Upload
nika-bujeci
View
131
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Sveuilite u Rijeci Fakultet za menadment u turizmu i ugostiteljstvu
PREGLED FORMULA STATISTIKEiz
Dr. sc. SUZANA MARKOVI, docent
P R E G L E D
F O R M U L A
GRAFIKO PRIKAZIVANJE Strukturni krug x0 =dio 360 0 cjelina x0 isjeak (sektor kruga) dio parcijalna frekvencija pojave cjelina ukupna frekvencija r polumjer kruga P ukupna frekvencija koja se prikazuje grafiki Ludolfov broj (3,14)
r=
P
Strukturni polukrug
x0 =
dio 180 0 cjelina
x0 isjeak (sektor kruga) dio parcijalna frekvencija pojave cjelina ukupna frekvencija r polumjer kruga P ukupna frekvencija koja se prikazuje grafiki Ludolfov broj (3,14)
r=
2P
RELATIVNI BROJEVI
Postoci
P=
dio 100 cjelina
P - postotak, relativna frekvencija dio - parcijalna frekvencija pojve cjelina - ukupna frekvencija
RBK =
Relativni brojevi koordinacije (RBK)f1 f2 RBK = f2 f1
f1 - frekvencija jedne statistike pojave (mase) f2 - frekvencija druge statistike pojave (mase)
2
Indeksi
I=
f1 100 f2
I - indeks f1 - jedna frekvencija statistike pojave f2 - druga frekvencija iste statistike pojave (baza usporedbe)
NUMERIKI NIZ Srednje vrijednosti
Aritmetika sredina
Negrupirani podaci
x=
xi =1
N
i
Nn
Grupirani podaci
x fi N xi
- aritmetika sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n
x=
xi =1 n i =1
i
fii
f
Harmonijska sredina
Negrupirani podaciH= N
xi =1
N
1i
Grupirani podaci
H=
f xi =1 i =1 n
n
H fi N xi
- harmonijska sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n
i
fii
3
Geometrijska sredina
Negrupirani podacilog G = ili G=N
1 N log xi N i =1
x1 x 2 ... x N
G fi N xi log
- geometrijska sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - Logaritam
Grupirani podacilog G = 1 f i log xii =1 i n
fi =1
n
iliG=N
x1 1 x 2 2 ... x k k
f
f
f
ModMo - mod L1 - donja granica modalnog razreda b - najvea frekvencija u nizu (najvea korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) a - frekvencija iznad b c - frekvencija ispod b i - veliina modalnog razreda fc - korigirana frekvencija fi - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n i - veliina razreda ija se frekvencija korigira
Grupirani podaci (razredi): Mo = L1 + ba i (b a ) + (b c )
fc =
fi i
Medijan
Negrupirani podaci
N +1 2 N r1 = 2 r2 = r1 + 1 r=Me = x r1 + x r 2 2
r - redni broj podatka, koji predouje medijan u ureenom nizu s neparnim brojem lanova (jedinica) r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu s parnim brojem lanova (jedinica) N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Me - medijan xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica medijalnog razreda f1 - zbroj frekvencija do medijalnog razreda fmed - frekvencija medijalnog razreda i - veliina medijalnog razreda4
Grupirani podaci (razredi)N f1 Me = L1 + 2 i f medMjere disperzije
Raspon varijacije
R = x max x min
R - raspon varijacije xmax - najvea vrijednost numerikog obiljeja xmin - najmanja vrijednost numerikog obiljeja
Kvartili
Donji kvartil
Negrupirani podaci N 4 r2 = r1 + 1 r1 =Q1 = x r1 + x r 2 2
