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Precis de Mathematiques

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  • y,,~~.~~~,1j~

    1~

    11,1-

    SOMMAIRE

    CHAPITRE 1- Espaces vectoriels norms1-Topologiedes espacesvectorielsnorms 7

    11-Limite- Continuit- Drivation 16

    111-Complets- Compacts- Connexes 27Exercices-types,Indications, Solutions 38Exercicesproposs 45

    CHAPITRE 2 - Applications linairessur les espaces vectoriels norms

    1-Continuitdes applicationslinaires 47

    11-Espaces vectorielsde dimensionfinie 54

    Exercices-types,Indications, Solutions 60Exercicesproposs 69

    CHAPITRE 3 - Fonctions deplusieurs variables rellesCalcul dilTrentiel

    1-ApplicationspartiellesDrivespartielles 73

    11-Diffrentielled'uneapplicationde classeel :. 78111-Diffrentiabilit 88

    IV- Fonctionsimplicites 96

    V- Diffomorphismes 99VI- Ingalitdes accroissementsfinis 103

    VII- Formulede Taylor-Young, Extremums 105Exercices-types,Indications, Solutions 111Exercicesproposs 121

    CHAPITRE 4 - Sries numriques etvectorielles1-Gnralits 123

    11-Sries termesrelspositifs 132111-Sries absolumentconvergentes 142

    IV- Sries termesquelconquesSemi-convergence 144Exercices-types,Indications,Solutions 150

    Exercicesproposs 160

    CHAPITRE 5 - Suites etsries defonctions1- L'espacevectorielnorm'!Ji, (A, F) 163

    11-Convergenced'unesuiteou d'unesriede fonctions 164111-Limite- ContinuitIntgration- Drivation 174IV- Mthodespratiques 181

    Exercices-types,Indications, Solutions 191Exercicesproposs 205

    CHAPITRE 6c Intgrale corn.pl~mentsI-Intgration d~sfonctionscontinuspa/morceux , . 207'.'-

  • ~ 4ITf~:f/~/ RE,',7 ( ";O:C:ions deplusieurs variables relles, , Calcul intgral1- Formesdiffrentiellesde degrun .

    II-Intgrale curviligne .

    111-Compactsmesurables. Aire etvolume , .

    IV- Intgraled'unefonctionsur un compactmesurablede [Rn .

    V- Intgraledouble- Aire plane .VI- Aire d'un morceaude surface .

    VII- Intgraletriple- Calculde volumes .VIII- Masse, centreet momentd'inertie , .

    Exercicesproposs .

    IlPITRE 8- Sries entires1-Dfinition- Rayonde convergence .

    11-ConvergenceuniformeContinuitde la somme .

    111-Sries entiresd'unevariablerelle, Intgration- Drivation .

    IV- Dveloppementen srieentire .

    V- Fonctionsusuellesd'unevariablecomplexe .

    VI- Exponentielled'unendomorphisme,d'unematrice .

    Exercices-types,Indications, Solutions .

    Exercicesproposs .

    IlPITRE 9 - Sries deFourier1-L'espaceprhilbertienD .11-Sries de Fourier , .

    111-Dveloppementen sriede Fourier .

    Exercices-types,Indications, Solutions .Ji',' ,

    /"'X:~roposes ,i \PITRE 10-- Equations dJrentielles JL-

    1- Equationslinaires .

    // 11-Equationsnon linaires- Thormede Cauchy-Lipschitz .

    Exercices-types,Indications, Solutions : .

    Exercicesproposs .

    235

    239

    242

    245

    247255

    259

    264

    272

    275281

    284

    287

    300

    Q~=>310

    321

    323

    326

    332

    336346

    347

    362

    370

    381

    EX " . 383

    -[ G. t.O. J:. IClltphonesi ~l1D.Ini'l>a~no. 111.1-,- -'--

    . ,.2srtl!~ +,11) __,"..h . 1

    _ ~I..._ ...... - 1

  • Chapitre 1

    Espacesvectoriels~normes

    1- Topologiedesespacesvectorielsnorms

    ~=[FgouiC;E estunKespacevectoriel.

    Dfinitions:

    On appelle nonne sur E une application N : E --+[Fg+ vrifiant, pour tousvecteursx, y deE et tout scalaire de ~ :

    N(x) =0 {=?x =0N( x) =II N(x)

    N(x +y) oS; N(x) +'N(y)

    Le couple(E, N) estun espacevectorielnonn .

    d.2 Distance associea une norme

    d.1

    Soit (E, N) un espacevectorielnorm,l'applicationd dfiniepar:

    d : E2 --+[Fg+, (x, y) I-> d(x, y) =N(x - y)

    eStappeledistanceassocieala normeN.

    Remarque

    SiF estunsous-espacevectorieldeE, larestrictionF delanormedeE estunenorme

    surF. (F,N) estunespacevectorielnorm.Onconsidredsormaisunespacevectorielnorm(E,N).

    d.3 il La bouleouverte decentrea E E et derayon r E [Fg+ est:B(a,r) == {xE E/N(a - x)

  • 8 Prcisd'AnalyseIl

    dA

    On appelle voisinaged'un point a de E toute partie X de E contenantuneboule ouvertedecentrea. L'ensembledesvoisinagesde a estnot 'V(a)

    XE 'V(a) {==:?3 r> 0, B(a, r) eX

    Remarque

    Pourtoutrelr>0,labouleB(a, r) estunvoisinage(jea.

    d.5 Visinag~telatif

    Si A estunepartie deE eta un point deA, l'intersectionavecA d'unvoisinageX dea s'appelleYoisrn!;j.ge.adans{l.L'ensembledesvoisinagesdea dansA estnot 'VA (a)

    'VA(a) ={XnA/X E 'V(a)}Ainsi YE'VA(a) {==:?3r>0, AnB(a,r)cY.

    d.6

    i / On appellesespoints

    toute partie X de E qui estvoisinagede chacunde

    iil On appelleun ouvertdeE

    X ouvertdeE {==:?V X E X, X E 'V(x)

    toutepartie deE dont le complmentairedansE est

    X fermdeE {==:?E\X ouvertdeE

    toutepartie Y deA, dont1ecomplmentairedansA

    d.?

    d.S

    1

    i / Si A estmiepartie deE, onappelle toutepartieX deA voisinagede chacundesespoints dansA.

    X ouvertdeA {==:?V X E X, X E 'VA(X)

    ii/ On appelleestun ouvertdeE.

    SoitX c A, X estunouvertdeA si etseulementsi il existeXl ouvertdeE telqueX=AnXl

    SoitY cA, Y estunfermdeA si etseulementsi il existeYl fermdeE telqueY=AnYl

    On appelleintrieur d'unepartie A deE la runion dela famille desouvertsdeE inclus dansA. On noteA l'intrieur deA.

    On appelle adhrenced'une partie A de E l'intersection de la famille desfermsdeE contenantA. On noteA l'adhrencedeA.

    C'estlepluspetitfermdeE contenantA. UnpointdeA estditadhrentA.

    d.9

    1

    o

    C'estleplusgrandouvertdeE inclusdansA. UnpointdeA estditintrieurA. \\

    1

    d.10

    On appellefrontire d'une partie A de E l'ensemble,not Fr(A), form

  • Chapitrel Espacesvectorielsnorms 9

    d.11

    1

    Partie dense

    On dit qu'unepartieA deE estdensedansE si l'adhrencedeA estE :A == E.

    On dit qu'unepartie B deA estdensedansA si A cB.d.12

    1

    Point d'accumulation

    On appellepoint d'accumulationd'unepartie A deE tout point x deE adh-rent A\{x}.

    Un telpointest caractrispar le faitque,pourtoutvoisinageV de x, l'ensemble

    A n V\ {x}n'estpasvideouA n V estinfini.

    d.13 Point isol

    On appellepoint isol d'une partie A de E tout point a deA possdantunvoisinageV dont l'intersectionavecA est le singleton{a} :

    a point isol deA =?3 V E 'V(a),A n V == {a}

    d.14

    1

    d.15

    1

    d.16

    1

    d.17

    1

    d.18

    Partie bome

    Une partieA deE est dite bornes'il existeune bouledeE contenantA.

    Diamtre

    Soit A une partie non vide etbomedeE. On appellediamtredeA le rel:

    8 (A) == sup{N(x - y)/(x, y) E A2}

    Distance d'unpoint une partie

    On appelledistanced'un point x deE une partie non videA deE, le rel:

    d(x,A) == inf{N(x - Y)/Y E A}

    On appelledistancede deuxparties nop videsA et B, le rel

    d(A. B) == inf{NCx- y)/x E A, y E B}

    Fonction bome

    Soit A un ensemblenon vide et (E,N) un espacevectorielnorm.

    Une fonctionj :A ---+ E estditebomesi sonimagej(A) estunepartiebomedeE:

    Remarque

    L'ensembleCZJ3 (A. E) desfonctionsbornesdeA dansE estunsous-espacevectorielde

    ~, ilestnormpar Ilj 1100 == supN(1(x)).XEASiA =1\1ils'agitdel'espacedessuitesbornesdeE.

    d.19 Normes quivalentes

    On dit quedeuxnormesNI et N2sur E sontquivalentessi les fonctions

    NI t N2 d'fi . {} t "N2 e NI e messur E \ OE son maJorees.

    Remarque

    Cettedfinitionpeutsetraduireparl'existencededeuxrelsex et 13 strictementpositifstelsque ex NI ""N2 ""13 NI

  • 10 Prcis d'Analyse Il

    Exemples- Travauxpratiques

    1

    de IR- Norme usuelle de iC

    Normeusuellede IR : valeurabsolue IR---;-IR+,x ~ IxlLes boulessont les intervallesborns.

    Normeusuellede iC : le module iC---;-IR+, z ~ Izl

    Les boulesde iC sont les disques,les sphresde iC sont les cercles.

    exemple2

    1 Nature des boules d'un espace vectorielnorm

    Une bouleouverteestunouvertde E, elleest convexe.

    Pour toutx, y de B(a, r) et t E [0,1], notonsz =(1 - t)x +ty et montronsquez E B(a, r).

    N(z - a) =N[(l - t)(x - a) +t(y - a),l~ (1- t)N(x - a) +tN(y - a) < rcar N(x - a) < 1; N(y - a) 0 et t> O.

    Une boulefermeestunfermde E.

    Notons C =E \ BJ(u, r) son complmentaireet,pourtoutpointx de C, notonsR =N(x - a) - r>O.La bouleB(x, R) est inclusedans C; en effet,pourchaquey de B(x, R)minorons:

    N(a - y) ~ N(a.-,x) - N(x - y) >N(a - x) - R = rl'ingalitN(a - y) >r quivaut y ~ BJ(a, r).Ainsi, C estvoisinagede chacunde ses points,C est un ouvertde E.

    Un pointestdonc unfermde E.

    Ces normessontdeuxdeuxquivalentes(ce quiest le cas ds que l'espaceestde dimensionfinie),et les ingalitssuivantesdonnentles coefficientsoptimaux:

    Noo ~ N2 ~ N1 ~ .;nN2 ~ nNoo

    sup Ixi!1"'(""11

    VoirAlgbre2

    ,xn) E (Kn.

    sur (Kn parlesexpressionssuivantes:1

    N2(X) = (t!Xd2) 2L~l(Kn attacheauproduitscalaire:N2 estla

    j

    1~"il'

    1

    1,'1.

  • Chapitre 1 Espacesvectoriels norms 11

    exemple4

    classiques sur l'espace vectoriel il

  • f. -------------

    12

    E estunespacevectorielnorm.

    p.1

    1 Pour tout x et y deE : !N(x)- N(y)1 ~ N(x - y)

    p.2

    Prcisd'AnalyseIl

    il La runion d'unefamille quelconquede voisinagesd'un mmepoint x de Eestun voisinagedex.

    ii 1L'intersectiondedeuxvoisinagesdex estun voisinagedex.~ Toutepartiequicontientunvoisinaged'unpointx deE estaussiunvoisinagedex

    (consquencedeladfinitiondevoisinage).Leil endcoule.PrenonsdeuxvoisinagesU etV d'unmmepointx deE- Ilexistealorsdeuxrelsex et[3>telsque:

    p.3

    1

    pA

    B(x, ex)c U et B(x, (3) c V

    Supposonsqueex~[3,alors B(x, ex)c B(x, (3) et B(x, ex)c U ( V,

    cequifaitdeU ( V unvoisinagedex, mmesi [3~exbiensr.

    Soit A une partie deE.

    A estun ouvertdeE si et seulementsi: V x E A,::3r E IR:, B(x, r) cA

    CaraGt~I'isationdel'adh~reAd'unepartie A non vide deE.

    Pour tout point x deE, les trois propritssuivantessont quivalentes:

    il x est adhrentA: x E A,

    ii 1Touteboulede centrex rencontreA : V r> 0,A ( B(x, r) ;t0,

    D

    D

    iii 1Tout voisinagedex rencontreA : V V E OV(x),A ( V;t 0.~ il =? iil Supposonsaucontraire,qu'ilexisteunebouleB(x, r) inclusedansE \ A, alors

    A estinclusdanslefermF =E \ B(x, r),cequidonnex E A.

    iil =? iiii ToutvoisinageV dex contientunebouleB(x, r), doncA ( V:) A ( B(x, r)etA ( V n'estpasvide.

    iiii =? il parcontraposition.Six E A, ilexisteunfermF contenantA etpasx.AlorsE \ F estunvoisinageouvertdex quinerencontrepasA.

    p.5 Ouverts etfermes1

    il E et0 sont, la fois, ouvertset fermsdeE.iil La runion d'unefamill~quelconqued'ouvertsdeE estun ouvertdeE.

    L'intersectiond'unefamille quelconquedefermsdeE estun fermdeE.

    iii 1 L'intersectionde deuxparties ouvertesdeE estun ouvertdeE. La runion de deuxparties fermesdeE estun fermdeE.

    p.6 Intrieuretadhrnce Soit A et B deuxparties deE.

    il Si A c B alors o 0A.cB et Ac B.o

    iil Si Ac B et A ouvert,alors Ac B

    Si Ac B et B ferm, alors Ac B.

  • Chapitre 1 Espacesvectoriels norms 13

    p.? Produit d1espaces vectoriels normes1

    Soit (E, N) et (El, NI) deux espaces vectoriels norms.

    On dfinit trois normes classiques sur l'espace produit E x Fi :1

    Il (x,Xl) 111 =N(x) +NI(XI) , Il (x,Xl) 112= (N2(x) +d2(x) 2:

    Il (x.x) lico =sup (N(x), NI(X)

    Ces trois normes sont deux deux quivalentes.

