Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval

5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 1/6

Comparatia radacinilor unei ecuatii de gradul al doilea cudoua numere reale distincte

Fie ecuatia de gradul al doilea 02 =++ cbxax si numerele reale α,β

( βα≤

). Ne propunem sa stabilim seturile de conditii care trebuie puse pentru

pozitionarea corecta a radacinilor reale ale ecuatiei date (deci conditia 0≥∆ nu trebuie defel uitata).

Am vazut ca la comparatia radacinilor cu un singur numar real α apareau trei cazuri distincte. Aminteam acolo ca problema se poate rezolva

relativ simplu notand y=x-αα si studiind apoi semnele ecuatiei in y care se

obtine. Pentru stabilirea pozitiei in raport cu doua numere α si β date ( βα ≤ ),

problema nu mai este la fel de simpla (desi se poate efectua substitutia

β

α

−−

= x

x y ). Apar urmatoarele 6 cazuri (cu modificari evidente cand

inegalitatile sunt stricte):I) βα ≤≤≤

21x x

II) βα ≤≤≤21

x x

III) βα ≤≤≤21

x x

IV)21

x x ≤≤≤ βα

V)21

x x ≤≤≤ βα

VI)21

x x ≤≤≤ βα

Cazul I) βα ≤≤≤21

x x Setul de conditii echivalent este:

( )

( )

≤≥

≥

αβ

α

v x

af

af

0

0

(1)

Figura 1. Pentru cazul I.



Nu mai prezentam justificarea acestor conditii; cand am comparat

radacinile unei ecuatii de gradul al doilea cu un numar real α, am observatcare este maniera de lucru.

Cazul II) βα ≤≤≤21

x x ó ( )

( )

≥

≤0

0

β

α

af

af (2)

Figura 2. Pentru cazul II.

Cazul III) βα ≤≤≤21

x x ó ( )( )

≤≤≥≥

βα

βα

v x

af af

0

0

(3)

Figura 3. Pentru cazul III.



Cazul IV) 21

x x ≤≤≤ βα ó ( )

( )

≤≤0

0

β

α

af

af (4)

Figura 4. Pentru cazul IV.

Cazul V) 21

x x ≤≤≤ βα ó ( )

( )

≤

≥0

0

β

α

af

af (5)

Figura 5. Pentru cazul V.



Cazul VI) 21

x x ≤≤≤ βα ó

( )

( )

≥≥≥

β

β

α

v x

af

af

0

0

(6)

Figura 6. pentru cazul VI.

Observatie. In unele exercitii (in functie de cerinte) este necesar sistudiul cazului in care ecuatia nu admite radacini reale ( 0<∆ ).

Exercitiu rezolvat (admitere, 1986) Sa se determine R∈m astfel incat

functia ( ) ( ) 115522 ++−= xm xm x f

msa pastreze semn constant pe intervalul

( )1,1− .

Solutie. Avem trei posibilitati:a) fie functia data nu are radacini reale, deci pastreaza semn constant

pe R, deci si pe intervalul ( )1,1−

b) fie functia data are radacini reale, dar acestea nu apartin intervalului

( )1,1− . Aici vor aparea mai multe subcazuri, pe care le vom studia in

mod separat.

c) cazul special m=0 il vom studia separat.

Cazul a) Se pune conditia:

−+−∈⇔<++⇔<∆

5

552,

5

525011050

2 mmm

Cazul b) Punem mai intai conditia:

Amnot

=

∞

−∪

+−∞−∈⇔≥∆ ,

5

552

5

525,0



Pentru ca radacinile21

, x x ale ecuatiei date sa nu se afle in

intervalul ( )1,1− , trebuie sa ne situam intr-unul din cazurile I, IV sau VI

explicate in breviarul teoretic. Calculam separat:

( ) 25512 ++=− mm f ( ) mm f 551

2 −=

Punem pe rand seturile de conditii echivalente (cu inegalitati stricte):

(I):

( )

( )

−<+

>

>−

110

15

015

015

2

2

2

m

m

f m

f m

ó

<++

>−

>++

010

1510

055

0255

2

2

2

2

m

mm

mm

mm

ó ( ) ( )

∅∈∞∪∞−∈

∈

m

m

m

,10,

R

è ∅∈m

(IV) :( )

( )

<

<−

015

015

2

2

f m

f m ó

<−

<++

055

0255

2

2

mm

mm ó

( )

∈∅∈

1,0m

m

è ∅∈m

(VI) :

( )

( )

>+

>

>−

110

15

015

015

2

2

2

m

m

f m

f m

ó

<−−

>−

>++

0

10

1510

055

0255

2

2

2

2

m

mm

mm

mm

ó

( ) ( )

+−∈

∞∪∞−∈∈

20

655,

20

655

,10,

m

m

m R

è

è

−=∩

−∈ 0,

5

5520,

20

655 Am

Cazul c) Daca m=0, avem f(x)=1-x, care se anuleaza in x=1, decipastreaza semn constant pe (-1,1).Ramane sa reunim solutiile gasite in cele trei cazuri, obtinand solutia

generala

+−∈ 0,

5

525m

Exercitii propuse.1) Sa se determine R∈m astfel incat multimea:

( ) ( ) [ ]1,101212 −∩=++−−∈ m xm xm x R sa aiba un singur element.



2) Sa se determine R∈m astfel incat multimea:

( ) ( ) [ ]1,1011222 −∩=+++−+∈ m xm xm x R sa aiba doua elemente.

3) Sa se determine R∈m astfel incat:

[ ] ∅≠∩=++−∈ 7,505422

mmx x x R

Documents

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval