Embed Size (px)
Citation preview
Matematikapriručnik za nastavnike
Gornjogradska gimnazija,Zagreb
Gimnazija Vladimira Nazora,Zadar
Srednja škola Pavla Rittera Vitezovića,Senj
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije, Zagreb
Europska unijaUlaganje u budućnostProjekt je sufinancirala Europska unijaiz Europskog socijalnog fonda
IzdavačGornjogradska gimnazija Zagreb
Za izdavačaNenad Polondak, ravnatelj
UrednicaIvana Martinić, prof.
AutoriIvana Martinić, prof.Magdalena Radočaj, prof.Milena Ćulav Markičević, prof.
Fotografija na naslovnici:www.pixabay.com
TisakAutor d.o.o.
Sva prava pridržana:Gornjogradska gimnazija2016. godinaZagreb
Ovaj priručnik nastao je na projektu “Prirodoslovna lepeza za mlade znanstvenike – suvremena nastava za izazove tržišta” (www.mladi-znanstvenici.eu). Sadržaj ove publikacije isključiva je odgovornost Gornjogradske gimnazije. Projekt je sufinancirala Europska unija iz Europskog socijalnog fonda.
Uvod ....................................................................................................................................3
1. Kombinatorika i vjerojatnost.............................................................................................5
1. 1. Brojenje bez brojenja ........................................................................................................... 5
1.2. LOTO i ostale igre i sportovi .................................................................................................. 7
1.3. Kako matematičar igra pikado .............................................................................................. 8
1.4. Kad slučajnost odlučuje ...................................................................................................... 10
1.5. Kako povećati svoje šanse u kvizu? ..................................................................................... 12
2. Nacrtna geometrija ......................................................................................................... 14
2.1. Miš vs. olovka ..................................................................................................................... 14
2.2. Kako nacrtati ono što ne vidim? ......................................................................................... 14
2.3. Mogu li se paralelni pravci sjeći? ........................................................................................ 15
2.4. Pogled u nedogled .............................................................................................................. 15
2.5. Kako Spiderman vidi svijet? ................................................................................................ 16
2.6. Izrada projekta .................................................................................................................... 16
3. Financijska matematika .................................................................................................. 17
3.1. Kako postati dobar kamatar? ............................................................................................. 17
3.2. Možemo li se pametno zadužiti? ....................................................................................... 17
Sadržaj
3
Metodički priručnik za nastavnike
U ovom priručniku za svaku nastavnu jedinicu naveden glavni cilj te pripadni ishodi učenja. Napisane su i kratke upute za nastavnike kako bi se lakše koristili materijalima u papirnatom i digitalnom obliku te dobili smjernice na kojim se dijelovima treba zadržati, čemu posvetiti veću pažnju, što učenicima stvara poteškoće pri usvajanju sadržaja i koje metode rada se preporučuju. U priručniku za nastavnike nalaze se rješenja zadataka iz priručnika za učenike, izuzev onih iz poglavlja Nacrtna geometrija koja su napisana u digitalnom obliku.
Priručnik za nastavnike namijenjen je nastavnicima koji provode fakultativnu nastavu iz Matematike. Fakultativna nastava predviđena je za 35 sati i namijenjena učenicima trećih razreda. Očekuje se da će nakon uspješno završenog predmeta učenik moći:
• koristiti osnovne kombinatorne pojmove (permutacije, varijacije, kombinacije) za prebrojavanje i primijeniti ih na računanje vjerojatnosti događaja• osmisliti i riješiti jednostavnije projektne zadatke iz područja kombinatorike i vjerojatnosti• koristiti osnovne alate softwarea dinamične geometrije (Geometer’s Sketchpad)• izdvojiti temeljne pojmove i pravila perspektive• konstruirati perspektivne slike geometrijskih likova i tijela primjenom perspektive s jednim, dva ili tri nedogleda• usporediti načine ukamaćivanja složenog kamatnog računa i odabrati povoljniji• usporediti načine otplate zajma i odabrati povoljniji
Uvod
1. KOMBINATORIKA I VJEROJATNOST
KombinatorikaKombinatorika je grana matematike koja se bavi osnovnim svojstvima konačnih skupova i metodama prebrojavanja. Metode prebrojavanja su “prirodne” pa učenik lako prebroji bez poznavanja nazivlja (permutacije, kombinacije...). Zato učenike prvo stavljamo pred problem, zatim problem riješimo, a tek onda problemu dajemo ime.Rješenja primjera nalaze se u priručniku za učenike. Učenicima je za samu nastavu bolje pripremiti nastavne listiće bez rješenja kako bi imali priliku samostalno izvoditi zaključke i nalaziti vlastite putove do rješenja.
Za mnoge zadatke potrebno je unaprijed pripremiti materijale kojima učenici manipuliraju kako bi lakše došli do zaključaka. Bitno je učenicima ostaviti dovoljno vremena za dolazak do otkrića. Nakon svakog individualnog rada ili rada u skupinama potrebno je prodiskutirati rješenja i razmišljanja te detektirati ispravna, a ispraviti kriva razmišljanja.
Učenike kontinuirano treba poticati na procjenu rješenja.
1. 1. Brojenje bez brojenja
Cilj: Otkriti i primjenjivati načela prebrojavanja.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Razlikovati načela prebrojavanja2. Primijeniti formule (načela prebrojavanja)3. Izračunati permutacije s ponavljanjem4. Izračunati permutacije bez ponavljanja5. Razlikovati permutacije s ponavljanjem i bez ponavljanja
Upute za nastavnika: Na samom početku učenike podijelite u skupine po troje i svakoj skupini dajte “na poklon” tri različita predmeta (primjerice: knjigu, cd i šestar). Postavite im pitanje: “Na koliko načina možete među sobom podijeliti tri dobivena poklona?” Sačekajte odgovor svake skupine prije nego riješite zadatak.
