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PRACTICAS SOBRE LA MODELIZACIÓN DE SERIES TEMPORALES
MENSUALES
CON LA METODOLOGÍA DE BOX-JENKINS
Preparado por Dolores García Martos
FICO GR 21
Guía para seleccionar el orden de un proceso autorregresivo AR
•Datos anuales
Se estima modelos autorregresivos de orden 1 a 4: AR(1), AR(2), AR(3), AR(4) y se
selecciona el modelo con un menor AIC (criterio de información de Akaike)
•Datos trimestrales
Estimar modelos autorregresivos de orden 1 a 8: AR(1)……..AR(8) y seleccionar el
modelo con un menor (criterio de información de Akaike)
•Datos mensuales
Si se siguiera el mismo esquema que con los datos mensuales y trimestrales el problema
que se presenta es que 12 coeficientes son demasiados como para entrar en el modelo
sin poner restricciones.
Hay una alternativa que se denominan modelos de retardos largos parsimoniosos:
Parsimonious Long Lags (PLL). Es una extensión de la propuesta hecha por Müelbauer y
Aaron (2011) y es diseñado para considerar un largo número de retardos de forma
restringida
PARSIMONIUOS LONG LAGS
Supongamos que wt = Δ xt, es decir la transformación estacionaria.
• Las restricciones en los retardos son obtenidas haciendo uso del hecho:
Δm =(1-Lm )= (1-L) (1+L +L 2+ L3+…..+ Lm-1)=
• El modelo restringido será:
wt = φ1 wt-1 +φ2 wt-2 +φ3 wt-3 +φ4 Δ3 xt-4 +φ7 Δ5 xt-7+ φ12 wt-12 + φ13 Δ12 xt-13 + at
Es decir, estamos restringiendo a que sean iguales los coeficientes de los retardos
siguientes, por grupos:
-w t-4,w t-5,w t-6
-w t-7,w t-8,w t-9 ,w t-10,w t-11
-w t-13,w t-14,…………..,w t-24
Téngase en cuenta que :
Δ3 xt-4 =(1-L3 ) xt-4 = (1-L) (1+L +L 2) xt-4 = (1-L) (xt-4 +xt-5 +xt-6)=
= wt-4 +wt-5 +wt-6 Y así con el resto…
PARSIMONIUOS LONG LAGS
Si la serie tuviera una raíz unitaria en la parte estacional, el procedimiento
sería el mismo, pero ahora la transformación estacionaria sería:
wt = Δ Δ12 xt = Δ Yt
Los modelos que hay que estimar parten desde el modelo más completo y se
van eliminando retardos. Se elige el modelo que menor Criterio de Información
de Akaike (AIC) tenga.
•Los principales modelos son los que incorporan los retardos: 1,2,3 y 12
TEST DE OCSB
(Osborn,Chu,Smith,Birchenhall,1988)
Cuando se trata de series mensuales o trimestrales, para contrastar la existencia de
raíces unitarias, ya sea en la parte regular o/y en la parte estacional, se utiliza el Test
de OCSB.
Este test se realiza a partir de la siguiente regresión, en la que las variables Dt son
variables dummy estacionales. Recogen un comportamiento estacional determinístico.
Como en el test de Dickey-Fuller, se regresa sobre retardos de la variable, debido a
que para hacer los contrastes, la variable residual tiene que tener estructura de ruido
blanco. El orden será aquel que presente un menor valor del criterio de Akaike (AIC)
Si la serie es trimestral en vez de mensual, la expresión anterior cambiaría el 12 por 4
TEST DE OCSB
Al igual que con el test de Dickey-Fuller, los estadísticos no siguen una distribución estándar. Se
adjuntan los valores críticos para distintos niveles de error.
Se recomienda calcular el AIC para un total de 14 modelos diferentes, con p=0 hasta p=14,
manteniendo siempre el retardo 12.
RESULTADOS DEL CONTRASTE
1.- Si se contrasta la hipótesis conjunta de la presencia de raíz regular y estacional (H0) de que
β1=β2=0 , hay que utilizar una distribución F de Snedecor, pero no de una forma estándar. Por lo
tanto, si el valor de la F es menor que el valor crítico se acepta la Hipótesis Nula, de acuerdo con
la tabla de valores críticos, entonces implica que hay una raíz unitaria en la parte regular y otra en
la parte estacional. En caso contrario hay que contrastar los siguientes puntos.
2.- Para contrastar que β1=0 y β2<0 se utiliza el estadístico “t” de las tablas. Si se acepta la
hipótesis nula es que existe una raíz unitaria regular.
