Top Pregled

VJEZBE IZ OSNOVA FIZIKE IV

Pregled formula

Velimir LabinacOdsjek za fiziku, Filozofski fakultet-Rijeka

E-mail: [email protected]: free-ri.htnet.hr/velimirlabinac

26. rujna 2006.

Sadrzaj

I TOPLINA 5

1 Temperatura. Toplinsko sirenje cvrstih tijela i teku cina 51.1 Nulti zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 51.2 Mjerenje temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5

1.2.1 Definicija temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51.2.2 Termometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51.2.3 Veza izmedu Celzijeve i termodinamicke temperature . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Toplinsko rastezanje (sirenje) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Linearno rastezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61.3.2 Povrsinsko rastezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Prostornosirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4 Opce definicije zaαl, αV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.5 Red velicine koeficijenataα, β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Jednadzba stanja idealnog plina 72.1 Pojam idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 72.2 Ravnotezno stanje sustava i jednadzba stanja . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Empirijski zakoni za idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Boyle-Mariottov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 72.3.2 Gay-Lussacov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72.3.3 Charlesov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82.3.4 Opca definicija za toplinski koeficijent tlaka . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 82.3.5 Avogadrov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82.3.6 Daltonov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 8

2.4 Jednadzba stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 82.4.1 Molarni volumen (obujam) i opca plinska konstanta . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Molarna masa i Boltzmannova konstanta . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 92.4.3 Razni oblici jednadzbe stanja idealnog plina . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9

3 Toplinski kapacitet. Latentna toplina 103.1 Toplinska ravnoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 103.2 Toplinski kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

3.2.1 Toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu . . . . . .. . . . . . . . . . . . 103.2.2 Toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 103.2.3 Specificni i molarni toplinski kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.3 Promjena agregatnog stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 113.3.1 Latentna toplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

3.4 Richmannovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4 Sirenje topline: kondukcija i konvekcija 134.1 Kondukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

4.1.1 Fourierov zakon kondukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 134.1.2 Jednadzba kondukcije topline . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 144.1.3 Wiedemann-Franzov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 14

4.2 Konvekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144.3 Newtonov zakon hladenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

5 Sirenje topline: toplinsko zracenje 165.1 Crno tijelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 165.2 Planckov zakon zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Eksperimentalni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17

5.3.1 Wienov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175.3.2 Kirchoffov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3 Stefan-Boltzmannov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

II KINETI CKA TEORIJA PLINOVA 18

6 Maxwellova raspodjela. Tlak idealnog plina 186.1 Idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 186.2 Srednji slobodni put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 186.3 Tlak idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 186.4 Maxwellova raspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 18

6.4.1 Karakteristicne brzine kod Maxwellove raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5 Prosjecna kineticka energijacestice i temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.6 Jednadzba stanja idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20

7 Unutrasnja energija idealnog plina. Van der Waalsova jednadzba 217.1 Pojam unutrasnje energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Zakon ekviparticije energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 217.3 Unutrasnja energija i temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 217.4 Jednoatomni idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 217.5 Dvoatomni idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 22

7.5.1 Vibracijski stupnjevi slobode kod dvoatomnog idealnog plina . . . . . . . . . . 227.6 Viseatomni idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227.7 Mayerova relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 237.8 Adijabatska konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 23

7.8.1 Veza izmedu toplinskih kapaciteta, adijabatske konstante i opce plinske konstante 237.9 Van der Waalsova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24

7.9.1 Kriticni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.10 Barometarska formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 24

III TERMODINAMIKA 25

8 Prvi zakon termodinamike 258.1 Funkcije stanja i funkcije procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 25

8.1.1 Gotovo ravnotezan proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 258.1.2 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258.1.3 Oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.1.4 Dogovor o predznacima za toplinu i rad . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26

8.2 Prvi zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 268.3 Rad hidrostatickog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.3.1 Stlacivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.3.2 Primjer: izohorni proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 278.3.3 Primjer: izobarni proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 27

8.4 Rad kod idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 278.4.1 Izotermni proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 27

2

8.4.2 Adijabatski proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 288.5 Toplina kod idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 288.6 Unutrasnja energija idealnog plina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 288.7 Poissonove jednadzbe za idealni plin . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28

9 Drugi zakon termodinamike 299.1 Reverzibilni i ireverzibilni procesi . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 29

9.1.1 Primjeri ireverzibilnih procesa . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 299.2 Toplinski strojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 29

9.2.1 Princip rada toplinskog stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 309.2.2 Princip rada hladnjaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 319.2.3 Carnotov idealni toplinski stroj . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 319.2.4 Carnotov idealni hladnjak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 31

9.3 Razliciti iskazi drugog zakona termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 329.3.1 Kelvin-Planckov iskaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 329.3.2 Clausiusov iskaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 329.3.3 Carnotov iskaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32

9.4 Entropija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 329.4.1 Clausiusov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 329.4.2 Promjena entropije kod ireverzibilnih procesa . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 329.4.3 Promjena entropije svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 339.4.4 Promjena entropije u reverzibilnom adijabatskom procesu . . . . . . . . . . . . 339.4.5 Promjena entropije kod idealnog plina . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 339.4.6 Promjena entropije kodcvrstih tijela i tekucina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.5 Zakoni termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 339.5.1 Nulti zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339.5.2 Prvi zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339.5.3 Drugi zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 349.5.4 Treci zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10 Termodinamicki potencijali 3510.1 Unutrasnja energijaU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 EntalpijaH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.2.1 Entalpija i toplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3610.3 Helmholtzova energijaF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.3.1 Helmholtzova energija i rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3610.4 Gibbsova energijaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.4.1 Clausius-Clapeyronova jednadzba . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3710.5 Maxwellove termodinamicke jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.5.1 Prva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3710.5.2 Druga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3810.5.3 Treca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.5.4 Cetvrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.6 Vazne termodinamicke relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.6.1 Osnovna termodinamicka jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.6.2 TdS jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.6.3 Jednadzbe za unutrasnju energiju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.6.4 Jednadzba za toplinske kapacitete . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

10.7 Dvije korisne matematicke relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

IV MODERNA FIZIKA 40

11 Cesticna svojstva EM zracenja 4011.1 Neke relacije iz specijalne teorije relativnosti . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11.1.1 Relativisticki impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.1.2 Ukupna energija za slobodnu relativisticku cesticu . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.1.3 Energija mirovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4011.1.4 Kineticka energija za slobodnu relativisticku cesticu . . . . . . . . . . . . . . . 40

11.2 Fotoelektricni efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.2.1 Fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4011.2.2 Izlazni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 41

11.3 Comptonov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4111.4 Stvaranje para elektron-pozitron . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4211.5 Anihilacija para elektron-pozitron . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 42

12 Valna svojstvacestica 4312.1 De Broglie-evi postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4312.2 Heisenbergove relacije neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.3 Schrodingerova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 43

12.3.1 Statisticka interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.3.2 Normalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

12.4 Slobodnacestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

13 Rutherford-Bohrov model atoma 46

14 Osnove nuklearne fizike 4714.1 Karakteristike atomske jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 47

14.1.1 Oznaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4714.1.2 Izotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47

14.2 Defekt mase i energija vezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4714.3 Radioaktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 47

14.3.1 α - raspad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.3.2 β+ - raspad: emisija pozitrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4714.3.3 β− - raspad: emisija elektrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4714.3.4 β - uhvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3.5 Spontana fisija teskih jezgara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

14.4 Zakon radioaktivnog raspada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4814.4.1 Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4814.4.2 Vrijeme poluraspada i srednje vrijeme zivota radioaktivne jezgre . . . . . . . . . 48

V PRILOZI 49Prilog 1: Fizicke konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

LITERATURA 50

4

I TOPLINA

1 Temperatura. Toplinsko sirenje cvrstih tijela i teku cina

1.1 Nulti zakon termodinamike

Nulti zakon termodinamike glasi:

Ako su dva sustava, svaki zasebno, u toplinskoj ravnotezi strecim, tada su u toplinskoj ravotezi imedusobno.

Mjerni instrument kojim provjeravamo jesu li sustavi u toplinskoj ravnotezi naziva setermoskop.

1.2 Mjerenje temperature

1.2.1 Definicija temperature

Temperatura mjeri zagrijanost nekog tijela. Ovo nije tocna definicija temperature. Kod definiranja tem-perature sluzimo se statistickom mehanikom. Preciznija definicija temperature glasi:

Kazemo da je sustav na temperaturiT ako je vjerojatnost zauzeca stanja s energijomE proporcionalnas e−E/kBT , gdje jekB Boltzmannova konstanta.

1.2.2 Termometar

Temperaturu mjerimo pomocu termometra.Zivinim termometrom mozemo ustanoviti Celzijevu tempe-raturnu ljestvicu. U istu svrhu moze nam posluziti i alkoholni termometar.

Plinski termometar znatno je precizniji nego zivin. Njimeustanovljavamo termodinamicku (apso-lutnu, Kelvinovu) temperaturnu ljestvicu koja ima jednu fiksnu tocku, trojnu tocku vode kojoj pripisu-jemo apsolutnu temperaturu

T = 273,15 K (1.1)

1.2.3 Veza izmedu Celzijeve i termodinamicke temperature

U gornjim smo razmatranjima st oznacili Celzijevu, a sT termodinamicku temperaturu. Veza izmedudvije ljestvice dana je jednadzbom

t = T − 273,15 (1.2)

Veoma je vazno zapamtiti da su temperaturni intervali u obje ljestvice jednaki

∆t = ∆T (1.3)

Dakle, ako se temperatura povisila za 1◦C na Celzijevoj skali, tada se na Kelvinoj skali takoder povisilaza 1K.

5

1.3 Toplinsko rastezanje (sirenje)

1.3.1 Linearno rastezanje

Kod linearnog rastezanja mijenja se jedna istaknuta dimenzija tijela. Na primjer, za dugistap to jepromjena njegove duljine. Promjenu duljine racunamo po formuli

∆L = αlL∆T (1.4)

gdje jeL pocetna duljina,αl je toplinska rastezljivost (koeficijent toplinskog rastezanja), a∆T je pro-mjena temperature. Jedinica zaαl je K−1 . Poseban slucaj formule (1.4) je

L = L0 (1+ αlt) (1.5)

VelicinaL0 je duljina na temperaturit = 0◦C.Napomena: toplinska rastezljivost obiljezava se i slovomα.

1.3.2 Povrsinsko rastezanje

Kod povrsinskog rastezanja mijenjaju se dvije istaknute dimenzije. Promjena povrsine jednaka je

∆S = 2αlS∆T (1.6)

Ovdje jeS pocetna povrsina.