    ~ Aucunedifficulthormisl'ingalittriangulairede la normeIl.112'

    En utilisantles ingalitstriangulairesde N et de NI :

    N(x +y) ~ N(x) +N(y) et NI(x +y) ~ NI (x) +NI (y)

    et l'ingalittriangulairede ([R2,N2) :

    v(a +b)2+(al +b/)2 ~ va2 +al2 +vb2 +b/2

    on obtient:

    VN2(x +y) +NI2(XI +yI) ~ VN2(;;)+N/2(XI) +y'N2(y) +N/2(yl)L'quivalencede ces normestientaux ingalitssuivantes:

    Il (x,Xl) lico ~ Il (x,Xl) 112~ Il (x,Xl) 111 ~ v'211 (x,Xl) 112~ 211(x,Xl) licoD

    Remarques

    1) On dfinitde faon analogue(par rcurrence)des normesquivalentessur un produit

    de plusieursespacesvectorielsnorms,en particuliersurEn.

    Dsormais,toutproduitd'espacesvectorielsnormssera munide l'unede ces normes.

    Parties bornes. d'un espace vectoriel norm (E, N)

    Soit A et B deux parties non vides de E.

    i / Si A cBet B borne alors A est borne et /) (A) ~ /)(B)

    2)

    p.8

    ii / Si A et B sont bornes alors A u B et A +B sont bornes

    iii / Si A est borne alors il est borne et /) (A) =/)CA)

    ~ il Si x ety E A alors N(x - y) ~ /) (B) , Ac B( x, /) (E) et /) (A) ~ /) (B)

    ii1Soit (a, x) E A2 et (b, y) E B2. L'ingalittriangulairedonne:

    N(x - y) ~ N(x - a) +N(a - b) +N(b - y) ~ /) (A) +N(a - b)+/) (B)

    N(x +y - a - b) ~ N(x - a) +N(y - b) ~ 0 (A)+ /) (B)

    C t d 1 { /) (A uB) ~ /) (A) +d(A, B)+ /) (B)e qUiperme e concure () ()/)(A +B) ~ /) A +/) Biii1Soitx et y deuxpointsdeA.

    Alors,pourtoutr> 0, il existe a E An B(x,r) et b E An B(y,r)

    L'ingalittriangulairefonctionnecommeen iil :

    N(x - y) ~ N(x - a) +N(a - b) +N(b - y) ~ r+ /) (A) +r

    Ce qui montrequeA estborneavec /) CA) ~ /) (A) +2r, pourtoutr> 0,

    donc /) CA) ~ /) (A).

    .L'inclusion A cA et il donnel'galit /)(A) =/)CA)D

  • 14 Prcis d'Analyse Il

    SoitE un espacevectorielmunide deuxnormesNl et N2 tellesque Nl ~ N2. NotonsBi(a, r)la bouleouvertede centreaet de rayonr dfiniepar la normeNi pour i =1 ou 2.Ces boulesvrifient B2(a, r) c Bl(a, r). (Nl(a,x) ~ N2(a,x) 0 telque Bl (x,r)c U,

    les inclusions B2(X,r) c Bl(X, r) c U prouventque U est unvoisinagede x dans l'espace(E, N2).

    Supposonsqueces deuxnormessoientquivalentes:il existea>0 et [3>0 telsque:

    a Nl ~ N2 ~[3NlAlors, les espacesvectorielsnorms(E, Nl) et CE, N2) ont les mmesouverts.

    Dansces conditions,les notionsde limiteetde continuitconcidentsur ces deuxespaces.

    Il suffitdevrifierqu'unpointx de la sphreS(a, r) estadhrent la bouleouverteB(a, r).

    Notons y = a+ 1.1(x - a) l'imagede x par l'homothtiede centrea et de rapportfLE ]0,1[.Calculonsles deuxnormes:

    II y - a Il =1.1Il x - a II =1.1r et Il y - x Il = II (1- fL)(a - x) Il = (1- fL)ra

    Pour toutaE ]0, r[ avec 1 - r

  • Chapitre 1 Espacesvectorielsnorms 15

    2) SupposonsmaintenantqueF soitunhyperplannonfermde E,

    c'est dire qu'il existe un pointc de If \ F et que la droitelK,cest un supplmentairedeF (caractrisationd'un hyperplan): E =lKcEB F signifieque toutvecteurx de E s'critx = lec+y avec leE IK ety E F.

    CommeF cIf etque If estunsous-espacede E, x = lec+y E F.Ainsi If =E, F estdensedansE.

    exemple9

    Distance une partie

    Soit A une partie non vide de E, espace

    A ={x E E/d(x,A) =O}

    , \f X,yE E, Id(x,A)- d(y,A)1 ~ Ilx- yll 1) L'galit d(x,A) =0 se traduitpar \f r> 0, 3 a E A, Ilx - a Il

  • 16 Prcis d'Analyse Il

    II - Limite - Continuit - Drivation

    A. Suites

    d.20

    La notionde suite valeursdans uncorps If{ a tvue en Analyse1.

    Etantdonnun IK-espacevectorielE, on dfinitde manireanalogue:

    les suitesde E,: applicationsde N dansE, notations:u, (un), (Un)N,

    l'ensembledes suitesde E estnotEN

    les suitesde E dfinies partird'uncertainrang Tl{)EN: applicationsde [Tl{),+00 [dansE, notation: (Un)n~no

    lesoprationssurEN : additionetproduitparunscalaire.EN estun IK-espacevectoriel

    les suitesextraitesd'unesuitedonne(Un)F\j E EN.

    Si E estun espacevectorielnorm,(Un)N E EN estborn~esi et seulementsi il existe

    A E [R*telque \:j nE N, Il Un Il "" A.

    L'[email protected] (E) des suitesbornesde E est unsous-espacevectorielde EN.

    u.ite~qIlvtg~nte dans un espace vectoriel norm CE, Il .11)

    Soit U une suite et a un point de E.

    On dit que la suite U a pour limite a, ou converge vers a, si la suite rellen f-7> Il Un - a Il a pour limite O.

    On crit alors lim Un =a ==} lim Il Un - a Il =0n~+oo n~+oo

    Remarques

    1) Unesuiteconvergentea uneseule limite.

    2) Unesuiteconvergenteestborne.

    3) L'ensembleC(S CE) des suitesconvergentesde E estunsous-espacevectorielde @ (E).

    L'application L: C(S(E) --+ E, x f-7> lim Xn est linaire.

    4) Si la suiteU convergeversa alorson peutdfinir,pourtoutn EN: rn =sup Il up- a Ilp~n

    On constateque la suiterellen f-7> rn est positive,dcroissanteet convergevers O.

    d.21

    1

    uitq.eCauchy dans un espace vectoriel norm (E,II .11)

    Soit U une suite borne de E, notons on=sup{11Up - Uq II/p? n,q? n}.On dit que U est une suite de Cauchy si la suite relle (On\"d converge vers O.

    Remarques

    1) On est le diamtrede la partie An = {up/p? n}.

    La suite(An)F\j estdcroissante,(On)N aussi.

    2) La dfinitions'crittraditionnellement:

    \:js> 0,3 nE N, \:j p? n, \:j q? n, Il up - UqIl

  • Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 17

    d.22 Valeurd'adhrenced'unesuiteSoitU unesuitedeE, espacevectorielnorm.Ondit qu'unpointa deE estunevaleurd'adhrencedela suiteU s'ilexisteunesuiteextraitedeU quiconvergeversa.

    d.23 Un espacevectorielnormestdit confpletsi,danscetespace,toutesuitede

    1 Cauchyestconvergente.Onditalorsquec'estun

    d.24 UnepartieA deE estdite complte,A cE, si toutesuitedeCauchyforme1 depointsdeA estconvergentedansA.

    p.9

    il UnesuiteconvergenteestunesuitedeCauchy.iil Unesuiteextraited'unesuiteconvergenteU estconvergenteeta la mme

    limite.

    iiii Unesuiteextraited'unesuitedeCauchyestencoreunesuitedeCauchy.iv1UnesuitedeCauchyaauplusunevaleurd'adhrencea et,danscecas,elle

    convergeversa.~ Pour il, ii!et Iii!,lesdmonstrationssontanaloguescellesvuesenAnalyse1,Chapitre1

    (proprit14,thormes17et 18).Ivl Si a estvaleurd'adhrencede la suitede Cauchy (Un), il existeunesuiteextraite

    (~(n de limitea.La conclusionrsultealorsde :

    Il Un - a Il ~ Il Un - ~(u) Il +Il ~(U) - a Il~ supIl up - Uq Il +Il ~(n) - a Il

    p~nq~n

    op.10

    SoitA unepartienonvidedeE, espacevectorielnorm.

    il Si unesuitedepointsdeA convergedansE, alorssalimiteestunpointdeil, adhrencedeA.

    ii 1Un pointdeE estadhrentA s'ilexisteunesuitedeA quiconvergeverscepoint.

    iii 1A estun fermdeE si et seulementsi A contientla limitedetoutesuiteconvergentedeE quiestformedepointsdeA.

    ~ il Avec (un) E AN et lim Un =c, crivons:n---:-+co

    o ~ d(c,A) ~ Il c- Un Il et lim Il c- Un Il =0n-++codonc d(c,A) =0 ce quisignifie CE il (cf.exemple9)

    Ii1Supposonsc E il. Donc,pourtoutn E F\j*, il existeun poi~tande A telque:

    Il c - an Il < ~ car A (1B ( c, ~) n'estpas videLa suite(an)N convergevers c.

    iii1Cas oA est unfermde E :utiliser il.Pour la rciproque,utiliserii1

    o

  • 18 Prcis d'Analyse Il

    des.sutes bornes sur un espace vectoriel norm E, muni de la(.E)~iR+,U f-7>sup Il Un Il.

    nEN

    Eest complet alors 'lJ3(E)co l'est aussi .

    Notonsunesuitecommeunefonction J E 'lJ3(E), i f-7>JCi) ;considronsalors unesuitede Cauchy(fn)N de i]3(E), c'est--direque la suite

    nf-7>On=sup IlJn+p - Jn Il:::0 convergeversO.pEN

    Comme IIJn+p- Jn [[co = sup IlJn+pCi)- Jn(i) [l, on obtient:iEN

    '/ i EN, '/ pEN, lfn+pCi)- Jn Ci) 1 ~ On (1)donc n f-7>JnCi) est unesuitede Cauchyde E, E tantcomplet,elleconverge;notons g(i) = hm Jn(i) pourtouti EN.

    n--++co

    9 est unesuitesurE, Ig(i)- Jn(i)[ ~ On (2) (fairep ~ +00dans (1)).9 estborne: '/ i EN, IgCi)1 ~ IIJo 11+00

    (fn)N convergevers9 dans (i]3(E), Il .[Ico) car Il 9 - Jn lico ~ On d'aprs(2).

    B. Limite - Continuit d'une fonctionSoit (E, Il.11) et(F.I.I) deuxIK-espacesvectorielsnorms.Etantdonn D partienon vide E, 'ji (D,F) dsignel'ensembledes applicationsde DdansF ou ensembledes fonctionsde E dans F, dontl'ensemblede dfinitionestD.

    'ji(D, F) est un IK-espacevectorielpourles oprationsusuelles,sommede deuxfonc-tionset produitd'unefonctionpar unscalaire:

    Cf, g) E'ji (D, F)2 J +9 : x f-7>J(x) +g(x)"-E IK "-J : x f-7>,,-J(x)

    Dans le cas particuliero F =IK,on disposede l'oprationproduitde deuxfonctionset'ji(D, IK) est une IK-algbre:

    Cf, g) E'!F (A, 1K)2 Jg : x f-7>J(x)g(x)

    Dfinitions:

    J(U) eV (2)

    (3).ou aussi

    d.25 Limite d'une fonction en un point Soit J E'ji (D,F), Ac D et a E A.On dit que J admet une limite en a suivant A s'il existe un point b de F telque:

    '/8>0, 30'>0, '/ x E A, Ilx- ail

  • Chapitre 1 Espacesvectorielsnorms 19

    d.26

    1

    Continuit d'unefonctionen un point

    f E 3i (D,F) est continue en un point a de D si f admet une limite en asuivant D.

    Remarque

    Lalimitedef ena suivantD nepeuttrequef(a), (voirAnalyse1,ChapitreIII,thorme

    1), f estdonccontinueena E D sietseulementsi lE1f(~) =f(a).XED

    Continuit d'unefonction

    f E 3i (D,F) estcontinuesur Ac D sif est continueen tout point deA.

    Continuit uniforme

    f E 3i (D. F) estuniformmentcontinuesur A cD si :Ife>O.3coO,If(x,y)EA2llx-yll

  • '20 Prcisd'AnalyseIl

    p.12

    Soit] E'!Ji (D,F) etAc D et les propritssuivantes:

    il] est lipschitzienne sur A derapport k,

    ii 1] estuniformmentcontinuesur A,

    iii 1] estcontinuesur A,Alors

    p.13

    o

    Soit] E'!Ji (D, F), Ac D et a E A; les propritssuivantessont quivalentesil] admetune limite en a suivantA

    iil pour toute suite (an) de A qui convergevers a, la suite (t(an) de Festconvergente.

    ll2F VoirAnalysel,ChapitreIII,proprits2 et3,

    il =? iil Notonsb = lim ](x) etconsidronsunesuite(an)deA quiconvergex--+a,xEA

    versa,

    L'hypothse'ris>0, 30'>0, 'rix E A ( B(a, 0') =? Lf(x) - bl 0,'riO'>0,3 Xu E A ( B(a,0') telque Lf(Xu) - bl ?s

    Onpeutalorsformerunesuite(an) quiconvergeversa :

    'rin E N*, 3 an E A telqueIl an - a Il < ~ et Lf(an) - bl ?sn

    sansquelasuite(t(an) convergeversb,cequiestcontradictoire,

    Remarque

    Avec] : A ---t F, a E A etb = lim ](x), ona b E ](A), (d'aprslacaractrisationx--+a,xEA

    del'adhrenceparlessuites).

    p.14 (F,1.1) tant complet,soit] E'!Ji (D,F),Ac D et a E A.

    Pour que] admetteune limite en a suivantA, il faut et il suffit que:

    'ris>0,30'>0, (x, y) E (A ( B(a, 0')2 =? lf(x) - ](y)1

  • Chapitre 1 Espacesvectorielsnorms 21

    1&' i/ L'hypothseb = lim 1(t)donne:t--+a,tEA

    D

    10

    \je>0, 3a> 0, \j t E A (1B(a, a), Lf(t) - bl < "2d'oparingalittriangulaire:

    \j (x, y) E (A (1 B(a, a)) 2, lf(x) - l(y)1 ~ Lf(x) - bl +Lf(y) - bl < 10Cequiprouveque1satisfaitaucritredeCauchy,

    ii/ Pourla rciproque,prenonsunesuitequelconque(Xn) deA quiconvergeversa etvrifionsque(j(Xn)) estunesuitedeCauchy:

    \je>0, 3 r E N, \j n ~ r,IXn - al

  • I,,'t

    22 Prcisd'AnalyseIl

    trW i1Onsaitque b E J(A) et J(A) cB donc b E B.Utilisonsdeuxfoislaproprit3: suiteetlimite.

