Primena Blok Dijagrama Napona Pritiska

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

57

DIMENZIONISANJE PRESEKA NEPRAVILNOG OBLIKA PRITISNUTE ZONE BETONA PRIMENA BLOK DIJAGRAMA NAPONA PRITISKA U BETONU Vaei Pravilnik propisuje vezu bb u obliku parabola+pravougaonik: b = fB (4 b ) b 4 b = fB pri 0 b 2

pri 2 b 3.5

dok se sila pritiska u betonu za proizvoljan presek sa jednom osom simetrije odreuje iz izraza: D bu =y =x

y =0

( y) b( y) dyb

U sluaju da je pritisnuta zona preseka nepravilnog oblika (trougaoni, trapezni, petougaoni, kruni, prstenasti i sl.), komplikuje se proraun sile Dbu i njenog poloaja. Stoga Pravilnik u odreenim sluajevima doputa primenu uproenog dijagrama napona pritiska u betonu (konstantan napon b na visini od 80% visine pritisnute zone betona). Time se proraun sile Dbu svodi na geometrijski: potrebno je sraunati povrinu Abp i odrediti poloaj njenog teita Gb.b(y) b dy b = f B b(y) xT a1 zb

xT

Gb

Mud h

Abp

0.8 x x

Dbu

y

NEUTRALNA LINIJA

Aa1a1 a1

h-x

y

Zaua1

b1

Sila pritiska u betonu Dbu se u ovom sluaju moe odrediti iz izraza: Dbu = bAbp = fBAbp i deluje u teitu povrine Abp, na rastojanju xT mereno od krajnje pritisnute ivice preseka. Ogranienje koje uvodi PBAB 87 u lanu 82, vezano za primenu blok dijagrama napona pritiska u betonu, glasi:Kod poprenih preseka gde je pritisnuta zona krunog ili trougaonog oblika, kod preseka nepravilnih oblika, kao i kod pravougaonih preseka napregnutih na koso savijanje sa normalnom silom ili bez nje, sa poloajem neutralne linije unutar poprenog preseka, moe se pri proraunu preseka po graninoj nosivosti lomu umesto raunskog dijagrama parabola+prava koristiti uproeni dijagram u obliku pravougaonika, sa graninom vrstoom fB, i visine 0.8x, ukoliko je 3.5 b > 3.

PRIMERI ZA VEBE


58

Pojedini propisi uvode korekcioni koeficijent , kojim se mnoi raunska vrstoa fB u cilju bolje aproksimacije stvarnog naponskog dijagrama konstantnim naponom b = fB. Tako se prema preporukama nemakih propisa DIN 1045 usvaja = 0.95 u svim sluajevima. Modelpropisima CEBFIP predviena je redukcija raunske vrstoe samo u sluajevima kada se pritisnuta zona preseka iri od krajnje pritisnute ivice ka neutralnoj liniji (npr. kruni presek) i to za cca. 6%. Ovakva redukcija raunske vrstoe Pravilnikom BAB 87 nije eksplicitno predviena. Takoe, da bi se primena blokdijagrama mogla proiriti i na sluajeve kada je b 3 (naroito znaajno za proraun preseka napregnutih na koso savijanje), konstruisan je dijagram koeficijenta u funkciji dilatacije b, za sluaj da se presek iri, odnosno suava od pritisnute ivice ka neutralnoj liniji (dijagram 84/13, str. 214, PBAB1). Maksimalne vrednosti ovog koeficijenta su:fB b = f B

1.0

1 2

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.8 x

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

b []

= 1.0, ukoliko se presek suava od pritisnute ivice ka neutralnoj liniji (linija 1) = 0.95, ukoliko se presek iri od pritisnute ivice ka neutralnoj liniji (linija 2) Izloeni postupak treba primenjivati iskljuivo u sluajevima kada se neutralna linija nalazi u preseku (veliki ekscentricitet, x < d). Principijelno, dimenzionisanje se sprovodi kao za sluaj proizvoljnog oblika poprenog preseka i raunske veze bb i svodi na odreivanje poloaja neutralne linije iz uslova ravnotee momenata savijanja u odnosu na teite zategnute armature (iterativan postupak). Kada je poloaj neutralne linije odreen, iz uslova ravnotee normalnih sila se sraunava potrebna povrina armature. Sluaj slobodnog dimenzionisanja (nepoznata dimenzija preseka) nee biti razmatran. Postupak dimenzionisanja je ilustrovan na primeru trapeznog poprenog preseka, optereenog na isto savijanje. Na donjoj skici su prikazane sve potrebne geometrijske veliine, dijagrami dilatacija i napona, spoljanje i unutranje sile i njihovi poloaji.b2 b 0.8 x xT x b = f B

