La Transformada de Laplace

CAPÍTULO 7

Contenidos

• 7.1 Definición de la transformada de Laplace• 7.2 Transformadas inversas y transformadas

de derivadas• 7.3 Propiedades operacionales• 7.4 Propiedades operacionales adicionales• 7.5 La función delta de Dirac• 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales

7.1 Definición de la Transformada de Laplace

• Definición básicaSi f(t) está definida para t 0, entonces

(1)

b

bdttftsKdttftsK

00)(),()(),( lim

Si f(t) está definida para t 0, entonces(2)

es la Transformada de Laplace de f.

EDFINICIÓN 7.1

Transformada de Laplace

0

)()}({ dttfetf stL

Evaluar L{1} Solución:

Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y .De la definición

Como e-st 0 cuando t , para s > 0.

Ejemplo 1

sse

se

dtedte

sb

b

bst

b

b st

b

st

11limlim

lim)1()1(

0

00

L

Evaluar L{t}Solución

Ejemplo 2

2

00

111}1{L1

1}{

ssss

dtess

tet stst

L

Evaluar L{e-3t}Solución

Ejemplo 3

3,3

1

3

}{

0

)3(

0)3(

033

ss

se

dtetdeee

ts

tststtL

Evaluar L{sin 2t}Solución

Ejemplo 4

00

0

2cos22sin

2sin}{sin2

dttess

te

dttet

stst

stL

0

0,2cos2 sdttes

st

Ejemplo 4 (2)

}2{sinL4222 tss

0,4

2}2{sin 2

ss

tL

00

2sin22cos2 dttess

tes

stst

0,02coslim ste st

tTransformada de Laplace de sin 2t↓

T.L. es Lineal

• Podemos comprobar fácilmente que

(3) )()()}({)}({

)}()({

sGsFtgtf

tgtf

LL

L

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

TEOREMA 7.1 Transformadas de algunas Funciones básicas

s1}1{ L

,3,2,1,!}{ 1 nsnt n

nL ase ta

1}{L

22}{sinks

ktk

L 22}{cosks

stk

L

22}{coshks

stk

L

Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que|f(t)| Mect para todo t > T. Fig 7.1, 7.2.

EDFINICIÓN 7.2 Orden Exponencial

Fig 7.1

Fig 7.2

Eejmplos Fig 7.3tet ||

TtMetct

n

,tet 2|cos2|

Fig 7.4

• Una función como no es de orden exponencial, observe Fig 7.4

2te

Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c.

TEOREMA 7.2 Condiciones Suficientes para la Existencia

Ejemplo 5

Hallar L{f(t)} para

Solución

3,2

30,0)(

tt

tf

7.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

TEOREMA 7.3 Algunas transformadas inversas

s11 1L

,3,2,1,!1

1

nsnt n

n L

ase ta 11L

221sin

ksktk L

221cos

ksstk L

221sinh

ksktk L

221cosh

ksstk L

Ejemplo 1

Hallar las transformadas inversas de

(a) (b)

Solución(a)

(b)

51 1s

L

71

21

sL

45

15

1

241!4

!411 t

ss

LL

tss

7sin7

17

77

17

12

12

1

LL

L -1 también es lineal

• Podemso comprobar fácilmente que

(1))}({)}({

)}()({11

1

sGsF

sGsF

LLL

Hallar

Solución

(2)

Ejemplo 2

462

21

ssL

462

21

ssL

42

26

42

46

42

21

21

221

sss

sss

LL

L

tt 2sin32cos2

Ejemplo 3Hallar

SoluciónUsando fracciones parciales

Luego

(3)

Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces

)4)(2)(1(962

1

sssssL

)4)(2)(1(962

sss

ss

)2)(1()4)(1()4)(2(962

ssCssBssAss

421

sC

sB

sA

(4)Así

(5)

30/1,6/25,5/16 cBA

Ejemplo 3 (2)

)4)(2)(1(962

1

sssssL

ttt eee 42

301

625

516

41

301

21

625

11

516 111

sssLLL

Transformadas de Derivadas•

(6)•

(7)(8)

