PRENOS TOPLOTE I MASE sticanje osnovnih znanja u oblasti fenomena prenosa

3 ČASA PREDAVANJA 3 ČASA (RAČUNSKIH) VEŽBI DVA RAČUNSKA KOLOKVIJUMA (2X20 POENA) DVA TESTA IZ TEORIJSKOG DELA (2X10 POENA) AKTIVNOST (2X5 POENA) USMENI ISPIT (3x10 POENA)

GRADIVO

1. KONDUKCIJA 2. KONVEKCIJA 3. ZRAČENJE LITERATURA (UDŽBENICI) 1. M. Djurić, M. Novaković, PRENOS TOPLOTE (u pdf-formatu) 2. B.Đorđević i saradnici, ZBIRKA ZADATAKA IZ TERMODINAMIKE SA TERMOTEHNIKOM (Izdavač Tehnološko - Metalurški fakultet, Beograd)

UVOD U PRENOS TOPLOTE

DEFINISANJE OSNOVNIH POJMOVA

Temperatura - je srazmerna prosečnoj kinetičkoj energiji čestica u okolini tačke u kojoj se izvodi merenje Temperaturno polje - prostor u kome postoji definisana raspodela temperatura Matematički model t- polja - izraz kojim je definisana raspodela tempera-tura u nekom prostoru

u pravouglim koordinatama u cilindričnim koordinatama u sfernim koordinatama Prve tri promenljive odnose se na geometriju, a četvrta se odnosi na vreme.

,z,y,xft 1

,z,,rft 2

,,,rft 3

U zavisnosti od geometrije sistema, opšti oblik matematičkog modela glasi:

,z,y,xft 1pravougli

KOORDINATNI SISTEMI

,z,,rft 2cilindrični

KOORDINATNI SISTEMI

,,,rft 3

KOORDINATNI SISTEMI

sferični

Temperaturni gradijent - razlika temperatura dve izotermske ravni na jediničnom rastojanju u pravcu normale Toplotni fluks - razmenjena toplota u jedinici vremena Gustina toplotnog fluksa - razmenjena toplota u jedinici vremena kroz jediničnu površinu

onnttgrad

oC/m

kW

z,y,xft s1

z,,rft s 2 0t

,,rft s3

KLASIFIKACIJA U ODNOSU NA PROMENU U VREMENU

Stacionarno temperaturno polje (nepromenljivo u vremenu)

Nestacionarno temperaturno polje (promenljivo u vremenu)

,z,y,xft 1

,z,,rft 2

,,,rft 3

0t

JEDNODIMENZIONO DVODIMENZIONO TRODIMENZIONO

,xft 1 0

zt

yt

,y,xft 2 0zt

,z,y,xft 3

KLASIFIKACIJA U ODNOSU NA PROMENU U PROSTORU

Izotermska površina () - povezuje sve tačke iste temperature jednog temperaturnog polja

SLOŽENIJI POJMOVI

Niz izotermskih ravni (1, 2, 3…) presečen jednom ravni a daje niz izotermi u ravni preseka

MEĐUSOBNI ODNOS IZOTERMI I LINIJA KONSTANTNOG FLUKSA Linije konstantnog fluksa normalne su na linije konstantne

temperature (izoterme).

izo-gradijentne ravni čine polje temperaturnih gradijenata

PRENOS TOPLOTE U INDUSTRIJI

PostojePostoje

tri tri elementarnaelementarna nanaččinaina

prenosaprenosa

toplotetoplote: :

••kondukcijakondukcija

((provoprovođđenjeenje), ),

••konvekcijakonvekcija

((prelazprelaz) i ) i

••radijacijaradijacija

((zrazraččenjeenje))

NAČINI PRENOSATOPLOTE

tLAQ

Prenos

toplote

kroz

čvrste

sisteme

(zidove

uređaja

objekata

i sl.). Pogonska

sila

procesa

je

razlika

temperatura

sa

suprotnih

strana

zida. Fluks

je

srazmeran t.

OZNAKE: -

koeficijent

provođenja W/mK,

A - površina m2, L -debljina

zida m,

t - razlika

temperatura

sa

suprotnih

strana

zida

oC, -vreme s.

1. KONDUKCIJA(PROVOĐENJE)

OZNAKE: a -koeficijent

prelaza W/m2K,

A- površina m2, t - razlika

temperatura

sa

suprotnih

strana

zida

oC, -vreme s

tAQ

Prenos

toplote

kroz

tečnosti

i gasove

prenosom

mase

fluida

. Pogonska

sila

procesa

je

razlika

temperatura

fluida

i zida.

Fluks

je

srazmeran t.

2. KONVEKCIJA(PRELAZ)

4ATQ

((=5,67 10=5,67 10--88

W/mW/m22KK4 4 Stefan Stefan BoltzmannBoltzmann--ova ova konstantakonstanta))

Prenos

toplote

putem

elektromagnetnih

talasa, moguć

i kroz bezvazdušne

prostore.

Pogonska sila procesa je apsolutna

temperatura na četvrti stepen. Fluks je srazmeran T4.

OZNAKE: A površina m2,

T apsolutna

temperatura K, vreme s.

3. RADIJACIJA(ZRAČENJE)

tgraddAntdAd

tgraddAdq

FOURIEROV IZRAZ ZA STACIONARNO PROVOĐENJE

dWdddd acconvcondgen

dgen

-

generisana

toplota

dcond

-

toplota

usled

kondukcije

dconv

-

toplota

usled

konvekcije

dac

-

akumulirana

toplota

dW

-

rad

promene

zapremine

dV

ENERGETSKI BILANSZA ELEMENT ZAPREMINE dV

OPŠTA JEDNAČINA

PRENOSA TOPLOTE

dxx

tdydzxtdydz 2

2

dxx

xtdydz

xtdydzd dxx

HdVd gen

xtdydzd x

ytdxdzd y

ztdxdyd z

Generisana

toplota

Toplota

uneta

kondukcijom

u pravcu

osa:

Toplota

izneta

kondukcijom

u pravcu

osa:

H -

specifična generacija po m3

POJEDINI SABIRCI BILANSA

dyy

tdxdzytdxdzd dyy 2

2

dzz

tdxdyztdxdyd dzz 2

2

dxx

tdydzxtdydzd dxx 2

2

Razlika

toplota

unetih

i iznetih

kondukcijom

dzzdyydxxzyx dddddd

dxdydzz

ty

tx

t

2

2

2

2

2

2

dVtd cond2

Toplota

uneta

kovekcijom u pravcu

osa: Toplota

izneta

konvekcijom

u pravcu

osa:

Razlika

toplota

unetih

i iznetih

konvekcijom

Akumulirana

toplota

UdVtcd vac

Rad

promene

zapremine

pdVdW

HdVtcd pac

ZAMENA SVIH ČLANOVA U ENERGETSKI BILANS

dVztw

ytw

xtwcd zyxpconv

raspodela temperatura u pokretnom medijumu, u kome postoji generacija toplote

ztw

ytw

xtw

cHTat

zyxp

2

ztw

rtw

cH

zt

rt

rrtat

zrp2

2

2

2 1

rtw

cH

rtr

rrat

rp

2

21

ALTERNATIVE

OPŠTE JEDNAČINE PRENOSA TOPLOTE

a) U PRAVOUGLIM KOORDINATAMA

b) U CILINDRIČNIM KOORDINATAMA

c) U SFERNIM KOORDINATAMA

KOEFICIJENT TOPLOTNE DIFUZNOSTI

U opštem izrazu za prenos toplote pojavljuje se količnik:

a-

velike vrednosti, brz prolaz toplote kroz sistema-

male vrednosti,

absorbcija

toplote

u sistemu

U kome postoje izvori energije U kome ne postoje izvori energije

pcHtat

2 tat 2

02

pc

Hta 02 ta

SPECIJALNI SLUČAJEVI PRENOSA TOPLOTENESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE U ČVRSTOM SISTEMU

FOURIEROVA JED.

STACIONARAN

PRENOS

TOPLOTE

U ČVRSTOM

SISTEMU

POISSONOVA JED. LAPLACEOVA JED.

U kome postoje izvori energije U kome ne postoje izvori energije

1. Zadata temperatura

10 t,t 2t,Lt

2. Zadat fluks

dx

,dtq

0 dx

,Ldtq

Za

rešavanje

diferencijalnih

jednačina

prenosa

toplote

potrebno

je znati

početne

i granične

uslove.

t1

t2

0 L

t∞1

t∞2

POČETNI I GRANIČNI USLOVI

POČETNI USLOV: t(x,0)=to GRANIČNI USLOVI: t(0,), t(L,

)

,ttdx

,dt 0011

22

t,Ltdx

,Ldt3. Konvektivni uslov

4. Radijacioni uslov

,TTdx

,dt 00 4411

42

42

T,LT

dx,Ldt

t1

t2 t∞2

1 2

0 L

t∞1

PROVODJENJE TOPLOTE

((PrenosPrenos

toplotetoplote

krozkroz

ččvrstevrste

sistemesisteme vibracijamavibracijama

atomaatoma

i i molekulamolekula))

t at bt cto 2 3 .....