    Soit(xn) unesuitedeA quiconvergeversa, alorslasuite(j(Xn) deB convergeversb, etlasuite(g (j(Xn)) convergeversc

    ii1 UtiliserladfinitiondelacontinuitenunpointetleilD

    p.17 Proprits desisomtries1

    Soit (E, Il.11) et (F, 1.1) deux espacesvectorielsnorms,A une partie de E, Bune partie deF etJ: A -7 B une isomtrie.

    il J est lipschitziennederapport 1,doncJ estuniformmentcontinuesur A.

    ii 1J est injective; si J, de plus, est smjective,J induit une bijection deA surB, dont la bijectionrciproqueJ-l : B ~ A estune isomtrie ;J est alors un

    homomorphismedeA sur B.

    iii 1La composede deuxisomtriesestune isomtrie.

    p.18 Oprationssur les limites1

    SoitJ :A -7 F, 9 :A ~ F et a E A ainsi que 'il: A-7K

    il L'existencede :

    u = lim J(x) v = lim g(x)x-a,xEA x~a.xEA

    fournit les nouvelleslimites:

    fL= lim 'il (x)x~a.xEA

    lim J(x) +g(x) = u +v et lim 'il (x)J(x) =fL ux----,-a,xEA x---+a,xEA

    ii/ Si F =FI x .,. x Fp estun produit d'espacesvectorielsnormset siJ: A -7 F

    est donnepar ses applications composantesx f--+ J(x) = (jl(X), ... ,fp(x),alors J admet une limite b en a suivant A si et seulementsi chaquefi,i E [1,p] admetune limite bi en a suivant A.Dans cecas b= (bl,bz..bp).

    trW il Pourladeuximeformulenoterledcoupagesuivant:

    ep (x)J(x)- fL U = [ep (x)- fL]J(x)+ fL [J(x) - u]

    pourmajorer lep (x)J(x)- fL ul parl'ingalittriangulaire.

    ii1 Pourmontrerquel'existencede lim J(x) impliquecellede lim fi(x), pourtoutx_a,xEA x~a,xEA

    i E [1,p], utiliserlanormesurF dfiniepar:

    II(xl,x2,'" ,xp)llx = sup IlXi IIF;l~i~p

    L

    oIl IIF;estlanormesurFi,

    Pourlarciproque,utiliserlanormesurF dfiniepar:p

    II(xl,x2 ,xp)lll =L Il Xi IIF;i=1

    D

  • Chapitre l Espacesvectorielsnorms 23

    p.19 Oprations sur les fonctionscontinues1

    i/ C(A, F) ensembledes fonctions continues de A dans F est un sous-espacevectorielde S!i(A,F).

    ii/ C(A, X) estune sous-algbrede S!i(A,X).

    iii/ Sif A ~ F et c;:: A -K sont continuesalors f(x) = (1I(X),'" ,fp(x)) ,

    alors f est continue sur A si et seulementsi chaque fi: A --+ Fi estcontinuesur A (1,s; i ,s;pl.

    (I:;;)f Cesontdesconsquencedesoprationssurleslimites.

    Exemples- Travauxpratiques

    E etF sontdeuxespacesvectorielsnorms.

    exemple 12

    : E --+ F continueetA c E.que,si A est densedans E, alorsf(A) est densedansf(E) .

    Nousutiliseronsla caractrisationd'unepartiedensesuivante: A estdensedansE si etseulementsi pourtoutU ouvertnonvidedeE, l'intersectionA ([ U n'estpasvide.

    SoitV unouvertdeF telque V ([ f(E) *0.Ils'agitdevrifierqueV ([f(A) estnonvideaussi.

    Parhypothse,ilexistex E E telquef(x) EV: or,j estcontinuedonc U =f-I(V) estunouvertdeE, nonvidecarilcontientx.

    CommeA estdensedansE, U ([ A estnonvide:or feu ([ A) cf(U) ([f(A) et feu) c V,donc V ([f(A) estnonvide.

    exemple 13

    et 9 deuxapplicationscontinuesdeE dansF. Montrer que:

    {x E Elf(x) =g(x)} estferm , B ={x E Elf(x)

  • 24 Prcis d'Analyse Il

    uniformment continu.

    unE)suite de Cauchy d E.estune suite de Gauchy de F .

    Rappelonsla caractrisationde l'uniformecontinuit:

    lim ~ (h) == avec ~ (h) ==sup{lf(y) - f(x)1 /(x, y) E E2, Il y - x Il ,.0:; h}h--O

    D'autrepart,(xn) E EN est unesuitede Cauchy si etseulementsi :

    lim On== avec On==sup{Il xp - Xq II /p ;3n, q ;3n}n---++ooAvecces notations,pourp ;3net q ;3n, on a lf(Xq) - f(xp)1 ,.o:;~(On)

    Si o~== sup{lf(Xq) - f(xp) 1 /p ;3n, q ;3n} alors o~,.o:;~ (On)

    donc lim o~== 0, ce qui prouveque (f(xn) est unesuitede Cauchyde F.n---++oo N

    C. Relationde comparaisonau voisinaged'unpointCes relationsont t introduitesen Analyse l, ChapitreVII, dans le cadredes fonctionsrellesd'unevariablerelle.

    E,F, G sontdes espacesvectorielsnormsde normesnotesIl . Il ' IIF ' 11G' A estune partiede E et a un pointde E adhrentA. Dans le cas o E ==IR;, a est un pointde IR adhrentA (doncventuellementa ==+ex;ou a ==- ex;).

    Il. Domination - Prpondrance 1

    f et9sontdes fonctionsdfiniessurA valeursdansF et G :f:A--+F, g:A--+G

    Dfinitions:

    1...

    d.32

    1

    d.33

    1

    1)

    2)

    f est domine par 9 au voisinage de a suivant A, et on notef ==Ca (g)

    ouf ==C (g), lorsque: :3 V E "If A (a), :3E IR;:, 'If x E "If A (e). lf(x) 1 F ,.0:; Ig(x)jG

    f est ngligeable devant 9 (ou 9 prpondrante devantf), et on notef ==oa(g) ouf ==o(g),

    lorsque: 'Ife>0, :3 V E"V~A (a), 'If x E V, lf(x)IF,.o:;eIg(x)IG

    Remarques

    Le cas E ==R A ==N, a ==+ex;donneles relationsde comparaisonentresuitesvaleursdans unespacevectorielnorm.

    Les fonctionsf et9 considresontun ensemblede dfinitioncommun(iciA) maisneprennentpas ncessairementleursvaleursdans le mmeespacevectoriel(iciF et G).En fait,seules les fonctionsnormesinterviennent:

    lflF :A --+Rx f--?o lf(x) 1F et Igl G : A --+IR;,x f--?o Ig(x)1GDoncf ==Oa(g) s'interprteen lflF ==oa(!gIG)'

    En particulier,f ==oaCl) signifie lim f(x) ==O.x__ a.xEA

  • Chapitre l Espacesvectorielsnorms 25

    Il estd'usagecourantdecomparer,parexemple,unesuitecomplexeouvectorielle1 1

    unesuiterelle. (--. = 0(1)signifie lim -- = 0).n+L n--HCXl n+i

    Danslamesureolesoprationssontlgitimesdanslesespacesvectorielsconsidrs,touteslespropritsdela relationdeprpondranceexposesenAnalyse1,ChapitreVII,sontvalables.

    12. Equivalence 1

    ] et9sontdesfonctionsdfiniessurA valeursdanslemmeespacevectorielnormF.

    d.34 ] est quivalente 9 au voisinagede a suivantA, et on note] ~g,alorsque: ] - 9=Oa(g)Remarques

    1) Pourl'quivalencedefonctionsoudesuites,ilestimpratifquel'espaced'arrivesoitcommun(existencede](x) - g(x),deUn - Un).

    2) La relation~estunerelationd'quivalencesur l'ensembledesfonctionsdfiniesauavoisinagedea.

    3) Ilestintressantdetraduire]~9 par] = (1+

  • 1" --.------------------

    26 Prcis d'Analyse Il

    Remarques1) La drivabilitresteacquiseparchangementde la normeen unenormequivalente.

    2) f: l ---7 E estdrivableen a si etseulementsi pour(tout)J E'V1 (a),JjJ estdrivableen a (ladrivabilitest unepropritlocale).L'existencedef(a) quivaut l'existenceet l'galitdef~(a) et def~(a), et dans ce

    casf~(a) =f~(a) =f(a).

    3) La drivabilitdef :l ---7 E en a se traduitaussi par:il existeE E telquef(a +h) =f(a)+ h +o(h) quandh tendversO.

    4) La drivabiliten unpoint(resp.sur I) entranela continuiten ce point(resp.sur I).

    Prbptits:

    p.20

    1

    p.21

    1

    p.22

    L'ensembleV(J, E)desapplicationsdrivablesdel dansE estunsous-espacevectorieldeC(J, E). L'applicationdrivation: D(J, E) ---7'Je (J, E), f ~f estlinaire.

    Si E = El x ... x Ep etf E'Je (J, E), alorsf estdrivablesi et seulementsitouteslesapplicationscomposantesJj: l ---7 Ej, (1 ";;j ,,;;p), sontdrivables.Dascecas,f{,,f; sontlesapplicationscomposantesdef.

    Si E estdedimensionp, munid'unebase(ejh'0"Sp etsif E'Je (J, E)estdonnep

    par t ~ f(t) = 'L,Jj(t)ej, alorsf estdrivablesi et seulementsi touteslesj=l

    P

    applicationscoordonnesfl"",fPle sontetdanscecasf(t) = 'L,Jj/(t)ej.j=l

    12. Application de classecP 1

    Dfinitibns:

    d.38

    1

    Commedansle casdesfonctionsrelles,pourf : l ~ E, on dfinitparrcurrencelesdrivessuccessivespartirde: f =fOl drived'ordreO.OnnoteVn(I,E) l'ensembledesapplicationsdel dansE n foisdrivables.

    d.39 Pour p E ~ etf :l ---7 E, ondit quef estde classecP sif E VP(I,E) avecfp) : l ~E continue.OnnoteCP(I. E) l'ensembledesapplicationsdeclassecP del dansE.

    Ondit quef: l ---7 E estde classeC:x) si,pourtoutp c~,f estdeclasseCP,

    Proprits:

    p.23 Pourtoutp c~"',-pP(I,E)etCP(J, E)sontdessous-espacesvectorielsdeC(I, E).1

    p.24 FormuledeLeibnizSif E CP(I, 11

  • ::hapitrel Espacesvectoriels norms

    III - Complets- Compacts- Connexes

    A. Proprits des espaces complets

    27

    D

    Ladfinitiond'unespacevectorielnormcompletestdonneend.23.

    L'espaceCR.I.I) estcomplet.

    Lepassaged'unenorme unenormequivalentenemodifiepaslessuitesdeCauchy,nilanaturecompltedel'espace.

    Prqprits:

    .l'vI' 1 P',26il Soit A une partie ferme d'un espacevectOlielnormcompletdeE.Alors A estune partie compltedeE.

    ii 1Soit A une partie compltedeE. Alors A estun fermdeE

    I].g'i / Unesuite(an)", deCauchyformedepointsdeA estunesuitedeCauchydeE.

    E tantcomplet,cettesuiteestconvergente,orA estunfermdeE, donc[alimitedelasuite(an)',estdansA.

    ii/ Soit(Xn):\ unesuiteconvergentedeE formedepointsdeA.Alors(Xn)'\ estunesuitedeCauchydeE, doncaussideA.

    A tantunepartiecompltedeE, lasuite(Xn)', convergedansA.

    Laproprit10 iiiiprouvequeA estfermdeE.

    D

    p.271

    Les espaces!Mn et ensont complets

    Notonsqu'ils'agitd'espacesproduitsd'espacesvectorielsnorms.

    MontronsqueC=!M2 estcomplet;[agnralisationestfacile.

    Soitn - Zn =Xn + iYn unesuitedeCauchyde C, alors[essuitesrelles(Xn)r\ et(Yn)7\j sontdessuitesdeCauchy.

    EneffetIXn+p - Xnl ~ IZn+p - Znl ~ n o 8n= supIZn+p - ZnlpE,"\;'

    et lim n= 0 car(zn) estunesuitedeCauchy.n---;.-+::>:)

    !Mtantcomplet,lessuites(Xn)'J et(Yn)'; convergentdans!M,vers x ety respectivement.

    Lasuite(Zn)r:oi convergevers x + iy (oprationssurlessuitesconvergentes).

    Thorme'

    -Tf Thormedu point fixeSoit A une partie complted'un espacevectoriel norm (E, Il.11) etf uneapplicationdeA dansA telle que:

    il existeun rel k de[O.l[ tel que,pour tout couple(x, y) deA2 :

    Ilf(y) - f(x) Il ~ kll Y - x il

    Alorsf admetun point fixe a E A, celui-ciestunique et limite detoutesuite(Xn)7\jdeA dfiniepar:

    X(J E A et pour tout nE 1\1: Xn+l =f(Xn)

  • o28 Prcis d'Analyse Il

    On ditque l'applicationfestcoltraqtte,etque (Xn)N estune sUitrcurreteasso-

    cie f.

    Ir' La mthodeconsiste vrifierque:

    i / la suitercurrente(Xn)N estunesuitede Cauchy,

    ii / sa limiteest un pointfixedef,

    iii/ ce pointfixeestunique.

    i / Pour toutnE l'J*: IlXn+l - Xn Il = Ilf(xn) - f(Xn-l) Il ~ ~IIXn - xn-llld'o IlXn+1~ xflll ~ knll Xl - XO II par rcurrence.

    p-l

    Pour toutp E l'J*, on a xn+p - Xn =LXn+i+l - Xn+ii=O

    p-l

    d'o IlXn+p - Xn Il ~ LIlxn+i+1- Xn+i Ili=O

    p-l n

    L n+i ket Ilxn+p - Xn Il ~ k IlXl - XO Il ~ --II Xl - XO Il1- ki=O

    Comme lim kn =0, la suiten f-7 sup Ilxn+p - Xn II convergevers0 : lasuite(Xn)Nn-++co pE N*

    est unesuitede Cauchyde A.

    ii / A tantunepartiecompltede E, lasuitede Cauchy (Xn)N deA convergevers a E A.

