1

Mtodos para el anlisis descriptivo: Variabilidad

Estadstica

Medidas de Variacin

2

La variacin es la cantidad de dispersin o

separacin que presentan los datos entre s.

Los edificios B estn ms separados que los de grupo

A. La dispersin en B es mayor que en A.

Rango

3

Tal como se vio en las distribuciones de frecuencia, el

rango es el valor que se encuentra restando los valores

mayor y menor de los datos de una muestra con sus

datos ordenados.

menorDatomayorDatoRango

Ejemplo

4

Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse,

desde que se levanta hasta que sale de casa. A lo largo de

10 das hbiles consecutivos, Usted recaba los tiempos

(redondeados a minutos) que se muestra a continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

Ejemplo

5

Para determinar el rango de los tiempos necesario para

arreglarse, los datos se ordenan de menor a mayor

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

Rango = 52 - 29 = 23

6

Rango Intercuartil

13 QQilIntercuartRango

El rango intercuartil se obtiene al restar el primer cuartil

del tercer cuartil.

Esta medida considera la dispersin de la mitad de los

datos; por lo tanto los valores extremos no influyen en los

resultados.

7

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

Para calcular el rango intercuartil del tiempo necesario

para arreglarse antes de salir al trabajo se siguen los

siguientes pasos:

(1))Ordenar de menor a mayor la muestra

(2) Calcular el cuartil 1 y el 3

Muestra de tamao 10 ya ordenada

Ejemplo

Ejemplo

8

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

9

3544

44)8()25.8()4

33()

4

)110(3(

35)3()75.2()4

)11(1()

4

)110(1(

13

3

1

RI

QQRI

vpvpvpvpQ

vpvpvpvpQ

El rango intercuartil consta de 9 numerales

Posicin 3 Posicin 8

Desviacin Media

9

La desviacin media es la media aritmtica de los valores

absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviacin media se representa por

Ejemplo

Media

=++++

=6

Desviacin media

= 26 + 36 + 66 + 86 + 116

5= 2.8

2 3 6 8 11

Varianza y Desviacin Estndar

10

La varianza y la desviacin estndar toman en cuenta

cmo se distribuyen los datos entre s. Estas medidas

evalan la manera en que fluctan los valores respecto

a la media aritmtica (promedio).

Lo anterior la convierte en una fuerte herramienta con

la suficiente confianza para preparar conclusiones y

proyecciones.

11

Varianza

S2 = Varianza

Xi = Dato u observacin

= Media Aritmtica n = Tamao de la muestra

1

)(1

2

2

n

XX

S

n

i

i

La varianza muestral es la suma de los cuadrados de las

diferencias con relacin a la media aritmtica dividida

entre el cuadrado de la muestra menos 1.

12

1

)(1

2

2

n

XX

S

n

i

i

1. Se calcula la media aritmtica

2. A cada dato de la muestra se le resta el valor de media aritmtica

3. El resultado de la resta se eleva al cuadrado

4. Se suman todos los cuadrados obtenidos

5. Dividir el resultado entre total de muestra menos 1

El proceso para calcular la varianza se resume as:

Ejemplo

13

Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse,

desde que se levanta hasta que sale de casa. A lo largo de

10 das hbiles consecutivos, Usted recaba los tiempos

(redondeados a minutos) que se muestra a continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

14

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

Para calcular la varianza de la muestra de los tiempos que

tard en arreglarse por la maana durante 10 das se sigue

el siguiente proceso:

(1) Calcular la media aritmtica

(2) Calcular la varianza

Muestra de tamao 10 ya ordenada

El ordenamiento es opcional

15

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

Datos de la muestra

min6.39

10

396

10

35443140443952432939

10

10

1

X

X

X

x

X ii

El tiempo que tarda

para arreglarse es

aproximadamente

40 minutos cada da

16

Tiempo (x)

Paso 1 Paso 2

29 29 - 40 = -11 (-11)2 = 121

31 31 - 40 = -9 (-9)2 = 81

35 35 - 40 = -5 (-5)2 = 25

39 39 - 40 = -1 (-1)2 = 1

39 39 - 40 = -1 (-1)2 = 1

40 40 - 40 = 0 (0)2 = 0

43 43 - 40 = 3 (3)2 = 9

44 44 - 40 = 4 (4)2 = 16

44 44 - 40 = 4 (4)2 = 16

52 52 - 40 = 12 (12)2 = 144

Sumatoria 414

17

46

9

414

110

414

1

)(

2

2

2

1

2

2

S

S

S

n

XX

S

n

i

i

La varianza es de 46 minutos cuadrados

18

Desviacin Estndar

1

)(1

2

n

XX

S

n

i

i

La desviacin estndar de la muestra es la raz cuadrada

de la varianza.

Ejemplo

19

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

46

1

)(

2

1

2

2

S

n

XX

S

n

i

i

Para calcular la desviacin estndar de la muestra de los

tiempos que tarda en arreglarse por la maana durante 10

das se calcula la raz cuadrada de la varianza

20

7823.6

46

1

)(

2

1

2

S

S

SS

n

XX

S

n

i

i

La desviacin estndar con respecto a la media

aritmtica es de 6.78 minutos por da

21

Coeficiente de Variacin

A diferencia de las medidas que hemos estudiado hasta ahora, el coeficiente de variacin es una indicacin relativa de la variacin. Siempre se expresa en porcentajes, no en trminos de la unidad de medida de los datos estudiados. Mide la dispersin en los datos con relacin a la media. Es ms til cuando se trata de hacer comparaciones entre muestras.

22

100*X

SCV

El coeficiente de variacin se calcula de la

siguiente manera:

Donde:

S = Desviacin estndar

= Media Aritmtica

23

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

min6.39

10

10

1

X

x

X ii

7823.6

1

)(1

2

S

n

XX

S

n

i

i

Para calcular el coeficiente de variacin de la muestra de los

tiempos que tarda en arreglarse por la maana durante 10 das

se divide la desviacin estndar entre la media aritmtica y el

resultado se multiplica por 100.

Ejemplo

24

%96.16

)100)(016956(

)100(40

7823.6

CV

CV

X

SCV

El valor de la media aritmtica es 40

El valor de la desviacin estndar es 6.7823

El coeficiente de variacin es 16.96%

25

Varianza y Desviacin Estndar de

Datos Agrupados

26

27

2 = varianza de la poblacin

=desviacin estndar de la poblacin

f= frecuencia de cada una de las clases

x= punto medio de cada clase

= media de la poblacin

N= tamao de la poblacin

28

El vicepresidente de mercadotecnia de una

cadena de restaurantes de comida rpida est

estudiando el desarrollo de las ventas de las 100

sucursales que se encuentran en el distrito

oriental y ha elaborado la siguiente distribucin de frecuencias para las ventas anuales:

29

Venta (miles) Frecuencia Ventas (miles) Frecuencia

700 - 799 4 1,300 1,399 13

800 - 899 7 1,400 1,499 10

900 - 999 8 1,500 1,599 9

1,000 1,099 10 1,600 1,699 7

1,100 1,199 12 1,700 1,799 2

1,2000 1,299 17 1,800 1,899 1

El vicepresidente desea comparar las ventas del distrito oriental con

las ventas de otros tres distritos del pas. Para llevar a cabo esto,

har un resumen de la distribucin, poniendo especial cuidado en el

acopio de informacin sobre la tendencia central de los datos. En

este captulo analizaremos tambin cmo se puede medir la

variabilidad de una distribucin y, por tanto, cmo obtener una

percepcin mucho mejor de los datos.

30