1

PRAVA

Prava je kao i ravan osnovni geometrijski pojam i ne definiše se. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

1 1 1 1( , , )M x y z

p

p1 1 1 1( , , )M x y z

p Posmatrajmo pravu p , tačku 1 1 1 1( , , )M x y z koja joj pripada . Neka tačka M(x,y,z) 3R∈ .

( , , )M x y z1 1 1 1( , , )M x y z

o

p

r1r

p( , , )M x y z1 1 1 1( , , )M x y z

o

p

r1r

p

Očigledno je da tačka M(x,y,z) pripada pravoj p ako i samo ako su vektori 1 i M M p

uuuuur ur kolinearni!

Kako je 1 1M M r r= −

uuuuur r ur možemo zapisati :

1( ) 0r r p− × =

r ur ur ili

1 1( ) ( ) 0 ako obeležimo da je r p r p r p b

r p b

× − × = × =

× =

r ur ur ur ur ur r

r ur r

Dobili smo vektorsku jednačinu prave. A možemo razmišljati i ovako : Kako smo zaključili da su vektori 1 i M M p

uuuuur ur kolinearni, to se oni mogu izraziti jedan preko drugog uz pomoć

nekog parametra t.

2

1

1

1

1

1

ovo je vektorska jednačina prave kroz datu tačku u pravcu vektora

Ako uzmemo da vektor ima koordinate ( , , ), onda je :

r r t p

r r t p p

p p l m n

x x t ly y t mz z t n

parametarsk

− =

= +

=

= + ⋅= + ⋅= + ⋅

r ur ur

r ur ur ur

ur ur

oblik jednačine pravei

Ovaj parametarski oblik najčešće koristimo kad tražimo prodor prave kroz ravan ili tačku preseka dve prave. Odavde možemo izvesti oblik koji se najčešće koristi u zadacima (simetrični oblik)

1 1 1x x y y z zl m n− − −

= =

Vrlo sličan ovom obliku je i jednačina prave kroz dve date tačke 1 1 1 1( , , )M x y z i 2 2 2 2( , , )M x y z :

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z− − −

= =− − −

Primer 1. Napisati jednačinu prave kroz tačke A(1,2,0) i B(2,3,4) i prebaciti je u parametarski oblik. Rešenje

Koristimo 1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z− − −

= =− − −

1 2 0

2 1 3 2 4 01 2

1 1 4

x y z

x y z

− − −= =

− − −− −

= =

Odavde se vidi da je vektor paralelnosti prave (1,1,4)p =

ur

Prebacimo je sada u parametarski oblik:

1 2 1 2 i i pa je1 1 4 1 1 4

12

4

x y z x y zt t t t

x ty tz t

− − − −= = = → = = =

= += +=

3

Često se u zadacima daje i opšta jednačina prave, to jest prava određena presekom dve ravni:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0: 0

A x B y C z DA x B y C z D

αα

+ + + =+ + + =

Kako preći iz ovog oblika u simetrični ? ( jer iz simetričnog oblika lako “čitamo’’ i tačku i vektor paralelnosti) Najpre nadjemo vektor paralelnosti:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1

2 2 2

: 0 ( , , )

: 0 ( , , )

A x B y C z D n A B C

A x B y C z D n A B C

i j kp n n A B C

A B C

α

α

+ + + = → =

+ + + = → =

= × =

ur

uur

r r r

ur ur uur

Zatim rešavamo sistem :

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0

A x B y C z DA x B y C z D

+ + + =+ + + =

Odavde dobijamo 1 1 1, ,x y z ( često se jedna nepoznata uzima proizvoljno , pa se druge dve dobijaju iz nje...)

Sve zamenimo u 1 1 1x x y y z zl m n− − −

= = .

Primer 2.

Pravu 2 3 0

{ 4 0

x y zx z− + =+ − =

prebaciti u simetrični oblik.