1.3.3 Prostornosirenje

Promjena volumena (obujma) kod prostornogsirenja je

∆V = 3αlV ∆T = αV V ∆T (1.7)

gdje smo definirali toplinskusirivost (koeficijent prostornog toplinskog rastezanja)

αV = 3αl (1.8)

VolumenV u (1.7) je pocetni volumen tijela koje sesiri.Napomena: toplinskasirivost obiljezava secesto i slovomβ.

1.3.4 Opce definicije zaαl, αV

Koeficijenti αl, αV opcenito, ovise o temperaturi i tlaku pa se zato, definiraju formulama

αl =1L

(

∂L

∂T

)

p

(1.9)

αV = β =1V

(

∂V

∂T

)

p

(1.10)

Indeksp u formulama (1.9) i (1.10) oznacava da se parcijalne derivacije racunaju pri konstantnom tlakup.

1.3.5 Red velicine koeficijenataα, β

Cvrste tvari α, β ∼ 10−6 K−1

Tekucine β ∼ 10−4 K−1

Plinovi β ∼ 10−2 K−1

Na osnovi tablice moze se zakljuciti da se za danu promjenu temperature plinovi najvisesire, acvrstetvari najmanje.

6

2 Jednadzba stanja idealnog plina

2.1 Pojam idealnog plina

U modelu idealnog plina medumolekularne sile zamjenjujemo ”kratkotrajnim” srazovima medu moleku-lama. Molekule idealnog plina ponasaju se kao slobodnecestice, a srazovi se zbivaju ”rijetko” i veoma”kratko”. Molekularni srazovi su nacin na koji se plin vraca u ravnotezno stanje. Takoder, molekuleplina sudaraju se i sa stijenkama posude.

Model idealnog plina veoma dobro vrijedi za realne plinove ako su tlakovi nisu ”previsoki”, a tem-perature ”preniske”.

2.2 Ravnotezno stanje sustava i jednadzba stanja

Idealni plin opisivatcemo pomocu termodinamickih koordinata. Izbor pogodnih termodinamickih koor-dinata ovisitce o konkretnom primjeru. Najcesci izbor termodinamickih koordinata bitce tlak, tempera-tura i volumen.

Ako su termodinamicke koordinate konstantne u vremenu tada se sustav nalazi u stanju termodi-namicke ravnoteze. Umjesto ”stanje termodinamicke ravnoteze” upotrebljavatcemo rijeci ”ravnoteznostanje” ili samo ”stanje”.

Veza izmedu termodinamickih koordinata kad je sustav u termodinamickoj ravnotezi naziva se jed-nadzba (ravnoteznog) stanja. Na primjer, ako je sustav potpuno opisan koordinatamap, V, T opci oblikjednadzbe stanja glasi

f (p, V, T ) = 0 (2.1)

gdje namf oznacava funkcijsku vezu medu koordinatama.

2.3 Empirijski zakoni za idealni plin

2.3.1 Boyle-Mariottov zakon

Promjena stanja sustava pri konstantnoj temperaturi naziva se izotermna promjena. Eksperiment poka-zuje da je kod izotermne promjene stanja plina, umnozak tlaka i volumena uvijek konstantan

pV = p1V1 = p2V2 = ... = konst. (T = konst.) (2.2)

Taj se eksperimentalni zakon naziva Boyle-Mariottov zakon.

2.3.2 Gay-Lussacov zakon

Promjena stanja sustava pri konstantnom tlaku naziva se izobarna promjena. Kod idealnog plina je omjervolumena i temperature konstantan ako tlak drzimo konstantnim

V

T=

V1

T1=

V2

T2= ... = konst. (p = konst.) (2.3)

Ova se eksperimentalnacinjenica naziva Gay-Lussacov zakon.Oznacimo volumen plina nat = 0◦C oznakomV0, a Kelvinovu temperaturu sT0 = 273,15 K . Pri

izobarnoj promjeni za volumenV i temperaturuT imamo

V = V0T

T0= V0

273,15+ t

273,15

= V0 (1+ αV t) (2.4)

gdje smo koristili vezu Celzijeve i termodinamicke temperature, a u zadnjem koraku definirali koeficijentprostornog toplinskog rastezanja idealnog plinaαV

αV =1

273,15K−1 (2.5)

7

2.3.3 Charlesov zakon

Promjena stanja sustava pri konstantnom volumenu je izohorna promjena. Za idealne plinove vrijedi

p

T=

p1

T1=

p2

T2= ... = konst. (V = konst.) (2.6)

sto se naziva Charlesov zakon. I za tlak, istim rasudivanjem kao i kod izvoda formule (2.4), dolazimo doslicne jednakosti

p = p0(

1+ αpt)

(2.7)

gdje je toplinski koeficijent tlaka za idealne plinoveαp jednak

αp =1

273,15K−1 (2.8)

Napomena:koeficijentiαV i αp za idealni plin imaju jednaku numericku vrijednost pacemo ih obiljezitis γ

αV = αp = γ =1

273,15K−1 (2.9)

2.3.4 Opca definicija za toplinski koeficijent tlaka

Koeficijentαp opcenito, ovisi o tlaku i volumenu pa se zato, definira formulom

αp =1p

(

∂p

∂T

)

V

(2.10)

IndeksV u formuli (2.10) oznacava da se parcijalna derivacija racuna pri konstantnom volumenuV.

2.3.5 Avogadrov zakon

1 mol je jedinica za kolicinu tvari koja sadrzi onolikocestica (atoma, molekula) koliko ima atoma u 12g ugljika C12

6 . Taj se broj naziva Avogadrov broj i iznosi

NA = 6,023· 1023 mol−1 (2.11)

Avogadrov zakon glasi:”Jednaki volumeni svih plinova pod jednakim tlakom i na istoj temperaturi imaju jednak broj mole-

kula.”

2.3.6 Daltonov zakon

Ukupni tlakp mjesavine plinovaciji su parcijalni tlakovip1, p2, ..., pn je

p =

n∑

i=1

pi (2.12)

2.4 Jednadzba stanja

Iz Boyle-Mariottova, Gay-Lussacova i Charlesova zakona moze se zakljuciti da izmedu tlaka, volumenai temperature idealnog plina vrijedi sljedeca veza

pV

T=

p1V1

T1=

p2V2

T2= ... = konst. (2.13)

Jednadzbu (2.13) nazivamo jednadzbom stanja idealnog plina.

8

2.4.1 Molarni volumen (obujam) i opca plinska konstanta

Promatrajmo 1 mol idealnog plina na standardnim uvjetima

p0 = 101325 Pa

T0 = 273,15 K (2.14)

Prema Avogadrovu empirijskom zakonu, svi plinovi u uvjetima u kojima se ponasaju kao idealni, imajujednak volumen. Za standardne uvjete taj se volumen naziva molarni volumenVM i iznosi

VM = 22,4 · 10−3 m3 mol−1 (2.15)

Prema jednadzbi stanja idealnog plina je

p0VM

T0= R = 8,314 J mol−1 K−1 (2.16)

gdje jeR univerzalna konstanta koja se naziva opca plinska konstanta.

2.4.2 Molarna masa i Boltzmannova konstanta

Oznacimo masu jednog mola ili molarnu masu promatranog plina sM. Neka je ukupna masa plinam, amasa jedne molekule plinam0. Broj molova je tada

n =m

M=

m0N

m0NA=

N

NA(2.17)

OznakomN oznacili smo ukupan broj molekula plina kojeg promatramo.Boltzmannovu konstantu definiramo relacijom

kB =R

NA= 1,38 · 10−23 J K−1 (2.18)

2.4.3 Razni oblici jednadzbe stanja idealnog plina

Iz jednadzbi (2.13) i (2.16) zakljucujemo da zan molova idealnog plina vrijedi

pV

T= nR (2.19)

Pomocu jednadzbi (2.17) i (2.18) dolazimo do ekvivalentnih oblika jednadzbe stanja

pV =m

MRT

pV =N

NART = NkBT

p =m

V

R

MT = ρ

R

MT =

R

m0NAρT =

kB

m0ρT (2.20)

gdje smo sρ = m/V oznacili gustocu plina.

9

3 Toplinski kapacitet. Latentna toplina

3.1 Toplinska ravnoteza

Toplina je energija koja se izmjenjuje izmedu sustava s razlicitom temperaturom. Ako sustavi moguizmjenjivati toplinu tada kazemo da su u toplinskom kontaktu.

Za dva sustava u toplinskom kontaktu kazemo da su u toplinskoj ravnotezi ako izmedu njih nemaizmjene topline. Sustavi, tada, imaju jednaku temperaturu.

3.2 Toplinski kapacitet

Dogovorno uzimamo da je toplina koju sustav prima iz okolinepozitivnog predznaka, a toplina kojusustav predaje okolini s negativnim predznakom. Primljenuili predanu toplinu za sustav racunamo poformuli

Q = C∆T (3.1)

gdje jeC toplinski kapacitet. Razlika temperatura∆T je razlika izmedu konacneT2 i pocetne temperatureT1 sustava

∆T = T2 − T1 (3.2)

iz cega se jasno vidi da jeQ < 0 zaT2 < T1.

Toplinski kapacitet pri konstatnom tlakuCp i pri konstantnom volumenuCV je za cvrsta tijela itekucine priblizno jednak

Cp ≈ CV = C (3.3)

Kod plinova, medutim, kapacitetiCp i CV znacajno se razlikuju.

3.2.1 Toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu

Toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu definiramo relacijom

CV =

(

dQdT

)

V

(3.4)

IndeksV oznacava da je volumen konstantan. Ako jeCV = konst. razmjenjena toplina sustava i okolineje

Q = CV∆T (3.5)

3.2.2 Toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku


Cp =

(

dQdT

)

p

(3.6)

Indeksp oznacava da je tlak konstantan. Ako jeCp = konst. razmjenjena toplina sustava i okoline je

Q = Cp∆T (3.7)

10

3.2.3 Specificni i molarni toplinski kapacitet

Specificni toplinski kapacitet definiramo relacijom

c =C

m(3.8)

a molarni toplinski kapacitet

CM =C

n(3.9)

U definicijama (3.8) i (3.9)m je masa sustava, an broj molova. Relaciju (3.1) mozemo zapisati pomocuspecificnog toplinskog ili molarnog toplinskog kapaciteta

Q = mc∆T

Q = nCM∆T (3.10)

Ako toplinski kapacitet ovisi o temperaturiC = C(T ) tada je toplina jednaka

Q =

∫T2

T1

C(T )dT (3.11)

3.3 Promjena agregatnog stanja

Vodu na 100◦C zagrijavamo tako da sva prijede u vodenu paru. Zapazitcemo:

(A) Pretvaranje vode u paru je izoterman proces. Voda na 100◦C pretvara se u vodenu paru na 100◦C .