)}({ tf L 000

)()()( dttfestfedttfe ststst

)}({)0( tfsf L

)0()()}({ fssFtf L)}({ tf L

000

)()()( dttfestfedttfe ststst

)}({)0( tfsf L)0()]0()([ ffssFs

)0()0()()}({ 2 fsfsFstf L)0()0()0()()}({ 23 ffsfssFstf L

Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces

donde

TEOREMA 7.4 Transformada de una derivada)1(,,', nfff

.)}({)( tfsF L)0()0()0()(

)}({)1(21

)(

nnnn

n

ffsfssFs

tf

L

Solución de EDO lineales

•

Luego

(9)

(10)

)(01

1

1 tgyadt

ydadtyda n

n

nn

n

n

1)1(

10 )0(,)0(,)0( nn yyyyyy

)}({}{01

1

1 tgyadt

ydadtyda n

n

nn

n

n LLLL

)]0()0()([ )1(1 nnnn yyssYsa

)()(

)]0()0()([

0

)2(211

sGsYa

yyssYsa nnnn

Tenemos

(11)

donde

)()()()( sGsQsYsP

)()(

)()()(

sPsG

sPsQsY

01

1)( asasasP nn

nn

Resolver Solución

(12)

(13)

Ejemplo 46)0(,2sin133 yty

dtdy

}2{sin13}{3 tydtdy LLL

426)(36)( 2

s

sYssY

4266)()3( 2

s

sYs

)4)(3(506

)4)(3(26

36)( 2

2

2

sss

ssssY

Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6Así

43)4)(3(506

22

2

sCBs

sA

sss

)()4(506 22 CBssAs

462

38

)4)(3(506)( 22

2

ss

sssssY

423

42

318)( 2

12

11

sss

sty LLL

ttety t 2sin32cos28)( 3

Ejemplo 4 (2)

Ejemplo 5Resolver Solución

(14)

Así

5)0(',1)0(,2'3" 4 yyeyyy t

}{}{23 42

2tey

dtdy

dtyd

LLLL

41)(2)]0()([3)0()0()(2

s

sYyssYysysYs

412)()23( 2

s

ssYss

)4)(2)(1(96

)4)(23(1

232)(

2

22

sssss

sssssssY

ttt eeesYty 421

301

625

516)}({)( L

Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0.

TEOREMA 7.5 Comportamiento de F(s) cuando s →

7.3 Propiedades operacionales

Demostración

0

|)(|}{

0

)(

0

0

s

tcsctst

st

csM

cseMdteeM

dttfefL

DemostraciónL{eatf(t)} = e-steatf(t)dt = e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)

Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a), Fig 7.10.

TEOREMA 7.6 Primer teorema de traslación

assat tfLtfe )}({)}({L

Fig 7.10

Hallar las T.L. de(a) (b) Solución

(a) (b)

Ejemplo 1

}{ 35 te tL }4cos{ 2 te tL

45

45335

)5(6!3}{}{

sstte

ssss

t LL

16)2(2

16

}4{cos}4cos{

22

2

)2(2

ss

ss

tte

ss

sst LL

Forma inversa del Teorema 7.6

•

(1)

donde

)(})({)}({ 11 tfesFasF atass

LL

.)}({)( 1 sFtf L

Hallar la T.L. inversa de

(a) (b)

Solución(a)

teenmos A = 2, B = 11

(2)

Ejemplo 2

21

)3(52

ssL

643/52/

21

sssL

22 )3(3)3(52

sB

sA

ss

BsAs )3(52

22 )3(11

32

)3(52

ssss

Ejemplo 2 (2)

And

(3)

De (3), tenemos

(4)

211

21

)3(111

312

)3(52

ssss LLL

teess tt 33

21 112

)3(52

L

Ejemplo 2 (3)

(b) (5)

(6)

(7)

2)2(3/52/

643/52/

22

ss

sss

2)2(1

32

2)2(2

21

643/52/

21

21

21

sssss

s

LL

L

22

1

22

1

22

232

221

ssss sss LL

tete tt 2sin322cos

21 22

Resolver Solución

Ejemplo 36)0(',2)0(,9'6" 32 yyetyyy t

)(9)]0()([6)0()0()(2 sYyssYysysYs 3)3(2s

)()96( 2 sYss 3)3(252

s

s

)()3( 2 sYs 3)3(252

s

s

)(sY 52 )3(2

)3(52

sss

Ejemplo 3 (2)