PredstavljaPredstavlja

toplotnutoplotnu

karakteristikukarakteristiku

materijalamaterijala. .

JednakJednak

jeje

toplotitoploti

kojakoja

se se provedeprovede

u u jedinicijedinici

vrevre-- menamena

krozkroz

zidzid

debljinedebljine

1 m1 m, , pripri

jedinijediniččnojnoj

razlicirazlici

temperaturatemperatura

nana

njegovimnjegovim

suprotnimsuprotnim

stranamastranama..

Toplotna

provodljivost

odabranih

gasova

i tečnosti

Toplotna

provodljivost

odabranih

metalagradjevinskih i drugih materijala

02

2

2

2

zt

yt

02 t

11 xxzatt

22 xxzatt

MatematiMatematiččkiki

model model kojikoji

se rese reššavaava

glasiglasi::

ZaZa

jednodimenzionojednodimenziono

propro-- vodjenjevodjenje

(u (u pravcupravcu

xx--oseose):):

02

2

2

2

dxtd

xt

1Cdxdt

dxCdt 1

21 CxCt

NakonNakon

pojednostavpojednostav-- ljenjaljenja, , dobijadobija

se:se:

IzIz

prethodneprethodne jj--nene

sledisledi::

ReReššenjeenje

oveove

obiobiččnene

diferencijalnediferencijalne

jj--nene

jeje

zakonzakon promenepromene

temperature u temperature u ravnomravnom

ziduzidu, , kojikoji

predstavljapredstavlja

pravupravu linijuliniju u u tt--xx koordinatamakoordinatama

21 CxCt

2111 CxCt

2212 CxCt

21

211 xx

ttC

21

21122 xx

xtxtC

ZaZa

svakisvaki

konkretankonkretan

primer, primer, potrebnopotrebno

jeje

odreditiodrediti partikularnopartikularno

rereššenjeenje

gornjegornje

jj--nene..

ZamenomZamenom

odgovarajuodgovarajuććihih granigraniččnihnih

uslovauslova

dobijadobija

se se sistemsistem

odod

dvedve

jj--nene

sasa dvedve

nepoznatenepoznate::

Kao reKao reššenjeenje

dobijajudobijaju

se se konstantekonstante::

constCdxdtq 1

21

12

21 ttxxttq

tqR

FourierovFourierov

izrazizraz

zaza

fluksfluks

toplotetoplote

pripri

stacionarnomstacionarnom provodjenjuprovodjenju

((ranijeranije

izvedenizveden) ) primenjenprimenjen

nana

jednoslojanjednoslojan

ravanravan

zidzid

glasiglasi::

zamenazamena

C1C1

n

i iiR

1

n

i ii

nttq

1

11

OtporOtpor

viviššeslojnogeslojnog

zidazida jednakjednak

jeje

zbiruzbiru

pojedinapojedinaččnihnih..

U tom U tom slusluččajuaju, , fluksfluks krozkroz

viviššeslojaneslojan

zidzid

imaima

oblikoblik::

TermiTermiččkiki

otporiotpori

sabirajusabiraju

se se kaokao

i i rednoredno

vezanivezani elektrielektriččnini

otporiotpori..

nR....RRR 21

nR....

RRR1111

21

redni

otpori

paralelni

otpori

U slučaju

kada

se dve

čvrste

površine dodiruju, zbog

prisustva

neravnina, javlja

se i dodatni

otpor, koji

se može definisati:

contact

BAx R

ttq

x

BAcontact q

ttR qqxx

AA B

TT

qqxx

EKSPERIMENTALNO PRAĆENJEKONDUKCIJE

ILUSTRACIJA PROVODJENJA TOPLOTE KROZ METALNU šIPKU

012

22

z

trtr

rrt

11 rrzatt

22 rrzatt

MatematiMatematiččkiki

model u model u cilindricilindriččnimnim koordinatamakoordinatama

glasiglasi::

drdtr

drd

rt 12

OdnosnoOdnosno, , zaza

jednodimenjednodimen-- zionoziono

provodjenjeprovodjenje::

NakonNakon

pojednostavpojednostav-- ljenjaljenja, , dobijadobija

se:se:

IzIz

prethodneprethodne jj--nene

sledisledi::

ReReššenjeenje

oveove

obiobiččnene

diferencijalnediferencijalne

jj--nene

jeje

zakonzakon promenepromene

temperature u temperature u cilindricilindriččnom nom ziduzidu, , kojikoji

predstavljapredstavlja

logaritamskulogaritamsku linijuliniju u u tt--rr koordinatamakoordinatama

..constCdrdtr 1

rdrCdt 1

21 CrlnCt

21 CrlnCt

2111 CrlnCt 2212 CrlnCt

21

211 rlnrln

ttC

21

21122 rlnrln

rlntrlntC

ZaZa

svakisvaki

konkretankonkretan

primer, primer, potrebnopotrebno

jeje

odreditiodrediti

partikularnopartikularno

rereššenjeenje

oveove

jj--nene..

ZamenomZamenom

odgovarajuodgovarajuććihih

granigraniččnihnih

uslovauslova

dobijadobija se se sistemsistem

odod

dvedve

jj--nene

sasa

dvedve

nepoznatenepoznate

ččijeije

jeje

rereššenjeenje::

rC

drdtq 1

12

211

212

rrln

ttrr

CqA

FourierovFourierov

izrazizraz

zaza

fluksfluks

toplotetoplote

pripri

stacionarnomstacionarnom

propro-- vodjenjuvodjenju, , primenjenprimenjen

nana

jednoslojanjednoslojan

cilindarcilindar, , glasiglasi::

ZaZa

ukupnuukupnu

povrpovrššinuinu, , nakonnakon

zamenezamene

C1:C1:

1

22

1rrlnR

n

i ii

i rrlnR

1

12

1

ii

i

n

i

n

rrln

tt

1

1

11

21

OtporOtpor

viviššeslojnogeslojnog

zidazida jednakjednak

jeje

zbiruzbiru

pojedinapojedinaččnihnih..

FluksFluks

toplotetoplote

krozkroz viviššeslojaneslojan

zidzid

imaima

oblikoblik::

I u I u ovomovom slusluččajuaju, ,

termitermiččkiki otporiotpori

sabirajusabiraju

se se kaokao

i i

rednoredno vezanivezani elektrielektriččnini

otporiotpori..

rtr

rrt 2

22 1

01 22

drdtr

drd

r

ZaZa

sferisferiččan an zidzid matematimatematiččkiki

model model provodjenjaprovodjenja

toplotetoplote

u u sferisferiččnimnim

koordinatamakoordinatama glasiglasi::

2112

rdrCdtC

drdtr

21rdrCdt

21 C

rCt

ReReššenjeenje

oveove

diferencijalnediferencijalne jj--nene

predstavljapredstavlja::

11 rrzatt 22 rrzatt

ZaZa

odredjivanjeodredjivanje konstantikonstanti

CC11

i Ci C22

primenjujuprimenjuju

se se odgovarajuodgovarajućći:i:

21

11 C

rCt 2

2

12 C

rCt

21

211 11 r/r/

ttC

21

21122 11

11r/r/

r/tr/tC

PrimenomPrimenom

granigraniččnihnih

uslovauslova

formiraformira

se se sistemsistem dvedve

algebarskealgebarske

jj--nene

sasa

CC11

i Ci C22

kaokao

nepoznatimnepoznatim::

ReReššenjeenje

glasiglasi::

21

rC

drdtq

21

21221

11414

r/r//ttr

rCqA

21

114

1rr

R

IzrazIzraz

zaza

fluksfluks

toplotetoplote

usledusled

staciostacio-- narnognarnog

provodjenjaprovodjenja

krozkroz

sferusferu

glasiglasi::

ZaZa

celucelu povrpovrššinuinu

ćće e bitibiti::

11

114

1iii

n

i rrR

n

i iii

n

rr

tt

1 1

1111

41

UkupanUkupan

termitermiččkiki

otporotpor

viviššeslojneeslojne

sferesfere jednakjednak

jeje

zbiruzbiru

pojedinapojedinaččnihnih

otporaotpora..