(B) Primljena toplina najprije se potrosi na pretvaranje cjelokupne mase vode u paru, a nakon toga separa pocne zagrijavati na temperaturu visu od 100◦C .

Kazemo da je voda promijenila agregatno stanje: iz tekuceg (kapljevitog) presla je u plinovito. Takvupromjenu agregatnog stanja nazivamo isparavanje.

U donjoj tabeli navedeni su nazivi promjena agregatnih stanja.

plinovito ukapljivanje−−−−−−−−−−−→

tekuce tekuce isparavanje−−−−−−−−−−→

plinovito

tekuce kristalizacija−−−−−−−−−−−→

cvrsto cvrsto taljenje−−−−−−→

tekuce

cvrsto sublimacija−−−−−−−−−→

plinovito plinovito kondenzacija−−−−−−−−−−−→

cvrsto

Svaka od promjena agregatnog stanja iz tablice ima svojstva(A) i (B). Procesi su izotermni i sva se to-plina najprije potrosi na stvaranje novog agregatnog stanja, a tek onda na povecanje njegove temperature.

Za agregatno stanjecesto se upotrebljava naziv faza, iako taj naziv imasire znacenje. U skladu s tim,promjena agregatnog stanja naziva se fazni prijelaz.

3.3.1 Latentna toplina

ToplinuQ koju sustav primi za vrijeme promjene agregatnog stanja moˇzemo izracunati po formuli

Q = Lm (3.12)

gdje jem masa sustava, aL latentna toplina promjene (specificna toplina promjene agregatnog stanja).Latentna toplina je, kao i toplinski kapacitet, svojstvenapromatranom sustavu.

11

3.4 Richmannovo pravilo

Mjerenje topline, toplinskog kapaciteta, latentne topline i drugih toplinskih velicina predmet je izucavanjakalorimetrije.

Jedna od metoda mjerenja toplinskih kapaciteta je metoda smjese (metoda mijesanja). U kalorimetarnalijemo vodu ili drugu kapljevinu poznatog toplinskog kapaciteta, a u vodu tijelo kojemu mjerimokapacitet. Mjerimo pocetnu temperaturu vode i tijela, a zatim, temperaturu smjese. Toplinski kapacitettijela racunamo iz Richmannova pravila

n∑

i=1

Qi = 0 (3.13)

koje vrijedi za izolirani sustav, a zapravo je posljedica zakona odrzanja energije. Pri tome, toplineQi

izmjenjuju dijelovi sustava s razlicitom temperaturom: tijela uronjena u kapljevinu, kapljevina i kalori-metar.

12

4 Sirenje topline: kondukcija i konvekcija

Toplina se mozesiriti na 3 nacina: kondukcijom, konvekcijom i zracenjem. Sirenje topline jenerav-notezanproces jer medij kroz koji sesiri toplina nije u toplinskoj ravnotezi: u mediju postojerazlike utemperaturi.

4.1 Kondukcija

Kondukciju ili provodenje topline mozemo dobro opazati kod homogenih,cvrstih tijela (na primjer,metala), a nesto teze kod fluida jer se kondukcija javlja zajedno s konvekcijom.

4.1.1 Fourierov zakon kondukcije

Promotrimo dvije ravne plohecije su dimenzije mnogo vece od njihovog razmaka i izmedu kojih senalazi vodic topline, homogeni materijal kojemu je poznata toplinska provodnostλ (koeficijent toplinskevodljivosti). Zanima nas provodenje topline kroz vodic daleko od rubova ploha, pa mozemo pretpostavitida su plohe ustvari ravnine. Neka je lijeva ravnina na temperaturi T1, a desna naT2 (T2 < T1) dok jedebljina ploce jednakad (Slika 4-1).

T

T1 > T2

1

x

d

T2

Ekvitemperaturne plohe

Slika 4-1

Toplinski tok kroz materijal oznacimo sΦ. To je energija koja prode kroz materijal po jedinicnom vre-menu

Φ =Q

τ(4.1)

Gustoca toplinskog tokaq je energija po jedinici vremena kroz jedinicnu povrsinu okomitu na smjertoka

q =Q

τS=

Φ

S(4.2)

Fourierov zakon za provodenje topline kroz materijal glasi

q = −λ∆Td

(4.3)

gdje je∆T = T2 − T1. Velicina∆T/d naziva setemperaturni gradijent. Prirodan smjer toplinskog tokaje od vise k nizoj temperaturi i tada je∆T/d < 0, aq > 0.

Ako temperaturni gradijent izmedu ravnina nije konstantan, Fourierov zakon mijenja se u

q = −λdTdx

(4.4)

13

Opcenito, ako su plohe koje omeduju toplinski vodic jos i zakrivljene (Slika 4-2), Fourierov zakon dobivaoblik

q = −λ∇T (4.5)

gdje je temperaturni gradijent∇T u Kartezijevim koordinatama (x, y, z) jednak

∇T = i∂T

∂x+ j

∂T

∂y+ k

∂T

∂z(4.6)

T1

x

T2

Ekvitemperaturne plohe

Slika 4-2

4.1.2 Jednadzba kondukcije topline

Jednadzba kondukcije topline je parcijalna diferencijalna jednadzbacije je rjesenje temperaturaT =

T (x, τ) kao funkcija koordinatex i vremenaτ

∂T

∂τ= a

∂2T

∂x2(4.7)

Koeficijenta naziva se temperaturna difuzivnost (temperaturna provodnost).

4.1.3 Wiedemann-Franzov zakon

Kod metala je veza izmedu toplinske provodnostiλ i elektricne provodnostiσe dana Wiedemann-Franzovimzakonom

λ

σeT= 2,23 · 10−8 W2 K−2 (4.8)

4.2 Konvekcija

Prijenos topline konvekcijom ostvaruje se strujom zagrijanog fluida na hladnije mjesto. Struja zagrijanogfluida moze biti prirodna i tada govorimo o prirodnoj konvekciji (na primjer, sirenje toplog zraka sradijatora po sobi). Struja zagrijanog fluida moze biti izazvana vanjskom silom (na primjer,sirenje toplevode kroz radijatorske cijeve pomocu pumpe) i tada je konvekcija prisilna.

4.3 Newtonov zakon hladenja

Zagrijemo li cvrsto tijelo te ga stavimo u fluid nize temperature, njegova ce se temperatura mijenjati uvremenu po Newtonovom zakonu hladenja

dQdτ

= hS(T − T0) (4.9)

14

pri cemu jeh toplinska prijelaznost (koeficijent prijelaza topline),S povrsina tijela uronjenog u fluid, aT0 temperatura fluida. Proces hladenja uronjenog tijela ukljucuje kondukciju kroz tanki sloj fluida okotijela i konvekciju kroz preostali fluid.

15

5 Sirenje topline: toplinsko zracenje

5.1 Crno tijelo

Crno tijelo je toplinski sustav koji u potpunosti apsorbiraupadno zracenje ili upadni toplinski tokΦu.

Faktor apsorpcijea se opcenito definira formulom

a =Φa

Φu(5.1)

i za crno tijelo iznosia = 1, pri cemu jeΦa apsorbirani tok. U toplinskoj je ravnotezi temperatura crnogtijela konstantna, emitirani tokΦe mora biti u ravnotezi s apsorbiranim pa vrijedi

Φu = Φa = Φe (5.2)

5.2 Planckov zakon zracenja

Planckov zakon zracenja (zakon zracenja crnog tijela) glasi

Mλ =2πhc2

λ5

1

ehc

kBTλ −1(5.3)

gdje jeh Planckova konstanta, ac brzina svjetlosti. Vrijednost Planckove konstante je

h = 6,626· 10−34 J s (5.4)

VelicinaMλ naziva sespektralna odzracnost po valnoj duljini (radijacijska egzitancija po valnoj du-ljini). To je energija po jedinici povrsine i po jedinici vremena i po jedinicnom intervalu valnih duljinakoja je emitirana s povrsine crnog tijela

dM = Mλdλ (5.5)

VelicinaM u (5.5) jeodzracnost(radijacijska egzitancija): to je energija po jedinici povrsine i po jedinicivremena emitirana s povrsine crnog tijela. Planckov zakon zracenja izrazen preko frekvencijeν je

Mν =2πh

c2

ν3

ehν

kBT −1(5.6)

Ovdje jeMν spektralna odzracnost po frekvenciji,a slicno formuli (5.5) vrijedi

dM = Mνdν (5.7)

Na slici 5-1 prikazan je graf spektralne odzracnosti po valnoj duljini (5.3). Varijablax je

x =kBT

hcλ (5.8)

16

0.00 0.25 0.50 0.75 1.000

6

12

18

24

T3 < T2 < T1

T3

T2

T1

Ml

x

Slika 5-1

5.3 Eksperimentalni zakoni

Eksperimentalni zakoni prethodili su Planckovom zakonu. Svi se mogu izvesti iz Planckovog zakona.

5.3.1 Wienov zakon

Za crno tijelo na temperaturiT je umnozak maksimalne valne duljine na kojoj tijelo zraci λmax i tempe-rature konstantan

λmaxT = cW = 2,898· 10−3 m K (5.9)

5.3.2 Kirchoffov zakon

Odaberemo li bilo koje tijelo temperatureT (sivo tijelo) omjer spektralne egzitancije po valnoj duljini ifaktora apsorpcije uvijek je konstantan i jednak spektralnoj egzitanciji crnog tijela na istoj temperaturiT

Mλ

a= M

crnog tijelaλ (5.10)

gdje je sMλ oznacena spektralna egzitancija sivog tijela, a sa = a (λ) njegov faktor apsorpcije.

5.3.3 Stefan-Boltzmannov zakon

Ukupna energija koju crno tijelo odzraci po jedinici povrsine i po jedinici vremena (ukupna odzracnost)je

M =

∫∞

0Mλdλ = σT 4 (5.11)

gdje jeσ Stefan-Boltzmannova konstanta

σ =2π5k4

B

15c2h3= 5,67 · 10−8 W m−2 K−4 (5.12)

17

II KINETI CKA TEORIJAIDEALNOG PLINA

6 Maxwellova raspodjela. Tlak idealnog plina

6.1 Idealni plin

Klasicni idealni plin je sustav jednakihcestica u kojem je energija medudjelovanja zanemariva u odnosuna kineticku energiju. Ipak, medudjelovanje u idealnom plinu ne zanemarujemo potpuno.Cestice semedusobno sudaraju i tako izmjenjuju energiju.

Kod realnih plinova model idealnog plina dobar je samo kod malih gustoca.