Rešenje

2 3 0{

4 0x y z

x z− + =+ − =

Najpre '' pročitamo” vektore normalnosti za ravni…

1

2

2 3 0 (1, 2,3)

4 0 (1,0,1)

x y z n

x z n

− + = → = −

+ − = → =

ur

uur

Dalje tražimo njihov vektorski proizvod:

4

1 2 1 1 1

2 2 2

1 2 3 ( 2 0) (1 3) (0 2) 2 2 2 ( 2,2,2)1 0 1

i j k i j kp n n A B C i j k i j k

A B C= × = = − = − − − − + + = − + + = −

r r r r r r

ur ur uur r r r r r r

Ovde možemo zapisati i da je :

( 2, 2,2) 2( 1,1,1)p = − = −ur

, odnosno uzeti da je vektor ( -1,1,1). Da bi našli tačku koja pripada toj pravoj moramo rešiti sistem:

2 3 04 0 4

2 3(4 ) 02 12 3 0

2 2 12 0...../ : ( 2)6 0 6

46

Ovde možemo uzeti proizvoljno x, recimo x = 0, pa je onda:4 4 0 46 6 0 6

Dakle dobili smo tač

x y zx z z xx y xx y x

x yx y y x

z xy x

z x z zy x y y

− + =+ − = → = −− + − =− + − =

− − + = −+ − = → = −

= −= −

= − → = − → == − → = − → =

1 1 1ku ( , , ) (0,6, 4)x y z =

1 1 1

0 6 41 1 1

x x y y z zl m n

x y z

− − −= =

− − −= =

−

Kakav može biti uzajamni položaj dve prave? U prostoru prave mogu pripadati ili ne pripadati istoj ravni. Ako pripadaju istoj ravni onda su ili paralelne ili se seku.

1p

2p

1puur

2puur

1p

2p

1puur

2puur

P

paralelne prave prave se seku u tački P

5

Ako prave ne pripadaju istoj ravni onda kažemo da su mimoilazne.

1p

2p

1puur

2puur

Posmatrajmo dve prave :

1 : p 1 1 1

1 1 1

x x y y z zl m n− − −

= = i 2 : p 2 2 2

2 2 2

x x y y z zl m n− − −

= =

Prave pripadaju istoj ravni i paralelne su ako i samo ako su njihovi vektori pravaca 1 1 1 1( , , )p l m n=

uur i 2 2 2 2( , , )p l m n=

uur

kolinearni, to jest ako i samo ako važi 1 1 1

2 2 2

l m nl m n= = ( uslov paralelnosti)

Specijalno, prave se poklapaju ako važi da je 1 1 1

2 2 2

l m nl m n= = i 2 1 2 1 2 1

1 1 1

x x y y z zl m n− − −

= =

Kako da znamo da li se prave seku?

Tu nam pomaže takozvani uslov preseka : 2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0x x y y z z

l m nl m n

− − −=

Naravno, prave su mimoilazne ako je 2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0x x y y z z

l m nl m n

− − −≠

Primer 3.

Date su prave 1 : p 2 1 21 0

x y zt− − −

= = i 2 : p 5 2 32 3 1

x y z− − −= =

Odrediti parametar t tako da se prave seku i nadji tačku preseka.

6

Rešenje Najpre ćemo iz datih jednačina pravih pročitati tačke koje im pripadaju i vektore pravaca (paralelnosti).

1 12 1 2 (2,1, 2) i =(t,1,0)

1 0x y z P p

t− − −

= = →uur

2 25 2 3 (5,2,3) i (2,3,1)

2 3 1x y z P p− − −

= = → =uur

Dalje koristimo uslov preseka:

2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0

5 2 2 1 3 2 3 1 1 3 1 1 3 11 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 3 0 2 0

2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

12 1 02

x x y y z zl m nl m n

t t Sarusovo pravilo t t t t

t t

− − −=

− − −= → = → → = + + − − − =

+ = → = −

Dakle 1 12 1 2 1 (2,1,2) i =(- ,1,0) 1 1 0 2

2

x y z P p− − −= = →

−

uur je prva prava.

Da bi našli njihov presek, prave ćemo prebaciti u parametarski oblik.

2 1 2 1= x +2, y = 1 +1, z = 0 +21 1 0 22

x y z α α α α− − −= = → = −

−

5 2 3 x = 2 5, y =3 2, z = 1 3

2 3 1x y z β β β β− − −

= = = → + + +

Sad uporedjujemo x = x, y =y , z = z da bi našli vrednost za α ili β Vidimo da je najlakše to postići iz z = z. Dakle 2 3 1z z β β= → = + → = −

Vratimo vrednost za β i dobijamo: x = 2 5, y =3 2, z = 1 3

2( 1) 5 3; 3( 1) 2 1; 1( 1) 3 2(3, 1,2) je tačka preseka!

x y zP

β β β+ + + →= − + = = − + = − = − + =−

7

Kako naći ugao između dve prave? Ugao pod kojim se prave seku je ugao između njihovih vektora pravaca.

1p

2p

1puur

2puur

ϕ

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

cos p p l l m m n np p l m n l m n

ϕ ⋅ + += =

+ + + +

uur uur

uur uur