    L'applicationfest IipschitziennedonccontinuesurA, d'o:

    hm f(xn) =f ( hm xn) c'est--dire a =f(a)n---++oo n---++ooAinsi a est unpointfixedef.

    iii/ Envisageonsdeuxpointsfixesa et b def :Il b - a Il = Ilf(b) - f(a) Il ~ kll b - a Il donne 0 ~ (1- k)11b - a Il ~ 0

    doncb = a ;f admetapouruniquepointfixe.

    d.40

    1

    B. Parties compactesd'un espacevectorielnormDfinition:

    PartiecompacteUnepartieA d'unespacevectorielnormestditecompactesi toutesuitedepointsdeA admetunesuiteextraitequiconvergedansA.

    Remarques

    1) Le passaged'unenorme unenormequivalenteconservela naturecompacted'une

    partie.

    2) Unepartiefinieestcompacte(thormedes tiroirs)

    3) VoirAnalyse l, ChapitreIl, ParagrapheV, pourl'tudedes compactsde !Kt

    Proprits

    p.28 Dansun espacevectorielnorm,unepartiecompacteestborneetferme.1

  • " .,~r"'''.,

    Chapitre 1 Espacesvectoriels norms

    ~ SoitA unepartiecompacted'unespacevectorielnormE.

    i / SupposonsA non borneet construisonsunesuite(an)'" de pointsdeA ralisant

    il aj - ai Ii ~ 1 pourtouti oF J entiers

    La constructionest rcurrente:

    29

    D

    il existeao et al dansA telsque Il ao - al Il ~ 1 carA estnon borne,

    Si ao,"', an-l sont n pointsdeA telsque Il Clj - ai Il ~ 1 pour0"" i

  • ri

    30 Prcis d'Analyse Il

    ~ Raisonnonspar l'absurde: direquef n'estpas uniformmentcontinuesurA c'estdireque:

    3s> 0, \;f n E N*, 3 (xn, Yn) E A2 Il Yn - Xn Il ~ ~ et lf(Yn) - f(xn)1 ~sn

    A tantunepartiecompactede E, A2 estcompactedansE2,

    donc il existe (xq,(n).Y~(n)r:,; extraitede (xn, Yn)N convergentevers (a, b) E A2.

    f tantcontinue,on a lf(b) - f(a)1 =n~rrcolf (Y~(n)) - f (x~(n)) 1

    donc lf(b) - f(a)1 ~s (i)

    d'autrepart, IIY~(n) - X~(n)11~ ~() donne lim~IIY~(n)- Xq;(n)Il =cr n n~+xdonc b = a et f(b) =f(a) (il)

    Les rsultatsde (i)et (ii)sontcontradictoires.

    D

    t.3

    ~

    Imagecontinued'uncompactSoitA unepartiecompactedeE etf :A ~ F uneapplicationcontinue.Alorsf(A) estunepartiecompactedeF.(VoirAnalysel, ChapitreIII, thorme6).

    A toutesuite(Yn)N def(A), on peutassocierunesuite(Xn)r:,;deA parf(xn) =Yn.

    A tantunepartiecompactedeE, ilexisteunesuite(X~)N extraitede (Xn)r:,;quiconverge

    vers un pointa deA.

    f tantcontinue,la suite (Yit) N = (f(x~)) N' extraitede (Yn)'\j, convergevers

    f(a) E f(A).

    t.4 Fonctioncontinuesurun compact

    SoitA unepartiecompactedeE etf :A ~ F uneapplicationcontinue.

    i! Alorsf estborneetatteintsaborne:il existea E A telque:lf(a)1 =suplf(X) 1

    XEA

    ! Casd'unefonctionrellef: A ~iR continuesurA compact.Alorsf estmajore,minore,il existea etb dansA telsque:

    f(x) = inff(x) et f(b) = supf(y)XEA !jEA

    D

    1.....

    ~ i / La propritprcdenteindiquequef(A) est une partiecompactede F, donc borne

    etfermede F. On disposedoncdu rel IlfilA =sup lf(x)l.XEA

    Introduisonsune suite (Xn)\, de A telle que la suite (lf(xn)l) convergevers IifliA(propritde la bornesuprieure).

    A tantunepartiecompactede E, il existeunesuite(x~)'\ extraitede la suite(xn)~, qui

    convergevers un pointa deA.

    La fonctionx f-7 lf(x) 1 tantcontinueen a, on obtient:

    n~rrxlf(x~)1= lf(a)1 donc liA = lf(a)1

    ii / Icif(A) est une partieborneet fermede R. elle admetun pluspetitet un plusgrand

    lment;c'estle rsultatannonc.(VoirAnalyseL ChapitreIII. thorme7).

  • ::::hapitre1 Espacesvectoriels norms

    Exemples - Travaux pratiques

    exemple 15

    C?mpletset compacts

    Dnepartie A compacte de E est complte .

    Prenonsunesuitede Cauchyde E formede pointsde A.

    CommeA estcompacte,cettesuite admetunesuiteextraite(X~)N quiconvergedansA.

    Or, unesuitede Cauchyayantunesuiteextraiteconvergenteest elle-mmeconvergente.

    AinsiA est unepartiecompltede E.

    exemple 16

    PrOpritsdes compacts embots

    st (Xn)r,; une suite dcroissante de parties non vides et compactes de E.

    MOntrer que l'intersection X = ( Xn est un compact non vide de E

    31

    NotonsXn un pointdeXn (nonvide)pourchaquen E'\j.Les Xn tantembots, est une suite du compactXo, elle admetune suite extraite

    (x

  • 32

    IM'lp32

    Prcis d'Analyse Il

    Soit A une partie compacte de E.

    o

    i / Pour tout r> 0, il existe une famille finie de boules de rayon r dont la runioncontient A.

    ii / Pour toute famille (Vi)iEI d'ouverts dont la runion contient A, il existe r> tel que, pour tout x de A, il existe un ouvert Vi de la famille qui contient laboule B(x, r) :

    :3 r> 0,V X E A,:3 iE J, B(x, r) c Viiii / Pour toute famille (V;)iEI d'ouverts dont la runion contient A, il existe une

    partie finie J de J telle que:AcUVi

    iEJ

    [email protected]' i / Par l'absurde,s'il exister> telqueA ne soitpas runiond'unefamillefiniede boulesde rayonr.

    Alors, partird'unpointxo deA, on peutconstruire,pointparpoint,unesuite (Xn)1\I de

    A telleque Xn ne soitpas dans la runion U B(x;, r).O~i

  • Chapitre l Espacesvectoriels norms 33

    pies~Travauxpratiques

    Les lmentsde E sont des fonctionscontinuessur le compact[0,1] de ~, elles sont doncborneset la normeIl .11 co estdfinie.

    PourconstaterquelasphreunitdeE estnoncompacte,ilsuffitd'exhiberunesuitedefonctions

    (fn)N, de la sphreunitde E, qui ralise Ilfq - fp lico ;" 1 pourtoutcouple(p, q) d'entiersdistincts.

    En effet,aucunesuiteextraitede (fn)N ne peuttreconvergente.

    Choisissons ln: E -+C, t f-7fn(t) = e2in"lTt.

    Comme l"l= 1 pourCi rel,fnest unitaire.

    La formule 1 ei!> - '1 =21 sin f3 ~ Ci 1 donne:

    exemple 17

    renon compacteacevectorielE =C([O, 1],C)tantnormpa == sup lf(t)l),

    tE[O.l]

    1l{q(t)- fp(t)[ =2 [sin(q - p) 'TT tl ~ 2 (galitsi t = 21q _ pl E [0,1])

    donc Ilfq - fp Il =2.Conclusion

    La sphreunitde (C([O, 1,C), Il .llco) est borneetfermemaisn'estpas compacte.Ceci estl'illustrationdu thormede Riesz: pourque la sphreunitd'unespacevectorielnormE soit

    compacte,il fautet il suffitqueE soitde dimensionfinie.

    C. Parties connexes IM'I

    d.41 Partieconnexe

    UnepartieA deE estdite nOncOfinexes'ilexistedeuxouvertsVoet Vi deE telsque:

    { Von VI =0An Vo",0 etAc (VoU VI)

    Dansle cascontraire,la partieA estdite

    Remarques

    1) Par passageauxcomplmentaires,on obtient:

    { Fo nFI =0A nonconnexe ~ il existeFo etFI fermsde E A nFo ",0 et A nFI ",0

    Ac (Fou FI)2) Une partieA de E est connexesiA et0 sont les seulespartiesdeA la fois ouvertes

    etfermesdansA. En particulier,un espacevectorielnormestconnexe.

  • Il

    34 Prcisd'AnalyseIl

    3) Pardfinition,la partievide0 estconnexe,unsingletonaussi.Hormiscesdeuxcas,unepartiefiniedeE estnonconnexe.

    4) LapaireP = {O,1}dansIRestlacaricatureil d'unensemblenonconnexe.LespartiesdeP sont0, {O},{1},{O,1};ellessontouvertesetfermesdansP.

    d.42 arcs

    Une partieA deE estditeconnexepar arcssi, pour tout couple(x, y) depointsde A, il existe une applicationJ continuedu segment[0,1]de IR valeursdansA telle que :

    J(O) =x et J(l) =yRemarques

    1) On peutcomprendrequeA estconnexepararcssi, deuxpointsquelconquesdeApeuventtrerlisparunchemincontinuinclusdansA.

    2) Lorsquececheminestunsegment,A estconvexe:unepartieconvexeestconnexepararcs.

    Partie etoile

    Une partieA estdite etoiles'il existeun point a deA tel que,pour tout x deA, le segment[a, x] est inclus dansA.

    Remarques

    1) Danscettedfinition,untelpointaestappelcentredeA .2) Unepartietoileestconnexepararcscardeuxpointsx ety deA sontlesextrmits

    d'unelignebrise[x, a, y], a tantuncentredeA.

    d.43

    1

    Proprits:

    o

    =J-1(0) et

    p.33

    1

    u&

    Caractrisationd'unepartie connexe

    Une partie A deE estconnexe si et seulementsi toute applicationcontinueJ deA dans la paire P ={O,1}est constante.SupposonsA nonconnexec'est--direruniondedeuxouvertsVaetVI disjointsnonvidesetconstruisonsuneapplicationJ :A --+ P enassocianttoutx deA lavaleur:

    J(x) = {O si x E Va1 SI X E VICetteapplicationJestcontinue,carlesimagesrciproquesparJ desouvertsdeP :

    0=J-1(0) , Va=r1(O) , VI =J-l(1) A =J-l(p)sontdesouvertsdeA.

    CommeVaetVI sontnonvides,J n'estpasconstante.

    Formulonslarciproqueaveclesmmesnotations.

    S'ilexisteuneapplicationcontinueJ : A --+ P nonconstante,alorsVaVI =J-1(1) sontdeuxouvertsnonvidesetdisjointsdeA.

    Or A =VaU VI, doncA n'estpasconnexe.

    o

    p.34

    1

    u&

    Imagecontinued'unepartie connexe

    Soit A une partie connexedeE etJ :A --+ F une applicationcontinue.Alors J(A) estune partie connexedeF.Soit9 :J(A) --+ P ={O, 1}uneapplicationcontinue.L'applicationcompose9 0J :A --+ P estcontinuedoncconstantecarA estconnexe.Onendduitque9 estconstante.DoncJ(A) estconnexe.

    l....-

  • Chapitrel Espacesvectorielsnorms 35

    D

    D

    D

    p.35

    p.36

    p.37

    p.381

    Adhrenced'unepartie connexe

    Soit A une partie connexedeE.Alors toutepartie B telle que Ac BeA est connexe.En particulier,A estconnexe.Soit] :B -+P ={O,1}uneapplicationcontinue.Larestrictionde] A estaussicontinue,doncconstantecarA estconnexe.

    OndisposealorsdesinclusionsICA) c](B) c]CA) =]CA), cesontdesgalitsdonc] estconstantesurB, etparconsquent,B estconnexe.

    Remarque

    L'intrieurd'unepartieconnexen'estpasncessairementconnexe imaginerdeuxdisquesfermsdeC tangentsextrieurement.

    Runion de parties connexes

    Soit CAi)I une famille non vide departies connexesdeE.

    S'il existe une partie Ale qui rencontretoute autre partie Ai de la famille,

    alors la runion R =UAi est connexe.iEl

    Remarque

    C'est,enparticulier,lecassi l'intersectionnAi n'estpasvide.iEl

    Parcontre,onnepeutriendirequant l'intersectiondedeuxpartiesconnexes(penser uncercleetunedroitescantedansleplan).

    Soit] : R -+P ={O,1}uneapplicationcontinue,]estconstantesurchaquepartieAi(connexe),cetteconstanteestcommunecar Ai n Ale n'estpasvide.

    Donc] estconstante,larunionR estconnexe.

    Composanteconnexe

    Soit A une partie non vide et a un point deA.Alors la runion desparties connexesde E qui contiennent{a} et qui sontinclusesdansA estune partie connexedeE.

    Elle est fermedansA, c'estla plus grande partie connexede E contenant{a} et incluse dansA.

    On l'appellecomposanteconnexedu point a dansA.Ladmonstrationdcoulenaturellementdedeuxpropritsprcdentes.

    Parties connexesde IR

    Les parties connexesde IR sont les intervalles.

    Rappel

    Unintervalleouvertnonvideesthomomorphe IR.t

    (t f---7 a +et, t f---7 b - e- t, t f---7 a +b~ sontdeshomomorphismesde IR surl+e]a, +00[, ] - 00,b[ et ]a, b[ respectivement).

    ~ i/ UnintervalleJ de IR estconnexe. NotonsJ = l l'intrieurdeJ.SiJ =0,alorsJ =0 ouJ estunsingleton,doncJ estconnexe.Sinon,J estconnexe(intervalleouvertnonvidehomomorphe IR) etJ cJ cJ, doncJ estconnexe(cfproprit35).

  • 36 Prcis d'Analyse Il

    D

    ii / Soit unepartieA de IRqui n'estpas un intervalle.

    Il existealorstroisrelsa, b,e telsque a

  • Chapitre l Espaces vectoriels norms 37

    1si ~t ~ "2

    1"2~t~l{ g(t) = j(2t)

    g:[O,l]-+A, t>--'>

    g(t) = 2(1- t)b+(2t - l)x si9 E 46.s:'1([0,l],A). Ainsi B(b, r) est incluse dans D, D est ouvert.D est un ferm de A.

    Soit (Xn)1\I une suite de D qui converge vers un point y de A, il existe donc une bouleB(y, r) incluse dans A (ouvert) et un entier n tel que Xn E B(y, r).

