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practica 6 de laboratorio
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20República bolivariana de Venezuela
Universidad nacional experimental politécnica
"Antonio José de sucre"
vice-rectorado "Luis caballero mejías"
Asignatura: Laboratorio de dinámica de maquinasProf. Vicente arnone
Practica de laboratorio nº6
Momento de inercia y oscilación torsional libre
Integrantes
Cadena anderson, exp:2009203038
Valles juan, exp:2010xxxxxxxxx
Abreu jean carlos, exp:2006xxxxxx
Mendezfragell, exp:2010xxxxxxxxxxxxx
Caracas, abril de 2014
Introducción
En este informe se plantea el uso del banco universal de prácticas
con la modelación de un sistema de que está compuesto de un volante
que gira alrededor de su eje de rotación, una masa atada a una clavija en
el borde de la circunferencia.
Comprobaremos que el uso de la ecuación de conservación de
energía dará el momento de inercia del volante ya que este es
directamente proporcional a la ecuación
La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a
continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia
puede pensarse como una nueva definición de la masa.
Parte teórica
Inercia: Siguiendo la Primera Ley de Newton, nos dice que en
ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de
reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una
fuerza.
Esta Primera Ley de Newton o Ley de Inercia introduce o establece
muchos conceptos de golpe, supongo que forman parte del contexto del
conjunto de las Leyes de Newton. Entre ellos podemos señalar los de
espacio, tiempo, movimiento y fuerza, teniendo en cuenta la geometría
espacial, es decir, la dirección y sentido de las fuerzas y del movimiento.
El Momento de Inercia: Se define como un elemento totalmente
pasivo, que únicamente aporta al sistema una inercia adicional de modo
que le permite almacenar energía cinética. Este volante continúa su
movimiento por inercia cuando cesa el par motor que lo propulsa. De esta
forma, el volante de inercia se opone a las aceleraciones bruscas en un
movimiento rotativo. Así se consiguen reducir las fluctuaciones de
velocidad angular. Es decir, se utiliza el volante para suavizar el flujo de
energía entre una fuente de potencia y su carga.
El momento de inercia (Moment of inertia, "MOI") es similar a la
inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento
lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a
continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia
puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de
inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia.
Un análisis matemático de este tipo de problema siempre conduce a
una integral de segundo momento del área.
Las fórmulas para los segundos momentos de área en torno a los
ejes X y Y son, respectivamente:
I x=∫ y2dA ; yI y=∫ y2dA
En este caso Ix e Iy recibe el nombre de momentos rectangulares de
inercia; y la integral
I z=∫r 2dA
Se conoce como momento polar de inercia del área. Una relación
entre las ecuaciones anteriores es:
Jz = Ix + Iy
En ocasiones, el momento de inercia se expresa en la forma
I = k²A
Aquí, k se conoce como radio de giro; es una medida cuantitativa de
la distribución del área respecto a los ejes del momento.
El momento de inercia de un volumen es un momento de inercia
verdadero porque un volumen tiene masa. Sin embargo, para distinguirlo del
correspondiente a un área se denomina muy a menudo momento de inercia
de masa. En el caso de un volumen, las integrales de inercia son:
I x=∫ ( y2+z2 )dm I y=∫ (x2+z2)dm I z=∫ (x2+ y2)dm
En la actualidad numerosas líneas de investigación están abiertas
a la búsqueda de nuevas aplicaciones de los volantes. Algunos ejemplos
de dichos usos son:
Absorber la energía de frenado de un vehículo, de modo que se
reutilice posteriormente en su aceleración.
Como dispositivos para suavizar el funcionamiento de instalaciones
generadoras de energía eléctrica mediante energía eólica y
energía fotovoltaica, así como de diversas aplicaciones eléctricas
industriales.
En los ferrocarriles eléctricos que usan desde hace mucho tiempo
un sistema de freno regenerativo que alimenta la energía extraída
del frenado nuevamente a las líneas de potencia; con los nuevos
materiales y diseños se logran mayores rendimientos en tales
fines.
Nota: La energía fotovoltaica es un tipo de electricidad renovable
obtenida directamente de los rayos del sol gracias a la foto-detección
cuántica de un determinado dispositivo; normalmente una lámina metálica
semiconductora llamada célula fotovoltaica.
Cálculo del momento de Inercia.
Selección de la posición de los ejes de referencia
Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de
gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia.
Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar
los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado
sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si
el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes
que pasan por el CG y están orientado de forma que el producto de
inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a
utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja, se
debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede
ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas
descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".
Signo / polaridad de momento de inercia
Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o
negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de
referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos,
ya que la masa sólo puede ser positiva.
Unidades del Momento de Inercia
En los Estados Unidos, la palabra "libra" se utiliza para designar
tanto el peso como la masa. Si la unidad de peso es la libra, no puede ser
la unidad de masa, ya que esto violaría la segunda ley de Newton. No
obstante, por razones ancestrales, en los EEUU, un objeto que pesa
1libra, tiene 1libra de masa. Esto lleva a usar unidades de momento de
inercia como lb.in², donde la libra se refiere al peso del objeto, más que a
su masa. Las unidades correctas del momento de inercia, son:
m.x
2
Cuando las lb.in² o las lb.ft² se usan para definir el momento de
inercia o la polaridad del mismo, la cantidad debe ser dividida por el valor
apropiado de "g", para que sean dimensionalmente correctos en cálculos
de ingeniería. De nuevo, un análisis dimensional, confirmará si se están
usando las unidades correctas.
La siguiente tabla muestra algunas de las unidades utilizadas en la
actualidad para el MOI y el POI:
UNIDAD COMENTARIOS
lb.in² lb = peso; debe dividirse por g = 386,088 in/s²
lb.in.s² lb in s² = distancia x peso / g; peso / g = masa;
dimensionalmente correcto
Slug.ft² slug = masa; dimensionalmente correcto
Kg.m² Kg = masa; dimensionalmente correcto
Las unidades más utilizadas en los EEUU, son las lb.in², incluso
siendo dimensionalmente incorrectas.
REGLA 1. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan
en las siguientes unidades, pueden ser utilizadas directamente en
cálculos de ingeniería:
slug.ft² ; lb.in.s² ; Kg.m² ; oz.in.s²
REGLA 2. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan
en las siguientes unidades, entonces, sus valores deben ser divididos por
el valor apropiado de "g" para hacerlos dimensionalmente correctos.
lb.ft², lb.in², oz.in²
Calculando el momento de Inercia
El Momento de inercia (a veces llamado el segundo momento), de
una masa puntual, alrededor de un eje es:
I = Mr² donde:
I = MOI (slug ft² u otras unidades de masa longitud)
M = masa del elemento (slug u otra unidad de masa)
r = distancia de la masa puntual al eje de referencia.
Para varias masas puntuales o una masa distribuida, la definición general
es:
I = ∫r 2
Fórmula básica - Radio de giro
El momento de inercia de cualquier objeto, puede ser expresado
por la fórmula:
I = M k² donde:
I = momento de inercia
M = masa (slug u otra unidad de masa dimensionalmente correcta)
k = longitud (radio de giro) (ft)
La distancia (k) se llama radio de giro y se refiere a la distribución
de masas.
Como primer ejemplo, considérese un cuerpo consistente en dos
masas puntuales de masa M / 2, separadas una distancia de 2 r. El eje de
referencia pasa a través del punto medio (CG). Las masas tienen cada
una un momento de Inercia de M r² / 2. Su momento de Inercia
combinado es M r². El segundo ejemplo muestra un tubo fino de radio r. Por simetría, el centro de gravedad cae sobre
el eje central. De nuevo, la masa está
localizada a una distancia r del eje de
referencia, así que el momento de Inercia es
Mr². En estos ejemplos, el radio de giro es r.
Esto nos lleva a la siguiente definición:
"El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través
del (CG), es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda
la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es
siempre medido desde el (CG)."
Teorema de los ejes paralelos
Si en el ejemplo anterior hubiésemos querido determinar el
momento de Inercia del objeto alrededor del eje Xa en lugar de alrededor
del eje X, que pasa por el (CG), entonces, el valor puede determinarse
usando el teorema de los ejes paralelos:
Ia = I + d² M.
Como; I = k² M
Entonces; Ia = M (d² + k²)
El teorema de los ejes paralelos, se usa frecuentemente al calcular el
momento de Inercia de un cohete u otro dispositivo aeroespacial. Primero
se mide o se calcula alrededor del eje que pasa por el (CG), el momentote
Inercia de cada componente del cohete, y el teorema de los ejes paralelos
se usa para determinar el momento de Inercia total del vehículo con estos
componentes montados en el lugar apropiado. El offset "d" es la distancia
del (CG) del componente a la línea central del cohete.
