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"La autonomía intelectual, la resolución de problemas y el aprendizaje cooperativo"
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4º Premio - Mención Especial
LA AUTONOMÍA INTELECTUAL,LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Y EL APRENDIZAJE COOPERATIVO
MARÍA CRISTINA ZEBALLOS
LILIANA MABEL GYSIN
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María Cristina Zeballos es Docente. Profesora de EnseñanzaSecundaria, Normal y Especial. Especialidad Matemática(UBA). Profesora de Segundo Año, escuela secundaria, cole-gios Cardenal Newman y Plácido Marín. Profesora de 3ro.Polimodal A, colegio Cardenal Newman. Coordinadora deMatemática, colegio Cardenal Newman.
Liliana Mabel Gysin es Doctora en Ciencias Matemáticas(UBA). Profesora Adjunta Departamento Matemática,Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA. DictaCursos de Capacitación Docente (Universidad de La Punta,San Luis).
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ÍNDICE
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1. Resumen................................................................................................. 3
2. Introducción ........................................................................................... 4
3. Estado de situación ................................................................................ 5
4. Marco teórico......................................................................................... 64.1 Resolución de problemas como estrategia didáctica........................ 64.2 Aprendizaje cooperativo para el trabajo en equipos ........................ 84.3 Evaluación de la autonomía intelectual.......................................... 10
5. Propuesta.............................................................................................. 115.1 Contenido matemático seleccionado para la propuesta.................. 115.2 Estructura de la propuesta............................................................... 11
6. Resultados............................................................................................ 12
7. Conclusiones........................................................................................ 20
8. Anexo - Propuesta ............................................................................... 23
9. Anexo - Trabajos de los Alumnos ...................................................... 36
10. Bibliografía ........................................................................................ 43
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1. RESUMEN
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El objetivo de esta propuesta es enfrentar dos problemáticas: el desarrollo dela autonomía intelectual en los alumnos (y el desafío de cómo hacerlo desde laclase de matemática); y el poco uso que se hace en el aula de la enseñanza de lamatemática por resolución de problemas. La elección del aprendizaje cooperati-vo para el trabajo en el aula está basada esencialmente en la necesidad de inte-grar entre sí a los alumnos.
La propuesta se da en el marco de la enseñanza de probabilidades en segun-do año de la educación secundaria, y fue implementada en forma paralela encuatro cursos de dos escuelas. Se notó un ambiente participativo y cordial, seprestó atención a que todos participaran y entendieran, y cada uno desempeñósu rol correctamente.
Si bien la evaluación de la autonomía intelectual es subjetiva, creemos quelos alumnos han avanzado en ella, especialmente en el trabajo independiente. Sesintieron libres de crear, presentar los resultados e interpretar las consignas. Laenseñanza por resolución de problemas resultó valiosa para que los alumnosrecrearan en clase el “hacer matemática”.
Creemos que los principales errores detectados responden a causas diferentesy proponemos estrategias distintas para corregirlos.
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2. INTRODUCCIÓN
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La implementación de este proyecto surgió como un intento de enfrentar dos pro-blemáticas que nos preocupan a partir de nuestra práctica docente y de capacitación.Por un lado, el desarrollo de la autonomía intelectual en los alumnos, y el desafío decómo hacerlo desde la clase de matemática. Por otro lado, el poco uso que se haceen el aula de la enseñanza de la matemática por resolución de problemas.
Estamos convencidas de que la enseñanza por resolución de problemas es laherramienta didáctica adecuada para desarrollar en los alumnos la autonomía inte-lectual, pensada como suma o combinación de diferentes capacidades, entre las queseleccionamos algunas para evaluar, como por ejemplo la independencia para tomardecisiones, la originalidad, la capacidad de comunicar, argumentar, escuchar, etc.
Elaboramos una propuesta para la enseñanza de probabilidad en segundo añode la educación secundaria (octavo año de EGB), que fue implementada en cuatrocursos de manera paralela. Tres de los cursos (cursos A, B, C, de 28 alumnos cadauno) son del colegio Cardenal Newman, y el cuarto (curso D, de 25 alumnos), delcolegio Plácido Marín, ambas escuelas privadas de la localidad de Boulogne, en laprovincia de Buenos Aires, de diferente contexto social. El colegio CardenalNewman tiene primaria y secundaria, con un total de aproximadamente 1000alumnos. El colegio Plácido Marín tiene primario y hasta segundo año del secun-dario con aproximadamente 200 alumnos, y está ubicado en la zona conocidacomo el “Bajo Boulogne”. Los tres cursos del Cardenal Newman están a cargo dedos docentes, uno de los cuales también es docente del curso del Plácido Marín.
Los alumnos trabajaron en equipo, ya que consideramos que es la forma másadecuada para desarrollar la autonomía intelectual. Entre las varias posibilidadesde trabajo grupal, elegimos el aprendizaje cooperativo. Los cursos A, B y C yahabían realizado trabajo en equipo, mientras que para el curso D era la primeraexperiencia de este tipo de trabajo.
La propuesta intenta desarrollar la enseñanza de un contenido matemático (pro-babilidades) y la autonomía intelectual de los alumnos, utilizando la resolución deproblemas como estrategia didáctica. Tiene cuatro etapas, dos de evaluación (diag-
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nóstica y final) y dos de desarrollo (la primera con el enfoque laplaciano y lasegunda con el enfoque frecuencial). La evaluación fue continua, con observacióna lo largo del todo el proceso. La implementación llevó trece horas reloj.
3. ESTADO DE SITUACIÓN
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Que la resolución de problemas es una herramienta didáctica privilegiadapara enseñar matemática es una afirmación que, hoy en día, nadie discute. Sinembargo, y a pesar de los muchos esfuerzos de capacitación, es relativamentepequeño el lugar que ocupa la enseñanza por resolución de problemas en el aula.Algunos docentes todavía preguntan: “Pero, primero les explico, ¿no?”. Otrosutilizan un problema como motivador para comenzar el trabajo con un nuevocontenido, y muchos utilizan problemas luego de haber explicado a modo deproblemas de aplicación, al estilo de una enseñanza más tradicional.
