Praktikum Za 2012-2013 - FMM

UN

I VE

RS I TA S S T U D I O R U M

ZEN

I CA

EN

SIS

UN

IVE R

Z I T E T U Z ENICI

UNIVERZITET U ZENICI FAKULTET ZA METALURGIJU I MATERIJALE

Prof.dr.sc. Suada Biki, dipl.fiziar mr.sc. Dijana Dujak, dipl.fiziar

PRAKTIKUM iz

FIZIKE sa radnom sveskom

Zenica 2011.

Autori: Prof. dr.sc. Suada Biki, dipl. fiziar mr.sc. Dijana Dujak, dipl. fiziar Naslov: Praktikum iz fizike sa random sveskom Izdava: Univerzitet u Zenici Fakultet za metalurgiju i materijale Prof.dr.sc. Sulejman Muhamedagi Recenzenti: Prof.dr.sc. Rajfa Musemi-Karabeg, dipl.fiziar, redovni profesor Mainskog fakulteta, Univerziteta u Sarajevu Prof.dr.sc. Izet Gazdi, dipl.fiziar, vanredni profesor Prirodno- matematikog fakulteta, Univerziteta u Tuzli Lektor: Lejla Biki-urukovi, prof. Grafika obrada i DTP: Prof.dr.sc. Suada Biki, dipl. fiziar mr.sc. Dijana Dujak, dipl. fiziar tampa: PRINT Tira: 200 komada, 2011. godina ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CIP-Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 53(075.8)(076) BIKI,Suada Praktikum iz fizike sa radnom sveskom/Suada Biki, Dijana Dujak.-Zenica:Fakultet za metalurgiju i materijale, 2011.-VI, 117 str.: Bibliografija: str. 117. ISBN 978-9958-785-23-8 1.Dujak, Dijana COBISS.BH-ID 19114246 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Nauno-nastavno vijee Fakulteta za metalurgiju i materijale odobrilo je izradu ovog udbenika Odlukom broj 02-200-501-1056/08. od 12.12.2008. godine, a Senat Univerziteta u Zenici Odlukom broj 01-108-313-3342/11. od 26.10.2011. godine odobrio je tampanje rukopisa kao univerzitetskog udbenika.

Predgovor Savremena nastava fizike ne moe se zamisliti bez samostalnog rada studenata u Laboratoriji za fiziku. Putem praktinih eksperimentalnih vjebi studenti se upoznaju sa fizikalnim metodama mjerenja i odreivanja razliitih fizikalnih veliina, metodama ispitivanja prirodnih pojava i najzad metodom naunog razmiljanja i zakljuivanja. Radi toga, je cilj laboratorijskih, tj. eksperimentalnih vjebi iz fizike, viestruk. Kroz rad u Laboratoriji za fiziku studenti treba da se naue preciznosti u izvoenju eksperimenta, da razviju spretnost i umjenost u koritenju instrumenata, aparata i laboratorijskog pribora, da razviju osjeaj kontrole i sposobnost procjenjivanja rezultata mjerenja. Dalje, kroz rad u Laboratoriji studenti se ue strpljenju pri izvoenju eksperimenata, razvijaju sposobnost posmatranja i uoavanja funkcionalnih veza izmeu promjenljivih veliina, koje su obuhvaene nekom pojavom i najzad, kroz osnovna fizikalna mjerenja stiu predstavu o naunom pristupu ispitivanja neke pojave ili verificiranju nekog fizikalnog zakona. Obrada rezultata mjerenja izvrenih na eksperimentalnim vjebama ima za cilj da kod studenta razvije sposobnosti primjene teorijski steenih znanja za rjeavanje razliitih problema, zatim da razvija logino miljenje i ovladavanje metodama prorauna i primjene matematike. Stie se iskustvo u primjeni tabela, grafikog predstavljanja rezultata, ispravnom koritenju sistema mjernih jedinica i dimenzionalne analize. Ako se ovome doda da je za pripremu laboratorijskih vjebi student upuen na koritenje literature, onda se cilj laboratorijskih vjebi ne iscrpljuje samo u tome da student pedantno uradi laboratorijsku vjebu i doe do rezultata mjerenja, nego i da ono to je uradio razumije. Na osnovu svega toga se moe sagledati koliko je dalekosean efekat studioznog prilaza laboratorijskim vjebama u strunom formiranju buduih inenjera. Napomena: Na narednoj stranici, nalaze se naini bodovanja, polaganja i ocjenjivanja znanja studenta iz predmeta: Fizika I i Fizika II , u skladu sa Bolonjskim procesom. AUTORI

UNIVERZITET U ZENICI FAKULTET Z A METALURGIJU I MATERIJALE

Naini bodovanja, polaganja i ocjenjivanja znanja studenta iz predmeta Fizika I i Fizika II

2

UN

I VE


ZEN

I CA

EN

SIS

UN

IVER

Z I T E T U ZENICI

Ukupan broj ocjenskih bodova (OB) koji moe ostvariti student iz predmeta Fizika I i Fizika II je 100. Da bi ocjenski bodovi bili aktivni student mora polagati zavrni ispit bez obzira na broj ostvarenih bodova. Ocjenski bodovi su rasporeeni na sljedei nain:

1. 12 OB nose zadae (ukupno 3 zadae po dva zadatka; svaki zadatak 2 OB) 2. 12 OB nose laboratorijske vjebe.

Ostalih 76 OB student moe ostvariti putem eliminatornih testova i zavrnog ispita ili integralnog eliminatornog dijela ispita i zavrnog ispita i to:

1. 20 OB na prvom eliminatornom testu 2. 20 OB na drugom eliminatornom testu i 3. 36 OB zavrni ispit

ili 1. 40 OB na eliminatornom dijelu ispita i 2. 36 OB zavrni ispit. 3.

Ocjene zavise od broja ostvarenih ocjenskih bodova na sljedei nain:

broj OB ocjena ocjena po ECTS-u 55 64 6 E 65 74 7 D 75 84 8 C 85 94 9 B

95 100 10 A Napomena:

- Student mora na laboratorijskim vjebama ostvariti minimalno 6 OB. - Student mora ostvariti najmanje 10 OB na eliminatornom dijelu prvog testa da bi mu

se bodovi priznali. Drugi eliminatorni test boduje se na isti nain kao i prvi. - Ukoliko student ne uspije ostvariti minimalan bodova na jednom od testova

nepoloeni test polae u prvom regularnom ispitnom terminu. Ako student ni tada ne poloi preostali test, ispit na svim ostalim terminima polae integralno.

- Student koji ne uspije poloiti nijedan eliminatorni test polae integralni eliminatorni dio ispita na kojem treba ostvariti minimalno 20 OB.

- Nakon poloenih eliminatornih testova, ili integralnog eliminatornog dijela ispita student mora polagati (pismeno) zavrni ispit na kojem mora tano odgovoriti najmanje na 60% postavljenih pitanja da bi do tada ostvareni OB-ovi bili aktivni.

- Ukoliko ne bude minimalno prisutan na 80% predavanja i vjebi (odsutan maksimalno 9 asova sa predavanja, 6 asova sa raunskih vjebi) u toku semestra ne moe dobiti potpis u index iz navedenih predmeta, a samim tim ne moe polagati ni zavrni ispit.

- Prvu zadau studenti dobijaju nakon 4 sedmica nastave, drugu zadau nakon 8 sedmica nastave, a treu zadau nakon 12 sedmica nastave. Zadae se predaju

UNIVERZITET U ZENICI FAKULTET Z A METALURGIJU I MATERIJALE

Naini bodovanja, polaganja i ocjenjivanja znanja studenta iz predmeta Fizika I i Fizika II

3

UN

I VE


ZEN

I CA

EN

SIS

UN

IVER

Z I T E T U ZENICI

na sljedei nai: prva u 5-oj sedmici nastave, druga u 9-oj sedmici nastave i trea u 13-oj sedmici nastave.

- Predmetni asistent e kontrolisati da li su zadae samostalno uraene na taj nain to e student usmeno objasniti kako je rijeio dobijene zadatke. Ukoliko student ne bude znao valjano objasniti uraeni zadatak, smatrat e se da zadaa nije samostalno uraena i taj student gubi sve do tada ostvarene bodove iz prethodnih zadaa.

- I test e biti nakon osme sedmice nastave, a II test nakon etrnaeste sedmice nastave.

- Zavrni ispit se polae u regularnim ispitnim rokovima, januarsko-februarskom, junsko-julskom i septembarskom roku.

Zenica, oktobar 2012. godine Predmetni nastavnik: Prof.dr.sc. Suada Biki

Praktikum iz fizike sa radnom sveskom

4

SADRAJ

1. UVOD .......................................................................................................................................... 6

1.1. Obaveze studenata i pravila rada u Laboratoriji ................................................................... 62. GREKE PRI MJERENJU .......................................................................................................... 7

2.1. Opi pojmovi o mjerenju ...................................................................................................... 72.2. Greke mjerenja .................................................................................................................... 72.3. Utjecaj pojedinih mjerenja na tanost konanog rezultata ................................................... 92.4. Greke direktnih mjerenja ..................................................................................................... 92.5. Greke indirektnih mjerenja ................................................................................................ 11

3. ZADACI ZA VJEBU .............................................................................................................. 15PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 18

4. I VJEBA Mjerenje duine .................................................................................................... 214.1. Mjerenje duine pomou linijara sa noniusom (pominim mjerilom)................................ 214.2. Mjerenje duine pomou mikrometarskog zavrtnja ........................................................... 23PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 24PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 25

5. II VJEBA Hookov (Hukov) zakon ....................................................................................... 295.1. Elastine deformacije, Hookov (Hukov) zakon .................................................................. 29PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 32PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 33

6. III VJEBA Matematiko i torziono klatno ........................................................................... 346.1. Matematiko klatno ............................................................................................................ 346.2. Odreivanje torzione konstante i modula torzije ice pomou torzionog klatna ................ 35PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 38PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 39

7. IV VJEBA Gustoa tenosti i vrstih tijela .......................................................................... 417.1. Piknometar .......................................................................................................................... 417.2. Tenosti (koje se ne mijeaju) u spojenim sudovima ......................................................... 427.3. Hidrometar .......................................................................................................................... 437.4. Arhimedov (Arhimedesov) zakon....................................................................................... 447.5. Hidrostatika vaga .............................................................................................................. 447.6. Mohrova (Morova) vaga ..................................................................................................... 45PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 47PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 48

8. V VJEBA Povrinski napon ................................................................................................. 518.1. Kapilarne pojave ................................................................................................................ 51PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 54PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 55

9. VI VJEBA Adijabatska konstanta ......................................................................................... 579.1. Adijabatska konstanta ......................................................................................................... 57PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 59PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 60


