U N A C Facultad de Ingeniera Qumica

Universidad nacional del callao

FACULTAD: Ingeniera QumicaMTODOS NUMRICOSProfesor:Mg. Ronald PortalesIntegrantes:

Antezana Vergara, Miguel ngel. Huanca Ortiz, Elvis. Nuez Zumaeta, Mercedes. Pillaca Quispe, Elizabeth. Ponte Valverde, Erick. Vidal Villarreal, Edward. Villafuertes Pelayo, Joselyn.

Ciclo: 2016-V Bellavista Callao, 18 de enero del 2016

TRABAJO N 1GRUPO 5

I. DETERMINAR LAS RACES DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

5.1. Determine las races reales de f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5:

a) Grficamente

De la tabla y de la grfica, observamos que existen 2 races, una se encuentra entre los valores de x de -2 y -1 y la otra entre los valores de 6 y 7.

b) Utilizando el mtodo de la biseccin con tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee como valores iniciales xi = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.De acuerdo a la tabla y la grfica de la parte (a), la raz ms grande se encuentra entre los valores de x de 6 y 7.Para ste mtodo, usaremos:1. Primera iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: Inferior o izquierdo.

2. Segunda iteracin:

(POSITIVO) Nuevo intervalo: Superior o derecho

3. Tercera iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: Inferior o izquierdo.

En Excel:

Raz= 6.40563965

c) Utilizando el mtodo de la secante con tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee como valores iniciales xi = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.

De acuerdo a la frmula:

Primera iteracin:

== 5.9

Segunda iteracin:

== 6.2385

Tercera iteracin:

== 6.4169

En Excel:

Raz= 6.405124451

5.2. Determine las races reales de f(x) = 5x3-5x2+6x-2:

a. Grficamente

delta de x1

xf(x)

0-2

14

230

3106

4262

5528

6934

71510

82286

93292

De la tabla y de la grfica, observamos que las tres races se encontrarn entre 0 y 1.

b. Utilizando mtodo de la biseccin para localizar la raz ms pequea. Use los valores iniciales xi = 0 y xu = 1. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.

De acuerdo a la tabla y la grfica de la parte (a), la raz se encuentra entre los valores de x de 0 y 1.Entonces, haciendo los respectivos clculos, se tendr los siguientes resultados:

Resolviendo en Excel

iX1X2Xrf(X1)f(Xr)f(X1)*f(Xr)error ABS

0010.5-20.375-0.75

100.50.25-2-0.7343751.468750.25

20.250.50.375-0.734375-0.189453130.139129640.125

30.3750.50.4375-0.189453130.08666992-0.016419890.0625

40.3750.43750.40625-0.18945313-0.052459720.009938660.03125

50.406250.43750.421875-0.052459720.01678085-0.000880320.015625

60.406250.4218750.4140625-0.05245972-0.017913340.000939730.0078125

70.41406250.4218750.41796875-0.01791334-0.000585621.049E-050.00390625

80.417968750.4218750.41992188-0.000585620.00809266-4.7392E-060.00195313

90.417968750.419921880.41894531-0.000585620.0037523-2.1974E-060.00097656

100.417968750.418945310.41845703-0.000585620.00158304-9.2705E-070.00048828

110.417968750.418457030.41821289-0.000585620.00049864-2.9201E-070.00024414

120.417968750.418212890.41809082-0.00058562-4.3509E-052.548E-080.00012207

130.418090820.418212890.41815186-4.3509E-050.00022756-9.9009E-096.1035E-05

140.418090820.418151860.41812134-4.3509E-059.2023E-05-4.0039E-093.0518E-05

150.418090820.418121340.41810608-4.3509E-052.4257E-05-1.0554E-091.5259E-05

160.418090820.418106080.41809845-4.3509E-05-9.6263E-064.1883E-107.6294E-06

170.418098450.418106080.41810226-9.6263E-067.3152E-06-7.0418E-113.8147E-06

180.418098450.418102260.41810036-9.6263E-06-1.1556E-061.1124E-111.9073E-06

190.418100360.418102260.41810131-1.1556E-063.0798E-06-3.5589E-129.5367E-07

200.418100360.418101310.41810083-1.1556E-069.6212E-07-1.1118E-124.7684E-07

Raz = 0.418100

c. Mediante el mtodo de la secante

De acuerdo a la frmula:

Aplicando la frmula anterior, se tiene:

Mtodo de la secante utilizando Excel

00

1114-21CONTINUA

20.33333333-0.66666667-0.3703703740.66666667CONTINUA

30.389830510.05649718-0.1246476-0.370370370.05649718CONTINUA

40.418489790.028659280.00172854-0.12464760.02865928CONTINUA

50.41809779-0.000392-1.2544E-050.001728540.000392CONTINUA

60.418100622.8243E-06-1.3997E-09-1.2544E-052.8243E-06FIN

Raz =0.41810062

5.3. Determine las races reales de f(x) = -25182x-90x2+44x3-8x4+0.7x5.xf(x)

-1048820

-993449,7

-8117462,4

-7125799,1

-6122536,8

-5110972,5

-493707,2

-372729,9

-249501,6

-125039,3

00

1-25235,3

2-50477,6

3-75645,9

4-100683,2

5-125472,5

6-149752,8

7-173035,1

a) Grficamente

Observando se nota que una raz se encuentra entre 0 y 1, y otra de ellas entre x=16 y x=17. Hallaremos tales races por los diferentes mtodos ya estudiados.

b) Usando el mtodo de Newton Raphson.

X=15-122917,5

X=16-148099.5Existe raz

X=1787797,9

X=18257061,6

POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON, NOS ACERCAMOS POR 16 (RAIZ SUPERIOR)

1RA ITERACION: X17 = X16 - X17 = 16 - X17 = 17.4235

2DA ITERACION:X18 = X17 - X18 = 17.4235 - s = = 0.0563X18 = 16.49411

3RA ITERACION:X19 = X18 - X18 = 16.49411 - s = = 0.009963X18 = 16.3314

4TA ITERACION:X20 = X19 - X20 = 16.3314 - s = = 0.00028 = 0,0001 aprox X20 = 16.32682

5TA ITERACION:X21 = X20 - X21 = 16.32682 - s = = 0.000000612X21 = 16.32681

En Excel:

ixF(x)F(x)%ErEa

016-36012,8104034

116,346163752261,19192117260,95716,92646770,34616375

216,326880347,35852544116498,276-306,288727-0,01928342

316,326817177,8738E-05116495,783-93454,3183-6,3164E-05

raz

c) Usando el mtodo de la secante.Sabiendo que una de las races es 0, simplificamos x y la ecuacin queda asi:F(x) = -25182 90x+44x2-8x3+0.7x4Nos dan como valores iniciales:X0 = 0.5X1 = 1Por iteraciones y hasta tener un error absoluto de 0.1xn+1 = xn - . F(xn)x0 = 0.5x1 = 1

x2 = x1 - . F(x1) = 1 - . F(X2 = -686.8446Error = 1.001 x3 = x2 - . F(x2) = -686.8446- . F(-686.8446)x3 = 0.99989Error =687.9199

x4 = x3 - . F(x3) = 0.99989- . F(0.99989)x4 = 0.999781nxnxn-1error

110.5-25216.95625-25235.31.001456

2-686.84461-25235.39.22337687.9199

30.99781-686.84469.22337-25235.29751.0961

Error =1.09607En Excel: Mediante iteraciones se obtiene que el valor de X es 0.99978083423

d) Usando el mtodo de la Biseccin:

Usando el mtodo de la biseccin para localizar la raz ms grande con s = 10 % Utilic como valores iniciales X1 = 0.5 y X2 = 1.0,SOLUCION:1ra Iteracin: = 0.5 = 1.0 = = 0.75

Evaluando en la funcin el valor de = 0.75 f(0.75) = -25216.42764

Multiplicamos nuestro = 0.5 y nuestro = 0.75 evaluados en la funcion = (-25216.42764) ( -25199.47813 ) = 635440816.7Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.75 ; = 1.0 >

2da Iteracin: = 0.75 = 1.0 = = 0.875

Evaluando en la funcin el valor de = 0.875 f(0.875) = -25225.7601

Multiplicamos nuestro = 0.75 y nuestro = 0.875 evaluados en la funcion = (-25225.7601) ( -25216.42764) = 636103553.3Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.875; = 1.0 >

3ra Iteracin: = 0.875 = 1.0 = = 0.9375

Evaluando en la funcin el valor de = 0.9375 f(0.9375) = -25230.51955

Multiplicamos nuestro = 0.875 y nuestro = 0.9375 evaluados en la funcion = (-25230.5195) (-25225.76) = 636459033.4Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.9375 ; = 1.0 >Y seguimos iterando hasta obtener un error menor al 1 %