Zadatke 1-3 učenici rješavaju u parovima. Potom diskutirajte rješenja.
Zadatke 4-6 učenici rješavaju individualno (nakon uvođenja načela prebrojavanja i rješavanja primjera), a zatim slijedi diskusija. Za zadatak 4 dobro bi bilo svakom učeniku dati dvije igraće kocke.Za rješavanje zadataka 7-12 učenike podijelimo u četvorke.
Dobro je skupinama davati jedan po jedan zadatak kako bi rasprava bila fokusiranija. Nakon što su sve skupine došle do svojih hipoteza za pojedini zadatak, prodiskutirajte rješenja i uvedite poopćenja. Učenike treba potaknuti da u svakom zadatku prije samog računanja pokušaju procijeniti rezultat.
Za zadatak 7 svakoj skupini dajte jedan lokot sa šifrom (zadatak se može prilagoditi lokotu kojeg nabavite). Svaki član grupe bira broj na jednom kolutu lokota (pritom pazi koje sve brojeve može izabrati tj. koliko mogućnosti ima). Zajedno dolaze do zaključka o ukupnom broju mogućnosti. Za zadatak 9 zamolimo učenike da izvade svaki po jednu kovanicu.Za zadatke 10-12 učenike treba potaknuti da isprobavaju razne razmještaje.
Prije zadatka 13 propitamo učenike znaju li što je Morseov kod, kada je nastao, gdje se koristi, od koliko osnovnih znakova se sastoji i od koliko osnovnih znakova se sastoji jedan znak. Po mogućnosti učenicima zadamo da odgovore na ova pitanja potraže na internetu. Ako to nije moguće učenicima možemo podijeliti PRILOG 1.
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.Uvedimo oznake: 1 – pobjeda 1. igrača, O – neriješeno, 2 – pobjeda 2. igrača.
Vidimo da postoji 9 načina odvijanja meča.
5
6
3
2
Zadatak 2.Uvedimo oznake: 1 – u setu je pobijedio 1. igrač, 2 - u setu je pobijedio 2. igrač.
Meč se može odvijati na 6 načina: 11, 121, 122, 211, 212, 22.
Zadatak 3.Uvedimo oznake: 1 – u igri je pobijedio 1. igrač, 2 - u igri je pobijedio 2. igrač.
Meč se može odvijati na 10 načina: 11, 1211, 12121, 12122, 122, 211, 21211, 21212, 2122, 22.
Zadatak 4.Neka je S skup načina da se dobije zbroj djeljiv brojem 6. Ako zbroj mora biti djeljiv sa 6, onda taj zbroj može biti samo jedan od brojeva 6 i 12. Neka je A skup načina da se dobije zbroj 6, a B skup načina da se dobije 12. Onda je ΑΒ = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) i B = (6,6) (prvi broj u uređenom paru označuje broj dobiven na prvoj kocki, a drugi broj dobiven na drugoj kocki). Kako je A ∩ B = Ø imamo k(S) = k(A) + k(B) = 5 + 1 = 6.
Zadatak 5.Za izbor učenice generacije imamo 3 mogućnosti. Za izbor učenika generacije imamo 5 mogućnosti. Po načelu umnoška ukupan broj načina je 3 · 5 = 15.
Zadatak 6.Ovdje se ne radi o disjunktnim skupovima. Neka je N skup učenika koji treniraju nogomet, a T skup učenika koji treniraju tenis. Onda je k(T) = 8, k(N) = 12 i k(T ∩ N) = 2.
Iz slike je očito da je k(T ᴜ N) = k(T) + k(N) - k(T ∩ N).Dakle u razredu je 8 + 12 - 2 = 18 učenika.
Zadatak 7.Ovdje ćemo koristiti načelo umnoška u općem obliku.
Neka je za provedbu neke zadaće potrebno provesti k izbora. Ako za prvi izbor imamo т1 mogućnosti, za drugi т2 mogućnosti, ..., i za k-ti izbor тk mogućnosti, onda za provedbu te zadaće, imamo т1 · m2 · … · тk mogućnosti. a) Na prvom kolutu može biti jedna od 6 znamenki (0, 1, 2, 3, 4, 5). Kada je prva znamenka odabrana, za drugi kolut ima 5 mogućnosti (sve osim one znamenke koju smo potrošili na prvom kolutu), za treći kolut imamo 4 mogućnosti i za četvrti kolut imamo 3 mogućnosti. Prema načelu umnoška imamo 6 · 5 · 4 · 3 = 360 četveroznamenkastih šifri.
b) Za svaki kolut imamo 6 mogućnosti. Ukupno imamo 6 · 6 · 6 · 6 = 1296 četveroznamenkastih šifri.
c) Na prvom kolutu može biti jedna od 5 znamenaka (1, 2, 3, 4, 5). Za drugi i treći kolut imamo 6 mogućnosti. Za četvrti kolut imamo 3 mogućnosti (0, 2, 4). Ukupno imamo 5 · 6 · 6 · 3 = 540 četveroznamenkastih šifri.
Zadatak 8.Ako na svakom zupčaniku ima n znakova onda ćemo imati n4 načina odabira šifre. Dakle, želimo da vrijedi n4 ≥ 106 iz čega slijedi n ≥ 10 , odnosno na svakom zupčaniku trebaju biti barem 32 znaka.
Zadatak 9.Jedan ishod ovog pokusa je uređena četvorka elemenata iz skupa P, N. Na primjer, to može biti: PNPN ili PPPP ili bilo koja od 24 = 16 mogućnosti.