En el diálogo con los docentes, éstos afirman saber cómo enseñar por reso-lución de problemas. Pero cuando se les pide que armen una propuesta para undeterminado contenido, en la mayoría de los casos los problemas aparecen sola-mente como motivadores o de aplicación, y rara vez la propuesta implica enfren-tar a los alumnos a resolver situaciones para las cuales aún no han desarrolladolas herramientas necesarias. Quizás el problema es que el docente duda de lacapacidad de los alumnos para generar aquellos conocimientos que él les debetransmitir, o tal vez no se siente capaz de tener que discutir con sus alumnosestrategias que a él no se le habrían ocurrido... Aparecen entonces comentarioscomo “Lleva demasiado tiempo”, “Genera problemas de disciplina”, “Los chi-cos no avanzan todos a la misma velocidad”, etc.
Pero si no permitimos que los alumnos piensen por sí mismos, si solo losenfrentamos a problemas que sabemos que pueden resolver, es poco probableque desarrollen autonomía intelectual. El alumno recita definiciones y resuelveproblemas tipo, de la misma manera que los docentes recitan la definición deenseñanza por resolución de problemas y luego enseñan a la manera tradicional,replicando la forma en que ellos fueron enseñados. Es poco probable que estos
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alumnos puedan reutilizar los conocimientos aprendidos en la escuela en su vidacotidiana o en sus posteriores estudios en el ciclo superior. Las múltiples quejasde las universidades respecto del nivel de conocimientos con que llegan losalumnos, y la gran deserción tanto en la escuela media como en el ciclo superior,dan cuenta de ello.
De las tendencias pedagógicas modernas, en muchos casos la escuela soloparece tomar la parte que dice que no es necesario resolver una enorme cantidadde ejercicios y problemas tipo. No hay anclaje ni generación de conocimientos,por lo cual el aprendizaje es de corto plazo; los alumnos se olvidan de lo queaprendieron ni bien aprueban los cursos. Por supuesto que esto es exagerado,que no se trata de buscar “culpables” de los resultados, sino de intentar mostrarque también se pueden hacer cosas diferentes en el aula. Por otra parte, la escue-la y los docentes tampoco deben cargar con toda la responsabilidad, ya que laescuela está inmersa en una sociedad que ha dejado de valorar el conocimientoy el esfuerzo, con las claras consecuencias que ello conlleva.
Si la propuesta es enseñar por resolución de problemas, el trabajo en equiposaparece como la estrategia de aula más apropiada. En esta dirección, elegimos laformación de los equipos apoyada en el aprendizaje cooperativo. Esta elecciónestá basada esencialmente en la necesidad de integrar entre sí a los alumnos,especialmente a los de extracción social más humilde, que es donde las relacio-nes sociales presentan mayor conflictividad.
4. MARCO TEÓRICO
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4.1. Resolución de problemas como estrategia didáctica
Señala Miguel de Guzmán que “la enseñanza a través de la resolución de pro-blemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el princi-pio general de aprendizaje activo. (...) Lo que en el fondo se persigue con ella estransmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamientoeficaces en la resolución de verdaderos problemas.”1
1. Miguel de Guzmán, “Tendencias innovadoras en educación matemática”, OMA, 1992.
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La idea es que el alumno aprenda a “hacer matemática”, que el aula sea unaespecie de laboratorio de matemática donde el alumno pueda –guiado por eldocente– redescubrir los contenidos y procedimientos de la disciplina. Dejemosque los niños reinventen la matemática (Kamii, 1994), con ello lograremos quela incorporen como un conocimiento propio, del que difícilmente se olvidarán.
¿A qué nos referimos con “problema” cuando hablamos de esta estrategiadidáctica? Coincidimos con Ana Bressan en que “problema” es “toda situacióncon un objetivo por lograr, que requiera del sujeto una serie de acciones u ope-raciones para obtener su solución, de la que no dispone en forma inmediata,obligándolo a engendrar nuevos conocimientos, modificando (enriqueciendo orechazando) los que hasta el momento poseía”2. Es decir, enfrentemos a losalumnos a situaciones que deban resolver, sin haberles explicado antes cómohacerlo. Como decía el doctor Santaló, “solo hay problema si el alumno perci-be una dificultad”3.
Dice también Delia Lerner: “Descubrir, investigar, discutir, interpretar...Conceptos que definen una concepción del aprendizaje y de la enseñanza muydiferente de aquella que postula explicar, repetir, memorizar...”4. Es decir, debe-mos cambiar nuestra práctica docente, y recrear una manera muy diferente deaquélla a la que estamos acostumbrados. Este cambio necesariamente implicauna concepción diferente de qué es la matemática. Es pensar la matemáticacomo una actividad dinámica (y no estática), en continuo desarrollo (y no aca-bada), y que tiene múltiples maneras de analizar y resolver un mismo problema(y no la única manera dada por un esquema “tipo” de resolución). Si bien es cier-to que muchas veces ese esquema tipo es el más económico, el más sencillo o elmás completo, también es verdad que no es ni el único ni el primero que se nosocurre, si nadie nos dijo cómo hacerlo. ¿Es importante discutir la estrategia másadecuada para resolver determinado problema? Sí, probablemente lo sea, perono antes de que nuestros alumnos hayan intentado otras maneras o hayan llega-do a la más eficiente por sí mismos. ¿Por qué quitarles el placer de descubrir?
No planteamos la resolución de problemas exclusivamente para aplicar losconocimientos aprendidos, ni el problema solo como disparador o motivador del
2. Citado por Ana Bressan en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997.3. Citado por Hanfling-Savón en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Zeditora, 1997.4. Hanfling-Savón, op. cit.
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aprendizaje, sino que –como plantean Hanfling-Savón (AZ, 1997) en su cuartamodalidad– la resolución de problemas está presente en las distintas etapas delproceso de aprendizaje, pero no es la actividad única. Dicen las autoras:
“El esquema es el de un grupo de trabajo asesorado por un peri-to. El conocimiento se construye en el seno del grupo y por lainteracción de sus integrantes. Para quienes adhieren a esta con-cepción, enseñar y aprender se implican mutuamente.
(...) El profesor realiza una cuidadosa selección de problemascon distintos obstáculos, para provocar en los alumnos las adap-taciones buscadas; organiza la clase, el intercambio de los pro-cedimientos surgidos en forma individual o grupal, la formula-ción oral o escrita de esos procedimientos, la validación de lassoluciones y la presentación de los elementos convencionales.
(...) Así, los chicos van construyendo el conocimiento; la clasese transforma en un verdadero laboratorio de investigación desoluciones.