Grupirani podaci (razredi) N f1 Q1 = L1 + 4 i f Q1
r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu kojima se odreuje donji kvartil N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Q1 - donji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda f1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda fQ1 - frekvencija kvartilnog razreda i - veliina kvartilnog razreda
Gornji kvartilNegrupirani podaci
3N 4 r2 = r1 + 1 r1 =Q3 = x r1 + x r 2 2
r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu kojima se odreuje gornji kvartil N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Q3 - gornji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda f1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda fQ3 - frekvencija kvartilnog razreda i - veliina kvartilnog razreda
5
Grupirani podaci (razredi)
3N f1 Q3 = L1 + 4 i f Q3
Interkvartil
I Q = Q3 Q1
IQ - interkvartil Q1 - donji kvartil Q3 - gornji kvartil
Koeficijent kvartilne devijacije
VQ =
Q3 Q1 Q3 + Q1
VQ - koeficijent kvartilne devijacije Q1 - donji kvartil Q3 - gornji kvartil
Standardna devijacija
= 2
- standardna devijacija 2 - varijanca ili drugi moment oko sredine
Koeficijent varijacijeV =
x
100
V - koeficijent varijacije - standardna devijacija x - aritmetika sredina
6
Momenti
Momenti oko nule
Negrupirani podaci
mk =
xi =1
N
k i
N
,
mk xi N fi m2 =
- k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n
m1 =
xii =1
N
N
,
xi =1
N
2 i
N
,
m3 =
xi =1
N
3 i
N
,
m4 =
xi =1
N
4 i
N
Grupirani podaci
mk =
fxi =1 n i
n
k i
fi =1 i
,
i
m3 =
fxi =1 n i
n
3 i
fi =1
,
m4 =
fxi =1 n i
n
4 i
i
fi =1
i
m1 =
fxi =1 n
n
i
fi =1
,
m2 =
fxi =1 i
n
2k i
i
fi =1
n
,
i
Momenti oko sredine
Negrupirani podaci
k =
(xN i =1
i
x
) )
k
N
, 2 =
(xN i =1
i
x
)
2
N
,
3 =
(xN i =1
3
i
x
N
, 4 =
(xN i =1
i
x
)
4
N
k mk xi N x fi
- k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - aritmetika sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n
7
Grupirani podaci
k =
(n i =1 n
f i xi x
)
k
fi =1
, 2 =
(n i =1 n
f i xi x
)
2
i
fi =1
,i
3 =
f (xn i =1 i n i =1
i
xi
)
3
f
, 4 =
f (xn i =1 i n i =1
i
xi
)
4
f
0 = 1,
1 = 0
Pomou momenata oko nule 2 = m2 m12 3 = m3 3m1 m2 + 2m13
4 = m4 4m1 m3 + 6m12 m2 3m14
8
Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti
Koeficijent asimetrije
3 =
3 3
3 - koeficijent asimetrije 3 - trei moment oko sredine - standardna devijacija
Pearsonove mjere asimetrije
S k1 =
x Mo
3 ( x Me)
Sk2 =
Sk x Mo Me
- Pearsonova mjera asimetrije - aritmetika sredina - mod - medijan - standardna devijacija
Bowleyjeva mjera asimetrije
S kQ =
Q1 + Q3 2 Me Q3 Q1
SkQ Q1 Q3 Me
- Bowleyjeva mjera asimetrije - donji kvartil - gornji kvartil - medijan
Koeficijent zaobljenosti
4 =
4 4
4 - koeficijent zaobljenosti 4 - etvrti moment oko sredine - standardna devijacija
9
KOMBINATORIKA
Permutacije
Bez ponavljanja P = n! S ponavljanjem
P=
n! r1!r2 !...rk !
P P n r
- permutacije bez ponavljanja - permutacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred
Varijacije
Bez ponavljanja
V=
n! (n r )!
