PREDAVANJE_4_5

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, oktobar 2014.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

3 Sistemi linearnih jedna£ina 3

3.1 Pojam sistema linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Rje²avanje sistema rje²avanjem matri£ne jedna£ine . . 63.2.2 Kramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Gausov metod eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Kroneker-Kapelijev stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jedna£ina

Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jed-na£ina. U ovom poglavlju precizno ¢emo de�nirati pojam sistema linearnihjedna£ina i rje²enja sistema. Razlikovat ¢emo kvadratne i pravougaone, ho-mogene i nehomogene sisteme. Bavit ¢emo se pitanjem egzistencije rje²enjai metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna£ina.

3.1 Pojam sistema linearnih jednacina

De�nicija 3.1. Skup jedna£ina oblika

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

, (3.1)

gdje su aij i bj (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) elemeni polja brojeva F nazivamosistemom od m jedna£ina sa n nepoznatih xj (j = 1, . . . , n).

Naj£e²¢e se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

kompleksnih brojeva. Mi ¢emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iakomnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije.

Brojeve aij (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) nazivamo koe�cijentima sistema,dok su bi (i = 1, . . . ,m) slobodni £lanovi.

U op²tem slu£aju kaºemo da je sistem (3.1) pravougaoni, dok u slu£ajum = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jedna£ina.

U slu£aju kada je bi = 0 (∀i = 1, . . . ,m) kaºemo da je sistem homogen, au protivnom rije£ je o nehomogenom sisitemu linearnih jedna£ina.

Sistem linearnih jedna£ina (3.1) moºemo napisati i pomo¢u matrica uobliku

AX = B, (3.2)

pri £emu smo uveli oznake

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

,X =

x1x2...xn

,B =

b1b2...bm

.

Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektorslobodnih £lanova. Sistemu jedna£ina tako�e moºemo pridruºiti i takozvanupro²irenu matricu sistema, koju dobijemo tako ²to matrici sistema A s desnestrane dopi²emo vektor slobodnih £lanova. Obiljeºavamo je sa (A|B). Dakle

(A|B) =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2...bm

.

Osnovno pitanje vezano za sisteme jedna£ina je nalaºenje njihovog rje²e-nja. Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema.

De�nicija 3.2. Svaka ure�ena n-torka (α1, α2, . . . , αn) takva da je za

(x1, x2, . . . , xn) = (α1, α2, . . . , αn)

svaka od m jedna£ina sistema (3.1) identi£ki zadovoljena je rje²enje tog sis-tema.

4

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Ukolio posmatramo sistem jedna£ina zapisan u matri£nom obliku (3.2)onda pod rje²enjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovo-ljava matri£nu jedna£inu (3.2).

De�nicija 3.3. Za sistem linearnih jedna£ina koji ima barem jedno rje²enjekaºemo da je saglasan (kompatibilan, rje²iv). U suprotnom kaºemo da jesistem nesaglasan (protivrje£an, kontradiktoran, nerje²iv).

Pored egzistencije rje²enja, vaºno pitanje je i pitanje broja rje²enja. Je-dan od rezultata koji nam govori o tome navest ¢emo u narednom teoremu.Formulisat ¢emo ga i dokazati koriste¢i matri£ni zapis.

Teorem 3.1. Ako su X1 i X2 dva razli£ita rje²enja sistema (3.2) onda je iX(µ) = µX1 + (1− µ)X2, za svako µ ∈ R tako�e rje²enje tog sistema.

Dokaz. Da bi dokazali tvrdnju dokazat ¢emo da X(µ) zadovoljava jedna£inu(3.2). Koriste¢i osobine operacija s matricama i pretpostavku da X1 i X2

zadovoljavaju jedna£inu (3.2) slijedi da je

A(µX1 + (1− µ)X2) = µAX1 + (1− µ)AX2 = µB+ (1− µ)B = B,

pa je dokaz zavr²en.

