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CAPITOLO 3• LA LEGGE DI GAUSS
Premessa
• TEOREMA DI GAUSS
• Formulazione equivalente alla legge di Coulomb
• Trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una SIMMETRIA nella
distribuzione delle cariche
• Mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse
(superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 2
Flusso di un campo vettoriale
• Concetto di flusso ricavabile partendo dai FLUIDI:
• Si consideri un fluido in scorrimento
• Definizione di FLUSSO (attraverso una sezione del tubo):
«quantità in volume o portata volumetrica del fluido stesso»
• Flusso MASSIMO: tubo ortogonale alla velocità (o alle linee di corrente)
• Flusso MINIMO (nullo): tubo parallelo alla velocità
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Flusso di un campo vettoriale
• Si consideri la superficie infinitesima 𝒅𝜮, posta in una regione in cui è definito
un campo 𝒗
• Si calcoli il FLUSSO del campo 𝒗 ATTRAVERSO la superficie 𝒅𝜮
𝒅𝜱 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒅𝜮
= 𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮
= 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜮
= 𝒗𝒏 𝒅𝜮
• Dove 𝒅𝜮 = vettore superficie infinitesima
• Modulo: 𝒅𝜮 = area della superficie infinitesima
• Direzione: ෝ𝒖𝒏 (perpendicolare al piano della superficie stessa)
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𝒗𝒗𝒏
ෝ𝒖𝒏
𝜽
𝒅𝚺
Flusso di un campo vettoriale
• Estendendo ad una superficie finita 𝜮
• Suddivisa in tanti elementi infinitesimi 𝒅𝜮𝒊
• Per ciascun elemento, si può calcolare il flusso infinitesimo:
𝒅𝜱 𝒗𝒊 = 𝒗𝒊 ∙ ෝ𝒖𝒊,𝒏 𝒅𝜮𝒊
• Sommando i contributi si ottiene
un INTEGRALE DI SUPERFICIE
𝜱 𝒗 = න𝚺
𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺
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ෝ𝒖𝒏
𝒗
𝜽
Flusso di un campo vettoriale
Estendendo ad una superficie CHIUSA
𝜱 𝒗 = ර𝚺
𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺
Per convenzione, ෝ𝒖𝒏 si orienta verso l’ESTERNO della superficie
• Se 𝒗 è diretto verso l’esterno contributi positivi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 > 𝟎)
FLUSSO «USCENTE»
• Se 𝒗 è diretto verso l’interno contributi negativi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 < 𝟎)
FLUSSO «ENTRANTE»
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ෝ𝒖𝒏
𝒗𝜽
Flusso del campo elettrostatico
• Il concetto introdotto si può definire per
QUALUNQUE CAMPO VETTORIALE
• La parola «FLUSSO» deriva dalle
applicazioni IDRODINAMICHE
• Flusso di materia attraverso una superficie
• Definizione di flusso di un campo vettoriale: CONCETTO MATEMATICO
Nel caso del campo ELETTROSTATICO si considerano sempre
superfici «GAUSSIANE», ovvero superfici chiuse
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La legge di Gauss
Relazione tra il flusso netto del campo elettrico attraverso
una superficie chiusa con la carica racchiusa al suo interno
𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏
𝜺𝟎
𝒊
𝒒𝒊
𝒊𝒏𝒕
• Il flusso del campo elettrico 𝑬 prodotto da un sistema di cariche 𝒒𝒊
attraverso una superficie chiusa 𝚺 è uguale alla SOMMA ALGEBRICA di
tutte le cariche (con segno) contenute ALL’INTERNO della superficie,
divisa per 𝜺𝟎.
