Predavanja iz Mehanike fluida II

Mehanika fluida II

2013./2014.

Sadraj

Mehanika fluida II I

SADRAJ

1. Matematike osnove ................................................................................................... 1 1.1. Simetrini i antisimetrini tenzora drugog reda .................................................... 1 1.2. Dualni vektor tenzora drugog reda ........................................................................ 1 1.3. Sferni i devijatorski dio tenzora drugog reda ........................................................ 1 1.4. Laplaceov (delta) operator ..................................................................................... 2 1.5. Prostorna krivulja i krivuljni integral .................................................................... 2 1.6. Bezcirkulacijsko vektorsko polje........................................................................... 3 1.7. Konzervativno vektorsko polje .............................................................................. 3 1.8. Potencijalno vektorsko polje ................................................................................. 3 1.9. Bezvrtlono vektorsko polje .................................................................................. 4 1.10. Solenoidalno vektorsko polje ................................................................................ 4

2. Kinematika fluida ...................................................................................................... 5 2.1. Prvi Helmholtzov teorem ...................................................................................... 5 2.2. Tenzor brzine deformacije ..................................................................................... 5 2.3. Tenzor vrtlonosti .................................................................................................. 6 2.4. Vektor vrtlonosti .................................................................................................. 6 2.5. Osnove nestlaivog potencijalnog strujanja .......................................................... 8

2.5.1. Osnovna svojstva rjeenja Laplaceove jednadbe ......................................... 9 2.5.2. Strujna funkcija (funkcija toka) u ravninskom strujanju ............................. 10 2.5.3. Veza izmeu funkcije toka i protoka fluida izmeu dvije strujnice .............. 12

3. Dinamika fluida ........................................................................................................ 13 3.1. Osnovni zakoni dinamike fluida .......................................................................... 13 3.2. Koncept iz termodinamike................................................................................... 14

3.2.1. Termodinamiki sustav i materijalni volumen ............................................. 14 3.2.2. Ravnoteno stanje termodinamikog sustava i veliine stanja .................... 14 3.2.3. Jednadbe stanja savreni plin ................................................................. 15 3.2.4. Termodinamiki proces ................................................................................ 15 3.2.5. Prvi zakon termodinamike (zakon ouvanja energije) ................................. 15 3.2.6. Primjeri primjene prvog zakona termodinamike ......................................... 16 3.2.7. Entalpija ....................................................................................................... 18 3.2.8. Povratni, nepovratni procesi i entropija ...................................................... 18 3.2.9. Drugi zakon termodinamike ......................................................................... 19 3.2.10. Termodinamiki koncept i strujanje fluida .................................................. 20

3.3. Osnovne jednadbe dinamike fluida.................................................................... 22 3.3.1. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta) .......................................... 22 3.3.2. Dva pomona pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida .............. 22 3.3.3. Zakon ouvanja koliine gibanja (jednadba gibanja fluida) ..................... 23 3.3.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja ................................................. 25 3.3.5. Zakon ouvanja energije .............................................................................. 25 3.3.6. Drugi zakon termodinamike ......................................................................... 27

3.4. Skup jednadbi osnovnih zakona dinamike fluida .............................................. 28 3.5. Konstitutivne (dopunske) jednadbe ................................................................... 30

3.5.1. Odnosi za savreni plin ................................................................................ 30 3.5.2. Fourierov zakon toplinske vodljivosti .......................................................... 30 3.5.3. Newtonov zakon viskoznosti ......................................................................... 30

3.6. osnovne jednadbe dinamike newtonskog savrenog plina ................................ 31 3.7. Matematiki model nestlaivog strujanja ............................................................ 32 3.8. Alternativni oblici energijske jednadbe ............................................................. 34

Sadraj

Mehanika fluida II II

3.8.1. Potencijalna energija ................................................................................... 34 3.8.2. Jednadba kinetike i unutarnje energije .................................................... 35

4. Teorija slinosti ........................................................................................................ 39 4.1. Definicija slinosti dviju pojava: ......................................................................... 39 4.2. Karakteristina vrijednost fizikalne veliine ....................................................... 40 4.3. Bezdimenzijska polja fizikalnih veliina ............................................................. 41 4.4. Teorem slinosti .................................................................................................. 41 4.5. Postupak odreivanja kriterija slinosti ............................................................... 41 4.6. Analiza vanosti bezdimenzijskih parametara .................................................... 47

4.6.1. Strouhalov broj ............................................................................................ 47 4.6.2. Froudeov broj .............................................................................................. 48 4.6.3. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj ............................................... 49 4.6.4. Reynoldsov broj ........................................................................................... 50

5. Granini sloj ............................................................................................................. 51 5.1. Optjecanje tijela teorija graninog sloja ........................................................... 52

5.1.1. Prandtlove jednadbe za laminarni granini sloj ........................................ 56 5.1.2. Prandtlove jednadbe izraene strujnom funkcijom .................................... 60

5.2. Odvajanje strujanja .............................................................................................. 61 5.3. Integralni pristup rjeavanju graninog sloja ...................................................... 65

5.3.1. Integralne relacije za granini sloj uz ravnu plou ..................................... 65 5.3.2. Von Krmanova impulsna jednadba za granini sloj ................................ 67

6. Turbulentno strujanje fluida .................................................................................. 69 6.1. Osnovne karakteristike turbulentnih strujanja fluida........................................... 71 6.2. Statistiko opisivanje turbulencije ....................................................................... 75 6.3. Vremenski osrednjene jednadbe za sluaj nestlaivog strujanja ....................... 77 6.4. Model turbulencije ............................................................................................... 78 6.5. Strujanje u blizini vrste stijenke (vieslojni model turbulentnog graninog sloja)80 6.6. Strujanje u hidrauliki glatkim i hrapavim cijevima ........................................... 83 6.7. Turbulentno optjecanje hidrauliki glatke ploe ................................................. 90 6.8. Turbulentno strujanje oko hidrauliki hrapave ploe .......................................... 93 6.9. Koeficijent otpora hidrauliki glatkog dugog cilindra i kugle ............................ 94

1. Matematike osnove

Mehanika fluida II 1

1. MATEMATIKE OSNOVE

Vrijedi pogledati prvi i polovinu drugog saetka iz Mehanike fluida I.

1.1. Simetrini i antisimetrini tenzora drugog reda Svaki tenzor drugog reda se moe prikazati zbrojem simetrinog i antisimetrinog tenzora. ( ) ( )1 12 2

ij ji ij ji

ij ij ji ij ji ij ij

S S A A

T T T T T S A

= =

= + + = +

ili ( ) ( )1 12 2= =

= + + = +

T T

T T

S S A A

T T T T T S A

Simetrini dio je polovina zbroja tenzora T i transponiranog tenzora TT, dok je antisimetrini dio jednak polovini njihove razlike. Primjer:

6 0 4 6 4 3 0 4 18 1 7 4 1 1 4 0 62 5 3 3 1 3 1 6 0

ij ij ijT S A

= +

1.2. Dualni vektor tenzora drugog reda Svakom se tenzoru drugog reda zadanom komponentama Tjk moe pridruiti dualni vektor di, definiran izrazom: i ijk jkd T= Ako se tenzor prikae zbrojem simetrinog i antisimetrinog dijela, uzimajui u obzir da je umnoak permutacijskog simbola sa simetrinim dijelom jednak nuli (jer je dvostruki skalarni produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora jednak nuli) zakljuuje se da se gornja definicija moe pisati i u obliku: i ijk jkd A= gdje je Aij antisimetrini dio tenzora Tij. Ako se gornji izraz pomnoi s ilm, te umnoak ijkilm zamijeni umnokom Kroneckerovih simbola dobije se:

1

2lm ilm iA d=

Dakle, svaki se tenzor moe prikazati s pomou simetrinog i antisimetrinog dijela ili s pomou simetrinog dijela i dualnog vektora u obliku:

1

2ij ij ij ij kij kT S A S d= + = +

1.3. Sferni i devijatorski dio tenzora drugog reda Svaki se tenzor drugog reda moe prikazati kao zbroj sfernog i devijatorskog dijela tenzora u obliku:



1

3ij kk ij ijT T = +

gdje je prvi lan desne strane sferni dio, a drugi devijatorski dio tenzora. Oito da je Tkk skalar, pa je sferni dio izotropni tenzor, kojemu se pri rotaciji koordinatnog sustava komponente ne mijenjaju. Devijatorski dio tenzora se rauna kao razlika samog tenzora i njegova sfernog dijela. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu slijedi da je jj=0 (suma lanova na glavnoj dijagonali devijatorskog dijela tenzora je nula). Primjer:

8 5 1 4 0 0 4 5 15 4 2 0 4 0 5 0 21 2 0 0 0 4 1 2 4

= +

1.4. Laplaceov (delta) operator Laplaceov ili delta operator definiran je kao divergencija gradijenta i oznaava se sa . Primjenom Laplaceova operatora na skalarno polje dobije se:

2

div(grad ) ( )i ix x

= = =

Delta operator se dakle moe zapisati u obliku:

2 2 2 2

2 2 21 2 3

i ix x x x x

= = + +

gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje.

1.5. Prostorna krivulja i krivuljni integral Slika 1. prikazuje krivulju C omeenu tokama A i B. Jedan od naina analitikog zadavanja krivulje je parametarski, u kojem se poloaj svake toke na krivulji opisuje vektorom poloaja koji je funkcija parametra t, u obliku: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3r t x t e x t e x t e= + + Poveavajui vrijednost parametra t u granicama tA (vrijednost parametra u toki A) do tB

dobivaju se sve toke krivulje C, omeene tokama A i B. Ako su toke A i B iste, krivulja je zatvorena. Usmjereni element ds krivulje C orijentiran je u smjeru porasta parametra t i odgovara razlici vektora poloaja kao to je definirano na slici 1. Komponente elementarnog vektora ds u indeksnoj notaciji su:

1 1 2 2 3 3d d d d dj js x e x e x e x e= = + +

rtrttrs d)()d(d =+=

)(tr

)d( ttr +

O

x1

x2

x3

A B

Slika 1. Usmjereni element krivulje



Krivuljni integral vektorskog polja v po orijentiranoj krivulji C, obrubljenoj tokama A i B, definiran je izrazom: B B

A A

d dj jv s v x =

Tako se npr. u mehanici rad polja sile na putu du krivulje C, opisuje krivuljnim integralom, koji se jo naziva hod u polju sile du krivulje C. Krivuljni integral po jednostavno zatvorenoj krivulji C (krivulja koja nema samopresjecita) nosi naziv ophod ili cirkulacija, a oznauje se u obliku:

d dj jC Cv s v x = Ako je v polje brzine gornji izraz oznauje cirkulaciju brzine po zatvorenoj krivulji C.

1.6. Bezcirkulacijsko vektorsko polje Vektorsko polje v je bezcirkulacijsko (bezophodno) ako je cirkulacija po bilo kojoj jednostavno zatvorenoj krivulji C u podruju polja v , jednaka nuli, tj. vrijedi: d 0j jC v x =

1.7. Konzervativno vektorsko polje Vektorsko polje v je konzervativno ako krivuljni integral izmeu toaka A i B ne zavisi od krivulje koja spaja te toke. Lako se moe pokazati da je vektorsko polje bezcirkulacijsko ako i samo ako je konzervativno.