Gb

Abp

DbuNEUTRALNA LINIJA

Mud b(0.8x) h-x h

Aa1a1 a1 a1

zb

Zau

b1PRIMERI ZA VEBE

a1


59

Poznato je da se potrebna povrina armature jednostruko armiranog preseka1 odreuje iz uslova ravnotee normalnih sila: N = 0: Dbu Zau = Nu A a1 = D bu N u v (1)

Meutim, nepoznata je vrednost sile pritiska u betonu i njen taan poloaj. Veliina sile Dbu se moe odrediti iz uslova ravnotee momenata savijanja u odnosu na teite zategnute armature: Ma1 = 0: Dbuzb = Mau = Mu + Nu(yb1 a1) pri emu je sila Dbu odreena izrazom: Dbu = bAbp = fBAbp a njen poloaj u odnosu na krajnju pritisnutu ivicu preseka, prema skici, udaljenjem teita povrine Abp (veliina xT). Sledi da je krak unutranjih sila zb odreen kao: zb = h x T Veliine sa leve strane izraza (2) jednoznano su odreene poloajem neutralne linije, pa se problem dimenzionisanja svodi na odreivanje bezdimenzionog koeficijenta poloaja neutralne linije s iz uslova ravnotee momenata savijanja (2). Pritom se koriste i sledee relacije: a. dilatacije betona i zategnute armature Iz uslova da bar jedna od dilatacija mora dostii graninu vrednost, sledi: s= s= x s 0.259 = 7/27 a1 = 10 ; b = a1 h 1 s x 1 s 0.259 = 7/27 b = 3.5 ; a1 = b h s (2)

b. koeficijent Koeficijent korekcije raunske vrstoe betona se ne mora uzeti u obzir, pri emu mora biti zadovoljen uslov 3 < b 3.5. Drei se preporuka Prirunika za primenu Pravilnika BAB 87, predlae se korienje dijagrama 84/13 iz PBAB1, pa se usvaja max = 0.95, odnosno max = 1, zavisno od oblika pritisnute zone poprenog preseka. Dakle, postupak dimenzionisanja se sastoji u pretpostavljanju poloaja neutralne linije, nakon ega se odrede sve ostale veliine: dilatacije b i a1, koeficijent , povrina Abp, poloaj njenog teita xT i krak unutranjih sila zb. Meutim, kako je poloaj neutralne linije nasumice pretpostavljen, uslov ravnotee (2a) ne mora biti zadovoljen. Mogu nastupiti tri sluaja: Ma1 = 0: Dbuzb Mau = 0 a. uslov ravnotee (2a) je zadovoljen potpuno neverovatno u prvom koraku; (2a)

Za sluaj a1 < 3 potrebno je, kao i u sluaju dimenzionisanja npr. pravougaonog poprenog preseka, pristupiti DVOSTRUKOM ARMIRANJU. Potrebno je odrediti moment nosivosti jednostrko armiranog preseka Mabu koji odgovara dilatacijama b/a1* = 3.5/3 (ili veoj usvojenoj dilataciji a1*, o emu je ve bilo rei kod pravougaonih preseka), zatim moment Mau = Mau - Mabu, iz koga se sraunavaju armature Aa1 i Aa2.1