(8)

52 )3(2

)3(11

32)(

ssssY

51

211

)3(!4

!42

)3(111

312

)(

sss

ty

LLL

,1 3

32

1 t

sste

s

L t

sset

s34

35

1 !4

L

ttt etteety 3433

121112)(

Ejemplo 4ResolverSolución

0)0(',0)0(,16'4" yyeyyy t

)(6)]0()([4)0()0()(2 sYyssYysysYs1

11

ss

)()64( 2 sYss)1(

12

sss

)(sY)64)(1(

122

sssss

643/52/

13/16/1)( 2

ss

sss

sY

Ejemplo 4 (2)

tetee ttt 2sin322cos

21

31

61 22

2)2(2

232

2)2(2

21

11

311

61)(

21

21

11

sss

sssY

LL

LL

La función escalón unitaria U(t – a) se define como

EDFINICIÓN 7.3 Función escalón unitario

atat

at,1

0,0)(U

Fig 7.11.

Fig 7.11

• Fig 7.12 muestra la gráfica de (2t – 3)U(t – 1).Considerando la Fig 7.13, es la misma que

f(t) = 2 – 3U(t – 2) + U(t – 3)

Fig 7.12 Fig 7.13

También una función del tipo

(9)es la misma que

(10)De manera similar, una función del tipo

(11)

puede escribirse como(12)

atthattg

tf),(

0),()(

)()()()()()( atthattgtgtf UU

btbtatgat

tf,0

),(0,0

)(

)]()()[()( btattgtf UU

Expresar

en términos de U(t). Fig 7.14.SoluciónDe (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0

f(t) = 20t – 20tU(t – 5)

Ejemplo 5

5,0

50,20)(

ttt

tf

Fig 7.14

• Cosidere la función

(13) Fig 7.15.

atatfat

atatf),(

0,0)()( U

Ch4_51

Fig 7.15

• Demostración

Si F(s) = L{f}, y a > 0, entoncesL{f(t – a)U(t – a)} = e-asF(s)

TEOREMA 7.7 Segundo teorema de traslación

dtatatfedtatatfea

sta st )()()()(

0UU

)}()({ atatf UL

0

)( dtatfe st

Sea v = t – a, dv = dt, entonces

Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s,

(14)por ejemplo: La T.L. de la Fig 7.13 es

)}()({ atatf UL

0

)( )( dvvfe avs )}({)(0

tfedvvfee assvas L

seat

as

)}({UL

se

se

s

tttfss 32

312

)}3({)}2({3}1{2)}({

ULULLL

Forma inversa del Teorema 7.7

(15))()()}({1 atatfsFe as UL

Ejemplo 6Hallar la T.L. inversa de(a) (b)

Solución(a) luego

(b) luego

se

s21

41L

2/

21

9se

ss L

tesFssFa 41 )}({),4/(1)(,2 L

)2(4

1 )2(421

tee

sts UL

tsFsssFa 3cos)}({),9/()(,2/ 12 L

223cos

92/

21 ttess s UL

Forma alternativa del Teorema 7.7• Como , entonces

Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera.Sea u = t – a,

Esto es, (16)

4)2(4)2( 22 ttt

)}2(4)2()2(4)2()2{(

)}2({2

2

ttttt

tt

UUULUL

0

)( )()()}()({ duaugedttgeattg ausa

stUL

)}({)}()({ atgeattg as LUL

HallarSoluciónCon g(t) = cos t, a = , entonces

g(t + ) = cos(t + )= −cos tPor (16),

Ejemplo 7

)}({cos ttUL

ss esstett

1}{cos)}({cos 2LUL

Resolver

SoluciónHallamos f(t) = 3 cos t U(t −), luego

(17)

Ejemplo 8

tt

ttf

,sin30,0

)(

5)0(,)(' ytfyy

)()0()( sYyssY sess

13 2

)()1( sYs sess

135 2

sss e

sse

se

sssY

111

11

23

15)( 22

Ejemplo 8 (2)Se sigue desde (15) con a = , entonces

Así

(18)

)()sin(1

1,)(1

12

1)(1

tte

stee

ssts ULUL

)()cos(12

1

tte

ss s UL

)()cos(23)()sin(

23)(

235)( )( ttttteety tt UUU

)(]cossin[235 )( tttee tt U

ttteete

tt

t

,cos2/3sin2/32/350,5

)(

Fig 7.16

• Recuerde que la ED de una viga es

(19)

Fig 7.17.