6.2 Srednji slobodni put

Put kojegcestica (atom, molekula) prevali izmedu dva uzastopna sraza naziva se srednji slobodni put

l =1

√2ξσ

=1

√2ξd2π

(6.1)

gdje jeξ gustoca cestica (koncentracija)

ξ =N

V(6.2)

aσ udarni presjek. Stavili smoσ = d2π (6.3)

pri cemu jed efektivni promjercestice.

6.3 Tlak idealnog plina

Tlak idealnog plina glasi

p =13m0ξv2 (6.4)

Ovdje jem0 masa molekule,ξ gustocacestica, av2 efektivna brzina. Tlak mozemo povezati s prosjecnomkinetickom energijomcestica idealnog plina

εk =m0v2

2(6.5)

Dobijemo

p =23ξεk (6.6)

6.4 Maxwellova raspodjela

To je raspodjelacestica idealnog plina po brzinama. Ako jeN ukupan broj svih molekula, tada je brojmolekula s brzinama izmedu v i v+dv dan s

dN = fM (v) dv = 4πN

(

m0

2πkBT

)3/2

v2 e− m0v

2

2kBT dv (6.7)

18

Velicinam0 je masa molekule. Maxwellova raspodjelafM (v)

fM (v) = 4πN

(

m0

2πkBT

)3/2

v2 e− m0v

2

2kBT (6.8)

Graf Maxwellove raspodjele za jedan mol dusika prikazan je na slici 6-1. TemperaturaT1 = 250 K, aT2 = 500 K.

0

v / ms-1

f M

T1

T1 < T2

T2

200

2×1020

4×1020

6×1020

8×1020

1×1021

1.2×1021

400 600 800 1000 1200

Slika 6-1

6.4.1 Karakteristicne brzine kod Maxwellove raspodjele

• Korijen iz prosje cne vrijednosti kvadrata brzine (efektivna brzina) - racunamo je po formuli

vef =

√

v2 (6.9)

Prosjecnu vrijednost kvadrata brzinev2 racunamo kao

v2 =1N

∫∞

0v2dN =

1N

∫∞

0fM (v) v2dv (6.10)

Rezultat je

vef =

√

3kBTm0

=

√

3RT

M(6.11)

gdje smo upotrijebilikB = R/NA i NA = M/m0.

• Prosjecna brzina - racunamo je kao

vs = v =1N

∫∞

0vdN =

1N

∫∞

0fM (v) vdv (6.12)

Za vs dobijemo

vs =

√

8kBTπm0

=

√

8RT

πM(6.13)

19

• Najvjerojatnija brzina - racunamo je tako da trazimo maksimum Maxwellove distribucije

dfM (v)dv

∣

∣

∣

∣

v=vm

= 0 (6.14)

Najvjerojatnija jednaka je

vm =

√

2kBTm0

=

√

2RT

M(6.15)

6.5 Prosjecna kineticka energija cestice i temperatura

Definicija prosjecne kineticke energijecestice u idealnom plinu glasi

εk =m0v2

2(6.16)

Upotrijebimo li rezultat (6.11) dobijemo

εk =32kBT (6.17)

Na taj smo nacin povezali energijucestice i temperaturu.Kod Maxwellove raspodjele promatramo gibanje centra mase pojedinecestice, a ne i gibanja dijelova

cestice oko njezinog centra mase (na primjer, rotaciju ili vibraciju molekule).Gibanje centra masecestice opisujemo s tri nezavisne koordinate. Kazemo dacestica ima tri stupnja

slobode. Iz (6.17) vidimo da je energija gibanja po stupnju slobode jednakakBT/2 jer su stupnjevislobode ravnopravni.

6.6 Jednadzba stanja idealnog plina

Iz relacija za tlak (6.6) i prosjecnu energijucestice (6.17) slijedi

p = ξkBT =N

VkBT

pV = NkBT (6.18)

Pomocu kineticke teorije teorijski smo potvrdili jednadzbu stanja idealnog plina, prije dobivenu eksperi-mentalno.

20

7 Unutrasnja energija idealnog plina. Van der Waalsova jednadzba

7.1 Pojam unutrasnje energije

Unutrasnja energija je ukupna prosjecna kineticka i potencijalna energija sustava, ne racunajuci energijugibanja sustava kao cjeline. Makroskopski gledano, unutrasnja energija, na primjer, ukljucuje kemijsku,nuklearnu, elasticnu i toplinsku energiju.

Cestice idealnog plina posjeduju samo kineticku energiju koja je proporcionalna temperaturi. Pro-mjenom temperature mijenja se toplinska energija sustava,odnosno, kineticka energijacestica. Pret-postavitcemo da se ostale energije koje su dio unutrasnje energije ne mijenjaju i zatocemo promjenetoplinske energije poistovjetiti s promjenama unutrasnje energije.

7.2 Zakon ekviparticije energije

Kineticka energijacestice po stupnju slobode glasi

12kBT (7.1)

7.3 Unutrasnja energija i temperatura

Unutrasnja energija idealnog plina ovisi samo o temperaturi. U narednim primjerima pokazatcemo davrijedi

U = CV T

7.4 Jednoatomni idealni plin

Prosjecna energija pocestici u idealnom jednoatomnom plinu glasi

εk =32kBT (7.2)

Ukupna unutrasnja (toplinska!) energija idealnog plina sN cestica iznosi:

U = Nεk =32NkBT (7.3)


CV =

(

dQdT

)

V

=

(

∂U

∂T

)

V

=32NkB (7.4)

Za 1 mol idealnog plina jeN = NA pa relacija (7.4) postaje molarni toplinski kapacitet pri konstantnomvolumenu

CM,V =32R (7.6)

21

7.5 Dvoatomni idealni plin

q

m1

Centar mase

m2

j

Slika 7-1

Promatramo idealni plincije su molekule sastavljene od dva atoma. Uzimamo u obzir samo transla-cijske i rotacijske stupnjeve slobode za molekule u plinu. Translacijskih stupnjeva slobode povezanih sgibanjem centra mase molekule ima 3. Rotacijskih ima 2, za koordinateθ, ϕ (Slika 7-1). Ukupan brojstupnjeva slobode je 5.

Prosjecna energija pocestici u idealnom dvoatomnom plinu glasi

εk =52kBT (7.7)

Ukupna unutrasnja energija idealnog plina sN molekula iznosi:

U = Nεk =52NkBT (7.8)

Toplinski kapacitet sustava pri konstantnom volumenu je

CV =

(

∂U

∂T

)

V

=52NkB (7.9)


CM,V =52R (7.10)

7.5.1 Vibracijski stupnjevi slobode kod dvoatomnog idealnog plina

Dvoatmna molekula posjeduje i energiju titranja koja povecava prosjecnu unutrasnju energije molekuleza

kBT (7.11)

iako se radi o jednom, vibracijskom stupnju slobode. Prosjecna energija titranja dvoatomne molekule se,naime, sastoji od kineticke i potencijalne energija koje daju jednak doprinos (1/2)kBT.

7.6 Viseatomni idealni plin

Za molekulu sf stupnjeva slobode formule (7.7)-(7.11) mozemo generalizirati. Prosjecna energija pocestici je

εk =f

2kBT (7.12)

22

Ukupna unutrasnja energija idealnog plina sN molekula iznosi:

U = Nεk =f

2NkBT (7.13)

Toplinski kapacitet sustava pri konstantnom volumenu je

CV =

(

∂U

∂T

)

V

=f

2NkB (7.14)


CM,V =f

2R (7.15)

7.7 Mayerova relacija

Toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku definiramo izrazom:

Cp =

(

dQdT

)

p

(7.16)


CM,p =1n

(

dQdT

)

p

(7.17)

gdje jen broj molova idealnog plina. Mayerova relacija glasi

CM,p − CM,V = R (7.18)

Pomocu relacije za molarni toplinski kapacitet (7.6) i Mayeroverelacije zakljucujemo da za jednoatomniplin vrijedi

CM,p = CM,V +R =32R +R =

52R (7.19)

Za dvoatomni plin molarni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku je

CM,p = CM,V +R =52R +R =

72R (7.20)

7.8 Adijabatska konstanta

Omjer (molarnih) toplinskih kapaciteta nazivamo adijabatskom konstantom

κ =Cp

CV=

CM,p

CM,V=

cp

cV(7.21)

Za jednoatomni plin je

κ =(5/2)R

(3/2)R=

53= 1,67 (7.22)

Za dvoatomni plin vrijedi

κ =(7/2)R

(5/2)R=

75= 1,4 (7.23)

7.8.1 Veza izmedu toplinskih kapaciteta, adijabatske konstante i opce plinske konstante

Iz Mayerove relacije (7.18) i definicije adijabatske konstante (7.21) slijedi

CM,V =R

κ − 1

CM,p =κR

κ − 1(7.24)

23

7.9 Van der Waalsova jednadzba

To je aproksimativna jednadzba stanja za realni plin: uzima u obzir konacni volumencestica i medumolekularnesile

(

p +an2

V 2

)

(V − nb) = nRT (7.25)

gdje jen broj molova. Konstantea, b ovise o vrsti plina.

7.9.1 Kriti cni parametri

Kriti cni parametri za Van der Waalsovu jednadzbu su posebne vrijednosti tlaka, temperature i volumena.Iznad kriticne temperature, gustoca plinske i tekuce faze za promatranu tvar je jednaka te nestaje razlikamedu njima. Kriticne parametre trazimo iz jednadzbi

(

dpdV

)

Tc

= 0 ;

(

d2p

dV 2

)

Tc

= 0 (7.26)

Za plin opisan Van der Waalsovom jednadzbom kriticni parametri glase

Vc = 3nb

pc =127

a

b2

Tc =827

a

bR(7.27)

7.10 Barometarska formula

U izotermnom stupu zraka u gravitacijskom polju tlak se mijenja po zakonu

p = p0 e− m0gkBT

h(7.28)

Velicina h je visina stupca,p0 je tlak na povrsini zemlje, am0 masa molekule. Iz jednadzbe stanjaidealnog plina je gustocaξ ∝ p, pa je zakon promjene gustocecestica u gravitacijskom polju

ξ = ξ0 e− m0gkBT

h(7.29)

24

III TERMODINAMIKA

8 Prvi zakon termodinamike

8.1 Funkcije stanja i funkcije procesa

Termodinamicke koordinate nazivaju se jos i funkcije stanja. Funkcije stanja koje smo vec upoznali su:tlak, temperatura, volumen, unutrasnja energija. Kasnijecemo govoriti o entropiji, entalpiji, slobodnojenergiji, Gibbsovom potencijalu.

