Funciones

Calculo 1

Definición de conjuntoUn conjunto es una colección de objetos que cumplen con alguna propiedad.

Los conjunto pueden especificarse de varias formas:

a. Enumerando sus elementos entre llaves: {1, 2 ,3}, {2, 4, 6 ,8 ,10, …}

b. Mediante una frase que especifique que elementos contiene: el conjunto de los números pares.

Se acostumbra utilizar la siguiente notación:

{x | p(x) }

Donde ”|” se lee “tal que” y p(x) es una proposición acerca de la variable x.

{x | x es un número par}

{x | x es un entero mayor que 0 y menor que 4} = {1, 2, 3}

Un conjunto A es subconjunto de otro B sui todos los elementos de A también perteneces a B. Se denota por A B

El conjunto vacío es aquel que no contiene elementos.

Conjuntos numéricosNúmero enteros: N = {…, -4. -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, …}

Números racionales: Q = { x | x = p/q donde p y q N y q ≠ 0}

Números irracionales: T = { x | x no puede expresarse como p/q donde p y q N y q ≠ 0}

Números Reales: es la unión del conjunto de los racionales y los irracionales.

subconjuntoUn conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A también son elementos de B.

A B a A b B

El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.

CuantificadoresLos cuantificadores se utilizan para indicar cuantos elementos de un conjunto cumplen con una propiedad.

Cuantificador universal: x para todo x.

Cuantificador existencial: x existe x.

x A P(x) {x A | P(x) } = A

A B = { x | x A x B}

x A P(x) {x A | P(x) }

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

CoordenadasLas posiciones de todos los puntos del plano pueden medirse con respecto a dos rectas reales perpendiculares del plano que se intersecan en el punto 0.

Parte positiva del eje x

Parte positiva del eje y

Origen

Parte negativa del eje y

Parte negativa del eje x

El par ordenado (a, b) es un par coordenado.

P(a, b)

Coordenada x

Coordenada y

Puntos en el plano

A(2, 3)

B(4, -1.5)

C(-2, -3)

D(-3, 1)

primer cuadrante (+, +)

cuarto cuadrante (+, –)

segundo cuadrante (–, +)

tercer cuadrante (–, –)

El plano coordenado se divide en 4 cuadrantes dependiendo del signo de las componentes x e y.

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

0

IncrementosCuando un objeto se mueve de un punto a otro del plano, los cambios netos en sus coordenadas se llaman incrementos.

Los incrementos se denotan mediante la letra griega (delta)

Para dos P(x1, y1) y Q(x2, y2)

Los incrementos se calcula por:

x = x2 – x1

y = y2 – y1

x = 6

y = –2

Ejemplo:

Al ir de A a B los incrementos son:

x = 3 – (–3) = 6

y = 1 – 3 = –2

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

0

A(-3, 3)

B(3, 1)

Punto medio entre dos puntosEl punto medio entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x1, y1) puede calcularse como

2,

22121 yyxxM

x

y P(x1, y1)

Q(x2, y2)

M

AB

Prueba

La proyección de P y Q son A y B.

C

La proyección C de M es el punto medio de AB

Las coordenadas de C son:

0,

221 xxM

Similarmente proyectando sobre el eje y.

Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se calcula por el teorema de Pitágoras

212

212

22 yyxxyxd

x

y

P(x1, y1)

Q(x2, y2)

R(x2, y1)

|PR| = | x2 – x1 | |RQ| = | y2 – y1 |

Por el teorema de Pitágoras|PQ|2 = | x2 – x1 |2 + | y2 – y1 |2

= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Prueba

212

212 yyxxPQ

Ejemplo 2

122

1222 yyxxyxd

La distancia entre A y B es:

32.640

26

313322

22

d

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

B(3, 1)

A(-3, 3)

y

x = 6

y = –2

22 yxd

0

Tarea #3

Dibuje los siguientes puntos en el plano coordenado: P(–4, 5), Q(3, –4),

R(3, 6), S(–3, –3)

Encuentre y dibuje el punto medio entre el punto P y los puntos Q, R y S.