Vigas

)(4

4

xwdxydEI

Fig 7.17

Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig 7.17. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por:

SoluciónTenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y’(0) = y’(L) = 0. Por (10),

Ejemplo 9

LxL

LxxL

wxw2/,0

2/0,21)( 0

22121)( 00

LxxL

wxL

wxw U

2222 0 LxLxxLLw U

Ejemplo 9 (2)Transformando (19) en

donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)

2

220 1122 Lse

sssL

Lw

2665

043

31

222

0)3(4

1122)(

1122)0()0(")(

Ls

Ls

esss

LEILw

sc

scsY

esss

LEILwysysYs

)0()0()0()0()( 234 yysysyssYsEI

Así

412

311 !3

!3!2

!2

)(

sc

scxy

LL

2/

61

61

510 !5

!51!5

!51!4

!42/2 Lse

sssL

EILw LLL

2225

6062

55403221 LxLxxxL

EILwxcxc U

Ejemplo 9 (3)

Ejemplo 9 (4)Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces

Así

0192049

62

40

3

2

2

1 EILwLcLc

096085

2

302

21 EILwLcLc

EILwcEILwc 40/9,960/23 022

01

2225

60

803

192023)(

5540

3022

0

LxLxxxLEILw

xEILwx

EILwxy

U

7.4 Propiedades Operacionales Adicionales

• Multiplicando una función por tn

esto es, De manera similar,

)}({)()]([

)(

00

0

ttfdtttfedttfes

dttfedsd

dsdF

stst

st

L

)}({)}({ tfdsdttf LL

)}({)}({

)}({)}({)}({

2

2

2

tfdsdtf

dsd

dsd

ttfttfttft

LL

LLL

Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces

TEOREMA 7.8 Derivadas de una transformada

)()1()}({tn sFdsdtf n

nnL

Ejemplo 1

Hallar L{t sen kt}SoluciónCon f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego

22222 )(2

}{sin}sin{

ksks

ksk

dsd

ktdsdktt

LL

Enfoques diferentes

• Teorema 7.6:

• Teorema 7.8:

23

233

)3(11}{}{

sstte

tsts

t LL

2233

)3(1)3(

31}{}{

ss

sdsde

dsdte tt LL

ResolverSolución

ó

Del ejemplo 1,

Así

Ejemplo 21)0(',0)0(,4cos16" xxtxx

222

22

)16(161)(

161)()16(

ss

ssX

sssXs

kttksks sin

)(2

2221

L

ttst

ss

stx

4sin81sin

41

)16(8

81

164

41)( 22

12

1

LL

Convolución• Un producto especial, f * g se define mediante al

integral

y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo:

• Observación: f * g = g * f

(2) )()(* 0 t dtgfgf

(3) )cossin(21

)sin(sin0

t

tt

ett

dtete

Demostración

Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces

TEOREMA 7.9 Teorema de convolución

)()()}({)}({}{ sGsFtgtfgf LLL

0)(

0

0 0)(

00

)()(

})()(

)()()()(

dgedf

ddgfe

dgedfesGsF

s

ss

manteniendo fija, let t = + , dt = d

Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig 7.32.Cambiando el orden de integración:

dttgedfsGsF s )()()()(0

}{

)()(

)()()()(

00

00

gf

dtdtgfe

dtgfdtesGsFtst

tst

L

Fig 7.32

Ejemplo 3

HallarSolución

Original statement = L{et * sin t}

t

dte0

)sin( L

)1)(1(1

11

11

22

ssss

Forma inversa del Teorema 7.9

• L-1{F(s)G(s)} = f * g(4)