FluksFluks

toplotetoplote

krozkroz viviššeslojnueslojnu

sferusferu

imaima

oblikoblik::

TermiTermiččkiki

otporiotpori

sabirajusabiraju se se kaokao

i i rednoredno

vezanivezani

elektrielektriččnini

otporiotpori

i u i u sluslu-- ččajuaju

sfernesferne

geometrijegeometrije::

KadaKada

se se prikaprikažžu u strujnicestrujnice

u u fluidufluidu

krozkroz

kojikoji

jeje babaččenaena

loptalopta, , nana

mestumestu

gdegde

se primese primeććujeuje

se se

efekatefekat

narunaruššavanjaavanja

strujnicastrujnica..

t

t

t t

ttA

A

tt

1

UkolikoUkoliko

se se zidzid

granigraničči i sasa

teteččnonoššćću u iliili

gasomgasom toplotatoplota

sasa

povrpovrššineine

zidazida

prelaziprelazi u fluid.u fluid.

FluksFluks

usledusled

konvekcijekonvekcije

jednakjednak

jeje::

napis

ano

napis

ano nana

drug

idr

ugi n

anaččinin

21mA

1convR

22 mdA

dRconv

1

2

1d

Rconv

2mdA

A1Na Na bazibazi

prethodnoprethodno

izvedenogizvedenog

opopšštegteg

izrazaizraza

zaza

otporotpor

mogumogu

se se izrazitiizraziti

21

2

1

t1 t2

t

t1 2

t tt1 t2

21

21

convcondconv RRRtt

AkoAko

se se zidzid

sasa

obeobe stranestrane

granigraničči i sasa

teteččnonoššćću u iliili gasomgasom, , toplotatoplota

prolaziprolazi sasa

jednejedne stranestrane

zidazida

nana

drugudrugu, , savladavajusavladavajućći i dvadva

konvektivnakonvektivna

i i jedanjedan

konduktivnikonduktivni

otporotpor..

r1r2

r3 r4

1 2 3

t1, 1

t2, 2

PriPri

prolazuprolazu

toplotetoplote

krozkroz

cevcev

pojavljujupojavljuju

se se konvektivnikonvektivni

otporiotpori

sasa

unutraunutraššnjenje

i i spoljaspoljaššnjenje

stranestrane

cevicevi, , kaokao

i i konduktivnikonduktivni

otporiotpori

kojihkojih

imaima

onolikoonoliko kolikokoliko

slojevaslojeva

imaima

cevcev..

δ λt1

t2

1 2

n

i ii

ttq

21

2111

Primenom

principa

sabiranja otpora, na

koje

toplota

naila-

zi

pri

prolazu

kroz

sistem, dobija

se:

ZbirZbir

otporaotpora

jednakjednak

jeje reciproreciproččnojnoj

vrednostivrednosti

koeficijentakoeficijenta prolazaprolaza toplotetoplote

1t

t2

λ1

2

n

i nii

i dddln

d

tt

211

11

211

211

Na Na istiisti

nanaččin in kaokao

kodkod ravnogravnog

zidazida

izraizražžavaava

se se

fluksfluks

usledusled

prolazaprolaza

toplotetoplote krozkroz

cilindricilindriččnene

koordinatekoordinate::

I I ovdeovde

jejesasa

kk oznaoznaččenen

koeficijentakoeficijenta prolazaprolaza toplotetoplote

r2 r1 t2 t

t1

t1

2

λ

Φ

1

2

n

i niii drrd

tt

22

11121

21111

411

IzraIzražžavaava

se se kaokao

pretpret-- hodnohodno, , pripri

ččemuemu

jeje

sasa

kk oznaoznaččen en koeficijentkoeficijent prolazaprolaza toplotetoplote

t t

tt

conv

conv

rad

rad

VrloVrlo

jeje

mogumogućće e dada

se se zidzid nadjenadje

u u okruokružženjuenju

sasa

kojimkojim

razmenjujerazmenjuje

toplotutoplotu

i i konvekcijomkonvekcijom

i i zrazraččenjemenjem..

U tom U tom slusluččajuaju

ukupanukupan koeficijentkoeficijent

prenosaprenosa

toplotetoplote

momožže se e se izrazitiizraziti kaokao

u u nastavkunastavku::

TTATTA radrad44

TTTT

TTArad

rad22

NaimeNaime, , radijacioniradijacioni

fluksfluks

se mose možže e izrazitiizraziti

kaokao

konvektivnikonvektivni::

KadaKada

se se radrad

znazna, , mogumogućće e jeje

odreditiodrediti ukupanukupan

koeficijentkoeficijent

kaokao

sledesledeććii

zbirzbir::

radconvtot

Pri rePri reššavanju avanju praktipraktiččnih problema, nih problema, ččesto se pribegava esto se pribegava zbirnom izrazbirnom izražžavanju avanju koeficijenta prelaza, koeficijenta prelaza, jer se tako rejer se tako reššavnje avnje znatno uproznatno uproššććava.ava.

CeviCevi

TankoviTankovi

OpremaOprema

ParniParni

kotlovikotloviVentilacioniVentilacioni

vodovivodovi

DimnjaciDimnjaci

Ilustracija

uticaja

sloja

opeke

debljine

60mm (kao izolatora) na

k-factor 23 cm debelog

zida

krečnjaka

BezBez

opekeopeke

sistemsistemimaima

kk--faktorfaktor: 1,95 W/m: 1,95 W/m²²KK

((visokivisoki

trotrošškovikovi

energijeenergije))

Sa Sa opekomopekom

sistemsistemimaima

kk--

faktorfaktor: 0,45 W/m: 0,45 W/m²²KK

((niskiniski

trotrošškovikovi

energijeenergije))

Lrrrln

L

ttRRttconviz

212

11

21

21

momožže se e se odreditiodrediti

primeprime-- nom nom izrazaizraza

zaza

fluksfluks

krozkroz

jednoslojanjednoslojan

cilindarcilindar::

r1 r2λ

t1 t2 t∞

RizRiz

RconvRconv

utiutičče e dvojakodvojako

nana

izolovaneizolovane

uredjajeuredjaje

RadiRadi

toga toga potrebnopotrebno

jeje

odreditiodrediti

optimalnuoptimalnu

debljinudebljinu..

r1

r2

α

Φ

λ

Φmax

Φ1

r1 rcr =λ

/ α r2

Φ

02

r

crr

2

crr

ZaZa

sistemsistem

nana slicislici, , vezaveza

izmedjuizmedju

debljinedebljine izolacijeizolacije

i i fluksafluksa

prikazanaprikazana

jeje

nana dijagramudijagramu..

Ukupni troškovi

Investicioni troškovi

Troškovi zbog gubitaka toplote

OptimalnaOptimalnadebljinadebljina

mm ii

nn ii

mm uu

mm

tt rr oo šš kk aa

DakleDakle, , optimalnaoptimalna

debljinadebljina

jeje

onaona

kojakoja

garantujegarantuje

najmanajma-- njinji

zbirzbir

investicionihinvesticionih

i i operativnihoperativnih

trotrošškovakova

nastalihnastalih

tokomtokom

korikoriššććenjaenja

cevovodacevovoda

OptimalnaOptimalnadebljinadebljina

AkoAko

namnam

nana raspolaganjuraspolaganju stojestoje

razlirazliččitiiti

materijalimaterijali ((A,B,CA,B,C……), ), zaza

svakisvaki

se se odreodre-- djujedjuje

optimalnaoptimalna

debljinadebljina..

NajekonomiNajekonomiččnijanija

izolacijaizolacija

jeje apsolutnoapsolutno

najboljanajbolja, , tjtj

onaona

sasa

najninajnižžimim

minimumomminimumom..

[W/mK] jeje

fluksfluks

toplotetoplote

krozkroz

zidzid

debljinedebljine 1 m1 m, , pripri

jedinijediniččnojnoj

razlicirazlici

temperaturatemperatura

nana

njegovimnjegovim

suprotnimsuprotnim

stranamastranama..

= I E

TERMOIZOLACIJA

CENTRALNI GREJAČ

ZAŠTITNI GREJAČ

UZORAK

VODA ZA HLADJENJE

PrimenjujePrimenjuje

se u se u slusluččajuaju

merenjamerenja

lološšihih

provodnikaprovodnika

th

tt

PrimenjujePrimenjuje

se u se u slusluččajuaju

merenjamerenja

lološšihih

provodnikaprovodnika odod

kojihkojih

jeje

mogumogućće e izraditiizraditi

dvadva

jednakajednaka

uzorkauzorka

/2TERMOIZOLACIJA

CENTRALNI GREJAČ

ZAŠTITNI GREJAČ

UZORCI

VODA ZA HLADJENJE

th

tt

U oba navedena slučaja

uzorak

materijala nepoznatog

l oblikuje

se u vidu

jedne

(ili

dve

ploče) određenih

dimenzija. One se sa

jedne strane

izlažu grejanju

(električnim

grejačem

poznate

snage), a sa

druge

hlađenju. Mere se temperature na

suprotnim

stranama

uzorka

i

izračunava

nepoznato

.