1.8. Potencijalno vektorsko polje Svako vektorsko polje koje se moe prikazati s pomou gradijenta skalarnog polja u obliku:

grad ili jj

v vx

= =

naziva se potencijalnim poljem, kojemu je polje skalarni potencijal. Svako potencijalno polje je konzervativno i bezophodno, jer je krivuljni integral du krivulje obrubljene tokama A i B jednak: ( ) ( )

B B B

jA A Ad d d Bj j jv x x A

x

= = =

Iz gornjeg izraza je jasno da se za sluaj potencijalnog polja podintegralna funkcija svodi na potpuni diferencijal, te je vrijednost krivuljnog integrala jednaka razlici potencijala u tokama B i A i ne zavisi od spojnice toaka A i B, to je po definiciji svojstvo konzervativnih polja. Ako je krivulja zatvorena, to znai da se toke A i B poklapaju, jasno je da e i cirkulacija potencijalnog polja biti jednaka nuli, to je osobina bezcirkulacijskog polja. Dakle potencijalno polje je konzervativno, odnosno bezcirkulacijsko.



1.9. Bezvrtlono vektorsko polje Bezvrtlono vektorsko polje je ono kojemu je rotor polja jednak nuli, tj. rot 0 ili 0kijk

j

vv

x

= =

Lako se pokae da je rotor potencijalnog polja nul vektor, jer je: ( ) ( )( )

simetrino

rot rot grad 0ijki ij k

vx x

= = =

pa se zakljuuje da su pojmovi potencijalnosti i bezvrtlonosti polja v ekvivalentni.

1.10. Solenoidalno vektorsko polje Za vektorsko polje kojemu je divergencija identiki jednaka nuli ( divv =0), kae se da je bezizvorno ili solenoidalno. Svako polje brzine u nestlaivom strujanju je bezizvorno, jer zadovoljava jednadbu kontinuiteta oblika divv =0. Svako bezizvorno polje se moe prikazati s pomou rotora nekog drugog vektorskog polja, koje se naziva vektorskim potencijalom. Ako je polje vektorski potencijal polja v , tada vrijedi: rot ili ki ijk

jv v

x

= =

Jasno je da je divergencija polja v jednaka nuli, jer je div(rot )=0, to je u indeksnom zapisu oito:

2

simetrino

div 0i k kijk ijki i j j i

vv

x x x x x

= = = =

jer je permutacijski simbol antisimetrian u odnosu na indekse i i j, dok je tenzor 2

k

j ix x

simetrian u odnosu na te iste indekse, zbog pravila o zamjeni redoslijeda deriviranja, a prema poznatom pravilu produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora jednak je nuli. Budui da je rotor potencijalnog vektorskog polja jednak nuli, za zadano vektorsko polje v vektorski je potencijal neodreen do na grad (jer je rot( +grad )=rot ). Stoga e se svako vektorsko polje moi prikazati zbrojem svoga potencijalnog i solenoidalnog dijela u obliku

grad rot ili ki ijki j

v vx x

= + = +

2. Kinematika fluida


2. KINEMATIKA FLUIDA

Nastavak na saetak 6 iz Mehanike fluida I

2.1. Prvi Helmholtzov teorem Gibanje krutog tijela (kod kojeg je relativni meusobni poloaj estica stalan) mogue je prikazati zbrojem translatornog i sfernog (ili rotacijskog) gibanja. Za razliku od krupog tijela, fluid je tvar koja se pod djelovanjem ma kako malog sminog naprezanja neprekidno deformira, pa je za oekivati da e u strujanju fluida relativni meusobni poloaj estica fluida biti promjenjiv. Prirast brzine u dvije vrlo bliske toke prostora opisuje se pomou gradijenta brzine u obliku

d dii jj

vv x

x

=

Gradijent brzine je tenzor drugog reda koji se moe prikazati zbrojem simetrinog ijD i antisimetrinog ijV dijela, odnosno preko simetinog dijela i dualnog vektora k u obliku

1

2i

ji ji ji kji kj

v D V Dx

= + = +

2.2. Tenzor brzine deformacije Simetrini dio ijD tenzora gradijenta brzine naziva se tenzorom brzine deformacije, a definiran je izrazom ( )T1 1 ili u simolikom zapisu grad grad2 2jiji j i

vvD v vx x

= + = +

D

Tablini prikaz komponenti tenzora brzine deformacije, koji ima est razliitih komponenti je

31 2 1 1

1 1 2 1 3

31 2 2 2

2 1 2 2 3

3 3 31 2

3 1 3 2 3

1 12 2

1 12 2

1 12 2

ji

vv v v v

x x x x x

vv v v vDx x x x x

v v vv v

x x x x x

+ +

= + +

+ +

Ako se u odreenom trenutku t uoi elementarni volumen fluida oblika paralelopipeda kojemu su duljine bridova 1dx , 2dx i 3dx , tada e u vremenskom trenutku dt t+ taj paralelopiped promijeniti poloaj (uslijed translacije i rotacije), ali i oblik uslijed deformacije. Deformacija tog paralelopipeda se oituje kroz promjene duljina njegovih bridova i kroz promjenu kuta meu njegovim bridovima. lanovi na glavnoj dijagonali tenzora brzine deformacije oznauju brzine relativne promjene duljine bridova, tj. vrijedi:



( )1111

1 1

D d1d D

xvDx x t

= =

, gdje je D

Dt operator materijalne derivacije. Vrijedi i

( )2222

2 2

D d1d D

xvDx x t

= =

i ( )3333

3 3

D d1d D

xvDx x t

= =

Brzina relativne promjene obujma 1 2 3d d d dV x x x= elementa fluida je definirana izrazom

( ) ( )1 2 311 22 33

1 2 3

D d D d d d1 1 divd D d d d D

j

j

vV x x xD D D v

V t x x x t x

= = + + = =

U nestlaivom strujanju fluida je gustoa fluida konstantna, pa nema promjene volumena estica fluida to znai da mora biti div 0j

j

vv

x

= =

.

lanovi izvan glavne dijagonale govore o brzini kutne deformacije, tj. o brzini smanjenja kuta meu bridovima poetnog elementarnog paralelopipeda. Tako bi npr. vrijedilo

12 2 112 21

1 2

D 2 2D

v vD Dt x x

= = = +

,

gdje je 12 kut izmeu bridova 1dx i 2dx iz poetne konfiguracije. Analogno vrijedi i za ostale komponente.

2.3. Tenzor vrtlonosti Antisimetrini dio tenzora gradijenta brzine se naziva tenzorom vrtlonosti, a definiran je izrazom:

( )T1 1 ili u simolikom zapisu grad grad2 2jiji j ivvV v v

x x

= =

V

Tablini prikaz komponenti tenzora vrtlonosti, koji ima tri po apsolutnoj vrijednosti razliite komponente je

32 1 1

1 2 1 3

31 2 2

2 1 2 3

3 31 2

3 1 3 2

1 102 2

1 102 2

1 1 02 2

ji

vv v v

x x x x

vv v vVx x x x

v vv v

x x x x

=

2.4. Vektor vrtlonosti Vektor vrtlonosti je u matematikom smislu dualni vektor tenzora gradijenta brzine, odnosno tenzora vrtlonosti, a definiran je izrazom: ili rotik kji kji ji

j

v V vx

= = =

U fizikalnom smislu vektor vrtlonosti odgovara dvostrukoj vrijednosti vektora kutne brzine ( 2 = ) kojom rotira estica fluida. Kod krutog tijela vektor kutne brzine je jedan te isti za sve estice tijela, dok pri strujanju fluida on moe biti razliit za svaku



esticu fluida. Strujanje fluida kod kojega je vektor vrtlonosti identiki jednak nuli ( rot 0v = ) je po definiciji bezvrtlono, odnosno potencijalno strujanje. Komponente tenzora vrtlonosti mogu se prikazati preko komponenti vektora vrtlonosti ili komponenata vektor kutne brzine rotacije, u obliku

1

2ji kji k kji kV = =

Ako se u polaznom izrazu za prirast brzine B Ad i i iv v v= u dvije bliske toke A i B (udaljene za d jx ) gradijent brzine prikae s pomou tenzora brzine deformacije i vektora kutne brzine, dobije se izraz za brzinu u toki B izraenu s pomou brzine u toki A

B A ikjtranslacija deformacija sferno gibanje

d di i ji j k jv v D x x= + +

Gornji izraz oznauje sadraj prvog Helmholtzovog teorema koji kae da se gibanje dviju bliskih toaka kontinuuma moe prikazati zbrojem translacijskog i sfernog gibanja (kao kod krutog tijela) te deformacijskog gibanja. Jasno je da ako se fluid giba bez deformacija, da je to gibanje poput krutog tijela. Primjer takva gibanja je rotacija fluida zajedno s posudom oko vertikalne osi (sluaj relativnog mirovanja obraen u MF I). Druga posebna klasa strujanja je ona kod koje nema rotacije estica fluida, to znai da su vektori kutne brzine, odnosno vektor vrtlonosti, odnosno rotv jednaki nuli. Kao to je prije reeno (vidjeti saetak prvih predavanja) vektorsko polje kojemu je rotor jednak nuli se naziva bezvrtlonim ili potencijalnim poljem, a koje je onda i bezcirkulacijsko i konzervativno. Takvo se polje moe prikazati gradijentom skalarnog potencijala

gradv = . Stoga e se i strujanje u kojem nema rotacija estica fluida zvati potencijalnim strujanjem.



2.5. Osnove nestlaivog potencijalnog strujanja

Primijeeno je da model potencijalnog strujanja fluida vrijedi u uvjetima kod kojih se viskozne sile mogu zanemariti. Bezvrtlono strujanje se pojavljuje npr. pri opstrujavanju tijela i to u podruju podalje od stijenke (gdje je utjecaj viskoznih sila zanemariv). Strujanje fluida koje nastaje pri samom poetku gibanja tijela u mirujuoj tekuini, takoer se moe opisati potencijalnim poljem brzine. U tehnikoj praksi se model potencijalnog strujanja primjenjuje u sluajevima u kojima su viskozne sile minorne u odnosu na inercijske i gravitacijske sile. Tipine primjene modela potencijalnog strujanja su u aerodinamici i teoriji turbostrojeva za odreivanje sile uzgona pri optjecanju aeroprofila, te u brodogradnji npr. za odreivanje otpora valova gibajueg broda i u analizi ponaanja plivajuih struktura na valovima. Nestlaivo strujanje opisano je jednadbom kontinuiteta 0j

j

v

x

=

i jednadbom koliine gibanja (II. Newtonovim zakonom) u kojoj su zanemarene viskozne sile (vidjeti npr. saetak 3. predavanja iz MFI)

i ii j i

j i

v v pa v f

t x x = + =

.

Ako masena sila odgovara sili gravitacije, tada se ona moe prikazati preko potencijala, koji za sluaj da je os 3x usmjerena vertikalno uvis, glasi 33i i

i

gxf gx

= =

.