Upravo dokazani teorem nam kaºe da sistem, ukoliko ima dva razli£itarje²enja, onda ih ima beskona£no mnogo.

Dakle, svaki sistem oblika (3.1) zadovoljava ta£nu jednu od sljede¢e tritvrdnje.

(i) Sistem nema rje²enje.

(ii) Sistem ima ta£no jedno rje²enje.

(iii) Sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

U slu£aju (ii) kaºemo da je sistem odre�en, dok u slu£aju (iii) kaºemo daje neodre�en. Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama(ii) i (iii) saglasan.

Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je ure�ena n-torkasa£injena od svih 0 rje²enje svakog homogenog sistema. Ovo rje²enje se na-ziva trivijalnim. Ukoliko je homogeni sistem odre�en onda je njegovo jedinorje²enje trivijalno. Neodre�en homogen sistem, pored trivijalnog, ima i drugarje²enja koja nazivamo netrivijalnim.

5

3.2.Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Napomenimo jo² da rije²iti sistem zna£i na¢i sva njegova rje²enja ili us-tanoviti da sistem nema rje²enje.

U nastavku ovog poglavlja govorit ¢emo o metodama rje²avanja sistemai uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii). Zna£ajnu ulogupri rje²avanju sistema imaju ekvivalentni sistemi. Sli£no, kao i kod matrica,elementarnim transformacijama se sistem prevodi u ekvivalentan sistem.

De�nicija 3.4. Dva sistema jedna£ina su ekvivalentna ako imaju isti skuprje²enja.

Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su:

(i) Zamjena mjesta bilo koje dvije jedna£ine sistema.

(ii) Mnoºenje proizvoljne jedna£ine sistema nekim brojem razli£itim od 0.

(iii) Dodavanje jedne jedna£ine sistema, prethodno pomnoºene nekim bro-jem razli£itim od 0, drugoj jedna£ini sistema.

Tako�e se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i pro-mjena poretka varijabli u jedna£inama sistema, no treba napomenuti da jeu tom slu£aju vaºno voditi ra£una o novom poretku, pogotovo ukoliko sesistem pi²e pomo¢u matrica koje ga odre�uju i rje²enje se zapisuje u oblikuure�ene n-torke.

3.2 Kvadratni sistemi linearnih jednacina

U ovom odjeljku ¢emo se baviti sistemima linearnih jedna£ina kod kojih jebroj jedna£ina jednak broju nepoznatih. Speci�£nost ovog tipa sistema namgarantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogu¢e ra£unati njenudeterminantu i odre�ivati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna.Upravo na ovim £injenicama su zasnovane dvije metode rje²avanja kvadratnihsistema koje ¢emo opisati u nastavku.

3.2.1 Rjesavanje sistema rjesavanjem matricne jednacine

Kako smo ve¢ napomenuli sistem linearnih jedna£ina, pa specijalno i kva-dratni sistem linearnih jedna£ina, moºe biti napisan u matri£noj formi (3.2).

Forma (3.2) se moºe interpretirati kao matri£na jedna£ina, jedna£ina ukojoj je nepoznata varijabla matrica. Ovu matri£nu jedna£inu, kao i matri£ne

6


jedna£ine op¢enito, rje²avamo koriste¢i operacije s matricama i njihove oso-bine. Vaºno je napomenuti da treba voditi ra£una da mnoºenje matrica nijekomutativno.

Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njojinverzna matrica A−1. Pomnoºimo jednakost (3.2) s lijeve strane sa A−1,a zatim iskoristimo £injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matricejednak jedini£noj matrici, kao i £injenicu da je jedini£na matrica neutralnielement za mnoºenje matrica. Opisani postupak moºemo zapisati na sljede¢ina£in.

AX = B

A−1(AX) = A−1B

(A−1A)X = A−1B

EX = A−1B

X = A−1B.