5

10. VII VJEBA Izo procesi ................................................................................................... 6110.1. Izo - procesi ...................................................................................................................... 6110.2. Izotermalni proces ............................................................................................................ 6110.3. Izohorni proces ................................................................................................................. 63PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 65PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 66

11. VIII VJEBA Kalorimetrija ................................................................................................. 6811.1. Toplotni kapacitet kalorimetra .......................................................................................... 6811.2. Specifina toplota vrstih tijela ........................................................................................ 69PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 70PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 71

12. IX VJEBA Ohmov (Omov) zakon ..................................................................................... 7312.1. Omov zakon i vezivanje otpornika ................................................................................... 7312.2. Voltmetar, ampermetar i reostat ....................................................................................... 7412.3. Provjeravanje Omovog zakona u kolu .............................................................................. 75PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 78PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 79

13. X VJEBA Elektrometar i Vitstonov (Wheatstone) most .................................................. 8213.1. Elektrometar ..................................................................................................................... 8213.2. Kirhofova (Kirchhoff) pravila i Vitstonov (Wheatstone) most ....................................... 83PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 85PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 86

14. XI VJEBA Odreivanje brzine zvuka ............................................................................... 8914.1. Mehaniki talasi ................................................................................................................ 89PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ....................................................................................... 94PRAKTIAN RAD ................................................................................................................... 95

15. XII VJEBA Trioda ............................................................................................................. 9815.1. Termoelektronska emisija ................................................................................................. 9815.2. Dioda ................................................................................................................................ 9815.3. Trioda ................................................................................................................................ 9915.4. Snimanje karakteristika triode ........................................................................................ 10015.5. Karakteristini parametri triode ...................................................................................... 101PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ..................................................................................... 104PRAKTIAN RAD ................................................................................................................. 105

16. XII B VJEBA Difrakcija svjetlosti................................................................................... 10616.1. Difrakcija na jednoj pukotini .......................................................................................... 10616.2. Difrakciona reetka ......................................................................................................... 111PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA ..................................................................................... 113PRAKTIAN RAD ................................................................................................................. 114

Napomene / Nadoknade ............................................................................................................... 116LITERATURA ............................................................................................................................ 117


6

1. UVOD

Eksperimentalne vjebe iz fizike izvode se u Laboratoriji za fiziku na Fakultetu za metalurgiju i materijale u Zenici.

1.1. Obaveze studenata i pravila rada u Laboratoriji

Pohaanje predavanja i vjebi je obavezno. U protivnom ne moe se dobiti ovjera za uredno pohaanje vjebi i predavanja.

Rad u Laboratoriji se obavlja po grupama. Raspored studenata po odreenoj vjebi odreuje unaprijed nastavnik ili asistent koji rukovodi vjebama.

Vjebe rade studenti samostalno pod nadzorom nastavnika ili asistenta. Student je obavezan da na asove laboratorijskih vjebi donese praktikum, grafitnu

olovku, gumicu, kalkulator, milimetarski papir i pribor za crtanje (po potrebi). Student je duan da na poetku izrade vjebe provjeri da li je aparatura kompletna. Ako

neto nedostaje treba da se obrati laborantu (ili nastavniku, odnosno asistentu). Na vjebe student je duan da doe sa prostudiranim neophodnim teorijskim osnovama za

laboratorijsku vjebu koju e raditi. U ovu pripremu spada i obavezno pismeno odgovaranje na pitanja u okviru svake pojedine vjebe (kolikviranje) koje se boduje po utvrenom pravilu.

Ukoliko student ne kolokvira vjebu, ne moe nastaviti praktini dio vjebe. Student moe nadoknaditi samo jednu vjebu koju je propustio (iz bilo kojih razloga) ili dio vjebe koji nije stigao uraditi, ali samo u terminu koji je predvien za nadoknade.

Cjelokupni rad na vjebama unosi se u Praktikum iz fizike sa radnom sveskom. Svaki zadatak u vjebi nosi odreeni broj poena, koji zavisi od preciznosti mjerenja, tanosti prorauna i urednosti. Maksimalan broj poena za pojedini zadatak/vjebu je napisan u Praktinom dijelu te vjebe.

Pri ovjeravanju vjebe student je duan da brani sve stavove iz izraene vjebe na zahtjev asistenta/nastavnika. Ovjeravanje vjebe vri se bilo na asu na kome je zadatak uraen ili u za to predvienim terminima.

Svaka vjeba nosi odreeni broj Ocjenskih bodova, koji se na osnovu ostvarenih poena izraunavaju po utvrenom pravilu.

Student je duan da briljivo uva instrumente i aparature koje su mu povjerene. Prilikom rada sa osjetljivim instrumentima student prije ukljuivanja treba da pozove asistenta radi kontrole i izbjegavanja mogunosti tete nastale neispravnim postupkom. Za sve tete nastale uslijed neznanja ili nepanje, student je moralno i materijalno odgovoran i snosi cio iznos tete. Visinu cijene koju student treba da plati odreuje asistent. Student mora svaku priinjenu tetu da prijavi laborantu (asistentu ili nastavniku). Napravljenu tetu student e platiti u punom iznosu. Ukoliko se ne nae student koji je tetu priinio, tetu nadoknauje grupa koja je tu vjebu radila ili cjelokupna grupa u laboratoriji.

Nakon zavrene vjebe student ili grupa studenata je duna da aparaturu dovede u stanje u kome ju je primio ili primila i da je preda laborantu (asistentu ili nastavniku ).


7

2. GREKE PRI MJERENJU

2.1. Opi pojmovi o mjerenju

Izmjeriti neku veliinu znai uporediti je sa istovrsnom veliinom koja je odabrana za mjernu jedinicu.

AnX mjerena veliina brojna vrijednost mjerene veliine jedinica mjere Takoer, se moe rei da izmjeriti neku veliinu u fizici znai odrediti brojni odnos posmatrane veliine i usvojene jedinice za tu veliinu. Dakle, rezultat mjerenja se izraava jednim brojem i odgovarajuom jedinicom. Meutim, u fizici, postoje neki koeficijenti i konstante, koje su odreene samo brojnom vrijednou. Pojam brojne vrijednosti u fizici se razlikuje od pojma brojne vrijednosti u matematici. Dok broj u matematici predstavlja samo jednu vrijednost, dotle u fizici rezultat mjerenja se nalazi u odreenom intervalu. Mjerenje je tanije ukoliko je taj interval ui. Radi nesavrenosti instrumenta, kojim se mjerenje vri, taj interval ne moe biti beskonano mali. Idealizirani pojam stvarne ili tane vrijednosti je nastao uz pretpostavku da imamo savren instrument za mjerenje neke veliine kojim postiemo da taj interval bude beskonano mali. Obino se smatra da tana vrijednost lei negdje unutar opisanog intervala, a mjerene vrijednosti odstupaju manje ili vie od nje. Ovo odstupanje mjerene vrijednosti neke veliine od tane se naziva grekom. 2.2. Greke mjerenja

Mjerenja, iz raznih razloga, se ne mogu sprovesti sa idealnom tanou. Radi sloenosti pojava u prirodi jedan broj faktora, od kojih ovisi tanost mjerenja, moe se ustanoviti, ali veliki broj ovakvih faktora ne moemo saznati. Radi toga, kao to je reeno, svaki rezultat mjerenja se moe nalaziti u odreenom intervalu. Pri tome se uvijek trudimo da taj interval bude to manji, odnosno kaemo, da mjerenje bude to tanije.

Pretpostavimo da pri mjerenju postoji idealna vrijednost mjerene veliine. Pri mjerenju inimo veu ili manju greku. Dakle, odstupanje rezultata mjerenja od idealne vrijednosti naziva se greka mjerenja. U mnogo sluajeva uzrok ovih odstupanja ne moemo ustanoviti, niti pak predvidjeti koliko e ih biti pri bilo kojem mjerenju. Zavisno od uzroka nastanka, greke se dijele na: Grube (promaaji) pogreno mjerenje, nemarno oitavanje, nepravilno ukljuen instrument, loe zapisivanje itd. Sistematske javljaju se zbog uzroka koji je ve unaprijed poznat (npr. podjela na skali nije jednaka; kazaljka nije na nuli...) Sluajne javljaju se zbog uzroka, koji nije unaprijed poznat (npr. nesavrenost ureaja, promjena temperature okoline...)


8

Grube greke

U ovu vrstu greaka spadaju omake koje se ine pri oitavanju rezultata npr. umjesto 26 se proita 62 ili 38 umjesto 88 itd. Gruba greka nastaje ako se pogreno upotrebljava instrument i uope sve greke koje nastaju nepanjom i neobazrivou lica koje mjeri. Ove greke su uglavnom vema velike (grube) po emu se mogu i uoiti, pa lake i otkloniti. One mogu biti i znatno manje, ali pri neto veoj panji lica, koje mjeri, one se mogu potpuno otkloniti. Sistematske greke Utjecaji koji dovode do ovakvih greaka su veoma raznovrsni, te se ne mogu postaviti neka uopena pravila za njihovo upoznavanje i otklanjanje. Moemo samo nabrojati neke karakteristine primjere, kod kojih nastaju sistematske greke, a to su : -netano badarenje instrumenta ili upotreba netanog standard, -nepravilna upotreba instrumenta, -promjena karakteristika instrumenta uslijed starenja ili drugih uzroka, -oteenje mjernog instrumenta uslijed preoptereenja, potresa i dr., -zanemarivanje nekih faktora, koji utjeu na vrijednost mjerene veliine (temperatura, atmosferski pritisak, vlanost zraka i dr. ), -zanemarivanje Zemljinog magnetnog polja ili polja okolnih ureaja ili objekata, -zanemarivanje promjene napona mree ili elektrinog izvora. Da li e se pri mjerenju javiti sistematska greka zavisi od umjenosti i uvjebanosti lica koje mjeri. Karakteristika ovih greaka je da se one javljaju kao odstupanja samo u jednom smjeru ( npr. izmjerena veliina je uvijek manja od tane vrijednosti za istu vrijednost). Najbolji nain da se ustanovi postojanje ovih greaka je stalna kontrola instrumenata ili metoda mjerenja i njihovo uporeivanje sa drugim instrumentima i metodama mjerenja.

Sluajne greke Ove su greke najvanije sa stanovita teorijske fizike i rezultat su manjeg ili veeg broja uzroka koji utjeu na tanost mjerenja neke veliine. U procesu mjerenja, ti uzroci se javljaju, po sloenim zakonima, te ih je praktino nemogue kontrolirati ili predvidjeti. Za razliku od sistematskih greaka, koje u svim mjerenjima jedne serije imaju isti smjer i veliinu, kod sluajnih greaka postoji izvjesna pravilnost ili simetrija, to omoguava njihovo matematiko tretiranje u teoriji vjerovatnoe. Treba naglasiti da grubim i sistematskim grekama zaista odgovara termin greka, dok sluajnim grekama vie odgovara termin odstupanje.