En Excel:#iterXaXbXrf(Xa)f(Xr)f(Xa)*f(Xb)intervEa(%)

10.510.75-25199.47813-25216.427635440816Super.-

20.7510.875-25216.427-25225.76014.4767Super.14.28

30.87510.9375-25225.7601-25230.5195636459033Super.6.67

40.937510.96875-25230.5195-25232.9089636639403Super.3.22

50.9687510.98437-25232.9089-25234.1045636729862Super.1.58

60.9843710.9921875-25234.1045-25234.70636775115Super.0.787

5.4. Calcule las races reales de f(x) = -12 - 21x + 18x2 2.75x3. Adems, determine la primera raz de la funcin con los mtodos de biseccin, Newton-Raphson y secante. Utilice los valores iniciales de x0=-1 y x1=0 y un criterio de detencin de 1%.a) Grficamente

Grficamente las races de la ecuacin son x1= -0.414689, x2=2.2198183 y x3=4.7403257.Hallaremos la primera raz (x1= -0.414689) con los diversos mtodos.

b) Usando el mtodo de la biseccin.

1. Primera iteracin:

(POSITIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.

2. Segunda iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.

3. Tercera iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.

4. Cuarta iteracin:

(POSITIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.

5. Quinta iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.

6. Sexta iteracin:

(NEGATIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.

En ExcelXaXbXrF(Xa)F(Xb)F(Xr)F(Xa)*F(Xr)DECIDIREr (%)Ea

-10-0,529,75-123,3437599,4765625SUPERIOR

-0,50-0,253,34375-12-5,58203125-18,66491699INFERIOR1000,25

-0,5-0,25-0,3753,34375-5,58203125-1,44873047-4,844192505INFERIOR33,333330,125

-0,5-0,375-0,43753,34375-1,448730470,863098142,885984421SUPERIOR14,285710,0625

-0,4375-0,375-0,406250,86309814-1,44873047-0,3136673-0,270725662INFERIOR7,6923070,03125

-0,4375-0,40625-0,4218750,86309814-0,31366730,269471170,232580066SUPERIOR3,703700,01562

-0,421875-0,40625-0,41406250,26947117-0,3136673-0,02340519-0,006307025INFERIOR1,8867920,00781

-0,421875-0,4140625-0,417968750,26947117-0,023405190,122705710,033065652SUPERIOR0,9345790,003906

-0,41796875-0,4140625-0,416015630,12270571-0,023405190,04956850,006082338SUPERIOR0,4694830,001953

-0,41601563-0,4140625-0,415039060,0495685-0,023405190,013061220,000647425SUPERIOR0,2352940,000976

-0,41503906-0,4140625-0,414550780,01306122-0,02340519-0,00517709-6,76192E-05INFERIOR0,1177850,000488

-0,41503906-0,41455078-0,414794920,01306113-0,005177140,003940725,14702E-05SUPERIOR0,058850,000244

-0,41479492-0,41455078-0,414672850,00394072-0,00517714-0,00061853-2,43745E-06INFERIOR0,0294370,000122

Raz:-0,41467285

c) Usando el mtodo de Newton Raphson.

Usando la siguiente frmula:

-12-21x+18x2-2.75x3 -21+36x-8.25x2

1. Primera iteracin: x1 = 0

2. Segunda iteracin: x2 = -0.57142857

3. Tercera iteracin: x3 = -0.427055

4. Cuarta iteracin: x4 = -0.414776

En Excel:

1era raz= -0.414689416

d) Usando el mtodo de la secante.

1) Haciendo uso del Mtodo de la Secante :

y

2) Iterandoa) K=1

b) K=2

c) K=3

d) K=4

e) K=5

f) K=6

g) K=7

Y as sucesivamente hasta que k=12 donde se tiene el valor de la raz ms prxima a 0 teniendo en cuenta E= 0.001