3.2.2 Kramerovo pravilo

U ovom dijelu opisat ¢emo metod za rje²avanje kvadratnih sistema jedna£inabaziran na primjeni determinanti. Kvadratnom sistemu

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

, (3.3)

odgovara kvadratna matrica sistema A. Njoj moºemo pridruºiti determi-nantu, koju nazivamo determinantom sistema (3.3) i obiljeºavamo je sa D.Istom sistemu moºemo pridruºiti i determinante Di, (i = 1, . . . , n), koje do-bijemo tako ²to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnih£lanova. Dakle, za sistem (3.3) je

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,7


Di =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Rezultat na kojem se zasniva Kramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih

sistema dat ¢emo u teoremu koji slijedi.

Teorem 3.2. Neka sistem (3.3) ima barem jedno rje²enje. Tada svako rje-²enje (α1, α2, . . . , αn) tog sistema zadovoljava jednakosti

αiD = Di, (i = 1, . . . , n). (3.4)

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i osobine determinanti. Odaberimo pro-izvoljno i �ksirajmo indeks i, (i = 1, . . . , n). Prema osobini determinanti (vi),determinanta se mnoºi skalarom tako ²to joj se jedna kolona ili vrsta mnoºitim sklarom. Da bi pomnoºili skalarom αi determinantu D pomnoºimo timskalarom i-tu kolonu te determinante. Zatim primijenimo osobinu (viii) nadobijenu determinantu tako ²to ¢emo pomnoºiti elemente prve kolone sa α1 idodat ih i-toj koloni, zatim pomnoºiti elemente druge kolone sa α2 i dodat ihi-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i. Determinantakoju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika

αiD =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 a11α1 + a12α2 + . . .+ a1nαn a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 a21α1 + a22α2 + . . .+ a2nαn a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 an1α1 + an2α2 + . . .+ annαn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Po pretpostavci je (α1, α2, . . . , αn) rje²enje posmatranog sistema, pa uvr²ta-vanjem vrijednosti αi (i = 1, . . . , n) u jedna£ine sistema dobijamo ta£ne jed-nakosti, ²to zna£i da lijeve strane jedna£ina, koje se pojavljuju u i-toj kolonigornje matrice, moºemo zamijeniti desnim, to jeste, i−tu kolonu vektoromslobodnih £lanova. Dobijena matrica je upravo matrica Di, pa je tvrdnjateorema dokazana.

Posmatrajmo sistem (3.3). Neka je matrica sistema regularna, to jesteD 6= 0. Tada iz (3.4) slijedi da je posmatrani sistem odre�en i ima jedinstvenorje²enje dato sa

xi =Di

D, (i = 1, . . . , n).

8


Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko jeD = 0 i ukolikopostoji indeks j, (j = 1, . . . , n) takav da je Dj 6= 0 onda jedna od jedna£inaiz (3.4), za i = j postaje nemogu¢a, pa je sistem u ovom slu£aju protivrje£an.

Zaklju£ak u preostalom slu£aju, to jeste kada je D = 0 i Di = 0 za sve i =1, . . . , n se ne moºe direktno izvesti. Potrebno je posmatrati poddeterminanteposmatranih determinanti.

Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat podnazivom Kramerovo pravilo. Formulisat ¢emo ga u narednom teoremu.

Teorem 3.3. Neka je dat kvadratni sistem (3.3).

1. Ako je determinanta sistema D 6= 0 sistem ima jedinstveno rje²enjedato sa xi =

Di

D, (i = 1, . . . , n), to jeste sistem je odre�en.

2. Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti Di (i = 1, . . . , n) razli£itaod 0 sistem je protivrje£an.

3. Ako je D = 0 i D1 = D2 = . . . = Dn = 0 onda mogu nastupiti dvijesituacije, sistem je neodre�en ili je sistem protivrje£an. Odgovor napitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljede¢i niz koraka.

(a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n− 1 determinante D raz-li£ita od nule sistem je neodre�en.

(b) Ako je svaka subdeterminanta reda n− 1 determinante D jednakanuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n − 1 determinantiDi razli£ita od nule, sistem je protivrje£an.

