Upload
sphere-ohm
View
81
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL Tak Tentu INTEGRAL Tak Tentu Dan Dan
Integral Tak wajarIntegral Tak wajar
Slide - Slide - 22IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0
Ada 3 masalah limit yang dikenal, yaitu
, ,
Limit tersebut tidak dapat ditentukan dgn aturan hasil bagi limit, yaitu hasil bagi pembilang dan penyebut berlimit nol, sehingga dgn menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi, diperoleh jawaban yg tak ada artinya, yaitu 0/0.
Aturan yg lazim dipakai untuk menghitung limit-limit demikian dinamakan Aturan l’Hopital.
x
xsinlim
0x 6xx
9xlim
2
2
3x
ax
f(a)f(x)lim
ax
Slide - Slide - 33IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Aturan Aturan l’Hopital l’Hopital untuk bentuk 0/0untuk bentuk 0/0
Mis : Mis :
Apabila : Apabila : ada, baik ia terhingga atau tak terhingga
(bilangan terhingga L, , atau -), maka :
0g(x) limf(x) limuxux
(x)](x)/g[f lim ''
(x)g
(x)flim
'
'
ux
Slide - Slide - 44IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Aturan Aturan l’Hopital l’Hopital untuk bentuk 0/0untuk bentuk 0/0
Contoh : Contoh : Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :
Jawab :
xD
xsin Dlim
x
xsinlim
x
x
0x0x
x
xsinlima)
0x
11
xcoslim
0x
Jawab :
6xx
9xlimb)
2
2
3x
5
6
12x
2xlim
6xx
9xlim
3x2
2
3x
Slide - Slide - 55IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Aturan Aturan l’Hopital l’Hopital untuk bentuk 0/0untuk bentuk 0/0
Contoh : Contoh : Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :
Jawab :
Jawab :
x
xcos1limc)
0x
xD
cosx)(1Dlim
x
cosx1lim
x
x
0x0x
01
sinxlim
0x
44xx
103xxlimd)
2
2
2x
42x
32xlim
44xx
103xxlim
2x2
2
2x
Slide - Slide - 66IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Teorena Nilai Rata-rata CauchyTeorena Nilai Rata-rata Cauchy
Andaikan f dan g fungsi yg terdiferensialkan pada selang (a, b) & kontinu pd selang [a, b]. Apabila g (x) 0 untuk semua x di (a, b), maka ada bilangan c dalam selang (a, b) sehingga :
Bukti aturan l’Hopital : adanya mengandung pula sifat adanya f (x) & g (x)
paling sedikit dalam lingkungan (a, b) dari a & bahwa :
dan
c)g
(c)f
g(a)g(b)
f(a)f(b)'
'
(x)](x)/g[f lim ''
ax
0 f(x) limax
0g(x) limax
Slide - Slide - 77IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Teorena Nilai Rata-rata CauchyTeorena Nilai Rata-rata Cauchy
Bukti aturan l’Hopital : (lanjutan) Dapat didefinisikan bahwa f(a)=0 dan g(a) = 0. Dengan demikian f dan g kontinu (kanan) di a, agar f dan g memenuhi syarat-syarat dalam teorema nilai rata-rata Cauchy pd selang [a, b]. Maka ada c dalam (a, b) sehingga :
Oleh karena f(a) = 0 = g(a), maka :
Apabila b a+ jadi juga c a+, maka diperoleh :
Bukti yang serupa berlaku untuk limit kiri.
c)g
(c)f
g(a)g(b)
f(a)f(b)'
'
c)g
(c)f
g(b)
f(b)'
'
(c)g
(c)flim
g(b)
f(b)lim
'
'
acab
Slide - Slide - 88IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral Tak WajarIntegral Tak Wajar
Integral tertentu disebut integral tak wajar, jika :
a) integral f(x) memp. satu atau lebih titik diskontinu pd selang a x b, atau b) paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga Integran yg Diskontinu, jika f(x) pada selang a x < b, tetapi diskontinu pada x = b, maka didefinisikan :
Jika f(x) kontinu pd selang a<x b, tetapi diskontinu di x = a, didefinisikan
b
a
f(x)dx
b
a
εb
a0ε
ada limit asalkan f(x)dx,limf(x)dx
ada limit asalkan ,f(x)dxlimf(x)dxb
a
b
εa0ε
Slide - Slide - 99IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral Tak WajarIntegral Tak Wajar
Jika f(x) kontinu u/ semua nilai x pd selang a x b, kecuali x = c, di mana a < c < b, didefinisikan : :
asalkan kedua limit itu ada.
b
εc0ε
b
a
εc
a0ε
f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx
Slide - Slide - 1010IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral Tak WajarIntegral Tak Wajar
Contoh :
Penyelesaian : Integran diskontinu pada x = 3.