Encuentre los incrementos en x y y al ir del punto P a los puntos Q, R y S.

Encuentre la distancia entre P y los puntos Q, R y S.

GráficasLa gráfica de una ecuación o desigualdad con las variables x, y es el conjunto de los puntos P(x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o desigualdad.

Ejemplo:

Un círculo es la gráfica de la ecuación x2 + y2 = a2

o

aayx 222

y

x

x2 + y2 = a2

a0

Gráfico de desigualdad

Un círculo relleno es la gráfica de la ecuación x2 + y2 a2

o

aayx 222

y

x

x2 + y2 a2

a0

Gráfico de una parábolaUn parábola es la gráfica de la ecuación y = x2

x y–3 9

–2 4

–1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Gráfico de raíz cuadrada

x y–1 0

0 1

1 2 = 1.412

2 3 = 1.732

3 2

4 5 = 2.361

5 6 = 2.449

1 xy

Grafica de la ecuación:

Gráfico de valor absolutoGráfico de la ecuación y = | x |

| x | = x si x 0 y

| x | = –x si x < 0

x y–3 3

– 2 2

– 1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

y

x1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

La recta

La recta se caracteriza por su pendiente. Si la pendiente es positiva la recta apunta hacia arriba a la derecha y si es negativa apunta hacia abajo a la derecha.

La pendiente de una recta horizontal es cero y la pendiente de una recta vertical es infinita.

Pendiente positiva

Pendiente negativa

x

yEl ángulo de inclinación se mide respecto al eje x.

Definición de pendienteDados dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), definimos el avance como

x = x2 – x1

y el ascenso como

y = y2 – y1

La pendiente se define como

tan

12

12

xxyy

xy

avanceascensom

P2(x2, y2)

P1(x1, y1)

P2’

P1’

y

x

y’

x’

Q(x2, y1)

ascenso

avancemxy

xy

''

Los triángulos P1QP2 y P1’Q’P2’ son semejantes, asi que

Q’

Rectas paralelas y perpendicularesDos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente, o sea, m1 = m2.

Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si m1 = –1/m2.

Demostración

2

1

2 – 1

Si L1 y L2 son ’s 2 – 2 = 90°

cos(2 – 1 )= 90° = 0

cos(2 – 1 )= cos2cos 1+sen2sen 1 = 0

dividiendo entre cos2cos 1

1 + tan2 tan 1 = 1 + m1 m2 = 0

12

1m

m

Tarea #41. Calcule el ángulo que hacen con el eje x las siguientes rectas si su pendiente es

a) m = 2.5 b) m = 1.3 c) m = -0.5

d ) m = -1.25

2. Diga si las siguientes rectas definidas por cada par de puntos son paralelas o perpendiculares o ninguna.

A(3, 1) y B(-2, 5)

C(-4, 2) y D(4, 12)

3. Mostrar por medio de la pendiente que los siguientes puntos son colineales:

a) (1, -1), (-2, 5), (3, -5) b) (2, 0), (4, 1), (-6, -4)

c) (-1, 1), (2, 3), (-4, -1) d) (-6, 3), (4, -1), (3, -3/5)

Ecuación de la rectaUna recta vertical que pasa por el punto (a, 0) tiene por ecuación

x = a

Una recta vertical que pasa por el punto (0, b) tiene por ecuación

y = b

y

x

x = a

y = b

a

b

O

Ecuación dada la pendiente

Si conocemos la pendiente de una recta que pasa por el punto P(x1, y1), podemos encontrar su ecuación.

