計算モデル論2014自然計算

計算モデル

分子コンピューティング・計算のエネルギー・可逆計算

補足：量子計算

全体の予定

• 2014.4.4 (Fri) 萩谷

• 2014.4.18 (Fri) 萩谷

• 2014.4.25 (Fri) 萩谷

• 2014.5.2 (Fri) 蓮尾

• 2014.5.9 (Fri) 蓮尾

• 2014.5.16 (Fri) 蓮尾

• 2014.5.23 (Fri) 蓮尾

• 2014.5.30 (Fri) 萩谷

• 2014.6.6 (Fri) 萩谷

• 2014.6.13 (Fri) 萩谷

• 2014.6.20 (Fri) 萩谷（休講）

• 2014.6.27 (Fri) 今井

• 2014.7.4 (Fri) 今井

• 2014.7.9 (Wed) 今井

• 2014.7.11 (Fri) 予備

単位・成績

•三教員からそれぞれレポート課題を出す

• すべての課題にレポートを提出することが原則

•試験はなし

予定（前半）

•自然計算

•計算モデル• チューリング機械

•分子コンピューティング・計算のエネルギー・可逆計算• ランダウアーの原理

• 可逆チューリング機械・可逆論理回路

•生物に触発された計算 ---特に最適化計算• ニューラルネットワーク

• ホップフィールネットワーク・ボルツマンマシン

• メタヒューリスティクス• 遺伝的アルゴリズム・粒子スォーム最適化

予定（後半）

•分子コンピューティング・分子ロボティクス・合成生物学• DNAコンピュータ

• DNAナノテクノロジー

• 人工遺伝子回路

•化学系・生物系の計算モデル• 化学系・生物系から抽出された計算モデル ---理論的な分析・普遍化

• 化学系・生物系によって実装される計算モデル（実装系のモデル） ---実装の効率・シミュレーション・検証・限界

Natural computing (from Springer journal)

Natural Computing refers to computational processes observed in nature, and human-designed computing inspired by nature. When complex natural phenomena are analyzed in terms of computational processes, our understanding of both nature and the essence of computation is enhanced. Characteristic for human-designed computing inspired by nature is the metaphorical use of concepts, principles and mechanisms underlying natural systems. Natural computing includes evolutionary algorithms, neural networks, molecular computing and quantum computing.

自然計算（Springer論文誌より）

自然計算とは、自然の中で観察される計算過程と、自然に触発された人為的（人により設計された）計算を指している。複雑な自然現象が計算過程として解析されるとき、自然と、計算の本質の、両方に関する我々の理解が深まる。自然に触発された人為的計算の特質は、自然システムの根底にある概念・原理・メカニズムを模倣し活用していることである。自然計算の研究分野は、進化アルゴリズム、ニューラルネットワーク、分子計算、量子計算などの分野を含んでいる。