PRIMERI ZA VEBE


60

b. uslov ravnotee (2a) umesto nule daje pozitivan rezultat (za oblik u kome je napisan) moment rezultante unutranjih sila je vei od momenta spoljanjih sila treba pomeriti neutralnu liniju ka pritisnutoj ivici preseka, odnosno smanjiti s; c. uslov ravnotee (2a) umesto nule daje negativan rezultat (za oblik u kome je napisan) moment rezultante unutranjih sila je manji od momenta spoljanjih sila treba pomeriti neutralnu liniju ka zategnutoj ivici preseka, odnosno poveati s. Postupak se u potpunosti ponavlja dok se ne zadovolji uslov ravnotee (2a), odnosno do postizanja eljene tanosti, npr. max. 1% od vrednosti Mau. 10 b2=30 10 Primer: Dimenzionisati presek trapeznog oblika, optereen graninim raunskim momentom savijanja Mu. Podaci za proraun: Mu = 600 kNm b1 = 50 cm d = 60 cm b2 = 30 cmh=54 d=60

Mu

MB 40 fB = 25.5 MPa RA 400/500 v = 400 MPa pretp. a1 = 6 cm h = 60 6 = 54 cm 1. korak: s = 0.259 b/a1 = 3.5/10 = 0.95 (presek se iri ka neutralnoj liniji, tj. b1>b2) b = 0.95fB 0.8x = 0.80.25954 = 11.2 cm b0.8x = b 2 + (b1 b 2 ) Abp = 0.8x 11.2 = 30 + (50 30 ) = 33.73 cm d 60

Aa1b1=50 6

b 0.8 x + b 2 33.73 + 30 0.8x = 11.2 = 356.9 cm2 2 2

Dbu = fBAbp = 0.952.55356.9 = 864.6 kN Poloaj teita povrine Abp u odnosu na gornju ivicu preseka odreen je kao: xT = 2 33.73 + 30 2 b0.8 x + b2 0.8x = 11.2 = 5.71 cm 3 (b 0.8 x + b 2 ) 3 (33.73 + 30)

pa je krak unutranjih sila zb: zb = h xT = 54 5.71 = 48.29 cm Konano, moment unutranjih sila u odnosu na teite zategnute armature je: Dbuzb = 864.648.29 = 41750 kNcm = 417.5 kNm to je manje od spoljanjeg momenta Mau = Mu = 600 kNm, pa sledi s > 0.259. Postupak se ponavlja sa korigovanim s do postizanja eljene tanosti. Rezultati prorauna su prikazani tabelarno.PRIMERI ZA VEBE


61

s()

b()

a1()

0.8x(cm)

b0.8x(cm)

Abp(cm )2

()

Dbu(kN)

xT(cm)

zb(cm)

Ma1(kNm)

0.500 0.400 0.380 0.385

3.5 3.5 3.5 3.5

3.5 5.25 5.711 5.593

21.60 17.28 16.42 16.63

37.20 35.76 35.47 35.54

725.8 568.2 537.4 544.9

0.95 0.95 0.95 0.95

1758.2 1376.4 1301.8 1320.1

11.19 8.89 8.44 8.55

42.81 45.11 45.56 45.45

152.7 20.9 6.8 0.0

Ma1 = 1320.145.45102 = 600 kNm = Mu s = 0.385 Iz uslova ravnotee normalnih sila sledi: N = 0: A a1 = D bu N u 1320.1 0 = = 33.01 cm2 v 40 usvojeno: 7R25 (34.36 cm2) a1 = 5 4.5 + 2 10 = 6.07 cm hstv. = 60 6.07 = 53.93 cm hra. = 54 cm 7

Usvojeni raspored armature prikazan je na donjoj skici.

2R25

UR8/30

2R12

2R25

5R25

PRIMERI ZA VEBE


62

ODREIVANJE MOMENTA LOMA KRUNOG PRESEKA PRIMENA BLOK DIJAGRAMA NAPONA PRITISKA U BETONU Pravilnik doputa primenu uproenog dijagrama napona pritiska u betonu (konstantan napon b na visini od 80% visine pritisnute zone betona). Time se proraun sile Dbu svodi na geometrijski: potrebno je sraunati povrinu Abp i odrediti poloaj njenog teita.Aapa 0.8x b b = f B q

0.8x

Dbux a1

Abp MuDa=2ra D=2r

a

x

Daua2 a3

b

NEUTRALNA LINIJA SISTEMNA LINIJA

r

ra

a

Aaz

a,max.