Sea P(x, y) cualquier punto sobre la recta, entonces

mxxyy

1

1

o y – y1 = m(x – x1)

y = y1 + m(x – x1)

y

xO

P(x1, y1)m

Ejemplo

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

5

6

-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6

y

0 x

(3, 4)

2.2

m = 3/5

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (3, 4) y tiene una pendiente de m = 3/5

y = y1 + m(x – x1)

y = 4 + 3/5(x – 3)

y = 3/5 x + 11/5

y = 0.6 x + 2.2

EjemploEncontrar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 5) y (3, 7)

Con (-1, 5)

y = y1 + m(x – x1)

y = 5 + 0.5(x – (– 1))

y = 0.5 x + 5.5

La pendiente es

m = (7 – 5)/(3 – (– 1)) = 2/4 =0.5

Con (3, 7)

y = y2 + m(x – x2)

y = 7 + 0.5(x – 3)

y = 0.5 x + 5.5

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

5

6

-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6

y

0 x

(3, 7)

5.5

m = 0.5

(-1, 5)

Ordenada al origenLa coordenada y donde una recta no vertical corta el eje y se llama “ordenada al origen” , y se designa por b.

Sustituyendo en la ecuación de la recta el punto (0, b) se obtiene

y = b + m(x – 0)

y = m x + b

Esta es la ecuación pendiente-ordenada al origen.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta tiene la forma:

Ax + By = CEsta ecuación puede representar cualquier recta

Ec. general Valores de A, B, C Forma de pendiente-ordenada

–5x + 8y = 6

A= –5, B = 8, C = 6

y = 0.625 x + 0.75

x + y = 3 A= 1, B = 1, C = 3 y = – x + 3x = –2 A= 1, B = 0, C = –

2no es posible

y = 5 A= 0, B = 1, C = 5 no es posible

Gráfico de una rectaPara dibujar una recta que no sea vertical u horizontal se procede como se muestra en el ejemplo:

Calcular la ordenada al origen y la abscisa al origen.

4x + 6y = 10

x = 10/4 = 2.5

y = 10/6 = 5/3

Trazar la recta entre estos dos puntos

1 2 3-1-2-3

y

x

1

2

3

-1

-2

-3

0

abscisa al origen = 2.5

ordenada al origen = 5/3

Tarea #5Encuentre la ecuación de la recta dados

a) el punto (2, –3) y la pendiente m = 1/2

b) la pendiente 1/2 y la ordenada al origen b = –3

c) pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 5

d) pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x – 3y = 5

Dibuje la recta encontrando primero la ordenada y la abscisa al origen para la recta

1.5x – y = – 3

FuncionesUna función de un conjunto D a un conjunto I es una regla que asigna un único elemento f(x) de I a cada elemento de D.

D I

f

El conjunto D = D(f) (“D de f”) es el dominio de la función f e I es el conjunto imagen.

Las funciones se expresan mediante una fórmula:

y = expresión

O f(x) = expresión

Ejemplo de funcionesEl volumen de una esfera depende del radio de esta.

V = 4 r 3 / 3

O

V(r) = 4 r 3 / 3

Ejemplo:

V(2) = 4 2 3 / 3 = 33.5 m3

Área y perímetro de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado x.

Área = A = base x altura /2 =

2

22

43

21

4

x

xxxA

perímetro = P = 3x

Dominio e imagen

Función Dominio Imagen

y = x2 (–, ) [0, )

[–1, 1] [0, 1]

y = 1/x (–, 0) (0, )

(–, 0) (0, )

y = x2/(x – 1) (–, 1) (1, )

(–, )

El dominio de una función puede ser el conjunto de los números reales o puede estar restringido

21 xy

Gráficas de funcionesLa gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f(x).

Ninguna recta vertical puede intersecar a la gráfica de una función más de una vez.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3

2xy

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -2 -1 0 1 2 3

3xy

Gráficas de funciones (cont.)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

3/2xy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

2/1xy

y = 2xy = x

y = x/2

Operaciones con funciones

Operaciones aritméticas

Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Resta: (f - g)(x) = f (x) - g(x)

Multiplicación: (f g)(x) = f (x) g(x)

División: (f / g)(x) = f (x) / g(x)

Multiplicación: (c f)(x) = c f (x)

por constante

Ejemplo de operaciones

Función fórmula dominio

f f(x) = x2 (–, )

g g(x) = 1 + x [-1, )

3f 3f(x) = 3x2 (–, )

f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1, )

f g (fg)(x) = x21 + x [-1, )

f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1, )

g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0) (0, )