Medición del Momento de Inercia
Con frecuencia, la forma de un cuerpo es tan compleja que es
imposible calcular el momento de inercia. Considérese, por ejemplo, el
problema de hallar el momento de inercia de un automóvil, en torno a un eje
vertical que pase por su centro de masa. Para este tipo de problemas por lo
general resulta factible determinar el momento de inercia, observando el
comportamiento dinámico del cuerpo en respuesta a una entrada conocida.
A muchos cuerpos, por ejemplo, bielas y manivelas, se les da una
forma tal que se puede suponer que sus masas están en un solo plano. Si
se pueden pesar estos cuerpos y localizar su centro de masa, es factible
suspenderlos como un péndulo y hacerlos oscilar. Entonces se puede
calcular el momento de inercia de este tipo de cuerpos basándose en la
observación de su período o frecuencia de oscilación. Como se ilustra en la
figura 1a. la pieza se debe suspender más o menos cerca del centro de
masa; pero no en coincidencia con éste.
Por lo común no resulta necesario hacer una perforación para
suspender el cuerpo; por ejemplo, una rueda o engrane dentado se puede
suspender sobre una cuchilla en el borde.
Cuando el cuerpo de la figura 1a. se desplaza un ángulo θ , una
fuerza de gravedad mg actúa en G. Al sumar los momentos en torno a θ
da:
Mo = - mg ( rGsenθ ) - Ioθ. .
= 0
El objetivo es que el péndulo oscile describiendo sólo ángulos
pequeños, de modo que senθ se pueda sustituir por θ . Entonces la
ecuación se puede escribir:
mg.rG
θ. .
+ --------- θ = 0
I o
Esta ecuación diferencial tiene bien conocida solución
θ = C1 Sen√(mg . rGI 0 ) t +
C2 Cos√(mg . rGI 0 ) tDonde, C1 y C2 son las constantes de integración. El movimiento del
péndulo se iniciará desplazándolo un ángulo pequeño θ o y soltándolo
desde esta posición. Por ende, cuando t = 0yθ = θ0 . Sustituyendo estas
condiciones en la ecuación y su primera derivada permite evaluar las
constantes; así se encuentra C1 = 0 y C2 = θ0 . Por consiguiente,
θ =C2 Cos√(mg . rGI 0 ) t
Puesto que una función coseno se repite cada 360°, el período del
movimiento en segundos es:
T = 2 π √( I 0mg . rG )
Esta ecuación indica que se debe ajustar el peso del cuerpo para que
sea mg, se debe medir la distancia rG y luego debe suspenderse el péndulo
y hacerse oscilar de manera que se pueda observar el período T.
En la figura 1b. Se muestra como puede determinarse el momento
de inercia sin pesar el cuerpo en realidad. La inercia I se conecta a un
alambre o una varilla delgada en el centro de masa de la inercia. Se define
una rigidez a la torsión kt de la varilla o alambre como el momento de
torsión necesario para torcer la varilla en un ángulo unitario. Si la inercia de
la figura 1b. Se hace girar describiendo cualquier ángulo θ y luego se
suelta, la ecuación del movimiento se convierte en
θ. .
+k tIG. θ = 0
De igual manera como se hizo con las ecuaciones anteriores se llega
a
θ = θ0 . Cos √( k tIG ) tAsí pues, el período de oscilación es
T = 2 π √( IGk t )Por lo general se conoce la rigidez a la torsión o se puede calcular a
partir del conocimiento de las dimensiones de la varilla y su material.
Parte Experimental
1ª PARTE (MOMENTO DE INERCIA)
Procedimiento:
1. Se montó el volante en su eje horizontal, donde giró libremente.2. Se amarró la cuerda con la masa a la clavija del volante. (Borde
del volante).3. Se dejó que la masa alcanzara el suelo y se marca esta
posición en el volante y un punto fijo del banco de pruebas.