(...) En este modelo, las producciones de los alumnos muestransu manera de conocer. Los errores forman parte del aprendizajey muestran el estado de saber a partir del cual debe construirseun nuevo conocimiento.”5
4.2. Apendizaje cooperativo para el trabajo en equipos
El trabajo en grupos aparece como la estrategia de aula más apropiada paraenseñar por resolución de problemas. Los grupos pueden armar a partir de distin-tas estrategias, y con distintos tamaños. Dado que –especialmente en el curso alque asisten los alumnos de extracción social más humilde– se detectan relacionessociales con algún grado de conflictividad y falta de integración entre ellos, elegi-mos la formación de los equipos apoyándonos en el aprendizaje cooperativo.
5. Hanfling-Savón, en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997.
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Al respecto, dicen los autores Friend y Bursuck:
“El primer elemento para promover interacciones sociales posi-tivas entre los alumnos (...) consiste en proporcionarles oportu-nidad para interactuar. (...) El segundo componente para la cons-trucción de relaciones sociales consiste en estimular el apoyomutuo y la amistad entre los alumnos. (...) Un tercer componen-te en la promoción de relaciones positivas dentro del grupo depares consiste en proporcionar modelos positivos de rol.
(...) El propósito principal del aprendizaje cooperativo consisteen incrementar la capacidad de los alumnos para interactuarunos con otros de manera apropiada. (...) En este contexto, cadaintegrante no solo debe ocuparse de su propio conocimiento,sino también del de los demás integrantes del grupo. (...) Losalumnos presentan una positiva interdependencia. Si no alcan-zan sus objetivos juntos, nadie estará en condiciones de alcan-zarlos. (...) Los miembros del grupo trabajan arduamente a finde que todos aprendan. (...) Los integrantes tienen responsabili-dades individuales. Cada uno de los miembros debe realizar suaporte. (...) Favorece las habilidades interpersonales del alumno,como saber formular preguntas, poder elogiar a sus compañerosy ser capaz de colaborar con el aprendizaje de otro.”6
En la formación de los equipos, el docente selecciona a los integrantes de losdistintos grupos, y luego cada equipo elige qué rol desempeñará cada alumnodentro del grupo. Los roles son: organizador, experto, alentador y coordinador. Elcoordinador escucha a los demás y toma la última decisión (escucha pero no esel jefe); el organizador es responsable de que el material necesario esté a disposi-ción del grupo (aún cuando se ausente); el experto es quien está más cerca delsaber respecto del contenido; el alentador es quien anima al grupo y está atento alos tiempos. Los grupos se eligen con el criterio de que coexistan estudiantes dediferentes niveles, y no formándolos con un nivel de desempeño homogéneo.
6. Friend., M. y Bursuck, W., Alumnos con dificultades. Guía práctica para su detección e integración,Buenos Aires, Troquel, 1999.
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4.3. Evaluación de la autonomía intelectual
La autonomía intelectual puede pensarse como una suma o combinación de dife-rentes capacidades, que hacen a la posibilidad de resolver problemas. Por ejemplo,forman parte de estas capacidades el pensamiento crítico, el pensamiento creativo yel pensamiento ejecutivo.
Casas (2006) plantea diferentes características para evaluar, respectivamente, elpensamiento crítico, creativo y ejecutivo. Analizando las múltiples propuestas,seleccionamos una serie de indicadores que nos parecen los más adecuados paraser utilizados como medición en la actividad propuesta, que hacen de diferentemanera a los tres tipos de pensamiento. Estos indicadores son:
• Insistencia en la búsqueda de una solución a un problema que no es apa-rente de inmediato.
• Aptitud para escuchar a los demás y comprender sus puntos de vista.• Precisión en la expresión y el pensamiento.• Fluidez verbal.• Originalidad.• Evaluación de los resultados obtenidos.
También podemos decir que la autonomía intelectual viene dada por la inde-pendencia para tomar decisiones y la originalidad en el enfoque y la presentación(Jiménez Rodríguez, 1997). Como en este caso la autonomía es uno de los ochocriterios de valoración que plantea Jiménez Rodríguez, consideramos que tam-bién se deben tomar criterios asociados con la claridad y la comunicación y conla actitud matemática. La propuesta de Jiménez Rodríguez es medir niveles (muybajo-bajo-normal-medio-alto) respecto de los diversos criterios de valoración.
Tomando en cuenta a ambos autores, seleccionamos la siguiente grilla de evaluación:
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5. PROPUESTA
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5.1. Contenido matemático seleccionado para la propuesta
Entre contenidos correspondientes al currículo del segundo año de la educaciónsecundaria de la provincia de Buenos Aires que los docentes de los diferentes cur-sos aún no habían trabajado al momento de decidir la propuesta, nos encontramoscon dos contenidos que nos parecieron apropiados: funciones y probabilidades.
Nos pareció que el tema de probabilidades es un tema sobre el cual hay menorcantidad de propuestas, además de ser poco trabajado en las aulas (a pesar de quehay contenidos relacionados con el tema desde los primeros años de la educaciónprimaria). Muchos docentes suelen dejarlo para la última época del año, parafinalmente decidir que el tiempo de clase no alcanza para desarrollarlo.
Por otro lado, los alumnos poseen algún conocimiento extraescolar sobre eltema, si bien muchas veces –apoyados en el sentido común– cometen errorestípicos respecto de su cálculo (ver Gysin por ejemplo). Esto lo hace un tema inte-resante para trabajar a partir de los errores habituales. Además, creemos que eltema permite y favorece en los alumnos el desarrollo de su creatividad y su auto-nomía a la hora de resolver los problemas planteados.
5.2. Estructura de la propuesta
Una vez seleccionado el contenido matemático, se definieron tres etapas parael trabajo de aula:
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a) Etapa diagnóstica: En una primera instancia se trabajó con todo elcurso (Propuesta Actividad 1), revisando el trabajo con fracciones,para luego armar los equipos y pasar a la Propuesta Actividad 2, queenfrentó a los alumnos a algunos problemas relacionados con probabi-lidades y su cálculo.
b) Etapa de desarrollo: Los alumnos trabajaron en equipos, con propues-ta de actividades guiadas (Propuesta Actividad 2 a 7), con puestas encomún al final de cada Propuesta Actividad.
c) Etapa de evaluación final: Se trabajó por equipo, con la PropuestaActividad 8.