Gráficos de operacionesf – g f g

f / g

Composición de funcionesDefinición

Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función definida mediante

(f ° g) (x) = f(g(x))

El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f .

f ° g

f (g(x))

gf

Ejemplos de composición

xxf xxg 1

xxgxgfxgf 1

11 xxfxfgxfg

4/1xxxfxffxff

2111 xxxgxggxgg

Tarea #61 hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones

24 xxf

xxf

11

2 Cuales gráficas representan funciones

a b c

3 Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal

4. Dadas las siguientes funciones calcule: (f +g), (f g), (f / g), (f ° g), (g° f)

24 xxf 12 xxg

Funciones pares e impares

una función y = f(x) es par si f(-x) = f(x) para toda x del dominio de f.

una función y = f(x) es impar si f(-x) = -f(x) para toda x del dominio de f.

2xy

Funciones pares

xy

Funciones impares

xy

3xy

Funciones a trozos

En una función definida a trozos la función tiene diferentes fórmulas para diferentes intervalos del dominio,

| x | = x, x 0

- x, x < 0

f(x) =

1, x > 1

- x, x < 0 x2, 0 x 1

1

y = - x

y =1

y = x2

1

Función máximo enteroSe define como el mayor entero menor o igual que x o función piso entero (floor).

1

-1

2

3

1 2 3

y = x

xy

xy

Se denota por:

Función mínimo enteroSe define como el menor entero mayor o igual que x o función techo entero (floor).

1

-1

2

3

1 2 3

y = x

xy

Se denota por:

xy

Traslación de gráficosPara trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia arriba, sumamos una constante al lado derecho de la fórmula y = f(x).

y = x2 + 2

y = x2 + 1

y = x2

y = x2 – 1

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

Traslación de gráficos (cont.)Para trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia la izquierda, sumamos una constante positiva a la variable x.

y = (x + 1)2

y = x2 y = (x – 1)2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-3 -2 -1 0 1 2 3

Ecuación del círculoLa ecuación del círculo de radio a y centro en el punto (h, k) es

(x – h)2 + (x – k)2 = a2

(h, k)

aP(x, y)

EjemploLa ecuación del circulo con centro en (4, 6) y radio 3.5 es

(x – 4)2 + (y – 6)2 = 3.52 = 12.25

Encontrar el centro y el radio del círculo

x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0

Agrupando los términos con x y con y y completando el cuadrado

x2 + 4x + y2 – 6y – 3 = 0

x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 4 – 9 – 3 = 0

(x + 2)2 + (y2 – 3)2 = 16

Centro en (–2, 3) y radio = 4

Gráficas de parábolasLa ecuación general de una parábola que pasa por el origen es

y = ax2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x2

y = x2

y = x2/2

y = x2/10

Parábola en el eje x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x = 2y2

x = y2

x = y2/2

x = y2/10

Traslación de parábolasPara trasladar horizontalmente la parábola y = ax2, reescribimos la ecuación como

y = a(x – h)2

Para trasladar verticalmente la parábola y = ax2, reescribimos la ecuación como

y = a(x – h)2 + k

Esto coloca el vértice en (h, k) y el eje es la recta x = h.

vértice

(0.5,1.5)eje

0

2

4

6

8

10

12

14

-3 -2 -1 0 1 2 3

Con a = 1, h = 0.5, y k = 1.5

y = (x – 0.5)2 + 1.5

y = x2 – x + 0.25 +1.5

y = x2 – x + 1.75

Parábola generalLa gráfica de y = ax2 + bx + c, a 0, es una parábola. Se abre hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0. el eje es la recta

x = –b/2aEl vértice de la parábola es el punto donde la parábola y su eje se intersecan. Su coordenada x es –b/2a, su coordenada y se encuentra sustituyendo x = –b/2a en la ecuación de la parábola.