KrozKroz

jednujednu

plopločču u prolaziprolazi

ceoceo

fluksfluks

a u a u slusluččajuaju dvedve

plopločče, e, krozkroz

svakusvaku

prolaziprolazi

polovinapolovina..

ht

htttA

Att

22

htht

ttAAtt

L

= 0

= 0

UZORAK ELEKTRIČNI GREJAČth

tt

Primenjuje

se u slučaju

merenja

izolatora

cevnih

vodova

primenom

uređaja

na

slici

th

htth

htrrln

ttLrrln

L

tt

22

1

ElektriElektriččnini

grejagrejačč

jeje

smesmeššten u ten u osuosu

cevicevi

a a toplotatoplota

se se provodiprovodi

radijalnoradijalno..

se se odredjujeodredjuje

primenomprimenom

izrazaizraza::

HLADNJAK

GREJAČČ

th

tt2

SastojiSastoji

se u se u postavljanjupostavljanju

slojasloja

poznatihpoznatih

dimenzijadimenzija

i i poznatogpoznatog

izmeizmeđđu u grejagrejačča a ii

uzorkauzorka. . MerenjemMerenjem

tt nana

tri tri

mestamesta

((kaokao

nana

slicislici) ) odreodređđujeuje

sese

uzorkauzorka..

tt1

thtt

ZaZa

merenjemerenje

praprašškastihkastih

materijalamaterijala koristikoristi

se se uredjajuredjaj

nana

slicislici. U me. U međđuprostoruprostor dvedve

sferesfere

sipasipa

se se

uzorakuzorak, , toplotatoplota provodiprovodi

iziz

centracentra

ka ka

povrpovrššiniini

i mere i mere temperature temperature nana

unutraunutraššnjojnjoj

i i spoljaspoljaššnjojnjoj

povrpovrššiniini..

ht

th

rr

tt11

41

th

httt

rr

4

11

PrimenomPrimenom

izrazaizraza

zaza

fluksfluks

krozkroz

sferisferiččan an zidzid odreodređđujeuje

se se nepoznatonepoznato

K-System

II, apparatus for measuring thermal conductivity, Advanced CAE Technology Inc.

Standard test method for thermal conductivity of plastics by means of a transient line-source method,

according to ASTM D5930-97

FLUXMETERFLUXMETER

PrimeriPrimeri

iziz

žživotinjskog i biljnog carstvaivotinjskog i biljnog carstva

SADASADA

NEK

AD

AN

EKA

DA

SPINOSAURUSSPINOSAURUS

tt∞∞αα

tt∞∞αα

ts

, A

AA

ttss

Atts

Ova Ova slikaslika

pokazujepokazuje

dada

se se ugradnjomugradnjom

rebararebara, , povrpovrššinaina

zidazida

povepoveććala ala zaza

vivišše e odod

dvadva

putaputa::

Srazmerno tomeSrazmerno tome, , fluksfluks

razmenjenerazmenjene

toplotetoplote povepoveććaoao

se se zaza

vivišše e odod

dvadva

putaputa..

DakleDakle, , orebrivanjeorebrivanje

zidovazidova

povepoveććavaava

intenzitetintenzitet razmenerazmene

toplotetoplote

izmeizmeđđu u zidazida

i i okolnogokolnog

fluidafluida

u u smislusmislu

teorijsketeorijske

klasifikacijeklasifikacije, , nana

osnovuosnovu njihovihnjihovih

oblikaoblika

PRIMERI UGRADNJE REBARA NA OPREMI RADI POVEĆANJA POVRŠINE ZA RAZMENU

POPREČNI PRESECI OREBRENIH POVRŠINA I VELIČINE POTREBNE ZA DEFINISANJE

NJIHOVIH GEOMETRIJSKIH KARAKTERISTIKA

ttpdxd conv

0 convx,conddxx,cond dddconvdxx,condx,cond ddd

d2

OZNAKE:OZNAKE:ll --

šširinairina

rebrarebra

c c --

debljinadebljina

rebrarebrattbb

--

t t bazebaze

rebrarebrat t --

t t aktuelnoaktuelno

t t --

t t okolineokoline

UnetaUneta

energijaenergija= = iznetaizneta

energijaenergija::

0 xLdx

cond,x cond,x+dx

conv

tb

Ac

t

lc

02

ttpdx

d cond

02

2 ttp

dxtdAc

tt ttbb

NakonNakon

sresređđivanjaivanja dobijadobija

se se jj--nana

drugogdrugog

redareda::

PovrPovrššinaina presekapreseka

rebrarebra

UvodjenjemUvodjenjem

razlikerazlike

temperaturatemperatura

nana

nanaččin:in:

ObimObim

presekapresekarebrarebra

022

2

adxd

axax eCeCx 21

cApa

DobijaDobija

se se sledesledećći:i:

u u komekome

figurifigurišše e skupskup konstatikonstati

oznaoznaččen en sasa

aa::

KadaKada

se se gornjagornja

jj--nana

rerešši i dobijadobija

se opse opšštiti

integral:integral:

cA/pxax

bee

tttxt

ttAp bc

U U slusluččajuaju

kadakada

jeje

tt-- nana

vrhuvrhu

rebrarebra

jednakojednako

sasa tt--

okolineokoline

dobijadobija

se: se:

1b) 1b) izrazizraz

zaza

fluksfluks::

1a) 1a) izrazizraz

zaza

tt--raspodeluraspodelu::

1. Granični

uslov tt rebravrha

ReReššenjaenja

definidefiniššu u temperaturnitemperaturni

profilprofil

u u rebrurebru

i i fluksfluks toplotetoplote

razmenjenerazmenjene

izmeizmeđđu u rebrarebra

i i okolnogokolnog

fluidafluida::

tb

t

0 Lx

t

Ab

=Ac

D

cA/pxb etttxt

ZA CILINDAR:ZA CILINDAR:

KadaKada

se se t(xt(x)) izraziizrazi

iziz prethodneprethodne

jj--nene

i i

prikaprikažže e grafigrafiččkiki

dobijadobija se se dijagramdijagram

nana

slicislici

PerimetarPerimetar ((obimobim))

tb

t

0 Lx

t

Ab

=Ac

D

KadaKada

se se t(xt(x)) uporediuporedi sasa

promenompromenom

tempetempe--

raturerature

u u idealnomidealnom slusluččajuaju

dobijajudobijaju

se se

dvedve

linijelinije

nana

slicislici ((crvenacrvena

i i plavaplava).).

aLcosh

xLacoshtttxt

b

aLtanhttAp bc

U U slusluččajuaju

kadakada

jeje

fluksfluks nana

vrhuvrhu

rebrarebra

jednakjednak nulinuli

dobijadobija

se:se:

2a) 2a) izrazizraz

zaza

tt--raspodeluraspodelu::

2b) 2b) izrazizraz

zaza

fluksfluks::

2. Granični

uslov 0rebravrha

Maksimalna

toplota

koju

orebrena

površina

daje

okolnom

vazduhu

U IDEALNOM SLUČAJU

(t-

rebra

= t-baze):

Φrebra, max

=α

Arebra

(tb

-t∞

)U REALNOM SLUČAJU

(postoji

raspodela

temp. duž

rebra):

Φrebra

=α

Arebra

[t(x)-t∞

]

= Φrebra

/ Φrebra, max

Za određen broj Za određen broj tipova rebara, tipova rebara, ččija je ija je geometrija poznata, geometrija poznata, izveden je niz izraza izveden je niz izraza

za određivanje njihove za određivanje njihove termitermiččke efikasnosti. ke efikasnosti.

Primeri na slici iz knjige Primeri na slici iz knjige Fundamentals in Heat Fundamentals in Heat

Transfer, Incoprera, de Witt...Transfer, Incoprera, de Witt...

Alternativni naAlternativni naččin je koriin je koriššććenje dijagramaenje dijagrama

podela na segmentepodela na segmente temperature u segmentimatemperature u segmentima

Na osnovu izraNa osnovu izraččunatih tempeunatih tempe-- ratura, moratura, možže se zakljue se zaključčiti daiti da

je prvi snop rebara manje je prvi snop rebara manje efikasan od drugogefikasan od drugog

11 22

MedjutimMedjutim, , povrpovrššinaina

najnajččeeššćće e nemanema

samosamo

jednojedno rebrorebro, pa , pa jeje

odod

veveććegeg

praktipraktiččnognog

znaznaččajaaja

odreditiodrediti

ukupnuukupnu

efikasnostefikasnost

povrpovrššineine

sasa

rebrimarebrima..