    On raccorde de la mme faon l'arc Xn de A au segment [Xn, y].

    Donc y E D, D est ferm (caractrisation par les suites).D est une partie ouverte et ferme non vide de A. Comme A est connexe, D =A.D est connexe par arcs.

    Par dfinition, pour tout couple (x, y) de rr, les arcs X et Qi) sont tracs dans A.On a vu en cours de route comment les raccorder, c'est--dire construire une application

    continue h : [0,1] -+A telle que h(O) =x, h ( ) = a, h(l) = y. D

    Exemples- Travauxpratiques

    exemple 1.8

    est()()nne'Xepararcs,doncconnexe.nesontpashomomorphes.

    et U nesontpashomomorphes.Prenons deux points de 1[:* sous la forme A = a'-et B = beii3 o a et b E IR~,et et [3E IR.Contournons l'origine par le chemin suivant:

    j : [0,1] -+iC*, t >--'>j(t) =[(1- t)a +tb]e(1-t)ia+tii3

    application continue vrifiantj(O) =A,f(l) =B et lf(t)1 E [a, b] clR~,1[:* n'est cependant pas toil.

    2) Imaginons une bijectionj de 1[:sur IR.

    L'image de la partie connexe eest IR\ {j(O)}, partie non connexe de IR, doncj n'est pascontinue.

    3) L'application --'> az induit un homomorphisme de U sur U, donc h est un homomorphisme (parcomposition).

    1Or, h(l) =g(a) ="2 donc j'image par h de la partie connexe U \ {1} est

    partie non connexe de IR, c'est une contradiction.

  • 38

    Exercices-types

    Prcisd'Analyse Il

    Soit A et B deux partiesnon vides fermesetdisjointesde E.

    1) Trouverunefonctioncontinuef :E ->IRtellequeJjA =O,Jj B =1.

    2) En dduire l'existencede deux ouverts

    disjointsU et V de E telsque

    AcU,BcV

    Ex. 1.2

    Soit A et B deux partiesnon vides fermesetdisjointesde E.

    1) Montrerque,si A estcompact,alorsd(A,B) > O.

    2) Donner un exempledans IR, puis dans1R2 o d(A, B) = O.

    Ex. 1.3

    Montrerque

    N :1R2---.1R,(x, y) ~ N(x, y) = sup lx +tyltE[,ll

    est unenormesur 1R2.

    Dessinerla sphreunit.

    Ex. 1.4

    SoitA unepartieconvexede E.

    Montrerquela fonctionE ---.IR, x ~ d(x,A) estconvexe.

    EX.1.5

    x1) Montrerquef : E ---.E,x ~ 1+Il xii

    induitun homomorphismede E sur labouleunit.

    2) Montrerquef est lipschitzienneet trou-ver le meilleurrapport.

    EX.1.6

    1) Pour quellesvaleursdu rel dfinit-on

    unenormesur 1R2 par

    Nf..(x, y) =vix2 +2 xy +y2 ?2) Comparerles deuxnormesNf..etNiL'

    Ex. 1.7

    Soit A une partiede IRP ayantun uniquepoint

    d'accumulationa ; montrerque A est dnom-brable.

    EX.1.8

    SoitA uncompactdeE, (Xn)N unesuitedeA etL l'ensembledes valeursd'adhrencede cette

    suite.Calculer lim d(xn, L).n-+oo

    EX.1.9

    SoitA unepartienonvideet bornede E.

    1) Montrerque toute demi-droited'originea dansA rencontrela frontiredeA,

    2) MontrerqueA etFr(A) ontlemmedia-mtre.

    Ex. 1. 10

    Soit A une partienon vide de E etf :A ---.IRk-lipschitzienne.

    1) Justifier la dfinitionde 9 : E ---.IR,

    x ~ g(x) =sup{J(t)- kllx - t Il}tEA

    2) Vrifier que 9 prolongef et que 9 estaussi k-lipschitzienne.

    Ex. 1. 11

    SoitF unsous-espacede dimensionfiniede E,Fi=E.

    1) Montrerque, pour toutx E E, il existeXl E F telque Il x - Xl Il =d(x, F).

    2) Montrerqu'il existex E E \ F tel queIl x Il = d(x, F).

    Ex. 1. 12

    SoitK unepartiecompactedeE.

    1) Montrerqu'ilexistedeuxpointsaet b deK telsque Il b - a Il =8(K), diamtredeK.

    2) Commentces deux pointsse situent-ils

    par rapport la frontirede K ?

  • Chapitrel Espaces vectoriels norms

    Indications

    39

    Ex. 1.1

    1) Utiliser les fonctions

    x >--+ d(x,A), x >--+ d(x, B).

    2) Utiliser des images rciproquesd'ouverts de iR;.

    EX.1.2

    1) Par l'absurde.

    2) Vrifier que Z est un ferm de iR;.

    Penser une courbe plane ayant uneasymptote.

    Ex. 1.3

    Expliciter N(x, y) et reconnatre une norme

    classique de iR;2.

    Ex. 1.4

    Faire un croquis; utiliser la norme de E avant

    de passer aux bornes infrieures.

    Ex. 1.5

    1) Rsoudre l'quation y =J(x) en calcu-lant Il y Il au pralable.

    2) Former J(y) - J(x) l'aide de (y - x) oude Ilyll-IlxllPour le meilleur rapport, commencer par

    choisir y =O.

    Ex. 1. 6

    1) Reconnatre une norme euclidienne pour convenable.

    2) Chercher les bornes de la fonction

    N2~(x, y) sur les droites x = yetNf..

    x +y = O.

    Prsenter A comme runion dnombrable d'en-sembles finis forms de " couronnes" centres

    en a.

    Raisonner par l'absurde en supposant que

    (d(xn), L) 1'\1 ne converge pas vers O.

    1) Sur une demi-droite d'origine a E A,considrer le point de A le plus loignde a.

    2) A partir de deux points a et b de A dfinirdeux demi-droites dont l'intersection est

    [a, b], puis utiliser 1).

    Ex. 1. 10

    Savoir qu'une partie non vide majore de iR; ad-

    met une borne suprieure, que cette borne est

    le plus petit des majorants.

    Ex. 1. 11

    1) Introduire une suite convenable de F.

    2) Considrer x = y - yi.

    Ex. 1. 12

    1) Introduire une application continue dfi-

    nie sur un compact.

    2) Vrifier que a, par exemple, n'est pasintrieur K.

  • 40

    .------ "-- .,""'~ ~ __ u

    Prcis d'Analyse Il

    Solutionsdesexercices-types

    x

    1) NotonsCi et [) les fonctionsdeE dans IRdfiniespar Ci (x) =d(x,A) et [) (x) =d(x,B).

    Rappelonsque d(x,A) =0 ~ X E A (carA est ferm)

    etque Id(x,A) - d(y,A)1~ Il x - y II

    Ainsi, les fonctionsCi et [) sontcontinuessurE et la fonctionCi +[)ne s'annulepas surE (carA etB sontfermsdisjoints).

    Ceci justifiel'existenceet la continuitde la fonction:

    d(x,A) ". Cif : E -+R x f--> d(x,A) +d(x,B) c est-a-dlre f = Ci +[)

    Il est facilede vrifierquef estvaleursdans [0,1]etque JjA =0 , JjB =1.

    2) Notons U=f-1(]-oo,[) et v=r1(],+oo[).Ce sontdes ouvertsdisjointsde E (imagerciproqued'ouvertsdisjointsde IRparunefonctioncontinue) et AeU, BeV car A=f-1(0) et B=f-1(1).

    1) Si d(A,B) =0, ilexisteunesuite(an, bn)f\j deA x B telleque lim Il an - bn II =O.n~+co

    A tantcompact,ilexisteunesuite(~(nf\j extraitede (an)f\j quiconverge,notonsc sa limite.

    Par ingalittriangulaire:

    II c - b f(x) = ~x +1f est continue.Les deux partiesde 1R2 dfinies Bpar:

    A = {(x,O)/x EIR} =IRx{O} et A 10

    B ={(x,f(x lx E IR},graphedef

    sontfermes.En effet,A estproduitde fermsde IR,etB est l'imagerciproquede {O}parlafonctioncontinue1R2-+R (x,y) f--> f(x) - y)

    A Il B =0(f ne s'annulepas) et 'ifx E IR,d(A,B) ~ f(x) donc d(A,B) =o.

  • Chapitre 1 Espacesvectorielsnorms 41

    Ex. 1.3

    Pour (x,y) E u;g2 donn, la fonction t;-;. x + ty est affinedonc monotone,ses extremumssont

    atteintsauxbornes.Ainsi N(x, y) =sup{[x!, lx +yi}.

    {X=x ALe changementde variable IY

    Y=x+ycorrespondau changementde basesur u;g2 :

    {--+ ~ ---+

    I=i-jJ=)L'expressionde N danscettenouvellebase est

    N(XI +Y j) =sup(IXI ,IYi);il s'agitde la normeNx, de u;g2. '.. ni'.. xLa sphreunitest le paralllogramme

    desommets l J c'est--dire[, [-2j, -[, -T+2)

    EX.1.4

    Notations

    Soit(x,y) E E2 , (u, v) E A2,

    rE ]0,1], {z = (1- t)x +tyw = (1- t)u +tu

    410rs z - w =(1- t)(x - u) +t(y - v)et Ilz - w Il "" (1- t)1Ix - u Il +tll y - v Il

    d(z, A) "" (1 - t)11x - u Il +tll y - v Il

    d(z, A) "" (1- t)d(x,A) +t dey,A)

    1.5

    y

    ~\ Z, ,; 1 X, ,, ' ', ' ', ' '

    ~

    ' '

    A v~u

    (uneborneinfrieureest un minorant)

    (c'estle plusgranddes minorants)

    1) Pour y =j(x),

    B(O, 1).

    Ily Il = 1 1,1~ILIl appartient [0, 1[,doncj est valeursdans la bouleunit

    xPour y E B(O, 1), rsolvonsl'quation y = -.-" ".

    On obtient Ilx Il = 1 ~~II~/1 (dfinicar Ily Il < 1), puisunique.

    x= ~ commesolution

    Ainsij induitun homomorphismede E sur B(O, 1) dontl'applicationrciproqueest

    B(O, 1)-+E, y;-;. 1- ~Iy Il (lescontinuitsdej etj-1 dcoulentdes oprationssurles fonctionscontinues,(proprit19))

    y - x +Ilx Ily - Ily Ilx2) Calculons j(y) - j(x) = (1 +Ilx Il)(1+Ily Il)

    En crivant = Ilx Ily - Ily Ilx =Ilx lI(y - x) +(IIx Il - Il y Il)x

    on obtient Il Il "" Ilx II Ily - x Il + IIIx Il -II y III Ilx Il "" 211x II Ily - x Il

  • 42

    '----.--~~-- .~="".,'-=-"..,== IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!!!!IIIII!!!!I!II.----4I!__ Prcis d'Analyse Il

    , , "" (1+211 x Il)[[ y - x IlAinSI IIJ(Y) - J(x) Il ~ (1 +[[x Il)(1 +[[y Il)

    En permutantx et y ((x,y) ~ IIJ(Y) - f(x) Il est symtrique)puis en faisant la moyenne

    arithmtique,il vient:

    (1+[[x Il +Il y 11)11 y - x [[IIJ(y) - J(x) Il "" (1 +Ilx Il)(1+Ily Il) "" Ily - x Il

    J est lipschtziennede rapport1.

    IIJ(x) Il 1 ,Comme lTXlI = 1 , Il "II -+ 0 (x -+ 0), k = 1 est le rapportoptimum,

    1.6

    { " --.+ -+

    T = t + jv2

    J=~j

    1) Qx.cx---r +x)) =x2 +2 xy +~ est une formequadratiquesur ~2, il s'agitqu'ellesoitdfiniepositive,Pour des raisonsde symtrie,faisons lechangementde coordonnes

    { x+y

    X = v2 correspondantau changementde base orthonormalex-y

    y= v2

    (vecteurspropresde la matricesymtrique ( ~ ~) )

    QA (XI +Y J) =(1+)X2 +(1- )y2QA estdfiniepositivesi etseulementsi (1+>0, 1- >0) =?E] -1, l[ et danscecas NA =VQ;: est unenormeeuclidiennesur ~2. (VoirAlgbre2)

    2) Plaons nousdans le cas -1

  • ~:I~'t~III~,~IIIIII.lllrn 1I!!,~itf:i

    Chapitrel Espacesvectoriels norms 43

    Ex. 1.8

    A tantcompact,la suite(xnh, admetunesuiteextraiteconvergente.doncL estnonvide.

    Supposonsque la suiten f-7 d(xn, L) ne convergepasvers 0 :

    3s> 0,V N E'\, 3 P ~ N, d(xp.LJ ~sCe quisignifiequ'ilexisteunesuite(x~h, extraitede (xnhvrifiantd(x~,L) ~s pourtoutn E "c;.

    Cettesuite de A admetelle-mmeune suite extraiteC,(~)convergente,dont la limitea est valeurd'adhrencede (x~)"J et aussi de (xnh,.donca E L, et on obtientla situation:

    o

  • l'

    44

    or; ~ _~-, ,' . ~"'''''''''",H

    Prcis d'Analyse Il

    d : E2 -+IR, (x, y) f-'3> d(x, y) = II y - x Il

    N(x, y) = II x II +Il y Il, l'applicationd est lipschitziennede

    1) F tantde dimensionfinie,toutesuitebornede F admetunesuiteextraiteconvergente.

    Soit x E E et (Xn)N unesuitede F telleque:

    hm Il x - Xn Il =d(x, F)n-++oo

    La suite relle (II x - Xn II) N est convergentedonc borne,ce qui entraneque la suite(Xn)N est elle-mmeborne.

    Elle admetdoncunesuiteextraite(X~)N convergentede limitex! dansF, car F estferm.

    Alors hm Il x - x~II = Il x - x' Il = d(x, F).n-++oo

    2) SoitYEE\FetylEFtelsque Ily-y/ll=d(y,F).

    Posons x = y - y. Comme d(x, F) = dey,F), x vrifie Il x Il = d(x, F).

    1) Introduisonsl'applicationdistance

    La normechoisiesur E2 tant

    rapport1, donccontinue:

    Id(X,y) - d(x, y)1 ~ Il (Y -y) - (X-x) Il ~ Il Y -yll +IIX-x Il =N(X-x, Y -y)

    La restrictionde d au compactK2 (produitde compacts)est borneet atteintsa borne (lediamtrede K pardfinition); il existedeuxpointsa et b de K ralisant:

    sup d(x, y) = Il b - a Il =0(K)(X.Y)EK'2

    2) Montronsque a et b sontdes pointsde la frontirede K.o

    Fort de l'identit K =K \ Fr(K), un raisonnementpar l'absurdeconsiste supposerque lepointa,parexemple,est intrieur K.\1 existedonc unebouleB(a,r) inclusedans K.