6. RESULTADOS
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Etapa diagnóstica
Actividad 1:
POCO PROBABLE
Es poco probable que mañana tenga una prueba porque no tengo nada anota-do en la agenda.Si hay 3 cuadraditos azules y uno rojo es poco probable que salga el rojo.Es poco probable que erupcione un volcán inactivo.
SEGURO
Que en Marte hay agua.Es seguro que de 10 pelotas verdes saquemos pelotas verdes.Es seguro que si sumás 2 números pares te da par.
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Seguro que si yo les miento a mis amigas no me van a creer más o me va acostar que me crean.Es muy seguro que en los desiertos no llueva.
POSIBLE
Que tu hijo sea varón.Es posible que Argentina gane medallas en las Olimpíadas.Es posible que si tiramos una moneda de un peso caiga del lado del escudo.
MUY PROBABLE
Es muy probable que Racing descienda.Es muy probable que el servicio meteorológico acierte.Es muy probable sacar una bola azul de una caja con cuatro bolas azules yuna amarilla.
IMPOSIBLE
Es imposible ser ciego y daltónico.Es imposible que de una bolsa con mil bolitas verdes saques una roja.Es imposible volver el tiempo atrás.Es imposible que la gente deje de tomar alcohol.
Observación: Muchos grupos hicieron frases con ejemplos de dados y bolitasde colores en una bolsa.
Actividad 2:
En los puntos 4 y 5 hubo mucha discusión, incluso fuera del aula. Para algu-nos, en el punto 4 la probabilidad era 1/3 (en tres de doce casos), otros decíantambién 1/3 pero aseguraban que era más probable que salga cara-ceca. En dosde doce casos, contestaron ½ tanto para monedas iguales como para monedasdistintas. Un grupo contestó mal la 4 y bien la 5.
Observación: Les costó analizar el caso de monedas iguales usando monedasdistintas.
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Actividad 3:
En general la contestaron bien. En un curso, un grupo expuso la posibilidadde que fuera 1/3 que pegue en blanco, 1/3 que pegue en color y 1/3 que pegueen el límite de los dos colores.
Actividad 4:
En general la contestaron bien.
Etapa de desarrollo
Hubo veintitrés actividades para resolver usando el enfoque laplaciano. Unode los cursos solo resolvió hasta la 15, por cuestiones de organización escolar.
De las veintitrés actividades, seis fueron resueltas por los veinticinco gruposcorrectamente (actividades 4, 5, 15, 16, 20 y 23).En cinco actividades hubo menos de tres errores (actividades 1, 9, 17, 18 y 21).En dos hubo seis o más errores (12 y 13).No hubo ninguna actividad que todos contestaran mal.
Entre los errores más comunes, podemos destacar:
a) Al contar los resultados posibles, no toman casos distinguibles, dejan-do fuera varios de ellos. Por ejemplo, al tirar dos monedas iguales (enel diagnóstico), en el ejercicio 2 y en el 22 (cuatro hijos), en el 13 (tirartres veces un dado).
b) Al tirar dos o más dados, o dos o más monedas, toman como casos posi-bles la suma de los casos posibles de cada experiencia pensada comoindependiente, por ejemplo, doce casos posibles al arrojar dos dados.
Otras situaciones de error detectadas fueron:
Mala interpretación de la información dada en una tabla, por ejemplo en elejercicio 7, que generó mucha discusión; no entendían la información que lesdaba la tabla. Allí, para calcular la probabilidad de que sea una pregunta de his-
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toria, tomaban 1 de 4, lo mismo para el ítem b). En el 6, incluían en la tabla losdatos de cada carta.
Algunos comentarios:
a) En el ejercicio 19, algunos consideraron al 1 como número primo, otros no.b) En ejercicios donde se les pedían condiciones simultáneas, algunos
intentaron calcularlas de manera independiente, dando dos respuestas.c) En el ejercicio 2, algunos grupos no tomaron en cuenta la condición.
Estrategias que usaron los alumnos:
a) En general observamos que, si se equivocaban en la forma de contaren algún ítem, seguían contando de la misma manera en los demás.
b) Muchos trabajaron con diagramas de árbol y algunos con tablas, para plan-tear los casos. Algunos escribieron exhaustivamente los casos posibles.
La actividad planteada respecto del enfoque frecuencial fue el armado detablas de números al azar, eligiendo la estrategia (entre las presentadas) paraarmarlas. Luego usaron las tablas para “simular” las experiencias de varias delas actividades resueltas, comprobando que la frecuencia relativa era bastantepróxima al resultado teórico. Incluso un grupo propuso calcular la frecuenciausando “todas las tablas juntas” como una sola, obteniendo una buena aproxi-mación para un número de casos bastante mayor. La actividad les resultó nove-dosa y generó mucha participación.
Etapa de evaluación final
Ejercicio 1
A. En esta actividad hubo dos interpretaciones de la consigna:
Los que contestaron que no, pensaron la pregunta referida a los dígitos, ycontestaron, por ejemplo:
• Como hay igual probabilidad de que salga cualquier dígito, deberíanestar todos representados en los distintos grupos.
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• No, porque en cada cuadro de la tabla de números al azar están losnúmeros del 1 al 6.
• No puede ser porque la probabilidad de que caiga un número es dey tirando 400 números es imposible que no salga ni una vez.
Los que contestaron que sí, pensaron la pregunta referida al total de númerosque aparecían en la tabla, por ejemplo:
• Sí, porque como la tabla es de números al azar, puede haber númerosque no hayan salido (tirando dados por ejemplo) o porque un númerosolo esté repetido en los grupos.
• Puede ser porque 400 no es múltiplo de 3.
• Sí, porque los grupos están formados por números del 1 al 6 y porejemplo el 7 no está.
B. Distintos equipos usaron diferentes estrategias para los agrupamientos.Hubo variadas respuestas respecto del número de grupos, pero paridad entre losdos casos en la mayoría de los equipos.
C. Gana Sofía: 1; Igual probabilidad: 22; Gana Manuel: 2.
D. Casi todos los equipos usaron la información del punto anterior, inclusopara argumentar a favor de la respuesta incorrecta, por ejemplo, el que eligióGana Sofía, había obtenido seis grupos con “123” y dos con “256”. Algunoscontestaron que no, porque les debía dar la misma probabilidad y no habíanobtenido el mismo número de grupos.