Zadatak 10.Radi se o permutacijama bez ponavljanja duljine 4 od 4 elementa. Imamo 4 · 3 · 2 · 1 = 24 mogućnosti.
Zadatak 11.Neka bilo koji učenik zauzme bilo koju stolicu. Preostala tri učenika permutiramo. To možemo učiniti na 3! = 3 · 2 · 1 = 6 načina.
7
4
2 2
!
! !⋅
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
.
nk k kr
!
! ! !1 2
10
110
10
245
10
3120
=
=
= .
10
101
= .
10
4210
10
5252
10
6210
10
712
=
=
=
= 0
10
845
10
910.
=
=
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
n n nn n n
236
1
236 72 0 9
2
= ⇒
−( )= ⇒ − − = ⇒ =
Analogno:• Za okrugli stol s n stolica n osoba može sjesti na (n-1)! načina.
Zadatak 12.Broj permutacija svih elemenata je 4!. No, kako učenike razlikujemo samo po spolu - svejedno nam je u kojem su međusobnom poretku djevojke i svejedno nam je u kojem su međusobnom poretku dečki. Broj permutacija među djevojkama je 2! i broj permutacija među dečkima je 2!. Zato je konačan broj načina
= 6.
Analogno:• Ako između n elemenata koje permutiramo ima k1 elemenata jedne vrste, k2 elemenata druge vrste,
..., kr elemenata r-te vrste onda broj permutacija tog skupa iznosi .
Zadatak 13.Osnovni su znakovi “.” i “-”, a jedan se znak sastoji od najviše 5 osnovnih znakova.Ako imamo znak duljine 1 imamo 2 mogućnosti.Ako imamo znak duljine 2 imamo 22 = 4 mogućnosti.Ako imamo znak duljine 3 imamo 23 = 8 mogućnosti.Ako imamo znak duljine 4 imamo 24 = 16 mogućnosti.Ako imamo znak duljine 5 imamo 25 = 32 mogućnosti.Ukupno onda imamo 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 mogućih znakova.
1.2. LOTO i ostale igre i sportovi
Cilj:Primijeniti kombinatoriku u igrama.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Analizirati rezultate pokusa2. Procijeniti šanse za dobitak u igri na sreću3. Razlikovati kombinacije s ponavljanjem i bez ponavljanja4. Primijeniti kombinatorne pojmove na rješavanje zadataka iz svakodnevnog života
Upute za nastavnika: Na početku kroz igru Mastermind ponavljamo permutacije.Igru možete napraviti koristeći npr. ploču i magnete ili bockalicu ili papiriće u boji ili čepove boca...Igra se može igrati i online.
Za bolju demonstraciju kombinacija u primjeru možete donijeti špil igraćih karata i njih 10 staviti na stol.
Neka u zadatku 1 učenici prvo intuitivno pokušaju odrediti rješenje.
Učenike možete podijeliti u 6 grupa - svaka grupa računa jedno od:
Zadatke 4-8 možete dati učenicima kao istraživačke radove. Na web stranicama Hrvatske lutrije opisane su sve igre na sreću koje nude. Učenici mogu samostalno ili u grupama proučiti u kojoj igri postoji najmanje mogućih kombinacija, za koju igru bi bilo najpovoljnije uplatiti sve moguće kombinacije i u kojoj igri bi dobitak premašio uplatu svih mogućih kombinacija.Mogu istražiti i dodatne “pogodnosti” kao Super 7, Joker, zlatna kuglica...Ako ih radite zajedno poželjno je učenicima dati listiće pojedine igre da vide kako izgledaju i da pokušaju procijeniti broj mogućih kombinacija. Listiće mogu pogledati i online.
Zadatak 7 - postoje različite besplatne online Keno igre koje učenici mogu isprobati.Za preciznije računanje s velikim brojevima možete koristiti Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com).
Zadatak 8 - Odigrajte igru Bingo (tombola) i potaknite učenike da dok igraju računaju koliko kombinacija za izvlačenje postoji.
Prokomentirajte s učenicima sve dobivene rezultate, usporedite ih s njihovim očekivanjima i izvedite zaključke (Koliko moraš biti sretan u igrama na sreću? Kome se isplati igrati? Koju igru igrati?).
Pogledajte s učenicima kako Matt Parker (Fame Lab - International Final 2010) opisuje vjerojatnost dobitka na lutriji: https://www.youtube.com/watch?v=oikAgDUshlk.Video je lijep uvod u vjerojatnost.
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.Iz prethodnog primjera znamo da je . Očito je i da je
Računamo:
Vidimo da je najviše kombinacija za n = 5.
Kako se rješenje slaže s vašim predviđanjima?Zašto je broj kombinacija isti biramo li 2 ili 8 kartica? Zato što nam je svejedno razmišljamo li koje dvije kartice ćemo uzeti ili koje dvije kartice ćemo ostaviti.
Zadatak 2.Moguće je sastaviti = 462 petorke.
Zadatak 3.Neka je n broj trkača koje taj trener trenira. Imamo:Trener je birao između 9 trkača.
8
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
11
5
50
5
10
2
39
7
17
7
45
6
80
⋅
220
20
6
60
4
20
10
90
15
18
15
⋅
Zadatak 4.a) Moguće je = 95344200 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 1 430 163 000 kn (Milijarda i pol kuna).
Pogledajte koliki je Jamčeni Eurojackpot.
Zadatak 5.a) Moguće je = 15380937 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 46 142 811 kn.
c) Uplatom sistemskog listića sa 17 brojeva zapravo uplaćujemo = 19448 kombinacija. Taj ćemo listić platiti 58 344 kn.
Pogledajte koliki je Jamčeni Jackpot.