En Excel:IteracinXiXi - Xi-1f(xi)f(xi-1)EaObservacion

00

111-17,75-121Continuar

2-2,08695652-3,08695652135,219199-17,753,08695652Continuar

30,641800582,7287571-18,7904661135,2191992,7287571Continuar

40,30886941-0,33293117-16,8500842-18,79046610,33293117Continuar

5-2,58227181-2,89114122209,606032-16,85008422,89114122Continuar

60,093746182,67601799-13,8127451209,6060322,67601799Continuar

7-0,07169719-0,16544337-10,4008167-13,81274510,16544337Continuar

8-0,57602961-0,504332426,59481812-10,40081670,50433242Continuar

9-0,380333440,19569617-1,257938566,594818120,19569617Continuar

10-0,41168215-0,03134871-0,11212021-1,257938560,03134871Continuar

11-0,41474967-0,003067520,00225066-0,112120210,00306752Continuar

12-0,414689316,0365E-05-3,887E-060,002250666,0365E-05Fin

1era raz= -0.41468931

II. EJERCICIOS DE INGENIERA QUMICA:

1. La concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua dulce se calcula con la ecuacin (APHA 1992)

Donde

Recuerde el lector que

Donde T= Temperatura (). De acuerdo con esta ecuacin, la saturacin disminuye con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales comunes en climas templados, la ecuacin se usa para determinar que la concentracin de oxigeno varia de 14.621 mg/L a 0 a 6.413 mg/L a 40 . Dado un valor de concentracin de oxgeno, puede emplearse esta frmula y el mtodo de biseccin para resolver para la temperatura en SOLUCIN POR EL MTODO DE LA SECANTENos dan las temperaturas iniciales: = 0 + 273.15 = 273.15 K = 14.621 mg/L = 40 + 273.15 = 313.15 K = 6.413 mg/ LPor iteraciones y hasta tener un error absoluto de 0.05xn+1 = xn - . F(xn)x0 = 273.15Kx1 = 313.15K x2 = x1 - . F(x1) = 313.15 - . F(X2 = 416.5086Error = 0.10311446673 x3 = x2 - . F(x2) = 416.5086 - . F(416.5086)x3 = 401.4785Error = 0.03629667967nxnxn-1error

2416.5086313.152.682440.805310.103114

3401.4786416.50860.805309-0.414260.036297

Mediante iteraciones se obtiene que el valor de la temperaturA es 401.4786K.

En grado Celsius se obtiene 128.3285C

SOLUCIN POR EL MTODO DE LA BISECCIN

a) Si los valores iniciales son de 0 y 40 , con el mtodo de la biseccin, Cuantas iteraciones se requeriran para determinar la temperatura con un error absoluto de 0.05 .Solucin :Nos dan las temperaturas iniciales: = 273 K = 14.621 mg/L = 313 K = 6.413 mg/ LAplicamos el mtodo de la biseccin :

1ra Iteracin: = 273 K = 313 K = = 293 KEvaluando en la funcin el valor de = 293 K =

Multiplicamos nuestro = 273 K y nuestro = 293 K evaluados en la funcion = (14.621) (2.2104) = 32.3182Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 293 K ; = 313 K >

2da Iteracin: = 293 K = 313 K = = 303 KEvaluando en la funcin el valor de = 303 K = Multiplicamos nuestro = 293 K y nuestro = 303 K evaluados en la funcion = (2.2104) (2.025305) = 4.4767Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 303 K ; = 313 K >3ra Iteracin: = 303 K = 313 K = = 308 KEvaluando en la funcin el valor de = 308 K = Multiplicamos nuestro = 303 K y nuestro = 308 K evaluados en la funcin: = (2.025305) (1.941104) = 3.93132

Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 308 K ; = 313 K >

Y as consecutivamente hasta encontrar un error absoluto de 0.05 A continuacin mostraremos una tabla para apreciar mejor esto: En Excel

2. Mediante el Mtodo de Newton Raphson (R=0.082), determinar el volumen molar.

Determinar el volumen molar del oxigeno mediante la ecuacin de Van Der Waals:

Por la ecuacin del gas ideal:

La forma desarrollada de la ecuacin de Van Der Waals es la siguiente:

Reemplazando datos anteriores se tiene:

Quedando:

Derivando la ecuacin anterior:

Por el mtodo de Newton Raphson:

Luego:

iXiF(Xi)F(Xi)ErEa

00,574-0,003103420,3065696

10,584123040,000115420,329475711,73303240,01012304

20,583772721,4067E-070,328672750,06000920,00035032

30,58377232,0983E-130,328671777,3313E-054,2798E-07

40,58377237,0473E-190,328671771,0935E-106,3838E-13

50,58377237,0473E-190,3286717700

Mediante Excel:

3. La ecuacin de estado Redlich-Kwong es:

Donde :

a. Mtodo grfico:

delta x0.2

vf(v)

0-0.00067644

0.2-0.03230547

0.4-0.09749716

0.6-0.14825152

0.8-0.13656855

1-0.01444824

1.20.2661094

1.40.75310438

1.61.49453668

1.82.53840632

Las races se encontrarn entre 1 y 1.2, como se muestra en la tabla y la grfica.