Aquí detectamos que si bien usaron la tabla correctamente, la mayoría espe-raba el mismo número de grupos para cada uno de los resultados. Esto muestraque no asimilaron con total corrección la noción de frecuencia relativa en rela-ción a la probabilidad.
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E. Posibles formas de hacer el sorteo:Tiramos tres veces un dado; tiramos tres veces una perinola; se meten en un
sombrero papelitos numerados del 1 al 6, se sacan tres papelitos; usando tablasde números al azar; con una ruleta; con los números boca abajo en una mesa.
Ejercicio 2
Algunos armaron los juegos donde cada jugador repetía el mismo esquemade juego, por lo tanto con la misma probabilidad de ganar, por ejemplo:
Juego 1: Todos los jugadores deben tirar los dos dados y gana el que obtiene
un 1 en cualquiera de los dos dados (probabilidad ). En caso de que más de
un jugador obtenga un 1, estos vuelven a tirar los dados y gana el que obtie-ne el número más alto, y así hasta que se llegue a un desempate. Tiene la mismaprobabilidad porque los cuatro jugadores tiran los dos dados, en los que haynúmeros del 1 al 6.
Juego 2: Hay dos grupos, el azul y el rojo; cada persona tira el dado de sucolor una vez. Gana el que tira el número más alto. La probabilidad es igual por-que todos tienen la misma probabilidad de que salga el número mayor.
Juego 3: Hay un tablero y cada chico tiene dos fichas de color azul y rojo; elque llegue más rápido al casillero de salida es el ganador. ¿Quién tiene más pro-babilidad de ganar? Hay la misma probabilidad porque los cuatro chicos tienenla posibilidad de tirar los dos dados y sacar dos números de doce.
Otros calcularon los casos posibles de tirar dos dados y los repartieron entrelos cuatro jugadores. Por ejemplo:
Juego 4: El primer chico ganará si el dado rojo sale 1 o 2. Si sale 2, el azultendrá que ser un número menor que 4. El segundo chico ganará si sale 3 o 2 enel dado rojo. Si sale 2, tendrá que salir en el colorado un número mayor que 3.El tercer chico ganará si sale 4 o 5 en el dado rojo. Si sale 5, tendrá que salir enel azul un número menor que 4. El cuarto ganará si sale 6 o 5 en el dado rojo. Sisale 5, tendrá que salir en el azul un número mayor que 3.
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Juego 5: Cada jugador tira dos dados. Si salen dos números pares, gana eljugador 1; si sale par rojo, impar azul, gana el jugador 2; si salen 2 númerosimpares, gana jugador 3; si sale impar rojo y par azul, gana el jugador 4. Todostienen la misma probabilidad de ganar, ya que hay solo cuatro posibilidades y enlos dados hay la misma posibilidad de que salga impar.
Ejercicio 3
A. Respuesta i: Tres grupos, que argumentan que los casos favorables siem-pre son menos que los posibles.
Respuesta iii: Veinte equipos. Algunas justificaciones:
• Igual cantidad de casos posibles y verdaderos. • Si tiro una moneda con dos caras, siempre va a caer cara.• Por ejemplo la probabilidad de sacar una bolita roja de una bolsa con 10 boli-
tas rojas es de 100%, porque no hay posibilidad de no sacar una bolita roja.• Porque si lanzamos una piedra hacia el cielo es seguro que va a caer
(100% de probabilidad).
Respuesta iv: Dos equipos (uno de ellos dice: “porque la probabilidad estásiempre entre 0 y 1. Además puede ser que te salga el entero o menos que el ente-ro”, lo cual es un argumento a favor de la iii).
B. Respuesta i: Siete equipos. No tienen en cuenta que puede salir por ejem-plo 2-3 y 3-2. Lo consideran un solo caso.
Respuesta iii: Dieciséis equipos. Dedujeron por tabla o esquema que hay nuevecasos posibles e identificaron los pares.
Respuesta iv: Dos equipos. Justifica su respuesta en la formación del 6.
Ejercicio 4
Problemas asociados con juegos:
Problema 1: Cuatro chicos juegan a tirar dos dados: uno azul y uno rojo.Raúl apuesta $5 a que saldrá 1, 2 o 3 en el dado rojo. Jorge apuesta $5 a que sal-
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drá 1, 2 o 3 en el dado azul. Leo apuesta $5 a que saldrá 4, 5 o 6 en el dado rojo.Migue apuesta $5 a que saldrá 4, 5 o 6 en el dado azul. ¿Es justo que apuestenlo mismo? ¿Por qué?
Problema 2: Tirar un dado y una moneda, y gana el que obtiene un númeropar en el dado y ceca en la moneda. Calcular la probabilidad de ganar.
Problemas relacionados con tablas de números al azar:
Problema 3: Generar cincuenta números con la calculadora con la cifra316259 y contar cuántos son pares y cuántos impares.
Problemas de cálculo de probabilidades:
Problema 4: Si tenés un dado y lo tirás, ¿cuál es la probabilidad de obtenernúmero par?
Problema 5: Hay una bolsa de bolitas. Dentro de la bolsa hay cuarenta boli-tas rojas, cinco naranjas y cinco azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar unabolita naranja? ¿Por qué?
Problema 6: Se eligen dos números del 1 al 10, después los suman, ¿cuál esla probabilidad de que sea un número par?
Problema 7: Se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma delos números sea par y mayor que 6?
Evaluación de la autonomía intelectual
En la etapa diagnóstica
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En la evaluación final
7. CONCLUSIONES
• • •
Durante la implementación de la propuesta, se notó un ambiente participativoy cordial. Si bien al principio los alumnos no estaban totalmente de acuerdo con laselección de quiénes formaban parte de cada equipo, a lo largo de las tres semanasse vio una creciente integración dentro de cada grupo. En todos los casos, losalumnos decidieron el reparto de roles y no los cambiaron posteriormente.Además, había preocupación para que cada uno desempeñara su rol correctamen-te. Por ejemplo, en uno de los grupos, el experto trabajó en casa con su papá; losorganizadores estaban pendientes del orden dentro del grupo, y los alentadores delos tiempos. También prestaron atención a que todos participaran y entendieran.