Zadatak 6.a) Moguće je = 8145060 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 16 290 120 kn.
Pogledajte koliki je Očekivani Jackpot.
c) Ne može svaki šesteroznamenkasti broj biti izvučen, npr. 111111 jer ne postoji šest kuglica sa znamenkom jedinica 1. Primijetite da se sve znamenke ne pojavljuju jednak broj puta među znamenkama jedinica brojeva od 1 do 45 - više će biti permutacija koje sadrže znamenke 1, 2, 3, 4, 5.
Zadatak 7.
a) = 3535316142212174320 ≈ 3.5 · 1018.
b) To su kombinacije u kojima je izabrano 6 od 20 izvučenih brojeva i 4 od 60 neizvučenih brojeva. Njih ima = 18900732600 ≈ 1.9 · 1010.
c) = 184756.
Zadatak 8.
a) = 45795673964460816 ≈ 4.6 · 1016. c) 90.
b) = 816.
VjerojatnostVjerojatnost je grana matematike koja se bavi problematikom brojčanog izražavanja stupnja vjerovanja da će se neki događaj dogoditi. Pojmove iz teorije vjerojatnosti učenici već nesvjesno koriste u svojim životima. Kroz stvarne primjere i iskustvene vježbe učenike učimo procjenjivati i računati vjerojatnosti.Često se za prebrojavanje broja elementarnih događaja ili povoljnih ishoda koristi kombinatorika. Zato je ovaj dio napisan u istom stilu pa vrijede iste upute:
Rješenja primjera nalaze se u priručniku za učenike. Učenicima je za samu nastavu bolje pripremiti nastavne listiće bez rješenja kako bi imali priliku samostalno izvoditi zaključke i nalaziti vlastite putove do rješenja.Za mnoge zadatke potrebno je unaprijed pripremiti materijale kojima učenici manipuliraju kako bi lakše došli do zaključaka. Bitno je učenicima ostaviti dovoljno vremena za dolazak do otkrića. Nakon svakog individualnog rada ili rada u skupinama potrebno je prodiskutirati rješenja i razmišljanja te detektirati ispravna, a ispraviti kriva razmišljanja.Učenike kontinuirano treba poticati na procjenu rješenja.
Učenicima se kao evaluacija može zadati seminarski istraživački rad, bilo samostalan ili u skupini, za koji sami prema vlastitom interesu pronalaze temu (iz svoje okoline) i računaju vjerojatnosti koje ih zanimaju.
1.3. Kako matematičar igra pikado
Cilj: Usvojiti definicije vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Opisati slučaj pokus2. Primijeniti klasičnu definiciju vjerojatnosti u rješavanju zadataka3. Izračunati geometrijsku vjerojatnost4. Primijeniti frekvencijsku definiciju vjerojatnosti
Upute za nastavnika: Započnite pitanjima: Kolika je vjerojatnost da će danas pasti kiša? Kolika je vjerojatnost da izaberem jednog od dvoje učenika? Kolika je vjerojatnost da danas pišete test iz Linearne algebre?Izmislite još neko pitanje vezano za trenutna zbivanja i/ili živote učenika.
Kako bi učenici bolje razumjeli i zapamtili pojam slučajnog pokusa dajte im novčić i tablicu na radnom listu Novcici datoteke Dodaci.xlsx. Neki učenici neka bacaju novčić i upisuju u tablicu P ako je palo pismo, a G ako je pala glava. Ostali učenici neka izmisle podatke. Izađite iz učionice i pustite da odrade pokus. Po povratku trebate pogoditi koje tablice su popunjene stvarnim podacima, a koje izmišljenim. Pogodit ćete tako što se u stvarnim podacima s jednakom vjerojatnošću pojavljuju sve kombinacije. Kada izmišljaju podatke učenici će izbjegavati duže nizove P-ova i G-ova jer smatraju da to nije vjerojatno.Objasnite učenicima kako ste pogodili i da je svako bacanje nezavisan pokus (novčić ne pamti).
9
Ova vježba je i dobar uvod u klasičnu definiciju vjerojatnosti gdje pretpostavljamo da su svi elementarni ishodi slučajnog pokusa jednako mogući.Popunjene tablice čuvamo - koristimo ih kod uvođenja frekvencijske definicije vjerojatnosti.
Za zadatak 1 pripremite špil od 52 karte s kojim učenici mogu manipulirati, prebrojavati karte i lakše vizualizirati vjerojatnost.
Na web stranici Državnog zavoda za statistiku možete pronaći razne podatke. Potaknite učenike da sami istraže i izračunaju vjerojatnost koja ih zanima. Zadatak 2 jedan je takav primjer.
Pri uvođenju frekvencijske definicije vjerojatnosti iskoristite tablice koje ste popunjavali podacima o rezultatu bacanja novčića. Popunite tablicu:
Broj bacanja (n) 5 25 50 75 100
Broj pisama
(frekvencija pisama, k)
Relativna frekvencija pisama
Kojem broju teže relativne frekvencije?Ako je novčić simetričan, relativne frekvencije bi trebale težiti broju 0.5. Bacanje novčića možete simulirati online aplikacijom (npr. http://www.shodor.org/interactivate/activities/Coin/ ). Evo rezultata te simulacije:
Broj bacanja (n) 5 25 50 75 100
Broj pisama
(frekvencija pisama, k)3 11 22 36 48
Relativna frekvencija pisama 0.6 0.44 0.44 0.48 0.48
Zadatak 3 učenici rade u parovima. Za svaki par treba pripremiti neprozirnu vrećicu i dva okusa iste vrste bombona (više primjeraka istog okusa).U rješenju se postavlja pitanje U čemu je greška? Način razmišljanja je dobar, ali je broj izvlačenja premalen. Potaknite učenike da pokušaju ponovo sa većim brojem izvlačenja.
