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LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

GUÍA DE MATEMÁTICA N°3 FILA A

CONTENIDO: FUNCIONES

NOMBRE: CURSO: 4º MEDIO FECHA: /06/2020

OBJETIVOS:

Caracterizar las funciones y sus elementos.

Identificar funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa y la determinación de funciones inversas.

FUNCIONES [Página 82 a la 91 del texto del estudiante] CONCEPTOS GENERALES, EVALUACIÓN Y GRÁFICO DE FUNCIONES

FUNCIONES

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto

A uno y sólo un elemento y del conjunto B, donde A se conoce como dominio (D f) de la función y B es el conjunto

de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función realmente toma se conoce como recorrido (R f ).

Se expresa como: f : A → B. Se lee “f es una función de A en B” o y=f (x ).

Ejemplo: f (x)=2x es una FUNCIÓN lineal

y es la imagen de x mediante f . x es la pre-imagen de y.

Conceptos generales de funciones

Sea f una función que relaciona elementos del conjunto A con elementos de B:

Dominio de f : conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida ( A) que tienen imagen. En el diagrama sagital adjunto, Dom f =A.

Codominio: Es el conjunto al cual pertenecen los valores posibles de f (x). Se denota Codomf . o conjunto de llegada (B).

Recorrido de f : conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada (B) que tienen preimagen. En el diagrama sagital adjunto, Rec f ={p , s , t }.


Variable independiente: Valor que no depende de otra variable. Se denota con la letra x.

Variable dependiente: Valor que depende de otra variable. Se denota con la letra y. Se dice que “ y depende de x” o que “ y está en función de x”.

OBSERVACIONES

El dominio también es el conjunto de las variables independientes y las preimágenes de la función.

El recorrido también es el conjunto de las variables dependientes y las imágenes de la función.

El recorrido y el codominio no necesariamente son iguales.

Gráfico de una función

Está formado por todos los pares ordenados (x , y ) que se obtienen al evaluar la función para distintos valores de x.

EJEMPLOS RESUELTOS:Dados los siguientes gráficos se indica si es o no es una función en el intervalo [a , b]

SI, ya que se asigna a cada elemento del eje x, un único elemento al eje y.

SI. NO, ya que basta trazar un línea para comprobar que elementos de x no tiene un único elemento en y.

NO, ya que basta trazar un línea para comprobar que elementos de x no tiene un único elemento en y.

SI NO, ya que x tiene más de una imagen en y.

NO SI NO, ya que dentro del intervalo no todos los elementos tienen una imagen.


EVALUACIÓN DE FUNCIONES

Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la fórmula que define la

función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entre paréntesis.

Evaluar una función consiste en tomar un elemento a perteneciente al conjunto de partida y reemplazarlo en una

función f , obteniendo un elemento b perteneciente al conjunto de llegada. Este proceso se representa como

f (a)=b, y se dice que a es la preimagen de b y b es la imagen de a.

Por ejemplo:

3. Si f ( x )= xx−3 , entonces f (−2 )

f (−2)= −2−2−3

=−2−5

=25 ; significa que – 2 es la preimagen de

25 y

25 es la imagen de – 2.

El conjunto de todas las preimágenes de una función f se denomina el dominio de la función (o Dom f ) y por

definición coincide con el conjunto de partida. Para determinar el dominio de una función y=f (x )en los reales se

debe tomar el conjunto IR como base, descartándose aquellos valores que no pueden ser evaluados en la función,

dadas las restricciones algebraicas que tenga.

Por ejemplo:

En la función f (x)= xx−3 se puede evaluar cualquier valor real excepto el 3, ya que con ese valor el denominador se

hace 0 y la fracción se indetermina.

Luego, el dominio de la función f (x)= xx−3 en los reales es Dom f =IR – {3 }.