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Queremos mencionar algunas transferencias realizadas por los alumnos: unode ellos, que debía hacer una lectura en un programa de radio de la escuela, sedio cuenta de que el cuento “Los crímenes de la calle Morgue”, de Edgar AllanPoe, mencionaba el tema de probabilidades, y lo comentó con la profesora. Otroalumno, en general poco aplicado, relacionó los primeros ejercicios con situa-ciones similares que aparecen en la película Black Jack.
Les llamó la atención que la evaluación fuera por equipos, y que no hubierauna evaluación individual. Creemos que esto fomenta la integración social entrelos alumnos, e implica implementar nuevas formas de evaluación, que seancoherentes con el tipo de trabajo propuesto.
Al comenzar el trabajo, algunos alumnos consultaban al docente, mientrasque en la evaluación final trabajaron de manera totalmente independiente; cadaequipo trabajó sin consultar ni pedir nada ni al docente ni a los otros equipos.Este avance se fue dando en forma progresiva.
Se sintieron libres de crear, tanto cuando debían buscar soluciones como a lahora de plantear problemas o juegos y de presentar los resultados. También inter-pretaron libremente las consignas, en general con buen criterio, aun cuandoalgunas se prestaban a diferentes interpretaciones.
Dado que para favorecer la autonomía intelectual es fundamental el inter-cambio de puntos de vista, tratamos de fomentar esto en todas las ocasionesposibles. En las puestas en común hubo debates con autonomía donde cada equi-po trataba de convencer a los otros con sus argumentos. Incluso, en los recreosalgunos alumnos seguían discutiendo sobre preguntas de la propuesta.
Comparando las tablas de evaluación de la autonomía intelectual en las eta-pas diagnóstica y de evaluación final, notamos que mejoraron:
a) mucho: la independencia en la toma de decisiones y la aptitud de escu-char a los demás y comprender sus puntos de vista;
b) medianamente: la insistencia en la búsqueda de una solución que no esaparente de inmediato;
c) poco: la originalidad de enfoque y presentación, la redacción clara yprecisa, la capacidad de argumentar en favor de su propuesta (en estecaso, el cambio fue en la capacidad de argumentar y no en la redacción).
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Se mantuvo sin cambio la aplicabilidad y el realismo de los resultados pro-puestos.
Si bien esta evaluación es subjetiva, creemos que los alumnos han avanzadoen su autonomía, lo cual es importante considerando que es una primera pro-puesta cuya implementación duró tres semanas. De hecho, los alumnos pregun-taron si iban a continuar trabajando de la misma manera, lo que indica que sesintieron cómodos al hacerlo.
Respecto del análisis de los principales errores detectados, en los tres casoscreemos que responden a causas diferentes:
1. Al contar los resultados posibles, no toman casos distinguibles, dejan-do fuera varios de ellos. Si bien es cierto que los alumnos lograron lle-gar a la fórmula laplaciana, muchos de ellos (especialmente en loscasos más complicados de cálculo de probabilidades) persisten enasignar equiprobabilidad a situaciones que no lo son. Este error, bas-tante común por cierto incluso en los adultos, debe ser trabajado conellos desde las diferentes situaciones donde se presentan. De hecho,creemos que retomar la discusión entre los grupos (dado que varios deellos analizaron las situaciones correctamente) puede ser una buenaestrategia para que aquellos que aún no lo lograron finalmente puedanllegar a la noción correcta.
2. Al tirar dos o más dados, o dos o más monedas, toman como casosposibles la suma de los casos posibles de cada experiencia pensadacomo independiente. Esto se da en algunos pocos casos; aquí creemosque la estrategia apropiada es, además de la anterior, trabajar en gru-pos reducidos con aquellos alumnos que persisten en el error.
3. El hecho que no asimilaron con total corrección la noción de frecuen-cia relativa en relación a la probabilidad, creemos, tiene más relacióncon el poco trabajo realizado en esta dirección. Probablemente la pro-puesta fue demasiado abarcativa para el tiempo de implementación. Laestrategia en este caso sería plantear más cantidad de problemas utili-zando tablas de números al azar.
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La estrategia de enseñanza por resolución de problemas resultó una herra-mienta valiosa para que los alumnos recrearan en clase el “hacer matemática”.Ellos se sintieron cómodos, igual que los docentes. Pudieron discutir, compartirsus razonamientos y ser los verdaderos actores de la clase.
Agradecemos a las autoridades de los colegios Cardenal Newman y PlácidoMarín la posibilidad de implementar nuestra propuesta, y al profesor AndrésSmithuis su colaboración.
8. ANEXO - PROPUESTA
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Etapa diagnóstica:
Se trabajó primero una instancia conjunta para revisar el contenido “fraccio-nes” con la siguiente actividad (Propuesta Actividad 1):
Se repartieron las tarjetas. Un alumno comienza leyendo su pregunta, el quetiene la respuesta avisa y pasa a leer su pregunta, y así sucesivamente.
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Se les presentó a los alumnos la siguiente actividad (Propuesta Actividad 2)para resolver en grupo, con el objeto de analizar tanto su autonomía frente a pro-blemas relacionados con un contenido nuevo, como sus conocimientos y erroresasociados con dicho contenido. De esta actividad no hubo puesta en común, yaque se la considera prueba diagnóstica. Se retomará al final de la propuesta.
LECTURA
Cuando soltamos una piedra, y sabemos que va a caer al suelo, cuando que-remos saber qué día de la semana caerá este año nuestro cumpleaños, estamos
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pensando en experiencias (o sucesos) que llamamos deterministas. Son aquéllosen los que sabemos cuál será el resultado, sin necesidad de hacer la experiencia.
Hay otros sucesos de los que no sabemos cuál será, de todos los posibles resul-tados, el que realmente va a ocurrir. Decimos que estos sucesos son aleatorios; esdecir, dependen del azar. Por ejemplo, el resultado al arrojar un dado, o una mone-da, e incluso saber si mañana va a llover o no. A estos sucesos, muchas veces, lespodemos asignar una probabilidad, así como el Servicio Meteorológico Nacionalestima la probabilidad de que mañana llueva.
En el lenguaje usual se usan a menudo expresiones que tienen que ver con laprobabilidad. Por ejemplo, es muy probable que llueva porque está muy nublado.