(c) Ako je svaka subdeterminanta reda n−1 svih determinanti Dk i Djednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i(c) za subdeterminante jednog reda manje.

Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jedna£ina dobi-jamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rje²enja.Posmatrajmo homogen kvadratni sistem

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0

. (3.5)

9

3.3.Gausov metod eliminacije Doc. dr. Almasa Odºak

Neka oznake D i Di imaju isto zna£enje kao i ranije. Iz na£ina formiranjadeterminanti Di i osobine (i) determinanti slijedi da je Di = 0 za svakoi = 1, . . . , n. Osim toga, kako smo ve¢ napomenuli, homogeni sistem uvijekima trivijalno rje²enje, pa nikada nije nemogu¢. Dakle, vrijedi tvrdnja.

Posljedica 3.4. Homogeni sistem (3.5) je odre�en ako je D 6= 0, a neodre�enu slu£aju kada je D = 0.

3.3 Gausov metod eliminacije

Gausov metod eliminacije zasniva se na £injenici da se sistemi jedna£inakod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rje²avaju.Takve sisteme ¢emo zvati trougaonim ili trapeznim. Sam metod se sastojiiz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentantrougaoni ili trapezni, a druga je rje²avanje novodobijenog sistema.

Ilustrirat ¢emo postupak na sistemu napisanom u op²tem obliku (3.1).Pretpostavimo da je a11 6= 0. Ukoliko to nije slu£aj moºemo izvr²iti

elementarnu transformciju zamjene redoslijeda jedna£ina sistema, tako dauslov bude zadovoljen. Naime, barem jedan od koe�cijenata uz varijablu x1mora biti razli£it od nula, jer u protivnom varijabla x1 moºe imati proizvoljnuvrijednost.

Prvu jedna£inu podijelimo sa x1, a zatim od i-te (i = 2, . . . ,m) jedna£ineoduzmimo prvu jedna£inu pomnoºenu sa ai1. Dobijamo ekvivalentan sistemoblika

x1 + a12a11x2 + · · · + a1n

a11xn = b1

a11(a22 − a21 a12a11

)x2 + · · · +

(a2n − a21 a1na11

)xn = b2 − a21 b1

a11...(

am2 − am1a12a11

)x2 + · · · +

(amn − am1

a1na11

)xn = bm − am1

b1a11

.

Ovaj sistem moºemo zapisati u ne²to kra¢em obliku uvedemo li oznake

• a′1j =a1ja11

, (j = 2, . . . , n),

• b′1 = b1a11,

• a′ij = aij − ai1 a1ja11

, (i = 2, . . . ,m, j = 2, . . . n),

10


• b′i = bi − ai1 b1a11,, (i = 2, . . . ,m).

Sistem poprima sljede¢i oblik

x1 + a′12x2 + · · · + a′1nxn = b′1a′22x2 + · · · + a′2nxn = b′2...

a′m2x2 + · · · + a′mnxn = b′m

.

Postupak nastavljamo tako ²to prepi²emo prvu jedna£inu, a na ostale pri-mijenimo transformacije analogne ve¢ ura�enim. Drugu jedna£inu dijelimosa a′22 i od i-te (i = 3, . . . ,m) oduzimamo drugu jedna£inu pomnoºenu saa′i2. Naravno dijeljenje je mogu¢e izvr²iti jedino ako je a′22 6= 0. Ukolikoto nije slu£aj mogu nastupiti tri situacije. Ukoliko postoji a′i2 6= 0 za nekoi = 3, . . . ,m, onda zamjenom mjesta jedna£ina postiºemo da je traºeni uslovzadovoljen. Ukoliko to nije slu£aj mogu¢e je da da postoji koe�cijent aij,i = 2, . . . ,m, j = 3, . . . , n razli£it od nule, pa se zamjenom pisanja redosli-jeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postiºe ispunjenje uslova. Ukolikoni jedan od dva navedena uslova nije ta£an, to zna£i da su svi koe�cijentisistema u svim jedna£ina izuzev prve jednaki 0, pa se te jedna£ine svode na0 = bi, (i = 2, . . . ,m). Jasno, u ovom slu£aju sistem ima jedino rje²enje akoje bi = 0 (i = 2, . . . ,m). U protivnom ovaj sistem, pa i po£etni, je nemogu¢.Nakon opisanih transformacija uz skra¢ene oznake