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• Somma delle cariche negativa Flusso di 𝑬 negativo
• Somma delle cariche positiva Flusso di 𝑬 positivo
La legge di Gauss
• Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica:
𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏
𝜺𝟎න𝝉
𝒅𝒒
• Integrale esteso al volume 𝝉
racchiuso dalla superficie 𝜮
FORMULAZIONE GENERALE della LEGGE DI GAUSS
𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
Unità di misura per il flusso del campo elettrostatico:
[𝜱] = Volt ∙ metro
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ෝ𝒖𝒏
𝑬𝜽
𝝉 +++
+ ++
𝒒
UNITÀ
DI MISURA
Vm
Dimostrazione della legge di Gauss
• Si consideri la situazione di una carica puntiforme 𝒒
che produce un campo elettrostatico
𝑬 =𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓
• Ci interessa calcolare il contributo del
flusso infinitesimo 𝒅𝜱 𝑬 attraverso una
qualunque superficie orientata nello spazio 𝒅𝚺,
posta a distanza 𝒓 dalla carica
• 𝜽: angolo fra la direzione normale della superficie ෝ𝒖𝒏 e la direzione
ෝ𝒖𝒓 del campo elettrico 𝑬
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𝑬ෝ𝒖𝒏𝜽
𝒅𝚺
𝒒
Dimostrazione della legge di Gauss
• Occorre proiettare 𝒅𝚺 (in blu)
sul piano 𝒅𝚺𝟎 (in arancione)
• 𝒅𝚺𝟎 elemento infinitesimo di superficie
perpendicolare a ෝ𝒖𝒓
• ෝ𝒖𝒓 = versore di 𝒓, che descrive
la distanza della carica 𝒒 dal piano
• Si ottiene dunque:
𝒅𝜱 𝑬 = 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺
=𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺
=𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐𝒅𝚺 𝒄𝒐𝒔𝜽
=𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎
𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐
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𝒅𝚺
ෝ𝒖𝒏
ෝ𝒖𝒓 𝒅𝜮𝟎
𝑬𝜽
𝒒
Dimostrazione della legge di Gauss
• Definizione di ANGOLO SOLIDO
𝒅𝛀 ≡𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐
Corrisponde all’estensione nello spazio del concetto di angolo piano
• Angolo piano:
Angolo sotteso da 𝒅𝒔 rispetto a 𝑶 è dato da
𝒅𝜽 =𝒅𝒔
𝒓
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𝑶
Dimostrazione della legge di Gauss
• Angolo solido
Misura della parte di spazio compresa entro un
fascio di semirette uscenti da 𝑶
• Si consideri l’area di un elemento
di calotta sferica in coordinate polari
𝒅𝜮𝟎 = 𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑫
= 𝒓 𝒅𝜽 𝒓 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝝓 = 𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓
• Quindi:
𝒅𝛀 ≡𝒅𝜮𝟎𝒓𝟐
= 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓
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𝑶
𝑶′ 𝒅𝝓
𝑨
𝑩
𝑫
𝑪
𝒅𝜽
𝜽
𝒅𝜮𝟎
𝒓
𝒅𝛀 NON DIPENDE dal RAGGIO 𝒓
𝑶𝑨 = 𝒓
𝑶′𝑨 = 𝒓𝒔𝒆𝒏 𝜽
Dimostrazione della legge di Gauss
• Per una superficie finita, l’angolo solido è dato dall’integrale:
𝛀 = න𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓
• Integro separatamente in 𝒅𝝓 e in 𝒅𝜽:
𝛀 = න𝟎
𝝅
𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 න𝟎
𝟐𝝅
𝒅𝝓 = 𝟐 ∙ 𝟐𝝅 = 𝟒𝝅
Risultato valido per una superficie di qualsiasi forma che contenga O
• L‘angolo solido sotto cui un punto interno ad una superficie chiusa
vede la superficie è sempre 4p , che è il valore massimo di 𝛀
• Unità di misura dell’angolo solido: STERADIANTE
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Dimostrazione della legge di Gauss
• Ritornando all’espressione del flusso del campo elettrico, si trova che:
𝒅𝜱 𝑬 =𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒅𝛀
• Il flusso di una carica puntiforme
dipende solo dall’ANGOLO SOLIDO
• NON DIPENDE da superficie nè
dalla distanza dalla carica!
