Prelazni Rezim-klasican Postupak Prezentacija

Zlata Ž. Cvetković, Električna kola, predavanja, Elektronski fakultet u Nišu, 2010/2011

ELEKTRIČNA KOLA

4. VREMENSKI ODZIV-Klasičan postupak-

Zlata Ž. Cvetković

Funkcije. pobude

� Odskočna ili Hevisajdova funkcija. Opisuje signal koji se

od vrednosti nula za beskonačno kratko vreme uspostavlja na vrednost jedan. Koristi se za modelovanje prekidača u kolu.

h(t )

=

⎧0 , t < 0⎨⎩1, t ≥ 0

Pomerena hevisajdova funkcija

h(t − T )

=

⎧0 , t < T⎨⎩1, t ≥ T

Električna kola, 2010/2011

Funkcije pobude

� Impulsna ili delta ili Dirakova funkcija. Opisuje signal

koji beskonačno kratko traje a ima konačan integral po osi vremena. Koristi se za modelovanje procesa koji se odigravaju u zanemarljivo malom vremenskom intervalu u kome se trenutno razmenjuje konačna energija

δ(t ) =⎧ 0 ,⎨⎩∞,

t ≠ 0

t = 0∞

⎧0 , t ≠ 0Ima osobinu da je ∫ δ(τ)d τ =

−∞

⎨⎩1, t = 0

⎧ 0 , t ≠ TPomerena Dirakova funkcija

δ (t − T ) = ⎨⎩∞,

t = T


Funkcije pobude

� Usponska ili ramp funkcija

r (t ) = t h (t )

Pomerena usponska funkcija

r (t − T ) = (t

− T )h

(t− T )


Funkcije. pobude

o Odziv kola na Hevisajdovu funkciju naziva se indicioni odziv kola ili indiciona funkcija

o Odziv kola na Dirakovu funkciju naziva se impulsni odziv kola iliGrinova funkcija

o Veze između Hevisajdove, Dirakove i usponske funkcije:

δ (t ) =

d h(t )d t

t

h (t ) =

∫ δ(τ)dτ

0

t

r (t ) = ∫ h (τ)dτ = t h

(t )0

h (t ) =

d r (t

)d t


L

L

d i (t )u (t ) = L L L

d tKalem sa početn.

om energijom

�Kalem sa početnom energijom,

iL (0− ) = I0 , ima struju

1 t 1 0 1 t 1 ti(t) = ∫ u(τ )

dτL −∞

= ∫ u(τ ) dτ

L −∞

+ ∫ u(τ ) dτ

0

= I 0 h(t ) + ∫ u(τ ) dτ0

što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora

vrednosti

I0 h(t )

i kalema bez početne struje

�Rešavanjem prethodne jednačine po naponu dobija se

u(t ) = −LId h(t )

+ L d i(t )

= −LI

δ (t ) + L d i(t )

0d t d t

0d t

što odgovara rednoj vezi naponskog izvora

vrednosti

LI0δ(t )i kalema bez početne struje


C

d u (t )i (t ) = C C C d t Kondenzator sa poče.tnom energijom

�Kondenzator sa početnom energijom,napon

uC (0− ) = U

0

, ima

1 t 1 0 1 t 1 tu(t ) =

C∫ i(τ ) dτ

−∞

= ∫ i(τ ) dτ

C −∞

+ ∫ i(τ ) dτ

C 0

= U 0 h(t ) + ∫ i(τ ) dτ0

što odgovara rednoj vezi naponskog izvora

vrednosti U 0 h(t )

i kondenzatora bez početnog napona

�Rešavanjem prethodne jednačine po struji dobija se

i(t) = −CUd h(t)

+ C d

u(t) = −CU δ (t) + C d u(t )