3.- Para contrastar que β1<0 y β2=0 se utiliza el estadístico “t” de las tablas. Si se acepta la
hipótesis nula es que existe una raíz unitaria estacional
Valor de α β1=0 β2=0 β1=0 β2=0
0,5% -2.10 -5.67 18.34
0,1% -2.78 -6.37 22.93
Dist t Dist t Dist F
Metodología Box-Jenkins
La construcción de modelos consta de tres pasos:
1.- Identificación inicial
2.- Estimación
3.- Validación
Procedimiento para la estimación de
datos mensuales y trimestrales
• Aplicar logaritmos
• Obtener la transformación estacionaria.
Análisis de gráficos y correlogramas
Utilizar el test de OCSB
• Estimar los modelos AR
• Para simplificar, empezaremos por el siguiente modelo AR:
wt = φ1 wt-1 +φ2 wt-2 +φ3 wt-3 + φ12 wt-12 + a t
Donde wt es la transformación estacionaria
• Se estimarán los siguientes modelos:
AR(1,2,3,12)
AR(1,2,3)
AR(1,2,12)
AR(1,2)
AR(1,12)
AR(1)
AR(12)
• Se elige el modelo con menor AIC
Modelización serie mensual
Serie: Índice de producción industrial
Fuente: Ministerio de Economía y Hacienda
Periodicidad: Mensual
Periodo: Enero 1981/Diciembre 2010
Fichero:ipibj.wf1 (contiene todas las instrucciones)
Identificación
• La clase general de modelos de la metodología Box-Jenkings es la familia de
modelos ARIMA con elementos determinísticos (constante, tendencia
determinística, estacionalidad determinística, efecto semana santa, efecto
días laborables, atípicos, etc)
• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros
que capturan distintos rasgos de los datos
• El primer paso es determinar si el modelo se debe formular con los datos
originales o con series transformadas. En todo caso, deben recoger:
Evolutividad en varianza
Evolutividad de la tendencia
Evolutividad estacional
• El modelo incorporará (si son significativos):
Diferencias regulares
Diferencia estacional
Constante
Factores determinísticos
Identificación (gráficos)
• En general, se trabaja con la transformación logarítmica de la serie original:
Homogeneización de la varianza. Estacionariedad en varianza.
Relación con las tasas de crecimiento
Por tanto, procederemos a trabajar con las series en logaritmos
• La serie de logaritmos (sin diferenciar) presenta una clara tendencia alcista por lo que no hay
una media constante. Por ello, la serie no es estacionaria.
Además presenta un comportamiento estacional muy marcado, con lo que la media por meses
es diferente. Es decir, no hay estacionariedad en la parte estacional.
• El gráfico de la primera diferencia regular refleja que se ha alcanzado estacionariedad en
media, al oscilar todos los valores en torno a un valor constante. No obstante, en la parte
estacional se sigue observando que no hay estacionariedad.
• El gráfico de la diferencia estacional muestra que se ha alcanzado estacionariedad en la parte
estacional, pero no en la parte regular, debido a que no se observa una constancia en la media
a lo largo de la muestra.
El tomar una diferencia estacional implica una diferencia regular, por lo que podría haber
series que al diferenciar estacionalmente no necesiten de una diferencia regular. Para ver
este punto se utiliza el test de OCSB.
Ello se explica porque la diferencia estacional lleva implícita una diferencia regular.
• El gráfico de la primera diferencia regular y la primera diferencia estacional refleja que se ha
conseguido estacionariedad tanto en la parte regular como estacional. Los valores oscilan en
torno a un valor constante y la diferencia de medias mensuales también se ha eliminado.
Identificación (gráficos)
La serie original no muestra
homogeneidad en varianza:
aumenta con el nivel de la serie
Con la transformación logarítmica
se consigue una varianza más
homogénea.
Identificación (gráficos)
LIPI D1LIPI
D12LIPI D112LIPI
Identificación (correlogramas)
• La serie de logaritmos (sin diferenciar) presenta un correlograma con mucha
estructura y sin corte. Las correlaciones muestrales no se anulan para retardos
elevados. Esta pauta de comportamiento es típica de series no estacionarias.
• Primera diferencia regular: se observa que hay corte en los primeros retardos,
siendo las correlaciones superiores a la de orden dos no significativamente
distintas de cero, en general,salvo las correspondientes a los retardos
estacionales.
En los retardos estacionales se observa que tanto la correlación de orden 12, 24
y 36 alcanzan valores significativos y prácticamente iguales, no se anulan. Esto
es significativo de que no hay estacionariedad en la parte estacional
• Primera diferencia estacional: las correlaciones de la parte regular se atenúan
muy moderadamente, pudiendo ser señal de que no hay estacionariedad en la
parte regular. Por su parte, en la parte estacional (retardos 12,24 y 36) se
observa que las correlaciones decaen significativamente.