4. Se subió la masa girando el volante un número determinado de vueltas. (n1= 2 vueltas)
5. Se midió la distancia a la cual quedo la masa con respecto al suelo. (h=109cm).
6. En ese punto, se soltó el volante dejando caer la masa desde su estado de reposo
7. Se midió y se anotó el tiempo que tardó la masa en llegar al suelo. (t1)
8. Cuando llego al suelo, se midió y se registró el tiempo que tardó el volante para volver otra vez a su estado de reposo. (t2)
9. Se contó y registró el número de vueltas que da el volante mientras oscila para llegar a su estado de reposo
10.Se repitió el procedimiento tres veces y se promediaron los valores obtenidos.
11.Se midió el diámetro de la esfera sujeta al volante, y la altura h.
De la práctica se obtuvo los siguientes datos:
n1=2vueltas
h=105 cm
∅ esf=2.53cm
Medida Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3t1 3.52 seg 4.04 seg 3.72segt2 38,76 seg 37.52seg 37,32 segNº vueltas(n2) 18 18.5 19.5Tabla nº 1
A partir de estos datos promediamos lo que es t1, t2 y n2
Al promediar los valores, resulta:
t 1=(3.52+4.04+3.72 ) seg
3=3.76 seg
t 2=(38.76+37,52+37,32 ) seg
3=37,86 seg
n2=(18+18.5+19,5 ) seg
3=18,66 vueltas
Ahora determinamos el momento de inercia, se parte de la siguiente Ecu.
mgh=12mV 2+ 1
2IW 0
2
Donde V es la velocidad angular de la masa “m”, cuando alcanza el suelo y viene dado:
V=2ht1
Sustituyendo valores:
V=2 (105 cm)3.76 seg
V=55 ,85 cmseg , v=0.5585m/deg
W 0Es la velocidad angular media para que la rueda llegue al reposo, está dada por la ecuación:
W 0=2n2
t 2 (1+(n1 / t1 ))(n2/ t 2 )
Sustituyendo valores:
W 0=2× (18,66 )
(37,86 )× (1+(2/3.76 ) )(18,66/37,86 )
W 0=0,3171
Para obtener el momento de inercia con respecto al peso, se multiplica la ecuación de la energía por la gravedad g y de despeja el producto I*g=Iw
mg2h=12mV 2+ 1
2IgW 0
2
Despejando:
Ig=2(mg2h−12 mgV 2)
W 02
Se desconoce la masa m, se puede calcular a través de la densidad
d=mv
Para la esfera:
∅ esf=253mm=2,53cm
Vesf=43π r3
Vesf=43π (1,265cm )3
Vesf=8 ,4793cm3
De igual manera conociendo la densidad del acero con que está hecha la esfera podemos resolver la ecuación y buscar la masa.
Densidaddelacero=7850 kgm3
=0,00785 kgcm3
Despejando la masa:m=d . v=0,00785 kgcm3
×8 ,4793 cm3
m=0,06656 kg
Al sustituir valores:
Ig=2(mg2h−12 mgV 2)
W 02
Ig=2((0,06656 kg ) (9,81m /s2 )2 (1,09m )−1
2(0,06656 kg ) (9,81m /s2 ) (0,545m /s )2)
(0,35006 )2
Ig=113.48929 kgm5
s2
2ª PARTE (OSCILACION TORSIONAL)
Procedimiento:
1. Se montaron las crucetas al volante.
2. Se colocó la barra de sección circular entre la mordaza del
volante y un punto fijo de banco (mordaza estacionaria).
3. Se midió la longitud y diámetro de la barra.
4. Se hace oscilar el volante durante un tiempo determinado y se
cuenta el número de oscilaciones.
5. Se repitió el procedimiento tres veces y para tres longitudes
diferentes de la barra.
Se obtuvo de la práctica, los siguientes datos:
Diámetro barra= 6,8 mm= 0.68 cm
SE MIDIERON LAS OSCILACIONES DURANTE UN TIEMPO DE
10 SEG (t=10 seg)
OSCILACIONES L1= 37 cm L2= 41 cm L3= 45 cm
Nº Oscilaciones 19 18.5 18
Nº Oscilaciones 18.5 18 18
Nº Oscilaciones 17 17 17
Tabla nº 2
Promediando:
Para L1= 37 cm
N ºOscilaciones=19+18.5+183
=18.5oscilaciones
Para L2= 41 cm
N ºOscilaciones=18.5+18+183
=18 .16oscilaciones
Para L3= 45cm
N ºOscilaciones=17+17+173
=17.00oscilaciones
Quedarían los siguientes valores, a calcular las frecuencias durante
un tiempo de 10 seg:
Para L1= 37 cm
ωn=18.5oscilaciones
10 seg× 2π rad1oscilacion
=11.6239 radseg
Para L2= 41 cm
ωn=18.16oscilaciones
10 seg× 2π rad1oscilacion
=11,411 radseg
Para L3= 46 cm
ωn=17.00oscilaciones
10 seg× 2π rad1oscilacion
=10 ,6814 radseg
Para el cálculo del período, se puede utilizar la siguiente ecuación.