自然計算

自然計算という考え方はもっと広い？

情報科学や計算機科学全体を包括するような概念ではないか？

自然計算の研究は、次のようなステップから成り立つ：

•自然現象を計算の観点から観察• 量子・光・電子・分子・生物

•観察に基づいて計算モデルを構築

•計算モデルを分析し普遍化• 計算万能性、さらに・・・

•計算モデルを自然現象で再実装することにより計算の可能性を探求• もとの自然現象とは異なるかもしれない

自然計算＝情報科学そのもの？

•電子コンピュータも電気回路における電子的な物理現象を活用

•非通常計算（unconventional computing）• 電気回路以外の現象を研究の対象

• 得られる計算モデルも、従来から知られているモデルとは異なる（非通常である）ことが期待される

• 量子計算が典型例（ただし、既に量子計算はそれ自体で大きな研究分野）

• ある種の自然現象から得られた計算モデルが、全く別の自然現象によって実装されたり

•複数の種類の自然現象から、共通の計算モデルが得られたり

•計算モデルは、（一つではなく）より多くの種類の自然現象に関われば関わるほど、より興味深い（普遍性が増す）

計算モデル

•情報の表現方法を与え、計算過程を含む情報の生成と変換を記述するための数学的なモデル• チューリング機械・オートマトン

• ランダムアクセスマシン

• ラムダ計算・組み合わせ論理（combinatory logic）

• プロセス計算

• ・・・

• チューリング機械• （強いて言うならば）数学者（という自然現象）における計算をモデル化

• 電子コンピュータによる実装

• 機械的な実装もある

アラン・チューリング

• 1912年生

• チューリング機械

• チューリングボンベ

• ACEコンピュータの設計

• Manchester Mark I のプログラミング

• チューリングテスト

• チューリングパターン

チューリング機械

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=E3keLeMwfHY

チューリング機械

• ヘッドの下（上？）の文字を読む

•読んだ文字と現在の状態から、遷移規則にしたがって、次の状態に遷移し、ヘッドの下に文字を書き込み、ヘッドを左か右に動かす

•以上を、停止状態と定められた状態に達するまで繰り返す

•遷移規則はチューリング機械ごとに異なる

•文字の種類もチューリング機械ごとに定める（0と1と空白が典型的）

• ただし、状態の種類と文字の種類は有限個

• テープは左右に無限に伸びる（最初から無限でなくても、必要に応じて継ぎ足せればよい）

チューリング機械

•標準的な計算モデルの一つ

• 「計算できること」は、必ず、いずれかのチューリング機械によって計算できる

•計算可能な関数は、必ず、いずれかのチューリング機械によって実現できる

•計算によって解ける問題は、必ず、いずれかのチューリング機械によって解ける

• チューリング機械ができないことは、計算不能

チューリング機械

1 0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 0 0

もう少しフォーマルに

• δ：遷移規則：(p,s,t,d,q)の集合• pは遷移前の状態・qは遷移後の状態

• sは遷移前の記号・tは遷移後の記号

• dはヘッドの移動方向：L（左）かR（右）かN（移動なし）

分子コンピューティング

•分子反応（という自然現象）に内在する計算過程• 電子回路も分子でできている？

• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•特に、生体分子（さらに特にDNA）の反応

• そのモデル化（計算モデルの構築）• たとえば、マルチセット書き換え系

•分子反応による計算モデルの実装• たとえば、チューリング機械の実装

チューリング機械

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=E3keLeMwfHY

RNAポリメラーゼ

http://www.tmd.ac.jp/artsci/biol/textbook/geneteng.htm http://www.seibutsushi.net/blog/2008/10/000589.html

DNAポリメラーゼ

http://3dciencia.com/blog/?p=248http://namaketarou.kakurezato.com/biotechnology/pcr/

リボソーム

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Ribosome http://micro.magnet.fsu.edu/cells/ribosomes/ribosomes.html

分子チューリング機械？

d d

q(p, b, c, L, q)

…

有限オートマトン：（一方向）読み取りのみチューリング機械

dd

DNA オートマトン Benenson et al. 2003 二本鎖DNA入力テープ

http://www.nature.com/nature/journal/v414/n6862/full/414430a0.html

Whiplashマシン

読み取りのみただし、テープ上を行ったり来たりできる

B AC

B

: stopper sequence

1)B

B AC

B

A2) B

A

遷移テーブル

現在の状態次の状態

Whiplash PCR

一本鎖DNA

B A C B

3)

B A

C

B A C B

4)B

A

Whiplash PCR

分子コンピューティング

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）

計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）

• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、𝑘𝑇ln2の熱を発生• 𝑘はボルツマン定数

• 𝑇は絶対温度、ln2 = 0.69315

𝑘𝑇ln2 ?0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

４通り ２通り

組み合わせの数が減っている各場合の物理的な状態の数は増えている乱雑さ（エントロピー）は増えているエネルギーが必要結局、熱となって散逸

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

𝑉1

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

𝑉1

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

等温過程𝑝𝑉 = 𝑘𝑇 ---理想気体分子１個𝑑𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 = −(𝑘𝑇/𝑉)𝑑𝑉積分すれば𝑊 = −𝑘𝑇 ln(𝑉2/𝑉1)