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𝒅𝚺𝟎
𝒅Σ
ෝ𝒖𝒏
𝑬
ෝ𝒖𝒏
𝒒
𝒓Tracciando delle semirette da 𝒒 che
definiscono un cono infinitesimo con vertice in
𝒒, il flusso di 𝑬 è lo stesso per qualsiasi
superficie il cui contorno si appoggi sulle
superfici laterali del cono stesso
Dimostrazione della legge di Gauss
• Flusso attraverso una superficie FINITA
𝜱 𝑬 = න𝜮
𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮
=𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎න𝒅𝜴
=𝒒
𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝜴
• 𝛀 = angolo solido sotto cui è visto
il contorno della superficie 𝜮
dalla carica 𝒒
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𝒒
𝜴
𝜮
𝑬ෝ𝒖𝒏
Dimostrazione della legge di Gauss
• Flusso attraverso una superficie CHIUSA
• Caso A: Carica INTERNA
𝜱 𝑬 =𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎ර 𝒅𝛀 =
𝒒
𝜺𝟎
• Caso B: Carica ESTERNA
𝒅𝜱𝟏 𝑬 = 𝑬𝟏 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟏 = −𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴
𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝑬𝟐 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟐 =𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴
𝒅𝜱𝟏 𝑬 + 𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝟎
𝚽 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎
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ෝ𝒖𝒏
𝑬𝜽
𝒒
ෝ𝒖𝒏𝑬𝟐
𝒒
ෝ𝒖𝒏
𝑬𝟏
A
B
𝒅𝜮𝟐
𝒅𝜮𝟏
Dimostrazione della legge di Gauss
• Estendendo al caso di più cariche puntiformi si ottiene:
𝜱 𝑬 =𝟏
𝜺𝟎
𝒊
𝒒𝒊
𝒊𝒏𝒕
• Somma estesa a tutte e sole le CARICHE INTERNE alla superficie 𝜮
• Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica:
𝜱 𝑬 =𝟏
𝜺𝟎න𝝉
𝒅𝒒
• Integrale esteso al volume 𝝉 racchiuso dalla superficie 𝜮
Rappresenta la CARICA TOTALE CONTENUTA ALL’INTERNO della
superficie 𝜮
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Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss
CONSIDERAZIONI:
1. Il campo 𝑬 è generato da TUTTE LE CARICHE, interne ed esterne alla
superficie 𝜮
2. Il flusso del campo attraverso 𝜮 dipende solo dalle cariche INTERNE
3. La dimostrazione della legge di Gauss si basa sul fatto che la dipendenza
del campo elettrico 𝑬 dalla distanza dalla carica va come 𝟏
𝒓𝟐
• La legge di Gauss = formulazione alternativa della legge di Coulomb
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Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss
APPLICAZIONI:
1. Con la legge di Gauss è possibile determinare il campo 𝑬
• Nei casi di ELEVATO GRADO DI SIMMETRIA della distribuzione di carica
(Es. sferica, cilindrica, pian) si individuano superfici chiuse nei cui punti il
campo è parallelo o ortogonale alla superficie stessa
1. Campo PARALLELO alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝟎
contributo nullo
2. Campo PERPENDICOLARE alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬 𝒅𝚺
𝜱 𝑬 = ׯ 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬ׯ 𝒅𝜮 = 𝑬 𝜮 =𝒒
𝜺𝟎
Nel caso della carica puntiforme si ricava 𝑬 =𝒒
𝜺𝟎 𝜮=
𝒒
𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓𝟐
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Esercizio 3.1
• Una carica 𝒒 è distribuita con densità superficiale 𝝈 costante su una superficie
sferica di raggio 𝑹.
1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all’interno
(per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.
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O r
𝑹 P
𝝈
Esercizio 3.2
• Una carica 𝒒 è distribuita con densità di carica volumetrica 𝝆 uniforme nel
volume di una sfera di raggio 𝑹.
1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti
all’interno (per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 22
O r
𝑹 P
𝝆
Riepilogo campo elettrostatico
• Il campo elettrostatico può essere calcolato in 3 MODI DIFFERENTI:
1. Dalla definizione diretta
• Calcolo può implicare 3 integrali di volume
2. Come gradiente del potenziale elettrico
• Calcolo può implicare un integrale (per il calcolo del potenziale) ed
un’operazione di derivazione per ogni componente spaziale
3. Dal teorema di Gauss
• Calcolo più immediato, ma applicabile solo in condizioni
di un elevato grado di simmetria del sistema
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 23
Esercizio 3.3
• Calcolare il campo elettrostatico e
il potenziale elettristatico
generato da una carica distribuita
con densità lineare 𝝀 su un filo
indefinito.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 24
Esercizio 3.4
• Calcolare il campo elettrostatico e il
potenziale elettrostatico
generato da una carica distribuita
con densità superficiale 𝝈
su una lamina isolante.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 25
Esercizio 3.5
• Si considerino due piani indefiniti paralleli, distanti tra loro 𝒅 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, carichi
con densità uniformi 𝝈𝟏 = 𝝈 = 𝟏𝟕. 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 e 𝝈𝟐 = 𝝈/𝟐.
Determinare:
1. Il campo elettrico nello spazio compreso tra i due piani e nello spazio
esterno ai piani;
2. Il potenziale in un punto a distanza 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 dall’origine 𝑶 (posta
nel punto di mezzo tra i due piani), assumendo 𝑽𝑶 = 𝟎.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 26
Esercizio 3.6
• Si consideri un guscio sferico di raggio interno 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e raggio esterno
𝒃 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, caricato con densità uniforme 𝝆 = 𝟏 𝝁𝑪/𝒎𝟑.