Ako se izvri niz uzastopnih i nezavisnih mjerenja neke veliine, sa najveom moguom panjom i to tanijim instrumentom, rezultati mjerenja e se obavezno meusobno razlikovati. Vrijednosti jedne serije mjerenja rasporeene su u jednom intervalu. Za svako dalje mjerenje moemo skoro sigurno rei da e se dobijene vrijednosti nai u priblino istom intervalu. Meutim, ne moemo predvidjeti gdje e se u ovom intervalu nai slijedei rezultati mjerenja. Uzrok ovih odstupanja unutar intervala ne moemo ustanoviti. Ova odstupanja se deavaju po zakonima vjerovatnoe ili kako obino se kae sluajno. Radi ovakve prirode sluajnih greaka, za poboljanje tanosti mjerenja, vri se vie ponovljenih mjerenja. Na osnovu statistikih zakona se dolazi do tanijeg rezultata. Ovo predstavlja sloen problem, utoliko vie, to tana vrijednost nije nikada poznata.


9

2.3. Utjecaj pojedinih mjerenja na tanost konanog rezultata

Ako neku veliinu mjerimo pomou nekog instrumenta kaemo da mjerimo direktno. Meutim, u praksi to nije uvijek mogue, ve se na osnovu mjerenja jedne ili vie veliina, koje su podesne za direktno mjerenje, izraunava traena veliina. Pri tome se koristi matematika relacija, koja povezuje traenu veliinu i veliine koje se mogu direktno mjeriti. Tada se kae da je ova izraunata veliina izmjerena indirektno. Indirektna mjerenja su, dakle, ona mjerenja kod kojih se rezultat dobije iz eksperimentalnih podataka direktnih mjerenja nekoliko razliitih veliina, koje su sa mjerenom veliinom povezane preko neke funkcionalne zavisnosti (formule). Pri svakom pojedinom, direktnom mjerenju se pravi neka greka, te se postavlja pitanje sa kojom tanou je odreena veliina dobivena indirektnim putem. 2.4. Greke direktnih mjerenja

Pri direktnom mjerenju neke veliine potrebno je tu veliinu izmjeriti vie puta, pri emu se skoro uvijek dobiju drugaije vrijednosti. Najblia njenoj pravoj vrijednosti je srednja vrijednost rezultata mjerenja ili aritmetika sredina mjerenja. Srednja vrijednost rauna se po formuli:

n

ii

n xnn

xxxxx1

321 1..., (2.1)

gdje je:

...),,( 321 xxxxi - rezultati pojedinanih mjerenja n broj izvrenih mjerenja.

Nakon izraunavanja srednje vrijednosti potrebno je izraunati i greke koje su pri tim mjerenjima napravljene. Apsolutna greka pojedinanog mjerenja

Ona pokazuje apsolutno odstupanje pojedine izmjerene vrijednosti od srednje vrijednosti:

ii xxx . (2.2)

Apsolutna greka se izraava istom jedinicom kao i mjerena veliina. Srednja apsolutna greka

Srednja vrijednost apsolutnih greaka, svih izvrenih mjerenja u jednoj seriji mjerenja, naziva se srednja apsolutna greka mjerenja:

n

ii

n xnn

xxxxx1

321 1.... (2.3)


10

Relativna greka Relativna greka je kolinik srednje apsolutne greke i srednje (tane) vrijednosti mjerene veliine:

%100xx . (2.4)

Relativna greka je bezdimenzonalna veliina i izraava se u procentima. Relativna greka je definirana da bi se izrazila na korektniji nain tanost mjerenja. Npr. Ako kaemo da smo neku duinu izmjerili sa apsolutnom grekom od cm1 , to nam ne opisuje dovoljno tanost mjerenja. To je veoma loe mjerenje, ako je ta greka napravljena pri mjerenju duine od cm10 , a znatno tanije mjerenje, ako je mjerena duina od cm1000 . Tanost mjerenja se moe odmah ocijeniti, ako se izrauna relativna greka, tj. ako se apsolutna greka izrazi po jedinici mjerene veliine. U navedenom primjeru e u prvom sluaju biti relativna greka %10

101 , a u drgom sluaju je

ona jednaka %1,01000

1 .

Srednja kvadratna greka ( standardna devijacija ) Standardna devijacija rauna se po formuli:

11

2

n

xn

ii

. (2.5)

Najvea dozvoljena greka Veliina 3 zove se najvea dozvoljena greka. Mjerenje kod kojeg je apsolutna greka

mjerenja izmjerene vrijednosti vea od treba odbaciti. Konaan rezultat mjerenja Konaan rezultat mjerenja zapisuje se u slijedeem obliku: xxx mjerna jedinica. (2.6)

Ovakav nain prikazivanja rezultata pokazuje da veliina x nije apsolutno tano

izmjerena, nego da je njena vrijednost vea ili manja od srednje vrijednosti, za onoliko koliko iznosi srednja apsolutna greka. Pri proraunu greaka i zapisivanju rezultata potrebno je voditi rauna da broj decimalnih mjesta bude isti kod srednje vrijednosti mjerene veliine i srednje apsolutne greke.

Primjer 1. Izvreno je 8 mjerenja duine l nekog predmeta i na osnovu izmjerenih vrijednosti potrebno je izraunati sve, gore navedene, greke.


11

B.M.* )(cml )(cml )(2 cml 1. 20,10 0,05 0,0025 2. 20,12 0,03 0,0009 3. 20,13 0,02 0,0004 4. 20,14 0,01 0,0001 5. 20,11 0,04 0,0016 6. 20,50 0,35 0,1225 7. 20,12 0,03 0,0009 8. 20,00 0,15 0,0225

161,22 0,68 0,1514 S.V.** 20,15 0,08

*- broj mjerenja; **- srednja vrijednost.

cmcmn

xn

ii

1471,018

1514,01

21

2

cmcm 4413,01471,033 ; %40,0%10015,2008,0%100

ll

Konaan rezultat je: cml 08,015,20 2.5. Greke indirektnih mjerenja

Sigurno je da ova greka zavisi, kako od veliine pojedinih greaka direktno izmjerenih veliina, tako i od oblika ovisnosti traene veliine i veliina koje direktno mjerimo.

Npr. neka je veliina u data funkcijom )(xfu , (2.7)

to znai da se mjerenjem veliine x moe izraunati veliina u sa tanou koja ovisi o tanosti mjerenja veliine x i oblika funkcije f . Moemo pisati

)( xxfuu , (2.8) gdje je u apsolutna greka koja se pravi pri odreivanju veliine u . Iz relacije (2.8) slijedi

)()( xfxxfu .(2.9) Na ovakav nain moemo odrediti apsolutnu greku veliine u za svaki oblik funkcije f

i proizvoljan broj nezavisno promjenljivih, tj. proizvoljan broj veliina koje direktno moemo mjeriti. Tada ova funkcija se moe pisati kao f x y z( , , , . . . ) . Pri ovome se uvijek sluimo pojednostavljenjima i aproksimacijama koje proizilaze iz injenice da su greke mjerenja veliina


12

,...,, zyx znatno manje od samih veliina pa njihove stepene i meusobne proizvode moemo zanemariti.

Iz pomenute injenice da su greke mjerenja male veliine u odnosu na same veliine, dolazi se do zakljuka da se za izraunavanje greaka u konanim rezultatima mogu koristiti diferencijali i odgovarajua pravila diferencijalnog rauna. Strogo uzevi, apsolutna greka x predstavlja konano malu veliinu, dok diferencijal dx to nije.

Prva aproksimacija je da apsolutnu greku x , kao veoma malu veliinu mijenjamo sa odgovarajuim diferencijalom dx . Apsolutna greka, veliine koja se indirektno odreuje, je

)()( xfdxxfdu , (2.10)

odnosno

dxxfdxdx

xdfdxdx

xfdxxfdu )()()()( , .(2.11)

Moemo rei da je apsolutna greka jednaka diferencijalu funkcije, a relativna greka

)(ln)()(

)()()( xfd

xfxdf

xfxfdxxf

udu , (2.12)

je diferencijal prirodnog logaritma funkcije )(xf . Ova dva zakljuka imaju vaan praktian znaaj, jer se na osnovu njih mogu lahko i brzo

izraunati greke ma kako sloenog oblika bila funkcija )(xf . U sluaju da je veliina u funkcija vie promjenljivih, npr. dviju promjenljivih yx, , tada

je apsolutna greka funkcije ),( yxf

),(),( yxfdyydxxfdu , (2.13) odnosno

),(),( yxdfyxdfdu yx , (2.14) gdje je sa ),( yxdfx oznaen diferencijal funkcije ),( yxf po x , a sa ),( yxdf y diferencijal funkcije

),( yxf po promjenljivoj y . Kako greke mjerenja veliina x i y mogu biti pozitivne i negativne, tj. x i y , ili

dx i dy , da bi se dobila najvea mogua greka mjerenja, koja nas i interesira, potrebno je na desnoj strani relacije (2.14) uzeti sumu svih lanova. Dakle, bez obzira na predznak lanova treba uzeti sumu apsolutnih vrijednosti pojedinih lanova u relaciji (2.14). Tada je maksimalna apsolutna greka veliine koja je data funkcijom ),( yxf jednaka

),(),( yxdfyxdfdu yx , (2.15) tj.

dyy

yxfdxx

yxfdu

),(),( . (2.16)

Za maksimalnu relativnu greku, indirektno mjerene veliine, dobijamo

),(

),(

),(),(

yxfyxfd

yxfyxfd

udu yx , (2.17)


13

odnosno

),(ln),(ln yxfdyxfdudu

yx , (2.18) tj.

),(ln yxfdudu . (2.19)

Kada je veliina u funkcija vie promjenljivih, ,...),,( zyxf , tada se, analogno

prethodnom raunanju, moe pisati da je maksimalna apsolutna greka veliine u jednaka

...),,(...),,(...),,( zyxdfzyxdfzyxdfdu zyx , (2.20) tj.

maksimalna apsolutna greka veliine u , koja je funkcija vie promjenljivih, jednaka je sumi apsolutnih vrijednosti parcijalnih diferencijala te funkcije.