= −𝑘𝑇 ln(1/2) = 𝑘𝑇 ln 2𝑉2

𝑉1

最も簡単な場合

• もし、１ビットの情報が失われたならば、その１ビットを記憶するために使ったエネルギーは散逸してしまったはず

•少なくとも、リセットして計算を再実行するにはエネルギーが必要

分子コンピューティングのエネルギー？

• DNAオートマトンの場合、計算の１ステップで２か所のホスホジエステル結合が加水分解により開裂することにより、エネルギーが消費

• ホスホジエステル結合のエネルギーは約 8 kcal mol-1≒33600 J mol-1

（≒ ATPADPのエネルギー）

• これに対して、𝑘𝑇ln2は？

• k = 1.38 × 10-23 J K-1

• kのアボガドロ数倍が気体定数 R = 8.3 J K-1 mol-1

• T=300とすると 𝑅𝑇ln2≒1730 J mol-1

• ホスホジエステル結合のエネルギーは約20倍

分子コンピューティングのエネルギー？

•熱力学的限界の20倍程度で計算が可能？• 電子回路の場合、約58000倍（2006年の45nmプロセスに対する報告）

• http://nanohub.org/resources/1250

分子コンピューティングのエネルギー？

•熱力学的限界の20倍程度で計算が可能？• 電子回路の場合、約58000倍（2006年の45nmプロセスに対する報告）

• http://nanohub.org/resources/1250

• しかし、一個の分子の反応は、エラーや逆戻りなどを免れない

•多重化は必須• 電子回路と同様

• 生体（細胞）もそうしている

• とすると、エネルギーはもっと必要

可逆計算

•情報を失う計算には、エネルギーが必要

•情報を失わない計算、すなわち、可逆な計算ならば、エネルギーは必要ない？

•少なくとも理論上は、可逆計算ならば、必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

可逆計算？0

0

0

1

1

0

1

1

出力を増やすと、計算が可逆になりエントロピーを保存することが可能？すると、エネルギーの散逸は免れる？余分な出力は最後に捨てればよい

可逆計算？ 0

0

1

1

1

0

0

1

出力を増やすと、計算が可逆になりエントロピーを保存することが可能？すると、エネルギーの散逸は免れる？余分な出力は最後に捨てればよい

（非可逆）チューリング機械

1 0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 0 0

可逆チューリング機械

…

可逆チューリング機械

•遷移を逆戻りすることが可能なチューリング機械• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる

• 後でより厳密に定義

可逆チューリング機械

•遷移を逆戻りすることが可能なチューリング機械• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる

•物理的な実現（の可能性）• 生体コンピュータ（分子可逆チューリング機械？）

• ベネットたちによる思考実験

• 分子コンピューティングの動機の一つ

• ビリアードボール・コンピュータ

分子チューリング機械？

d d

q(p, b, c, L, q)

…

分子可逆チューリング機械？

d d

q(p, b, c, L, q)

…

再びチューリング機械

• δ：遷移規則：(p,s,t,d,q)の集合• pは遷移前の状態・qは遷移後の状態

• sは遷移前の記号・tは遷移後の記号

• dはヘッドの移動方向：L（左）かR（右）かN（移動なし）

• チューリング機械が決定的であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

p=p’ ∧ s=s’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

…

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

q=q’ ∧ t=t’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

q=q’ ∧ t=t’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

q=q’ ⇒ d=d’

可逆チューリング機械

• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる• 任意の１テープTM Tに対し、それをシミュレートする３テープ（作業用・履歴・出力）の可逆TM T’を構成できる

•余分な情報（ゴミ）は、計算の最後で捨てればよい• 実は、ゴミは捨てなくても、可逆性を保ちながら回収して、もともとの入力と出力のみを得るようにすることができる

• Tに入力記号列xを与えたとき、出力記号列yを書き出して停止するならば、T’にxを与えたとき、xとyだけを書き出し、ゴミ情報である動作履歴は残さずに停止する

チューリング機械

x x y y y

入力 出力

可逆チューリング機械

x x y y y x x

入力 入力出力

可逆論理回路

・・・

閉路を持たない回路

Toffoliゲート

x

y

z

Toffoliゲート

x

y

xとyが両方1ならばzの否定そうでなければzそのもの

Fredkinゲート

0

y

z

Fredkinゲート

0

z

y

Fredkinゲート

1

y

z

Fredkinゲート

1

y

z

スイッチゲート

0

x

スイッチゲート

0

x

0

スイッチゲート

1

x

スイッチゲート

x

0

1

可逆論理回路

• m入力n出力の論理ゲートは、[0,1]m[0,1]nの関数として単射である

とき、可逆であるという

•可逆論理回路とは、可逆論理ゲートを有限個接続することによって得られる閉路を持たない回路で次の条件を満たすもの：• 各素子の出力は他のいずれかの素子の高々１つの入力にしか接続できない