El conjunto de todas las imágenes de una función f se denomina el recorrido de la función (o Rec f ) y no

necesariamente coincide con el conjunto de llegada (que en general corresponde al conjunto IR). Para determinar el

recorrido de una función y=f (x ) en los reales primero se debe despejar x en términos de y . Luego, considerando la

expresión que resulte, se debe tomar el conjunto IR como base, descartándose aquellos valores que no puede tomar la

variable dependiente, dadas las restricciones algebraicas que tenga.

Por ejemplo:

Despejando x en la función f (x)= xx−3 resulta:

y= xx−3

⇒ y· ( x−3 )=x⇒ xy−3 y=x⇒ xy−x=3 y⇒ x· ( y−1 )=3 y⇒ x= 3 yy−1


En dicha expresión la variable dependiente puede tomar cualquier valor real excepto el 1, ya que con ese valor el

denominador se hace 0 y la fracción se indetermina. Luego, el recorrido de la función f (x)= xx−3 en los reales es

Rec f =IR – {1 }.

Si una función tiene un dominio y un recorrido discreto y con pocos elementos, se puede representar mediante un

diagrama sagital, con fechas representando las relaciones. Sin embargo, si la función está definida en los reales, lo más

práctico es representarla mediante un gráfico, donde cada relación f (a)=b puede ser considerada como un par

ordenado (a , f (a))o (a , b), el cual puede ser ubicado en el plano cartesiano. Para cada una de las funciones que se

analizarán posteriormente se revisará su gráfico particular.

EJEMPLO RESUELTO

1) Respecto a la función real f (x)=3 x−9x+3 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El dominio de f es IR – {3 }.II) Su representación gráfica intersecta al eje Y en el punto (0 , –3) .III) La preimagen de 2 es 15.

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

Resolución:

La función f (x)=3 x−9x+3 no está definida para todos los reales, ya que al corresponder a una fracción, la variable no

puede tomar ningún valor que permita que el denominador sea igual a cero. Por lo tanto:

I) Falso, ya que en la función sí existe una imagen para 3. El dominio de la función son todos los números reales, a excepción del –3, ya que al ser x este valor, dicha fracción se no está definida.

II) Verdadero, ya que la gráfica asociada a una función cortará el eje Y en el valor que toma la función cuando se evalúa en cero. Es decir, cortará en el punto (0 , f (0)). Evaluando en cero:

f (0 )=3· 0−90+3

=−93

=−3

Luego, corta al eje Y en el punto (0 , –3).III) Verdadero, ya que si se evalúa la función en 15 (que correspondería a la preimagen), se obtiene como resultado el 2 (que correspondería a la imagen):

f (15 )=3 ·15−915+3

=3618

=2

Alternativa correcta; Alternativa D - Solo II y III

ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES:

Función Continua: Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si la función no es

continua, se llama discontinua.

Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable

dependiente.


Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente

toma un único valor.

EJEMPLOS RESUELTOS:

1. Si f (x) es la función representada en el gráfico de la figura adjunta, determinar

a) La imagen de 6 Cuando x = 6, y = 1, entonces la imagen de 6 es 1.

b) La pre-imagen de 4.Cuando y = 4, x = -6, entonces la pre-imagen de 4 es -6.

c) La pre-imagen de 5.No tiene preimagen, ya que cuando y = 5 no corresponde a ningún valor de x.

d) La imagen de 0.Cuando x = 0, y = -2, entonces la imagen de 0 es -2.

e) Pre-imagen de -3No tiene preimagen, ya que cuando y = -3 no corresponde a ningún valor de x.

f) Dom f .El Dom f es el conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al eje x que tienen imagen. El conjunto de todos los valores está determinado en el intervalo [−6 ,6]

g) Rec f .El Rec f es el conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al eje y, está determinado en el intervalo [−2 , 4]

2. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones

a) t ( x )=x+1 DominioAl ser una función lineal, no existe una restricción por lo tanto el Dominio de t será todo el conjunto de los números reales. Dom t=IR

El conjunto de valores que la función realmente toma se conoce como recorrido (R f ), en este caso será todo el conjunto de los reales. Rec t=IR


b) g ( x )= 1x−2

Dominio

En la función f ( x )= 1x−2 se puede evaluar cualquier valor real excepto el 2, ya que con ese valor el denominador se

hace 0 y la fracción se indetermina.

