Upload
others
View
31
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL TERTENTU DAN PENERAPANNYA
KALKULUS 2
REVIEW - INTEGRAL TAK TENTU
• Pengertian Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentukintegral yang variabel integrasinya tidak memiliki batassehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkanbanyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagaipenyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsiF(x) memuat konstanta real sembarang.
• Rumus Integral Tak Tentu
න𝑥𝑛𝑑𝑥 =1
𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝑐, 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑛 ≠ −1
න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
INTEGRAL TERTENTU
• Pengertian Integral Tentu (Tertentu)Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan (batas atas dan batasbawah) yang ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral.
• Notasi Integral Tentu
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Di mana a = batas bawah, dan b = batas atas
Penyelesaian dari integrasi tersebut adalah:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
CONTOH
• Diberikan fungsi f(x) = x2. Tentukanlah integral darif(x) untuk batas atas 3 dan batas bawah 2.
• Penyelesaian:
න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න2
3
𝑥2 𝑑𝑥 =1
2 + 1𝑥2+1|
3
2
= 1
3𝑥3| 3
2=
1
333 −
1
323 = 9 −
8
3=
19
3
SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU
1. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 | 𝑏
𝑎= 𝐹 𝑎 − 𝐹 𝑏 , jika a> b.
2. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏−
𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥
3. 𝑎𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
4. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎)
5. 𝑎𝑏𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥, jika c bilangan riil
6. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
7. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑎
𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
LATIHAN SOAL
LATIHAN SOAL
PENERAPAN INTEGRAL TENTULuas Bidang DatarMisalkan daerah R dibatasi oleh kurvay=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti padagambar
R
y=f(x)
f(xi)
xix=a x=b
Ai=f(xi) xi, a xi b
Luas empat persegi panjang
b
adx)x(f)R(A
Contoh 1Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawahkurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dangaris x = 3.
Jawab
x=1 x=3
f(xi)
x
y
f(x) = 4x2 – x3
Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1 xi 3
3
44dx)xx4()R(A
3
1
32
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20
-15
-10
-5
0
5
10
f(x)=x3 – 2x2 – 8x
Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan fungsi
A(R1)
A(R2)
–2 0 4
f(x)=x3 – 2x2 – 8x
LUAS ANTARA DUA KURVA
Misalkan daerah R dibatasi oleh duakurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] sepertipada gambar
f(x)-g(x)
xiR
y=f(x)
y=g(x)
x
y
x=a x=b
Luas empat persegi panjang :
Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a xi b
b
adx)]x(g)x(f[)R(A
Prosedur Menghitung Luas Daerah
Langkah-langkah untuk menghitungluas daerah dengan integral tertentu
(1) Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya.
(2) Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu.
(3) Hampiri luas suatu jalur tertentulangkah 2 dengan luas empat persegipanjang.
(4) Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.
(5) Ambil limitnya sehingga diperolehsuatu integral tertentu.
Contoh 2Hitunglah luas daerah R, terletaky = 4x2 – x3, dan x+y = 4.Jawab :Sketsa grafik R lihat gambar berikut
R2
R1
g(x)=4-x
f(x) = 4x2 – x3
x=-1 x=1 x=4
x
y
A2
A1
Titik potong kedua kurva diperoleh :4-x = 4x2 -x3
X3-4x2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4
Menghitung A(R)
A1 = [g(xi)-f(xi)]xi
= [(4-xi)-(4xi2 – xi
3)]xi, -1xi 1
1
1
321 dx)]xx4()x4[()R(A
3
16
4
x
3
x4
2
xx4
1
1
432
A2 = [f(xi)-g(xi)]xi
= [(4xi2 – xi
3)-(4-xi)]xi, 1xi 4
4
1
322 dx)]x4()xx4[()R(A
4
63
4
x
3
x4
2
xx4
4
1
432
12
253
4
63
3
16)R(A
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
f(x)=x3 – 2x2 – 8x
g(x)=3x – 12
–3 –2 0 1 4
A(R1) A(R2)
Contoh :
FUNGSI DENSITAS
Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :
(1) f(x) 0
dx)x(f)bxa(P)3(
1dx)x(f)2(
b
a
Mean dan variannya diberikan oleh :
2222 )]x(E[)x(E)x(E
dx)x(xf)x(E
Soal 1.Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh
• f(x) = k x (2 – x)4, 0 x 2• f(x) = kxa (8 – x3) 0 x 2• f(x) = kxb (4 – x2), 0 x 2
(a) Hitunglah nilai k(b) Berapa, P(x>1)(c) Hitunglah E(x) dan varian
Soal 2.Hitunglah luas daerah yang dibatasi olehkurva, berikut dengan sumbu x (a) f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1)(b) f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)
SOAL-SOAL LATIHAN
Soal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurvaberikut ini:(a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3.(c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0.