ACTIVIDAD 1:
Escriban frases que contengan las siguientes expresiones:1. poco probable2. seguro3. posible4. muy probable5. imposible
Pasen las frases a otro equipo, para que éste decida si coincide con cómo usa-ron las expresiones en cada frase.
ACTIVIDAD 2:
Hay algunos ejemplos, entre las situaciones que dependen totalmente del azar,en que resulta sencillo asignar probabilidades. Por ejemplo, al tirar una moneda,la probabilidad de que salga cara es del 50% (o ½), de la misma manera que laprobabilidad de que salga ceca es del 50% (o ½). En otros ejemplos puede ser unpoco más complicado calcular probabilidades. Traten de calcular las siguientesprobabilidades:
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1. que salga un 6 al tirar un dado2. que salga un número par al tirar un dado3. obtener el as de espadas al sacar al azar una carta de un mazo de truco4. que salgan dos caras al tirar juntas dos monedas iguales5. que salgan dos caras al tirar juntas dos monedas distintas
Expliquen en cada caso cómo lo pensaron.
ACTIVIDAD 3:
Esta ventana de vidrio está hecha con vidrios de colores y vidrios transpa-rentes. Si una pelota de golf accidentalmente golpea la ventana, ¿qué probabili-dad hay de que rompa un vidrio de color? Expliquen cómo lo calcularon.
ACTIVIDAD 4:
Todos los dibujos de la página siguiente te muestran unos caminos por losque soltamos hacia abajo unas bolitas. Cuando el camino se bifurca, las bolastoman unas veces un camino y otras veces el otro (al azar). En cada caso, si tira-mos 1000 bolitas, ¿cuántas creen que llegarán a cada salida?
Si tiramos una sola bolita, ¿qué probabilidad tendría de salir por cada una de las salidas?
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Etapa de desarrollo:
En esta etapa los alumnos trabajaron en grupos, resolviendo la propuesta de acti-vidades guiadas. Las actividades fueron armadas para que los alumnos lograran cons-truir la noción de probabilidad. Por un lado, desde un enfoque laplaciano, esto es, unenfoque consistente en reconocer todos los resultados posibles (espacio muestral) ylas situaciones de equiprobabilidad (para poder contar): llegar a la fórmula de Laplacecomo medida de la probabilidad. Por el otro lado, desde un enfoque frecuencial, esdecir, trabajando con tablas de números al azar generadas por los mismos alumnos.
Después de cada una de las actividades se realizó una puesta en común conlos alumnos.
Propuesta Actividad 3
1) Nicolás tiene 2 dados equilibrados.Uno de los dados posee los números 2, 4, 6 y 8. El otro, los números 2, 3, 4 y 5.
Nicolás tira los dos dados al mismo tiempo y suma los números deambas caras.¿Cuál es la probabilidad de obtener suma par? Mostrá tu razonamiento.
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2) En esta tabla aparece la información de los alumnos de una clase de 2 ES.
El profesor elige un alumno de este curso al azar.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea mujer?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea zurdo?c) El profesor elige un alumno al azar y le dice a la clase que el elegido
es zurdo. ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea varón?
3) Una perinola tiene sus caras con los números 1 al 4.La probabilidad de obtener un 4 es 0,1.La probabilidad de obtener un 1 es 0,6.La probabilidad de obtener un 2 es la misma que la de obtener un 3.¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3?
4) En una bolsa solo hay bolitas rojas, azules y verdes.
a) Rosario va a sacar una bolita al azar.Completá la siguiente tabla:
b) Antes de sacar una bolita de la bolsa, Rosario coloca una bolita azulextra. ¿Cuál es el efecto que produce esto al calcular la probabilidad deobtener una bolita roja?
Elegí la respuesta correcta y justificá:
i) La probabilidad de sacar una bolita roja aumenta.
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ii) La probabilidad de sacar una bolita roja disminuye.iii) La probabilidad de sacar una bolita roja se mantiene igual.iv) Es imposible determinar la probabilidad de sacar una bolita roja.
Propuesta Actividad 4
5) Soledad olvidó la clave de la alarma de su casa.Esta clave está formada por una letra seguida de un dígito, por ejemplo D2.
Soledad recuerda que la clave correcta empieza con C, aprieta la tecla C yluego elige cualquier dígito.
¿Cuál es la probabilidad de que Soledad pueda abrir la puerta?
6) Rosario y Tomás tienen 3 cartas, cada una de las cuales tiene un número:2, 3 y 4.Cada uno elige una de sus cartas, y luego suman los números elegidos.En esta tabla están los posibles resultados:
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¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea un número par?¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea un número menor que 6?
7) Una caja contiene tarjetas con una pregunta en cada una. Hay cuatro cate-gorías de preguntas. Cada categoría tiene preguntas fáciles y preguntas difíciles.
La tabla muestra la probabilidad de sacar de la caja una pregunta al azar.
a) Voy a sacar una tarjeta de la caja.i) ¿ Cuál es la probabilidad de que sea una pregunta de historia?ii) ¿ Cuál es la probabilidad de que sea una pregunta fácil?
b) Si en la caja hay 40 cartas, ¿cuántas de estas preguntas son de música?
8) En un juego con dados numerados de 1 a 6, un jugador tira 2 dados equi-librados, uno rojo y otro azul.
El puntaje que se tendrá en cuenta es el mayor de los números que aparezcaal tirar los dos dados.
Por ejemplo si en el dado rojo sale 2 y en el azul sale 4, el puntaje será 4.
a) Armá una tabla para mostrar todos los resultados posibles de este juego.b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6?c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 6?
Propuesta Actividad 5
9) Estas dos ruletas se hacen girar simultáneamente, se suman los puntos obte-nidos en cada una.
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¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 5?
10) Se lanzan dos dados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las caras sea 12?
11) Cuatro cajas contienen, cada una, una bolilla roja (r) y una bolilla blanca(b). Se saca una bolilla de cada urna al azar.¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolillas rojas y una blanca?
12) Suponiendo que la probabilidad del nacimiento de un varón sea la mismaque la del nacimiento de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que, en unafamilia con cuatro hijos, las cuatro sean mujeres?
13) Se tira tres veces un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos veces hayasalido par y una impar?
14) De una familia con tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que dos seanvarones y una mujer?