Funkcije stanja mogu biti intenzivne i ekstenzivne. Ekstenzivne ovise o kolicini tvari (brojucestica)promatranog sustava. To su, na primjer, unutrasnja energija i entropija. Intenzivne ne ovise o kolicinitvari, na primjer, temperatura i tlak.

Funkcije procesa su rad i toplina. Funkcije procesa ne opisuju sustav u ravnoteznom stanju. Nemozemo reci da sustav posjeduje toplinu ili rad.

Vrijednost funkcije procesa ovisi o nacinu (krivulji u p-V dijagramu, na primjer) prelaska iz jednog udrugo ravnotezno stanje. Vrijednost funkcije stanja ovisi samo o trenutnom ravnoteznom stanju sustava.

8.1.1 Gotovo ravnotezan proces

Ako sustav mijenja stanje veoma polako, mozemo reci da su i medustanja priblizno ravnotezna. Takavse proces promjene stanja naziva gotovo ravnoteznim ili kvazistaticnim. U razmatranjima koja slijedebavit cemo se iskljucivo kvazistaticnim procesima.

8.1.2 Primjer

V

p

A

1

2

B

Slika 8.1

Pretpostavimo da sustav prelazi iz ravnoteznog stanjaA u ravnotezno stanjeB veoma polagano takoda je u svakom trenutku u ravnotezi. Takav prijelaz mozemoprikazati krivuljom up-V dijagramu jer povolji odabrana tocka krivulje 1 ili 2 na slici 8.1 tocno odreduje koliki je tlak i volumen sustava, odnosnokoje su njegove termodinamicke koordinate.

Rad sustava koji je po vrijednosti jednak povrsini ispod krivulje up-V dijagramu ovisi o nacinuprelaska iz stanjaA u B. Povrsina ispod krivulje 2 veca je nego krivulje 1, pa je rad za krivulju 2 veci.Rad je, zato, funkcija procesa.

Naprotiv, promjena unutrasnje energije∆U ovisi samo o krajnjim tockamaA i B: ∆U = U (B) −U (A) . Promjena unutrasnje energije je jednaka za obje krivulje na slici 8.1 (ili zabilo koju drugukrivulju koja spaja tockeA,B).

25

8.1.3 Oznake

Infinitezimalne promjene funkcija stanja oznacavatcemo ovako: dU, dp, dT... Slovo ”d” oznacava da seradi o totalnom diferencijalu. Kaosto smo vidjeli iz proslog primjera, promjena unutrasnje energije ovisisamo o pocetnoj i konacnoj tocki

∆U =

∫B

A

dU = U (B) − U (A) (8.1)

gdje smo integrirali po bilo kojoj krivulji odA doB. Ako se pocetna i konacna tocka podudaraju, kri-vuljni integral totalnog diferencijala funkcije stanja pobilo kojoj zatvorenoj krivulji up-V dijagramujednak nuli

∮

dU = 0 (8.2)

Naprotiv, krivuljni integral diferencijala funkcija procesa ovisi o putanji up-V dijagramu i zatocemodiferencijal topline i rada oznaciti s dQ, dW (ili δQ, δW ). Diferencijal funkcije procesa nije totalnidiferencijal pa za zatvorenu krivulju opcenito vrijedi

∮

dW 6= 0 (8.3)

8.1.4 Dogovor o predznacima za toplinu i rad

Vec smo naveli da dogovorno uzimamo da je toplinaQ > 0 ako sustavu dovodimo toplinu, aQ < 0ako sustavu odvodimo toplinu. Ako okolina vrsi rad na sustavu tada jeW < 0, a ako sustav vrsi rad naokolini W > 0.

8.2 Prvi zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike kaze da unutrasnju energiju sustava mozemo promijeniti na dva nacina: takoda dovedemo ili odvedemo toplinu sustavu i tako da okolina izvrsi rad na sustavu ili da sustav izvrsi radna okolini. Za veoma male (infinitezimalne) promjene unutrasnje energije, zakon mozemo zapisati uobliku

dU = dQ − dW (8.4)

gdje sudQ i dW infinitezimalne vrijednosti topline i rada. Za konacne promjene unutrasnje energijezakon dobiva oblik

∆U = Q −W (8.5)

8.3 Rad hidrostatickog sustava

Sustav je hidrostaticki ako djeluje na okolinu (ili okolina na sustav) jednolikim tlakomp. Za hidrostatickisustav koji prelazi kvazistaticno iz pocetnog stanja s volumenomV1 u konacno s volumenomV2 rad jejednak

W =

∫V2

V1

pdV (8.6)

Integracija ovisi o putanji, dakle, integral u izrazu (8.6)je krivuljni integral.

26

8.3.1 Stlacivost

Smatramo li volumen funkcijom tlaka i temperature,V = V (p, T ), promjena volumena dV u (8.6) mozese izraziti kao

dV =

(

∂V

∂p

)

T

dp +

(

∂V

∂T

)

p

dT (8.7)

Definiramo li izotermnu stlacivost (izotermnu kompresibilnost)χ (p, T ) formulom

χ = − 1V

(

∂V

∂p

)

T

(8.8)

relativnu promjenu volumena dV/V mozemo pisati u obliku

dVV

= −χdp + βdT (8.9)

gdje jeβ toplinskasirivost definirana s (1.10).Pomocu (8.9) izraz za rad (8.6) postaje

W = −∫ p2

p1

χV dp +∫T2

T1

βV dT (8.10)

Formula (8.10) osobito je korisna za tekucine i cvrsta tijela gdje secesto uzima da suχ, β pribliznokonstantni.

8.3.2 Primjer: izohorni proces

Kod izohornog procesa volumen sustava drzimo konstantnimV = konst. i dV = 0 pa je rad

dW = pdV = 0 (8.11)

8.3.3 Primjer: izobarni proces

Izracunajmo rad hidrostatickog sustava pri izobarnoj promjeni:p = konst. Tada za (8.6) mozemo pisati

W = p

∫V2

V1

dV = p (V2 − V1) (8.12)

8.4 Rad kod idealnog plina

Za idealni plin vrijedi jednadzba stanjapV = nRT (8.13)

Primijenit cemo formulu (8.13) za izracunavanje rada kod nekih gotovo ravnoteznih procesa.

8.4.1 Izotermni proces

U definciju za rad (8.6) uvrstimop = nRT/V da dobijemo

W = nRT

∫V2

V1

dVV

= nRT lnV2

V1(8.14)

Gornji izraz uz pomoc (8.13) mozemo napisati i kao

W = nRT lnp1

p2(8.15)

Krivulja u p-V dijagramu po kojoj smo integrirali je izoterma.

27

8.4.2 Adijabatski proces

Kod adijabatskog procesa, sustav ne razmjenjuje toplinu s okolinom. Kazemo da je sustav toplinskiizoliran. U adijabatskom procesu jedQ = 0. Rad je jednak

W =nR

κ − 1(T1 − T2)

W =nRT1

κ − 1

[

1−(

V1

V2

)

κ−1]

(8.16)

Krivulja u p-V dijagramu po kojoj smo integrirali je adijabata.

8.5 Toplina kod idealnog plina

Toplinski kapacitet idealnog plina je konstantan. Pri konstantnom volumenu idealni plin prima ili predajetoplinu

Q = CV∆T (8.17)

a pri konstatnom tlakuQ = Cp∆T (8.18)

8.6 Unutrasnja energija idealnog plina

Unutrasnja energija idealnog plina ovisi samo o temperaturi,U = CV T. Ako je proces izoterman(∆T = 0) promjena unutrasnje energije je nula

∆U = CV∆T = 0 (8.19)

8.7 Poissonove jednadzbe za idealni plin

Promatramo adijabatske promjene stanja idealnog plina. Vrijedi jednadzbadQ = 0. Veze izmedu tlaka,volumena i temperature dane su izrazima

p1

p2=

(

V2

V1

)

κ

T1

T2=

(

V2

V1

)

κ−1

T1

T2=

(

p1

p2

)κ−1κ

(8.20)

28

9 Drugi zakon termodinamike

9.1 Reverzibilni i ireverzibilni procesi

Ako je termodinamicki proces izvrsen tako da sustav moze biti vracen u pocetno stanje bez dodatnonapravljenih promjena u ”ostatku svemira”, kazemo da je proces povratan ili reverzibilan. U protivnom,proces je nepovratan ili ireverzibilan. Prirodni procesi su redovito ireverzibilni.

Karakteristike reverzibilnih procesa su sljedece:

• Proces je izvrsen gotovo ravnotezno (kvazistaticno).

• U procesu nema disipativnih pojava (viskoznost, trenje, neelasticnost, elektricni otpor, magnetskahistereza).

9.1.1 Primjeri ireverzibilnih procesa

1. Sirenje topline

2. Mijesanje dvaju fluida

3. Slobodna ekspanzija idealnog plina

4. Tok elektricne struje kroz otpornik (izoliran ili u toplinskom kontaktu sa spremnikom)

5. Nepravilno gibanje viskozne tekucine

6. Neelasticna deformacijacvrstog tijela

9.2 Toplinski strojevi

Otkrice drugog zakona termodinamike vezano je za proucavanje toplinskih strojeva. U tome se posebnoistice Sadi Carnot. Toplinski strojevi periodicki vrse rad uz izmjenu topline s okolinom.

Eksperimenti su pokazali da je moguce pretvoriti sav rad u toplinu

W → Q (9.1)

No, da li je moguce periodicki uzimati toplinu iz jednog spremnika konstantne temperatureT1 i pretvaratije u rad? Je li moguc proces

QT1−→ W (9.2)

Sadi Carnot je dosao do odgovora na to pitanje bez poznavanja prvog zakona termodinamike. Mozemo,zato, reci da je drugi zakon termodinamike naden prije prvog.

Eksperimenti su pokazali da toplinski strojne moze raditi samo s jednim spremnikom konstantnetemperature, vec su u kruznom procesu potrebna minimalno dva spremnika. Drugi spremnik sluzi zaodvodenje topline iz sustava.

29

9.2.1 Princip rada toplinskog stroja

Topliji spremnik

Hladniji spremnik

T1

T1 > T2

T2

Ã ÃÃÃ ÃÃ

ÞW

Q1

Q2

Slika 9-1

Promjena unutrasnje energije u jednom ciklusu periodickog termodinamickog procesa na kojem se te-melji rad toplinskog stroja je

∆U = 0 (9.3)

jer je pocetno i konacno stanje sustava jednako. Iz prvog zakona termodinamike za jedan ciklus vrijedi

∆U = Q +W = 0

⇒ Q = −W (9.4)

pri cemu jeQ suma dovedene toplineQ1 > 0 i odvedene toplineQ2 < 0

Q = Q1 +Q2 ili |Q| = |Q1| − |Q2| (9.5)

Toplinska korisnostη (stupanj djelotvornosti, djelotvornost, koeficijent iskoristenja) toplinskog strojadefinira se kao omjer

η = − dobiveni raddovedena toplina

=|W ||Q1|

(9.6)

Iz relacija (9.4), (9.5) i (9.6) slijedi

η =|W ||Q1|

=|Q||Q1|

=|Q1| − |Q2|

|Q1|

= 1− |Q2||Q1|

(9.7)

Zaη uvijek vrijedi η < 1.

