakšanje računa pomoću formule sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B)

• npr. za 0.17365·0.99027, u tablicama nađemo 0.17365 = sin(10), 0.99027 = cos(8) te iz formule slijedi 0.17365·0.99027 =sin(10)cos(8) = (sin(18) + sin(2))/2 = /tablice/ = (0.30902 + 0.03490 )/2 = 0.17196

Tko je izmislio logaritme?• John Napier (Neper, 1550-1617)• škotski aristokrat, fanatični protestant,

glavni interes mu je teologija i održava-nje svojih imanja, a matematika je hobi

• najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat: tablica logaritama

• Joost Bürgi (1552-1632)• najpoznatiji švicarski urar svog doba,

konstruirao više znanstvenih instrumenata• radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje

je Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

Napierova konstrukcija logaritama

• 20ak godina na konstrukcije tablice logaritama; Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614 .

• ideja: parovi nizova (uz fiksnu bazu: aritmetički niz eks-ponenata i pripadni geometrijski niz potencija): zbroj/ razlika eksponenata odgovaraju produktima/kvocijenti-ma potencija

• preveliki razmaci između uzastopnih cjelobrojnih poten-cija npr. broja 2 da bi se interpolacijom dobili dobri rez-ultati - manje rupe: baza blizu 1 bolji rezultat interpo-lacije Napierova baza: 1 - 10-7 = 0.9999999 da bi izbjegao rad s decimalnim brojevima, sve svoje po-tencije množi s 107 za N = 107[1 - 10-7]L, onda je L Napierov logaritam od N (L =NapLog N)

• prvo je svoje eksponente zvao “umjetni brojevi”, kasnije je smislio složenicu od “logos” i “arithmos”

0)10(NapLog 7

)N(NapLog)M(NapLog)MN10(NapLog 7

7e/17

7 10N

log10)110log(7

Nlog7)N(NapLog

2)N(NapLog)M(NapLog

)MN(NapLog

)N(NapLog)M(NapLog)NM

10(NapLog 7

NapLog je padajući i nema baš svojstva koja danas očekujemo od logaritma

Promatramo paralelno gibanje dvije točke A i B. Točka A se giba konstantnom brzinom (107) njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima čine aritmetički niz.

Točka B giba se od 0 do 107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada i brzine u uzastopnim intervalima čine geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po iznosu jednaka putu koji još treba preći).

Udaljenost koju je točka A prešla do n-tog trenutka Napier zove logaritmom od udaljenosti koju B još treba preći u tom trenutku.

Briggsov doprinos• Henry Briggs (1561-1630) – prof. geometrije u Oxfordu,

oduševljen Napierovim tablicama, 1615. putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira o logaritmima

• već prije posjeta je u pismu predložio izradu tablice onog što bismo danas zvali dekadskim logaritmom i počeo ju konstruirati (dakle, predlaže log(1) = 0, log(10) = 1)

• Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu log. od brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14 decimala

• Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike broja (mantisa je najveće cijelo brojeva dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

A što je napravio Bürgi?• tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620.!• promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s bazom

1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju promjenu eksponenta za 1

L10N0001,1NN

0001,1N41L

L

• tablica N, N, L za L=0,1,2,...• vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova• finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104) nova

tablica (de facto samo izmjena baze na (1+0,0001)10000) – ponavljanje postupka dovodi do toga da je baza sve bliža broju e

geometrijski: ako je N=1,000110000L i L=0,0001 onda se prirasti L mogu prikazati kao pravokutnici širine N i visine 1/N gdje se za svaki N njegov prirast N bira tako da je površina pravokutnika L; Tada je L suma tih prirasta od 1 do N – što je aproksimativno ln N!

NN

1 LdL

)Nln(

Primjene matematike u fizici i astronomiji

Nikola Kopernik (1473-1543)• od ca. 1510. razvija koncept heliocentričnog sustava (nije

prvi kojem je to palo na pamet )• prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno retrograd-

no kretanje planeta• De revolutionibus orbium

coelestium (1543) – pregled pripadne matematičke teorije

• naizgled lošije od Ptolomeja: Kopernik pretpostavlja kružne orbite mjerenja naizgled bolje odgovaraju Ptolomejevom nego njegovom koceptu

• Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu, je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant, Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu; Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio luteranskom teologu A. Osianderu koji je već imao iskustva s tiskanjem matematičkih tekstova