Zadatak 5. Bilo bi dobro otići na pikado, odigrati jednu partiju i procijeniti odgovore na postavljena pitanja (možete to učiniti zajedno s učenicima ili im zadati za domaću zadaću). Zatim izmjeriti potrebne dimenzije, izračunati površine pa i vjerojatnosti. Dodatna pitanja za razmišljanje ili radove učenika: Za koje polje je najveća vjerojatnost za pogodak, a za koje najmanja? Kolika je vjerojatnost pogotka u polje koje nosi najviše bodova? Kolika je vjerojatnost pogotka u polje koje nosi najmanje bodova? Možete li na osnovu izračunatih vjerojatnosti i rasporeda polja osmisliti taktiku za lošeg igrača pikada? (http://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/darts/)?
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.a) U špilu je trinaest tref karata pa je vjerojatnost = = 25%.
b) U špilu su četiri kralja pa je vjerojatnost = ≈ 7.7%
c) U špilu je samo jedan tref kralj pa je vjerojatnost ≈ 1.9%
Zadatak 2.Na početku školske godine 2015./16. bilo je ukupno 860 matičnih i samostalnih osnovnih škola. U Splitsko-dalmatinskoj županiji ima ih 198. Tražena vjerojatnost je = 23%.
Zadatak 3.Pretpostavimo da se radi o bombonima okusa limun i jagoda. Pretpostavimo da konačna tablica izgleda ovako:
Broj izvlačenja (n) 5 10 15 20
limun (k1) 5 7 10 14
jagoda (k2) 0 3 5 6
Relativna frekvencija limuna ( ) 1 0.7 0.67 0.7
Relativna frekvencija jagode ( ) 0 0.3 0.33 0.3
Po podacima iz tablice zaključujemo da je vjerojatnost da izvučemo “limun” 0.7, a vjerojatnost da izvučemo “jagodu” 0.3.Ja sam stavila 7 “limuna”, ako to čini 70% ukupnog broja bombona u vrećici onda je u vrećici ukupno 10 bombona. Znači da je moj partner stavio 3 “jagode”.Napomena: Moj partner tvrdi da je stavio 5 “jagoda”. U čemu je greška?
Zadatak 4.Vjerojatnost da točka pripada osjenčanom paralelogramu jednaka je omjeru površine tog paralelograma i površine cijelog pravokutnika.
k
n
k
n
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
13
52
1
4
4
52
1
13
1
52
198
860
kn1
kn
2
P Am Am
a b
ab( ) = ( )
( )=
=
1
2 1
2.
Ω
Zadatak 5.Izračunajmo površine nekih područja.
Područje Radijus (u mm) Površina (u mm2)
cijela meta 170 Pт = r2 π = 28900π
Bull's eye 6.35 Pbe = r2 π = 40.3225π
Bull r1 = 6.35, r2 = 15.9 Pb = (r22 - r2 )π = 212.4875π
neki broj - Pi = = 1432.36π
Double r1 = 162, r2= 170 Pd = (r22 - r2 )π = 2656π
Triple r1 = 99, r2= 107 Pt = (r22 - r2 )π = 1648π
Sada imamo:a) Vjerojatnost da slučajno pogodimo centar (Bull’s eye) je omjer površine centra i površine cijele mete.
b)
Kako su površine koje pripadaju nekom broju jednake, pogađamo bilo koji broj s istom vjerojatnošću.
c)
d) Triple koji pripada jednom broju ima površinu . Zato je
Triple 20 nosi najviše bodova, no ako niste dobri u pikadu promašaj Triple 20 se „kažnjava“ sa 1 ili 5 bodova koji su oko polja 20.
e)
Primijetite da je vjerojatnost da slučajno pogodimo Bull veća od vjerojatnosti da pogodimo Triple 20.
f) Double koji pripada jednom broju ima površinu = 132.8π mm2. Zato je
1.4. Kad slučajnost odlučuje
Cilj:Primijeniti pravila za računanje vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:
1. Interpretirati pojmove suprotnog događaja, unije i presjeka događaja2. Primijeniti pravila za računanje vjerojatnosti3. Izračunati uvjetnu vjerojatnost događaja4. Kreirati zadatke iz područja vjerojatnosti5. Izračunati vjerojatnost događaja na temelju prikupljenih podataka
Upute za nastavnika: Svako pravilo za računanje vjerojatnosti treba s učenicima prodiskutirati. Pravila iz prve tablice lako slijede iz dijagrama.
Zadatak 3 učenici mogu raditi u parovima. Dajte im špil karata kako bi mogli prebrajati elemente pojedinog skupa i uočiti da se određene karte nalaze u oba skupa (presjek) pa moramo paziti da ih ne brojimo dva puta.
Za zadatak 4 učenike podijelite u parove, dajte im dvije igraće kocke i tekst zadatka. Neka kao Pascal i Fermat pokušaju riješiti de Méréovu nedoumicu. Prodiskutirajte rješenja.
Za zadatak 5 učenike podijelite u četvorke. Neka izaberu koju igru žele igrati - bitno je da se pobjednik može relativno brzo odrediti - bilo kakva utrka koju učenici mogu osmisliti (zatvorenih očiju, zavezanih nogu...), utrka u pretraživanju zadanog pojma (pojmovi mogu biti matematički), društvena igra (Memory, Uno, Boggle, Set, Tantrix...), online igra. Zatim im zadajte zadatak.