τ=2πωn
Para L1= 36cm
τ=2πωn
= 2π
11.6239 radseg
=0.54054 seg
Para L2= 41 cm
τ=2πωn
= 2π
11,411 radseg
=0,5506 seg
Para L3= 46 cm
τ=2πωn
= 2π
10,6814 radseg
=0.5769 seg
Ordenando los valores en la siguiente tabla:
Longitudes Frecuencias (Wn) Períodos (τ ) Período al
cuadrado(τ 2)
L1= 37 cm 11.6239 radseg
0.54054 seg 0.2676 seg2
L2= 41 cm 11,411 radseg
0,5506 seg 0,3086 seg2
L3= 45 cm 10,6814 radseg
0.5769 seg 0,3328 seg2
Tabla nº 3
36 41 460
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
(τ^2 vs L)
(τ^2 vs L)
longitud L(m)
Perío
do a
lcua
drad
o τ^
2(se
g^2)
Velocidad angular del volante, Wo:
Wo=0,35006 vueltasseg
· 2πrad1 vuelta
=2.1995 radseg
Wo=2.1995 radseg
Para calcular la inercia “Iw” se tiene que multiplicar por g en la ecuación
de energía y luego despejar de esta:
m· g ·h=12m·V 2+ 1
2I ·Wo2multiplicandoporgqueda :
m· g2 ·h=12m· g ·V 2+ 1
2I · g·Wo2
Donde I·g = Iw
m· g2 ·h=12m· g ·V 2+ 1
2Iw ·Wo
2
Despejando Iw se tiene que:
Iw=2·(m·g2 · h−1
2·m· g ·V 2)
Wo2
Iw=2·(0,064223 kgm·96,2361 m
2
seg4·1,09m−1
2·0,064223 kgm·9,81 m
seg2·0.297 m2
seg2)
4.8378 rad2
seg2
Iw=2 .746N ·m2
Periodo teórico
Usaremos la ecuación
T=2π ·√ Iw · LG ·J · g
Donde las variables G, Iw, g ya se conocen. La J se calculara ahora y la
L variara para varios resultados de T.
J= π32· d4= π
32·¿
J=1.647 ·10−10m4
G = 7,938 ·1010 N/m2
g = 9,81m/seg2
Iw =2 .746N ·m2
para L1 = 0,36m
T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,36m
7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m
seg2
T=0 ,5516 seg
Para L2 = 0,41m
T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,41m
7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m
seg2
T=0 ,5889 seg
para L3 = 0,46m
T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,46m
7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m
seg2
T=0 ,6235 seg
Longitud (L) Períodosteórico (τ ) Períodoteórico al
cuadrado(τ 2)
36cm 0,5516 seg 0.3043seg2
41cm 0,5889 seg 0.3468seg2
46cm 0,6235 seg 0.3887seg2
0.36 0.41 0.460
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L
Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L
longitud L(m)
Perío
do te
orico
al c
uadr
ado
τ^2(
seg^
2)
Conclusión
Se concluye en la manera que los periodos de vibración “T” eran
directamente proporcionales a la longitud “L” para el caso de periodo
teórico. A medida que se aumentaba “L” iba a aumentar lógicamente el
periodo “T”. Esto en otras palabras quiere decir que si la longitud “L”
aumenta, “T” aumentaba porque la frecuencia de vibración es menor.
Como se demostrara a detalle en la parte experimental.
Para el caso experimental este (el periodo “T”) es inversamente
proporcional a la frecuencia de vibración según la ecuación
Sustituir esta “T” en la ecuación de frecuencia da que:
Donde si se aumenta “L” la frecuencia disminuirá. Y si disminuye la
frecuencia aumentara el periodo de vibración como es el caso para del
periodo teórico.
Bibliografía
Teoría de vibraciones aplicaciones William Thomson Editorial:
Prince Hall
http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_mecanica/
vibracionesmecanicas/
http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/
vibraciones-mecanicas.shtml