Luego, el dominio de la función f ( x )= 1x−2 en los reales es Dom f =IR – {2 }.

Recorrido

Despejando x en la función f (x)= 1x−2 resulta:

y= 1x−2

⇒ y· (x−2 )=1⇒ xy−2 y=1⇒ xy=3 y+1⇒ x·y=3 y+1⇒ x=3 y+1y

En dicha expresión la variable dependiente puede tomar cualquier valor real excepto el 0, ya que con ese valor el

denominador se hace 0 y la fracción se indetermina. Luego, el recorrido de la función f (x)= 1x−2 en los reales es

Rec f =IR – {0 }.

c) f ( x )= x−1x (Realizar ejercicio)

Solución:Dom f =IR−{0 } Rec f =IR−{1 }

d) p ( x )=¿ 2x−1x+1 (Realizar ejercicio)


Solución:Dom p=IR−{−1 } Rec p=IR−{2}


FUNCIÓN INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA [Página 92 a la 97 del texto del estudiante]

Función inyectiva (uno a uno)

Una función se denomina INYECTIVA si cada elemento del recorrido tiene una sola preimagen, es decir, una función

f en los reales es inyectiva si para a ≠ b, entonces f (a)≠ f (b).

Por ejemplo:

La función en los reales p(x )=x3 – x no es inyectiva ya que f (– 1)=f (0)=f (1)=0, es decir, hay un elemento del

recorrido (0) que tiene tres preimágenes (−1 ,0 y1). La función en los reales g(x )=x3 es inyectiva, ya que todo

número real es el cubo de un solo número real.

f es una función inyectiva o uno a uno si y solo si, cada elemento del recorrido de f tiene sólo una pre-imagen en el

dominio de f , es decir, si a y b son elementos pertenecientes al dominio de f y a es distinto de b, entonces se cumple

que f (a)≠ f (b).

“Si a ≠ b entonces f (a)≠ f (b)” ó “f (a)=f (b) entonces a=b”

Ejemplo:

Función sobreyectiva

Una función se denomina SOBREYECTIVA si su recorrido es igual a su conjunto de llegada, es decir, una función f

en los reales es sobreyectiva si los valores de sus imágenes pueden ser cualquier número real.

Por ejemplo:

La función en los reales h(x )=x4+1 no es sobreyectiva, ya que sus imágenes solo toman valores mayores o iguales

que 1. La función en los reales g(x )=x3 es sobreyectiva, ya que cualquier número real puede ser cubo de otro número

real.

f es una función sobreyectiva si y solo si, el codominio (conjunto de llegada) es igual al recorrido.

Recorrido de f es igual al Codominio de f


Ejemplo:

Función biyectiva

Una función se denomina BIYECTIVA si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Por ejemplo:

La función en los reales g(x )=x3 es biyectiva, ya que es inyectiva y sobreyectiva.

f es biyectiva si y solo si, f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo:

Representación:


Tipo de Función Inyectiva No Inyectiva

Sobreyectiva

No Sobreyectiva

Análisis de biyectividad

Sea f una función que va de A a B. Para que f sea biyectiva se debe cumplir que sea inyectiva y sobreyectiva a la vez.

f es inyectiva si se cumple que cada elemento del recorrido tenga una única preimagen.

Es decir: f (a)=f (b)⟹a=b

f es sobreyectiva si se cumple que el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada.

Es decir: Rec f =B

Gráficamente, se puede identificar una función inyectiva trazando rectas paralelas al eje x. Si estas cortan en un solo

punto a la gráfica, entonces la función es inyectiva.