15) Carolina y Marcos juegan con un dado con las caras numeradas del 1 al 6.¿Cuál de estas apuestas te parece justa? Explicá por qué:
a) Ambos jugadores apuestan $10. Gana Marcos si sale par, gana Carolinasi sale impar.
b) Marcos apuesta $15 y Carolina apuesta $10. Gana Marcos si sale 1, 2o 3; gana Carolina si sale 4, 5 o 6.
c) Marcos apuesta $10 y Carolina el doble. Gana Marcos si sale 1 o 2 yCarolina si sale 3, 4 , 5 o 6.
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Propuesta Actividad 6
16) ¿Cuál es la probabilidad de obtener oro al sacar una carta de una barajaespañola?
17) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar tres monedas?
18) La probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio, ¿puede ser1,5? ¿Por qué?
19) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al tirar un dado?
20) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y una ceca al tirar dosmonedas al aire?
21) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos al lanzardos dados sea múltiplo de 3?
22) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga doshijos de cada sexo?
23) Este es el dibujo de una ruleta con forma de octógono regular.Escribí los números 1, 2 y 3 de tal forma que 1 y 2 tengan la misma probabilidadde salir al girar la ruleta y que 3 tenga menor probabilidad de salir que 1 y 2.
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Propuesta Actividad 7
Los alumnos armaron tablas de números al azar, utilizando distintos métodos:
Tirando un dado y anotando los resultados, armaron tablas de números al azardel 1 al 6, de 400 o 500 números.
Tirando una moneda, generaron tablas de 0 y 1.
Armaron tablas del 0 al 9, con el siguiente método [L.Santaló, 1993]: se eligeun número cualquiera de 6 cifras, se lo eleva al cuadrado, del resultado se tomanlas seis cifras del medio (que van a la tabla), luego se vuelve a elevar este núme-ro al cuadrado, y se eligen las seis cifras del medio.
Luego intercambiaron las tablas, y las usaron para analizar resultados obte-nidos en el cálculo de probabilidades con las frecuencias relativas obtenidas apartir de las tablas (por ejemplo, de obtener un número par al tirar un dado, etc.)
Etapa de evaluación: En esta etapa los alumnos trabajaron en grupos; eldiagnóstico se armó combinando actividades nuevas y retomando algunas de laetapa de desarrollo (Propuesta Actividad 8).
Ejercicio 1
A. En la tabla de números al azar del 1 al 6, armen todos los grupos de tresnúmeros que puedan. De los grupos que armaron, encierren con color aquellos que cumplan la con-dición de que cada número esté en un solo grupo.
B. ¿Puede ser que algunos números no estén en ningún grupo?¿Por qué?
C. Cuenten cuántos grupos quedaron formados. Cuenten cuántos grupos tie-nen el 1, el 2 y el 3. Cuenten cuántos grupos tienen el 2, el 5 y el 6. Anotenlos resultados.
D. Analicen el siguiente juego: Se eligen tres números entre 1 y 6. Luego sehace un sorteo al azar y gana aquél que eligió los tres números sorteados.
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Sofía elige 1, 2 y 3, y Manuel elige 2, 5 y 6. ¿Quién tiene más probabilidadde ganar?
a. Sofíab. Manuelc. Ambos tienen la misma
E. ¿Pueden usar la información que hallaron en “C” para justificar la res-puesta que eligieron en D? ¿Cómo?
F. Encuentren por lo menos dos maneras distintas de hacer el sorteo.
Ejercicicio 2
A. Inventen un juego donde haya que tirar dos dados (uno rojo y uno azul), enel que participen cuatro chicos y todos tengan la misma probabilidad de ganar.
B. Expliquen por qué todos tienen la misma probabilidad de ganar.
C. Pasen el juego (no la explicación) a otro grupo para que ellos analicen siestá bien armado y si es cierto que todos tienen la misma probabilidad deganar, y analicen el juego que les pase otro grupo.
Ejercicio 3
Elijan para cada una de las afirmaciones la respuesta correcta. Expliquen porqué la eligieron, en cada caso:
A. La probabilidad de un suceso siempre es menor al 100%.
i. Verdadera, porque 100% es igual a 1 y la probabilidad siempre es menorque uno.
ii. Falsa, porque la probabilidad no se puede expresar como porcentaje.iii. Falsa, porque 100% es igual a 1 y la probabilidad puede ser 1 (suceso seguro).iv. Verdadera, porque la probabilidad siempre está entre 0 y 1.
B. En el ejercicio donde Rosario y Tomás tienen tres cartas con los números 2,3 y 4, cada uno elige una de sus cartas, y luego suman los números elegidos.
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La probabilidad de que la suma sea un número par es
i. Verdadero, porque los posibles resultados son 4, 5, 6, 7 y 8, y los paresson 4, 6 y 8.
ii. Verdadero, porque cada uno tiene tres cartas.
iii. Falso, porque la probabilidad es .
iv. Falso, porque los posibles resultados son 4, 5, 6, 7 y 8, y no tienentodos la misma probabilidad.
Ejercicio 4
A. Inventen un ejercicio o problema sobre probabilidades, para que otro delos grupos lo tenga que resolver.
B. Antes de pasarlo al otro grupo, escriban cómo lo resolverían ustedes.
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9. ANEXO - TRABAJO DE LOS ALUMNOS
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10. BIBLIOGRAFÍA
• • •
Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997.
Casas, Evaluación de capacidades y valores en la sociedad del conocimiento.Perspectiva didáctica, Santiago de Chile, Arrayán Editores, Chile, 2006.
Friend., M. y Bursuck, W., Alumnos con dificultades. Guía práctica para sudetección e integración, Buenos Aires, Troquel, 1999.
G. Rodríguez, Evaluación en Matemáticas. Una integración de perspectivas,Joaquín Jiménez Rodríguez, Educación Matemática en Secundaria - Síntesis, 1997.
Miguel de Guzmán, Tendencias innovadoras en educación matemática,OMA, 1992.
Gysin, La enseñanza de la noción de probabilidad, disponible en UniversidadVirtual de Quilmes, Universidad Nacional de Quilmes, 2000.
Kamii, Reinventando la aritmética II, Madrid, Aprendizaje Visor, 1994.
Cuenca, Pascual Pérez., Actividades de probabilidad para la enseñanza primaria,en Revista UNO, nro. 5, GRAO, julio de 1995.
Santaló, Luis A., Matemática 2, Buenos Aires, Kapelusz, 1993.