    ~

    En supposantaet b distincts(sinonK est un singleton),le point

    dansB(a,r)doncdansK et "augmentele diamtrede K" car

    rII b - cil =II b - a II +2 :c'estbiensr unecontradiction.

    r b- ac = a - 211 b _ a Il est

    r b- ab-c=b-a+-2----

  • Chapitrel Espaces vectorielsnorms

    ExercicespropossE dsigneunespacevectorielnormsur K

    45

    Ex. 1. 1

    Montrerque l'ondfinitunenormesur ~2 par:

    IIx+tyll:V(x, y) =sup---

    tE [ii 1+tDtermineret dessinerlasphreunit.

    Ex. 1.2

    Dans l'espacevectorielE = dIO,1],R) normpar Il.1100'on considreunefamille

    'f1, ... ,fp) E EP et on dfinitl'application

    eV :~P-+~ par

    :V(X1,'" ,xp) =IIZf=lxJi11 x'Donnerune conditionncessaireet suffisante

    pourqueN soitunenormesur ~p

    Ex. 1.3

    Soit E = C([O, 1],m ; montrerque l'on dfinitdes normesN1,N2, ... par:

    'h(f) = lf(O)1 + IIf' Ilco,N2(f) = lf(O)1 +lt(O)1+1I1"llx,'"

    Comparerces normesdeux deux.

    Ex. 1.4

    SoitE =C1([0, 1],~) ; montrerque l'ondfinitunenormeeuclidiennesur Epar:

    X: E-+~,

    EX.1.6

    SoitA une partiecompactede E, montrerque

    B =u!x.Y)EA2 [x, y] est une partiecompactedeE.

    Ex. 1.7

    SoitA unepartienonvidedeE; pourtoutr> 0,

    on pose:

    B(A. r) ={x E E/d(x,A) lf(O)1 +K(f).MontrerqueN est unenormesur F,

    ComparerN et Il 1100'

    Ex. 1.10

    Soit F l'ensembledes fonctionslipschitziennesde [0, 1] dansE. On dfinitl'application:

    K:F~~,

    EX.1.9

    SoitA une partiecompactede E etf : A -+Atelleque:

    'i (x, y) E A2, IIf(y) - f(x) Il = Il y - x IlMontrerquef estsurjective.

    1

    f f--'> N(f) = k2(Oh,,f1'2(t) dtrComparerles normesN et Il.llx.

    Ex. 1.5

    SoitK unepartieconvexed'un~-espacevecto-rielE admettantGE commecentrede sym-trie,ne contenantaucunedroite,tellequetoute

    droitepassant par GE rencontreK en dehors:Je GE.

    Montrerque N : E -+~,

    xf--'>N(x)=inf{E~:/~ E K}estunenormesur E.

    Montrerquepourcettenormeo _

    B(OE, 1)=K etBj(OE' 1)=K.

    f f--'> K(f) = supO~x~y~l

    lf(y) - f(x)1

    y-x

  • 'o ~ -", _~ ~~i~~ __ ~ . ------------- _

    46 Prcis d'Analyse Il

    lM] Ex. lM]

    Soit E un espace vectorielnorm ayant unebasednombrable.

    MontrerqueE estcomplet.

    Soit A une partiecompactede E et (Xn)1\I une

    suitedeA telleque

    lim Xn+l - Xn =O.n--++oo

    dansE.

    14

    SoitE unespacevectorielnormotouteboule

    fermeest compacte.

    MontrerqueE estcomplet.

    EX.1.17 lM]SoitE un IR-espacevectorielde dimensionfinie

    n ~ 1 etF un sous-espacede E.

    MontrerqueF estunhyperplansi etseulementsi E \ F est nonconnexe.

    Ex. 1. 16 lM]SoitA une partiecompactede E et (Cn)1\I une

    suite dcroissantede parties non vides con-nexesetfermes.

    Montrerque l'intersectionn Cn estconnexe.ncol\l

    Montrerque l'ensembledes valeurs

    d'adhrencede la suite(Xn)1\I estconnexe.

    lM]

    Soit E un espace vectorielcomplet; on con-

    sidre une suite (Vn)1\I dcroissanted'ouvertsdensesdans E.

    Montrerque l'intersectionn Vnestdensencol\l

    Soit E un espacevectorielcomplet,j :E --+ Euneapplicationtelleque l'unede ses itresjP

    (p E N*) soit contractante.

    Montrerquej admetun pointfixeunique.

    EX.1.18 lM]SoitE un IR-espacevectorielde dimensionfinien~2.

    Montrerquetoutesphreestconnexe.

    ...

  • DChapitre Il

    Applicationslinaires

    sur lesespacesvectoriels/normes

    1- ContinuitdesapplicationslinairesE, F, G dsignentdes espacesvectorielsnorms.

    Thormes:

    t.1 Caractrisation des applications linaires continues

    Pour une application linaire f de E dans F les proprits suivantes sontquivalentes:

    il f est continue sur Eiil f est continue au point OE

    iii 1f est borne sur la boule unit ferme BJ(OE' 1) _iv 1il existe k ? 0 tel que pour tout x de E : Ilf(x) Il ~ kll x Ilvif est lipschitzienne

    10? Ilestfacilede faireunedmonstrationcirculaire.il =? iil =? iiii =? ivl =? vi =? il

    Dtaillons'iil =? iiii

    En utilisantla continuiten 0E, il existea>0, telque Ilx Il ~a =? Ilf(x) II ~ 1.

    Toutvecteury de la bouleunitfermevrifie Il a y Il =a Ily Il ~ a1 1 1

    donc f(y) = -f(a y) donne Ilf(y) Il = -llf(a y) Il ~ -.a a a

    Ainsif est bornesur l bouleunitferme.

    Voyonsaussi iiii =? ivl

    Exprimonsquef estbornesur labouleunitferme:::3k? 0, 'if x E E, Ilx Il ~ 1 =? Ilf(x) Il ~ k

    yPour toutvecteurnon nuly, on a mE BJ(OE,l)donc 1~(lI~II)II~k et Ilf(y)ll~kllyll

    Sachantquef(O) =0, l'ingalitIlf(y) Il ~ kll y II estvalablepourtouty de E.

    Les autresimplicationssontvidentes.

  • 48

    t.2

    1

    Prcis d'Analyse Il

    Remarques

    1) Lacontinuitdef E ~ CE, F) resteacquiseparlechangementd'unenormeenunenormequivalente,dans E commedans F. Par contre,f peuttrecontinuesur CE, Il .111)etnoncontinuesur (E, Il.112) quandIl .111 et Il.112 ne sontpas quivalentes.

    2) Dans les propritsduthorme1, on peutremplacer:

    en ii/ le pointOE parun autrepointde E,

    en iii/ la bouleunitfermepartouteautreboulede rayonnon nul,mmeouverte, ou

    par unesphrede rayonnon nul.

    3) Souvent la miseen dfautde la continuitd'uneapplicationlinairef E ~ (E, F) se faiten exhibantunesuite(Xn)Nde la bouleunitde E telleque la suite (i(xn) N soitnonborne,( lim IIf(xn) Il =+00parexemple).n-++oo

    L'ensemble des applications linaires continues de E dans F est un sous-

    espace de ~ (E, F) not

    o

    Ir%' ~c CE, F) est non vide et stable par l'additiondes fonctionset la multiplicationd'une

    fonctionparun scalaire.

    "s'agit biend'uneapplicationlinairedfiniesur des espacesvectoriels norms:

    'Il:E -+IR, P f-7 pel)

    E normpar Il.1100 et IRpar la valeur absolue.

    Essayonsd'appliquerla remarque3) prcdente.

    Notons Pn(X) =l +X +... +Xn,on a alors Il Pn 1100= l et 'Il (Pn) =Pn(l) = n+l

    Voilunexempled'unesuite(Pn)N de la sphreunitdontla suitedes images('Il (Pn)N n'estpas borne.

    L'applicationlinaire'Il n'estpas continuesur CE, Il.11(0)'

    .... -",..,..,,,,,,,,,,,,~,,,,---....------------------------------

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 49

    2

    ment de norme

    les notations de l'exemple 1etq

    11 PlI1 ==Llad eti=O

    \Il: E -fIFt P f-3> P(l)

    sur E =~ [X] deux autres

    sur(E,II.I12)1

    Ces questionsse justifientcar les normesIl . 111,Il . 112et Il . 1100ne sontpas quivalentes.

    L'analogieentreIl P 111et ep(P) se concrtisepar:

    lep (P)I = IP(l)1 =I~ail ~ ~ lad = Il P 111epestbornesur la bouleunitde (E, Il.111) (lep (P)I ~ 1 si Il Pl11 ~ 1)

    L'applicationlinaireepestcontinuesur (E, Il .111)

    Reprenonsla suiten f-3> Pn(X) = 1 +X +... +Xn de l'exemple 1 etcalculons:Il Pn 112=vn+l et Pn(1) = n +1

    P

    Alors Qn= ~ appartient la bouleunitfermede (E, Il.112)vn+1

    tandisque ( ep (Qn)N = (vn+l)N estunesuiterellenon borne.Ainsi, l'applicationlinaireep est noncontinuesur (E, Il . 112).

    t.3 Norm.ed'un~applicatiol'lliliaire cOntinue

    E et F dsignant des espaces vectoriels norms, l'application:

    5Ec (E, F) -fR f f-3> Iif Il = sup Ilf(x) Il est une norme sur 5Ec (E, F)Ilxll~l

    Remarque

    L'existencedu reliif II pourf E 5Ec (E, F) estjustifieparlapropritiii/ duthorme1.

    NotonsB la bouleunitfermede E: BJ(OE' 1).Vrifionsles troiscritresde dfinitiond'unenorme.

    Si Iif Il =0, alorspourtoutx E B, Ilf(x) Il =0 etf(x) = O.

    Or, quelquesoity E E, x = 1 +ty Il E B donc f(y) = (1 +Il y Il)f(x) = O..Conclusion: f = 0 ~ Iif Il =O.Notons I(j) = {llf(x) Illx E B} c~+pourf E5Ec (E, F)

    Comme I( f) = II I(j) pourE II

  • 50 Prcis d'Analyse Il

    Convention

    Ds queE etF sontdes espacesvectorielssur lesquelsdes normessur E etF onttfixes,l'espacevectoriel::Ec (E, F) est munide la normeIl .11 prcdente.Cettenormesur ::Ec (E, F) estdpendantedes normeschoisiessur E etF.

    t.4

    Pour toutf E::Ec(E, F), on a :

    . Ilf(x) Il

    II Iif Il = sup Ilf(x) Il = sup Ilf(x) II = sup -II-IIIlX Il,,;;1 Ilxll~l XEE\{OE} x

    iil Iif Il =min{k E ~+ l'if XE E, Ilf(x) Il ~ kll x Il}

    Il'W i / Si f E ::EcCE,F), l'existencede a = sup Ilf(x) IL de b = sup Ilj(x) Il et deIlX Il,,;;1 Ilxll~1

    Ilf(x) Il , 1 d th" 1 "t' "') ')c = sup -1-1-1-1 resute u eoreme , propnees III et IV ,XEE\{Oe} xB dsignetoujoursla bouleunitfermedeE et soit5 la sphreunit.

    Ilf(x) II Il ( x ) Il {x }Ona lfXlr= f W et W/XEE\{OE} =5 donc b=c5cB donneb~aPour toutx de B \ {OE}, on a

    encorevrifiepourx =OE d'oFinalement a =b =c,

    Ilf(x) Il ~ II~~~Il d'o Ilf(x) Il ~ c, ingalita ~c soitaussi a ~ b.

    o

    c.2

    1

    ii / sup Ilfll(XI)IIIest le pluspetitmajorantde l'ensemble {llfll (XI)IIIlx E E \ {OE}}xEE\{Oe} x x

    doncc'estle pluspetitdes relspositifsk telsque 'if x E E \ {OE}, "~~~ Il ~'k,Ainsi on obtient c =min{k E ~+ l'if XE E \ {OE}, Ilf(x) Il ~ kll x Il}doncaussi,puisquef(OE) =OF, c =min {k E ~+ l'if x E E, Ilf(x) II ~ kll x Il}

    Corollaires:

    c.1 Pour f E::Ec(E, F), on a 'if XE E, Ilf(x) Il ~ Iif 1111x Il1

    Soit f E::ECE, F).S'il existe un rel k tel que, pour tout x de E, Ilf(x) Il ~ kll x Il,alorsf est continue et Iif II ~ k.Ceci fournitunemthodepratiquepourtudierla continuitd'uneapplicationlinaire,

    Thorme:

    l

    1.5

    1

    Il'W

    Compositiond'applipa.tions linaires continues

    Soit E, F, G trois espaces vectoriels norms,j E::EcCE,F) et 9 E::Ec(F, G).

    Alors gofE::Ec(E,G) et Ilgofll~llgllllfll.

    D'aprsle corollaire1prcdent:Ilg(y) Il ~ Il91111y Il et Ilf(x) Il ~ Iif 1111x Il

    d'oavecy =f(x), on obtient,pourtoutx de E 11 90 f(x) Il ~ Il91IIIf 1111x IlLe corollaire2 donnealors la continuitde90f avec Il90f Il ~ Il91IIIf Il o

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 51

    Mthode

    Donnonsunpland'tudede lacontinuitd'uneapplicationlinaireetde la recherchedesa normeventuelle.

    On supposequef est uneapplicationlinairede E dansF o E etF sontdes espacesvectorielsnorms.

    1) Chercherunemajorationde Ilf(x) Il parkll x Il pourtoutx deE, majorationlaplusfinepossible,

    2) En cas d'chec:

    exhiberunesuite(Xn)~;de E\ {OE} quivrifie. Ilf(xn)Ilhm --- =+=

    n--++co Il Xn Il

    etconclure:

  • _______ .-_- ~ .:...'_c._" ,~~.
  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 53

    Pour toutn E N, on a IIPn Ilx = 1 et

    n

  • 54

    II - Espacesvectorielsdedimensionfinie

    A. Equivalencedesnormes

    Thormes:

    Prcis d'Analyse Il

    D

    D

    t.6

    1

    ~

    t.7

    1

    ~

    Sur [Kndeuxnormesquelconquessontquivalentes.

    La dmonstration suivante ne concerne que le programme M'.

