Priamka a kružnica - EduPage

Priamka a kružnica

treba riešiť sústavu rovníc

rovnica priamky (lineárna) + rovnica kružnice (kvadratická)

zlúčená rovnica → kvadratická

počet riešení sústavy = počet spoločných bodov priamky a kružnice

a, dve riešenia ⇒ dva spoločné body (p ⋂ k = {P1; P2}) ⇒ sečnica

b, jedno riešenie ⇒ jeden spoločný bod (p ⋂ k = {T}) ⇒ dotyčnica

c, nemá riešenie ⇒ nemajú spoločný bod (p ⋂ k = Ø) ⇒ nesečnica (vonkajšia priamka)

sečnica dotyčnica nesečnica

ak je daná kružnica a dotykový bod:

k: (x – u)2 + (y – v)2 = r2; T(x0; y0)

potom rovnica dotyčnice:

t: (x0 – u).(x – u) + (y0 – v).(y – v) = r2

príklad:

Vypočítajte veľkosť tetivy, ktorú vytína kružnica na priamke:

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 25, x = -1 + 7t, y = 5 + t

dosadíme do rovnice kružnice parametrické výrazy

(-1 + 7t – 3)2 + (5 + t – 2)2 = 25

zlúčime čísla v zátvorkách

(7t – 4)2 + (t + 3)2 = 25

umocnime

49t2 – 56t + 16 + t2 + 6t + 9 = 25

zlúčime

50t2 – 50t + 25 = 25

50t2 – 50t = 0

50t(t – 1) = 0

t1 = 0 t2 = 1

x1 = -1 + 7.0 = -1 x2 = -1 + 7.1 = 6

y1 = 5 + 0 = 5 y2 = 5 + 1 = 6

P1 =(-1; 5) P2 =(6; 6)

|P1P2| = √(6 − (−1))2+ (6 − 5)2 = √72 + 12 = √50 ≐ 7,07

Určte rovnicu dotyčnice v danom bode kružnice:

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25, T(-1; yT < 0)

vypočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu – dosadíme do rovnice kružnice

(-1 – 2)2 + (y – 3)2 = 25

(-3)2 + (y – 3)2 = 25

9 + (y – 3)2 = 25

(y – 3)2 = 16 /√

|y – 3| = 4

y – 3 = 4 y – 3 = -4

y1 = 7 y2 = -1

T(-1; -1)

z rovnice kružnice stred: S(2; 3)

TS ⊥ t ⇒ TS⃗⃗⃗⃗ = n𝑡⃗⃗ ⃗ = S – T = (3; 4)

t: 3.x + 4.y + c = 0

3.(-1) + 4.(-1) + c = 0

c = 7

t: 3x + 4y + 7 = 0

Určte hodnotu parametra q tak, aby rovnica qx + 4y – 25 = 0 bola rovnicou dotyčnice ku kružnici

x2 + y2 = 25.

vyjadrime y

qx + 4y – 25 = 0

4y = 25 – qx

25−qx

4 = y

dosadíme do rovnice k

x2 + (25−qx

4)2

= 25

umocníme

x2 + 625−50qx+q2x2

16 = 25 /.16

odstránime zlomok

16x2 + 625 – 50qx + q2x2 = 400

anulujeme rovnicu a vyjmeme x2

x2(16 + a2) – 50ax + 225 = 0

je to kvadratická rovnica s neznámou x a parametrom a

a = 16 + q2 b = -50q c = 225

počet riešení kvadratickej rovnice závisí od D: jedno riešenie ⇔ D = 0

D = b2 – 4ac = (-50q)2 – 4.(16 + q2).225 = 2 500q2 – 14 400 – 900q2 = 1 600q2 – 14 400

1 600q2 – 14 400 = 0

1 600q2 = 14 400

q2 = 14 400

1 600 = 9

|q| = 3

q1 = -3 q2 = 3

t1: -3x + 4y – 25 = 0 t2: 3x + 4y – 25 = 0

Elipsa

analytická geometria: kvadratický útvar, krivka druhého stupňa

euklidovská geometria: kužeľosečka (prienik kužeľovej plochy s rovinu) – rovina nie je rovnobežná ani jednou

stranou kužeľa a nie je kolmá na os

D. Elipsa je množina bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od dvoch vopred daných bodov je konštantný.

Tie dané body sú ohniská a konštantný súčet je dĺžka hlavnej osi.

S – stred ℰ

A, B – hlavné vrcholy ℰ: A, B ∈ ℰ

C, D – vedľajšie vrcholy ℰ: C, D ∈ ℰ

F1, F2 – ohniská ℰ

|AB| = 2a – dĺžka hlavnej osi (a – dĺžka hlavnej polosi)

|CD| = 2b – dĺžka vedľajšej osi

|F1S| = |SF2| = e – lineárna excentricita

V. e2 = a2 – b2

ℰ: S(u; v); a; b – stredová rovnica elipsy:

ℰ: (x−𝑢)2

𝑎2 +(y−𝑣)2

𝑏2 = 1 AB ∥ x (ležatá ℰ)

ℰ: (y−𝑣)2

𝑎2 +(x−𝑢)2

𝑏2 = 1 AB ∥ y (stojatá ℰ)

odstránime zátvorky, prenesieme všetko na jednu stranu, usporiadame → všeobecná rovnica elipsy:

ℰ: A.x2 + B.y2 + C.x + D.y + E = 0 A; B; C; D; E ∈ ℝ

podmienka: A.B > 0 (A a B majú rovnaké znamienka) ∧ A ≠ B (ale rôzne čísla) ∧

∧ BC2 + AD2 – 4ABE > 0

parametrická rovnica elipsy:

ℰ: x = a.cos φ; y = b.sin φ φ ∈ ⟨0; 2π)

súradnice bodov:

AB ∥ x:

A(u – a; v) C(u ; v + b) F1(u – e; v)

B(u + a; v) D(u ; v – b) F2(u + e; v)

AB ∥ y:

A(u; v – a) C(u – b ; v) F1(u; v – e)

B(u; v + a) D(u + b ; v) F2(u; v + e)

príklad:

Napíšte všeobecnú rovnicu elipsy, ak poznáte: a = 10, b = 8, S(2; 4), AB ∥ x

dosadíme do stredovej rovnice údaje

ℰ: (x−2)2

102+

(y−4)2

82 = 1

umocníme zátvorky

x2−4x+4

100+

y2−8y+16

64 = 1 /.1 600

odstránime zlomky

16(x2 – 4x + 4) + 25(y2 – 8y + 16) = 1 600

odstránime zátvorky

16x2 – 64x + 64 + 25y2 – 200y + 400 = 1 600 /-1 600

anulujeme rovnicu a preusporiadame

ℰ: 16x2 + 25y2 – 64x – 200y – 1 136 = 0

Napíšte všeobecnú rovnicu elipsy, ak poznáte: a = 13, e = 12, S(5; -3), AB ∥ y

najprv vypočítame vedľajšiu polos

e2 = a2 – b2 → b = √a2 − e2 = √132 − 122 = 5


ℰ: (x−5)2

52+

(y−(−3))2

132 = 1

umocníme zátvorky

x2−10x+25

25+

y2+6y+9

169 = 1 /.4 225

odstránime zlomky

169(x2 – 10x + 25) + 25(y2 + 6y + 9) = 4 225


169x2 – 1 690x + 4 225 + 25y2 + 150y + 225 = 4 225 /-4 225


ℰ: 169x2 + 25y2 – 1 690x + 150y + 225 = 0

Zistite súradnice stredu S; vrcholov A, B, C, D a ohnísk F1, F2 elipsy, veľkosť polosí a, b a lineárnu excentricitu

e elipsy: ℰ: 5x2 + 8y2 + 18x – 10y – 30 = 0

5x2 + 8y2 + 18x – 10y – 30 = 0

preusporiadame

5x2 + 18x + 8y2 – 10y = 30

vyjmeme vo dvojiciach koeficienty (a iba koeficienty) kvadratických členov

5(x2 +18

5x) + 8(y2 −

10

8y) = 30

doplníme na úplný štvorec (na druhú mocninu dvojčlena)

5(x2 +18

5x + (

9

5)2

) + 8(y2 −5

4y + (

5

8)2

) = 30 + 5.(9

5)2

+ 8.(5

8)2

5(x +9

5)2

+ 8(y −5

8)2

= 30 + 81

5 +

25

8

vydelíme rovnicu s číslom z pravej strany – aby tam ostalo číslo 1

5(x +9

5)2

+ 8(y −5

8)2

= 1 973

40 /:

1 973

40

5(x+

9

5)2

1 973

40

+ 8(y−

5

8)2

1 973

40

= 1

odstránime z čitateľov čísla

(x+

9

5)2

1 973405

+ (y−

5

8)2

1 973408

= 1

ℰ: (x+

9

5)2

1 973

200

+ (y−

5

8)2

1 973

320

= 1

S(−9

5;5

8)

1 973

200>

1 973

320⇒ a = √

1 973

200 b = √

1 973

320

e = √1 973

200−

1 973

320 = √

5 919

1 600

v menovateli zlomku s x-om je väčšia hodnota (a) ⇒ AB ∥ x

A(−9

5− √

1 973

200;5

8) C(−

9

5;5

8+ √

1 973

320) F1(−

9

5− √

5 919

1 600;5

8)

B(−9

5+ √

1 973

200;5

8) D(−

9

5;5

8− √

1 973

320) F2(−

9

5+ √

5 919

1 600;5

8)