Soal 4.Hitunglah luas segitiga di mana titik-titiksudutnya adalah:(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8)(b). (2,1), (6,5), dan (0,8)
Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinattitiktitik sudutnya adalah: (a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7)(b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)
VOLUME BENDA PEJAL, METODE SILINDERPerhatikanlah sketsa silinderberikut ini
r
h V=r2h
r1r2
h
hrrV 21
22
Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x),sumbu x, garis x = a dan garis x = b.
y=f(x)
y
f(xi)
xi
x=a x=bx
R
r=f(xi)
h=xi
Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkanbenda pejal. Elemen volume
V = r2h =[f(xi)]2xi, axib
Jadi :
b
a
2dx)]x(f[V
Contoh 3:Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb xJawab
h=xi
r=f(xi)x
y
x=3
x=1
y=1+(x-1)2
V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3
15
206])1(1[
3
1
22 dxxV
Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5Jawab
x
y=5
r=5-f(xi)
y=1+(x-1)2
x=1x=3
R
R
V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3
15
256])1(4[
3
1
22 dxxV
METODE CINCIN, SILINDERMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garisx = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metodedemikian disebut metode cincin
xi y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
Rf(x)-g(x)
x
y
r1=g(x)
r2=f(x)
y
h=xi
Dengan metode silinder :
V=[r22 – r1
2]h
= [f(xi)2–g(xi)
2]xi,axibdx])x(g)x(f[V 2
b
a
2
Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu x
y=f(x)=6-x
y=g(x)=(x-3)2+1
r1=g(x)
r2=f(x)
h=xi
x
Karena, A SP . dengan metode silinder :
V=[r22 – r1
2]h
= [f(x)2–g(x)2]x,1x4
= [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4
Jadi,
dx }])3x(1[)x6{(V4
1
222
R
a=1 b=4
4
1
533
4
1
422
5
)3x(
3
)3x(2x
3
)x6(
dx})3x()3x(21)x6{(
5
117V
Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6
r1=6-f(x)
r2=6-g(x)
y=6
y=f(x)=6-x
y=g(x)=(x-3)2+1
R
a=1 b=4x
y
h=xi
Karena, A SP, Dengan metode silinder :
V=[r22 – r1
2]h
= {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4
= {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x,
= {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4
Jadi,
5
153
3
x
5
)3x(
3
)3x(10x25
dx}x)3x()3x(1025{
dx}x])3x(5{[V
4
1
353
4
1
242
4
1
222
Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1
y=1
x
y
y=g(x)=(x-3)2+1
y=f(x)=6-x
r1=g(x)-1
r2=f(x)-1
R
h=xi
a=1 b=4
Karena, A SP, maka dengan metode silinder :
V=[r22 – r1
2]h
= {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4
= {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x,
= {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4
Jadi,
5
72
5
)3x(
3
)x5(
dx})3x()x5{(V
4
1
53
4
1
42
METODE SEL SILINDER
Perhatikanlah sel silinder berikut ini
r2
r
r1
r1 : jari-jari dalamr2 : jari-jari luarr : jari-jari rata-ratah : tinggi silinder
hh)rr(
2
rr2 12
12
Volume sel silinder adalah :
V = r22h – r1
2 h
= [r22 – r1
2 ] h
= (r2 + r1)(r2 – r1)h
Jika diambil 2
12 rrr
r = r2 – r1
Dihasilkan rumus
V = 2 r h r
VOLUME BENDA PEJAL, METODE SEL SILINDER
Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x,garis x = a dan garis x = b.