Mire en la tabla del Apéndice III,

(5)

222

3

)(2}cos{sinkskktktkt

L

Ejemplo 4HallarSoluciónSea

entonces

22

21

)(1ks

L

221)()(ks

sGsF

ktkks

kk

tgtf sin11)()( 221

L

(6) )(sinsin1)(

102222

1

t

dtkkkks

L

Ejemplo 4 (2)

Ahora recordamos quesen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)]

Si ponemos A = k, B = k(t − ), entonces

3

02

022221

2cossin

cos)2(sin21

21

]cos)2([cos21

)(1

kktktkt

kttkkk

dkttkkks

t

t

L

Transformada de una Integral

• Cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces

(7) )()(0 s

sFdft

L

(8) )()( 10

s

sFdft L

Ch4_81

Eejmplos:

ttdss

ttdss

tdss

t

t

t

cos121)sin(

)1(1

sin)cos1()1(

1

cos1sin)1(

1

2023

1

0221

021

L

L

L

Ecuación Integral de Volterra

(9) )()()()(0 t

dthftgtf

Ejemplo 5ResolverSoluciónPrimero, h(t-) = e(t-), h(t) = et. De (9)

Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales

)(for )(3)(0

2 tfdefettft tt

11)(

1123)( 3

s

sFss

sF

12166)( 43

ssss

sF

tettssss

tf

2131

121!3!23)(

32

114

13

1 LLLL

Circuitos en Serie

• De la Fig 7.33, tenemos

la cual se llama ecuación integrodiferencial.

(10) )()(1)( 0 tEdiC

tRidtdiL t

Fig 7.33

Ejemplo 6

Determine i(t) en Fig 7.33, cuando L = 0.1 h, R = 2 , C = 0.1 f, i(0) = 0, y

E(t) = 120t – 120tU(t – 1)SoluciónUsando los datos, (10) se convierte

Y entonces

)1(120120)(10)(21.00

ttditidtdi t U

ss e

se

ssssIsIssI 111120)(10)(2)(0.1 22

Ejemplo 6 (2)

sss

s

ss

ese

se

s

essss

es

essss

sI

22

2

222

)10(1

)10(10/1

10100/1

100/1)10(

10/110

100/11/1001200

)10(1

)10(1

)10(11200)(

)1()1(1080120

)]1([12)]1(1[12)()1(1010

)1(10

tette

tettitt

t

UUU

Ejemplo 6 (3)

Escrita como una función definida por partes:

(11)

1 ,)1(10801201212

10 ,1201212)(

)1(1010)1(1010

1010

tetteee

tteeti

tttt

tt

Fig 7.34

Periodic Function

• f(t + T) = f(t)

Si f(t) is una función periódica con período T, entonces

TEOREMA 7.10Transformada de una función periódoca

T st

sT dttfee

tf0

)(1

1)}({L

• Demostración

Use el mismo método de transformación

T

stT st dttfedttfetf )()()}({0

L

T stsT

sTT st

sTT

st

dttfee

tf

tfedttfetf

tfedttfe

0

0

)(1

1)}({

)}({)()}({

)}({)(

L

LL

L

Halle la T. L. de la función en Fig 7.35. SoluciónHallamos T = 2 y

Del Teorema 7.10,

Ejemplo 7

21 ,010 ,1

)(tt

TE

(12)

)1(11

11

011

1)}({

2

1

02

s

s

s

sts

esse

e

dtee

tE

L

Fig 7.35

Ejemplo 8La ED

(13)Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig 7.35.Solución

ó

(14)Porque y

)(tERidtdiL

s

s

eLRssLsI

essRIsLsI

11

)/(/1)(

)1(1)()(

sss-s eeee

3211

1

LRsRL

sRL

LRss ///

)/(1

Ch4_94

Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 7.36:

(15)