    L'quivalence des normes est une relation transitive, il suffit donc de comparer une norme

    quelconque N de [Kn la norme Il .llco de [Kn pour conclure.n

    Notons (eih~i~n la base canonique de [Kn et [3=LN(ei) >O.i=l

    n

    Tout vecteur x de [Kn s'crivant x =LXiei, on a :i=l

    N(x) ~ ~ IXil N(e;) ~ Il x lico (~NCei)

    C'est dj N(x) ~[3 Il x lico pour tout x de [Kn.

    Cela prouve aussi que l'application N :[Kn--+~ est continue sur (Kn, Il .llco); elle est,

    en fait, lipschitzienne: IN(y) - N(x)1 ~ N(y - x) ~[3 Il y - x lico

    Comme la sphre unit 5 de ([Kn, Il.llco) est compacte car elle est ferme et borne

    (voir Chapitre 1,Proprit 25), il existe aE 5 tel que ex=inf N(x) =N(a).XE5

    Etant lment de 5, a n'est pas nul donc N(a) =ex>0, et pour tout x E 5 : ex~ N(x),

    par homothtie, on en dduit: ex Il x lico ~ NCx) pour tout x de [Kn

    Equivalencedesnormesendimensionfinie

    Deuxnormesquelconquesd'un[K-espacevectorieldedimensionfiniesontquivalentes.

    Si E est un IK-espace vectoriel de dimension n, il existe 'f' isomorphisme algbrique de[Knsur E.

    Alors, Il.11 tant une norme sur E, Il. W : [Kn--+~,x~ Il 'f' (x) Il est une norme sur[Kn.

    Soit Il 111et Il.112 deux normes sur E, les normes Il.II~ et Il .II~ de [Kn qui leurs sontassocies par'f' sont quivalentes, donc, il existe ex>0 et [3> 0 tels que:

    'if x E[Kn, ex Il 'f' (x) 111~ Il 'f' (x) 112~[3 Il 'f' (x) 111

    ce qui donne 'if y E E, ex Il y 111~ Il y 112~[3Il y111'

  • Chapitre 2 : Applicationslinairessurlesespacesvectorielsnorms 55

    B. Partiescompltes- Partiescompactesendimensionfinie

    Unproduitd'espacescompletsestcompletetsuriKntouteslesnormessontquivalentesdonc([~n, Il. W) estcomplet.

    Si (Xn)', estunesuitedeCauchyde (E, Il.11), il en estdemmepour(

  • 56 Prcis d'Analyse Il

    Une telle suite ne pouvantavoir une suite extraiteconvergente,la sphre unit S n'est pascompacte.

    Supposonsdjconnuela famille(U1, UZ,' .. , un) de Sn telleque:

    pour1,.,:;i

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 57

    Montrons,dansun premiertemps,queMest bornesur unebouleunitfermede E2,puis,dans un secondtemps,quecettepropritentranela continuitde M.

    Mestbornesur la bouleunitde E2.P P

    Pour (x, y) E E2 et x =LXiUi, y =LYjUj, la bilinaritdeMdonne:i=l j=l

    P P

    M(x, y) =L L xiYjM(ui, Uj)i=l j=l

    P P

    et l'ingalittriangulaire IlM(x, y) il "'"L L IXil IYjll1 M(Ui, Uj) Ili=l j=l

    P P

    En notant k =L L IlM(ui, Uj) Il il vient IlM(x, y) Il "'"kll x 1111y IIi=l j=l

    Sur la bouleunitde E2, on a donc IlM(x, y) Il "'"k

    Mestcontinueen toutpoint(a,b) de E2.La bilinaritdeMdonne,pourtout(x, y) de E2 :

    el=M(x, y) - M(a, b) =M(x - a, y) +M(a, y - b)

    A prsent,majoronsel :

    Il el Il "'"IlM(x - a, y) Il +IlM(a, y - b) Il "'"kll x - a 1111y Il +kll a 1111y - b Il

    En notant h = Il(x, y) - (a, b) Il = sup (II (x - a) Il, Ily - b Il), on obtient:

    Ily Il "'"Il b Il +h , Il el Il "'"kh(11a Il +Il b Il +h) etenfin ~~ Il= O. 0

    Exemples- Travauxpratiques

    exemple 7rme d'une forme linaire

    El = (IKn, Il.111) , Ez =(IKn, Il.112) , Eco =(1K1;

    hi la formelinairesurEi, i E {l,2,co},dfiniepar hiuler Il hl Il, Il h211et Il hcoIl enfonctiondesscalairesh(ei),' ..

    sdehdansla basedualedela basecanonique(eh',en) dfl

    NotonsCii=h(q) de sorteque le dveloppementde h(x) devient:

    (n ) n nh(x) =h EXiei =EXih(eil =ECii Xi

    IKn tantde dimensionfiniela continuitde hestacquise.n

    Normede hl. MajoronsIh(x)1 l'aidede IlxiiI =L Ixi!.i=l

    En notantCi= sup ICiil,nousavons Ih(x)1"'"Ci IlxiiIl~i:S;n

    avecgalitpourx =ek o k esttelqueCi=ICikl.

    Conclusion: Ilhl Il = sup Ih(ei)ll~i~n

  • 58

    Normede hco. Majorons1h(x)1 l'aidede Ilx 1100= sup IXill~i~n

    Prcis d'Analyse Il

    n (n) nIh(x)1~ E lail IXil ~ E lad Ilx 1100avecgalitpourx =E Si ei o aiSi= lailn

    Conclusion: IlhcoII = 2:=Ih(ei)li=l

    1

    Normede h2. MajoronsIh(x)1 l'aidede Ilx 112= (~lxiI2) "2.

    C'est l'ingalitde Schwarzsur IKnquidonnela majoration:1 1

    Ih(x)1~ (~laiI2) "2 (~lxiI2) "2n

    avecgalitpour x =2:=aiei (nonnulsi h n'estpas laformenulle).i=l

    ( n ) ~Conclusion: Ilh211= El h(ei)12

    exemple8

    Notmd'une matriced'une applicationlinaire

    Soitl E9!.(E, Ef) donnedansdesbases(l0h'0~net(e;h~i~p parlaA =[Ag] E "~Lp.n(IK)

    tantnormspar:

    IlXl 1100 =II~xie;ll =Il xiiI =lit.\Jejl1 =tI.\JI et)=1 1 )=1exprimerla normede1l'aidedescoefficientsdela matriceA.

    L'espaceE estde dimensionfinie,doncf estcontinue.Cherchonsunemajorationde Ilf(x) 1100

    de la formeMil xiiI'p

    Par dfinitiondeA, on a f(ej) =2:=Age;i=l et f(x) =1(t.\Jej) =t(tAg.\J) e;)=1 !=1 )=1

    p

    Notons f(x) =2:=xi e; aveci=l

    Posons M= sup IAgI, ilvient:l~i""pl'0~n

    n

    xi =2:=AgXjj=l

    n

    pourtouti, Ixil ~2:=IAgll.\J1 ~MllxI11, donc Ill(x)llx ~Mllx111j=l

    On en dduit Iif Il~M.Il existeau moinsuncouple(k, h) d'entierstelque IAkhl =M. Alors Ilf(eh) 1100=Mil eh !11'

    Conclusion: 111Il =M=sup IAgliJ

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms

    exemple9

    f Quelleque"itla nonne.. '. choisiesu.r Jtp OK),il existeunrelf.L telque:< V(AB)E.ttp . ilABl1 ~f.L IIAIIIIBII Dans la mesureoA reprsenteun endomorphismede Ik;P, pardfinition:

    A = sup IIAXIIxc:

  • 60

    Exercices-typesComme dans le cours, E et F dsignent des IK-espaces vectoriels norms.

    Prcis d'Analyse Il

    Soit f : E --+ F une application linaire quivrifie la proprit suivante : pour toute suite

    (Xn)N qui converge vers OE, la suite (i(xn) Nde F est borne.

    Montrer quef est continue.

    On suppose que 11 L(x) = lim Xnn-++oo

    est une application linaire continue, en donner

    sa norme.

    Soit E =IR [X] norm parp

    p =~ aiXi >-711P lico = sup laila ~[O~]

    n

    On fixe un polynme L = ~ i Xi non nul.i=O

    Etablir la continuit de l'application linaire

    LP et calculer sa norme.

    Ex. 2, 7

    Soit E un IK-espace vectoriel norm de dimen-sion finie et U E::E (E) tel que Il uIl ~ 1.Pour tout n E N, on note un le nime itr de

    1 d 2 nu etun = --1 (I E +u+u +... +u ).n+Montrer que la suite (Un)N converge dans l'es-

    pace vectoriel norm ::Ec (E) vers un projecteurp ; dterminer l'image et le noyau de p.

    Ex. 2, 8

    Soit E un IK-espace vectoriel norm de dimen-sion finie.

    Montrer qu'une suite (Un)N d'endomorphismes

    de E converge dans ::Ec (E) si et seulement si

    pour tout x de E la suite (un(x)N convergedans (E, Il 11)

    Ex. 2.9

    Soit A E Artp (1[:) diagonalisable (Voir Algbre 2).

    Montrer que l'ensemble des matrices sembla-

    bles A est ferm dans Mp (1[:).

    Ex. 2.10

    1) Soit aE [0,1], vrifier que l'on dfinit

    un endomorphisme Ta sur le IR-espace

    vectoriel E = C([O, 1], IR) par 9 = Ta(f)

    1 lXo g(x) = C'I f(t) dt.x a1

    2) E tant norm par IIf 111 = fa lf(t)1 dt,montrer que Ta est continue si aE [0, l[et dans ce cas, calculer Il Ta Il.

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 61

    Ex. 2. 11

    SoitE = {fE C2([0, 1].R) (j(O) =f(O) =o}1) Montrerque

    Ilf = sup VI(t) +2j(t)+f(t)!rdO,l]

    dfinitune normesur E.

    2) Montrerqu'ilexisteun rela> 0 telque

    x ~aiifTrouverle meilleurcoefficienta.

    Ex. 2. 12

    SoitE =C([O, 1], 1R1) normpar

    Iif Il = sup lf(t)1tE [O,lJ

    etcpun lmentdonnde E.

    On considrela forme linaireI. sur E dfinie

    par I. (j) =fol cp(t)j(t) dt.

    Vrifierque I. estcontinueetcalculersa norme.

    Indications

    Ex. 2. 1

    Etablir la continuitde f en OE l'aide dessuites.

    Ex. 2.2

    Etablirf(I. xl =l.f(x) pourl.E j"\j, Z, (Ji puisR

    EX.2.3

    1) Vrifierf 0 gn - gn 0 f = ngn-1 parrcurrence.

    2) MajorerIl ngn-111 l'aidede la relationprcdente.

    Ex. 2.4

    1) VrifierABn - BnA = nBn par rcur-rence.

    2) Majorer Ii nBn Il l'aide de la relationprcdente.

    Ex. 2.5

    Majorer IlL(x) Il par Ilxlix; raliserl'galitcorrespondante.

    EX.2.6

    MajorerIl LP Ilx parMil P licoetraliserl'ga-lit.

    EX.2.7

    Vrifierque l'imageet lenoyaude u - IdE sont

    supplmentaires,tudierUn sur l'unet l'autre.

    Pour montrerque la conditionestsuffisante,

    utiliserunebase deE.

    Ex.2.9

    Caractriserunferm l'aidede suites.

    Utiliserdes polynmesannulateursdeA.

    Ex. 2. 10

    1) Utiliserun quivalentde g(x) quand xtendvers 0+.

    2) Choisirfn(x) =n(! - x)n-1 etcalculer

    IlTa(jn)111'

    Ex. 2. 11

    RsoudredansE l'quationdiffrentielle

    fi +2f +f=g

    Majorerlf(x) 1parun multiplede Il9 lico.

    Ex. 2. 12

    PourtrouverIl I. Il = fo11cp(t)1dt

    crirecp=cp+- cp- o :

    cp+(x) =sup (cp(x), 0) et

    cp- (x) =sup( - cp(x), 0).et construireune suite de fonctionscontinues

    quiconvergesimplementversf.

  • .-'-~.

    62 Prcis d'Analyse Il

    Solutionsdesexercices-types

    Par caractrisationd'uneapplicationlinairecontinue(thorme1), ilsuffitde prouverlacontinuiMde

    f en0E. Ilsuffitdoncd'tablirquepourtoutesuite(Xn):\,deE quiconvergevers0E, lasuite (i(xn) l'\jdeF convergeversOF. (VoirChapitre1: Limited'unefonctionet suites)A la suite(Xn)r\j,associonsla suite(Yn)1'\jdfiniepar:

    O Xn. Yn = SI Xn = , Yn = ~ SI Xn i=

    Comme Il Yn Il = ~ ' la suite(Yn)1'\jconvergevers0E etparhypothsela suite (i(yn) ~;est

    borne: ::3 MEIR, V n EN, Ilf(Yn) Il ~ M, donc !If(xn) Il ~ M~

    Ainsi (i(xn) r\j convergevers 0F,f estcontinueen OE, doncaussisurE.

    EX.2.2

    1) L'galit Ilf(x +y) - f(x) Il = Il y Il montreque la continuiten 0E entranela continuit

    (uniforme)sur E.

    Fixonsunvecteurx de E et notons9 lafonctionde IRdansF dfiniepar g(t) =f(tx).Elle estcontinuesur IRetvrifie g(u +v) =g(u) +g(v) pourtoutcouple(u, v) de rels.

    On en dduitque9 est linaire:il existeb E F telque g(t) = tb (voirci-aprs).Ici, b =f(x), (obtenuavec t = 1), et donc f(tx) = if(x) pourtoutrel t.

    Ainsif est uneapplicationlinairede E dansF.Dmonstrationrsumede la linaritde q

    Soit G : IR--+F, t -+G(t) = rg(u) du, donc G(O)= 0, G estde classeel, GI =g..lai! On vrifie G(u +v) =G(u) +G(v) +ug(v) pourtout(u, v) E 1R2

    ii! On en dduitque9 estde classeel car g(v) = G(l +v) - G(l) - G(v),

    iii! On constatequed estconstanteen drivant u-+g(u +v) =g(u) +g(v)iv! On peutconclure.

    2) NotonsA la partiede IRsuivante:A ={i\EIR,V X E E,fCf.-x) =i\f(x)}

    MontronssuccessivementqueA contientN, 7L,G et IR.

    f(OE) =OF, (x = y =0E) donc E A.f ((n +l)x) =f(nx) +f(x) donc n E A =? n +1E A.Ainsi Ne A. (rcurrence)

    f(-x)=-f(x), (y=-x) donc -lEA et 7LeA.

    Pour n E N' : nf ( ~) =f(x) donc f ( ~) =~f(X),ce quiconduit Ge A.

    Le passagede G IR ne peuts'oprerque par une limite: tout rel i\ est limited'unesuiterationnelle(i\n)",.