• Osiander je umjesto originalnog Kopernikova predgovora umetnuo pismo čitateljima u kojima kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji način računanja pozicija nebeskih tijela; također je malo izmijenio naslov tako da manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

Galileo Galilei (1564-1642)• obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom, fizikom (njihalo,

kohezija, slobodni pad) i matematikom (prije svega kao argument u svojim fizikalnim i astronomskim radovima), ali i glazbom i slikanjem

• 1609. izradio vlastiti teleskop i pomoću njega otkrio kratere na Mjesecu, Sunčeve pjege, četiri najveća Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje dokazuju kopernikanski stav: moguće su samo ako je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).

• predložio Galilejsku relativnost: svuda vrijede iste definicije gibanja Galilejeve transformacije (točne za male brzine, za velike ih se mora zamijeniti Lorenzovim)

• 1632. Dijalog od dva glavna sustava svijeta – zamišljeno kao rasprava između kopernikanskog i ptolomejskog sustava, ismijava argumente Crkve pada u nemilost, prisiljen odreći se kopernikanskih stavova i stavljen je u kućni pritvor; u kućnom pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima, matematički vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e dimonstrationi matematiche)

Johannes Kepler (1571-1630)

Keplerov prvi kozmološki model (1596)

• 1596. Mysterium cosmographicum – prvi kozmološki model, mistički pitagorejski pogledi na svemir

• uvjereni pristaša kopernikanske teorije

• uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim tablicama – analizira ih nakon Braheove smrti

• iz računa zaključuje da su planetarne orbite elipse

Keplerova eliptička orbita za

Mars

Astronomia Nova (1609 – tri Keplerova zakona kretanja planeta

1. planeti se kreću po elipsama u čijem jednom fokusu je Sunce

2. radij-vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prelazi jednake površine

3. kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini glavne poluosi orbite (Harmonices mundi , 1619)

Simon Stevin (1548-1620)• Belgijanac, vanbračno dijete, majka se kasnije

vjenčala u kalvinističku obitelj• radio razne činovničke poslove, tek s 35 godina

upisao sveučilište (Leiden)• važni doprinosi u trigonometriji, mehanici,

arhitekturi i utvrđivanju, glazbi, zemljopisu i navigaciji

• 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana o decimalnim razlomcima (koje su prije njega koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u Evropu); komentira da je opće uvođenje decimalnih mjernih jedinica samo pitanje vremena

• 1586 De Beghinselen der Weegconst: teorem o trokutu sila (poticaj razvoja statike); treatise De Beghinselen des Waterwichts: hidrostatika – razvoj Arhimedovih ideja; tlak tekućine na plohu ovisi o visini tekućine i površini plohe.

• 1586 (3 godine prije Galilea): različite mase danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u Delftu)

• 1608 De Hemelloop: astronomija – zagovornik Kopernika

• piše i o perspektivi (čak za slučaj da platno nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi: gdje treba biti oko promatrača ako znamo gdje je objekt i kakva mu je slika)

Primjena matematike u likovnoj umjetnosti

Jacopo de Barbari, 1495

Divina proportione, 1509- Luca Pacioli

ilustracije: da Vincitema: zlatni rez,poliedri ...

Albrecht Dürer (1471-1528)

• iz Nürnberga, treće od 18 djece Mađara (Ajtos Türer Dürer), otac mu je bio draguljar

• već s 13 godina se ističe kao slikar, od 1486 radi kao šegrt u radionici za oltare

• 1494 se ženi bogatom nasljednicom • put u Italiju vraća se 1495, iako nije upoznao nikog od

većih matematičara, a niti Leonarda, saznao je o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost počinje proučavati matematička djela (EE idr.)

• od ca. 1500 pokazuje matematički utjecaj u svojim djelima, u to doba postaje i slavan

• nakon smrti oca 1502 Dürer se mora brinuti za invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima težak život koji mu uništava zdravlje

• 1505-7 opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a zanima ga učenje matematike

• od 1508 skuplja materijale za djelo o primjeni matematike u umjetnosti

• 1514 Melankolija – prvi magični kvadrat u Evropi• 1525 Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und

Richtscheit matematika za umjetnike; tu se nalaze i Dürerove krivulje

Melankolija (1514)

Serija drvoreza “Život djevice” (ima ih još...)