30

9.2.2 Princip rada hladnjaka

Topliji spremnik

Hladniji spremnik

T1

T1 > T2

T2

ÃÃ ÃÃÃ Ã

ÞW

Q1

Q2

Slika 9-2

Koeficijent hladenjakod hladnjaka definiramo izrazom

ηh =|Q2||W |

(9.8)

9.2.3 Carnotov idealni toplinski stroj

V

p

Q1

Q2

T1

T1 > T2

T2

¯¯

Slika 9-3

Carnotov stroj sastoji se od dvije izoterme i dvije adijabate. Koeficijent iskoristenja kod Carnotovogstroja glasi

ηCarnot= 1− T2

T1(9.9)

9.2.4 Carnotov idealni hladnjak

Carnotov hladnjak sastoji se od istih procesa kao i njegov toplinski stroj samo je obrnut smjer odvijanjatih procesa:svestrelice na slici 9-3 gledaju u suprotnom smjeru. Koeficijent hladenja je

ηCarnot hladnjak=T2

T1 − T2

31

9.3 Razliciti iskazi drugog zakona termodinamike

9.3.1 Kelvin-Planckov iskaz

Nemoguce je konstruirati toplinski strojciji bi jedini ucinak bio periodicko uzimanje topline iz jednogspremnika i pretvaranje te topline u rad.

9.3.2 Clausiusov iskaz

Nemoguce je konstruirati hladnjakciji bi jedini ucinak bio periodicko uzimanje topline iz hladnijegspremnika i predavanje te topline toplijem spremniku.

9.3.3 Carnotov iskaz

Nemoguce je konstruirati idealni toplinski stroj s kruznim procesomcija je toplinska korisnost veca odkorisnosti kod Carnotovog stroja. Ili,

ηidealni stroj> ηCarnot (nemoguce!!!!) (9.10)

9.4 Entropija

Ako sustavu reverzibilno dovedemo toplinudQR pri konstantnoj temperaturiT promjena entropije iznosi

dS =dQR

T(9.11)

gdje indeksR oznacava reverzibilnu promjenu. Entropija je funkcija stanja pa promjena entropije prireverzibilnoj promjeni od stanja 1 do stanja 2 glasi

∆S = S (2)− S (1) =∫2

1

dQR

T(9.12)

Opcenito, dovedemo li sustavu toplinudQ pri konstantnoj temperaturiT vrijedi

dS ≥ dQT

(9.13)

gdje znak ”= ” vrijedi za reverzibilne, a znak ”> ” za ireverzibilne procese.

9.4.1 Clausiusov teorem

Promjena entropije pri reverzibilnom kruznom procesu jednaka je∮

dQR

T= 0 (9.14)

U skladu s (9.13) za ireverzibilne kruzne procese vrijedi∮

dQI

T< 0 (9.15)

gdje indeksI oznacava da se radi o ireverzibilnom procesu.

9.4.2 Promjena entropije kod ireverzibilnih procesa

Oznacimo pocetno stanje ireverzibilnog procesa sA, a konacno stanje sB. Izaberimo pogodnu reverzi-bilnu putanju koja spaja stanjaA i B. Entropija je funkcija stanja pa je promjena entropije sustava u obaprocesa jednaka.

32

9.4.3 Promjena entropije svemira

Promjena entropije svemira ili ukupna promjena entropije jednaka je

∆Ssvemir= ∆Ssustav+ ∆Sokolina (9.16)

Kod reverzibilnih procesa, promjena entropije svemira je

∆Ssvemir= 0 (9.17)

dok je kod ireverzibilnih procesa∆Ssvemir> 0 (9.18)

Moguci iskaz drugog zakona termodinamike je: termodinamicki procesi teku u smjeru porasta entropijesvemira

∆Ssvemir≥ 0 (9.19)

9.4.4 Promjena entropije u reverzibilnom adijabatskom procesu

Kod reverzibilnog adijabatskog procesa jedQR = 0 pa iz dS =dQR/T slijedi

dS = 0 (9.20)

Dakle, reverzibilni adijabatski proces je i izoentropski proces (S = konst.).Ako je proces ireverzibilan i izoentropski vrijede relacije (9.13) i (9.20). Taj proces nije adijabatski,

jer iz navedenih relacija slijedidQI < 0.

9.4.5 Promjena entropije kod idealnog plina

Kod reverzibilnog procesa, promjena entropije glasi

∆S = S2 − S1

= nR lnp1

p2+ nCm,p ln

T2

T1

= nR lnV2

V1+ nCm,V ln

T2

T1(9.21)

9.4.6 Promjena entropije kodcvrstih tijela i teku cina

Kod cvrstih tijela i tekucina je specificni toplinski kapacitetcp ≈ cV = c priblizno konstantan pa je

∆S = mc ln

(

T2

T1

)

(9.22)

9.5 Zakoni termodinamike

9.5.1 Nulti zakon

Ako su dva sustava u toplinskoj ravnotezi s trecim, onda su toplinskoj ravnotezi medusobno.

9.5.2 Prvi zakon

Za reverzbilne i ireverzibilne procese vrijedi

∆U = Q −W (9.23)

33

9.5.3 Drugi zakon

Termodinamicki procesi teku u smjeru porasta entropije svemira. Za entropiju vrijedi nejednakost

dS ≥ dQT

(9.24)

gdje znak ”= ” vrijedi za reverzibilne, a znak ”> ” za ireverzibilne procese.

9.5.4 Treci zakon

KadT → 0 entropija zatvorenog sustava tezi donjoj graniciSmin

Smin = limT→0

S (9.25)

34

10 Termodinamicki potencijali

Termodinamicki potencijali su sljedece termodinamicke koordinate:

• unutrasnja energijaU

• entalpijaH

• Helmholtzova energijaF

• Gibbsova energijaG

Termodinamicki potencijali su ekstenzivni parametri, a mjerimo ih u jedinicama za energiju.

10.1 Unutrasnja energijaU

Promatramo li unutrasnju energijuU kao funkciju entropijeS i volumenaV tada je

U = U (S, V )

⇒ dU =

(

∂U

∂V

)

S

dV +

(

∂U

∂S

)

V

dS (10.1)

Osnovna termodinamicka jednadzba glasi

dU = −pdV + TdS (10.2)

Usporedbom lijevih i desnih strana u jednadzbama (10.1) i (10.2) dobijemo

p = −(

∂U

∂V

)

S

; T =

(

∂U

∂S

)

V

(10.3)

10.2 Entalpija H

EntalpijaH definirana je relacijomH = U + pV (10.4)

Diferenciranjem jednadzbe (10.4) te upotrebom prvog zakona termodinamike dobijemo

dH = dQ + V dP (10.5)

Ako je proces reverzibilan vrijedidQ = TdS pa (10.5) postaje

dH = V dp + TdS (10.6)

Diferencijal entalpije kao funkcije entropijeS i tlaka p je

H = H (p, S)

⇒ dH =

(

∂H

∂p

)

S

dp +

(

∂H

∂S

)

p

dS (10.7)

Usporedbom (10.6) i (10.7) je

V =

(

∂H

∂p

)

S

; T =

(

∂H

∂S

)

p

(10.8)

35

10.2.1 Entalpija i toplina

Iz (10.5) vidimo da je u izobarnim procesima (dp = 0) promjena entorpije jednaka izmjenjenoj toplini

H2 −H1 =

∫2

1dQ =

∫2

1CpdT = Q (10.9)

Primijetimo da gornja formula vrijedi za reverzibilne i ireverzibilne procese. Takoder, iz (10.5) slijedi daje toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku

Cp =

(

dQdT

)

p

=

(

∂H

∂T

)

p

(10.10)

10.3 Helmholtzova energijaF

Helmholtzova energija (slobodna energija, Helmholtzova slobodna energija, Helmholtzov potencijal)definirana je relacijom

F = U − TS (10.11)

Diferenciranjem jednadzbe (10.11) te upotrebom osnovne termodinamicke jednadzbe dobijemo

dF = −pdV − SdT (10.12)

Diferencijal Helmholtzove energije kao funkcije volumenaV i temperatureT je

F = F (V, T )

⇒ dF =

(

∂F

∂V

)

T

dV +

(

∂F

∂T

)

V

dT (10.13)

Iz relacija (10.12) i (10.13) slijedi

p = −(

∂F

∂V

)

T

; S = −(

∂F

∂T

)

V

(10.14)

10.3.1 Helmholtzova energija i rad

Iz relacije (10.12) mozemo zakljuciti da je kod reverzibilnih izotermnih procesa (dT = 0) rad s negativ-nim predznakom jednak promjeni Helmholtzove energije

F2 − F1 = −∫2

1pdV (10.15)

10.4 Gibbsova energijaG

Gibbsova energija (Gibbsov potencijal, Gibbsova funkcija, Gibbsova slobodna energija) definirana jerelacijom

G = H − TS (10.16)

Diferenciranjem jednadzbe (10.16) te upotrebom osnovne termodinamicke jednadzbe dobijemo

dG = −SdT + V dp (10.17)

Diferencijal Gibbsove energije kao funkcije volumenaV i temperatureT je

G = G (T, p)

⇒ dG =

(

∂G

∂T

)

p

dT +

(

∂G

∂p

)

T

dp (10.18)

36

Iz relacija (10.17) i (10.18) slijedi

S = −(

∂G

∂T

)

p

; V =

(

∂G

∂p

)

T

(10.19)

10.4.1 Clausius-Clapeyronova jednadzba

Promjena agregatnog stanja je izoterman i izobaran proces (dT = dp = 0) . Iz jednadzbe (10.17) vidimoda je u takvom procesu Gibbsova energija konstantna ako je proces reverzibilan. Naprotiv, entropija ivolumen se skokovito mijenjaju. Oznacimo li latentnu toplinu sL tada je promjena specificne entropijes = S/m

s(2) − s(1)=

L

T(10.20)

gdje su oznakama 1 i 2 obiljezene pocetna i konacna faza prilikom promjene agregatnog stanja (naprimjer, voda i led). Moze se pokazati su tlak i temperaturapri promjeni agregatnog stanja povezaniClausius-Clapeyronovom jednadzbom

dpdT

=L

T(

v(2) − v(1)) (10.21)

gdje je velicinav specificni volumen (inverz gustoce)

v =V

m=

1ρ

(10.22)

VelicineL i v(2) − v(1) opcenito su funkcije tlaka i temperature pri promjeni agregatnog stanja.