1. Determinare l’andamento del campo elettrostatico in tutti I punti dello
spazio, quindi per 𝒓 < 𝒂, 𝒂 < 𝒓 < 𝒃 e 𝒓 > 𝒃, assumento nullo il
potenziale all’infinito.
2. Calcolare il valore del campo elettrostatico per 𝒓 = 𝒃 e per
𝒓 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.
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𝒃
𝝆
O r
𝒂
Esercizio 3.7
• Si considerino due cariche 𝒒𝟏 = 𝟐 𝝁𝑪, posta nell’origine, e 𝒒𝟐 = −𝟔 𝝁𝑪,
posta ad una distanza di 𝟑𝒎 lungo l’asse 𝒚, come in figura.
Determinare:
1. Il potenziale elettrico totale nel punto 𝑷 posto a 𝟒𝒎 lungo l’asse 𝒙.
2. Il lavoro svolto dal campo per portare una carica di prova 𝒒𝟎 = 𝟑 𝝁𝑪
dall’infinito al punto 𝑷.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 28
Esercizio 3.8
• Si consideri una distribuzione rettilinea di carica infinita che genera un campo
di 𝑬 = 𝟒. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 ad una distanza di 𝒅 = 𝟐𝒎, come in figura.
1. Si calcoli la densità di carica lineare 𝝀 della distribuzione.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 29
𝑬
𝒅𝑷
𝝀
Esercizio 3.9
• Si consideri un cubo carico di lato 𝑳 = 𝟏. 𝟒 𝒎 il cui centro sia posto nell’origine
del sistema di riferimento, che genera un campo che vale rispettivamente (a)
𝑬 𝒚 = 𝒃 𝒚 ෝ𝒖𝒚 e (b) 𝑬 𝒙, 𝒚 = −𝒂 ෝ𝒖𝒙 + 𝒄 + 𝒃𝒚 ෝ𝒖𝒚 , con 𝒂 = 𝟒 𝑵/𝑪, 𝒃 =
𝟑 𝑵/𝑪𝒎 e 𝒄 = 𝟔 𝑵/𝑪.
Determinare:
1. Il flusso del campo elettrico attraverso le pareti del cubo nei due casi;
2. La carica racchiusa all’interno del cubo per ciascuno dei due casi.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 30
𝒛
𝒙
𝒚
Esercizio 3.10
• Si considerino due lunghi cilindri coassiali carichi con raggi 𝑹𝟏 = 𝟑 𝒄𝒎 e 𝑹𝟐 =
𝟔 𝒄𝒎. La densità di carica lineare è 𝝀𝟏 = 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 sul cilindro interno e
𝝀𝟐 = −𝟕 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 su quello esterno.
1. Determinare il valore del campo elettrico ad una distanza radiale
(a) 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 e (b) 𝒓 = 𝟖 𝒄𝒎 dall’asse centrale.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 31
Esercizio 3.11
• Una particella dotata di carica 𝒒 e massa 𝒎 si trova in prossimità di un piano
orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme 𝝈 in cui è praticato
un foro circolare di raggio 𝑹 e centro 𝑪.
1. Si calcoli l’altezza 𝒉𝟎 rispetto a 𝑪 del
punto lungo l’asse del foro in cui
la particella è in equilibrio.
2. Se la particella è inizialmente ferma
lungo l’asse ad un’altezza 𝒉𝟎
𝟐rispetto
a 𝑪, osservando che la particella
attraversa il centro del foro,
quale sarà la sua velocità?
(𝒒 = 𝟏 𝒏𝑪, 𝒎 = 𝟏𝒎𝒈, 𝝈 = 𝟏𝝁𝑪
𝒎𝟐, 𝑹 = 𝟏𝒎)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 32
𝑪𝑹
𝒒
𝝈
Esercizio 3.12
• Nel modello di Bohr dell’atomo di Idrogeno, l’elettrone compie un’orbita
circolare di raggio 𝒓 = 𝟎. 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟎𝒎 attorno al protone.
1. Calcolare quanta energia è richiesta per ionizzare l’atomo di idrogeno,
cioè per rimuovere l’elettrone dal nucleo in modo che la separazione sia
effettivamente infinita.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2018 - 2019 33