Maksimalna relativna greka veliine u jednaka je

...),,(...),,(

...),,(

...),,(

...),,(...),,(

zyxfzyxfd

zyxfzyxfd

zyxfzyxfd

udu zyx , (2.21)

odnosno

,...),,(ln zyxfdudu . (2.22)

Maksimalna relativna greka veliine u , koja je funkcija vie promjenljivih jednaka je

apsolutnoj vrijednosti totalnog diferencijala prirodnog logaritma date funkcije. Radi lakeg izvoenja apsolutne greke indirektnih mjerenja u tabeli 2. dat je prikaz

apsolutnih greaka u zavisnosti od raunske operacije.

Tabela 2. Raunske operacije

Apsolutna greka Raunske operacije Apsolutna greka )( ba ba )( 2a aa2

)( cba cba )( na ana n 1 )( ba ba )( a

aa

21

.)(

constnan

an )(3 a

331

aa

)(ab baab )(n a n a

an1

)(abc acbbaccab )(b

a 2babba


14

Primjer 2. Izraunati relativnu greku volumena cilindra ako su mjerenjem dobiveni sljedei podaci za prenik baze d i visinu valjka h: Tabela 3.

B.M. )(10 3 m

d )(10 3 m

d

)(10 262

md

)(10 3 m

h )(10 3 m

h

)(10 262

mh

1. 21,2 0,1 0,01 62,1 0,0 0,00

2. 21,4 0,1 0,01 62,3 0,2 0,04

3. 21,3 0,0 0,00 62,1 0,0 0,00

4. 21,2 0,1 0,01 61,9 0,2 0,04

5. 21,4 0,1 0,01 62,1 0,0 0,00

/ 0,4 0,04 / 0,4 0,08 S.V. 21,3 0,1 / 62,1 0,1 /

mn

xn

ii

d3

61

2

1010,015

1004,01

; mn

xn

ii

h3

61

2

1014,015

1008,01

mdd31030,03 ; mhh 31042,03

Zapremina cilindra rauna se po formuli

hdV 24

Srednja vrijednost volumena valjka se, dakle rauna po sljedeoj formuli

35393232 1021,2107,22116101,62)103,21(414,3

4mmhdV

Srednja apsolutna greka se moe dobiti na dva naina:

I nain na osnovu formula za srednju apsolutnu greku indirektnog mjerenja,za zapreminu valjka dobiva se:

hdddhhddhhdhdV 22222 24

)()(4

)(4

)4

(


15

39323333 103,243)101,0)103,21(101,0103,212101,62(414,3 m

351002,0 m II nain za svaku dobivenu vrijednost za prenik i visinu valjka posebno izraunati zapreminu te apsolutnu greku odrediti kao i u sluaju indirektnih mjerenja:

B.M. )(10 3 m

d )(10 3 m

h )(10 35 m

V )(10 35 m

V

1. 21,2 62,1 2,19 0,02

2. 21,4 62,3 2,24 0,03

3. 21,3 62,1 2,21 0,00

4. 21,2 61,9 2,18 0,03

5. 21,4 62,1 2,23 0,02

/ / / / S.V. / / 2,21 0,02

Relativna greka se, u oba sluaja, rauna po formuli:

%90,0%1001021,21002,0%100 5

5

VV

Konaan rezultat se zapisuje u slijedeem obliku:

3510)02,021,2( mV Dakle, zapremina valjka nalazi se u intervalu 355 1023.2,1019.2 mV . 3. ZADACI ZA VJEBU

1.Odrediti maksimalnu relativnu greku specifine toplote vrstog tijela, pri emu je ona funkcija vie promjenljivih i to ),,,,,( 21 STT tttMmmfc i izraunava se po slijedeoj formuli

STS

T ttmttMmcc

1

0 .

Rjeenje:


16

)()(

)()(

)()(

)ln(ln)ln()ln(

)())((

ln,,,,,ln

1

1

1

11

S

S

T

T

S

S

S

TS

ST

SSTT

T

T

ttttd

mdm

ttttd

MmcMmcd

ttmttMmc

d

ttmttMmcdtttMmmcd

cdc

)()(

)()()()(

11

2

1

S

S

S

T

T

SS

S

ttdt

ttdt

mdm

ttdt

ttdt

MmcdM

Mmccdm

)()()()()()( 1121

S

S

ST

T

SS

S

ttdt

ttdt

mdm

ttdt

ttdt

MmcdM

Mmccdm

. Ako preemo sa diferencijala na konano male veliine dobit emo izraz

)()()()()()( 1121

S

S

ST

T

SS

S

T

T

ttt

ttt

mm

ttt

ttt

MmcM

Mmcmc

cc

. S obzirom, da se temperature mjere istim termometrom, onda je

tttt S 1 . Izraz za izraunavanje maksimalne relativne greke pri odreivanju specifine toplote tijela e imati konani oblik

ttttt

ttmm

MmcM

Mmcmc

cc

SST

T

T

T

))((2

)()( 11 .

2. Odrediti maksimalnu relativnu greku torzione konstante ice, ako se ona izraunava po formuli:

21

22

228TT

mc

.

Rjeenje:

21

22

112

12

2

222

12

2

1122

21

22

21

222

12

22

21

22

22

222222

)(2lnln2ln8ln8ln

TTdTT

TTdTTd

mdm

TTdTTdTTd

mdm

TTTTdd

mdmTTmd

TTmd

cdc

21

22

112222TT

dTTdTTdm

dmcdc

. Prelaskom na konano male veliine imamo da je

21

22

112222TT

TTTTmm

cc

; TTT 21 ,

12

22TT

Tmm

cc

.


17

3. Izraz za specifinu gustou tenosti odreivane pomou piknometra glasi:

12

130 mm

mm , tj. ),,( 123 mmmf . Odrediti maksimalnu relativnu greku.

Rjeenje:

)ln(lnlnln 12130

12

130 mmmmdmm

mmdd

12

12

13

13

mmmmd

mmmmd

mmmm

mmmm

mmmm

12312

12

13

13

mmmmmmmm

1213

123 22 .

4. Formula za odreivanje specifine gustoe tenosti pomou spojenih sudova glasi:

),( 101

00 hhfh

h . Odrediti maksimalnu relativnu greku Rjeenje:

1

1

0

0100

1

00 lnlnlnln h

dhh

dhhhdhhdd

hhhhh

hh

101

1

0

0

.

10

10 hhhhh

5. Puluprenik kapilarne cijevi odreuje se prema slijedeem obrascu

),( LmfrL

mr . Odrediti maksimalnu relativnu greku. Rjeenje:

LdL

mdmLmd

Lmd

rdr

21

21ln

21ln

21ln

21ln

21ln

;

LL

mm

rr

21

6. Odrediti maksimalnu relativnu greku pri mjerenju povrinskog napona tenosti koja kvasi kapilarnu cijev ako je:

),(21 rhfrhg

Rjeenje:

rdr

hdhrhgdrhgdd

lnlnlnln

21ln

21ln

;

rr

hh

.


18

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA

1. ta znai izmjeriti neku veliinu? 2. Kakve mogu biti greke pri mjerenju i objasniti svaku grupu greaka? 3. Kako se izraunava srednja vrijednost za n izmjerenih veliina? 4. Napisati formulu za apsolutnu greku pojedinog mjerenja i definisati veliine u njoj. 5. Napisati formulu za apsolutnu greku za proizvoljan broj mjerenja i definisati veliine u njoj. 6. Napisati formulu za relativnu greku i definisati veliine u njoj. 7. Napisati formulu za standardnu devijaciju i definisati veliine u njoj. 8. Kako i zbog ega se odreuje maksimalna dozvoljena greka? 9. U kojem obliku se zapisuje konaan rezultat mjerenja neke veliine (objasniti veliine)? 10. ta je direkno, a ta indirektno mjerenje neke veliine? 1. Zadatak Poluprenik kapilare odreuje se po sljedeem obrascu:

Lmr , ( 313600 m

kg )

Na osnovu izmjerenih vrijednosti za masu m i duinu L ( u tabeli ) izraunati vrijednost poluprenika kapilare, apsolutnu i relativnu greku mjerenja.

B.M )(10 3 kgm

)(10 3 kgm

)(10 26

2

kgm

)(10 3 m

L )(10 3 m

L

)(10 262

mL

1. 88 787

2. 89 788

3. 85 798

4. 88 774

5. 87 756

6. 86 722

7. 81 745

S.V Formula po kojoj se rauna srednja vrijednost poluprenika kapilare je: r

___________________________________________________________________________


19

Srednja vrijednost poluprenika kapilare je: r

___________________________________________________________________________ Srednja apsolutna greka se moe izraunati na dva naina.

I nain:

Formula po kojoj se rauna srednja vrijednost apsolutne greke indirektnog mjerenja poluprenika kapilare je:

r ___________________________________________________________________________ Srednja vrijednost apsolutne greke poluprenika kapilare je:

r ___________________________________________________________________________

II nain:

B.M )(10 3 kg

m )(10 3 m

L )(10 3 m

r )(10 3 m

r

1. 88 787 2. 89 788 3. 85 798 4. 88 774 5. 87 756 6. 86 722 7. 81 745 / / S.V / /

Relativna greka je: _______________________________________________________________________

1. Zadatak Tanost

prorauna /11


20

2. Zadatak Masa ipke pravouglog presjeka stranica a,b,c, je m. Mjerenjem je dobijeno:

gm )1,02,43( ; mma )380( ; mmb )210( ; mmc )120( Izraunati gustou ipke, relativnu greku mjerenja i napisati konaan rezultat.

2. Zadatak Tanost

prorauna /11

Broj ostvarenih poena i ocjenskih bodova (1poen = 0,01 OB)

Kolokvij Tanost prorauna () UrednostUkupan broj

bodova Broj ocjenskih bodova

/20 /22 /8 /50 /0,5 OB

DATUM OVJERA


21

4. I VJEBA Mjerenje duine

4.1. Mjerenje duine pomou linijara sa noniusom (pominim mjerilom)

Noniusom se naziva mali metalni linijar, koji moe da klizi du veeg metalnog linijara. Na noniusu je ucrtana skala sa m meusobno jednakih podioka, a razmak izmeu dva susjedna podioka iznosi npr. x . Vrijednost ovog jednog podioka neto je manja od vrijednosti najmanjeg podioka na linijaru. Naime, nonius je tako napravljen da na istoj duini na kojoj nonius ima m podioka duine x , linijar ima )1( m podiok duine y ( obino je mmy 1 ).

Onda moemo pisati da je

myyxymxm )1( . (4.1)

Razlika izmeu duine jednog podioka na linijaru i duine jednog podioka na noniusu jednaka je:

myxyx . (4.2)

Ova veliina naziva se tanost noniusa, a jednaka je odnosu duine najmanjeg podioka na linijaru y i ukupnog broja podioka na noniusu m. Npr. ako nonius ima 10 podioka, a duina

najmanjeg podioka na linijaru iznosi mmy 1 , tanost noniusa e biti: mmmmx 1,010

1 , za

nonius sa 50 podioka i za mmy 1 tanost noniusa je mmmmx 02,050

1 , itd. Tanost noniusa predstavlja vrijednost jednog podioka na noniusu.