• a′′2j =a′2ja′22

, (j = 3, . . . , n),

• b′′2 =b′2a′22,

• a′′ij = aij − ai2a′2ja′22

, (i = 3, . . . ,m, j = 3, . . . n),

• b′′i = b′i − a′i2b′2a′22,, (i = 3, . . . ,m),

sistem poprima oblik

x1 + a′12x2 + a′13x3 · · · + a′1nxn = b′1x2 + a′′23x3 · · · + a′′2nxn = b′′2

a′′33x3 · · · + a′′3nxn = b′′3...

a′′m3x3 · · · + a′′mnxn = b′′m

.

11


Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sis-tem. Treba napomenuti da je mogu¢e i da u nekom k-tom (k < m) koraku

posljednjih m − k jedna£ina poprimi oblik 0 = b(k)i , (i = k + 1, . . . ,m). U

tom slu£aju sistem je saglasan jedino ako je b(k)i = 0 za sve i = k + 1, . . . ,m.

U protivnom je nemogu¢.

Nizom opisanih koraka zavr²ava se prva etapa. Primijetimo da smo uprvom koraku varijablu x1 eliminisali iz svih izuzev prve jedna£ine, nakontoga u drugom koraku varijabla x2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i drugejedna£ine i tako dalje. Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodomeliminacije.

U drugoj etapi rje²avamo sistem ekvivalentan po£etnom dobijen u pret-hodnoj etapi. U sl£aju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i ako jesaglasan posljednja jedna£ina je oblika xn = b

(n)n i sistem ima jedinstveno rje-

²enje. Dakle, posljednja jedna£ina nam daje vrijednost varijable xn. Zatim,uvr²tavanjem te vrijednosti u pretposljednju jedna£inu moºemo izra£unativrijednost varijable xn−1. Postupak nastavljamo. Kona£no u posljednjemkoraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli xn, . . . , x2 i pomo¢uprve jedna£ine ra£unamo vrijednost varijable x1. Time je postupak rje²avanjasistema zavr²en.

U slu£aju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odre�eni broj jed-

na£ina poprima oblik 0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i ako je sistem mogu¢)

sistem ima beskona£no mnogo re²enja. Varijable xm+1, xm+2, . . . , xn mogubiti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opi-sanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraºene preko proizvoljnoodabranih varijabli.

U slu£aju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu¢,odre�en broj jedna£ina se mora svesti na identi£ne jedna£ine ili jedna£ine0 = b

(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i pri tome svi b

(k)i koje se pojavljuju u njima

moraju biti jednaki 0. Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika,pa se tako i rje²ava.

Treba napomenuti da se postupak eliminacije prakti£no vr²i primjenomelementarnih transformacija na jedna£ine sistema, odnosno na pro²irenu ma-tricu sistema. Ve¢ smo obrazloºili da se elementarne transformacije matricamogu interpretirati kao mnoºenje matrice odgovaraju¢im matricama, pa jenaravno to slu£aj i za elementarne transformacije sistema linearnih jedna£ina.

12

3.4.Kroneker-Kapelijev stav Doc. dr. Almasa Odºak

3.4 Kroneker-Kapelijev stav

Kao ²to smo vidjeli ranije primjenom Kramerovog teorema mogu¢e je ispi-tivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jedna£ina. No, treba napo-menuti da ovaj postupak moºe biti jako obiman jer je potrebno ra£unativeliki broj poddeterminanti. Tako�e ovaj postupak je ograni£en isklju£ivona kvadratne sisteme. U ovom odjeljku ¢emo opisati postupak za ispitiva-nje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema ipro²irene matrice.