Trazado de una parábolaTrazarla parábola

y = –0.5x2 – x + 4

1. a = – 0.5, b = –1, c = 4

2. a < 0, se extiende hacia abajo

3. encontrar el vértice x = –b/2a = –1

y = –0.5(–1)2 – (–1) + 4 = 4.5

vértice en (–1, 4.5)

4. intersecciones con el eje x (y = 0)

resolver –0.5x2 – x + 4 = 0

x = 2 y x = –4

1 2 3-1-2-3

y

x

1

2

3

-1

-2

-3

0-4

4

(-1, 4.5)(0, 4.)(-2, 4)

Funciones TrigonométricasMedición en radianes

La medida en radianes q de un ángulo ABC se define como la longitud del arco circular AB en un círculo de radio unitario.

Para cualquier otro círculo un radian es la razón de la longitud del arco al radio del círculo.

A

B

C1

Un ángulo de 360 tiene 2 radianes, un radian serán 360/2 = 57.3°

Definición de las funciones trigonométricas

hipotenusa

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusaopuestosen

hipotenusaadyacentecos

adyacenteopuestotan

opuestoadyacentecot

adyacentehipotenusasec

opuestohipotenusacsc

Gráficasy = sen x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

Gráficas (cont.)

y =sec x y =csc x

PeriodicidadUna función es periódica si existe un número positivo p tal que f(x + p) = f(x). El valor mínimo posible de p es el periodo de f(x).

Periodo : tan(x + ) = tan(x)

cot(x + ) = cot(x)

Periodo 2: sen(x + 2) = sen(x)

cos(x + 2) = cos(x)

sec(x + 2) = sec(x)

csc(x + 2) = csc(x)

Funciones trig. pares e impares

Pares: cos(–x) = cos(x)

sec(–x) = sec(x)

Impares: sen(–x) = –sen(x)

tan(–x) = –tan(x)

cot(–x) = –cot(x)

csc(–x) = –csc(x)

identidadessen2 + cos2 = 1 1 + tan2 = sec2

1 + cot2 = csc2

cos(A + B) = cos A cos B – sen A sen B

sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen Bcos 2 = cos2 – sen2

sen 2 = 2 sen cos

22cos1sen

22cos1cos

2

2

c2 = a2 + b2 – ab cos

Ley de cosenos

a

b

c

B(a cos , a sen )

A(b, 0)

Tarea #8

En un círculo de radio 10, ¿que longitud tiene el arco que subtiende un ángulo central de a) 4/5 radianes b) 110°?

Se da el valor del sen x, cos x o tan x. Encuentra los dos restantes

sen x =3/5 x en [ /2, ]

cos x = 1/3 x en [ - /2, ]

tan x = 1/2 x en [ , 3]

12

34

-1-2

-3-4

-5-6

56

123456 -1 -2 -3 -4 -5 -6

x

y

0

Tare

a #5

Enc

uent

re la

ecu

ació

n de

la re

cta

dado

s

a) e

l pun

to (2

, –3)

y la

pen

dien

te m

= 1

/2

b) la

pen

dien

te 1

/2 y

la o

rden

ada

al o

rigen

b =

–3

c) p

asa

por (

5, –

1) y

es

para

lela

a la

rect

a 2x

+ 5

y =

5

d) p

asa

por (

4, 1

0) y

es

perp

endi

cula

r a la

rect

a 6x

– 3

y =

5

Dib

uje

la re

cta

enco

ntra

ndo

prim

ero

la o

rden

ada

y la

abs

cisa

al

orig

en p

ara

la re

cta

1.5x

– y

= –

3

12

34

-1-2

-3-4

-5-6

56

123456 -1 -2 -3 -4 -5 -6

x

y

0

Tare

a #7

Tras

lade

las

ecua

cion

es c

omo

se in

dica

a) x

2 +

y2 =

49

b) la

pen

dien

te 1

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la o

rden

ada

al o

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b =

–3

c) p

asa

por (

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1) y

es

para

lela

a la

rect

a 2x

+ 5

y =

5

d) p

asa

por (

4, 1

0) y

es

perp

endi

cula

r a la

rect

a 6x

– 3

y =

5

Dib

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la re

cta

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prim

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la o

rden

ada

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abs

cisa

al

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ara

la re

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1.5x

– y

= –

3

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

5

6

-1-2-3-4-5-6 11 2 3 4 5 6

y

0 x