Maka :
3
02x9
dx : Hitung 1)
3
ε3arcsinlim
3
xarcsinlim
x9
dxlim
0ε
ε3
00ε
ε3
020ε
2
11arcsinlim
0
2
1
9
3
02
x
dx
Slide - Slide - 1111IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Bentuk Tak WajarBentuk Tak Wajar yang lain yang lain
Untuk limit sebagai berikut :
Bentuk limit ini tergolong bentuk yg memiliki sifat bahwa pembilang & penyebut menuju tak terhingga. Bentuk tsb dinamakan bentuk tak-tentu dari jenis /. Bentuk l’Hopital juga berlaku dalam hal ini. Jadi,
xx e
xlim
g(x)
f(x)limx
(x)g
(x)flim
g(x)
f(x)lim
'
'
xx
Contoh :
Penye. : Tampak bahwa x & ex menuju apabila x .
xx e
xlim : Tentukan 1)
Dgn menggunakan Aturan l’Hopital diperoleh :
0e
1lim
eD
xDlim
e
xlim
xxxx
x
xxx
Slide - Slide - 1212IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Pemakaian Integral Tak Tentu Pemakaian Integral Tak Tentu
Bila persamaan y = f(x) st kurva diketahui kemiringan m di tiap titik P(x,y) pd kurva tsb diberikan oleh m = f(x). Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di titik P(x,y) padanya diberikan oleh m = dy/dx = f(x), kumpulan kurva y = f(x) + C dapat ditemukan lewat integrasi. U/ mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu, ditetap- kan a/ ditentukan suatu nilai C. Dilakukan dgn menyatakan bahwa karna melalui suatu titik tertentu.
Suatu persamaan s = f(t), dimana s adl. jarak suatu benda pada t terhadap suatu titik tetap pd lintasannya (garis lurus), dgn lengkap mendefinisikan gerakan benda. Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh :
(t)fdt
dsv ' (t)f
dt
sd
dt
dva ''
2
2
dandan
Slide - Slide - 1313IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Pemakaian Integral Tak Tentu Pemakaian Integral Tak Tentu
Contoh :
1) Carilah pers. kumpulan kurva yg kemiringannya di titik P(x,y) adalah
m= 3x2y dan persamaan kumpulan kurva yg melalui titik (0,8). Penyelesaian :
, maka :
dan : , Jika x = 0 dan y = 8,
8 = ce0 = c
Persamaan kurva yang ditanyakan adalah :
dx3xy
dyatauy 3x
dx
dym 22 c lnxCx yln 33
3xec y
3x8ey
Slide - Slide - 1414IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Pemakaian Integral Tak Tentu Pemakaian Integral Tak Tentu
2) Suatu besaran tertentu q bertambah dgn kelajuan yg sebanding dgn besarnya sendiri. Jika q = 25 bila t = 0 dan q = 75 bila t = 2, cari q bila t =
6.
Penyelesaian :
Karena :
Maka : ln q = kt + ln c atau
Bila t = 0, q = 25 = ce0 = c ; jadi q = 25ekt
Bila t = 2, q = 25e2k = 75 ; maka e2k = 3 = e1.10 dan k= 55
Bila t = 6, q = 25e55t = 22e3.3 = 25(e1.1)3 = 25(27) = 675
dt kq
dqdiperolehkq,
dt
dq
ktec q
Slide - Slide - 1515IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh tambahan : Contoh tambahan :
1) Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Periksa dgn seksama apakah syarat l’Hopital benar-benar telah terpenuhi sebelum digunakan :
x
2x xsinlim a)
0x
2/1
coslim)
)2/1( x
xb
x
54xx
45xxlimc)
2
2
1x
1x
xlnlim d)
21x
lnt
ttlim e)
1t
Slide - Slide - 1616IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh tambahan : Contoh tambahan :
2) Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Telitilah dengan seksama sebelum menggunakan Aturan l’Hopital.
x
10
x e
xlim a)
xln
x)ln(lnlim b)x
1/x
xxlim c)
x
0x x)(sinlim d)
2x
0x(2x) lim e)
Slide - Slide - 1717IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh tambahan : Contoh tambahan :
3) Hitunglah :
1
0 x
dx a)
4
0 x4
dx b)
4
0 x4
dx c)