= Φtot

/ Φtot, max

Tada je ukupan koeficijent Tada je ukupan koeficijent efikasnosti:efikasnosti:

Oznake su Oznake su kao ranije kao ranije

navedene za navedene za jedno rebrojedno rebro

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xtat

=0 =0

2

2

xtat

t

xx=x1 x=x2

t=t1t=t2

LΦ

jeje

FourierFourier--ova ova jj--nana

zaza

nestacionarnonestacionarno

provodjenjeprovodjenje

toplotetoplote::

U U slusluččajuaju

jednodimenjednodimen-- zionezione

kondukcijekondukcije

ostajeostaje::

ILUSTRACIJA SISTEMAILUSTRACIJA SISTEMA

xttLxza 000

110 ftxxza

220 ftxxza

ParcialnaParcialna

diferencijalnadiferencijalna

jj--nana

zaza

jednodimenzionojednodimenziono nestacionarnonestacionarno

provodjenjeprovodjenje

rereššavaava

se se uzuz

primenuprimenu

sledesledeććihih

uslovauslova::

'YxXYxX,xt

2

2

xtat

YxX,xt

xXYx

xXYx

,xt ''

2

2

2

2

u u viduvidu

proizvodaproizvoda

dvedve

funkcijefunkcije

x"XaYYxX '

xX

x"XaYY'

0

02

2

xXbx"X

YabY'

= -b2

izjednaizjednaččavanjeavanje

sasa

konstantomkonstantom

bxcosCbxsinCxX

eCY ab

32

12

bxcosCbxsinCeC

YxX,xtab

3212

-

MathcadMathcad file calculates transient conduction in file calculates transient conduction in a slab using a finite difference algorithma slab using a finite difference algorithm

Tako su nastale Gurney-Lurie

charts.

Analitičko rešavanje matematičkih modela stacionarnog, a naročito nestacionarnog,

provođenja toplote veoma je složeno.Radi toga, za pojedine geometrije:

ravnu ploču, cilindar i sferu

grafički su prikazane vrednosti temperatura po debljini materijala.

Temperature distribution in a plane wall with thickness 2L Temperature distribution in a plane wall with thickness 2L ((IncroperaIncropera, F.P. and De Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer, , F.P. and De Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer,

SixthSixth Edition, John Wiley & Sons, New York, NY 2006.) Edition, John Wiley & Sons, New York, NY 2006.)

1.1. Temperaturna

raspodela u ravnom zidu

tt

tt0

LBi

1

x/L

2L

0 L x

t = tpoc t

t

1.2. Temperaturnaraspodela u cilindru

r/r0

0 r0r

t = tpoc tt

tt

tt0

LBi

1

1.3. Temperaturnaraspodela u sferi

0 r0 r

t = tpoc

tt

LBi

1

tt

tt0

r/r0

U tom slučaju radi se o tzv.

Heisler

charts.

Analitička rešenja matematičkih modela za pojedine geometrije mogu biti grafički

prikazana tako da omogućavaju određivanje temperature u sredini:

ravne ploče, cilindra i sfere

Centerline temperature as a function of time for a Centerline temperature as a function of time for a plane wall with thickness 2L (plane wall with thickness 2L (IncroperaIncropera, F.P. and , F.P. and De Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer, Sixth De Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer, Sixth Edition, John Wiley & Sons, New York, NY, 2006.)Edition, John Wiley & Sons, New York, NY, 2006.)

tt

ttpoc

00

LaFo

LBi

1

2.1. Temperatura u centru

ravnog zida

2.2. Temperatura u centru

cilindra

tt

ttpoc

00

LaFo

LBi

1

tt

ttpoc

00

LaFo

LBi

1

2.3. Temperatura u centru sfere

tt

ttpoc

00

tt

ttpoc

00

tt

ttpoc

00

UREUREĐĐAJ ZA AJ ZA KONTINUALNO LIVENJEKONTINUALNO LIVENJE

1Bi

CP t t

t tt t t

t

VaVažži i zza sisteme a sisteme kojikoji

prupružžaajuju

malimali

termitermiččkiki

otporotpor, , tete jeje

ceoceo

otporotpor

prenosuprenosu

toplotetoplote

koncentrisankoncentrisan

nana

granigraniččni sloj između ni sloj između telatela

ii

okolinokolinee..

ZaZa

tajtaj

sistemsistem

jeje::

U U takvomtakvom sistemusistemu

tt--

jeje

jednakajednaka

u u svimsvim

njegonjego--

vim vim tataččkamakama

A

LBi

Jean Baptiste

Biot (1774-1862)

KARAKTERISTIČNA DUŽINA U Bi-

KRITERIJUMU JE: L=V/A

Transport Transport nana

ostrvuostrvu

jeje

brzbrz, a , a savladavnjesavladavnje

moramora

gaga

usporavausporava..

ttAddtVcp

op

t

td

VcA

ttdt

o

EnergijaEnergija

kojakoja

napustinapusti

ččvrstovrsto

telotelo

jednakajednaka

jeje energijienergiji

kojakoja

se se preneseprenese

vazduhuvazduhu::

Ova Ova jj--nana

se rese reššavaava

razdvajanjemrazdvajanjem

promenljivihpromenljivih::

Vc

Att

ttlnpo

BiFoVcA

oee

tttt p

ReReššenjeenje glasiglasi::

odnosnoodnosno, , nakonnakon

antilogaritmovanjaantilogaritmovanja::

DrugimDrugim

rereččimaima, , bezdimenzionabezdimenziona

temperaturatemperatura se se menjamenja

eksponencijalnoeksponencijalno tokomtokom

vremenavremena..

22 La

LcFo

p

A

UmestoUmesto

numenume-- ririččkogkog

rereššavanjaavanja, ,

momožže se e se koristitikoristiti dijagramdijagram, op, opšštegteg karakterakaraktera..

( )

BiFoVcA

oee

tttt p

t(τ)

τ

b3 > b2

> b1

b3 b2 b1t∞

to

b

Θ=e-bτ

PonovoPonovo

kokonnstatujemostatujemo

dada

jeje

bezdimenzionabezdimenziona temperaturatemperatura

eksponencijalnoeksponencijalno

zavisnazavisna

odod

vremenavremena..

OPEKAOPEKA

1100oC1000oC

850oC

110oC90oC

40oC

MESO

70oC70oC70oC

70oC 70oC70oC

15oC10oC

5oC

LUBENICA

Primena metode konaPrimena metode konaččnih razlika na renih razlika na reššavaava-- nje diferencijalnih jednanje diferencijalnih jednaččina prenosa toploteina prenosa toplote

NumeriNumeriččko reko reššavanje diferencijalnih javanje diferencijalnih j--na na prenosa toplote svodi se na zamenu prenosa toplote svodi se na zamenu

analitianalitiččkih izvoda numerikih izvoda numeriččkim izvodima, tj. na kim izvodima, tj. na diskretizaciju vremena i prostora (nezavisno diskretizaciju vremena i prostora (nezavisno

promenljivih velipromenljivih veliččina) i temperature (funkcije).ina) i temperature (funkcije).

Zamenom analitiZamenom analitiččkih izvoda numerikih izvoda numeriččkim kim diferencijalne jdiferencijalne j--ne se pretvaraju u algebarske ne se pretvaraju u algebarske

koje se onda lako rekoje se onda lako reššavaju.avaju.

Slojevi po debljini zidaSlojevi po debljini zida

tem

pera

tura

tem

pera

tura

Sledi izraSledi izražžavanje prvog i drugog izvoda avanje prvog i drugog izvoda na numerina numeriččki naki naččinin

Ilustracija diskretizacije prikazana je na Ilustracija diskretizacije prikazana je na slici za najjednostavniji sluslici za najjednostavniji sluččaj:aj:

jednodimenziono provodjenje kroz ravan zid.jednodimenziono provodjenje kroz ravan zid.