Kod uvođenja uvjetne vjerojatnosti pripremite kutiju s dvije vrste čokoladica istog oblika (ili slično), npr. 15 bombona - 5 punjenih likerom od višnje i 10 punjenih kremom od lješnjaka. Podijelite učenike u dvije skupine prema dražem punjenju - lješnjak i višnja. Vi izvlačite bombone, a učenici nakon svakog izvlačenja računaju kolika je vjerojatnost da u sljedećem izvlačenju izvučete njihov okus.Primjer prilagodite nabavljenim i korištenim materijalima.
Prije zadatka 9 učenicima podijelite tablice s radnog lista Bingo datoteke Dodaci.xlsx i pošaljite ih (mogu i u parovima) da pronađu 8 osoba i zapišu njihove rođendane (bitno je da svi imaju različite osobe, zato bilježe ime i prezime, mogu upisati i svoje datume rođenja). Po povratku odigrajte “Rođendanski bingo” - jedna osoba čita datume (bez godine rođenja), a ostali provjeravaju imaju li slučajno isti datum. Kada pronađu isti datum viču “Bingo!”.Tablicu možete prilagoditi broju učenika, prikupljena 23 datuma daju vjerojatnost 51%, a 56 datuma 95% da barem dvoje ljudi s popisa dijeli datum rođendana.
10
22
2 1
2
12
1
P Pm b−20
P Bull s eyem Bull s eyem meta
PPbe
m
′′
( ) = ( )( )
= = ≈.
.40 3225
289000
ππ
0001395 0 1≈ . %
P PPi
m
201432 36
289000 04956 5( ) = = ≈ ≈
.. %
ππ
P Triple PPt
m
( ) = = ≈ ≈1648
289000 05702 5 7
ππ
. . %
Pt20
82 42= π mm
P Triple .. . %20
82 4
289000 00285 0 3( ) = ≈ ≈
ππ
P Bull PPb
m
( ) = = ≈ ≈212 4875
289000 00735 0 7
.. . %
ππ
Pd20
P Double .. . %8
132 8
289000 0046 0 46( ) = ≈ ≈
ππ
11
Prije nego krenu u potragu popričajte o očekivanjima.Za računanje koristite Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com).
Rješenja zadataka
Zadatak 1.a) Āb) A∩Bc) Ā∩Bd) A Be) A B
Zadatak 2.a) “Ana nema psa.”b) “Ana ima psa i trenira boks.”c) “Ana ima psa ili trenira boks.”d) “Ana ima psa i ne trenira boks.”e) “Ana nema psa ili trenira boks.”
Zadatak 3.Označimo s A događaj “izvučena karta je pik”, a s B događaj “izvučena karta je slika”.
a)
b)
c)
d)
Zadatak 4.a) Prvo bacanje može završiti sa 6 ishoda. Drugo opet sa 6, treće sa 6 i četvrto sa 6. To je ukupno 64 = 1296 mogućih 4-nizova. To je broj elementarnih ishoda pri 4 bacanja igraće kocke.Označimo promatrani događaj sa A. Teško nam je prebrojati koliko postoji 4-nizova u kojima se barem jednom pojavljuje broj 6. Odredimo zato kolika je vjerojatnost da u četiri bacanja igraće kocke ne dobijemo ni jednu šesticu. To je događaj Ā. Za događaj „ni jednom nismo dobili šesticu“ postoji 54 = 625 povoljnih
ishoda, pa je P(Ā) = ≈0.48.
Sada lako odredimo vjerojatnost da je pala barem jedna šestica: P(A) = 1 - P(Ā) ≈ 0.52.
b) Svako od 24 bacanja dvije igraće kocke može završiti sa 36 ishoda. To je ukupno 3624 mogućih 24-nizova. To je broj elementarnih ishoda pri 24 bacanja dvije igraće kocke.Za događaj Ā = „u 24 bacanja nismo niti jednom dobili duplu šesticu“ postoji 3524 povoljnih ishoda (u svakom bacanju 35 opcija).
Stoga imamo
Kako je u prvoj igri šansa za dobitak nešto iznad 50% na nju se bolje kladiti nago na drugu igru, gdje je šansa za dobitak ispod 50%.De Méré je kockajući se došao do tog rezultata. Njegovo „matematičko“ razmišljanje bilo je pogrešno.
Zadatak 6.Ovdje se radi o nezavisnim događajima - drugo bacanje ne ovisi o rezultatu prvog bacanja (“novčić ne pamti”). Vjerojatnost da u bilo kojem bacanju dobijemo pismo je .Označimo li s A događaj “u prvom bacanju je palo pismo”, a s B događaj “u drugom bacanju je palo pismo” imamo: .
Zadatak 7.U sva tri podzadatka rješenje je isto: .
Zadatak 8.Pretpostavit ćemo ovdje da su letovi pilota neovisni. Događaj „pilot je oboren u jednom od 50 letova“ suprotan je događaju „pilot nije oboren u 50 letova“. Vjerojatnost da pilot nije oboren u jednom letu je 98% = 0.98. Vjerojatnost da pilot nije oboren ni u jednom od 50 letova onda je (0.98)50. Slijedi da je vjerojatnost da je pilot u jednom od tih letova oboren 1 - (0.98)50 ≈ 0.64. Vidimo da letač nije matematički siguran (vjerojatnost 100%) da će u 50 letova biti oboren.Len je ovu vjerojatnost računao krivo, kao 50 · 0.02 = 1.
Zadatak 9.I ovdje ćemo traženu vjerojatnost izračunati pomoću suprotnog događaja: „svi s popisa imaju rođendane na različite dane“.
Vjerojatnost da druga osoba ne dijeli rođendan s prvom je .
Vjerojatnost da treća osoba ne dijeli rođendan s prve dvije je .