En síntesis, una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada tiene una y solo una preimagen. Similar

a la definición de función, pero de manera “inversa"


FUNCIÓN INVERSA [Página 98 a la 101 del texto del estudiante]

La FUNCIÓN INVERSA de una función f (denotada generalmente por f−1 ) realiza el proceso contrario de f , es

decir, consiste en tomar un elemento b perteneciente al conjunto de llegada de f y reemplazarlo en la función f−1,

obteniendo un elemento a perteneciente al conjunto de partida de f . Para encontrar la inversa de una función

y=f (x ) solo basta despejar x en términos de y, tal que f−1 ( y )=x.

Por ejemplo, al buscar la inversa de la función biyectiva en los reales g(x )=x3 resulta g(x )=x3 ⇒ y=x3⇒ 3√ y=x⇒ 3√ x= y ⇒ 3√ x=g−1(x ). Es decir, la función inversa en los reales de g(x )=x3 es g−1 ( x )=3√ x.

Sea f una función y f−1 su función inversa. Si f : A → B, entonces: f−1: B → A, tal que f−1¿. Es decir, Dom f =Rec f −1 y Rec f =Dom f −1

Determinación de la función inversaExpresar la variable independiente (x) en función de la variable dependiente ( y ). Luego, intercambiar las variables.

Ejemplo: f ( x )=2−x3 x

⟹ y=2−x3 x

⟹ x= 23 y+1

⟹ f −1 ( x )= 23 x+1

Si f : A → B es biyectiva ,entonces existe una función f−1: B → A, denominada función inversa de f .

Ejemplo:

Observaciones:

Si una función f tiene inversa entonces el gráfico de f−1 es simétrico de f con respecto a la recta y=x .

EJERCICIO RESUELTO

Sea f :¿ una función real tal que f (x)=– x2+4 x+12. Se puede afirmar que existe la función inversa de f , si:

(1) f es sobreyectiva.

(2) B=¿ – ∞ ,16¿

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Resolución


Para que f sea invertible, debe cumplirse que sea biyectiva en todo su dominio. Es decir, f debe ser inyectiva y

sobreyectiva. En este caso, f corresponde a una función cuadrática cuya representación gráfica es una parábola

cóncava hacia abajo, por lo que no es biyectiva en todos los reales, pero sí se puede concluir esta característica a partir

de determinados intervalos.

Como el conjunto de partida de esta función es el intervalo ¿, entonces es posible concluir que la función es inyectiva,

ya que el valor 2 coincide con ser la abscisa del vértice de la parábola, por lo que a partir de ese valor, ninguna imagen

tendrá más de una preimagen. Por lo tanto, solo faltaría afirmar que f es sobreyectiva para así concluir que sí es

invertible.

(1) f es sobreyectiva. Con esta información sí es posible afirmar que f

es invertible, ya que previamente se concluyó que es inyectiva. Por lo

tanto, si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces tiene función inversa.

(2) B=¿ – ∞ ,16¿ .Con esta información sí es posible afirmar que f es

invertible, ya que si el conjunto de llegada es el intervalo ¿ – ∞,16¿,

entonces todos los elementos del conjunto de llegada tendrán

preimagen, es decir, f es sobreyectiva. Como previamente se demostró

que f es inyectiva, entonces f es invertible.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. Alternativa D

EJEMPLOS:

Dadas las siguientes funciones biyectivas, determine sus respectivas funciones inversas

a. f ( x )=5 x−3 → y=5 x−3 → y+3=5 x→ y+35

=x→ x+35

= f−1(x)

b. g ( x )=35

x+2→ y=35

x+2¿5→ 5 y=3 x+10→ 5 y−10=3 x→ 5 y−103

=x → 5 x−103

=g−1(x )

c. h ( x )= 1x+1 , x ≠ 0→

d. p ( x )= x−35

→

RESPUESTAS:

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