Stvarni izgled linijara sa noniusom prikazan je na slici 4.1..

Linijar LM je podijeljen na milimetre. Okomito na njemu stoji nepokretan krak A. Du

linijara klizi pokretni krak B, koji na sebi nosi nonius. Kada se kraci A i B dodirnu, nula noniusa se poklapa sa nulom linijara. Kraci A i B slue da se izmeu njih stavi predmet, ije spoljanje dimenzije mjerimo. Kraci C i D slue za mjerenje unutranjih dimenzija, a krak E za mjerenje

A B

C D E

M

Slika 4.1. Linijar s noniusom

L


22

dubine predmeta. Greka, koja se pri mjerenju noniusom unosi u rezultat mjerenja, zavisi od toga koliko se tano poklapa n ti podiok noniusa sa )( nk tim podiokom linijara. Maksimalna apsolutna greka ne moe biti vea od polovine tanosti noniusa, tj.

mmmyx

221 . (4.3)

1. Zadatak: Odrediti zapreminu kvadra, mjerei njegove stranice a, b,c pomou linijara sa noniusom.

2. Zadatak: Odrediti zapreminu valjka mjerei odgovarajue dimenzije pomou linijara s noniusom.

Zapremina kvadra rauna se po formuli cbaV gdje su a,b,c stranice tog kvadra, dok se zapremina valjka rauna po formuli hdV 12 4 pri emu je d prenik valjka, a h visina valjka. Sve dimenzije je potrebno izmjeriti vie puta da bi se uklonile eventualne greke nastale pri mjerenju.

Postupak pri mjerenju Mjerenje duine pomou linijara s noniusom vri se na sljedei nain. Posmatrajmo sliku 1. Neka je L mjerena duina. Predmet se prisloni uz nepokretni krak na linijaru. Kraj predmeta nee se, u opem sluaju, nalaziti na nekom cijelom podioku skale velikog linijara, nego e se nai izmeu nekog k tog i )1(k og podioka skale velikog linijara. Tada moemo pisati da je

LkyL , (4.4) gdje je L dio duine predmeta koji se nalazi izmeu k tog i )1(k og podika skale velikog linijara.

Sada se na kraj predmeta prisloni nonius. Neki n ti podiok na noniusu poklapat e se sa )( nk tim podiokom na linijaru. Sa slike 4.2. se vidi da je

xnxynnxnyL )( mynL , (4.5)

Slika 4.2. Princip mjerenja pomou linijara sa noniusom

0 1 2 3 k k+1

L


23

C

D FA B

te je ukupna duina predmeta jednaka mynkyL , (4.6)

4.2. Mjerenje duine pomou mikrometarskog zavrtnja

Zavrtanj, kod kojeg je hod mali, slui za precizno mjerenje duine, te se naziva mikrometarski zavrtanj. Izgled mikrometarskog zavrtnja prikazan je na slici 4.3. Kod mikrometarskog zavrtnja je iskoriteno svojstvo da je translatorno pomjeranje zavrtnja (pomjeranje du pravca) proporcionalno uglu obrtanja zavrtnja. Pod hodom zavrtnja se podrazumijeva duina za koju zavrtanj napreduje du pravca, pri njegovom obrtanju za jedan cijeli obrt, tj za 0360 . Naspram nepomine povrine A slika 4.3, nalazi se glava zavrtnja B. Ona je na drugom kraju preko navoja spojena sa tzv. bubnjem C. Obrtanjem bubnja C , on klizi du horizontalne skale D. Pri dodiru povrina A i B, skala D je potpuno prekrivena. Na bubnju C, nalazi se kruna skala E, podijeljena na n jednakih podioka, tako da pri dodiru povrina A i B, skala E se nalazi na nultom podioku.

Slika 4.3. Mikrometarski zavrtanj

Ako hod zavrtnja iznosi mmh , onda e pri obrtanju bubnja za jedan podiok na krunoj skali E, glava zavrtnja napredovati za duinu h

nmm , a pri obrtanju za m podioka na krunoj skali

glava zavrtnja e se pomjeriti du pravca za m hn

mm . Veliina hn

mm naziva se tanost mikrometarskog zavrtnja i predstavlja vrijednost jednog podioka na krunoj skali koja se nalazi na bubnju mikrometarskog zavrtnja.

Horizontalna skala D podijeljena je na podioke ija je veliina jednaka hodu zavrtnja. Tanije reeno udaljenost od gornje crtice do donje, na skali D, je jednaka hodu zavrtnja. 3. Zadatak: Izmjeriti debljinu ploice pomou mikrometarskog zavrtnja Postupak pri mjerenju Predmet koji se mjeri stavlja se izmeu povrina A i B i uvrsti. Traena debljina ili duina L biti e jednaka sumi duine, koja odgovara cijelom broju obrta bubnja N , koji se oitava na skali D i dijela mjerene duine, koja odgovara pomjeranju zavrtnja, koje je manje od hoda zavrtnja i oitava se na krunoj skali E, a koja odgovara umnoku m tog podioka na krunoj skali E i tanosti mikrometarskog zavrtnja, tj.

nhmhNL . (4.7)


24

Da bi svako tijelo, ije dimenzije mjerimo pomou mikrometarskog zavrtnja, bilo jednako stegnuto izmeu povrina A i B, a da se pri tome ne deformira, na mikrometarskom zavrtnju postoji mali dodatni zavrtanj na bubnju C oznaen slovom F, ijim se okretanjem postie isti pritisak na svako tijelo. Naime, im povrina B dodirne predmet, zavrtanj vie ne napreduje i dodatna korekcija poloaja povrine B vri se obrtanjem mehanizma F mikrometarskog zavrtnja. Dakle, treba zapamtiti da se tijelo ne stee pomou bubnja C nego pomou dodatnog zavrtnja F!!! Maksimalna greka, koju inimo pri oitavanju rezultata pomou mikrometarskog zavrtnja jednaka je polovini tanosti mikrometarskog zavrtnja, tj. mm

nh

2.


1. ta je nonius? Definisati tanost noniusa (definicija i formula uz objanjenje veliina)? 2. ta predstavlja tanost noniusa? Ako nonius ima 20 podioka a vrijednost najmanjeg podioka

na linijaru je 1mm kolika je tanost noniusa? 3. Opisati postupak pri mjerenju predmeta noniusom. 4. Ukupna duina predmeta izmjerena noniusom je L=? (objasniti svaku veliinu) 5. ta je mikrometarski zavrtanj? 6. Na osnovu kojeg svojstva radi mikrometarski zavrtanj? Definisati hod zavrtnja? 7. Za koju duinu se pomjeri glava zavrtnja kada se bubanj okrene za 15 podioka? 8. Navesti definiciju i formulu (uz objanjenje veliina) za tanost mikrometarskog zavrtnja. 9. Koliko iznosi udaljenost izmeu dvije gornje crtice na horizontalnoj skali zavrtnja? 10. Opisati postupak pri mjerenju predmeta mikrometarskim zavrtnjem. 11. Ukupna duina predmeta izmjerena mikrometarskim zavrtnjem je L=?(objasniti svaku

veliinu) 12. Koja je maksimalna greka koja se pravi pri oitavanju rezultata pomou mikrometarskog

zavrtnja? 13. Skicirati mikrometarski zavrtanj i imenovati sve njegove dijelove. 14. Koju funkciju ima dodatni zavrtanj na bubnju? 15. Dopuniti:

mdm _______78 ; mcm _______4,2 ; mmm _______98 ; 33 _______56 mdm ;33 _______4,8 mmm ; 33 _______33 mcm ; 22 _______12,1 mcm ; 22 _______121 mmm


25

PRAKTIAN RAD

1. Zadatak: Odrediti zapreminu kvadra, mjerei njegove stranice a, b,c pomou linijara sa noniusom.

cbaV Gdje su a,b,c duine stranica kvadra.

B.M. a

)(10 3 m a

)(10 3 m a2

)(10 3 m b

)(10 3 m b

)(10 3 m b2

)(10 3 m

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

S.V

)(a ________________________

)(b ________________________

)(c ________________________

)(a ________________________

)(b ________________________

)(c ________________________ Srednja vrijednost zapremine valjka je:

V ____________________________________________________________________________

B.M. c

)(10 3 m c

)(10 3 m c2

)(10 3 m

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

S.V.


26

S obzirom da je mjerenje zapremine kvadra indirektno, potrebno je izvesti formulu za srednju apsolutnu greku na osnovu koje se izraunava njena vrijednost:

V ____________________________________________________________________________

V ____________________________________________________________________________ Relativna greka mjerenja zapremine je:

____________________________________________________________________________ Zapremina mjerenog kvarda iznosi: V ____________________________________ 2. Zadatak: Odrediti zapreminu valjka mjerei odgovarajue dimenzije pomou linijara s noniusom.

hdV 4

2

gdje je: d prenik baze valjka, h visina valjka. B.M.

d )(10 3 m

d )(10 3 m

d2 )(10 3 m

h )(10 3 m

h )(10 3 m

h2 )(10 3 m

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

S.V

1. Zadatak Precizost mjerenja

Tanost prorauna

/10 /40


27

)(d )(h _________________________________ __________________________________

)(d ____________________________ )(h __________________________________

V ____________________________________________________________________________

V ____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ Zapremina mjerenog valjka iznosi: V _____________________________________

3. Zadatak: Izmjeriti debljinu ploice pomou mikrometarskog zavrtnja Pomou mikrometarskog zavrtnja izmjeriti debljinu date ploice i izraunati maksimalnu

dozvoljenu greku.