0 d t d t

0 d t

što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora

vrednosti CU 0δ(t

)

i kondenzatora bez početnog napona


L

C

Akumulirana energija

y Kalem i kondenzator su elementi koji mogu da (sakupljaju)akumuliraju energiju i nazivaju se dinamički elementi

y Energija kalema se može izraziti preko struje kalema

wL (t ) = 1 L i 2 (t )

2y Energija kondenzatora se može izraziti preko napona na

kondenzatoruwC (t ) =

1 C u 2 (t )

2y Naponi kondenzatora i struje kalemova ne mogu trenutno da

se promene i čine stanje kola


Jednačina odziva:

y Jednačine stanja su jednačine kola po strujama kalemova i naponima kondenzatora i pobudama

y Jednačina odziva se izvodi iz jednačina stanja i u opštem slučaju to je linearna nehomogena diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima po traženom odzivu

y Odziv je napon ili struja u kolu usled akumulirane energije na dinamičkim elementima, ili pobude, ili i jednog i drugog

y Trenutak vremena od koga počinjemo da određujemo odziv jetrenutak komutacije, to je nulti trenutak na osi vremena, t = 0


Trenutak komutacije može da bude:

y Trenutak obrazovanja kola

y Trenutak zatvaranja prekidača ili promene položaja preklopnika

y Trenutak skokovite promene pobude

y Trenutak uključenja ili isključenja izvora energije

y Trenutak dodavanja ili uklanjanja elementa ili grupe elemenata kola

t = 0

Kolo u prelaznom režimu se rešava za t ≥ 0+


C

L 0 C 0

L

L L C

Nezavisni i zavisni početni uslovi:

y Struje kalemova i naponi kondenzatora u trenutku komutacije sunezavisni početni uslovi kola

y Nezavisni početni uslovi se zadaju u trenutku neposredno pre−komutacije u t = 0 , a to su

i (0− )= I u (0− )= U

y Svi ostali početni uslovi su zavisni početni uslovi, a to su

i (0+ ) uC (0+ )y Ako su nezavisni i zavisni početni uslovi isti komutacija je

regularna pa jei (0− )= i (0+ ) u (0− )= u (0+ )

y u protivnom je komutacija neregularna


Odziv kola:

12

y Posmatraćemo kola koja sadrže jedan i dva dinamička elementa

y Ona se mogu opisati diferencijalnim jednačinama prvog i drugog reda

y Rešavaćemo ih u prelaznom režimu primenom klasičnog postupka

y Odziv kola je posledica postojanja akumulirane energije na dinamičkim elementima ili pobude, ili i jednog i drugog


Kompletan odziv kola:

y Potpuni ili kompletan odziv kola, x(t ) , posle trenutka nula plus, se sastoji od dve komponente

x(t ) = xp (t ) +

xs (t )

{ Prinudne (ustaljene) komponente,

xp (t ), koja predstavlja

odziv na pobudu i zato zavisi od oblika pobudnog signala i

{ Sopstvene (prelazne) komponente,

xs (t ), koja predstavlja

odziv na nezavisne početne uslove, zavisi od konfiguracije

kola i isčezava (nestaje) tokom vremena


Prinudna komponenta odziva:

y Prvo se odredi prinudna komponenta odziva

xp (t )

y Prinudna komponenta odziva, xp (t ) , ima oblik pobude iodređuje se iz nehomogene diferencijalne jednačine

y U slučajevima kada je pobuda jednosmerna ili prostpriodična može se direktno odrediti iz kola u stacionarnom stanju


Kola prvog reda, RL i RC kolo

yKola koja sadrže jedan dinamički element su kola prvog reda(RL i RC kola)

yZa opisivanje stanja kola dobija se diferencijalna jednačina odziva prvog reda u obliku

dx(t )+ a x(t )=

dt

f (t )

Na osnovu homogenog dela diferencijalne jednačine formirase karakterističa jednačina

a njeno rešenje je s = −a

s + a = 0


1

2

Kola drugog reda, RLC kolo

y Kola drugog reda se mogu opisati diferencijalnom jednačinom drugog reda jer sadrže i kalem i kondenzator (RLC kolo)

y Opšti oblik diferencijalne jednačine odziva drugog reda jed 2 x(t )