Vjerojatnost da četvrta osoba ne dijeli rođendan s prve tri je .
I tako dalje.
Vjerojatnost da se dogode svi ti događaji (pretpostavimo sada da je popisano 40 osoba) je
Vjerojatnost suprotnog događaja (tj. da „barem dvije popisane osobe imaju rođendan na isti dan“) je1 - 0.11 ≈ 0.89.
∩∩
p A
P A P A
P A B P A P B P A B
( ) = =
( ) = − ( ) = − =
∪( ) = ( ) + ( ) − ∩
13
520 25
1 1 0 25 0 75
.
. .
(( ) = + − = =
( ) = − ( ) = − = ≈
∪
13
52
16
52
4
52
25
520 48
1 116
52
36
520 69
.
.P B P B
P A BB P A P B P A B( ) = ( ) + ( ) − ∩( ) = + − = ≈13
52
36
52
9
52
40
520 77.
625
1296
P A P A( ) = − ( ) = − = −
≈1 1
35
361
35
350 49
24
24
24
.
P A B P A P B A P A P B∩( ) = ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( ) = ⋅ = =|1
2
1
2
1
40 25.
P A B P A P B A P A P B∩( ) = ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( ) = ⋅ = =|1
2
1
2
1
40 25.
1
6
1
6
1
60 0046⋅ ⋅ ≈ .
364
365
363
365
362
365
326
365
364 325
3650 11
39⋅ ⋅ ⋅…⋅ = ≈
!/ !.
364
365
363
365
362
365
326
365
364 325
3650 11
39⋅ ⋅ ⋅…⋅ = ≈
!/ !.
364
365
363
365
362
365
326
365
364 325
3650 11
39⋅ ⋅ ⋅…⋅ = ≈
!/ !.
364
365
363
365
362
365
326
365
364 325
3650 11
39⋅ ⋅ ⋅…⋅ = ≈
!/ !.
1.5. Kako povećati svoje šanse u kvizu?
Cilj:Rješavati složenije zadatke koristeći stablo vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:• Primijeniti Bernoullijevu formulu• Riješiti zadatak pomoću stabla vjerojatnosti• Izračunati vjerojatnost događaja pomoću stabla vjerojatnosti• Kreirati zadatke koji se rješavaju pomoću stabla vjerojatnosti
Upute za nastavnika: Prije rješavanja zadatka 1 učenike potaknite da poslože tri navedena događaja od najmanje vjerojatnog do najvjerojatnijeg.
Primjer. Pripremite dvije kutije i dvije vrste čokoladica istog oblika (ili slično), npr. 15 bombona - 5 punjenih likerom od višnje i 10 punjenih kremom od lješnjaka. Trebat će vam i jedna igraća kocka.Neka učenici pokušaju odrediti što je vjerojatnije “izvučena je višnja” ili “izvučen je lješnjak”. Neka prema svojim hipotezama “uplate oklade”. Odigrajte nekoliko izvlačenja. Bolje bi trebali proći oni učenici koji su se “kladili u lješnjak”.Raspravite o njihovim razmišljanjima.
Neka učenici prije rješavanja zadataka 3 i 4 zapišu svoju procjenu. Nakon rješavanja usporedite rezultat s procjenama učenika.
Kao uvod u problem u zadatku 5 pogledajte isječak filma 21: https://www.youtube.com/watch?v=Q5nCtgcL4jU.Zaustavite video prije odgovora i prodiskutirajte s učenicima o njihovim očekivanjima.Na samom kraju pogledajte s učenicima video Lucky numbers kao ponavljanje i poticaj da se pozabave i Statistikom:https://www.youtube.com/watch?v=qOzA2QVQD2Q&list=PLEF190D2B9AF0FA34&index=9
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.a) Vjerojatnost uspjeha u jednom bacanju (pala je šestica) je , a vjerojatnost neuspjeha (nije pala šestica) je 5/6. Uspješna bacanja možemo odabrati na načina. Vjerojatnost da točno 4 puta padne šestica je
b) Ovdje je broj uspjeha 0, a broj neuspjeha 12. Vjerojatnost da niti jednom ne padne šestica je
c) Ovdje ćemo iskoristiti b) podzadatak. Događaj “dobili smo barem jednu šesticu” suprotan je događaju “nismo dobili ni jednu šesticu” pa je tražena vjerojatnost ≈ 1 - 0.1615 = 0.8385.
Zadatak 2.Ovdje je uspjeh “odabrana je šalica s greškom” i vjerojatnost tog događaja je 0.05. Vjerojatnost neuspjeha je 0.95.
a)
b)
c)
d) “Najviše dvije šalice s greškom” znači: “0 šalica s greškom” ili “1 šalica s greškom” ili “2 šalice s greškom”
tj.
e) “Barem tri šalice s greškom” znači 3, 4 ili 5 šalica s greškom - to je suprotan događaj događaju “najviše dvije šalice s greškom” pa je vjerojatnost 1 - 0.9988 = 0.0012.
Zadatak 3.Nacrtajmo stablo vjerojatnosti za ovog problema.
Sada kada imamo vjerojatnosti elementarni ishoda samo zbrojimo vjerojatnosti da pacijent dobije placebo:
12
1
6
1
6
1
60 0046⋅ ⋅ ≈ .
10
4
1
6
5
60 0543
10
0
1
6
5
6
4 6
0
≈
.
≈10
0 1615.
10
4
1
6
5
60 0543
10
0
1
6
5
6
4 6
0
≈
.
≈10
0 1615.
5
50 05 0 95 0 0000003
5
00 05 0 95 0 7738
5
5
5 0
0 5
≈
≈
. . .
. . .
≈0 05 0 95 0 0000003
5 0. . .