x=bx=a
R y=f(x)
r=xi
r=xh=f(x)
Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkanbenda pejal. Elemen volume
V = 2rhr= 2x f(x)x, axb
Jadi :
b
adx)x(xf2V
Contoh 5 :Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap yJawab
r=x
h=f(x)
r=xi
R
x=1 x=3
V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3
Jadi,
3
64dx))1x(1(x2V
3
1
2
METODE SEL SILINDER LANJUTAN
Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder
xi y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
Rh=f(x)-g(x)
x
y
h=f(x)-g(x)r=x
y
r=x
Dengan metode sel silinder :
V= 2 r h r
= 2 x[f(x)–g(x)]x, axbdx)]x(g)x(f[x2V
b
a
x
Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu y
Karena A // SP, maka dengan metode selsilinder :
V= 2 r h r
= 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4
= 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4
Jadi,
dx })3x()x5{(x2V4
1
2
4
1
4332
4
1
322
4
)3x(
3
)3x(3
3
x
2
x52
dx})3x()3x(3xx5{2
2
45V
r=x
y=6-x
y=(x-3)2+1
R
x=1 x=4
x
y
h=f(x)-g(x)
r=xi
Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1
y=6-x
1
x
r=x-1
h=f(x)-g(x)
y=(x-3)2+1
r=xi
Dengan metode sel silinderV = 2 r hr
= 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi,
)2/27(
dx })3x(x5){1x(2V4
1
2
x=1 x=4
Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4
h=f(x)-g(x)
r=4-xx
Rr=xi
y=6-x
y=(x-3)2+1
x=1 x=4
Dengan metode sel silinderV = 2 r hr
= 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,
)2/27(
dx })3x(x5){x4(2V4
1
2
PROSEDUR MENGHITUNG VOLUME BENDA PEJALLangkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integraltertentu adalah sebagai berikut :
(1) Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).
(2) Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.
(3) Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan :
(a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar
(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar.
(4) Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.
(5) Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau hitunglahvolume benda pejalnya dengan integral tentu.
MOMEN DAN PUSAT MASSA
Misalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) denganf(x) g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah ,
y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
R
y
x
2
)xi(g)xi(f
xi
xi
Andaikanlah, )y,x( pusat masaa lamina
m
My dan ,
m
Mx xy
dimana,
My : moment terhadap sumbu yMx : moment terhadap sumbu xm : massa lamina
b
adx)]x(g)x(f[m
b
a
22x
b
ay
dx])x(g)x(f[2
M
dx)]x(g)x(f[xM
Contoh 5Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab :
y=f(x)
y=g(x)
y=6-x
xi
y=(x-3)2+1
xi
x=1 x=4
k2
9
3
)3x(
2
)x5(k
dx)])3x(1()x6[(km
4
1
32
4
1
2
k4
45
dx)])3x(1()x6[(xkM4
1
2y
k
dxxxk
Mx
10
117
]))3(1()6[(2
4
1
222
Jadi,2
5
k)2/9(
k)4/45(
m
Mx
y
5
13
)2/9(
)10/117(
k
k
m
My x
TEOREMA PAPPUS
Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadapsebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, makavolume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah Rdikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu
Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletakpada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,
V = 2 r A
dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titikpusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.
LATIHAN SOAL VOLUME BENDA PUTAR
Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 dan garis lurusyang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6
Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3
Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = bb. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a
Soal 5.Massa dan Pusat Massaa. Untuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah
pusat massa dengan asumsi kerapatankonstan
b. Hitunglah volume yang ditanyakandengan metode teorema pappus.
Soal 4Perhatikanlah gambar daerah berikut iniHitunglah volume benda putarnya jikadaerah R diputar terhadap :(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1(c). Garis, x=a – 3(d). Garis, x = a + 2
Gambar Soal No. 4