b. Mtodo de la Secante

Sea la ecuacin:

Mtodo de la secante por medio de clculos

En Excel:

01

11.20.20.2661094-0.014448240.2continua

21.01029966-0.18970034-0.004280430.26610940.18970034continua

31.013302720.00300307-0.00123574-0.004280430.00300307continua

41.014521570.001218851.0387E-05-0.001235740.00121885continua

51.01451141-1.016E-05-2.4841E-081.0387E-051.016E-05fin

Raz = 1.01451141

4. Resolver:En un proyecto de ingeniera qumica se requiere que se determine exactamente el volumen molar y factor de comprensibilidad del amoniaco a una presin de 120atm y 500K mediante La siguiente ecuacin.

DATOS: Tc = 405.5K Pc = 111.3atmR = 0.082

=

a. MTODO DE LA SECANTE

La forma desarrollada de la ecuacin de Van Der Waals es la siguiente:

Reemplazando los datos tenemos:

Resolviendo por el mtodo de la secante, tenemos:

GRAFICA DE LA FUNCION

TABLA INTERACION(EXCEL)Ix(i-1)F(xi-1)X(i)F(xi)Xerror

10-0.001310.65459740.001986502.5314

210.65460.001986-0.0012350.0038640.902734

30.001986-0.0012350.003865-0.00117330.039740.902734

40.003865-0.0011730.039736-4.51491660.0621730.360879

50.039736-4.51491660.062173-3.57451550.14745770.578365

60.062173-3.57451550.1474577-0.001190.02559764.760599

70.1474577-0.001190.0255976-6.4080547-0.11634961.220006

80.0255976-6.4080547-0.1163496-0.0255976-0.01206894.467217

9-0.1163496-0.0255976-0.0120689-5.20453860.04031290.167586

10-0.0120689-5.20453860.0403129-4.46090180.08083980.501323

110.0403129-4.46090180.0808398-4.29789551.14938860.929667

120.0808398-4.29789551.14938861.05656570.081274313.14210

131.14938861.05656570.0812743-4.3275730.08171160.005351

140.0812743-4.3275730.0817116-4.35795840.01899183.302476

150.0817116-4.35795840.0189918-7.69638E-40.16358570.8839

160.0189918-7.69638E-40.1635857-0.001358-0.170151.961420

170.1635857-0.001358-0.17015-0.02313930.1843931.922756

18-0.17015-0.02313930.184393-0.00148400.2086910.116428

190.184393-0.00148400.208691-0.00143660.94349580.778811

200.208691-0.00143660.94349580.534130740.21066183.478723

210.94349580.534130740.2106618-0.00142110.21260640.009146

220.2106618-0.00142110.2126064-0.00140390.37124950.427322

230.2126064-0.00140390.37124950.01058580.2311810.605876

240.37124950.01058580.231181-0.00113450.24474020.0553986

250.231181-0.00113450.2447402-8.030288E0.27758680.118328

260.2447402-8.030288E0.27758685.7084082E0.2639390.051708

270.27758685.7084082E0.263939-1.067119E0.266088530.008078

280.263939-1.067119E0.26608853-1.05932E0.266325428.8947909E

Mediante el mtodo de la secante nos sale que el volumen molar es: 0.26632542 litros/mol.

a. MTODO DE NEWTON RAPSHON

Datos: Tc=405.5k; Pc=111.3atm; R=0.082Entonces reemplazando datos:

Desarrollando:

En Excel:Sea la ecuacin:

Graficando y tabulando:

vf(v)

0-0,156501177

178,55304271

2786,3000529

32843,084529

46968,906472

513883,76588

624307,66276

De:

kVkf(v)f'(v)| Vk-Vk-1 |

0178,5530427273,228277

10,71250031823,1452503122,136390,28749968

20,5229970076,7613625355,08699070,18950331

30,4002572731,9293631825,45651360,12273973

40,3244667230,5142012712,5768110,07579055

50,2835818540,11102687,346207210,04088487

60,2684683680,012516045,717343030,01511349

70,2662792320,000243955,495043750,00218914

80,2662348389,9282E-085,490571324,4395E-05

90,266234821,6404E-145,490569491,8082E-08

100,2662348205,490569492,9976E-15

Por lo tanto el volumen molar es: Vm= 0.26623482Lmol-1

El factor de compresibilidad es:

1Mtodos Numricos