Teorem 3.5. Sistem (3.3) je saglasan ako i samo ako je

rang(A) = rang(A|B) = r.

Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda,

(i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rje²enje,

(ii) ako je r < n sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

Dokaz. Za dokaz teorema koristit ¢emo interpretaciju ranga matrice datu po-mo¢u linearno nezavisnih kolona matrice navedenu u prethodnom poglavlju.

Prvo pretpostavimo da sistem ima rje²enje. Neka je ono dato sa x1 = α1,x2 = α2, . . . , xn = αn i neka je matrica sistema zapisana pomo¢u svojihkolona u obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

). (3.6)

Koriste¢i matri£ni zapis sistema jedna£ina i uvedene oznake slijedi da vrijedi

α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn = B.

O£igledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(A|B) ≤rang(A). Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moºe smanjiti,to je rang(A) ≤ rang(A|B). Slijedi da je rang(A) = rang(A|B).

Pretpostavimo da je sada rang(A) = rang(A|B) = r. Pokaºimo da jesistem saglasan, tj. da ima rje²enje. Jednakost iz pretpostavke implicira daje B zavisno od kolona matrice A, pa se moºe napisati u obliku linearnekombinacije kolona K1, . . . , Kn, to jeste u obliku

B = α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn,

13


a ovo upravo zna£i da su skalari α1, α2, . . . , αn rje²enja posmatranog sistema.Ovim je prvi dio teorema dokazan.

Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(A) =rang(A|B) = r, prema de�niciji ranga, slijedi da u matrici sistema postojisubdeterminanta reda r razli£ita od 0, odnosno da je r kolona matrice Alinearno nezavisno. Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je toprvih r kolona. U protivnom moºemo izvr²iti prenumerisanje varijabli. Os-talih n− r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona.Sli£no vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m− r jedna£ina sistema posljedicaprvih r jedna£ina, te se mogu odbaciti. Po£etni sistem se sada moºe napisatiu obliku

a11x1 +a12x2 + · · · +a1rxr = b1 −a1r+1xr+1 − . . . −a1nxna21x1 +a22x2 + · · · +a2rxr = b2 −a2r+1xr+1 − . . . −a2nxn...

ar1x1 +ar2x2 + · · · +arrxr = br −arr+1xr+1 − . . . −arnxn.(3.7)

Sistem (3.7) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je raºli£itaod 0, pa primjenom Kramerovog metoda sistem (3.7) kao sistem od r vari-jabli ima jedinstveno rje²enje. No, za r < n po£etni sistem ima beskona£nomnogo rje²enja, jer za svaki izbor varijabli xr+1, xr+2, . . . , xn ima jedno rje-²enje, pa je dokazana tvrdnja (i). Za n = r na desnoj strani sistema (3.7)nema varijabli, pa je jedinstveno rje²enja sistema (3.7) i jedinstveno rje²enjepo£etnog sistema.

Napomenimo da se pri prakti£noj primjeni Kroneker-Kapelijevog teorematraºi rang pro²irene matrice svo�enjem na trapezni oblik i pri tome se po-sljednja kolona matrice ne pomjera. Trapezni oblik pro²irene matric dajenam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti.Takodjer, trapezni oblik pro²irene matrice daje trapezni sistem koji je ekvi-valentan po£etnom sistemu, pa se on jednostavno rje²ava, kao i kod Gausovogmetoda eliminacije.

Teorem 3.5 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kri-terij o egzistenciji netrivijalnih rje²enja homogenog sistema. Naime, obziromda je kolona slobodnih £lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula,to je uvijek rang matrice sistema i pro²irene matrice sistema jednak, pa jeprema teoremu 3.5 sistem saglasan, kako smo ve¢ i napomenuli.

14


Posljedica 3.6. Homogeni sistem AX = 0, A ∈ Rm×n ima netrivijalnorje²enje akko je r(A) < n.

15

Documents

PREDAVANJE_4_5