Sustav gornje dvije jednadbe (esto se nazivaju i Eulerove jednadbe) oznauje sustav parcijalnih diferencijalnih jednadbi prvog reda, a opisuje neviskozno strujanje fluida (koje moe biti i vrtlono). Jednadba kontinuiteta je linearna jednadba, a jednadba koliine gibanja je nelinearna zbog lana ij

j

vv

x

. Zbog nelinearnosti jednadbe koliine gibanja

ovaj se sustav moe rijeiti samo numerikim putem. Uz pretpostavku potencijalnog strujanja, u kojem vrijedi j

jv

x

=

jednadba kontinuiteta prelazi u Laplaceovu jednadbu

2 2 2

2 2 21 2 3

0 ili = 0jj j j

v

x x x x x x

= = + + =

Nelinearni lan u jednadbi koliine gibanja prelazi u 2

2 2i

jj j j i j i j i j j i

v vv

x x x x x x x x x x x

= = = = pa jednadba koliine gibanja prelazi u oblik

2

3 02iv gx p

x t

+ + + =

Zbroj u uglatoj zagradi oito nije funkcija prostornih koordinata, pa vrijedi izraz (koji je poznat pod nazivom Euler-Bernoullijeva jednadba)



( )2

32v gx p f t

t

+ + + =

gdje je ( )f t neka funkcija vremena. Za sluaj stacionarnog potencijalnog strujanja polazni sustav jednadbi je

2 2 2 2

2 2 21 2 3

0j jx x x x x

= + + =

2

3 .2v gx p C konst + + = =

Osnovna prednost ovog sustava jednadbi koji opisuje neviskozno bezvrtlono strujanje je u injenici, da je nelinearna jednadba koliine gibanje prela u algebarsku jednadbu, te se gornji sustav jednadbi rjeava tako da se prvo rijei jednadba kontinuiteta, ime je odreeno polje brzine, a zatim se iz druge jednadbe (koja je oblika Bernoullijeve jednadbe) odredi polje tlaka. Treba naglasiti da je u gornjoj jednadbi konstanta C jedna te ista za cijelo podruje strujanja (ne za strujnicu kao kod Bernoullijeve jednadbe) pa se jednadba moe postavljati izmeu bilo koje dvije toke u podruju strujanja, ne vodei rauna o strujnicama. Laplaceova jednadba je linearna parcijalna diferencijalna jednadba, koja se za sluaj stacionarnoga strujanja rjeava uz zadane rubne uvjete. Tipini rubni uvjet na stjenci optjecanog tijela je uvjet nepromoivosti stjenke, tj. normalna komponenta brzine na stjenci mora biti jednaka brzini stjenke. Za primjer prema slici, gdje fluid nastrujava na mirujue tijelo, vrijedi na povrini tijela

0n j j jj

v v n nx n

= = = =

Dovoljno daleko od tijela, utjecaj tijela se ne osjea, pa je potencijal jednak potencijalu neporemeenog strujanja

= .

n

2.5.1. Osnovna svojstva rjeenja Laplaceove jednadbe

(1) Princip superpozicije S obzirom da je Laplaceova jednadba linearna, vrijedi princip superpozicije (ili zbroj dvaju rjeenja Laplaceove jednadbe takoer je rjeenje Laplaceove jednadbe).

Ako potencijali )1( i )2( zadovoljavaju Laplaceovu jednadbu onda je jasno da je zbroj (1) (2) = + takoer rjeenje Laplaceove jednadbe jer vrijedi

( )2 (1) (2)j jx x

+=

2

0j jx x

=

- isto vrijedi i za brzine:

(1)(1)i

i

vx

=

;

(2)(2)i

i

vx

=

; (1) (2)i i i

i

v v vx

= = +

Dakle brzine uzrokovane dvama potencijalima se zbrajaju.



ru b

jn

S

V S

M

V

p od ru je

Oprez! To ne vrijedi za tlakove (1) (2)p p p + jer je tlak definiran nelinearnom jednadbom.

(2) Potencijal ne moe imati niti maksimum niti minimum unutar podruja, nego samo po rubu.

Slika prikazuje podruje V opasano rubom S unutar kojeg je definiran potencijal brzine koji zadovoljava Laplaceovu jednadbu

2

0j jx x

=

.

Integriranjem Laplaceove jednadbe po volumenu V uz primjenu Gaussove formule slijedi

2

0jj j js s

dV n dS dSx x x n

= = =

Pretpostavimo da je u toki M lokalni minimum, tada bi n

bio pozitivan za sve toke

povrine S koja okruuje toku M, pa bi dSn

s

>0 to je u suprotnosti s Laplaceovom

jednadbom. Slino vrijedi i za pretpostavku maksimuma u toki M.

(3) Brzina strujanja takoer ne moe imati ekstrem unutar podruja strujanja Deriviranjem Laplaceove jednadbe

2

0j jx x

=

po kx slijedi

2

0kj j

v

x x

=

, pa je jasno da

sve to vrijedi za vrijedi i za komponente brzine kv .

(4) Polje brzine u potencijalnom strujanju je bezcirkulacijsko (cirkulacija brzine po zatvorenoj krivulji jednaka je nuli)

0==

== C

jC jC

jj ddxx

dxv

2.5.2. Strujna funkcija (funkcija toka) u ravninskom strujanju U ravninskom strujanju se slika strujanja ponavlja u meusobno paralelnim ravninama npr. paralelnim s 1 20x x , pa vrijedi 3 0v i

3

0x

=

.



Slika prikazuje strujnice u ravninskom potencijalnom strujanju. Vektor brzine iv je po definiciji kolinearan s lukom strujnice d ix i okomit na krivulje konst. = (jer je

gradv = ). Uvodimo strujnu funkciju (funkciju toka) sa svojstvom da konst. = oznauje strujnicu. Iz jednadbe strujnice 1 2

1 2

dx dxv v

= slijedi

2 1

1 2 2 1

0 konst.

0

x x

d

v dx v dx

= =

=

Ako je 12

vx

=

i 2

1

vx

=

, onda e jednadba strujnice prijei u oblik 0d = , to

znai da e na strujnici biti konst. = S obzirom da je jj

vx

=

, slijedi veza izmeu

potencijala brzine i funkcije toka

11 2

22 1

vx x

vx x

= =

= =

ili u polarnim koordinatama

rrv

rrvr

=

=

=

=

1

1

Gornje relacije su poznate pod nazivom Cauchy-Riemanovi uvjeti.

1x

2x

0

konst. =

strujnica:

konst. =

iv



2.5.3. Veza izmeu funkcije toka i protoka fluida izmeu dvije strujnice

Slika prikazuje dvije strujnice u ravninskom strujanju (prostorno gledajui to su dvije strujne povrine). Prema jednadbi kontinuiteta u nestlaivom strujanju protok izmeu dvije strujne povrine je konstantan. Ako se protok izrazi po jedinici duljine okomito na ravninu slike, onda je protok kroz krivulju AB definiran izrazom

B

A

di iQ v n s=

Ako elementarni luk ds ini s osi 1x kut tada su komponente jedininog vektora normale ( )1 2, (sin , cos )n n = , pa se komponente vektora din s mogu izraziti u obliku

2 1d (d , d )in s x x= , to uvrteno u izraz za protok daje

( ) ( )2 1

B B B

1 2 2 1 2 1A A A

d d d d B Ai i

x x

Q v n s v x v x K K

= = = = =

Kao to se i oekivalo, protok Q ne zavisi od izbora poloaja toaka A i B na strujnicama, jer je jednak razlici vrijednosti funkcije toka na tim strujnicama.

1x

2x

0

strujnica: 2 =konst.K =

in

strujnica:

A

B

iv

ds

Q

3. Dinamika fluida


3. DINAMIKA FLUIDA

Vrijedi pogledati i saetak 2 iz Mehanike fluida I (sile u fluidu)

Masene sile su posljedica poloaja mase u polju if masene sile. Masena sila d iF na esticu fluida: d d di i iF f m f V= = Potencijalne masene sile su one koje se mogu prikazati gradijentom skalarne funkcije U: i

i

Ufx

=

.

Povrinske sile su sile dodira izmeu estica fluida ili izmeu estica fluida i stijenke. Definirane su vektorom naprezanja

i . Sila d iF na elementarnu povrinu dS : d = di iF S .

Stanje naprezanja u toki prostora jednoznano je definirano tenzorom naprezanja. Tablini zapis komponenti tenzora naprezanja

(smjer)11 12 13

21 22 23

31 32 33

i

jij

=

gdje se indeks j odnosi na povrinu.

Veza izmeu vektora i tenzora naprezanja: ( )i j j jin n =

3.1. Osnovni zakoni dinamike fluida Dinamika plinova se temelji na osnovnim zakonima klasine fizike u koje spadaju

1. Zakon ouvanja mase, 2. Zakon ouvanja koliine gibanja, 3. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja, 4. Zakon ouvanja energije, 5. Drugi zakon termodinamike.

Zakoni koliine gibanja i momenta koliine gibanja su konceptualno definirani u klasinoj mehanici, a posljednja dva u termodinamici. Ovi su zakoni definirani za sustav materijalnih toaka odnosno za zatvoreni termodinamiki sustav, a u dinamici fluida e biti primijenjeni na materijalni volumen VM(t), koji e u opem sluaju s vremenom mijenjati svoj poloaj, oblik i veliinu, ali e se uvijek sastojati od jednih te istih estica fluida. Strujanja fluida se mogu podijeliti na nestlaiva (u kojima je gustoa fluida konstantna, uglavnom su to strujanja kapljevina) i stlaiva strujanja (strujanja plinova pri veim brzinama u usporedbi s brzinom zvuka). Pri nestlaivom strujanju volumeni estica fluida

S

O

x3

x2

x1

V

jn

di S

dif m

if

x1

x2

x3

1112

13 22

23

21

33

3132

3. Dinamika fluida


ostaju konstantni, to znai da se estice fluida ne mogu komprimirati (pri emu bi se poveala unutarnja energija fluida na raun rada kompresije) niti ekspandirati (pri emu bi se dobio mehaniki rad na raun unutarnje energije), to znai da e se mehanika energija pretvarati u unutarnju samo putem viskoznih sila, to je jednosmjeran proces. U kolegiju Mehanika fluida I, smo se bavili samo nestlaivim gibanjem, te smo u modificiranoj Bernoullijevoj jednadbi pretvorbu mehanike energije u unutarnju nazivali gubicima mehanike energije, jer se jednom pretvorena mehanika energija vie ne moe povratiti iz unutarnje energije nestlaivog fluida. Unutar ovog kolegija emo definirati openitiji model stlaivog strujanja u kojem postoji dvosmjerni proces pretvorbe iz mehanike energije u unutarnju i obrnuto, te u energijsku jednadbu moramo ukljuiti i unutarnju energiju, koja je definirana u prvom zakonu termodinamike, te emo prije nego definiramo osnovne zakone dinamike fluida nainiti kratak pregled osnovnih termodinamikih relacija, te naglasiti specifinosti njihove primjene u opisu strujanja fluida. U Mehanici fluida I smo se bavili integralnim pristupom, a ovdje emo dati naglasak na diferencijalni pristup, koji je osnova za raunalnu dinamiku fluida, danas sve raireniji pristup rjeavanju problema strujanja fluida i popratnih pojava.

3.2. Koncept iz termodinamike

3.2.1. Termodinamiki sustav i materijalni volumen Termodinamiki sustav je volumen ispunjen materijom koji je granicom odijeljen od okoline. Granica moe biti svaka geometrijski zatvorena povrina (stvarna ili zamiljena) s definiranim svojstvima u svakoj njenoj toki. Granica moe biti nepomina ili pomina, toplinski provodljiva ili neprovodljiva (adijabatska), a takoer propusna za masu (kada se govori o otvorenom sustavu) ili nepropusna za masu (kada se govori o zatvorenom sustavu). Materijalni volumen u mehanici fluida je primjer zatvorenog termodinamikog sustava, te e se daljnja razmatranja ograniiti na takve termodinamike sustave.