Priamka a elipsa


rovnica priamky (lineárna) + rovnica elipsy (kvadratická)


počet riešení sústavy = počet spoločných bodov priamky a elipsy

a, dve riešenia ⇒ dva spoločné body (p ⋂ ℰ = {P1; P2}) ⇒ sečnica

b, jedno riešenie ⇒ jeden spoločný bod (p ⋂ ℰ = {T}) ⇒ dotyčnica

c, nemá riešenie ⇒ nemajú spoločný bod (p ⋂ ℰ = Ø) ⇒ nesečnica (vonkajšia priamka)

sečnica dotyčnica nesečnica

ak je daná elipsa a dotykový bod:

ℰ: (x−𝑢)2

𝑎2 +(y−𝑣)2

𝑏2 = 1; T(x0; y0) ℰ: (y−𝑣)2

𝑎2 +(x−𝑢)2

𝑏2 = 1; T(x0; y0)


t: (x0−𝑢).(x−𝑢)

𝑎2 +(y0−𝑣).(y−𝑣)

𝑏2 = 1 t: (y0−𝑣).(y−𝑣)

𝑎2 +(x0−𝑢).(x−𝑢)

𝑏2 = 1

príklad:

Vypočítajte súradnice priesečníkov elipsy s priamkou: ℰ: 25x2 + 36y2=900𝑏:10x − 9y − 75=0

vyjadrime jednu neznámu z rovnice priamky

10x – 9y – 75 = 0

10x – 75 = 9y

10x−75

9 = y

dosadíme do rovnice elipsy

25x2 + 36(10x−75

9)2

= 900

umocnime

25x2 + 36.100x2−1 500x+5 625

81 = 900

25x2 + 4.100x2−1 500x+5 625

9 = 900 /.9

225x2 + 4.(100x2 – 1 500x + 5 625) = 8 100

225x2 + 400x2 – 6 000x + 22 500 = 8 100

anulujeme rovnicu a zlúčime

625x2 – 6 000x + 14 400 = 0 /:25

25x2 – 240x + 576 = 0

(5x – 24)2 = 0

5x – 24 = 0

5x = 24

x = 24

5 = 4,8 alebo vzorcom

a = 625 b = -240 c = 576

x1,2 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 =

−(−240)±√(−240)2−4.25.576

2.25 =

240±√57600−57600

50 =

240±0

50 =

24

5

má jedno riešenie ⇒ priamka b je dotyčnicou a spoločný bod je dotykový bod

y = 10x−75

9 =

10.24

5−75

9 =

48−75

9 = −

27

9 = -3

T(24

5; −3)

Napíšte rovnicu dotyčnice v bode T elipsy:

x2 + 4y2 – 4x + 32y + 48 = 0, T(xT > 0; -2)

vypočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu – dosadíme do rovnice elipsy

x2 + 4(-2)2 – 4x + 32(-2) + 48 = 0

x2 + 16 – 4x – 64 + 48 = 0

x2 – 4x = 0

dostali sme neúplnú kvadratickú rovnicu – riešime vyňatím

x(x – 4) = 0

x1 = 0 x2 = 4

T(4; -2)

nakoľko iba parametrická rovnica priamky obsahuje súradnice bodu, ktorým prechádza:

𝑡: x = 4 + s1𝑡

y =−2 + s2𝑡

kde smerový vektor dotyčnice je: s (s1; s2)

ak dotyčnica nie je rovnobežná ani jednou z ôs, jednu súradnicu si môžeme zvoliť (nie 0)

nech: s2 = 1

s (s1; 1)

𝑡: x = 4 + s1𝑡

y =−2 + 1. 𝑡= 𝑡 − 2

dosadíme do rovnice elipsy

(4 + s1.t)2 + 4(t – 2)2 – 4(4 + s1.t) + 32(t – 2) + 48 = 0


16 + 8s1.t + s12t2 + 4(t2 – 4t + 4) – 16 – 4s1.t + 32t – 64 + 48 = 0

4s1.t – 16 + s12t2 + 32t + 4t2 – 16t + 16 = 0

preusporiadame

s12t2 + 4t2 + 4s1.t + 16t = 0

vyjmeme vo dvojiciach t2 a t, aby bol iba jeden kvadratický a jeden lineárny člen

t2(s12 + 4) + t(4s1 + 16) = 0

a = s12 + 4 b = 4s1 + 16 c = 0


D = b2 – 4ac = (4s1 + 16)2 – 4.(s12 + 4).0 = (4s1 + 16)2

(4s1 + 16)2 = 0

4s1 + 16 = 0

4s1 = -16

s1 = -4

takže konečný tvar parametrickej rovnice dotyčnice:

𝑡: x =4 − 4𝑡y =−2 + 𝑡 /.4

x = 4 − 4𝑡4y =−8 + 4𝑡

x + 4y = -4

t: x + 4y + 4 = 0

Nájdite rovnicu dotyčnice k elipse x2

30+

y2

24 = 1, ktorá je rovnobežná s priamkou x = -6 + t, y = 5 + 2t.

z parametrickej rovnice priamky určíme smerový vektor: s (1; 2)

priamka, ktorá má byť rovnobežná s danou priamkou, má aj smerový vektor rovnobežný s daným

smerovým vektorom → môžeme aj ten použiť

poznáme smerový vektor dotyčnice ⇒ buď parametrickú, alebo smernicovú rovnicu použijeme

kt = s2

s1 =

2

1 = 2

t: y = 2x + q

treba určiť hodnotu b tak, aby priamka bola dotyčnicou (aby sústava mala jedno riešenie)

dosadíme do upravenej rovnice elipsy → odstránime zlomky

4x2 + 5y2 = 120

4x2 + 5(2x + q)2 = 120

umocníme; odstránime zátvorku; zlúčime členy a anulujeme rovnicu

4x2 + 5(4x2 + 4qx + q2) = 120

4x2 + 20x2 + 20qx + 5q2 = 120

24x2 + 20qx + 5q2 = 120 /-120

24x2 + 20qx + 5q2 – 120 = 0

a = 24 b = 20q c = 5q2 – 120


D = b2 – 4ac = (20q)2 – 4.24.(5q2 – 120) = 400q2 – 480q2 + 11 520 = -80q2 + 11 520

-80q2 + 11 520 = 0 /+80q2

11 520 = 80q2 /:80

144 = q2 /√

12 = |q|

q1 = -12 q2 = 12

t1: y = 2x – 12 t2: y = 2x + 12

Hyperbola


euklidovská geometria: kužeľosečka (prienik kužeľovej plochy s rovinu) – rovina je rovnobežná s dvoma

stranami kužeľa

D. Hyperbola je množina bodov v rovine, ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch vopred daných bodov je

konštantný. Tie dané body sú ohniská a konštantný rozdiel je dĺžka hlavnej osi.

S – stred ℋ

A, B – hlavné vrcholy ℋ: A, B ∈ ℋ

C, D – vedľajšie vrcholy ℋ: C, D ∉ ℋ

F1, F2 – ohniská ℋ

|AB| = 2a – dĺžka hlavnej osi (a – dĺžka hlavnej polosi)

|CD| = 2b – dĺžka vedľajšej osi

|F1S| = |SF2| = e – lineárna excentricita

charakteristický obdĺžnik – A, B, C, D sú stredmi strán charakteristického obdĺžnika

asymptoty (dotyčnica v nekonečne) – uhlopriečky charakteristického obdĺžnika

vnútro (vnútorné body) ℋ – časti roviny, kde sú ohniská (naľavo od ľavej a napravo od pravej vetvy)

V. e2 = a2 + b2

ℋ: S(u; v); a; b – stredová rovnica hyperboly:

ℋ: (x−𝑢)2

𝑎2 −(y−𝑣)2

𝑏2 = 1 AB ∥ x (s vetvami naľavo a napravo)

ℋ: (y−𝑣)2

𝑎2−

(x−𝑢)2

𝑏2 = 1 AB ∥ y (s vetvami nad a pod)

odstránime zátvorky, prenesieme všetko na jednu stranu, usporiadame → všeobecná rovnica hyperboly:

ℋ: A.x2 + B.y2 + C.x + D.y + E = 0 A; B; C; D; E ∈ ℝ

podmienka: A.B < 0 (A a B majú opačné znamienka) ∧

∧ BC2 + AD2 – 4ABE ≠ 0

parametrická rovnica hyperboly:

ℋ: x = 𝑎

cosφ; y = b.tg φ φ ∈ ⟨0; 2π) ∧ φ ≠

𝜋

2;

3𝜋

2

súradnice bodov:

AB ∥ x:

A(u – a; v) C(u ; v + b) F1(u – e; v)

B(u + a; v) D(u ; v – b) F2(u + e; v)

AB ∥ y:

A(u; v – a) C(u – b ; v) F1(u; v – e)

B(u; v + a) D(u + b ; v) F2(u; v + e)

rovnice asymptot:

AB ∥ x: smernice – k𝑎1,𝑎2 = ∓

𝑏

𝑎

a1: b.(x – u) + a.(y – v) = 0 a2: b.(x – u) – a.(y – v) = 0

a1: y = −𝑏

𝑎(x – u) + v a2: y =

𝑏

𝑎(x – u) + v

AB ∥ y: smernice – k𝑎1,𝑎2 = ±

𝑎

𝑏

a1: a.(x – u) – b.(y – v) = 0 a2: a.(x – u) + b.(y – v) = 0

a1: y = 𝑎

𝑏(x – u) + v a2: y = −

𝑎

𝑏(x – u) + v

príklad:

Napíšte všeobecnú rovnicu hyperboly, ktorej hlavná os je rovnobežná s osou x a poznáme: a = 6, b = 8, S(-3; 2)


ℋ: (x−(−3))

2

62 −(y−2)2

82 = 1

umocníme zátvorky

x2+6x+9

36−

y2−4y+4

64 = 1 /.576

odstránime zlomky

16(x2 + 6x + 9) – 9(y2 – 4y + 4) = 576


16x2 + 96x + 144 – 9y2 + 36y – 36 = 576 /-576


ℋ: 16x2 – 9y2 + 96x + 36y – 468 = 0

Napíšte všeobecnú rovnicu hyperboly, ktorej hlavná os je rovnobežná s osou y a: b = 15, e = 17, S(-1; -4)

najprv vypočítame hlavnú polos

e2 = a2 + b2 → a = √e2 − b2 = √172 − 152 = 8


ℋ: (y−(−4))

2

82 −(x−(−1))

2

152 = 1

umocníme zátvorky

y2+8y+16

64−

x2+2x+1

225 = 1 /.14 400

odstránime zlomky

225(y2 + 8y + 16) – 64(x2 + 2x + 1) = 14 400


225y2 + 1 800y + 3 600 – 64x2 – 128y – 64 = 14 400 /-14 400


ℋ: 225y2 – 64x2 + 1 800y – 128x – 10 864 = 0

Zistite súradnice stredu S; vrcholov A, B, C, D a ohnísk F1, F2 hyperboly, veľkosť polosí a, b, lineárnu

excentricitu e hyperboly a napíšte rovnice asymptot: ℋ: 9x2 – 6y2 – 15x – 8y – 20 = 0

9x2 – 6y2 – 15x – 8y – 20 = 0

preusporiadame

9x2 – 15x – 6y2 – 8y = 20

vyjmeme vo dvojiciach koeficienty (a iba koeficienty) kvadratických členov

pozor na znamienko!

9(x2 −15

9x) – 6(y2 +

8

6y) = 20

doplníme na úplný štvorec (na druhú mocninu dvojčlena)

9(x2 −5

3x + (

5

6)2

) – 6(y2 +4

3y + (

2

3)2

) = 20 + 9.(5

6)2

– 6.(2

3)2

9(x −5

6)2

– 6(y +2

3)2

= 20 + 25

4 –

8

3

vydelíme rovnicu s číslom z pravej strany – aby tam ostalo číslo 1

9(x −5

6)2

– 6(y +2

3)2

= 283

12 /:

283

12

9(x−

5

6)2

283

12

– 6(y+

2

3)2

283

12

= 1

odstránime z čitateľov čísla

(x−

5

6)2

283129

– (y+

2

3)2

283126

= 1

ℋ: (x−

5

6 )

2

283

106

– (y+

2

3)2

283

72

= 1

S(5

6; −

2

3) a = √

283

106 b = √

283

72

e = √283

106+

283

72 = √

1 415

216

pred zlomkom s x-om je kladné znamienko ⇒ AB ∥ x

A(5

6− √

283

106; −

2

3) C(

5

6; −

2

3+ √

283

72) F1(

5

6− √

1 415

216; −

2

3)

B(5

6+ √

283

106; −

2

3) D(

5

6; −

2

3− √

283

72) F2(

5

6+ √

1 415

216; −

2

3)

Priamka a hyperbola


rovnica priamky (lineárna) + rovnica hyperboly (kvadratická)


počet riešení sústavy = počet spoločných bodov priamky a hyperboly

a, dve riešenia ⇒ dva spoločné body (p ⋂ ℋ = {P1; P2}) ⇒ sečnica

b, jedno riešenie ⇒ jeden spoločný bod (p ⋂ ℋ = {B})

b1, ak priamka nie je rovnobežná ani jednou z asymptot (p ∦ a1, a2) ⇒ dotyčnica

b2, ak priamka je rovnobežná s jednou z asymptot (p ∥ a1 ∨ a2) ⇒ priamka prechádza ℋ (sečnica)

c, nemá riešenie ⇒ nemajú spoločný bod (p ⋂ ℋ = Ø) ⇒ nesečnica (vonkajšia priamka)

sečnica dotyčnica

prechádza ℋ nesečnica

ak je daná hyperbola a dotykový bod:

ℋ: (x−𝑢)2

𝑎2 −(y−𝑣)2

𝑏2 = 1; T(x0; y0) ℋ: (y−𝑣)2

𝑎2 −(x−𝑢)2

𝑏2 = 1; T(x0; y0)


t: (x0−𝑢).(x−𝑢)

𝑎2 −(y0−𝑣).(y−𝑣)