S ponavljanjem V = nr
V V n r
- varijacije bez ponavljanja - varijacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred
Kombinacije
Bez ponavljanja
n n! K = = r r!(n r )! S ponavljanjem n + r 1 K = r
K K n r
- kombinacije bez ponavljanja - kombinacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred
10
VJEROJATNOST
Matematika vjerojatnost ili vjerojatnost a priori
P ( A) =
m n
P(A) - vjerojatnost dogaaja A m - broj povoljnih mogunosti n - broj svih mogunosti
Statistika vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori
P ( A) =
f ( A) n
P(A) - vjerojatnost dogaaja A f(A) - frekvencija dogaaja A n - broj izvrenih pokusa
Suprotna vjerojatnost
Q( A) = 1 P( A) P( A) + Q( A) = 1
Q(A) - suprotna vjerojatnost P(A) - vjerojatnost dogaaja A
Zbrajanje vjerojatnosti vjerojatnost ili-ili u ekskluzivnom smislu
P ( A B) = P( A) + P ( B )
P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B
Mnoenje vjerojatnosti vjerojatnost i-i
P( A B) = P( A) P( B)
P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B
Vjerojatnost barem jedan vjerojatnost ili u inkluzivnom smislu
P = 1 Q( A) Q( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)
P(A) P(B) Q(A) Q(B)
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B
11
Vjerojatnost samo jedan
P = P( A) Q( B) + Q ( A) P ( B )
P(A) P(B) Q(A) Q(B)
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B
Vjerojatnost dogaaja koji se ponavljaju
P1 = p Q = (1 p ) n P2 = 1 (1 p ) nn
P1 - vjerojatnost da dogaaj nastupi n-puta Q - vjerojatnost da dogaaj n-puta ne nastupi P2 - vjerojatnost da dogaaj u n pokusa nastupi barem jedanput p - vjerojatnost da e se dogoditi neki dogaaj n - broj ponavljanja (pokusa)
Uvjetna vjerojatnost
P( A / B) =
P( A B) P( B) P( A B) P( A)
P ( B / A) =
P(A/B) - vjerojatnost dogaaja A uz uvjet dogaaja B P(B/A) - vjerojatnost dogaaja B uz uvjet dogaaja A P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B
Totalna vjerojatnost
P ( A) = P ( B1 ) P( A / B1 ) + P ( B2 ) P ( A / B2 ) + ... + P( Bi ) P ( A / Bi )
P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..
Bayesova formula
P ( Bi / A) =
P ( Bi ) P ( A / Bi ) P( Bi ) P( A / Bi )
P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..
12
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE
Binomna distribucija
E ( x) = X = n p
V ( x) = n p qq V = 100 n p
= n pq
3 =
q p n pq1 6 p q n pq
4 = 3 +
n p q Mo n p + p n P( x ) = p x q n x x
E(x) x n p q V(x) V 3 4 Mo P(x)
- matematiko oekivanje - broj nastupanja dogaaja A u n pokusa - broj elemenata u uzorku ili broj pokusa - vjerojatnost ostvarenja dogaaja A - vjerojatnost nenastupanja dogaaja A - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod - vjerojatnost da sluajna varijabla ima vrijednost x
Poissonova distribucija
E ( x) = X =
V (x) = V =100
= 3 =1
1
4 = 3 +
1 Mo P( x) =
E(x) V(x) V 3 4 Mo P(x)
xx!
- matematiko oekivanje - lamda - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod - vjerojatnost da sluajna varijabla ima vrijednost x e - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...
e
P (0) = e
13
Normalna ili Gaussova distribucija1 e z2 2 ( x x)2 2 2
f ( x) =
21 2 e
f ( z) =
;
z=
xx
3 = 0 4 = 3
f(x) x x e 3 4
- funkcija vjerojatnosti tj. gustoa razdiobe - tekua vrijednost sluajne varijable - aritmetika sredina osnovnog skupa - standardna devijacija - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182... - Ludolfov broj (3,14) - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti
METODA UZORAKA
Frakcija izbora
f =
n N
f - frakcija izbora n - uzorak N - populacija, osnovni skup
Metode procjene
Procjena aritmetike sredine osnovnog skupa
Interval:
x t sx < X < x + t sx
X x t sx f>0,05
- aritmetika sredina osnovnog skupa - aritmetika sredina uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greka procjene aritmetike sredine
f30 s x = n30
sx =
s n
s
N n N 1 N n N 1
n50 s = n0,05
f30
n