3.2.2. Ravnoteno stanje termodinamikog sustava i veliine stanja Svaki zatvoreni termodinamiki sustav, preputen sam sebi (bez izmjene topline i rada s okolinom), teit e uslijed spontanih procesa u sustavu (procesa koji se odvijaju sami od sebe), svom ravnotenom stanju. Ravnoteno stanje sustava se ne moe vie mijenjati samo od sebe. Sve makroskopski mjerljive veliine, koje svojim vrijednostima opisuju stanje termodinamikog sustava, nazivaju se veliinama stanja. Takve su veliine npr. tlak p, volumen V, temperatura T, unutarnja energija U, entropija S itd. Veliine stanja kojima vrijednosti ovise o koliini materije unutar termodinamikog sustava se nazivaju ekstenzivnim (npr. V, U, S) a veliine kojima vrijednost ne ovisi o koliini materije se nazivaju intezivnim veliinama (p i T). Ekstenzivne veliine izraene po jedinici mase se nazivaju specifinim veliinama stanja. Npr. specifini volumen je definiran izrazom d 1

dV

vm

= = , to je po definiciji jednako recipronoj vrijednosti gustoe fluida. Spontani procesi koji dovode termodinamiki sustav u ravnoteno stanje, a koji se odvijaju sami od sebe, posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veliina (npr. prijelaz topline s podruja vie na podruje nie temperature je posljedica postojanja gradijenta temperature, mijeanje plinova je posljedica postojanja gradijenta koncentracije). Spontani procesi su kao to je poznato iz iskustva jednosmjerni procesi (nikad se nee dogoditi da toplina sama

3. Dinamika fluida


od sebe prijee s hladnijeg na toplije podruje, a jednom izmijeani plinovi se nee nikad sami od sebe razdvojiti). Iz reenog je jasno da u ravnotenom stanju, u kojem su iezli svi spontani procesi, nema vie gradijenata intenzivnih i specifinih veliina stanja.

3.2.3. Jednadbe stanja savreni plin Svako ravnoteno stanje termodinamikog sustava, opisano je skupom veliina stanja, pri emu meu veliinama stanja postoje veze, dane jednadbama stanja, tako da je ravnoteno stanje jednoznano definirano ogranienim brojem veliina stanja. Svaka homogena tvar karakterizirana je svojim jednadbama stanja do kojih se dolazi mjerenjem, a u nekim posebnim sluajevima s pomou statistike mehanike, odnosno kinetike teorije plinova. Tako je npr. za model idealnog plina (koji e se u mehanici fluida zvati savrenim, jer je termin idealni rezerviran za neviskozne fluide), ravnoteno stanje odreeno s dvije veliine stanja, npr. T i v . Tlak je definiran toplinskom (termikom) jednadbom stanja RTpv = ili p RT= gdje je R plinska konstanta. Unutarnja energija savrenog plina funkcija je samo temperature, to je iskazano kalorikom jednadbom stanja d d ili konst.v vu c T u c T= = + gdje je vc specifini toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu. Za specifini toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku vrijedi p vc c R= + . Za savreni plin su , i p vc c R konstante. Uz oznaku /p vc c = vrijedi: 1pc R

=

i 11v

c R

=

.

3.2.4. Termodinamiki proces

Ravnoteno stanje termodinamikog sustava se moe promijeniti samo djelovanjem iz okoline, npr. dovoenjem topline ili rada termodinamikom sustavu, to se naziva termodinamikim procesom. Za termodinamiki proces se kae da je ravnotean ako termodinamiki sustav tijekom procesa prolazi samo kroz ravnotena stanja. To bi znailo da se stanje termodinamikog sustava mijenja samo pod djelovanjem izvana, a prestankom tog procesa prestaje se mijenjati i stanje termodinamikog sustava. Drugim rijeima, ravnoteni proces ne izaziva spontane procese, to znai da se tijekom ravnotenog procesa u termodinamikom sustavu ne pojavljuju gradijenti veliina stanja. Iz reenog je jasno da e svaki neravnoteni proces zbog izazvanih spontanih procesa biti jednosmjeran ili ireverzibilan. Nuan uvjet da bi se proces mogao odvijati u oba smjera je da je ravnotean.

3.2.5. Prvi zakon termodinamike (zakon ouvanja energije) Zakon ouvanja energije kae da e promjena ukupne energije termodinamikog sustava izmeu dva stanja (npr. poetnog stanja 1 i krajnjeg stanja 2) biti jednaka izmijenjenoj toplini i izmijenjenom radu s okolinom izmeu ta dva stanja. Pod ukupnom energijom sustava podrazumijeva se suma svih oblika energije koji se tijekom procesa mijenjaju. Ako se promatra mirujui plin onda je dovoljno promatrati unutarnju energiju U , a u mehanici fluida gdje dolazi do promjene brzine strujanje plina bit e nuno uvesti i kinetiku energiju E fluida. Ako je 12Q izmijenjena toplina izmeu dva stanja, 12W izmijenjeni rad, tada vrijedi ( ) ( )2 2 1 1 12 12E U E U Q W+ + = + (Napomena: Rad i toplina su definirane kao pozitivne veliine ako se dovode termodinamikom sustavu).

3. Dinamika fluida


3.2.6. Primjeri primjene prvog zakona termodinamike Primjer 1. Jouleov pokus Termodinamiki sustav se sastoji od toplinski izolirane posude, mirujue viskozne kapljevine i sustava utega, kolotura i lopatica. Uteg svojim sputanjem za visinu h vri rad

hGW =12 kojim se putem ueta i kolotura pokreu lopatice i fluid, ime im se poveava kinetika energija. Ako se zanemari utjecaj trenja u sustavu kolotura i ueta, sav izvreni rad e se predati lopaticama i fluidu. Uslijed viskoznosti fluida on e se nakon odreenog vremena spontano zaustaviti i tako ponovo doi u ravnoteno stanje. Ako je posuda bila

toplinski izolirana, zakljuuje se da se sav rad utega pretvorio u unutarnju energiju fluida, lopatica i posude, to se oituje kroz porast njihove temperature. Treba primijetiti da je termodinamiki sustav izmeu poetnog i krajnjeg ravnotenog stanja prolazio kroz neravnotena stanja u kojima se fluid gibao, uslijed ega su postojali gradijenti veliina stanja. Zakon ouvanja energije primijenjen izmeu poetnog i krajnjeg ravnotenog stanja mirovanja glasi:

1212 WUU = ili 1212 wuu =

Primjer 2. Stlaivanje plina u toplinski izoliranom cilindru Termodinamiki sustav sadri plin, koji se nalazi u toplinski izoliranom cilindru s pominim stapom. Pretpostavlja se da plin u poetnom trenutku miruje, te da ga se polako stlauje putem stapa, kojeg se pomie bez trenja, silom F koja je u svakom trenutku u ravnotei sa silom tlaka unutar cilindra, dakle, F=pA (pretpostavlja se da je vanjski tlak

jednak nuli). Budui je suma sila na stap jednaka nuli, on se po prvom Newtonovom zakonu moe gibati jedino konstantnom brzinom. Neka se stap giba beskonano malom brzinom, tako da se kinetika energija estica plina u cilindru moe zanemariti. Budui da nema izmjene topline, sav rad koji se ulae putem sile F pA=

2 2 2

1 11

s V

12ds V

d d dS

s

VW F s p A s p V

= = =

troi se na promjenu unutarnje energije plina, tj. vrijedi: 2 2

1 1

2 1 2 1d ili dV v

V v

U U p V u u p v = =

Primjer 3. Grijanje plina pri konstantnom volumenu Termodinamiki sustav sastoji se od zadane koliine plina, poetne temperature T0, smjetene u krutu posudu zadanog volumena, kroz iju se stijenku plinu dovodi toplina od ogrjevnog spremnika temperature T1. Budui da je posuda stalnog volumena, pri grijanju plina ne dolazi do pomicanja stijenki posude prema okolini to znai da plin ne vri

s

F A

pA

1 2

G h

3. Dinamika fluida


nikakav rad, pa sva dovedena toplina Q12 prelazi u unutarnju energiju termodinamikog sustava, tj. vrijedi 1212 QUU = ili 1212 quu = Specifini toplinski kapacitet je toplina koju treba dovesti jedinici mase tvari da bi joj se temperatura povisila za 1 K. Specifini toplinski kapacitet cv pri konstantnom

volumenu se definira kao v dd dv v

q uc

T T

= =

.

Primjer 4. Grijanje plina pri konstantnom tlaku Termodinamiki sustav sadri plin konstantne poetne temperature, koji je zatvoren u cilindru s pomou pominog stapa (koji idealno brtvi, a pomie se bez trenja), ija je povrina A, a teina zajedno s utegom G, tako da je konstantni tlak u plinu p=G/A (pretpostavlja se da je vanjski tlak jednak nuli). Dovoenjem topline termodinamikom sustavu mijenja se volumen plina te dolazi do pomicanja stapa s utegom prema gore, to znai da termodinamiki sustav vri mehaniki rad, koji je jednak umnoku teine G i visine h pomaka stapa. Ako se teina G izrazi s pomou tlaka plina G=pA, tada izraz za izvreni rad termodinamikog sustava glasi: ( )12 2 1W pAh p V V= = gdje su V1 i V2 volumeni plina u poetnom i krajnjem

ravnotenom stanju. Prema tome ako je Q12 toplina dovedena izmeu poetnog i krajnjeg stanja, prvi zakon termodinamike poprima oblik ( ) ( )2 1 12 2 1 2 1 12 2 1 ili U U Q p V V u u q p v v = = Treba ponovo naglasiti, da e termodinamiki sustav pri prijelazu iz stanja 1 u stanje 2 prolaziti kroz niz ravnotenih stanja samo ako se dovoenje topline odvija vrlo sporo. U tom se sluaju prvi zakon termodinamike moe postaviti za dva vrlo bliska stanja izmeu kojih je dovedena diferencijalno mala koliina topline q, izvren je infinitezimalno mali rad w=-pdv, pa je i promjena unutarnje energije du infinitezimalno mala. Time se dolazi do diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike, koji glasi d du q p v= Treba jo jednom naglasiti da gornji oblici prvog zakona termodinamike vrijede samo za ravnotene promjene stanja. Kod brzog dovoenja topline, u plinu bi se pojavio gradijent temperature, gibanje plina i gradijent tlaka, te za stap vie ne bi vrijedila mehanika ravnotea (G=pA), jer bi se on mogao gibati ubrzano, te postii konanu brzinu. U tom sluaju ne bi vrijedio izraz za izvreni rad pa zbog toga ni dani izraz za prvi zakon termodinamike.

V=kons

T0

ogrjevni

ogrjevni

G

A 1

2

h

p=G/A=ko

3. Dinamika fluida


3.2.7. Entalpija Iz diferencijalne formulacije prvog zakona termodinamike d du q p v= , jasno je da za v=konst. sva dovedene toplina prelazi u unutarnju energiju, pa slijedi jednostavni izraz za specifini toplinski kapacitet cv. Za procese pri konstantnom tlaku zgodno je uvesti entalpiju h u obliku d dh q v p= + . Drei p=konst. (dp=0) jasno je da se sva dovedena toplina pretvara u entalpiju, pa se dobije jednostavna definicija specifinog toplinskog

kapaciteta pc pri konstantnom tlaku pp

dd d p

q hc

T T

= =

.