𝑏2 = 1 t: (y0−𝑣).(y−𝑣)

𝑎2 −(x0−𝑢).(x−𝑢)

𝑏2 = 1

príklad:

Vypočítajte súradnice priesečníkov hyperboly s priamkou: ℋ:y2

16−

x2

9=1

𝑎: 15y − 28x=12

vyjadrime jednu neznámu z rovnice priamky

15y – 28x = 12

15y = 12 + 28x

y = 28x+12

15

aj rovnicu hyperboly upravíme

y2

16−

x2

9 = 1 /.144

9y2 – 16x2 = 144

dosadíme do rovnice hyperboly

9(28x+12

15)2

– 16x2 = 144

umocnime

9.784x2+672x+144

225 – 16x2 = 144

784x2+672x+144

25 – 16x2 = 144 /.25

784x2 + 672x + 144 – 400x2 = 3 600

anulujeme rovnicu a zlúčime

384x2 + 672x – 3 456 = 0 /:96

4x2 + 7x – 36 = 0

a = 4 b = 7 c = -36

x1,2 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 =

−7±√72−4.4.(−36)

2.4 =

−7±√49+576

8 =

−7±25

8 =

↗18

8=

9

4

↘−32

8= −4

má dve riešenia ⇒ priamka a je sečnicou

y1 = 28.x+12

15 =

28.9

4+12

15 =

63+12

15 =

75

15 = 5

y2 = 28.(−4)+12

15 =

−112+12

15 = −

20

3

P1(9

4; 5) P2(−4;−

20

3)

Napíšte rovnicu dotyčnice hyperboly v jej bode:

4y2 – 8x2 = 32, T(xT > 0; 4)

vypočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu – dosadíme do rovnice hyperboly

4.42 – 8x2 = 32

64 – 8x2 = 32 /-32 + 8x2

32 = 8x2 /:8

4 = x2 /√

2 = |x|

x1 = -2 x2 = 2

T(2; 4)


𝑡: x =2 + s1𝑡

y =4 + s2𝑡



nech: s2 = 1

s (s1; 1)

𝑡: x =2 + s1𝑡

y =4 + 1. 𝑡= 4 + 𝑡

dosadíme do rovnice hyperboly

4(4 + t)2 – 8(2 + s1t)2 = 32

umocníme a odstránime zátvorky

4(16 + 8t + t2) – 8(4 + 4s1t + s12t2) = 0

64 + 32t + 4t2 – 32 – 32s1t – 8s12t2 = 0

preusporiadame

-8s12t2 + 4t2 – 32s1.t + 32t + 32 = 0 /:4

vyjmeme vo dvojiciach t2 a t, aby bol iba jeden kvadratický a jeden lineárny člen

t2(-2s12 + 1) + t(-8s1 + 8) + 8 = 0

a = -2s12 + 1 b = -8s1 + 8 c = 8


D = b2 – 4ac = (-8s1 + 8)2 – 4.(-2s12 + 1).8 = 64s1

2 – 128s1 + 64 + 64s12 – 32 = 128s1

2 – 128s1 + 32

128s12 – 128s1 + 32 = 0 /:32

4s12 – 4s1 + 1 = 0

(2s1 – 1)2 = 0 /√

2s1 – 1 = 0

s1 = 1

2

s (1

2; 1) ≈ (1; 2)


𝑡: x = 2 + 𝑡 /. (−2)

y =4 + 2𝑡

−2x =−4 − 2𝑡y = 4 + 2𝑡

-2x + y = 0

t: -2x + y = 0

K danej hyperbole x2

15−

y2

6 = 1 veďte dotyčnicu rovnobežnú s priamkou x + y – 7 = 0

zo všeobecnej rovnice priamky určíme normálový vektor: n⃗ (1; 1)

priamka, ktorá má byť rovnobežná s danou priamkou, má aj normálový vektor rovnobežný s daným

normálovým vektorom → môžeme aj ten použiť

poznáme normálový vektor dotyčnice ⇒ všeobecnú rovnicu použijeme

t: 1x + 1y + q = 0

treba určiť hodnotu q tak, aby priamka bola dotyčnicou (aby sústava mala jedno riešenie)

vyjadrime z rovnice priamky jednu súradnicu

x = -y – q

dosadíme do upravenej rovnice hyperboly → odstránime zlomky

6x2 – 15y2 = 90

6(-y – q)2 – 15y2 = 90

umocníme; odstránime zátvorku; zlúčime členy a anulujeme rovnicu

6(y2 + 2qy + q2) – 15y2 = 90

6y2 + 12qy + 6q2 – 15y2 = 90

-9y2 + 12qy + 6q2 = 90 /-90

-9y2 + 12qy + 6q2 – 90 = 0 /:3

-3y2 + 4qy + 2q2 – 30 = 0

a = -3 b = 4q c = 2q2 – 30


D = b2 – 4ac = (4q)2 – 4.(-3).(2q2 – 30) = 16q2 + 24q2 – 360 = 40q2 – 360

40q2 – 360 = 0 /+360

40q2 = 360 /:40

q2 = 9 /√

|q| = 3

q1 = -3 q2 = 3

t1: x + y – 3 = 0 t2: x + y + 3 = 0

Parabola


euklidovská geometria: kužeľosečka (prienik kužeľovej plochy s rovinu) – rovina je rovnobežná s jednou stranou