+ ad x(t )

+ a x(t )= f (t )d t 2

1 d t

2

Karakteristična jednačina je oblika

a njena rešenja su

s 2 +a1s + a2 = 0

s = − a1 ±

⎛ a ⎞⎜ ⎟ − a = −

a1 ± D = σ ± D1, 2 2 ⎝ 2 ⎠2

2


Koreni karakteristične jednačine:

Zavisno od vrednosti diskriminante D razlikuju se sledeći slučajevi:

y Aperiodičan slučaj kada je D>0 pa su rešenja realna irazličita, s1 = σ1

,

s2 = σ 2

y Kritično aperiodičan slučaj je za D=0 pa je σ1 = σ 2 = σ

y Pseudo periodičan slučaj je za D<0 kada su rešenjakonjugovano kompleksna, = * = σ + jωs1 s2

y Prostoperiodičan slučaj je za D<0 i σ = 0 , kada je

s2s1 =* = jω


Sopstvena komponenta odziva:xs (t )

Sopstvena komponenta odziva, xs (t ), zavisi od kola iodređuje se iz homogenog dela diferencijalne jednačine.Zavisno od s je:

y Za kolo prvog reda oblika xs (t ) =Ae st

yZa aperiodičan slučaj ima oblik xs (t ) =

Aeσ1 t + Beσ 2 t

yZa kritično aperiodičan slučaj xs (t ) = (A

+

tB)eσ t

yZa pseudo periodičan slučaj xs (t )= eσ t (A cos ω

t

+ B sinω t )


p

Određivanje integracionih konstanti A i B:

y Diferencijalnu jednačinu odziva reševamo sa početnimuslovima za promenljivu i njene izvode u trenutku t = 0+

y Za kolo prvog reda konstanta iznosi A = x(0+ )− x (0+ )y Kod kola drugog reda konstante A i B se određuju iz

+diferencijalne jednačine odziva u trenutku t = 0 i još jednejednačine koja se formira tako što se izraz za kompletan odziv diferencira po vremenu,

d x(t )

d t=

d xp (t ) +

d t

d xs (t )

d t


p s

Određivanje integracionih konstanti A i B :

y Rešavanjem sistema jednačina

x(0+ ) = x (0+ )+ x (0+ )

d x(t ) d x (t ) d x (t )d t t

=p

= 0+ d t t = 0+ + s

d t t = 0+

određuju se konstane A i B za kolo drugog reda


Algoritam rešavanja zadatka primenom klasičnog postupka - REZIME:

21

y Prvo se odrede nezavisni početni uslovi u t = 0−

y Zatim se odrede zavisni početni uslovi u t = 0+

y Ispišu se jednačine stanja i formira diferencijalna jednačinaodziva

y Iz homogenog dela diferencijalne jednačine odziva se odrede kompleksne učestanosti s

y Pretpostavi se rešenje za kompletan odziv kola kao zbir prinudne i sopstvene komponente odziva

y Prvo se odredi prinudna komonenta odziva iz stacionarnog stanja

y Na kraju se odrede konstante u sopstvenom odzivu, izpočetnih uslova u t = 0+


Pitanja za usmeni:

1. Hevisajdova funkcija2. Dirakova funkcija3. Usponska funkcija4. Predstavljanje početne energije kalema preko strujnog i

naponskog generatora5. Predstavljanje početne energije kondenzatora preko

naponskog i strujnog generatora6. Nezavisni i zavisni početni uslovi u kolu – primeri7. Kola prvog reda, RC i RL kola8. Prinudna komponenta odziva kola za jednosmernu,

eksponencijalnu i prostoperiodičnu pobudu – primeri9. Određivanje integracionih konstanti odziva10.Kompletni odziv kola


Documents

Prelazni Rezim-klasican Postupak Prezentacija