    Notons [Ln=i\- i\n donc hm [Ln=O.n---++cc

    tl

    1

    11

    1i

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms

    Calculons fil-. x!- I-.J(xl =J(I-.n x+IJ.nXi - (I-.n+ IJ.n)J(X) =J(lJ.n X) - IJ.nJ(X).

    Le rsultatsouhait J(I-. x) =I-.J(X) quivautdonc lim J(fLn x) =a;n---.;-+c

    ce niveau.la continuitdeJ en aE suffitpourconclure.

    IciJ est bornesur la bouleunitfermenoteB: :3 MEIR, \:j y E B, IIJ(y) Il "'"M

    lim IJ.n=a donne \:j

  • 64 Prcis d'Analyse Il

    Rappelonsque l'espacevectorielA(N,E) des suitesbornesde E est normpar:

    Ilx lico = sup II Xn IlnEF\!

    On saitque'i6est unsous-espacede A(N,E) etqueL est linaire.

    L'ingalit:V nE N, IlXn Il ~ Ilx lico et la continuitde la normesur E donnent:IlL(x) Il ~ llxllco pourtoutxE'i6,

    avecgalitpourunesuiteconstante.

    Ainsi,L est uneapplicationlinairecontinueet IlL Il = 1.

    Il est clairque 't'est unendomorphismede E.q n+q

    Avec P =L aiXi on a LP =L bkXki= k=

    n

    o bk =L Ai ak_ i en convenantquei= {J nn n

    donc vn(x) =x

    Majorons Ibkl ~ L lAd lak-il ~ L lAd 11 P licoi= i=

    n

    donc IILPllco ~ IlLlllIl Pllco avec IILlll = LIAdi=n

    Pour raliserl'galit,formonsunpolynme P =L fLiXi telque le coefficientdeXn dansLPi=

    n n

    soit bn =L AifLn-i= L I/\il Donc fLn-i= signe(Ai).i= i=

    n

    Conclusion: l'endomorphisme't': P f-'> LP estcontinuet Il 't' Il = IlLill =L lAdi=

    Notons F =Ker(u - IdE) et G =Im(u - IdE) etvrifionsqueE =F E9 G.

    D'aprsle thormedu rang(dimE =dimF +dim G) il suffitde vrifierqueF ri G = {OE}'SoitXE F ri G c'est--dire XE F : u(x) =x XE G : 3 y E E , x = u(y) - y

    On obtientalors,pourtoutnE N, un (X) =x , un(x) = un+1(y) - un(y)

    n+l( )() u y-yVnX = n+l

    Or Ilun+l(Y)-YII ~ Ilulln+l+lli Il ~ ~n+l n+l y n+l

    donc V n E N, Ilx Il = IlVn(X)11~ 211 Y111, on en dduit Ilx Il = O.n+Ainsi F ri G = {OE} et donc E =F E9 G.On vient de voirquepourXE F : vn(x) =x (suiteconstante)

    n+l( )1 l' 1 . U y - yet que pourx = u(y) - y E G: lm Vn(X) = hm , = 0E.n~+oo n~+oo n+

    jj~L _~ ~__

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms 65

    Ainsi,pourtoutZ E: E dcompossous la forme Z =x +Xl avec x E: F, Xl E: G,

    la suite vn(z) = vn(x) +Vnexl) convergevers x.

    Donc la suite (Vn)', convergesimplement,(voir ChapitreV), vers p, projectionsur F paralllementG. Montronsquecetteconvergencea lieudans l'espacevectorielnorm:i.e (E).

    CommeE = F S G et que G est stablepar U - IdE, alors U - IdE induitun isomorphismede G,notons-le8.

    A toutXl de G correspondun uniquey de G telqueXl =u(y) - y, c'esty =8-1(Xl) .

    . un+1(y)_ yMajoronsalors vn(z) - pCz) = vn1z) - X = n +1

    Il ()_ ()il"",2I,YII_211 8-1 (xl)i! "",2118-11111 111"",2118-111Il IdE-pli Il IlVnZ PZ, ~ n+l - n~1 ~ n~1 X ~ n~1 Z

    car Xl =(IdE -p)(z).

    2118-1 1111IdE -p IlAinsi IIVn- pli ~ 1 Il ' et lim Ilvn - pli =0n + n~+coLa suite(vnh convergevers p dans (:i.e (E), Il.11).

    Ex. 2.8

    On saitque 'if U E::i.e (E), 'if x E: E, Il u(x) Il ~ Il u 1111 x Il .

    Supposonsque lasuite(unh,de:te (E) convergevers u dans :te(E)

    c'est--dire hm Ii Un - U Il = O.n------+x,

    Alors,pourtoutx E: E, Il Un(x) - u(x) Il ~ Il Un - U il Il x Il et hm Il Un(x) - u(x) Il =O.n---++oc

    Lasuite (un(x) convergedoncvers u(x) dans (E, Il.11).

    Ici,ladimensionfiniedeE n'intervientquepourla continuitdesapplicationslinairesu et Un, nE: N .

    Supposonsque,pourtoutx E: E, la suite (un (x) convergeet notons v(x) = lim Un(X);~ n~+conousdisposonsd'uneapplicationv deE dansE dontla linaritrsultedes thormessur les limites

    etde la linaritdes Un :

    lim unG\. x+ I-L y) = v( x+ I-L y) et hm un(x)+ I-L Un(y) = v(x)+ J-l v(g).n--++oo n-++x-

    Montronsque (Un)i\:j convergevers v dans :i.e (E).p

    Pourcela,prenonsunebase (el,' .. ,ep) de E et dcomposons x = L XWi.i=l

    p

    Calculons Un(x) - v(x) =LXi [Un(ei) - v(eil]i=l

    p

    ,Duismajorons IIUn(X)- v(x)11~ L Ixi! Ilun(ei) - v(ei)11~an Ilxllcoi=l

    avec Ilx lico = sup IXil etl';i.;p

    p

    an= L IlUn(ei) - v(eillli=l

    Ainsi Il Un - V Il ~an, or lim an= 0n--++oodonc hm Il Un - V Il =o.n--++co

    _asuite(Un)F\I convergevers v dans ;J;e (E).

  • 66

    Ex,2.9

    L'espaceMp (C) doittremunid'unenorme,parexemple Il A Il = sup IAull~i-"Spl~~p

    Prcis d'Analyse Il

    -1 (1 -n) (1 0) (1 n) (1 n)Xn = Pn APn = 0 1 0 0 0 1 = 0 0 '

    ~

    Pour faire la preuve,il suffitde montrerque, pourtoutesuite(Xn)N de matricessemblablesA qui

    convergedansMp (C), la limiteB estsemblableA (caractrisationd'unfermpar lessuites).

    RappelonsqueX est semblable A s'il existeP E GLp(C) telleque X =p-1 AP.

    Alors, pourtoutkEN: Xk =p-1 A kP et,pourtoutpolynmeQ E C [X] : Q(X) =p-1 Q(A)P.

    L'hypothseA diagonalisablese traduitparl'existenced'unpolynmeQ sCnddans C [X] ayantses

    racinessimpleset telque Q(A) = O.

    Alors Xn, tantsemblable A, vrifie Q(Xn) = 0 et lim Xn = B donne Q(B) = 0 (conti-n--++oo

    nuitde X >--'3> Q(X) dans .Atlp (C).

    En prenantcettefois-cile polynmecaractristiquedeA : XA (x) =det(A - xIp), on a aussi

    XA (x) = det(Xn -xIp) (deuxmatricessemblablesontlemmepolynmecaratristique)etlepassage

    la limitedonne XB (x) = lim det(Xn - xIp) =XA(x).n--++rx)

    Les matricesA et B ont le mmepolynmescaractristique,elles sont diagonalsablesdonc sem-blables la mmematricediagonaleetellessontsemblables.

    Ainsi l'ensembledes matricessemblablesA est fermdans Jltp (C).

    Remarque

    Cet ensemblen'estpascompact.

    Prenons A =(~ ~) E Jtt2 (C) etla suite(Xn)N est nonborne,

    Ex. 2.10

    1) Par dveloppementlimitauvoisinagede 0, on obtient:

    f(t) =f(O) +0(1), rf(t) dt=4(0) +o(x) et g(x) =x1-O:f(0) +o(x1-a)JoPour exE [0,1[: g(O) = 0, pourex= 1 : g(O)=f(O).

    Ainsi9estdfinieen 0 etcontinuesur [0, 1]. On vrifieque Ta est uneapplicationlinairedeE dansE, doncun endomorphismede E.

    1,1dx 12) On saitque,pourexE [0,1[, -----ci: convergeetest gale -1-'o x - ex

    1 Inx 1 JI Iif111Alors Ig(x)1"" ----ex Lf(t)1dt "" Iif III et Il 9 III = Ig(x)1dx "" --x ,0 x .0 1- ex1

    ce quiprouvelacontinuitde Taet Il TaIl "" 1- ex (0 ""ex< 1),

    Soitfn E E telleque fn(x) =n(l- x)n-l Alors Ilfn III =1,etfn "prendtoutesa valeur"prsde O.

    Dterminons gn =TaVn) :

    gn(X) = :a [1- (1- x)n] et IIgn b = 1~ex- r\l - x)nx-a dxJo

    1,1Evaluons an = (1- x)nx-O: dx ; (an},- est une suitepositivedcroissantedonc con-,0vergente.Avec une intgrationpar parties,ilvient:

  • Chapitre 2 : Applicationslinaires sur les espacesvectoriels norms

    11 n-1 1- anan_1-an= (l-x) x dx=(l-ex)-.0 n

    Sachantque la srie>(an-1 - an) converge,la srieL ~convergeaussi.a a

    Mais si lim. an=et* 0 alors -'2:. ~ - et la srieL -'2:.diverge; donc=O.n--!-'X. n +x n n

    67

    De1

    gn 1= 1- ex - an ~ T et lim an =0, on dduitn-+x

    l-(1-);fDans lecas =1, gn =Tllfnl = x

    1 1- tn rIj!gn 1= /0 --r=tdt et gn 1=.Jo (1+ t+Comme lim gn 1 = +X, Tl n'estpascontinue.n-+x

    n 1) 1 1. +t - dt = 1 + "2 +... + ~

    Ex. 2. 11

    1) Pour tout9 E (1[0.1]. x), on saitqu'ilexisteuneuniquesolutiondansE l'quationdiffren-tiellelinaire yll +2yl +y =g. Lorsque9 =0, lasolutionest la fonctionnulle.

    Retrouvonsces rsultatsen rsolvantl'quationpar la mthodedevariationdes constantes.

    L'ensembledes solutionsde l'quationhomogne yll +2yl +y = 0 est le sous-espacede

    (2([0.1]. xl engendrpar x H xe-x et x He-x.A toutf E (2([0,1]. m, on associe un uniquecouple(u, v) de fonctionsde (1([0, 1]. IR) parles relations:

    px) =xe-Xu(x) +e-x vCx) , f(x) =(1- x)e-Xu(x)- e-x v(x)Alorsf vrifie fi +2f +f =9 si etseulementsi :

    0= xe-Xul(x) +e-Xvl(x) , g(x)=(1- x)e-Xul(x) - e-Xd(x)c'est--dire ul = "g(x) , z./(x)= -x" g(x)

    donc u(x)= t' etg(t)dt+ , v(x)= - r tg(t)dt+ f.L.Jo .Joet f(x) = t,\x - t)-Xg(t) dt+( x+ f.L)e-x.JoComme f(O) =f (0) =0

  • 68 Prcis d'Analyse Il

    Comme est uneapplicationlinairede E dans IR, est uneformelinaire.

    La majorationde Ill. (ni parunmultiplede Iif Il est naturelle:

    Ill. (ni~1011

  • Chapitre 2 : Applications linaires sur les espaces vectoriels norms

    ExercicespropossE, F dsignent des K-espaces vectoriels norms.

    69

    Ex. 2. 1

    Soitf une application linaire de E dans F tellequef(x) =o(x) quand x ~ 0E.Montrer quef est nulle,

    Ex. 2.2

    Soit (xnh,une suite de E qui converge versx E E, et Cfn)nE',une suite de :te CE, F) quiconverge versf dans :te (E, F).

    Montrer que la suite (ln(xo)) converge dans E.

    Ex, 2.3

    Soit E =C([O, 1], !;;I),Cf'E E et T la forme linaire

    (ldfinie sur Epar TCf) = Jo Cf' (()j(t) dt.Montrer que, lorsque E est muni d'une norme

    classique Il 111 ou Il ,112, T est continue; calcu-ler sa norme dans chaque cas,

    Ex. 2.4

    Soit E =C([O, 1],~)muni de la norme Il ' Ilx et

    F ={f E El fol f(t) dt =},Montrer que tout lment f de F admet uneprimitiveg dans F et que l'application T :f f--c> gest un endomorphisme continu de F,

    Calculer Il Til

    EX.2.5

    Soit E =~[X] norm par1 Pli = sup 1P(t)1

    tE [0.1]

    Pour n E N, on note En l'ensemble des poly-nmes unitaires de degr net an = inf IlPli.

    PEEn

    1) Montrer que an > 0, etque la suite (an)Nest dcroissante,

    2) Calculer an,al, a2

    Ex,2.6

    Soit E =C([ -1, 1],~)norm par:f 1100 = sup lf(t)1

    tE[-Ll]

    '.1ontrerque la forme linaire:

    .:::E --+Rf f--NP Cf) = (l f(t) dt - f(O)LI::stcontinue; calculer sa norme,

    Ex. 2.7

    SoitK : [0, 1]2--+~,continue, E =C([O, 1],~)

    norm par Iif1100 = sup lf(t) 1tE[O.l]

    1) Montrer que l'on dfinit un endomor-

    phisme T sur Epar

    T : E --+ E,j f--c> TCf)

    o TCf)(x) =fol K(x, t)j(t) dt.2) Vrifier que T est continu et calculer sa

    norme,

    Ex. 2.8

    1) Montrer qu'une forme linaire sur un IK-

    espace vectoriel norm E est continue si

    et seulement si son noyau est un ferm

    de E,

    2) Soit E =IK [X] norm par

    IlPlix = sup laklO

  • i~

    70

    Soit E =!R [X] norm par Il Pli = sup lP(x)1xE[-l,l]

    et B la boule unit ferme de E.

    On suppose qu'il existe P et Q dans B tels que1 -

    R =2(P +Q) soit dans B et vrifie

    R(O) =1, Rk(O) =pour k E [l,p - 1]Montrer que Pet Q vrifient les mme? relations

    que R.

    Ex. 2. 12

    Soit E =C([O, 1],!R) norm par

    Iif Il=sup Lf(t)1[0,1]

    etA=