kužeľa

D. Parabola je množina bodov v rovine, ktoré sú od vopred daného bodu a danej priamky v rovnakej

vzdialenosti. Ten daný bod je ohnisko a daná priamka je určujúca (riadiaca) priamka.

V – vrchol ℘: V ∈ ℘

F – ohnisko ℘

d – určujúca (riadiaca) priamka ℘, direktrix

o – os ℘: V, F ∈ ℘

|Fd| = p – parameter ℘

o ⊥ d

℘: V(u; v); p – vrcholová rovnica paraboly:

℘: (x – u)2 = ±2p(y – v) o ∥ y (stojatá ℘): +2p ⇒ ⋃; –2p ⇒ ⋂

℘: (y – v)2 = ±2p(x – u) o ∥ x (ležatá ℘): +2p ⇒ ⊂; –2p ⇒ ⊃

odstránime zátvorky, prenesieme všetko na jednu stranu, usporiadame → všeobecná rovnica paraboly:

℘: A.x2 + B.y2 + C.x + D.y + E = 0 A; B; C; D; E ∈ ℝ

podmienka: A.B = 0 ∧ A + B ≠ 0 (presne jedna z hodnôt A a B je nulová)

parametrická rovnica paraboly:

℘: x = pt2 + u ℘: x = 2pt + u

y = 2pt + v y = pt2 + v

ohnisko a určujúca priamka:

o ∥ y: F(𝑢; 𝑣 ±𝑝

2) d: y = v ∓

𝑝

2

o ∥ x F(𝑢 ±𝑝

2; 𝑣) d: x = u ∓

𝑝

2

príklad:

Napíšte všeobecnú rovnicu paraboly, ktorá má vrchol V(3; -5) a ohnisko F(-1; -5).

nakoľko ohnisko leží naľavo od bodu V, ide o ležatú parabolu so záporným znamienkom pred p

vzdialenosť |VF| je polovica parametra:

|VF| = |-1 – 3| = 4

p = 8

℘: (y – (-5))2 = -2.8(x – 3)

(y + 5)2 = -16(x – 3)

y2 + 10y + 25 = -16x + 48 /+16x – 48

℘: y2 + 16x + 10y – 23 = 0

Napíšte všeobecnú rovnicu paraboly, ktorá má vrchol V(1; 3), parameter p = 2 a os rovnobežnú s osou y.

℘: (x – 1)2 = ±2.2(y – 3)

(x – 1)2 = ±4(y – 3)

x2 – 2x + 1 = ±4y ∓ 12 /∓4y ± 12

℘1: x2 – 2x – 4y + 13 = 0 ℘2: x

2 – 2x + 4y – 11 = 0

Vypočítajte súradnice vrcholu V a ohniska F paraboly a napíšte rovnicu určujúcej priamky:

2y2 – 7x + 9y + 55 = 0

separujeme – na jednu stranu súradnica kvadratická a lineárna, na druhú druhá súradnica a číslo

2y2 – 7x + 9y + 55 = 0 /+7x – 55

2y2 + 9y = 7x – 55

vyjmeme koeficient kvadratického člena

2(y2 +9

2y) = 7x – 55

doplníme ľavú stranu na úplný štvorec (na druhú mocninu dvojčlena)

2(y2 +9

2y + (

9

2)2

) = 7x – 55 + 2.(9

2)2

2(y +9

2)2

= 7x – 55 + 2.81

4

2(y +9

2)2

= 7x – 55 + 81

2

zlúčime čísla na pravej strane a potom vyjmeme koeficient lineárneho člena

2(y +9

2)2

= 7x – 29

2

2(y +9

2)2

= 7(x −29

14) /:2

vydelíme s číslom z ľavej strany spred zátvorky

(y +9

2)2

= 7

2(x −

29

14)

V(29

14; −

9

2) p =

7

4

zátvorka s y-om je umocnená ⇒ o ∥ x (ležatá parabola)

na pravej strane číslo pred zátvorkou je kladné ⇒ parabola s ramenami doprava (F je napravo od V)

F(29

14+

7

8; −

9

2) = (

165

56; −

9

2)