Primjer Promatrajmo taljenje leda u vodu; tada jeL > 0. Taj se proces moze desavati na razlicitimtlakovima i temperaturama, a povezuje ih Clausius-Clapeyronova jednadzba. Konacni volumenv(2) jespecificni volumen vode, av(1) je specificni volumen leda. Za vodu i led vrijedi

v(2) < v(1) (10.23)

sto je poznatacinjenica: gustoca leda je manja nego gustoca vode. Iz jednadzbe (10.21) mozemo procitatida je tada dp/dT < 0.

Napomena U literaturi se Clausius-Clapeyronova jednadzbacesto nalazi u obliku

dpdT

=LM

T(

V(2)M − V

(1)M

) (10.24)

Velicina LM je molarna toplina pri promjeni agregatnog stanja,LM = Q/n; velicina VM je molarnivolumen,VM = V/n.

10.5 Maxwellove termodinamicke jednadzbe

10.5.1 Prva

(

∂T

∂V

)

S

= −(

∂p

∂S

)

V

(10.25)

37

10.5.2 Druga

(

∂T

∂p

)

S

=

(

∂V

∂S

)

p

(10.26)

10.5.3 Treca

(

∂S

∂V

)

T

=

(

∂p

∂T

)

V

(10.27)

10.5.4 Cetvrta

(

∂S

∂p

)

T

= −(

∂V

∂T

)

p

(10.28)

10.6 Vazne termodinamicke relacije

10.6.1 Osnovna termodinamicka jednadzba

TdS = dU + pdV (10.29)

10.6.2 TdS jednadzbe

Prva

TdS = CV dT + T

(

∂p

∂T

)

V

dV (10.30)

Druga

TdS = CpdT − T

(

∂V

∂T

)

p

dp (10.31)

Treca

TdS = CV

(

∂T

∂p

)

V

dp + Cp

(

∂T

∂V

)

p

dV (10.32)

10.6.3 Jednadzbe za unutrasnju energiju

Prva(

∂U

∂V

)

T

= T

(

∂p

∂T

)

V

− p (10.33)

Druga(

∂U

∂p

)

T

= −T(

∂V

∂T

)

p

− p

(

∂V

∂p

)

T

(10.34)

38

10.6.4 Jednadzba za toplinske kapacitete

Cp − CV = −T(

∂V

∂T

)2

p

(

∂p

∂V

)

T

= TV

[

1V

(

∂V

∂T

)

p

]2[

1V

(

∂V

∂p

)

T

]−1

=TV β2

χ(10.35)

VelicinaCV je vazna za teoriju i eksperiment, no tesko se mjeri. Velicineβ, χ i Cp mogu se preciznijemjeriti, te seCV izracunava pomocu (10.35).

Izraz (10.35) nam pokazuje:

• Za sve poznate tvari vrijedi (∂p/∂V )T < 0, a (∂V/∂T )2p je pozitivan. Zakljucujemo da sve poznate

tvari vrijediCp − CV ≥ 0 ⇒ Cp ≥ CV (10.36)

• KadT → 0 vrijediCp → CV (10.37)

jer je u toj graniciχ razlicit od nule.

• Cp = CV ako vrijedi (∂V/∂T )p = 0. Dobar primjer je vodacija gustocaρ ima maksimum, odnosnovolumenV ima minimum, na 4◦C .

10.7 Dvije korisne matematicke relacije

Neka suX, Y,Z termodinamicke koordinate povezane jednadzbom stanjaf (X, Y,Z) = 0. Vrijede rela-cije

(

∂X

∂Y

)

Z

=1

(∂Y/∂X)Z(

∂X

∂Y

)

Z

(

∂Y

∂Z

)

X

(

∂Z

∂X

)

Y

= −1 (10.38)

39

IV MODERNA FIZIKA

11 Cesticna svojstva EM zracenja

11.1 Neke relacije iz specijalne teorije relativnosti

11.1.1 Relativisticki impuls

p =mv

√

1− (v/c)2(11.1)

11.1.2 Ukupna energija za slobodnu relativisticku cesticu

E =m0c

2

√

1− (v/c)2=

√

m20c

4 + p2c2 (11.2)

11.1.3 Energija mirovanja

E0 = m0c2 (11.3)

11.1.4 Kineticka energija za slobodnu relativisticku cesticu

T = E − m0c2=

m0c2

√

1− (v/c)2− m0c

2 (11.4)

11.2 Fotoelektricni efekt

11.2.1 Fotoni

Metalna povrsina emitira elektrone osvijetlimo li je svjetloscu pogodne valne duljine. Pojava se na-ziva fotoelektricni efekt (ili krace, fotoefekt), a za njezino otkrice 1887.g. zasluzan je Heinrich Hertz.Emitirani elektroni nazivaju se fotoelektroni.

Teorijsko objasnjenje fotoefekta ponudio je Einstein 1905.g. Pretpostavio je da energija elektromag-netskog vala nije kontinuirano raspodijeljena vec da je koncentrirana u ”nakupinama” ili kvantima kojisu kasnije nazvani fotoni.

Energija fotona u elektromagnetskom valu frekvencijeν (ili kruzne freklvencijeω = 2πν) je

E = hν = ħω (11.5)

gdje jeh Planckova konstanta, aħ reducirana Planckova konstanta,ħ = h/2π. Upotrijebimo li disperzij-sku relaciju za fotone

νλ = c ili ω = kc (11.6)

i zamijenimo frekvencijuν u relaciji (11.5) s valnom duljinomλ dobijemo

E =hc

λ= ħck (11.7)

40

Fotoni se, kao i EM valovi gibaju brzinom svjetlostic, a masa mirovanjam0 za fotone iznosi nula. Iz(11.2) slijedi da je impuls fotona

p =E

c(11.8)

Usporedimo li ovu relaciju s (11.5) dobijemo vezu izmedu impulsa fotonap i valne duljine EM valaλkojemu foton pripada

p =h

λ= ħk (11.9)

Kasnija otkrica pokazala su da relacije (11.5) i (11.9) vrijede i zacestice koje imaju masu.

11.2.2 Izlazni rad

Osvijetlimo metal pomocu svjetlosti kojoj mozemo mijenjati frekvencijuν. Fotoefekt se moze opazitisamo na frekvencijama svjetlosti koje su jednake ili vece od granicne frekvencijeνg

νg =A

h(11.10)

gdje jeA izlazni rad. Izlazni rad je minimalna energija koju moramo predati elektronu da izade iz metalai postane slobodan. Ako su frekvencije upadne svjetlosti vece od granicne, fotoelektroni dobivaju ikineticku energiju. Maksimalna kineticka energija elektrona u fotoefektu je

Tmax = hν − A (11.11)

Na slici 11-1 elektron 1 i elektron 2 primili su jednaku energiju hν, no elektron 2 izgubio je jedan dioprimljene energije u interakcijama s drugim elektronima. Zato mu je konacna kineticka energija manjanego elektronu 1.

Energija

Elektron 1

Elektron 2

E = 0

E T= max

E A= -

dovoljno daleko od površine metala

Slika 11-1

11.3 Comptonov efekt

U Comptonovu efektu (Arthur Compton, 1923.g.) fotoni se rasprsuju na skoro slobodnim elektronima.Pretpostavljamo da je pocetna kineticka energija elektrona zanemariva u odnosu na ostale energije uComptonovu rasprsenju.

Rasprsenje je neelasticno te fotoni predaju dio energije elektronima mijenjajuci tako, svoju valnuduljinu. Promjena valne duljine fotona∆λ kod Comptonova efekta moze se izracunati po formuli

∆λ = λ′ − λ = λc (1− cosθ) (11.12)

gdje je Comptonova valna duljinaλc

λc =h

mec= 2,426· 10−12 m (11.13)

41

ame masa mirovanja elektrona.

Upadni foton

q

j

Raspršeni foton

Raspršeni elektron

E p,E pe e,

E' p',

Slika 11-2

Kod izvoda formule (11.12) koriste se zakoni ocuvanja impulsa i energije. Prema slici 11-2 zakonocuvanja impulsa glasi

pe cosϕ = p − p′ cosθ

pe sinϕ = p′ sinθ (11.14)

Kvadriranjem i zbrajanjem ovih jednadzbi dobije se

p2e = p2 − 2pp′ cosθ + p′2 (11.15)

Zakon ocuvanja energije pisemo u obliku

E + mec2= E ′

+ Ee (11.16)

Ako izraze (11.15) i (11.16) uvrstimo u relativisticki izraz energiju slobodnog elektronaE2e = c2p2

+m2ec

4

dobivamo formulu (11.12).

11.4 Stvaranje para elektron-pozitron

Ako fotoni visokih energija (fotoni gama-zracenja) prolaze pored atoma moze se desiti da atom apsorbirafoton i da nastane par elektron-pozitron. Zakon odrzanja energije za taj proces (zanemarujuci promjenuenergije atoma) glasi

hν = E− + E+

=(

mec2+ T−

)

+(

mec2+ T+

)

(11.17)

Ukupna energija elektrona jeE−, a energija pozitrona jeE+. Njihove kineticke energije suT− i T+.Minimalnu frekvenciju za stvaranje para dobijemo iz uvjetaT+ = T− = 0

ν =2mec

2

h(11.18)

11.5 Anihilacija para elektron-pozitron

Suprotan proces stvaranju para je anihilacija para elektron-pozitron. Ako se elektron sudari s pozitronom,dvije secestice anihiliraju i stvore dva fotona energijaE1 i E2

(

mec2+ T−

)

+(

mec2+ T+

)

= E1 + E2 (11.19)

Ako su kineticke energije elektrona i pozitrona zanemarive u odnosu na njihove energije mirovanja,nakon nastanka, fotoni imaju jednaku energijumec

2 i gibaju se u suprotnim smjerovima.

42

12 Valna svojstvacestica

12.1 De Broglie-evi postulati

Kao i EM zracenje, materija takoder posjedujecesticna i valna svojstva. Louis de Broglie je 1924.g.prepostavio da vrijede relacije identicne onima u (11.5) i (11.9)

E = hν = ħω

p =h

λ= ħk (12.1)

Na lijevoj strani ove jednadzbe nalaze se ukupna energijaE i impuls p, velicine koje karakterizirajucestice, a na desnoj, velicine kojima opisujemo valove, frekvencijaν i valna duljinaλ. Relacije (12.1)vrijede i za relativisticka gibanjacestica.