v

Sila pritiska u betonu Dbu se u ovom sluaju moe odrediti iz izraza: Dbu = bAbp = fBAbp i deluje u teitu povrine Abp (ukrtena rafura), na rastojanju a1 mereno od centra kruga G. Pri tome se za korekcioni koeficijent usvaja = 0.95 jer se presek iri ka neutralnoj liniji. Ako uslov 3 < b 3.5 nije zadovoljen, predlae se korienje dijagrama 84/13 iz PBAB1. Ukupna armatura u preseku predstavljena je "razmazano" na duni metar, i sastoji se od pritisnutog dela Aap (isprekidana linija iznad neutralne linije) i Aaz (puna linija ispod neutralne linije). Usvojeno je za celokupnu pritisnutu armaturu a = q, a za celokupnu zategnutu armaturu a = v. Geometrijske veliine koje se javljaju u izrazima za unutranje sile u betonu i armaturi su, na osnovu oznaka prikazanih na gornjoj skici: A bp sin 2 b povrina krunog odseka poluprenika r=D/2, visine 0.8x = r b 2 2

b = arccos

r 0.8x r

(rad) ; a = arccos Da 2

rx ra

(rad)

h = D a ; Da = D 2a ; ra = aa =

Aa povrina ukupne armature u preseku po jedinici duine kruga prenika Da Da

Odreivanje momenta loma se principijelno sprovodi kao kod pravougaonog poprenog preseka i svodi na odreivanje poloaja neutralne linije iz uslova ravnotee normalnih sila (iterativan postupak). Kada je poloaj neutralne linije odreen, iz uslova ravnotee momenata savijanja se

PRIMERI ZA VEBE

a

h-x

Nu

G

Zau


63

sraunava traeni moment nosivosti preseka za odgovarajuu aksijalnu silu Nu. U ovom sluaju uputnije je uslov ravnotee momenata savijanja ispisivati u odnosu na centar kruga. Na osnovu usvojenih geometrijskih veliina i naponskih dijagrama za beton i armaturu, sledi: sin 2 b D bu = 0.95 f B r 2 b 2 Dau = A ap q = a a a Da q Z au = A az v = a a ( a ) D a q Postupak odreivanja momenta loma poinje pretpostavljanjem poloaja neutralne linije. Iz uslova da bar jedna od dilatacija mora dostii graninu vrednost, sledi: s= s= x s 0.259 = 7/27 a = 10 ; b = a h 1 s x 1 s 0.259 = 7/27 b = 3.5 ; a = b h s

Nakon odreivanja dilatacija b i a, odreuju se sve ostale veliine: koeficijent , vrednosti uglova i a (u radijanima), povrina Abp i vrednosti sila Dbu, Dau i Zau. Meutim, kako je poloaj neutralne linije nasumice pretpostavljen, uslov ravnotee normalnih sila: N = 0: Dbu + Dau Zau Nu = 0 (1)

ne mora biti zadovoljen. Mogu nastupiti tri sluaja: a. uslov ravnotee (1) je zadovoljen potpuno neverovatno u prvom koraku; b. uslov ravnotee (1) umesto nule daje pozitivan rezultat (za oblik u kome je napisan) unutranja sila pritiska premauje silu zatezanja treba pomeriti neutralnu liniju ka pritisnutoj ivici preseka, odnosno smanjiti s; c. uslov ravnotee (1) umesto nule daje negativan rezultat (za oblik u kome je napisan) unutranja sila pritiska je manja od unutranje sile zatezanja treba pomeriti neutralnu liniju ka zategnutoj ivici preseka, odnosno poveati s. Postupak se u potpunosti ponavlja dok se ne zadovolji uslov ravnotee (1), odnosno do postizanja eljene tanosti, npr. max. 1% od vrednosti sile Dbu. Poloaji unutranjih sila Dbu, Dau i Zau u odnosu na centar kruga odreeni su izrazima: a1 = 2 sin 3 b r 3 sin 2 b b 2 sin a sin( a ) ra ; a 3 = ra a a

a2 =

Traeni moment loma se odreuje iz sume momenata savijanja u odnosu na centar kruga: M = 0: Dbua1 + Daua2 + Zaua3 = Mu (2)

PRIMERI ZA VEBE

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA4.5

64

Primer:

Odrediti moment nosivosti krunog preseka, koji je pored momenta savijanja optereen i graninom raunskom silom pritiska Nu. Podaci za proraun:50