D(29

14−

7

8; −

9

2) = (

67

56; −

9

2) ⇒ d: x =

67

56

Priamka a parabola


rovnica priamky – lineárna + rovnica paraboly – kvadratická

zlúčená rovnica – kvadratická

počet riešení sústavy = počet spoločných bodov priamky a paraboly

a, dve riešenia ⇒ dva spoločné body (p ⋂ ℘ = {P1; P2}) ⇒ sečnica

b, jedno riešenie ⇒ jeden spoločný bod (p ⋂ ℘ = {B})

b1, ak priamka nie je rovnobežná s osou (p ∦ o) ⇒ dotyčnica

b2, ak priamka je rovnobežná s osou (p ∥ o) ⇒ priamka prechádza ℘ (sečnica)

c, nemá riešenie ⇒ nemajú spoločný bod (p ⋂ ℘ = Ø) ⇒ nesečnica (vonkajšia priamka)

sečnica dotyčnica

prechádza ℘ nesečnica

ak je daná parabola a dotykový bod:

℘: (x – u)2 = ±2p(y – v); T(x0; y0) ℘: (y – v)2 = ±2p(x – u); T(x0; y0)


t: (x0 – u).(x – u) = ±2p[(y – v) + (y0 – v)] t: (y0 – v).(y – v) = ±2p[(x – u) + (x0 – u)]

príklad:

Vypočítajte súradnice priesečníkov paraboly s priamkou: ℘: x2=12y𝑎:2x − 3y + 12=0

vyjadrime 12y z rovnice priamky

2x – 3y + 12 = 0 /+3y

2x + 12 = 3y /.4

8x + 48 = 12y

dosadíme do rovnice paraboly

x2 = 8x + 48

anulujeme rovnicu

x2 – 8x – 48 = 0

a = 1 b = -8 c = -48

x1,2 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 =

−(−8)±√(−8)2−4.1.(−48)

2.1 =

8±√64+192

2 =

8±16

2 =

↗24

2= 12

↘−8

2= −4

y1 = x2

12 =

122

12 = 12

y2 = x2

12 =

(−4)2

12 =

4

3

P1(12; 12); P2(−4;4

3)

Nájdite rovnicu dotyčnice paraboly, ak je daný bod dotyku T:

x2 – 6x – 8y – 7 = 0, T(7; yT)

vypočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu – dosadíme do rovnice paraboly

72 – 6.7 – 8y – 7 = 0

49 – 42 – 8y – 7 = 0

-8y = 0 /:(-8)

y = 0

T(7; 0)


𝑡: x =7 + s1𝑡

y =0 + s2𝑡



keďže x je iba na druhú, jednoduchšia bude zlúčená rovnica ak si zvolíme s1 = 1 (nebude obsahovať člen

obsahujúci s12.t2)

s (1; s2)

𝑡: x =7 + 1. 𝑡= 7 + 𝑡y =s2𝑡

dosadíme do rovnice paraboly

(7 + t)2 – 6(7 + t) – 8.s2t – 7 = 0


49 + 14.t + t2 – 42 – 6.t – 8.s2t – 7 = 0

8.t + t2 – 8.s2t = 0

preusporiadame a vyjmeme t z dvoch lineárnych členov

t2 + 8.t – 8.s2t = 0

t2 + t(8 – 8s2) = 0

a = 1 b = 8 – 8s2 c = 0


D = b2 – 4ac = (8 – 8s2)2 – 4.1.0 = (8 – 8s2)

2

(8 – 8s2)2 = 0 /√

8 – 8s2 = 0 /+8s2

8 = 8s2 /:8

1 = s2


𝑡: x =7 + 𝑡y =𝑡 /. (−1)

x =7 + 𝑡−y = −t

x – y = 7

t: x – y – 7 = 0

Veďte k parabole dotyčnicu rovnobežnú s danou priamkou: y2 = 5x, 3x – 2y + 7 = 0

zo všeobecnej rovnice priamky určíme normálový vektor: n⃗ (3; -2)

priamka, ktorá má byť rovnobežná s danou priamkou, má aj normálový vektor rovnobežný s daným

normálovým vektorom → môžeme aj ten použiť

poznáme normálový vektor dotyčnice ⇒ všeobecnú rovnicu použijeme

t: 3x – 2y + q = 0

treba určiť hodnotu q tak, aby priamka bola dotyčnicou (aby sústava mala jedno riešenie)

vyjadrime x z rovnice paraboly a dosadíme do rovnice priamky

y2 = 5x /:5

y2

5 = x

3.y2

5 – 2y + q = 0 /.5

odstránime zlomok

3y2 – 10y + 5q =

a = 3 b = -10 c = 5q


D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4.3.5q = 100 – 60q

100 – 60q = 0 /+60q

100 = 60q /:60

100

60 =

5

3 = q

3x – 2y + 5

3 = 0 /.3

t: 9x – 6y + 5 = 0

Documents

Priamka a kružnica - EduPage