Zid se deli na Zid se deli na slojeve. Za slojeve. Za

svaki se pisvaki se pišše e posebna jedna posebna jedna ččina i odredjuje ina i odredjuje

temperatura.temperatura.

xtt

xt

dxdt

23

xtt

xt

dxdt

12

xtt

xt

dxdt

2

13

Izvod unapred

Izvod unatrag

Centralni izvod

dobijaju se primenom dobijaju se primenom konakonaččnih razlikanih razlika

Slojevi po debljini zidaSlojevi po debljini zida

tem

pera

tura

tem

pera

tura

Prvi izvod - alternative

dx

dx/dtdx/dt

dxtd

2

2

Drugi izvod (kao promena prvih izvoda)

Kada se izvod unapred i izvod unatrag Kada se izvod unapred i izvod unatrag izraze numeriizraze numeriččki dobija se:ki dobija se:

1232212

223

2

221 ttt

xxtt

xtt

dxtd

ss

02

2

dxtd

02 11 iii ttt

MatematiMatematiččki model ki model koji se rekoji se reššava je:ava je:

IzraIzražžen numerien numeriččki u ki u opopšštem obliku glasi:tem obliku glasi:

PRIMER NA SLICIPRIMER NA SLICI

Slojevi po debljini zidaSlojevi po debljini zida

tem

pera

tura

tem

pera

tura

02 123 ttt02 234 ttt

02 345 ttt

02 456 ttt

02 567 ttttt11

i ti t77

se ne mogu odrediti; one moraju biti zadate se ne mogu odrediti; one moraju biti zadate kao granikao graniččni uslovni uslov

02

2

2

2

yt

xt

x

y

U tom sluU tom sluččaju treba aju treba numerinumeriččki izraziti jki izraziti j--nu:nu:

ILUSTRACIJA DVODIMENZIONOG SISTEMAILUSTRACIJA DVODIMENZIONOG SISTEMA

022

211

211

y

ttt

x

ttt j,ij,ij,ij,ij,ij,i

041111 j,ij,ij,ij,ij,i ttttt

tj. ako se pri diskretizaciji tj. ako se pri diskretizaciji izjednaizjednačče koraci po e koraci po xx i i yy osi dobija se kraosi dobija se kraćći i

oblik joblik j--ne:ne:

04 2212322123 ,,,,, ttttt

04 3222423133 ,,,,, ttttt

04 5444645355 ,,,,, ttttt

041111 j,ij,ij,ij,ij,i ttttt........................................................

........................................................

02

2

2

2

2

2

zt

yt

xt

Za trodimenzioni sluZa trodimenzioni sluččaj treba numeriaj treba numeriččki ki izraziti sledeizraziti sledećću ju j--nunu::

Za simetriZa simetriččan sistem moguan sistem mogućće je e je raraččunati unati tt u jednom njegovom deluu jednom njegovom delu

200 200 KK1000 K1000 K

02

22

211

211

211

z

ttty

ttt

x

ttt

k,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

0611

1111

k,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

ttttttt

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xtat

=0 =0

2

2

xtat

2

11 2x

tttatt iiii

budi

izraizražžena numeriena numeriččkikittii

budbud

iiibudi t

xatt

xat

2112

21

22

a

x

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xtat

=0

2

112

11 22

y

ttt

x

ttta

tt j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ibud

j,i

izraizražženaena

numerinumeriččkiki

j,i

j,ij,ij,ij,ibud

j,i

ty

ax

a

tty

attx

at

22

112112

221

42

a

x

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xtat

211

211

211

2

22

z

ttty

ttt

x

ttt

att

k,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ibud

k,j,i

izraizražženaena

numerinumeriččkiki

k,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ibud

k,j,i

tz

ay

ax

attz

a

tty

attx

at

222112

112112

2221

62

a

x

iiibudi t

xatt

xat

2112

21

122

xa

0=

On se On se sastojisastoji

u tome u tome dada

se u se u jj--nunu

zaza nestacionarnonestacionarno

jednodimenzionojednodimenziono

provodjenjeprovodjenje::

UvedeUvedeuslovuslov::

TakoTako

dada

se se jj--nana pojednostavipojednostavi

2

11 iibud

ittt

ax

2

2

OnaOna

se se transformitransformišše u e u izrazizraz: : budubudućća a temperaturatemperatura

u u slojusloju

ii jednakajednaka

jeje

aritmetiaritmetiččkojkoj

srednjojsrednjoj

vrednostivrednosti

temperaturatemperatura

u u slojusloju

ispredispred i i izaiza

slojasloja

ii u u sadasadaššnjemnjem

vremenuvremenu::

MoguMogućće e jeje

i i grafigrafiččkoko

prikazivanjeprikazivanje

temperaturnetemperaturne raspodeleraspodele

kaokao

ššto to ćće e bitibiti

pokazanopokazano

nana

primeruprimeru::

1

23 4

5

62

1

3 45

6

primenomprimenom

pravilapravila

aritmetiaritmetiččkeke srednjesrednje

vrednostivrednosti

zaza

odredjivanjeodredjivanje

tt--

raspodeleraspodele

nakonnakon

sekundisekundi

1

23 4

5

62

1

3 45

61

23 4

5

6

OdredjivanjeOdredjivanje

tt--

raspodeleraspodele

nakonnakon

2x2x sekundisekundi

PonavljanjemPonavljanjem

postupkapostupka

korakoračča se a se krozkroz

vremevreme

pojam

“Convection”

potiče od kombinacije latinskih reči: cum (zajedno) + vehere (nositi)

KONVEKCIJAprenos

toplote

i mase

u gasnoj

i tečnoj

fazi

Predstavlja

veoma

složen fenomen, vezan

za

istovremeni prenos

mase

i toplote. Dešava

se u fluidima.

U slučaju

prelaza

toplote

sa

fluida

na

čvrst

materijal

(ili obratno) glavni

otpor

nalazi

se neposredno

uz

površinu

tela. U vezi

s tim, pojavljuje

se pojam

graničnog

sloja.

On je u tesnoj vezi sa koeficijentom trenja i koeficijentima prenosa toplote i mase.

U slojevima

fluida

neposredno

uz

zid

toplota

se prenosi kondukcijom. Na isti

način prenosi

se i kroz

fluid, u

posebnim

slučajevima.

UVOD I DEFINISANJE POJMOVA

w∞

w∞

W(x,y)

BRZINSKI GRANIČNI SLOJ

Formiranje brzinskog graničnog sloja nad ravnom pločom i odgovarajuće fizičke veličine:

δ(x) debljina sloja (vrednost y za koju je w=0.99w∞

)w(x,y) brzina sloja fluida u graničnom slojuw∞

-

brzina fluida u slobodnoj strujiws

=0

-

brzina fluida na površini ploče

Formiranje graničnog sloja je posledica trenja koje se izražava preko bezdimenzionog faktora (tzv. Fanning friction factor-

a):

2/wC 2

sf

pri čemu je s

tzv. shear stress, koji za Newtonske fluide glasi:

0ys yw

dinamički viskozitet

∞w∞

T∞

TEMPERATURNI GRANIČNI SLOJ

Razlika

između temperature zida

i fluida

je

pogonska

sila

prelaza

toplote.

t podeljeno

rastojanjem:

t/predstavlja

gradijent.

tt

y

t

tt

Temperaturni gradijentu graničnom sloju

Energija

koja

se provede

kroz

zid

i stigne

do njegove

granice (y = 0) jednaka

je

energiji

koja

se prenese

fluidu

ttyt

0y/L/L

Zaključak: Nu-kriterijum

je

odnos

dva

gradijenta

konduktivni

gradijentkonvektivni

gradijent= Nu

Ltt

yt

L 0y

Fourierov zakon

Energetski bilans za granični sloj

NUSSELTOV KRITERIJUM

∞Concentration boundary

CA,s

Surface concentrationCA(x,y)

Reaktanti A+B

CA,∞

CA,∞

Free stream concentration

KONCENTRACIONI GRANIČNI SLOJ

Formiranje koncentracionog graničnog sloja nad ravnom pločom i odgovarajuće fizičke veličine:

δ(x) debljina sloja (vrednost y za koju je

)CA

(x,y) konc. reaktanta A u graničnom slojuCA,∞

-

konc. reaktanta A u slobodnoj strujiCA,s

(x,y) konc. reaktanta A na površini ploče

99.0CCCC

,As,A

As,A

Maseni bilans za granični slojMasa

reaktanta A koja

difunduje sa

zida

(y = 0) jednaka

je

masi

koja

se prenese

u struju fluida.

/L/L

Zaključak: Sh-kriterijum

je

odnos

dva

gradijenta

difuzioni

gradijentkonvektivni

gradijent=

,As,AA0y

AAB CCk

yCD

Sh

LCC

yC

DLk

,As,A

0y

A

AB

A

Fickov zakon

SHERWOODOV KRITERIJUM

Pri

strujanju

fluida

preko

horizontalne

ploče, najčešće se formira granični sloj

koji

se sastoji

iz

tri dela:

laminarnog, prelaznog i turbulentnog.

Laminarni i turbulentni delovi graničnog sloja

Do promene režima strujanja (iz laminarnog u turbulentni) dolazi usled poremećaja u kretanju slojeva fluida uzrokovanih različitim faktorima.