Veza izmeu entalpije i unutarnje energije se dobije ako se desnoj strani izraza kojim je definirana entalpija doda i oduzme lan pdv, te slijedi izraz

( )d d d d

d dh q p v p v v p

u pv

= + +

, a nakon integracije slijedi

pvuh += ili pVUH += U gornjim relacijama entalpija je izraena samo veliinama stanja pa je ona takoer veliina stanja.

3.2.8. Povratni, nepovratni procesi i entropija Ako se sustav odreenim procesom dovede iz jednog u drugo ravnoteno stanje i ako bi se sustav mogao vratiti u poetno ravnoteno stanje bez da u okolini ostane trajnih i zamjetljivih promjena, proces je povratan ili reverzibilan. Svi prirodni ili spontani procesi posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veliina u termodinamikom sustavu i nepovratni su ili ireverzibilni. Prema tome, nuan uvjet da bi proces bio reverzibilan je da je ravnotean. Primjer reverzibilnog procesa je polagana kompresija plina bez trenja u toplinski izoliranom cilindru, kao to je opisano u primjeru 2. Iz tog je primjera vidljivo da u adijabatskom procesu bez trenja i pri polaganoj kompresiji (koja se odvija pri mehanikoj ravnotei) unutarnja energija predstavlja potencijal za silu tlaka (odnosno tlak) jer se uloeni mehaniki rad kompresije moe putem polagane ekspanzije u potpunosti povratiti. Iz prvog zakona termodinamike za taj sluaj oito je da vrijedi:

bez izmjene topline, bez trenja i u ravnotenom procesu

ddupv

=

gdje se gornja derivacija odnosi na sluaj ravnotenog procesa bez trenja i bez izmjene topline. Da ne bismo morali opisno davati uz koje uvjete vrijedi gornja jednadba, uvodi se nova veliina stanja, entropija s, koja pod danim uvjetima ostaje konstantna. U opem sluaju unutarnja energija je funkcija dviju veliina stanja, te se gornja jednadba pie

sv

up

=

Uvoenjem entropije u gornjem izrazu nije jo definirana njena veliina. Jedino je oito da e do promjene entropije s doi kada doe do izmjene topline, trenja ili neravnotee. Ako se dogovori da za sluaj dovoenja topline pri stalnom volumenu kao u primjeru 3 (gdje rastu unutarnja energija i temperatura plina) entropija s raste, tada se veliina promjene entropije s definira iz relacije

3. Dinamika fluida


vs

uT

=

S obzirom da je apsolutna temperatura T pozitivna veliina, svako poveanje unutarnje energije (dovoenje topline) pri konstantnom volumenu ima za posljedicu poveanje entropije, a odvoenje topline smanjenje entropije. Ako se unutarnja energija prikae kao funkcija entropije i volumena, tada vrijedi

d d dv s

T p

u uu s v

s v

= +

, odnosno

vpsTu ddd = ili VpSTU ddd =

usporedbom gornjeg izraza (Gibbsova relacija) s izrazom za prvi zakon termodinamike d du q p v= slijedi dq T s= ili dQ T S= Treba naglasiti da je gornji izraz izveden pod pretpostavkom neprekidne toplinske i mehanike ravnotee termodinamikog sustava to znai da je valjan samo za ravnotene procese.

3.2.9. Drugi zakon termodinamike

(a) Ako se stanje termodinamikog sustava mijenja od stanja 1 do stanja 2 ravnotenim procesom, promjena entropije definirana je integralom

2

2 11

qs s

T = ili

2

2 11

QS ST

=

(b) Svaki spontani proces (koji je po definiciji neravnotean) u izoliranom zatvorenom termodinamikom sustavu vodi poveanju entropije S. Sustav dolazi u ravnoteno stanje kada entropija S postigne svoj maksimum. Prema tome, kod neravnotenih procesa dolazi do poveanja entropije termodinamikog sustava i kad nema izmjene topline, te se prethodni izraz moe poopiti tako da vrijedi za bilo koji proces, tj. za promjenu entropije termodinamikog sustava vrijedi

2

2 11

qs s

T ili

2

2 11

QS ST

gdje se znak jednakosti odnosi na ravnotene procese, a znak vee na neravnotene, a samim tim na ireverzibilne procese. Temeljem prethodnog izraza moe se definirati i produkcija entropije

2

1

qd 0sT

= ili

2

1

d 0QST

=

gdje se ponovo znak jednakosti odnosi na ravnotene procese. U izoliranom termodinamikom sustavu produkcija entropije jednaka je promjeni entropije. Ako u izoliranom termodinamikom sustavu nema promjene entropije proces je reverzibilan, a ako postoji porast entropije proces je ireverzibilan. Treba naglasiti da u termodinamikom sustavu koji izmjenjuje toplinu s okolinom entropija moe rasti (ako mu se toplina dovodi ) ili padati (kada mu se toplina odvodi). S druge strane produkcija entropije, koja je mjera nepovratnosti termodinamikog procesa, mora biti jednaka nuli (za ravnotene procese) ili pozitivna veliina (za ireverzibilne procese).

3. Dinamika fluida


3.2.10. Termodinamiki koncept i strujanje fluida Postavlja se pitanje kako gore izloeni koncept iz termodinamike koji je definiran i primjenjiv na ravnotena stanja termodinamikog sustava, primijeniti u strujanju fluida u kojem se tipino pojavljuju gradijenti brzine, tlaka i temperature, koje je dakle neravnoteno. Odgovor lei u principu lokalne ravnotee u kojem se svaka estica fluida (iz koncepta kontinuuma) smatra termodinamikim sustavom. Budui da estica fluida mase dm zauzima infinitezimalni volumen dV (pri emu je dm=dV), sve ekstenzivne veliine stanja unutar estice fluida e takoer biti infinitezimalne: dU=udV, dS=sdV, a intenzivne i specifine veliine stanja e unutar estice fluida biti konstantne, to prema izloenom konceptu odgovara ravnotenim uvjetima, pa sve prije spomenute relacije vrijede i za svaku esticu fluida. Prema hipotezi kontinuuma, svaka estica fluida zauzima samo jednu toku prostora, pa se u svakoj toki prostora definiraju veliine stanja one estice fluida koja se u promatranom trenutku upravo nalazi u promatranoj toki prostora. Na taj e nain intenzivne i specifine veliine stanja estica fluida biti opisane poljima fizikalnih veliina koja su funkcija prostornih i vremenske koordinate. S obzirom da svaka estica fluida ostaje cijelo vrijeme u ravnotenom stanju, znai da toplinska jednadba stanja vrijedi u svakoj toki prostora u svakom vremenskom trenutku. Takoer vrijedi i Gibbsova relacija vpsTu ddd = , gdje se diferencijali specifine unutarnje energije, specifine entropije i volumena odnose na esticu fluida, koja je elementarni termodinamiki sustav. Dijeljenjem gornjeg izraza s diferencijalom vremena dt dobiju se vremenske promjene specifine unutarnje energije, specifine entropije i specifinog volumena estice fluida, koje se izraavaju materijalnom derivacijom, te Gibbsova relacija glasi:

2D D D D DD D D

u s v s pT p Tt Dt t Dt t

= = +

Slino bi se i dijeljenjem diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike danog izrazom (u kojem se uzima u obzir i kinetika energija fluida, a promjena potencijalne energije uzima kroz mehaniki rad) s diferencijalom vremena dobilo

( )D D d de u q w

t t t

+= +

to bi se moglo iskazati rijeima da je brzina promjene kinetike i unutarnje energije estice fluida jednaka brzini dovoenja topline (q/dt) i mehanikog rada (w/dt) (odnosno snazi vanjskih sila na esticu fluida). estica fluida je u materijalnom volumenu okruena esticama koje su razliitih temperatura od promatrane estice, te dolazi do prijelaza topline od ili prema promatranoj estici. S druge strane estice se dodiruju, to ima za posljedicu pojavu povrinskih sila, putem kojih promatrana estice prima ili vri rad. U mehanici fluida e se zakon ouvanja energije primjenjivati i na materijalni volumen, koji se sastoji od velikog broja estica fluida. Zakon ouvanja energije za materijalni volumen dobije se zbrajanjem jednadbi ouvanja energije svih estice fluida koje ine taj materijalni volumen. Budui da su kinetika i unutarnja energija ekstenzivne veliine brzina promjene tih energija materijalnog volumena bit e jednaka zbroju brzina promjena tih energija svih estica fluida unutar materijalnog volumena. Zbroj brzina izmjene topline svih estica fluida unutar materijalnog volumena, bit e jednak brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom, jer e se izmjena topline meu esticama unutar materijalnog volumena meusobno ponititi. Isto vrijedi i za snagu povrinskih sila. Ako dvije estice u unutranjosti materijalnog volumena izmjenjuju energiju putem snage povrinskih sila, onda je zbroj tih snaga jednak nuli, a u materijalnom volumenu ostaje

3. Dinamika fluida


samo snaga povrinskih sila koja se izmjenjuje s okolinom na granici materijalnog volumena. Snaga masenih sila koje djeluju na materijalni volumen, jednaka je zbroju snaga koje djeluju na estice fluida. Dakle, iskazano rijeima, zakon odranja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjena kinetike i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i povrinskih sila koje djeluju na materijalni volumen i brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

3. Dinamika fluida


3.3. Osnovne jednadbe dinamike fluida 3.3.1. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta)

Zakon ouvanja mase, za materijalni volumen, glasi: Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka je nuli. Matematiki zapis ovog zakona je 0d

DD

)(M=

tV

Vt

Diferencijal dV vremenski promjenjivog materijalnog volumena M ( )V t , koji odgovara volumenu estice fluida, je takoer vremenski promjenjiv, pri emu vrijedi (vidjeti npr. saetak drugih predavanja)

( )D d1d D

j

j

vVV t x

=

pa je

( )M M M( ) ( ) ( )

d

D dD D Dd d d 0D D D D

j jjj

j

jV t V t V tv

vV t xx

vVV V V

t t t t x

+

= + = + =

U graninom prijelazu kada se materijalni volumen smanji na esticu fluida (materijalnu toku), gornji izraz prelazi u oblik MD d 0D

j

j

vV

t x

+ = , iz ega je jasno da vrijedi

D 0D

j jj

j j j

v vv

t x t x x

+ = + + =

.

Gornji izraz se moe zapisati i u obliku ( )0=

+

j

jx

v

t

koji se naziva konzervativnim oblikom zakona ouvanja mase (jednadbe kontinuiteta). Za nestlaivo strujanje (stacionarno ili nestacionarno) jednadba kontinuiteta glasi: 0=

j

jx

v

a izraava injenicu da nema promjene volumena estice fluida.