B.M. )(10 3 md )(10 3 md )(10 62 md 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

S.V


Tanost prorauna

/10 /40


28

)(d )(d _____________________________ __________________________________

____________________________________________________________________________ Debljina ploice je: d =_________________________________________________________________________


Tanost prorauna

/5 /15


Kolokvij Preciznost mjerenja () Tanost

prorauna () Urednost Ukupan broj

poena Broj ocjenskih

bodova

/60 /25 /95 /20 /200 /2

DATUM OVJERA


29

5. II VJEBA Hookov (Hukov) zakon

5.1. Elastine deformacije, Hookov (Hukov) zakon

Uslijed djelovanja vanjskog optereenja na vrsto tijelo dolazi do njegove deformacije, koja se ogleda u promjeni dimenzija i oblika tijela. Razlikuju se dva granina sluaja deformacija, elastine i plastine (neelastine) deformacije. Deformacija tijela je elastina ako tijelo, nakon prestanka djelovanja vanjskih sila, vrati svoj prvobitni oblik i dimenzije, u suprotnom deformacija je plastina. Posljedica deformacije je pomjeranje estica tijela tj. promjena poloaja tih estica u odnosu na referentni poloaj. Veliina deformacije, uzrokovane djelovanjem vanjskih sila na neko tijelo, zavisi od intenziteta te sile po Hukovom zakonu koji galsi: pri malim elastinim deforamcijama veliina deformacije proporcionalna je sili koja ju je izazvala. Hukov zakon, dakle, vrijedi samo za male elastine deformacije.

lll ` , (5.1) Veliina l naziva se izduenje tijela i predstavlja razliku poetne i krajnje duine `l , tijela. Kada se izduenje tijela podijeli sa njegovom poetnom duinom dobiva se relativno izduenje ili relativna deformacija

ll . (5.2)

Pri deformaciji tijela se, pa tako i pri istezanju, javlja napon

SF

Pa

mN

2 , (5.3)

Taj napon je, za metale i keramike u podruju malih elastinih deformacija, direktno proporcionalan relativnom istezanju

E , (5.4)

gdje je

2mNE Jangov (Young) modul elastinosti i predstavlja konstantu za dati materijal.

Dakle, Hukov zakon se moe na osnovu formule (5.4) definisati i na sljedei nain: napon koji se stvara pri malim elastinim deformacijama direktno je proporcionalan relativnom istezanju. Cilj ove vjebe je odrediti Jangov modul elastinosti pomou Hukovog zakona. 1. Zadatak: Odrediti Jangov modul elastinosti ice. Iz linearne zavisnosti napona i relativne deformacije mogue je odrediti Jangov modul elastinosti. Ako se Hukov zakon:

E , (5.5) napie u razvijenom obliku dobija se jednaina

l

F

S

l`

Slika 5.1. Istezanje tapa


30

llE

SF . (5.6)

Iz relacije (5.6) se vidi da se mjerenjem izduenja l i sile F , koja je izazvala to izduenje, moe odrediti Jangov modul elastinosti. Postupak pri mjerenju

Ureaj koji se koristi u ovoj vjebi dat je na Slici 5.2. Sastoji od ice (1) koja je na jednom kraju zakaena za dinamometar (2) sa skalom (3), a na drugom kraju na navoj (4) pomou kojeg se moe zatezati po potrebi. Na ureaju se nalazi i indikator (5) koji pokazuje izduenje l tako to se vrh indikatora (6) pritie ( ili ako je ve pritisnut, onda poputa) pomou ipke (7) pri emu se njegova kazaljka (8) pomijera na desnu (lijevu) stranu.

Prije poetka mjerenja potrebno je uraditi sljedee:

kazaljku dinamometra (2) postaviti na nulti podiok na skali (3) odvrtanjem navoja (4), icu uvrstiti pomou navoja (9) i (10) (taj dio ice e biti podvrgnut istezanju), ipkom (7) pritisnuti vrh (6) indikatora tako da kazaljka (8) na indikatoru (5) opie jedan ili vie krugova i zaustavi se na nuli (moe i na nekom drugom podioku, koji e se onda uzeti za nulu), te je uvrstiti pomou navoja (7a), izmjeriti poetnu duinu l dijela ice, koji e se istezati (dio izmeu navoja (9) i (10)) i poluprenik ice.

Kada je ureaj pripremljen za mjerenje, pomou navoja (4) se zatee dio ice (l) pri emu dolazi do njenog istezanja za neku vrijednost l . Sile zatezanja koje se javljaju na ici se meusobno ponitavaju, tako da je rezultujua sila, koja djeluje na taj dio ice, samo sila F, kojom se ta ica istee pomou navoja (3). To znai, da se taka (10) udaljava od take (9), a to dovodi do pomjeranja ipke (7). Pomjeranjem ipke (7) poputa se vrh indikatora, te dolazi i do pomjeranja njegove kazaljke na lijevu stranu. Broj podioka za koji se pomjeri kazaljka indikatora (u odnosu na poetni podiok) predstavlja upravo vrijednost izduenja l . Svaki podiok na indikatoru, koji se koristi u ovoj vjebi vrijedi 0,01mm, tako da je potrebno broj oitanih podioka pomnoiti sa 0,01mm da bi se dobilo izduenje l u mm.

Vrijednost sile kojom se istee ica oitava se na skali (3) dinamometra. Skala dinamometra pokazuje vrijednosti sile u kilopondima ( kp ), pa je potrebno izvriti konverziju te

12

45 7

3

68

9 10

Slika 5.2. Ureaj za ispitivanje elastinosti

7a


31

jedinice u njutne znajui da je Nkp 81,91 . Potrebno je izvriti 8 mjerenja i to za sile od 0.5kp, 1,0kp, 1,5kp, 2,00kp,...., 4,0kp (svaki put silu treba pretvoriti u N).

Traeni rezultat moe se odrediti na dva naina: 1. na osnovu grafika zavisnosti sile F od izduenja l , 2. na osnovu grafika zavisnosti napona od relativnog izduenja . 1. nain Ako jednainu:

llE

SF napiemo u obliku: l

lESF , vidimo da postoji linearna zavisnost

sile F od izduenja l , te kad se ta zavisnost predstavi grafiki dobiva se pravac kao na Grafiku 1.

Razlomak l

ES predstavlja koeficijent

pravca dobijene prave. U opem sluaju koeficijent pravca se dobija kao tangens ugla, koji prava zaklapa sa x-osom. U ovom sluaju to je tangens ugla , koji je predstavljen na grafiku. Dakle, vrijedi da je:

lEStg

SltgE

(trougao je izabran proizvoljno).

2.nain

Dobijene vrijednosti napona i relativnog izduenja , unose se na grafik. Njihova zavisnost, po Hukovom zakonu, mora biti linearna: E . Ako ovu formulu napiemo u obliku

kxy , pri emu je k koeficijent pravca, uoit emo da je koeficijent dobivenog pravca upravo vrijednost Jangovog modula elastinosti. Koeficijent pravca prave predstavlja tangens ugla ( grafik 2. ), to znai da je tgE Na ovaj nain smo dobili traenu veliinu.

Grafik 2. Zavisnost napona od relativnog izduenja

F

Grafik 1. Zavisnost sile od izduenja


32


1. Deformacija je 2. Kakve mogu biti deformacije (objasniti svaku)? 3. Definisati Hukov zakon (definicija i formula uz objanjenje veliina). 4. Navesti obje definicije Hukovog zakona (sa formulama i objanjenem veliina). 5. Za kakve deformacije vai Hukov zakon? 6. emu je jednako izduenje tijela (objasniti rijeima)? 7. emu je jednako relativno izduenje tijela? (objesniti svaku veliinu) 8. Pri istezanju se pretpostavlja da se jedna veliina ne mijenja. Koja? 9. Napisati formulu za napon koji nastaje pri deformaciji tijela (uz objanjenje veliina). 10. Za koje materijale i kakve deformacije je napon proporcionalan istezanju? 11. Za ta slui indikator i na kojem principu radi? 12. Kolika je vrijednost jednog podioka na indikatoru i kako se dobiva vrijednost za koju se

istegne tijelo? 13. Koji su navedeni naini odreivanja Jangovog modula elastinosti? 14. Objasniti kako se pomou grafika zavisnosti sile F od izduenja l izraunava Jangov modul

elastinosti. 15. Objasniti kako se pomou grafika zavisnosti napona od relativnog izduenja izraunava

Jangov modul elastinosti.


33

PRAKTIAN RAD

1. Zadatak: Odrediti Jangov modul elastinosti ice. I nain:

SltgE II nain: tgE

E Jangov modul elastinosti, S povrina poprenog pesjeka ice, r poluprenik ice, l poetna duina ice (duina ice izmeu navoja (9) i (10) oznaenih na Slici 2. prije poetka mjerenja). Potrebne konstante: r =___________________l =_______________S =_________________________________

B.M F ( kp ) F ( N ) ( N/m2 ) l ( mm ) 1. 0,0

2. 0,5

3. 1,0

4. 1,5

5. 2,0

6. 2,5

7. 3,0

Konano rjeenje: (1. nain) tg ______________________ E _____________________________ (2. nain) tg ______________________ E _____________________________


Kolokvij Preciznost mjerenja Tanost

prorauna Urednost Ukupan broj


bodova

/60 /30 /100 /10 /200 /2

DATUM OVJERA


34

6. III VJEBA Matematiko i torziono klatno

6.1. Matematiko klatno

Matematiko klatno slika 6.1, je materijalna taka objeena o neistezljivu nit zanemarljive mase. Materijalna taka vri prosto periodino (oscilatorno) kretanje. Period matematikog klatna (vrijeme trajanja jedne oscilacije) u sluaju kada je amplituda mala jednak je

glT 2 , (6.1)

gdje su: sT period oscilovanja, ml duina niti i

2s

mg ubrzanje sile Zemljine tee.

1. Zadatak: Odrediti ubrzanje sile Zemljine tee pomou matematikog klatna. Iz relacije (6.1), ubrzanje sile Zemljine tee jednako je

224

Tlg . (6.2)

Dakle, ubrzanje se moe odrediti ako je poznata duina matematikog klatna l i period oscilovanja T . Te veliine moemo direktno mjeriti. Postupak pri mjerenju Izaberemo jednu duinu klatna (rastojanje izmeu take vjeanja i centra kuglice). Ovu duinu odreujemo tako to izmjerimo udaljenost od take vjeanja do gornje tangencijalne povrine kuglice 1l , i udaljenost od take vjeanja do donje tangencijalne povrine kuglice 2l , slika 6.1.