• Primera diferencia regular y estacional. Se observa que hay un punto de corte en
la parte regular ( sólo la correlación de orden 1 es significativamente distinta de
cero) y en la parte estacional ( sólo las correlaciones de orden 12 y 24 son
significativamente distintas de cero).
Antes de tomar la decisión de qué diferencias hay que aplicar se realiza el test de
OCSB
Identificación (correlogramas)
Lipi D1Lipi
Identificación (correlogramas)
D12Lipi D112Lipi
Identificación (test de OCSB)
d112lipi=c(1)*d1+c(2)*d2+c(3)*d3+c(4)*d4+c(5)*d5+c(6)*d6+c(7)*d7+c(8)*d8+c(9)*d
9+c(10)*d10+c(11)*d11+c(12)*d12+
c(13)*d(lipi(-1),12)+c(14)*d(lipi(-12),1)
+c(15)*d112lipi(-1)+c(16)*d112lipi(-2)+c(17)*d112lipi(-3)+c(18)*d112lipi(-4)
+c(19)*d112lipi(-5)+c(20)*d112lipi(-6)+c(21)*d112lipi(-7)+c(22)*d112lipi(-8)
+c(23)*d112lipi(-9)+c(24)*d112lipi(-10)+c(26)*d112lipi(-12)+c(27)*d112lipi(-13)
+c(28)*d112lipi(-14)
Dif regular y
estacional del
logaritmo del IPI
Estacionalidad
determinística
Dif estacional del
logaritmo del IPI
retardado un
periodo
Dif regular del
logaritmo del IPI
retardado doce
periodos
Retardos de la
variable transformada
Al ser una serie mensual, se
empezarían por estimar hasta el retardo
14, posteriormente se irían quitando
retardos y se elegiría el modelo con el
menor valor del criterio de Akaike. En
este caso se ha eliminado el retardo 10
Modelo a estimar
Identificación (test de OCSB)
Los coeficientes que hay que
contrastar son: c(13)=Beta1 y
c(14)=Beta2
Identificación (test de OCSB)
Para realizar el contraste, en eviews se pone:
Opción VIEW—COEFFICIENT TESTS—WALD COEFFICIENT RESTRICTIONS
Identificación (test de OCSB)
El valor de la F es igual a 12.55 que es menor que el valor crítico
al 5%(18.3). Por tanto, se acepta la hipótesis nula de que Beta1 y
Beta2 son iguales a cero y hay que tomar una diferencia regular y
otra estacional
Estimación
AR(1,2,3)AR(1,2,3,12)
Estimación
AR(1,2,12) AR(1,2)
Estimación
AR(1,12) AR(1)
Estimación
AR(12)
Estimación
Modelo AIC C Schwarz Log-likehood
AR(1,2,3,12) -3.419 -3.374 576.74
AR(1,2,3) -3.414 -3.380 590.21
AR(1,2,12) -3.425 -3.391 576.74
AR((1,2) -3.422 -3.400 592.38
AR(1,12) -3.155 -3.132 530.38
AR(1) -3.172 -3.161 549.79
AR(12) -2.760 -2.748 463.23
Nos quedamos con el modelo AR(1,2,12). Alternativos a estos serían
aquellos que incluyeran los retardos intermedios entre 3 y 12, y los
retardos posteriores a 12 (ver hoja 2)
Validación
La serie residual presenta un comportamiento aleatorio sin estructura,
coherente con un proceso ruido blanco. Antes de llegar a una conclusión hay
que mirar el correlograma
Atípicos
Validación
El correlograma muestra que las correlaciones estacionales siguen siendo
significativas. El modelo debe ser ampliado para incluir este aspecto
• wt = φ1 wt-1 +φ2 wt-2 +φ3 wt-3 +φ4 Δ3 xt-4 +φ7 Δ5 xt-7+ φ12 wt-12 + φ13 Δ12 xt-13 + at
• Modelos estocásticos más complejos
•Inclusión de variables dummys determinísticas (efecto Semana Santa, días
laborables, atípicos
Correlograma de los residuos
Nota: Algunas correlaciones
significativas pueden ser
consecuencia de valores
anómalos/atípicos que disten
entre si un número igual al de
dichas correlaciones
ANEXO
Validación
Con este modelo, se observa que el correlograma
presenta un comportamiento más próximo a un ruido
blanco. No obstante, habría que seguir analizando el
modelo e incluir dummys (efecto semana santa, días
laborables, valores atípicos)
