MatematikaDiskritTIF4216

PencacahanCounting

Justanintermezzo

Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut

dengan membuat menyusun tally-marks yang berfungsi menghitung

secara diskrit jumlah korban yang nekat

SejarahPencacahanTallyMarks

Egypt Numbers

Greek Numbers

Babylonian Numbers

CasePassword with 6 characters,

consist of letters and numbers

abcdef 123789aaaade 34qwera123fr ............COMBINATION

Kombinatorialcabang matematika untuk

menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua

kemungkinan susunannya

Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan)Misal: Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 atau Perc. 2: p + q hasil

Rule of Product (Kaidah Perkalian)Misal: Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 dan Perc. 2: p x q hasil

Kaidah Dasar Menghitung

Latihan 1

Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 250 laki2 dan 150

perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa

cara memilih satu ketua himpunan?

Solusi: 250 + 150 = 400 cara

Latihan 2Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan

2010, terdapat 300 peminat jaringan dan 100 peminat vision.

Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa

cara memilih dua orang peserta seminar?

Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara

Rule of Sump1 + p2 + … + pn hasil

Rule of Productp1 x p2 x … x pn hasil

Perluasan Kaidah Dasar MenghitungAda n percobaan, masing-masing dengan pi hasil

Latihan 3

Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang.

Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu

kapten tim?

Solusi: 1 + 3 + 4 + 3 = 11 cara

Latihan 4Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4

perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6

bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang?

Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

Soal 1

Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner.

Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Soal 2Password pada sebuah sistem

komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka;

TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang dapat

dibuat?

Pembahasan Soal 1

Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner.

Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28 = 256 cara

8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1

Prinsip InklusiEksklusiKaidah Perkalian & Penjumlahandalam Operasi Himpunan

KasusBerapa banyak kombinasi susunan byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

Prinsip Divide & ConquerINGAT !

A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

|A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

|B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64

|A B| = 128 ?

11******

11******

11******

11******

................

******11

******11

******11

******11

................11****11

A B

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 64 + 64 - 16 = 112

Bentuk khusus Rule of ProductPermutasi

Jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek

Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau

Dan tiga buah wadah berurutan:

Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah-wadah tersebut?

1 2 3

1 2 3

1 2 3

123456

3 x 2 x 1 =3!=6

P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x ... 2 x 1P(n, n) = n !

Permutasi r dari n elemen

Permutasi n obyek

P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1))

P(n, r) = n !(n-r) !

KombinasiJumlah pengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan

Kombinasi r dari n elemen

C(n, r) =

C(n, r) = = P(n, r)r !

n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1))r !

n!r ! (n- r)!

Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:

a. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;b. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;c. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi

B tidak;d. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi

A tidak;e. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;f. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau

B termasuk di dalamnya.

Soal 3

PHP

igeon-

ole

rinciple

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 holes

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

10 pigeonsBila

terdapat n obyek yang diletakkan

pada m buah tempat, dengan

nilai n > m, maka:Paling tidak, satu

tempat berisi lebih dari 1 obyek

GustavLejeuneDirichlet

Dirichlet drawer principlePigeon-holeprinciple

1834

(1805 – 1859)

1.Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama

2.Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama.

3.Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol

Jelaskan!

Case

Hash Function