論理的万能性

•定数入力とゴミ出力を許して、任意の論理関数を（可逆論理回路により）実現可能

• Toffoliゲート、Fredkinゲート、スイッチゲートは、それぞれ単独で、論理的に万能

定数c

入力x

出力f(x)

ゴミg

ビリアードボール・コンピュータ

森田: 情報処理, 1994, 35 (4) 306-314

ロータリー素子

0

1

0

0

ロータリー素子

0

0

1

0

ロータリー素子

0

0

1

0

ロータリー素子

1

0

0

0

ロータリー素子

•状態を持ち、タイミングが明示的に定義されている素子

• ロータリー素子も論理的に万能• Fredkinゲートを構成可能

• 逆に、Fredkinゲート（と遅延素子）によってロータリー素子を構成可能

• ビリアードボールによりロータリー素子を直接的に構成可能

http://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/metadb/up/ZZT00001/morita_RC2012.pdf

可逆順序回路

•順序回路とは、δ：Q×ΣQ×Γ• Qは内部状態の有限集合

• Σは入力記号の有限集合・Γは出力記号の有限集合

•可逆順序機械とは、δが単射であるような順序回路

ロータリー素子による可逆順序機械

•任意の可逆順序機械は、ロータリー素子だけから構成される、ゴミ情報をまったく生み出さない回路によって実現できる

ロータリー素子による可逆TM

•任意の可逆TMは、ロータリー素子だけから構成される、ゴミ情報をまったく生み出さない回路によって実現できる• テープのセルは無限にある

参考

•小宮他：DNAナノエンジニアリング, 近代科学社

•萩谷・西川：DNAロボット, 岩波書店

• ファインマン他：ファインマン計算機科学, 岩波書店

•森田：可逆計算, 近代科学社

•川合・萩谷：基礎情報科学, 放送大学大学院教材

補足：量子計算

•可逆計算としての量子計算• 量子計算のもともとの動機は、可逆計算

• Bennett⇒Benioff ⇒Feynman⇒Deutsch⇒Shor

• ただし、量子計算ではエネルギー消費は余り強調されていない？

• 純粋の量子系そのものは時間発展しているだけでエネルギーを消費しない？• ビリアードボール・コンピュータのようか？

• 計算以外（たとえば冷却や観測）の部分に膨大なエネルギーが必要？

今井先生のスライド http://www-imai.is.s.u-tokyo.ac.jp/~imai/lecture/algo1.pdf

量子計算

•量子状態の時間発展• シュレディンガー方程式

• ボルンの規則

• ユニタリ変換 ---可逆変換

•量子チューリング機械

•量子回路• 完全性？

• 任意のユニタリ行列を近似できるという意味で

• HadamardゲートとToffoliゲートの組は完全

Hadamardゲート

1

2

1 11 −1

Toffoliゲート（制御制御NOTゲート）

x

y

z

Toffoliゲート（制御制御NOTゲート）

x

y

xとyが両方1ならばzの否定そうでなければzそのもの

Toffoliゲート（制御制御NOTゲート）

1 00 1

0 00 0

0 00 0

0 00 0

1 00 1

0 00 0

0 00 0

0 00 0

0 11 0

蛇足：Margolous-Levitin limit

•量子系が、ある量子状態から、それと直交する量子状態に遷移するのに要する時間𝜏⊥

•単位時間あたりの遷移回数: 1/𝜏⊥• 1ジュールあたり、3.0×1033回

𝜏⊥ ≥ℎ

4𝐸

h: プランク定数

E: 量子系の平均エネルギー