3.3.2. Dva pomona pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida Bilo koje fizikalno svojstvo fluida (masa, koliina gibanja, energija, ) mogue je izraziti volumenskom gustoom ili masenom gustoom (fizikalna veliina izraena po jedinici mase je specifina vrijednost fizikalne veliine). Tako je npr. volumenska gustoa mase m jednaka =d / dm V = , specifina masa =d / d 1m m = . Za kinetiku energiju

2 / 2mv je volumenska gustoa 2= / 2v , a specifina kinetika energija je 2= / 2v . Veza izmeu volumenske gustoe i specifine fizikalne veliine je =

3. Dinamika fluida


U svim zakonima dinamike fluida pojavljuje se pojam brzine promjene sadraja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena. Brzina promjene izraava se materijalnom derivacijom, a sadraj fizikalne veliine integralom po materijalnom volumenu. Taj se sadraj moe izraziti ili s pomou volumenske gustoe ili s pomou masene gustoe fizikalnog svojstva, u obliku

M M( ) ( )d d

V t V t

V V= , pa za brzinu promjene sadraja vrijedi

M M M( ) ( ) ( )d

D D D D Dd d d d dD D D D DV t V t m m V tm

V V m m Vt t t t t

= = = =

U gornjim je izrazima iskoritena injenica da je masa m materijalnog volumena konstantna (kao i masa dm estice fluida), pa se u tom sluaju pri uvoenju operatora materijalne derivacije, operator primjenjuje samo na podintegralnu funkciju. Dakle valja zapamtiti pravilo (nazovimo ga pravilom A)

M M( ) ( )

D Dd dD DV t V t

V Vt t

= pravilo A

Podintegralna funkcija u gornjem izrazu nakon razvoja operatora materijalne derivacije je

DD j j

vt t x

= +

Ako se desnoj strani gornjeg izraza doda jednadba kontinuiteta pomnoena s slijedi

( )0 prema jednadbi kontinuiteta

DD

jj

j j

vv

t t x t x

=

= + + +

dobije se:

( ) ( )DD

jj

j j

vv

t t x t x

= + = + pravilo B

Valja zapamtiti ovo jednostavno pravilo koje e posluiti za definiranje konzervativnih oblika osnovnih zakona (trei oblik u pravilu B).

3.3.3. Zakon ouvanja koliine gibanja (jednadba gibanja fluida) Zakon koliine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene koliine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i povrinskih sila koje djeluju na materijalni volumen. Matematiki zapis, rijeima iskazanog zakona koliine gibanja je (pogledati i saetak 8. predavanja iz MFI):

M M M M M( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D d d dD

j ji

i i i i j jiV t V t S t V t S tn

v V f V dS f V n dSt

= + = +

Primjenom pravila A na lijevu stranu gornjeg izraza i prikazom povrinskih sila preko volumenskog integrala, slijedi:

M M M( ) ( ) ( )

D d d dD

jiii

jV t V t V t

v V f V Vt x

= +

Iz gornjeg izraza slijedi nekonzervativni diferencijalni zapis zakona koliine gibanja koji glasi:

3. Dinamika fluida


DD

jiii

j

v ft x

= +

Mnoenjem gornjeg izraza s volumenom estice fluida, dobije se poznati oblik drugog Newtonovog zakona za gibanje estice fluida, u kojem je lijeva strana jednadbe jednaka umnoku mase estice fluida i njena ubrzanja (materijalna derivacija brzine), a desna strana je jednaka zbroju sila koje djeluju na esticu fluida, ovdje su to masena i povrinska sila. Primjenom pravila B na lijevu stranu gore dane jednadbe koliine gibanja

DD

jiii

j

v ft x

= +

slijedi konzervativni diferencijalni zapis zakona koliine gibanja, koji glasi:

( ) ( )j i jiii

j j

v vv ft x x

+ = + , a prema pravilu B jasno je da vrijedi i

jii ij i

j j

v vv f

t x x

+ = +

,

to je nekonzervativni oblik jednadbe koliine gibanja. Volumenska gustoa ukupne povrinske sile na esticu fluida je matematiki definirana divergencijom tenzora naprezanja ji

jx

, to naravno oznauje vektor. Komponente toga

vektora dobiju se razvojem izraza za 1i = , 2 i 3, npr. komponenta povrinske sile u smjeru osi 1x (za 1i = ) je

1 11 21 31

1 2 3

j

jx x x x

= + +

Fizikalna interpretacija gornja tri lana slijedi iz analize povrinskih sila na esticu fluida oblika elementarnog paralelopipeda sa stranicama 1dx , 2dx i 3dx , kao to prikazuje slika.

Na prikazanu esticu fluida ucrtane su samo sile u smjeru osi 1x , a na svim povrinama su pretpostavljene pozitivne komponente tenzora naprezanja. Teita povrina u kojima djeluju povrinske sile su oznaena brojevima 1 do 3 i 1' do 3'. Povrine 1 do 3 imaju normale u negativnim smjerovima osi, pa na njima pozitivna naprezanja gledaju u negativnom smjeru osi 1x (vidjeti dogovor o predznacima naprezanja u saetku 2. predavanja iz MF I).

Normale povrina 1' do 3' su u pozitivnim smjerovima osi, pa pozitivna naprezanja na tim povrinama gledaju u pozitivnom smjeru osi 1x . Komponente naprezanja su u opem sluaju funkcije prostornih koordinata. Ako na povrini 1 (u teitu 1) vlada naprezanje

11 , onda e u bliskoj toki 1', koja je od toke 1 pomaknuta u smjeru osi 1x , doi do prirasta naprezanja 11 1

1

dxx

tako da je u teitu 1' naprezanje 1111 1

1

dxx

+

. Slino vrijedi

i za priraste naprezanja 21 i 31 . Elementarna sila u smjeru osi 1x na povrini 1 je

x1

x2

x3

11

2121 2

2

dxx

+

31

0

1 2

3

21

1111 1

1

dxx

+

3131 3

3

dxx

+

2' 1'

3'

3. Dinamika fluida


11 2 3d dx x , a na povrini 1' 1111 1 2 31

d d dx x xx

+

. Doprinos povrinskoj sili u smjeru osi

1x na povrini 2 je 21 1 3d dx x , a na povrini 2' 2121 2 1 32

d d dx x xx

+

. Analogno vrijedi i za povrine 3 i 3'. Ukupna povrinska sila na esticu fluida jednaka je zbroju sila na est povrina i iznosi

111 21 311 2 3

1 2 3

d d d djj

x x x Vx x x x

+ + = , pa je jasno da je 1j

jx

volumenska

gustoa povrinske sile na esticu fluida u smjeru osi 1x .

3.3.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja

Zakon momenta koliine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene momenta koliine gibanja materijalnog volumena, u odnosu na odabrani pol, jednaka je sumi momenata vanjskih masenih i povrinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, u odnosu na taj isti odabrani pol. Ako se pretpostavi da u fluidu nema momenata (spregova sila) raspodijeljenih po povrini materijalnog volumena ili unutar samog volumena, tada se zakon ouvanja momenta koliine gibanja svodi na injenicu simetrinosti tenzora naprezanja jk kj = (vidjeti saetak 12. predavanja iz MFI). Ako se unaprijed pretpostavi simetrinost tenzora naprezanja, to znai da je jednadba momenta koliine gibanja ve zadovoljena (moe se tvrditi da je ve iskoritena pri definiranju tenzora naprezanja), pa se tu jednadbu vie ne treba ukljuivati u skup osnovnih jednadbi dinamike fluida.

3.3.5. Zakon ouvanja energije Zakon ouvanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjene zbroja kinetike i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i povrinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, te brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

Ako se sa u oznai specifina unutarnja energija estice fluida, tada je zbroj kinetike i unutarnje energije unutar estice fluida mase d dm V= jednak

2 2

d d d2 2v vV Vu u V + = +

.

Energija materijalnog volumena jednaka je zbroju (integralu) energija svih estica unutar materijalnog volumena, a brzina promjene te energije oznauje se materijalnom derivacijom toga integrala, tj. vrijedi

x1

di S

SM

O

x3

x2

VM

jn

if

dS

dif V

dm=dV

jq

iv

3. Dinamika fluida


Brzina promjene energije MV = M M M

2

( ) ( ) ( )

D D Dd d dD 2 D DV t V t V t

e

v eu V e V V

t t t + = =

,

Gdje je za zbroj specifine kinetike i unutarnje energije uvedena oznaka e , i primijenjeno pravilo A, za materijalnu derivaciju integrala po vremenski promjenjivom materijalnom volumenu. Snaga masenih sila na esticu fluida izraava se skalarnim produktom masene sile na esticu fluida fi dV i njene brzine vi, a ukupna snaga masenih sila u materijalnom volumenu jednaka je zbroju, odnosno integralu tih elementarnih snaga unutar materijalnog volumena, tj. vrijedi Snaga masenih sila u materijalnom volumenu = Vvf

tVii d

)(M

Vanjske povrinske sile djeluju po materijalnoj povrini SM(t), a definirane su vektorom naprezanja i , koji je jednak skalarnom umnoku jedininog vektora normale jn na materijalnu povrinu i tenzora naprezanja ji u toki materijalne povrine i j jin = . Na svaki elementarni dio dS materijalne povrine djeluje elementarna povrinska sila di S , a snaga te elementarne sile se dobije njenim skalarnim mnoenjem s vektorom brzine iv pomicanja materijalne povrine (koja je jednaka brzini strujanja fluida). Ukupna snaga povrinskih sila koje djeluju na materijalni volumen dobije se zbrajanjem, odnosno integriranjem tih elementarnih snaga po itavoj materijalnoj povrini, tj. vrijedi:

Snaga povrinskih sila na MV = ( )

M M M( ) ( ) ( )dji ii i j ji i

jS t S t V t

vv dS n v dS V

x

= =

,

gdje je iskoritena Gaussove formula da se ukupna snaga povrinskih sila na materijalni

volumen, prikae volumenskim integralom. Tako bi lan ( )ji i

j

v

x

imao fizikalno znaenje

volumenske gustoe snage povrinskih sila na esticu fluida. Trei uzrok promjeni energije materijalnog volumena je izmjena topline kroz materijalnu povrinu. Ako se sa iq oznai vektor povrinske gustoe toplinskog toka (jedinica u SI sustavu mjera je 2W/m ), onda je toplinski tok (izmijenjena toplina u jedinici vremena) kroz elementarni dio materijalne povrine razmjeran normalnoj komponenti tog vektora (vektor iq skalarno pomnoen s jedininim vektorom in vanjske normale na materijalnu povrinu) i elementarnoj povrini dS . Ukupna snaga toplinskog toka jednaka je integralu tih elementarnih tokova kroz cijelu materijalnu povrinu: Toplinski toka kroz materijalnu povrinu =

M M( ) ( )dii i

iS t V t

qq n dS Vx

=

Toplinski tok se uzima s negativnim predznakom jer pozitivna normalna komponenta vektora povrinske gustoe toplinskog toka i iq n oznauje odvoenje topline iz materijalnog volumena to znai smanjenje ukupne energije materijalnog volumena. Jasno je da se povrinski integral moe primjenom Gaussove formule prevesti na volumenski integral, u kojem divergencija vektora povrinske gustoe toplinskog toka i

i

qx

oznauje volumensku gustou brzine izmjene topline estice fluida s okolinom. Matematiki zapis rijeima iskazanog zakona ouvanja energije je dakle

3. Dinamika fluida


( )M M M M( ) ( ) ( ) ( )

D d d d dD

ji i ii i

j iV t V t V t V t

ve qV f v V V Vt x x

= +

Saimanjem materijalnog volumena na esticu fluida i dijeljenjem gornjeg izraza s volumenom estice fluida dobije se diferencijalni oblik zakon ouvanja energije