Kvantitativno ove fenomene obuhvata tzv. bezdimenzioni Reynoldsov broj:

LwRe

Re-broj predstavlja količnik inercionih i viskoznih sila.

tzv. karakteristična dužina

Ts

Laminarni

xCx

PrelazniTurbulentni

α

(x)

δ

(x)

αδ

w∞

T∞

Zavisnost koeficijenta prelaza toplote od debljine graničnog sloja iznad ravne ploče.

Zanimljiva je analiza vrednosti koeficijenta prelaza toplote u pojedinim delovim graničnog sloja.

U poziciji označenoj sa xc

menja se režim strujanja. Ova lokacija definisana je tzv. kritičnim Rex,c

–brojem.

Za strujanje preko ravne ploče to se dešava pri:

105

<Rex,c

< 3x106

Uobičajenom

prosečnom

vrednošću za slučaj graničnog sloja na ravnoj ploči smatra se:

5cc,x 105xwRe

Očigledno, za svaku geometriju i svaki sistem posebno postoje vrednosti Re-broja, koje određuju prelazak iz jednog režima u drugi.

TEORIJA SLIČNOSTI IBEZDIMENZIONI BROJEVI

lconstcc

bb

aa

www

ttt

Koeficijenti

konvekcije

se mogu odrediti

pomoću tzv. kriterijalnih jednačina sa bezimenzionim brojevima izvedenim primenom teorije sličnosti.

OZNAKE:prim-

eksperimentsekund-

realan

sistem

KONSTANTE SLIČNOSTI

Uvodi

se pojam

konstante

sličnosti

dužinska

brzinska

(kinematska)

temperaturna

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt

zyx

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt

zyx

Za

uspostavljanje

sličnosti

između pojave

u eksperimentalnom

i realnom

sistemu

potrebno

je

da

za

obe

važe isti

matematički

modeli.

Ovde

će biti

primenjen

energetski

bilans.

IZVOĐENJE MATEMATIČKOG MODELA

ZA EKSPERIMENT

ZA REALAN SISTEM

Setimo se ponovo konstatni sličnosti i primenimo ih na sledeći način:

tttt

tt

xw

"xw

x

x wwww

izrazimo sec-parametre pomoću prim-parametara

2

2

2

2

2

2

2 zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt

l

ta

zyxl

twt

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt

zyx

Ova jednačina

izjednačava se sa gornjom jednačinom

za eksperiment

sekund parametre u izraz za realan sistem

1

t 1

ltw 12

l

ta

11 22

l

a

l

tatFo

la

la

22

Poređenjem

energetskog

bilansa

za

eksperiment

i realan sistema

dobija

se:

Izjednačavanjem

gornjih

izraza

dobijaju

se bezdimenzione veličine

nazvane:

KRITERIJUMI SLIČNOSTI

KRITERIJUMI SLIČNOSTI

Pea

lwa

lw

Izjednačavanjem

izraza:

dobija se kriterijum:

112

a

lw

l

ta

l

tw

Primenom

nekih

drugih

jednačina

moguće je

izvesti

i ostale kriterijume

značajne

za

prenos

toplote.

Svaki

bezdimenzioni broj ima fizički smisao koji

je

u vezi sa ukupnim

uslovima strujanja.

Neki od važnijih brojeva već

su pomenuti.

U nastavku je dat pregled bezdimenzionih

brojeva od posebnog značaja za prenos toplote i mase.

FIZIČKI SMISAO

BEZDIMENZIONIH BROJEVA

REYNOLDSOV(odnos inercionih i viskoznih sila)

PRANDTLOV(odnos momenta i toplotne difuznosti)

NUSSELTOV(odnos konvektivnog i konduktivnog

prenosa toplote)

GRASHOFOV(odnos sila potiska i viskoznih sila)

wLRe

ac

Pr p

LNu

2

23

LgtGr

SISTEMATIZACIJA BROJEVAznačajnih za prenos toplote i mase

FOURIEROV(odnos provedene i akumulirane toplote u čvrstom sistemu; bezdimenziono vreme)

BIOTOV(odnos unutrašnjeg otpora čvrstog tela i konvektivnog otpora u graničnom sloju)

PECLETOV(odnos konvektivnog i konduktivnog

prenosa toplote)

SCHMIDTOV(odnos momenta i difuzivnosti mase )

A

LBi

2LaFo

ABDSc

Pe=Re

Pr

STANTONOV(modifikovan Nusseltov broj)

STANTONOV

za prenos mase(modifikovan Sherwoodov broj)

SHERWOODOV(bezdimenzioni gradijent koncentracije na

površini)

RAYLEIGHEV

GRAETZOV

AB

AD

LkSh

LEWISOV(odnos toplotne i masene difuznosti)

PrReNuSt

PrSc

DaLeAB

ScReShStm

Gz=Re

Pr

(D/L)

Ra=Gr Pr

ANALOGIJA IZMEĐU PRENOSATOPLOTE I MASE

Između konvekcije toplote i mase postoji ANALOGIJA

jer ih definišu jednačine istog oblika.

Inženjere posebno interesuju bezdimezioni parametri Cf

, Nu i Sh, pomoću kojih možemo izračunati otpore usled trenja, te koeficijente prenosa toplote i mase.

RefRe2Cf PrRe,fLNu

ScRe,fD

LkShAB

A

OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ANALOGIJU

Jednačine za Nu i Sh broj su u vezi sa brzinom strujanja preko Re broja,

dok parametri Pr i Sc imaju analognu ulogu. Iz toga sledi da

postoji analogija i između vrednosti za Nusseltov i Sherwoodov broj.

U krajnjem, ovo vodi na sledeću vezu između koeficijenata difuzije toplote i mase:

n1pn

ABA)Le(c

)Le(Dka

PrSc

DaAB

Lewisov broj

To znači da se iz poznatog jednog koeficijenta može odrediti drugi, ukoliko je nepoznat.

n≈1/3

Kada se posmatra granični sloj nad ravnom pločom i pretpostavi da je: dp/dx=0, a Pr=Sc=1, sledi:

ShNu2

ReCf :Re

ReSh

ReNu

2Cf m

f StSt2

C

Ovo je poznata jednčina analogije Reynoldsa.

REYNOLDSOVA ANALOGIJA

Analogija postoji i za slučaj dp/dx≈0 kao i većeg opsega Pr i Sc brojeva. Ona se naziva modifikovana Re-analogija, tj. Chilton-

Colburn analogija:

60Pr6.0jPrSt2

Ch

3/2f

3000Sc6.0jScSt2C

m3/2

mf

jh

i jm

predstavljaju tzv. Colburnove faktore za prenos toplote i mase.

MODIFIKOVANA REYNOLDSOVA ANALOGIJA

U odnosu na to da li se dešava na spoljašnjoj strani opreme ili unutar uređaja

postoji:

KLASIFIKACIJA TIPOVA KONVEKCIJE

U odnosu na to da li se dešava spontano ili uz ulaganje energije za pokretanje fluida postoji:

PRIRODNA PRINUDNA

5 m/s5 m/s--3 3 ooCC

36.5 36.5 ooCC

topli

ji sloj

evi

topli

ji sloj

evi

se po

di

se po

dižžuu

U odnosu na to da li fluid menja fazno stanje (ključa ili se kondenzuje), postoji konvekcija:

Veći fluksevi postižu se pri promeni faznog stanja.

U okviru iste vrste konvekcije postoje podpodele, npr.

prema obliku (orijentaciji) površine, tipu površine (rapava ili glatka)

i sl.

FLUIDFLUID

VERTIK

ALN

A PLO

VERTIK

ALN

A PLO

ČČAA

FLUIDFLUID

HORIZONTALNA PLOHORIZONTALNA PLOČČAA

Q =

( ts

- t∞

) A

τ (J)

Φ

=

( ts

- t∞

) A (W)

Koeficijent konvekcije (W/m2K) je fluks toplote koji pređe sa m2

površine zida na fluid pri jediničnoj razlici temperatura između zida i fluida.

On kvantifikuje konvekciju i predstavlja složenu funkciju mnogo promenljivih veličina vezanih za karakteristike fluida i zida i režim strujanja.

OPŠTI OBLIK JEDNAČINE PRELAZA TOPLOTE

NA

= kA

( CA,s

– CA,∞

) A

τ (kmol)

nA

= kA

( CA,s

– CA,∞

) A

(kmol/s)

Koeficijent prenosa mase kA

(m/s)

je fluks mase koja pređe sa m2 površine zida na fluid pri jediničnoj razlici koncentracija (kmol/m3) na

zidu

i u fluidu.

On kvantifikuje konvekciju i predstavlja složenu funkcijuju mnogo promenljivih veličina vezanih za karakteristike fluida i zida i režim strujanja.

