5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 1/6
Comparatia radacinilor unei ecuatii de gradul al doilea cudoua numere reale distincte
Fie ecuatia de gradul al doilea 02 =++ cbxax si numerele reale α,β
( βα≤
). Ne propunem sa stabilim seturile de conditii care trebuie puse pentru
pozitionarea corecta a radacinilor reale ale ecuatiei date (deci conditia 0≥∆ nu trebuie defel uitata).
Am vazut ca la comparatia radacinilor cu un singur numar real α apareau trei cazuri distincte. Aminteam acolo ca problema se poate rezolva
relativ simplu notand y=x-αα si studiind apoi semnele ecuatiei in y care se
obtine. Pentru stabilirea pozitiei in raport cu doua numere α si β date ( βα ≤ ),
problema nu mai este la fel de simpla (desi se poate efectua substitutia
β
α
−−
= x
x y ). Apar urmatoarele 6 cazuri (cu modificari evidente cand
inegalitatile sunt stricte):I) βα ≤≤≤
21x x
II) βα ≤≤≤21
x x
III) βα ≤≤≤21
x x
IV)21
x x ≤≤≤ βα
V)21
x x ≤≤≤ βα
VI)21
x x ≤≤≤ βα
Cazul I) βα ≤≤≤21
x x Setul de conditii echivalent este:
( )
( )
≤≥
≥
αβ
α
v x
af
af
0
0
(1)
Figura 1. Pentru cazul I.
5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 2/6
Nu mai prezentam justificarea acestor conditii; cand am comparat
radacinile unei ecuatii de gradul al doilea cu un numar real α, am observatcare este maniera de lucru.
Cazul II) βα ≤≤≤21
x x ó ( )
( )
≥
≤0
0
β
α
af
af (2)
Figura 2. Pentru cazul II.
Cazul III) βα ≤≤≤21
x x ó ( )( )
≤≤≥≥
βα
βα
v x
af af
0
0
(3)
Figura 3. Pentru cazul III.
5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 3/6
Cazul IV) 21
x x ≤≤≤ βα ó ( )
( )
≤≤0
0
β
α
af
af (4)
Figura 4. Pentru cazul IV.
Cazul V) 21
x x ≤≤≤ βα ó ( )
( )
≤
≥0
0
β
α
af
af (5)
Figura 5. Pentru cazul V.
5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 4/6
Cazul VI) 21
x x ≤≤≤ βα ó
( )
( )
≥≥≥
β
β
α
v x
af
af
0
0
(6)
Figura 6. pentru cazul VI.
Observatie. In unele exercitii (in functie de cerinte) este necesar sistudiul cazului in care ecuatia nu admite radacini reale ( 0<∆ ).
Exercitiu rezolvat (admitere, 1986) Sa se determine R∈m astfel incat
functia ( ) ( ) 115522 ++−= xm xm x f
msa pastreze semn constant pe intervalul
( )1,1− .
Solutie. Avem trei posibilitati:a) fie functia data nu are radacini reale, deci pastreaza semn constant
pe R, deci si pe intervalul ( )1,1−
b) fie functia data are radacini reale, dar acestea nu apartin intervalului
( )1,1− . Aici vor aparea mai multe subcazuri, pe care le vom studia in
mod separat.
c) cazul special m=0 il vom studia separat.
Cazul a) Se pune conditia:
−+−∈⇔<++⇔<∆
5
552,
5
525011050
2 mmm
Cazul b) Punem mai intai conditia:
Amnot
=
∞
−∪
+−∞−∈⇔≥∆ ,
5
552
5
525,0
5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 5/6
Pentru ca radacinile21
, x x ale ecuatiei date sa nu se afle in
intervalul ( )1,1− , trebuie sa ne situam intr-unul din cazurile I, IV sau VI
explicate in breviarul teoretic. Calculam separat:
( ) 25512 ++=− mm f ( ) mm f 551
2 −=
Punem pe rand seturile de conditii echivalente (cu inegalitati stricte):
(I):
( )
( )
−<+
>
>−
110
15
015
015
2
2
2
m
m
f m
f m
ó
<++
>−
>++
010
1510
055
0255
2
2
2
2
m
mm
mm
mm
ó ( ) ( )
∅∈∞∪∞−∈
∈
m
m
m
,10,
R
è ∅∈m
(IV) :( )
( )
<
<−
015
015
2
2
f m
f m ó
<−
<++
055
0255
2
2
mm
mm ó
( )
∈∅∈
1,0m
m
è ∅∈m
(VI) :
( )
( )
>+
>
>−
110
15
015
015
2
2
2
m
m
f m
f m
ó
<−−
>−
>++
0
10
1510
055
0255
2
2
2
2
m
mm
mm
mm
ó
( ) ( )
+−∈
∞∪∞−∈∈
20
655,
20
655
,10,
m
m
m R
è
è
−=∩
−∈ 0,
5
5520,
20
655 Am
Cazul c) Daca m=0, avem f(x)=1-x, care se anuleaza in x=1, decipastreaza semn constant pe (-1,1).Ramane sa reunim solutiile gasite in cele trei cazuri, obtinand solutia
generala
+−∈ 0,
5
525m
Exercitii propuse.1) Sa se determine R∈m astfel incat multimea:
( ) ( ) [ ]1,101212 −∩=++−−∈ m xm xm x R sa aiba un singur element.
5/7/2018 Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul II in raport cu un interval - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pozitia-radacinilor-ecuatiei-de-gradul-ii-in-raport-cu-un-interval 6/6
2) Sa se determine R∈m astfel incat multimea:
( ) ( ) [ ]1,1011222 −∩=+++−+∈ m xm xm x R sa aiba doua elemente.
3) Sa se determine R∈m astfel incat:
[ ] ∅≠∩=++−∈ 7,505422
mmx x x R