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Mdulo 1: Modelando sistemas mecnicoscon variedades
Geometra diferencial y Mecnica: Una introduccin
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 1 / 9
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Definicin
Una variedad diferenciable M de dimensin n y de clase C es una
variedadtopolgica de dimensin n tal que existe un sistema de cartas
locales{(U, )}A satisfaciendo:
AU = MPara todo , A tal que U U 6= , la aplicacin
1 : (U U) Rn (U U) Rnes diferenciable de clase C (
difeomorfismo)
Se dice que la coleccin{(U, )}A es un atlaspara la estructura
diferenciablede M
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 2 / 9
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Definicin
Una variedad diferenciable M de dimensin n y de clase C es una
variedadtopolgica de dimensin n tal que existe un sistema de cartas
locales{(U, )}A satisfaciendo:
AU = MPara todo , A tal que U U 6= , la aplicacin
1 : (U U) Rn (U U) Rnes diferenciable de clase C (
difeomorfismo)
Se dice que la coleccin{(U, )}A es un atlaspara la estructura
diferenciablede M
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 2 / 9
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Definicin
Dos atlas {(U, )}A y {(V , )}B sobre M se dice que definen
lamisma estructura diferenciable si la unin define un atlas
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 3 / 9
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Ejemplos
La circunferencia S1
las cartas determinadas por la proyeccin estereogrfica
: S1 {(0, 1)} R, (x , y) = x1 y
: S1 {(0,1)} R, (x , y) = x1 + y
S1 = (S1 {(0, 1)}) (S1 {(0,1)})(S1 {(0, 1), (0,1)}) = R {0} 1 :
R {0} R {0}, 1(t) = 1t
{(S1 {(0, 1)}, ), (S1 {(0,1)}, )} es un atlas de S1
S1 es una variedad diferenciable de dimensin 1
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 4 / 9
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Ejemplos
La circunferencia S1
las cartas determinadas por la proyeccin estereogrfica
: S1 {(0, 1)} R, (x , y) = x1 y
: S1 {(0,1)} R, (x , y) = x1 + y
S1 = (S1 {(0, 1)}) (S1 {(0,1)})
(S1 {(0, 1), (0,1)}) = R {0} 1 : R {0} R {0}, 1(t) = 1t
{(S1 {(0, 1)}, ), (S1 {(0,1)}, )} es un atlas de S1
S1 es una variedad diferenciable de dimensin 1
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 4 / 9
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Ejemplos
La circunferencia S1
las cartas determinadas por la proyeccin estereogrfica
: S1 {(0, 1)} R, (x , y) = x1 y
: S1 {(0,1)} R, (x , y) = x1 + y
S1 = (S1 {(0, 1)}) (S1 {(0,1)})(S1 {(0, 1), (0,1)}) = R {0}
1 : R {0} R {0}, 1(t) = 1t
{(S1 {(0, 1)}, ), (S1 {(0,1)}, )} es un atlas de S1
S1 es una variedad diferenciable de dimensin 1
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 4 / 9
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Ejemplos
La circunferencia S1
las cartas determinadas por la proyeccin estereogrfica
: S1 {(0, 1)} R, (x , y) = x1 y
: S1 {(0,1)} R, (x , y) = x1 + y
S1 = (S1 {(0, 1)}) (S1 {(0,1)})(S1 {(0, 1), (0,1)}) = R {0} 1 :
R {0} R {0}, 1(t) = 1t
{(S1 {(0, 1)}, ), (S1 {(0,1)}, )} es un atlas de S1
S1 es una variedad diferenciable de dimensin 1
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 4 / 9
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Ejemplos
La circunferencia S1
las cartas determinadas por la proyeccin estereogrfica
: S1 {(0, 1)} R, (x , y) = x1 y
: S1 {(0,1)} R, (x , y) = x1 + y
S1 = (S1 {(0, 1)}) (S1 {(0,1)})(S1 {(0, 1), (0,1)}) = R {0} 1 :
R {0} R {0}, 1(t) = 1t
{(S1 {(0, 1)}, ), (S1 {(0,1)}, )} es un atlas de S1
S1 es una variedad diferenciable de dimensin 1
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 4 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
El espacio de configuracin de un sistema mecnico es el espacio
de lasposibles posiciones del sistema mecnico
1 Pndulo simple plano: El espacio de configuracin es S1
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 5 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
El espacio de configuracin de un sistema mecnico es el espacio
de lasposibles posiciones del sistema mecnico
1 Pndulo simple plano: El espacio de configuracin es S1
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 5 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
El espacio de configuracin de un sistema mecnico es el espacio
de lasposibles posiciones del sistema mecnico
1 Pndulo simple plano: El espacio de configuracin es S1
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 5 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
2 Pndulo doble plano: El espacio de configuracin es el toro real
dedimensin 2:
T2 = S1 S1
Ref
Esta variedad tambin sirve para representar las posiciones de
unbrazo articulado con dos articulaciones rotatorias
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 6 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
3 Pndulo esfrico: El espacio de configuracin es la esfera S2 en
R3
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 7 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
4 Segmento rgido en el plano: Espacio de configuracin: R2
S1(variedad de dimensin 3), donde las coordenadas (x , y)
R2representan la posicin del centro de masa y S1 el ngulo
delsegmento respecto del eje horizontal
Este ejemplo sirve para representar el movimiento (simplificado)
deun vehculo (coche, cohete...).
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 8 / 9
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Espacios de configuracin de algunos sistemas mecnicos
5 Movimiento con ligaduras en el plano o en el espacio: Sea P
unabalorio deslizndose sin friccin a lo largo de un alambre rgido C
. Elespacio de configuracin es la curva que representa el alambre
que esuna variedad de dimensin 1. Ms generalmente, podemos
considerar elmovimiento de una partcula restringido a una superfice
S , que serael espacio de configuracin del sistema
Ref
(Modulo 1) Modelando sistemas mecanicos 9 / 9