Aritmetika sredina ovih dviju vrijednosti e biti traena duina matematikog klatna, tj.

mlll2

21 . Mjerenje perioda T , vrimo hronometrom, na sljedei nain: klatno izvedemo iz ravnotenog poloaja i pustimo da oscilira tako da amplituda bude mala, najvie .1 cm . U trenutku putanja kuglice da oscilira, ukljuujemo hronometar i pri tome odbrojavamo to vei broj oscilacija (30-50), n oscilacija. Jedna puna oscilacija je izvrena, kada se kuglica vrati u poetni poloaj. U trenutku odbrojavanja n - te oscilacije iskljuujemo hronometar. Na taj nain smo izmjerili vrijeme , vrijeme trajanja n ocilacija. Period, tj. vrijeme trajanja jedne oscilacije, tada je jednako:

l1

l2

Slika 6.1. Matematiko klatno


35

sn

T . (6.3) Vrijeme trajanja samo jedne oscilacije se ne mjeri, jer bi greka pri mjerenju bila jako velika. Ukoliko je broj oscilacija n vei, utoliko je dobijena vrijednost za T tanija. Isti postupak se ponavlja za nekoliko razliitih duina klatna. Za nalaenje srednje vrijednosti odnosa 2T

l , koristimo svojstvo da je ovisnost:

)( 2Tfl , linearna i da taj pravac prolazi kroz koordnatni poetak koordinatnog sistema 2Tl . Dobijene vriednosti za l i 2T unosimo u koordinatni sistem, slika 6.2. Uslijed greki, koje se javljaju pri mjerenju, take pojedinog mjerenja e odstupati od povuenog pravca, koji se povlai tako da su take mjerenja simetrine u odnosu na njega i da to manje odstupaju od tog pravca. Na tom pravcu odabiremo taku M sa veom ordinatom i oitavamo koordinate te take, tj. vrijednosti za

srl i 2

srT , tako da je ubrzanje sile Zemljine tee jednako

2224 sm

Tl

gsr

srsr . (6.4)

Ubrzanje sile Zemljine tee uglavnom zavisi od geografske irine i nadmorske visine. Za nau geografsku irinu vrijednost

ubrzanja je:

2808,9 smgT . Relativna greka u

tom sluaju je

T

Tsr

ggg

gg . (6.5)

6.2. Odreivanje torzione konstante i modula torzije ice pomou torzionog klatna

Pod dejstvom sile se svako tijelo vie ili manje deformira. Deformacija se sastoji u promjeni rasporeda i u promjeni srednjeg rastojanja izmeu estica tijela, to se ispoljava, makroskopski, kao promjena oblika ili promjena zapremine tijela. Za neko tijelo se kae da je elastino deformirano, ako se pri prestanku djelovanja vanjskih sila, tijelo vrati u prvobitno stanje. Ukoliko tijelo zadri promjenu oblika i zapremine, po prestanku djelovanja vanjskih sila, onda je na njemu izvrena neelastina (plastina) deformacija. Da li e deformacija biti elastina ili plastina zavisi od svojstava tijela i od veliine vanjskih sila, koje na njega djeluju. Kada su sile, koje vre deformaciju, vee od neke odreene vrijednosti, koja je karakteristina za svaki materijal, tijelo ostaje trajno deformirano. Vrsta deformacije zavisi od pravca i smjera djelovanja

0

l

l3

l2

l1

M

Slika 6.2 Grafiki prikaz rezultata mjerenja

lsr


36

vanjskih sila. Ako se ica ili ipka, uvrena na jednom kraju, uvre spregom sila na slobodnom kraju dolazi do tzv. deformacije torzije (uvrtanja smicanja) kod koje je:

cM , (6.6) gdje su: NmM moment sprega sila

rad ugao uvrtanja

radNmc konstanta proporcionalnosti, tzv. torziona konstanta.

Torziona konstanta je veliina sprega sila koji izaziva uvrtanje za jedinini ugao izraen u radijanima. Deformacija uvrtanja, tj. torzija je istog tipa kao i deformacija smicanja. Uslijed deformacije torzije unutar materijala se javlja naprezanje u obliku sprega koji nastoji da vrati tijelo u prvobitno stanje, ravnoteni poloaj estica materijala. Takvo tijelo moe da vri obrtne

ili ugaone oscilacije, te se naziva torziono klatno, slika 6.3. Dakle, torziono klatno je klatno, koje oscilira pod uticajem momenta torzije ice. Period torzionog klatna rauna se po formuli

cIT 2 , (6.7)

gdje su: 2kgmI moment inercije tijela u odnosu na osu oko koje osciluje, c torziona konstanta ice.

2. Zadatak: Odrediti torzionu konstantu i modul elastinosti ice. Torziono klatno, u ovoj vjebi, ini ica iji je jedan kraj uvren, a na slobodnom kraju

je objeena horizontalna ipka (tap) na koju se mogu stavljati tegovi iste mase m na eljenom rastojanju d od ose obrtanja, koje je jednako

221 ddd

, slika 6.3. (6.8) Ukoliko ipka oscilira bez tegova, period osciliranja je

cIT 2 , (6.9)

gdje su: 2kgmI moment inercije ipke bez tegova, c torziona konstanta ice.

2r l

m

d2

d1

m

Slika 6.3. Torziono klatno


37

Period oscilovanja dat formulom (6.9), predstavlja period oscilovanja svakog torzionog klatna. Kada se tegovi postave simetrino, na istom rastojanju d od ose obrtanja (osa se poklapa sa zategnutom icom), klatno oscilira i period osciliranja mu je jednak

cmdI

cI

T2

11

222 , (6.10) gdje je

21 2mdII ,

ukupan moment inercije, tj. moment inercije ipke i dva tega, koja se smatraju materijalnim takama. Kvadriranjem relacija (6.9) i (6.10), i oduzimanjem kvadrirane relacije (6.9) od kvadrirane relacije (6.10) slijedi formula za raunanje torzione konstante ice

221

228

TTmdc . (6.11)

Postupak pri mjerenju Na osnovu izvedene relacije (6.11), vidimo da torzionu konstantu ice dobijamo direktnim mjerenjem mase tegova m , perioda osciliranja torzionog klatna sa tegovima 1T i perioda osciliranja torzionog klatna bez tegova T , te udaljenosti d1 i d2. Pomou izmjerenih vrijednosti za d1 i d2 na osnovu formule (6.8) se dobije udaljenost od ose osciliranja d. Radi to tanijeg mjerenja potrebnih perioda, mjerimo vrijeme trajanja to veeg broja oscilacija, te na osnovu formula

nT 11

i n

T raunamo traene periode. Torziono klatno se pobudi na osciliranje, tako to se ipka okrene oko vertikalne ose za 90o i pusti. Pri tome treba paziti da se ipka ne trese nego da se samo okree. Nakon odreivanja torzione konstante ice moemo odrediti modul torzije ice na osnovu izraza, dobijenog u teoriji elestinosti, koji glasi

242 mN

rlcES , (6.12)

gdje su: ml duina ice, Nmc torziona konstanta ice, mr poluprenik presjeka ice.

Iz formule (6.12) se vidi da je potrebno izmjeriti jo neke veliine kao to su duina ice i njen poluprenik. Poluprenik ice r, tanije prenik ice ( r2 ) mjerimo mikrometarskim zavrtnjem, duinu ice l , kao i duine 1d i 2d , mjerimo linijarom ili metrom, a masu tegova m , mjerimo pomou vage.


38


1. ta se u ovoj vjebi odreuje pomou matematikog klatna? 2. Napisati formulu za moment sprega sila, imenovati svaku veliinu i njihove jedinice. 3. Zavriti reenicu: Matematiko klatno je? 4. Nacrtati zavisnost duine matematikog klatna od kvadrata njegovog perioda? 5. Izvesti formulu za duinu matematikog klatna u zavisnosti od njegovog perioda. 6. Izvesti izraz za ubrzanje sile Zemljine tee iz formule za period matematikog klatna. 7. Zavriti reenicu: Torziono klatno je ? 8. Kako se izraunava period oscilatonog kretanja ako je poznat broj oscilacija i vrijeme za koje

su one izvrene? 9. Pod kojim uslovom e doi do torzije ice? 10. Napisati formulu za period torzionog klatna (imenovati svaku veliinu i napisati odgovarajue

jedinice). 11. Definisati torzionu konstantu.

12. Izvesti izraz za torzionu konstantu 221

228

TTmdc .

13. emu je jednak ukupan moment inercije kada se na kraj ipke stave dva tega? Objasniti zato!

14. ta se sve u ovoj vjebi moe odrediti pomou torzionog klatna?


39

PRAKTIAN RAD

1. Zadatak: Odrediti ubrzanje sile zemljine tee pomou matematikog klatna.

224

Tlg ; mlll

221 ; s

nT

gdje su: sT period oscilovanja, s vrijeme trajanja n oscilacija, ml duina niti,

1l - udaljenost od take vjeanja do gornje tangencijalne povrine kuglice, 2l - udaljenost od take vjeanja do donje tangencijalne povrine kuglice.

Sva mjerenja izvriti za 15n oscilacija.

B.M.

1.

2.

3.

4.

5.

Konaan rezultat (dobiven sa grafika) je: srg ____________________

Relativna greka u odnosu na tanu vrijednost

2808,9 s

mgT iznosi:

_______________________________


Tanost prorauna

/50 /60


40

2. Zadatak: Odrediti torzionu konstantu i modul elastinosti ice.

221

228

TTmdc ; nT

11

; n

T ; 2

21 ddd ;

242 m

Nr

lcES gdje je: c torziona konstanta, m masa jednog tega, 1d duina ipke, 2d duina tega, T - period oscilovanja klatna bez tegova, vrijeme trajanja n oscilacija ( bez tegova ),

1T period oscilovanja klatna sa tegovima, 1 vrijeme trajanja n oscilacija ( sa tegovima ). ES modul elastinosti, l duina ice, r poluprenik ice. Sva mjerenja izvriti za n = 5 oscilacija. Potrebne konstante: m =_______________ l =______________ r =________________ 1d _______________ 2d _____________ d =_______________ B.M.

1.

2.

3.

S.V.

__________________________________________________________________________________________________________________

Konaan rezultat je: c __________________________

ES =_________________________


Tanost prorauna

/50 /60


Kolokvij Preciznost mjerenja Tanost

prorauna Urednost Ukupan broj


bodova

/60 /100 /120 /20 /300 /3

DATUM OVJERA


41

7. IV VJEBA Gustoa tenosti i vrstih tijela

7.1. Piknometar

Piknometar je satklena posuda odreene zapremine iji zatvara ima karakteristian oblik kroz iju sredinu prolazi uzani kanal, slika 7.1. Kada je piknometar zatvoren zatvaraem napunjen tenou do vrha kanala onda on sadri, na odreenoj temperaturi, tano odreenu zapreminu tenosti. Zapremina piknometra odreuje se pomou destilirane vode.

1. Zadatak: Odrediti gustou tenosti pomou piknometra Ako su: m kg1 masa praznog piknometra, kgm2 masa piknometra napunjenog vodom 12 mm - masa vode u piknometru

330 10 mkg gustoa vode, i ako se zna da je veza izmeu mase i zapremine data relacijm:

Vm , (7.1)

tada je zapremina vode, a time i zapremina piknometra

V

mm 120

0

12

mmV (7.2)

Sada se piknometar napuni tenou nepoznate gustoe pri emu ima masu 3m . Gustoa, nepoznate tenosti, je onda jednaka

0

12

13

mmmm

Vm

12

130 mm

mm (7.3)

Postupak pri mjerenju

Piknometar se opere destilovanom vodom i osui, a nakon toga mu se izmjeri masa 1m zajedno sa zatvaraem. Zatim se piknometar napuni destiliranom vodom, stavi se zatvara tako da viak vode izie kroz kanal zatvaraa i ponovo izvaga dobijajui na taj nain masu m2. Piknometar mora biti spolja suh. Sada se piknometar isprazni, ponovo osui i napuni tenou, iju gustou mjerimo, zatvori zatvaraem i osui sa spoljanje strane. Nakon toga se izmjeri

Slika 7.1.