12.2 Heisenbergove relacije neodredenosti

Koordinatax i impulsp ne mogu biti istovremeno odredeni do proizvoljne tocnosti. Granicu odredenostikojom mozemo izmjeriti te dvije velicine daje Heisenbergova relacija neodredenosti (Werner Heisen-berg, 1925.g.)

∆x∆p ≥ ħ

2(12.2)

Ovdje je∆x neodredenost koordinate ili polozajacestice, a∆p neodredenost impulsa. U kvantnoj meha-nici postoji formula kojom se tocno mogu izracunati neodredenosti fizikalnih velicina: polozaja, impulsa,energije, angularnog momenta,...U ovom kolegiju ogranicit cemo se naprocjenuneodredenosti koordi-nate i impulsa u skladu s relacijom (12.2).

Na posve drugaciji nacin dolazimo do relacije neodredenosti vrijeme-energija

τ∆E ≥ ħ

2(12.3)

Velicina∆E je neodredenost energije, noτ je vrijeme za koje se promatrane velicine sustava (energija,impuls, angularni moment,...) promijene za ”znacajniji” iznos. I kod ove formule oslonitcemo se naprocjenu velicina∆E i τ.

Napomena U literaturi se navedene relacije neodredenosticesto mogu naci u obliku

∆x∆p ∼ ħ

τ∆E ∼ ħ (12.4)

gdje znak∼ oznacava red velicine. Pri tome se pretpostavlja ”najbolja” procjena velicina, odnosno slucajkada u (12.2) i (12.3) vrijedi znak jednakosti.

12.3 Schrodingerova jednadzba

Temeljna jednadzba nerelativisticke kvantne mehanike je Schrodingerova jednadzba (Erwin Schrodinger,1926.g.)

− ħ2

2m∂2Ψ

∂x2+ VΨ = iħ

∂Ψ

∂t(12.5)

Ovdje jem masacestice,V = V (x, t) je potencijalna energija, aħ je reducirana Planckova konstanta

ħ =h

2π= 1,0545· 10−34 J s (12.6)

43

FunkcijaΨ koja je rjesenje Schrodingerove jednadzbe naziva se valna funkcija

Ψ = Ψ(x, t) (12.7)

Valna funkcija opisujekvantno stanjecestice. Ako znamo valnu funkciju zacesticu u promatranomkvantnom stanju, onda mozemo izracunati i sve ostale dostupne informacije ocestici.

12.3.1 Statisticka interpretacija

Neka jecestica opisana valnom funkcijomΨ. Vjerojatnost nalazenjacestice dP u trenutkut u intervalu(x, x+dx) jednaka je

dP = Ψ∗Ψdx = |Ψ|2 dx (12.8)

gdje zvjezdica∗ oznacava operaciju kompleksnog konjugiranja. Gornja jednakost predstavlja Bornovustatisticku interpretaciju valne funkcije. Vjerojatnost nalazenja cesticePab u trenutkut u konacnomintervalu (a, b) je

Pab =

∫ b

a

|Ψ|2 dx (12.9)

Velicinaρ(x, t) = Ψ

∗Ψ = |Ψ(x, t)|2 (12.10)

naziva segustoca vjerojatnosti. Velicine koje se definiraju i racunaju u teoriji vjerojatnosti na slicannacin koriste se i u kvantnoj mehanici,sto je posljedica Bornove interpretacije kvadrata valne funkcijekao gustoce vjerojatnosti.

12.3.2 Normalizacija

Zbog statisticke interpretacije, valna funkcija mora zadovoljiti uvjetnormalizacije∫∞

−∞|Ψ|2 dx = 1 (12.11)

Gornju jednakostcitamo: cestica se u trenutkut sigurno nalazi negdje u intervalu (−∞,∞). Pri tomevalna funkcija mora biti kvadratno-integrabilna da integral ima konacnu vrijednost.

12.4 Slobodnacestica

U problemu slobodnecestice, potencijalna energijaV = 0. Schrodingerova jednadzba tada glasi

− ħ2

2m∂2Ψ

∂x2= iħ

∂Ψ

∂t(12.12)

Rjesenje gornje jednadzbe je ravni val

Ψ (x, t) = ei(kx−ωt) (12.13)

pri cemu mora vrijediti

ω =ħk2

2m(12.14)

Iako se ravni val (12.13)cesto upotrebljava u proracunima zbog svoje jednostavnosti kao priblizan opisfizikalnecestice, tocan opis slobodnecestice daje valni paket

Ψ (x, t) =∫∞

−∞Ak ei(kx−ωkt) dk (12.15)

44

KoeficijentAk je funkcija odk, aωk je dana relacijom (12.13). Relacija (12.14) naziva sedisperzijskarelacija za slobodnu nerelativisticku cesticu. Ona je u skladu s de Broglievim postulatima jer je

ħω = E =p2

2m=

ħ2k2

2m

⇒ ω =ħk2

2m(12.16)

Prisjetimo se, za fotone je disperzijaω = ck. Za slobodne relativistickecestice disperzijska relacija glasi

ħω =

√

m2c4 + c2ħ2k2 (12.17)

45

13 Rutherford-Bohrov model atoma

46

14 Osnove nuklearne fizike

14.1 Karakteristike atomske jezgre

Atomska jezgra sastoji se od protona i neutrona, zajednickog imena nukleoni. Broj nukleona naziva semaseni ili nukleonski brojA, broj protona atomni ili protonski brojZ, a broj neutrona je neutronski brojN. Vrijedi jednakost

A = Z +N (14.1)

14.1.1 Oznaka

Atom (jezgra) kemijskog elementaX s masenim brojemA i atomskom brojemZ ima oznaku

AZX (14.2)

14.1.2 Izotopi

Izotopi su kemijski elementi s istim atomnim brojemZ, ali razlicitim masenim brojemA. Drugimrijecima, dva se izotopa razlikuju po broju neutrona.

14.2 Defekt mase i energija vezanja

Masa jezgremA uvijek je manja od zbroja masa pojedninacnih protonaZmp i neutronaNmn u njoj.Razlika masa je

∆m = Zmp +Nmn − mA (14.3)

Ta se pojava naziva defekt mase. Energija vezanja jezgre je za masu∆m jednaka

Eb = ∆mc2=[

Zmp + (A −Z) mn − mA

]

c2 (14.4)

14.3 Radioaktivnost

Radioaktivnost je spontani raspad jezgre pracen emisijom jedne ili vise cestica. Samo se nestabilnejezgre spontano raspadaju. Nakon nuklearnog raspada, jezgri se mijenjaju karakteristicni brojeviA,Z.

14.3.1 α - raspad

Kod α-raspada jezgra kemijskog elementaX emitira jezgru atoma helija

AZX −→ A−4

Z−2Y +42He (14.5)

14.3.2 β+ - raspad: emisija pozitrona

Kod β+-raspada jezgra kemijskog elementaX emitira pozitron i (elektronski) neutrino

AZX −→ A

Z−1Y + e+ + ν (14.6)

14.3.3 β− - raspad: emisija elektrona

Kod β−-raspada jezgra kemijskog elementaX emitira elektron i antineutrino

AZX −→ A

Z+1Y + e− + ν (14.7)

47

14.3.4 β - uhvat

Kod β−-uhvata jezgra kemijskog elementaX apsorbira elektron te emitira neutrino

AZX + e− −→ A

Z−1Y + ν (14.8)

14.3.5 Spontana fisija teskih jezgara

Kod spontane fisije jezgra kemijskog elementaX raspada se na jezgre razlicitog nukleonskog i proton-skog broja

AZX −→ A1

Z1X1 +

A2Z2X2 (14.9)

14.4 Zakon radioaktivnog raspada

U trenutkut brzina promjene broja neraspadnutih radioaktivnih jezgridN/dt proporcionalna je brojuneraspadnutih jezgriN

dNdt

= −λN (14.10)

gdje jeλ konstanta raspada. Pretpostavimo da u pocetnom trenutkut = 0 postojiN (0) = N0 jezgri.Nakon vremenat broj neraspadnutih jezgriN je

N = N0 e−λt (14.11)

sto je rjesenje diferencijalne jednadzbe (14.10).

14.4.1 Aktivnost

Aktivnost radioaktivnog uzorka je brzina kojom se raspadaju jezgre uzorka

A =ddt

(N0 −N) = −dNdt

= λN0 e−λt = λN (14.12)

Ovu jednakost mozemo napisati i u obliku

A = A0 e−λt (14.13)

gdje jeA0 = λN0 aktivnost u trenutkut = 0. Jedinica za aktivnost je becquerel (Bq).

14.4.2 Vrijeme poluraspada i srednje vrijemezivota radioaktivne jezgre

Vrijeme poluraspada je vrijeme za koje se raspadne polovicaod pocetnog broja jezgri

T1/2 =ln 2λ

(14.14)

Srednje vrijeme zivota radioaktivne jezgre je

τ =1λ

(14.15)

48

PRILOZI

PRILOG I: Fizi cke konstante

Konstanta Simbol i vrijednost

Trojna tocka za vodu Tt = 273, 15 K

Avogadrov broj NA = 6, 0221367· 1023 mol−1

Molarni volumen VM = 22, 41410· 10−3 m3 mol−1

Opca plinska konstanta R = 8, 314510 Jmol−1 K−1

Planckova konstanta h = 6, 6260755· 10−34 J s

Reducirana Planckova konstanta ħ = h/2π = 1, 05457266· 10−34

Wienova konstanta cW = 2, 897756· 10−3 m K

Boltzmannova konstanta kB =R

NA

= 1, 3806568· 10−23 J K−1

Stefan-Boltzmannova konstanta σ =2π5k4

B

15c2h3= 5, 67051· 10−8 W m−2 K−4

Elektron-volt 1 eV= 1, 60217733· 10−19 J

1 J= 0, 6241506· 1019 eV

Masa elektrona me = 9, 1093897· 10−31 kg

Naboj elektrona qe = −e = −1, 60217733· 10−19 C

Energija mirovanja elektrona mec2 = 0, 51099906 MeV

Atomna masena konstanta u = 1, 6605402· 10−27 kg

Energija atomne masene konstanteuc2 = 931, 49432 MeV

Masa protona mp = 1, 6726231· 10−27 kg

Naboj protona qp = e = 1, 60217733· 10−19C

Energija mirovanja protona mpc2 = 938, 27231 MeV

Masa neutrona mn = 1, 6749286· 10−27 kg

Energija mirovanja neutrona mnc2 = 939, 566 MeV

Comptonova valna duljina λc =h

mec= 2, 42631058· 10−12 m

49

LITERATURA

50

Documents

Top Pregled