OPŠTI OBLIK JEDNAČINE PRELAZA MASE

mA

= kA

( ρA,s

–

ρA,∞

) A

τ (kg)

Koeficijent prenosa

mase

kA

(m/s)

je

fluks

mase

koja pređe sa

m2 površine

zida

na

fluid pri

jediničnoj

razlici

gustina (kg/m3) na

zidu

i u fluidu.

On kvantifikuje

konvekciju

i predstavlja

složenu

funkciju mnogo

promenljivih

veličina

vezanih

za

karakteristike

fluida

i zida

i režim

strujanja.

ALTERNATIVNI OBLIK JEDNAČINE PRELAZA MASE

KONVEKCIJASA SPOLJAŠNJE STRANE

POVRŠINE ZA RAZMENU TOPLOTE

Radi se o računanju flukseva toplote i mase prenetih sa površine na fluid u spoljašnjem toku, ili obratno.

Ograničićemo se na sporije strujanje i prinudnu konvekciju (u prisustvu pumpe ili ventilatora) bez promene faznog stanja. Prevashodno, od značaja će biti geometrija sistema, tj. konvekcija pri strujanju preko:

1.

Ravnih površina,

2.

Površina različitih oblika

(pre svega, cilindara i sfera)

1. UVOD I OSNOVNI POJMOVI

Pokazaćemo da se lokalni i srednji koeficijenti konvekcije mogu proceniti primenom korelacija:

1.

ZA PRENOS TOPLOTE Pr,Re,xfNu xx

2.

ZA PRENOS MASE Sc,Re,xfSh xx

U obe korelacije x-

označava karakterističnu dužinu.

Pri rešavanju problema moguća su dva pristupa:

1.

Eksperimetalni (tj.empirijski) i

2.

Teorijski koji podrazumeva rešavanje odgovarajućih

matematičkih modela

Iako se čini jednostavnim, strujanje fluida paralelno sa ravnom pločom susreće se u brojnim primerima.

Podsetimo se izgleda graničnog sloja u ovom slučaju:

1.1.

obojeneobojene

konturekonture

izotermiizotermi,,2.2.

hidrodinamihidrodinamiččkiki

granigraniččnini

slojsloj

((belabela

linijalinija

jeje

ivicaivica))

xxCC LL

2. STRUJNJE PREKO RAVNIH POVRŠINA

LOKALNI KOEFICIJENTI

Lokalni koeficijent frikcije:

Lokalni Nusseltov broj :

Lokalni Sherwoodov broj:

2/1x2

x,sx,f Re664.0

2/wC

6.0PrPrRe332.0xNu 3/12/1xx

6.0ScScRe332.0D

xkSh 3/12/1x

AB

Ax

2.1. STRUJANJE PREKO IZOTERMNE RAVNILAMINARNO STRUJANJE

SREDNJI KOEFICIJENTI

Srednji koeficijent frikcije:

Srednji Nusseltov broj :

Srednji Sherwoodov broj:

2/1x2

x,sx,f Re328.1

2/wC

6.0PrPrRe664.0xuN 3/12/1xx

6.0ScScRe664.0D

xkhS 3/12/1x

AB

Ax

LOKALNI KOEFICIJENTI

Lokalni koeficijent frikcije:

Lokalni Nusseltov broj :

Lokalni Sherwoodov broj:

8xc,x

5/1xx,f 10ReReRe0592.0C

3000Sc6.0ScRe0296.0ScReStSh 3/15/4xxmx

60Pr6.0PrRe0296.0PrReStNu 3/15/4xxx

2.2. STRUJANJE PREKO IZOTERMNE RAVNI

(TURBULENTNO)

Umesto tople ploče sa konstantnom temperaturom, moguće je da ploča emituje toplotu tako da je konstantan fluks.

LOKALNI KOEFICIJENTI

Za laminarno strujanje:

Za turbulentno strujanje:

6.0PrPrRe453.0Nu 3/12/1xx

60Pr6.0PrRe0308.0Nu 3/15/4xx

2.3. STRUJANJE PREKO PLOČE KOJA EMITUJE KONSTATAN FLUKS TOPLOTE

3/12/1LL PrRe680.0uN

SREDNJI KOEFICIJENT

Srednji Nusseltov broj :

U situaciji mešovitih graničnih uslova problem postaje još složeniji i rešava se integracijom. Npr. koeficijent prenosa toplote

se može dobiti:

Na isti način mogu se odrediti i ostale veličine.

L

xturb

x

0lamL

c

cdxdx

L1 Prelazak lam. u

turb. režim

2.4. STRUJANJE U MEŠOVITIM USLOVIMA

Pri

strujanju

fluida

preko

ravne

ploče, granični

sloj

može da

se podebljava

neograničeno.

PRIMER STRUJANJA

Vrtložno

strujanje

preko

ravne

ploče

Čest slučaj u praksi je kretanje fluida normalno u odnosu na cilindre (cevi) ili sfere.

Formiranje graničnog sloja i odvajanje fluida od površine cilindra prikazano je na slici.

ww vrtlogsredišnja

ravan

granični

sloj

tačka odvajanja

tačka stagnacije

DD

w∞

3. STRUJNJE PREKO POVRŠINA RAZLIČITIH OBLIKA

3.1. STRUJANJE PREKO CILINDARA I SFERA

Karakteristična

dužina

jednaka

je spoljašnjem

prečniku

cevi

ili

sfere

a

Re broj glasi:

Što se tiče brzine slojeva u struji van graničnog sloja i promene pritiska oni su prikazani na slici:

wdwdReD

w∞(x)

Ono se dešava:

oko 80 o kada

je granični

sloj

laminaran,

oko 140 o kada

je granični

sloj

turbulentan

fenomen odvajanja sloja

Koeficijent

otpora

u slučaju

spoljašnjeg

strujanja oko

cilindara

i sfera

određuje

se pomoću

dijagrama

na

slici

STOKESOV STOKESOV ZAKONZAKON

(PUZECE (PUZECE STRUJANJE)STRUJANJE)

PRELAZNIPRELAZNIDEODEO

NEWTONOVNEWTONOVZAKONZAKON

and

cylin

der

and

cylin

der

2wACF

2

fD

I u ovom

slučaju

sila trenja

jednaka

je:

CCff==

6.0PrPrRe15.10Nu 3/12/1DD

7.0PrPrReCduN 3/1mDD

u

kojoj su C i m konstante, određene za svaki pojedinačni sistem, a d je karakteristična dužina.

Koeficijenti

konvekcije se određuju

pomoću kriterijalnih jednačina.

Npr. lokalni Nu-broj u tački Θ=0 glasi:

Za praksu je, međutim, važniji srednji Nu-broj. Hilpert je predložio sledeću jednačinu:

ShD

se dobija kada se Pr zameni sa Sc.

Koeficijent

prelaza

toplote

, izračunava

se i primenom

brojnih drugih raspoloživih

jednačina.

ZA CILINDRE

najpoznatija

je

Churchill-

Bernstein:

ZA SFERE

najpoznatija

je

Whitaker:

403221 060402 .// PrRe.Re.Nu)Re.;Pr.( 800005338070

20.PrRe

5/48/5D

4/13/2

3/12/1D

D 282000Re1

Pr)/4.0(1

PrRe62.03.0uN

Često se sreće strujanje preko snopova cevi (u razmenjivačima toplote) koje su složene na dva načina:

linijskilinijski smaknutismaknuti

3.2. STRUJANJE PREKO SNOPOVA CEVI

Zukauskas je predložio jednu od poznatih kriterijalnih jednačina za snop sa više od 20 kolona:

pri čemu je Re-broj određen za maksimalnu brzinu:

dwRe max

max,D1000 ≤ ≤

2 x 106

500Pr7.0PrPrPrReCuN

4/1

s

36.0mmax,DD

dok se konstante C i m mogu naći u odgovarajućim tablicama.

maksimalna brzina, zavisi od geometrije snopamaksimalna brzina, zavisi od geometrije snopa

SSTT SSTT

SS DD

Linijski i smaknuti raspored bitno se razlikuju u pogledu uslova strujanja koje omogućavaju.

favorizovani pravci strujanja

Radi toga i maksimalne brzine fluida unutar snopa cevi se međusobno razlikuju:

WdS

SWT

Tmax

W)dS(2

SWD

Tmax

za linijski raspored za smaknuti raspored

1.

Precizno utvrditi geometriju sistema,

2.

Specificirati temperaturu i odrediti osobine fluida na toj temperaturi; u slučaju prenosa mase ovo važi i za komponentu B binarnog sistema,

3.

Odrediti Re-broj,

4.

Definisati tip koeficijenta koji se traži (lokalni ili srednji) i

5.

Odabrati odgovarajuću kriterijalnu jednačinu.

3.3. POSTUPAK ODREĐIVANJA KOEFICIJENATA

U SVIM POMENUTIM SISTEMIMA