42

masa 3m piknometra, koji je napunjen nepoznatom tenou. Traena gustoa se izrauna po formuli (7.3). Maksimalna relativna greka koja je uinjena pri ovom mjerenju jednaka je (izvedena u uvodnom dijelu)

mmmmmmmm

1213

123 22 , (7.4)

gdje je gm 1,0 . 7.2. Tenosti (koje se ne mijeaju) u spojenim sudovima

Ako se dvije tenosti, koje se ne mijeaju, stave u spojene sudove (staklena U cijev otvorena odozgo), slika 7.2, onda se one postavljaju tako da pritisci stubova tenosti u jednom i drugom kraku cijevi budu u ravnotei. Sa 0p , na slici 7.2, je oznaen atmosferski pritisak. Pritisak koji potie od teine tenosti, koja miruje, naziva se hidrostatiki pritisak i rauna se po formuli

hgph . Ukupan pritisak jednak je zbiru atmosferskog i hidrostatikog pritiska tenosti.

2. Zadatak: Odrediti gustou nepoznate tenosti pomou spojenih sudova

Neka je 0 gustoa tenosti, koja je poznata, a 1 gustoa tenosti, koja se odreuje. Ukupan pritisak u

odnosu na nivo OO` u lijevom kraku cijevi je

1101 ghpp , (7.5) a u desnom kraku je

0002 ghpp . (7.6) Sa slike se vidi da vrijedi jednakost, koja se dobija na osnovu ravnotee pritisaka u odnosu na nivo OO` ( 21 pp ) kako slijedi

000110 ghpghp . (7.7) Iz relacije (7.7) se izraunava nepoznata gustoa tenosti, koja je jednaka:

1

001 h

h . (7.8)

Postupak pri mjerenju U cijev, koja ima oblik slova U, naspe se iva, a zatim tenost ija se gustoa eli odrediti. Tenosti e zauzeti poloaje kao na slici 7.2. Potrebne visine mjere se pomou milimetarskog papira, koji se nalazi iza staklene U cijevi, te se na osnovu formule (7.8) izrauna traena gustoa. Potrebno je izvriti vie mjerenja za razliite visine vode u cijevi.

0

1h

1

0h

0p 0p

O O`

Slika 7.2 U cijev sa kracima


43

7.3. Hidrometar

Hidrometar je staklena U cijev slika 7.3, iji su vertikalni kraci okrenuti nadole i slui za mjerenje gustoe tenosti u sluaju kada se poznata i nepoznata tenost mijeaju. Kraci hidrometra su potopljeni u dvije tenosti, koje se nalaze u staklenim sudovima, slika 7.3. Za jednu od tih tenosti je gustoa poznata 0 , a za drugu se ona treba odrediti, tj. treba odrediti

1 . 3. Zadatak: Odrediti gustou tenosti pomou hidrometra.

Ako je ventil V na otvoru O otvoren, onda unutar cijevi pritisak zraka jednak je atmosferskom pritisku 0p , te je nivo tenosti u oba kraka hidrometra izjednaen sa nivoima tenosti u sudovima. Meutim, ako se kroz otvor O izvue neto zraka, a nakon toga ventil V zatvori, pritisak zraka unutar cijevi p e biti nii od atmosferskog pritiska, tako da e se tenosti iz posuda popeti u krakove U cijevi do razliitih visina da bi se uspostavila ravnotea pritisaka. Onda moemo pisati za lijevu stranu slika 7.3, relaciju 000 ghpp , (7.9) a za desnu stranu vrijedi 110 ghpp . (7.10)

Izjednaavanjem ovih relacija dobijamo da je nepoznata gustoa tenosti jednaka

1

001 h

h . (7.11)

Postupak pri mjerenju

U jednu staklenu posudu nasuti destilovanu vodu, ija je gustoa 30 1000 mkg , a u drugu posudu nasuti tenost nepoznate gustoe. Pomou pumpice, koja je spojena sa ventilom V izvui vazduh i brzo zatvoriti ventil. Tenosti e se popeti do nekih visina u kracima hidrometra. Visine se mjere pomou linijara, pri emu je 0h , visina do koje e se popeti destilovana voda, a

1h visina do koje e se popeti nepoznata tenost. Mjerenja izvriti vie puta za razliite visine stuba tenosti u cijevima hidrometra i na osnovu relacije (7.11) izraunati traenu gustou.

p0 p0 p0 p0

h0 h1

p p

Slika 7.3 Hidrometar

V

O


44

7.4. Arhimedov (Arhimedesov) zakon

Na sva tijela zaronjena u tenost djeluje sila potiska suprotna djejstvu sile Zemljine tee. Ova sila jednaka je teini tijelom istisnute tenosti ( Arhimedov zakon ), tj.

ttp gVGF 0. , (7.12) gdje je:

tG - teina istisnute tenosti, 0 - gustoa tenosti u koju je uronjeno tijelo, tV - zapremina istisnute tenosti.

7.5. Hidrostatika vaga

Hidrostatika vaga slui za odreivanje gustoe vrstog tijela. Ona ima na jednom tasu tijelo objeeno lahkim koncem, ija se gustoa odreuje, a na drugi tas se postavljaju tegovi, slika7.4.. Hidrostatika vaga radi na principu Arhimedovog zakona.

4. Zadatak: Odredit specifinu gustou vrstog tijela pomou hidrostatike vage.

Kako je zapremina istisnute tenosti jednaka zapremini potopljenog tijela tijelaV , a 0 gustoa tenosti, koja je poznata, zapremina tijela ma kakvog oblika ono bilo, moe se odrediti, ako se odredi sila potiska, jer je na osnovu Arhimedovog zakona

gF

VV ptijelat0 . (7.13)

Sila potiska, jednaka je razlici teine tijela izmjerene u zraku i teine tog tijela, kada je ono potopljeno u tenost. Onda je

g

gmgmgGGVtijela

0

21

0

21

0

21

mmVtijela

, (7.14)

Slika 7.4. Hidrostatika vaga


45

gdje su: 1m masa tijela kada se mjeri teina u zraku i 2m masa tijela kada se mjeri teina tijela potopljenog u tenost poznate specifine gustoe 0 ,

gustoa tijela e biti

0

21

11

mmm

Vm

tijela

21

10 mm

m . (7.15)

Postupak pri mjerenju Tenost, u koju emo potapati tijelo, je obino voda, ija gustoa iznosi

33

30 101 mkg

cmg . Potrebno je izvagati tijelo kada se ono nalazi u vazduhu/zraku, pri emu se

dobije masa 1m , a onda se tijelo potopi u vodu i opet izvaga dobijajui tako masu 2m . Koristei formulu (7.15) izrauna se traena gustoa tijela. Maksimalna relativna greka, pri mjerenju gustoe tijela pomou hidrostatike vage jednaka je

mmmmmm

211

213 , (7.16)

gdje je gm 1,0 . 7.6. Mohrova (Morova) vaga

Morova vaga radi na principu djelovanja sile potiska na tijelo zaronjeno u neku tenost, slika 7.5.

Vagu ini poluga, iji kraci ne moraju biti iste duine. Poluga je oslonjena u leitu O. Na jednom kraju vage je objeeno tijelo P, a na drugom kraju nalazi se teg Q, koji se pomou zavrtnja moe pomjerati da bi se postigla ravnotea na vagi (dovoenje poluge u horizontalan poloaj).

P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Q O

Slika 7.5. Morova vaga


46

5. Zadatak: Odredit gustou vrstog tijela pomou hidrostatike vage. Postupak pri mjerenju

Kao prvo, se tijelo P objesi na deseti podiok skale na poluzi i pri tome se nalazi u vazduhu/zraku. Okretanjem tega Q se uspostavi ravnotea na vagi. Nakon toga se tijelo u potpunosti potapa u destiliranu vodu. Uslijed sile potiska, koja djeluje na tijelo P vertikalno navie, sa napadnom takom koja se poklapa sa desetim podiokom, ravnotea na vagi je poremeena. Da bi se ponovo uspostavila ravnotea, sila potiska se kompenzira tegom-jahaem, ija je masa tako odmjerena da teg na desetom podioku poluge svojom teinom kompenzira silu potiska koja djeluje na tijelo P zaronjeno u destiliranu vodu, tj. teina tega jednaka je teini istisnute vode. Nakon toga, poluga je ponovo u horizontalnom poloaju. Zapremina istisnute vode jednaka je zapremini tijela P. Ovo se moe izraziti u obliku sljedee jednakosti

mggVFp 0 , (7.19) gdje su:

pF sila potiska, 0 gustoa destilirane vode, V zapremina tijela P i m masa najveeg jahaa.

Iz relacije (7.19), slijedi da je zapremina tijela P jednaka

0mV . (7.20)

Sljedei korak, pri mjerenju gustoe tenosti pomou Morove vage, jeste potapanje tijela P u tu tenost. Ravnotea na vagi je poremeena, jer je zapremina istisnute tenosti ista kao i zapremina istisnute vode, ali njena gustoa je npr. manja od gustoe vode. U tom sluaju je sila potiska te tenosti, koja djeluje na tijelo P, manja od sile potiska, kojom djeluje voda na to tijelo. Ravnotea se moe postii smanjivanjem statikog momenta teine jahaa njegovim postavljanjem na manje rastojanje od oslonca O, njegovim postavljanjem u neki podiok na horizontalnoj skali, tako da smo to blii horizontalom poloaju poluge. Dakle, u tu svrhu je poluga, od oslonca O do kraja gdje je objeeno tijelo P, podijeljena na deset jednakih dijelova (na mjestu svakog podioka nalazi se zarez u koji se postavlja jaha). Da bi se postigla potpuna ravnotea na poluzi na raspolaganju imamo manje jahae, ije mase iznose

101 ,

1001 dio mase

najveeg jahaa. Neka je ravnotea na poluzi ponovo uspostavljena, tako to se najvei jaha nalazi na

i tom podioku poluge, srednji jaha na j tom podioku, a najmanji jaha na k tom podioku skale na poluzi. Sada moemo pisati da je

kxgmjxgmixmgxVg 10010

10 , (7.21)


47

gdje su: gustoa tenosti, koja se odreuje, x duina podioka skale na poluzi.

Uvrtavanjem zapremine tijela P u dobi

Documents

Praktikum Za 2012-2013 - FMM