( )DD

ji i ii i

j i

ve qf vt x x

= +

Primjenom pravila B na lijevu stranu gornjeg izraza dobije se

( )ji i ij i i

j j i

ve e qv f v

t x x x

+ = +

i

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

v e ve qf vt x x x

+ = +

gdje je ovaj posljednji oblik konzervativni zapis zakona ouvanja energije. U gornjoj jednadbi drugi lan desne strane oznauje volumensku gustou snage povrinskih sila, a moe se deriviranjem produkta razloiti na dva dijela:

( )

naprezanje tenzorna povrini brzinerezultirajuaestice deformacijepovrinska

silasnaga

ubrzava esticufluida mijenjakinetiku energiju

ji ji

ji i ji jiii ji i ji ji

j j j jD V

v vv v D

x x x x

+

= + = +

povrinskih silakoja se troi na deformaciju esticefluida mijenjaunutarnju energiju

Iz diferencijalnog oblika jednadbe koliine gibanja je poznato da divergencija tenzorskog polja naprezanja /ji jx oznauje rezultantnu povrinsku silu na esticu fluida izraeno po jedinici volumena, te e umnoak tog lana s brzinom estice fluida oznaavati volumensku gustou snage povrinske sile kojom se mijenja kinetiku energiju estice fluida, sukladno zakonu kinetike energije u mehanici. U drugom lanu gornje jednadbe se pojavljuje tenzor gradijenta brzine /i jv x , koji se, kao to je poznato iz kinematike, moe prikazati zbrojem tenzora brzine deformacije i tenzora vrtlonosti. Tenzor vrtlonosti je antisimetrian tenzor, te je njegov dvostruki skalarni produkt sa simetrinim tenzorom naprezanja jednak nuli, tako da je drugi lan produkt tenzora naprezanja (povrinske sile) i tenzora brzine deformacije, iz ega se zakljuuje da on oznauje dio snage povrinskih sila kojom se deformira estica fluida, a snaga te deformacije se pretvara u unutarnju energiju, kao to je poznato iz termodinamike.

3.3.6. Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike spada u skup osnovnih zakona, a ukazuje na jednosmjernost odvijanja realnih termodinamikih procesa. Ovaj je zakon izraen injenicom da entropija izoliranog sustava mora rasti ili u najboljem sluaju ostati ista, odnosno da produkcija entropije u otvorenom termodinamikom sustavu mora biti pozitivna ili jednaka nuli. Glavna primjena ovog zakona u dinamici fluida je za ocjenu valjanosti (fizikalnosti)

3. Dinamika fluida


dobivenih rjeenja strujanja fluida. Ukoliko postoji vie rjeenja nekog problema strujanja, uzima se ono koje je u skladu s drugim zakonom termodinamike. Brzina promjene entropije estice fluida definirana je Gibbsovom jednadbom danom u prethodnom predavanju, a koja glasi

tp

DtsT

t

u

DD1D

DD

+=

Primjenom jednadbe kontinuiteta 1 DD

j

j

v

t x

=

na zadnji lan desne strane gornjeg

izraza, slijedi:

j

jx

vp

t

u

DtsT

+=DDD

S obzirom da se entropija ne pojavljuje u ostalim osnovnim zakonima dinamike fluida, gornja se jednadba moe rjeavati nezavisno od ostalih jednadbi, pa se ona naziva i pasivnom jednadbom, to znai da se drugi zakon termodinamike primjenjuje neovisno od prethodnih zakona. U tom smislu ga se nee uzimati u skup osnovnih jednadbi, nego e ga se primjenjivati po potrebi (ukoliko postoji potreba za ispitivanjem fizikalnosti rjeenja).

3.4. Skup jednadbi osnovnih zakona dinamike fluida

U skup osnovnih zakona dinamike fluida spadaju opisani zakoni: ouvanja mase, koliine gibanja, momenta koliine gibanja, ouvanja energije i drugi zakon termodinamike. Dani matematiki zapisi navedenih zakona vrijede uz pretpostavku hipoteze kontinuuma, homogenog, jednofaznog i kemijski inertnog fluida u kojem nema povrinskih i masenih momenata. Kao to je reeno, za taj se sluaj zakon momenta koliine gibanja svodi na injenicu simetrinosti tenzora naprezanja, te, ako se ta simetrinost unaprijed pretpostavi, jednadbu momenta koliine gibanja se isputa iz skupa osnovnih diferencijalnih jednadbi, jer ne nosi nikakvu novu informaciju u odnosu na jednadbu koliine gibanja. Drugi zakon termodinamike, je kao to je reeno pasivna jednadba, te se ni ona ne mora ukljuiti u osnovni skup jednadbi, te od skupa osnovnih zakona koji opisuju strujanje fluida ostaju: -zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta)

( )jj

v

t x

=

-zakon koliine gibanja (jednadba koliine gibanja)

( ) ( )j i jiii

j j

v vv ft x x

= + +

-zakon ouvanja energije (energijska jednadba)

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

v e ve qf vt x x x

= + +

Jednadba koliine gibanja je vektorska jednadba (koja se moe razloiti na tri skalarne jednadbe), a jednadba kontinuiteta i energijska jednadba su skalarne jednadbe, tako da sustav jednadbi oznauju sustav pet skalarnih jednadbi. U tim jednadbama poznata je

3. Dinamika fluida


gustoa masenih sila if , a nepoznata polja su: polje gustoe , tri komponente vektorskog polja brzine iv , est komponenti simetrinog tenzora naprezanja ji , energije e i tri komponente vektora povrinske gustoe snage toplinskog toka iq , to ini 14 nepoznatih polja. Oit je nesklad u broju jednadbi i broju nepoznatih polja, te navedeni sustav ne moe jednoznano opisati strujanje fluida. Univerzalni zakoni fizike koji vrijede za sve fluide bez obzira na njihovu vrstu i stanje nisu u stanju jednoznano opisati strujanje fluida, te je u cilju usklaivanja broja jednadbi i broja nepoznatih polja nuno uvesti dopunske pretpostavke o reolokim i termodinamikim svojstvima fluida. Te dopunske relacije nemaju univerzalni karakter, te e tako zatvoreni sustav jednadbi biti valjan samo za odreenu kategoriju fluida.

3. Dinamika fluida


3.5. Konstitutivne (dopunske) jednadbe

3.5.1. Odnosi za savreni plin

Za toplinsko i kaloriki savreni plin vrijedi toplinska jednadba stanja: RTp =

i kalorika jednadba stanja: vu c T= pri emu su specifini toplinski kapaciteti pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu konstantni, pa je i njihov odnos konstantan ( pc =konst., vc =konst., /p vc c = =konst.).

3.5.2. Fourierov zakon toplinske vodljivosti

Fourierov zakon toplinske vodljivosti uspostavlja linearnu vezu izmeu vektora povrinske gustoe toplinskog toka i gradijenta temperature, koja uz pretpostavku izotropnosti fluida, poprima oblik:

ii

x

Tq

=

U gornjem izrazu je toplinska provodnost fluida ([ ] ( )SI W/ m K = ), pozitivna je veliina i funkcija je lokalnog termodinamikog stanja. Predznak minus na desnoj stani izraza oznauje da e toplina spontano prelaziti uvijek s mjesta vie temperature prema mjestu s niom temperaturom, dakle u smjeru suprotnom gradijentu temperature, to znai da su vektori toplinskog toka i gradijenta temperature suprotno usmjereni kolinearni vektori.

3.5.3. Newtonov zakon viskoznosti

Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu izmeu simetrinog tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije (simetrinog dijela gradijenta brzine). Polazei od injenice da u mirujuem plinu vlada termodinamiki tlak p, a da su tangencijalna naprezanja jednaka nuli, tenzor naprezanja se moe prikazati u obliku:

ji ji jip = +

gdje je ji jedinini tenzor, a ji simetrini tenzor viskoznih naprezanja, koji se uz pretpostavku izotropnosti fluida, modelira izrazom:

3. Dinamika fluida


2 2 2

3 3j i k

ji V ji ji V kk jii j k

v v v D Dx x x

= + + = +

U gornjem izrazu je dinamika viskoznost, V volumenska viskoznost, a Dji tenzor brzine deformacije. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s tri, slijedi:

V

1 D(d )d D

13

kjj

kV

V t

vpx

= +

Lijeva strana gornjeg izraza je srednje mehaniko naprezanje, ija se negativna vrijednost naziva i mehanikim tlakom, a koji se razlikuje od termodinamikog tlaka za lan koji je razmjeran volumenskoj viskoznosti i relativnoj brzini promjene volumena estice fluida. Utjecaj volumenske viskoznosti je znaajan u strujanjima sa znaajnim gradijentima gustoe fluida, kao to su eksplozije i udarni valovi. Volumenska viskoznost jednoatomnih plinova jednaka je nuli, a u strujanjima gdje je brzina promjene volumena estica fluida (odnosno gustoe fluida) mala koeficijent volumenske viskoznosti se moe zanemariti. U tom sluaju izraz za tenzor viskoznih naprezanja prelazi u:

jikkjijik

k

j

i

i

jji DD

x

v

x

v

x

v

322

32 =

+

=

U nestlaivom strujanju je divergencija polja brzine identiki jednaka nuli te su viskozna naprezanja opisana sljedeim izrazom:

2j iji jii j

v v Dx x

= + =

Viskoznosti i V su pozitivne veliine, a funkcije su lokalnog termodinamikog stanja fluida.

3.6. osnovne jednadbe dinamike newtonskog savrenog plina

Treba naglasiti da osnovni zakoni klasine fizike vrijede za sve fluide, a pojedini matematiki modeli strujanja fluida razlikuju se jedino po dopunskim ili konstitutivnim relacijama, koje opisuju specifino ponaanje pojedinih fluida. Uvrtavanjem konstitutivnih relacija u jednadbe osnovnih zakona dobiva se matematiki model u kojem je broj nepoznatih polja usklaen s brojem jednadbi, a koji vrijedi samo za fluide koji se ponaaju sukladno uvedenim konstitutivnim relacijama. Tako su osnovne jednadbe dinamike newtonskog savrenog plina: - jednadba kontinuiteta

3. Dinamika fluida


( )jj

v

t x

=

- jednadba koliine gibanja ( ) ( )j i jii

ij i j

v v v pft x x x

= + +

, gdje je

2 2 2

3 3j i k

ji V ji ji V kk jii j k

v v v D Dx x x

= + + = +

- energijska jednadba ( ) ( )2 2

2 2ji ii

j i ij i j i i

vpvv v Tu v u f v

t x x x x x

+ = + + + +

- toplinska jednadba stanja RTp =

- kalorika jednadba stanja Tcu V=

Navedeni sustav jednadbi je sustav sedam jednadbi u kojima se pojavljuje sedam nepoznatih polja ( , , , i jv p u T ). Uz zadane poetne i rubne uvjete, ovaj sustav jednoznano opisuje problem strujanja newtonskog savrenog plina. Naravno, zbog nelinearnosti (npr. konvekcijski lan u jednadbi koliine gibanja - prvi lan desne strane) uglavnom se nee moi nai analitiko rjeenje postavljenog sustava, nego e za njegovo rjeavanje trebati primijeniti numerike metode. Pojavom raunala, dolo je do razvoja raunalne dinamike fluida (Computational Fluid Dynamics- CFD), grane unutar mehanike fluida, koja obuhvaa metode numerikog rjeavanja gornjeg sustava jednadbi.