UR8/2041

Nu = 1000 kN D = 50 cm Aa = 34.02 cm2 (12R19)

12R19

RA 400/500 v = 400 MPa 1. korak: s = 0.259 a = 10 ; b = 0.259 10 = 3.5 1 0.259

= 0.95 (presek se iri ka neutralnoj liniji) b = 0.95fB r = D/2 = 50/2 = 25 cm h = 50 4.5 = 45.5 cm x = 0.25945.5 = 11.8 cm 0.8x = 0.811.8 = 9.44 cm b = arccos 25 9.44 = 51.5 = 0.899 rad 25

sin 2 0.899 = 257.3 cm2 A bp = 252 0.899 2 Dbu = fBAbp = 0.952.3257.3 = 562.2 kN Da = 50 24.5 = 41.0 cm a a = Aa 34.02 = = 26.41 cm2/m Da 0.41 25 11.8 = 49.9 = 0.871 rad 20.5

ra = Da/2 = 41/2 = 20.5 cm a = arccos

Aap = aaaDa = 26.410.87141.0 = 9.43 cm2 Dau = Aapq = 9.4340 = 377.3 kN Aaz = aa(a)Da = 26.41(0.871)41.0 = 24.59 cm2 Zau = Aazv = 24.5940 = 983.6 kN N = 0: N = 0: Dbu + Dau Zau Nu = 0 562.2 + 377.3 983.6 1000 = 1044.2 kN < 0 s > 0.259.

Uslov ravnotee normalnih sila nije zadovoljen. Postupak se ponavlja sa korigovanim s do postizanja eljene tanosti. Rezultati prorauna su prikazani tabelarno.PRIMERI ZA VEBE

4.5

MB 35 fB = 23 MPa


65

b

a

s

xcm

0.8xcm

brad

arad

Abpcm2

DbukN

DaukN

ZaukN

NukN

3.50 3.50 3.50 3.50

3.50 5.25 4.28 4.37

0.500 0.400 0.450 0.445

22.75 18.20 20.48 20.24

18.20 14.56 16.38 16.19

1.295 1.140 1.219 1.211

1.461 1.233 1.348 1.336

646.0 475.3 559.4 550.6

1411.5 1038.6 1222.4 1203.1

632.8 534.0 584.1 578.9

728.1 826.9 776.9 782.0

316.2 254.3 29.6 0.0

Poloaji unutranjih sila Dbu, Dau i Zau u odnosu na centar kruga odreeni su izrazima: 2 sin 3 b 2 sin 3 1.211 a1 = r = 25.0 = 15.51 cm 3 sin 2 b 3 1.211 sin 2 1.211 b 2 2 a2 = a3 = sin a sin 1.336 ra = 20.5 = 14.92 cm 1.336 a sin( a ) sin( 1.336) ra = 20.5 = 11.05 cm a 1.336

Traeni moment loma se odreuje iz sume momenata savijanja u odnosu na centar kruga: Mu = Dbua1 + Daua2 + Zaua3 = 1203.115.51 + 578.914.92 + 782.011.05 Mu = 35930 kNcm = 359.3 kNm Kontrola pomou dijagrama interakcije2: R = 50 cm d = R/2 = 25 cm a/R = 4.5/50 = 0.09 0.1 = 34.02 400 = 0.301 252 23 1000 = 0.221 252 2.3

nu =

sa dijagrama na str. 66: mu = 0.154 Mu = 0.154252502.3 Mu = 34770 kNcm Mu = 347.7 kNm

2

Dijagram interakcije je konstruisan za vezu b-b u obliku parabola+pravougaonik. Takoe, veza a-a za elik je bilinaerna, kako je i odreeno vaeim Pravilnikom - odvojene su zone u kojima je armatura ula u prag teenja od onih u kojima je u elastinoj oblasti. Stoga rezultati dobijeni primenom dijagrama interakcije ne mogu biti isti kao rezultati dobijeni priblinim postupkom. Oni prestavljaju tano reenje, naravno u meri u kojoj smo tano izvrili oitavanje.

PRIMERI ZA VEBE


66

PRIMERI ZA VEBE

Documents

Primena Blok Dijagrama Napona Pritiska