...1111)( 2

ss eeLRssR

sI

43 ,

32 ,1

21 ,

10 ,1

)(

)3()2()1(

)2()1(

)1(

teeee

teee

tee

te

ti

ttty

ttt

tt

t

Fig 7.36

7.5 La función delta de Dirac• Impulso Unitario

Observe la Fig 7.43(a). Está función se define por

(1)

donde a > 0, t0 > 0.• Para un valor pequeño de a, a(t – t0) es una

función constante de gran magnitud. El comportamiento de a(t – t0) cuando a 0, se llama impulso unitario, porque posee la propiedad . Fig 7.43(b).1)(0 0

dttt

att

attata

att

tta

0

00

0

0

,0

,21

0 ,0

)(

Ch4_97

Fig 7.43

La función delta de Dirac

• Esta función se define como (t – t0) = lima0 a(t – t0) (2)Las dos propiedades importantes son:

(1)

(2) , x > t0 1)(0 0 x

dttt

0

00 ,0

,)(

tttt

tt

• Demostración

La Transformada de Laplace es

Para t0 > 0,

TEOREMA 7.11

Transformación de la función delta de Dirac

0)}({ 0stett L

))](()(([21)( 000 attatta

tta UU

(4) 2

21)}({

0

00 )()(

0

saeee

se

se

att

sasast

atsats

aL

Cuando a 0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a 0.Así ,

Ahora cuando t0 = 0, tenemos

00

2lim

)(lim)(

0

000

stsasa

a

st

aa

esaeee

tttt

LL

1)( tL

Ejemplo 1Resolver sujeta a(a) y(0) = 1, y’(0) = 0(b) y(0) = 0, y’(0) = 0Solución(a) s2Y – s + Y = 4e-2s

Asíy(t) = cos t + 4 sen(t – 2)U(t – 2)

Como sen(t – 2) = sen t, enonces

(5)Fig 4.44.

),2(4" tyy

14

1)( 2

2

2

se

sssY

s

2 ,sin4cos20,cos

)(ttttt

ty

Fig 7.44

Ejemplo 1 (2)

(b)

Así y(t) = 4 sen(t – 2)U(t – 2)y

(6)

14)( 2

2

sesY

s

ttttttty

,sin420,0

)2()2sin(4)( U

Fig 7.45

7.6 Sistemas Eds Lineales

• Resortes acopladosEn el ejemplo 1 trabajaremos con

(1))(

)(

12222

1221111

xxkxmxxkxkxm

Ejemplo 1Use T.L. para resolver

(2)donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1.Solución

s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0 −4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0

Recolocando:(s2 + 10)X1 – 4X2 = 1 −4X1 + (s2 + 4)X2 = −1 (3)

044 04 10

221

211

xxxxxx

Ejemplo 1 (2)

Resolviendo (3) para X1:

Usamos X1(s) para obtener X2(s)

tttx

sssssX

32sin532sin

102)(

125/6

25/1

)12)(2(

1

2222

2

1

tttx

sssssX

32sin10

32sin52)(

125/3

25/2

)12)(2(6

2

2222

2

2

Ejemplo 1 (3)

Luego

(4)tttx

tttx

32sin10

32sin52)(

32sin532sin

102)(

2

1

Redes

• De la Fig 7.47, tenemos

(5)0

)(

122

2

uidtdiRC

tERidtdiL

Fig 7.47

Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm, C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. SoluciónTenemos

EntoncessI1(s) + 50I2(s)= 60/s−200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

Ejemplo 2

0)10(50

6050

1224

21

iidtdi

idtdi

Ejemplo 2 (2)

Resolviendo lo anterior:

Así222

221

)100(120

1005/65/6

)100(12000

)100(60

1005/65/6

)100(1200060

sssssI

ssssssI

tt

tt

teeti

teeti

1001002

1001001

12056

56)(

6056

56)(

Péndulo Doble

• De la Fig 7.48, tenemos

(6)

0)()( 1121221212121 glmmllmlmm

022212122222 glmllmlm

Fig 7.48

• Compruebe que cuando

la solución de (6) es

(7)

Fig 7.49

Ejemplo 3

,1)0(,1)0(,16,1,3 212121 llmm0)0(',0)0(' 21

ttt

ttt

2cos23

32cos

21)(

2cos43

32cos

41)(

2

1

Fig 7.49