3.7. Matematiki model nestlaivog strujanja

Posebnu klasu strujanja ine nestlaiva strujanja, u kojima gustoa fluida tijekom strujanja ostaje konstantna. To se uglavnom odnosi na strujanje kapljevina, iako u strujanjima s velikim gradijentima tlaka (npr. podvodna eksplozija) moe doi do razlike u gustoi kapljevina (jer su i kapljevine stlaive) tako da bi strujanje trebali promatrati kao stlaivo. S druge strane i strujanje plinova (koji su izriito stlaivi) pri malim brzinama strujanja u odnosu na brzinu zvuka, moemo smatrati nestlaivim. Tako npr. strujanje zraka u ventilacijskom kanalu brzinom do desetak metara u sekundi, uzrokuje vrlo mali pad tlaka (svega nekoliko paskala) po jedinici duljine kanala. Ako se uzme da je tlak zraka reda veliine atmosferskog tlaka (dakle reda veliine 100000 Pa), a strujanje priblino izotermiko, onda je iz jednadbe stanja jasno da zbog pada tlaka nee doi do znaajne promjene gustoe zraka, pa se takvo strujanje takoer opisuje modelom nestlaivog

3. Dinamika fluida


strujanja. U nestlaivom strujanju se dakle toplinska jednadba stanja RTp = zamjenjuje s konst. = , ime se gubi zavisnost gustoe od temperature (odnosno unutarnje energije) fluida. Ako se moe zanemariti promjena viskoznosti fluida o temperaturi, tada jednadba kontinuiteta i jednadba koliine gibanja postaju posve nezavisne od temperature. U tom se sluaju rjeavanjem tih dviju jednadbi dolazi do polja tlaka i brzine, a nakon toga se rjeava energijska jednadba (koja, osim kalorijske jednadbe stanja ostaje jedina jednadba u kojoj se pojavljuje temperatura) ime se dolazi do polja temperature (odnosno specifine unutarnje energije). Ako nas polje temperature ne zanima energijsku jednadbu ne moramo niti rjeavati. Jednadbe koje opisuju nestlaivo strujanje uz =konst. su:

- jednadba kontinuiteta 0j

j

v

x

=

ili 1 2 3

1 2 3

0v v vx x x

+ + =

- jednadba koliine gibanja ( ) ( ) 2j ii i

ij i j j

v vv p vft x x x x

= + +

Energijsku jednadbu za sluaj nestlaivog strujanja emo kasnije definirati.

Poetni i rubni uvjeti Dani sustav jednadbi opisuje nestlaivo strujanje bilo kojeg newtonskog fluida, u bilo kakvom geometrijskom podruju. Kad bi znali analitiki integrirati ove jednadbe, dobili bismo njihovo ope analitiko rjeenje u kojem bi se pojavile odreene funkcije integracije, koje bi inile ope rjeenje neodreenim, sve dok se ne zada podruje u kojem se neko strujanje analizira, uvjeti koji vladaju u tom podruju u poetnom trenutku integracije (poetni uvjeti), kao i uvjeti koji vladaju na rubu tog podruja tijekom vremena integracije (rubni uvjeti). Ako nas zanima samo stacionarno rjeenje (rjeenje koje se dobije kad ieznu sve vremenske promjene), poetne uvjete nije potrebno zadavati. Tipini rubni uvjeti za brzinu Rubni uvjet na nepropusnoj stijenci. Viskozni fluid se lijepi na stijenku, tako da je brzina fluida na stijenci jednaka brzini stijenke (nema relativne brzine izmeu fluida i stijenke, kao to je to bio sluaj u potencijalnom strujanju). Jasno je da je na mirujuoj stijenci brzina fluida jednaka nuli. Rubni uvjet na granici dvaju fluida. Ako se dva fluida (razliitih gustoa i viskoznosti) koja se ne mijeaju, gibaju laminarno svaki u svom sloju, pri emu se slojevi dodiruju, tada se dodirna povrina ponaa kao nepropusna stijenka, na kojoj nema relativne brzine izmeu dva sloja. Po principu akcije i reakcije slojevi djeluju jedan na drugoga istom silom po veliini suprotnom po predznaku, to znai da su povrinske sile na dodirnoj granici neprekidne. Rubni uvjet na slobodnoj povrini. Slobodna povrina je u principu razdjelna povrina dvaju fluida, od kojih jedan ima puno manju gustou i viskoznost od drugoga (primjer strujanje vode u kanalu gustoa i viskoznost zraka su za tri reda veliine manji od gustoe i viskoznosti vode). U tom se sluaju viskozne sile u fluidu s malom viskoznou (u spomenutom primjeru u zraku) mogu zanemariti, pa rubni uvjet na slobodnoj povrini prelazi u uvjet nultog sminog naprezanja. U takvoj se situaciji promatra strujanje samo u fluidu vee gustoe ( u spomenutom primjeru u vodi).

3. Dinamika fluida


3.8. Alternativni oblici energijske jednadbe

3.8.1. Potencijalna energija

Kao to je poznato iz mehanike, rad (snagu) potencijalne masene sile se moe prikazati promjenom (brzinom promjene) potencijalne energije. Ako se sa eP oznai masena gustoa potencijala specifine masene sile (npr. potencijalna energija za silu teine (gravitacije) je

P 3E mgz mgx= = , a specifini potencijal je P P 3/e E m gz gx= = = ), pri emu taj potencijal nije vremenski promjenjiv, tada se specifina masena sila moe prikazati gradijentom tog potencijala:

Pi

i

efx

=

na primjer za silu gravitacije: ( ) ( )3 3 0,0,i i

i

gxf g gx

= = =

Uzimajui u obzir gornju definiciju, lan koji oznauje snagu masenih sila u energijskoj jednadbi, moe se pisati u obliku: ( ) ( )P P P

prema JK

ii i i i

i i i

t

vef v v v e ex x x

=

= = +

Ako se u zadnjem lanu gornje jednadbe primijeni jednadba kontinuiteta kao to je naznaeno, te uzme u obzir da Pe nije funkcija vremena, slijedi:

( ) ( )P P PDD

ii i

i

e v e ef vt x t

= + =

U gornjem izrazu je iskoriteno pravilo B (vidjeti prethodna predavanja) za prijelaz s konzervativnog na nekonzervativni zapis. Rijeima iskazan, gornji izraz glasi: Snaga vanjske potencijalne masene sile koja djeluje na esticu fluida jednaka je negativnoj brzini promjene potencijalne energije estice fluida. Dakle pozitivna snaga masene sile tj. gibanje estice fluid u smjeru masene sile (npr. gibanje estice prema dolje u polju gravitacije) oznauje smanjenje potencijalne energije, i obrnuto kada je skalarni umnoak i if v negativan, to oznauje poveanje potencijalne energije estice fluida. Uvrtavanjem gornjeg izraza za snagu masenih sila u energijsku jednadbu, ona prelazi u oblik:

( ) ( )

+

+

++

=

++

iij

iji

i

ij

j xT

xx

v

x

pveu

vv

xeu

v

t P

2

P

2

22

u kojem se pojavljuje zbroj kinetike, unutarnje i potencijalne energije.

3. Dinamika fluida


3.8.2. Jednadba kinetike i unutarnje energije

U prethodnom obliku energijske jednadbe smo vidjeli da pri strujanju fluida u polju potencijalne sile pod ukupnom energijom moemo promatrati zbroj triju oblika energije, to je zgodno u integralnom pristupu rjeavanja problema. U diferencijalnom pristupu emo uvijek teiti najjednostavnijem obliku energijske jednadbe. Kao to smo vidjeli iz modela nestlaivog strujanja, polje brzine i tlaka su odreeni jednadbom kontinuiteta i jednadbom koliine gibanja, a kada je poznato polje brzine uvijek moemo odrediti kinetiku energiju fluida. Stoga se samo od sebe namee kao ideja da se iz energijske jednadbe eliminira kinetiku energiju fluida. To se moe uiniti na nain da se od energijske jednadbe oduzme jednadba kinetike energije. Kao to je poznato iz mehanike jednadba kinetike energije se dobije skalarnim mnoenjem jednadbe koliine gibanja s brzinom. Primijenjeno na nekonzervativni oblik jednadbe koliine gibanja u diferencijalnom obliku dobije se

2DD 2

DD

jiii i i i i

i jv

t

v pv f v v v

t x x

= +

Podsjetimo se fizikalnog znaenja lanova s povrinskim silama. lan / ip x oznauje rezultantnu silu tlaka na esticu fluida, a njen skalarni umnoak s vektorom brzine oznauje snagu tlanih sila kojom se mijenja kinetika energija fluida. Ako je polje tlaka konstantno, onda je i rezultantna sila tlaka na esticu fluida jednaka nuli (sjetimo se statike fluida u MFI sila konstantnog tlaka na zatvorenu povrinu jednaka je nuli) pa je doprinos toga lana kinetikoj energiji fluida jednak nuli. Zadnji lan gornje jednadbe je skalarni umnoak rezultantne viskozne sile na esticu fluida s brzinom estice, tj. oznauje doprinos viskoznih sila promjeni kinetike energije estice fluida. Ako se u nekonzervativnom zapisu energijske jednadbe deriviraju lanovi koji oznauju povrinske sile dobije se

2

2DD

i iji

i j i

jii i i i

ii j

v v Tu p

v pf v v vx xx xt

x x

+ = + + +

pri emu su plavom bojom oznaeni lanovi koji se pojavljuju u jednadbi kinetike energije. Oduzimanjem jednadbe kinetike energije od jednadbe ukupne energije (energijske jednadbe) dobije se jednadba unutarnje energije (lanovi oznaeni crvenom bojom u gornjoj jednadbi), koja glasi

i iji

i j i i

Du v v Tp Dt x x x x

= + + ,

koja u konzervativnom obliku (dobije se primjenom pravila B iz prethodnih predavanja) glasi:

( ) ( )( ) vD d 0

d D

j i iji

j i j i iVp

V t

v uu v v Tp t x x x x x

= + +

Iz termodinamike je poznato da je izraz za mehaniki rad u ravnotenom procesu jednak dp V , te bi snaga bila d / dp V t , a volumenska gustoa te snage d

dp VV t

. U mehanici

fluida se sukladno principu lokalne ravnotee za termodinamiki sustav uzima estica

3. Dinamika fluida


fluida ( dV V ), a vremensku promjenu koja se odnosi na esticu fluida (materijalnu derivaciju) se oznauje s D / Dt , pa je jasno da lan /i ip v x u jednadbi unutarnje energije oznauje volumensku gustou snage sile tlaka koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Pri ekspanziji se volumen estice fluida poveava ( d 0V > ), a njena se unutarnja energija smanjuje, to znai da estica vri rad prema svojoj okolini. Pri kompresiji je d 0V < (volumen estice fluida se smanjuje) pa se unutarnja energija estice fluida poveava, to znai da se estici dovodi rad iz njene okoline. Iz reenog je jasno da se putem tlanih sila mehanika energija moe pretvarati u unutarnju i obrnuto. lan v u jednadbi unutarnje energije oznauje volumensku gustou snage viskoznih sila koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Ako se gradijent brzine /i jv x prikae zbrojem simetrinog tenzora brzine

Documents

Predavanja iz Mehanike fluida II