5
00 05 0 95
5
10 05 0 95
5
20 05 0 95 0
0 5 1 4 2 3
+
+
≈. . . . . . ..9988
1
4
1
10
1
200 4+ + = .
104
Zadatak 4.Nacrtajmo stablo vjerojatnosti.
Zanima nas vjerojatnost da smo zaraženi (Z) uz uvjet da nam je test pozitivan (+). Po formuli za uvjetnu
vjerojatnost imamo:
Iz stabla vjerojatnosti čitamo da je P (Z ∩ +) = 0.009 i P( + ) = 0.009 + 0.099 = 0.108 pa je
Ovaj rezultat možda će imati više smisla ako uočimo da je samo 1% populacije zaražen, pa je veća vjero-jatnost da će pozitivan test biti rezultat pogreške pri testiranju nego da je osoba zaista zaražena. Iz ovog razloga se ne bi trebale testirati nasumično odabrane osobe, već samo one koje pokazuju odgovarajuće simptome.
Zadatak 5.Označimo s• A1 događaj “automobil je iza 1. vrata”• A2 događaj “automobil je iza 2. vrata”• A3 događaj “automobil je iza 3. vrata”• V1 događaj “voditelj je otvorio 1. vrata”• V2 događaj “voditelj je otvorio 2. vrata”• V3 događaj “voditelj je otvorio 3. vrata”.
Nacrtajmo stablo vjerojatnosti.
Uzmimo da je voditelj otvorio 2. vrata. Ostanemo li pri odabiru 1. vrata, vjerojatnost da je automobil iz njih
je: Pametnije je promijeniti odabir vrata.
Zadatak 6.Nacrtajmo stablo vjerojatnosti.
P ZP ZP
|+( ) = ∩+( )+( )
P Z |+( ) = ≈ =0 009
0 1080 083 8 3
.
.. . %
P A VP A VP V1 2
1 2
2
1
6
1
601
3
1
3|( ) = ∩( )
( )=
+ +=
13
14
Tražimo vjerojatnost da je istraživač pokucao na vrata stana 1 uz uvjet da mu je otvorila žena:
2. NACRTNA GEOMETRIJA
Jedan je od glavnih ciljeva nacrtne geometrije stjecanje znanja, vještina i sposobnosti vizualizacije prostora. Učenici će se baviti problemima proizašlima iz svakodnevnih situacija, a prilikom njihova rješavanja razvijat će kreativnost i sustavan pristup što ima glavnu ulogu u znanstvenim i tehničkim otkrićima. Osvijestit će važnost i ulogu nacrtne geometrije u društvu od povijesti do danas te njenu primjenu u budućnosti.
Čitav sadržaj nacrtne geometrije obrađuje se u informatičkoj učionici uz upotrebu softwarea dinamične geometrije Sketchpad 5.03.HR. Tako su svi su materijali, osim u papirnatoj formi priručnika za učenike, prisutni i u digitalnom obliku. Na taj se način u fokus stavljaju matematičke ideje i aspekti, a ne same konstruktivne zadaće. Dinamičnost programa omogućuje da se jednom konstruirana figura može mijenjati i dopunjavati te sagledati iz različitih kutova. Sketchpad se razlikuje od klasičnih programa za crtanje koji se primjenjuju u arhitekturi i građevini jer zahtijeva više matematičkog znanja s obzirom da se figure konstruiraju, a ne crtaju iz gotovih predložaka. To omogućuje nastavniku da lako provjeri točnost crteža jer će se pomicanjem određenih točaka slika raspasti ukoliko nije pravilno konstruirana. Ovakav pristup poučavanju nacrtne geometrije čini sam sadržaj zanimljivijim i primjerenijim učenicima i današnjim potrebama društva, a zahtijeva puno manje vremena nego što je to slučaj kad se crteži konstruiraju rukom na klasičnoj nastavi.
Tijekom obrade svake nastavne jedinice učenici otvaraju istoimenu Sketchpad datoteku u kojoj se nalaze primjeri zadataka s prezentacijama koraka rješenja te predlošci za rješavanje zadataka s pripadnim rješenjima. Nastavnik istu datoteku ima na svom računalu (poželjno spojenom na projektor) i rješava sve primjere zajedno s učenicima, objašnjavajući detaljno svaki korak. Rješenja primjera s objašnjenjima nalaze se i u priručniku za učenike koji trebaju imati uz sebe (prikladno i u digitalnom obliku). Zadatci se rješavaju samostalno, a njihova je rješenja potrebno zajedno diskutirati.
Na samom je početku predviđeno da učenici rukom skiciraju jedan interijer i eksterijer prema vlastitom izboru. Može se organizirati i kraća terenska nastava u sklopu koje će učenici izraditi te crteže. Cilj aktivnosti je usporediti crteže rukom s onima izrađenima u Sketchpadu u sklopu samostalnog učeničkog projekta na kraju programa iz nacrtne geometrije. Na taj će način učenik dobiti povratnu informaciju o svom napretku, uočiti i komentirati greške koje je prije radio i osvijestiti koja je od pravila perspektive već prije intuitivno koristio, a koja su mu pomogla da svoj crtež učini realnijim.
2.1. Miš vs. olovka
Cilj: Koristiti osnovne alate i transformacije programa dinamične geometrije Sketchpad. Ishodi učenja:Učenik će:1. Nacrtati skup točaka ravnine u programu dinamične geometrije Sketchpad2. Koristiti transformacije Sketchpada3. Prenijeti dužinu i kut na zadani pravac4. Konstruirati zadani geometrijski lik 5. Koristiti akcijske gumbe Sketchpada
Upute za nastavnika: Učenici na početku sata otvaraju datoteku Miš vs. olovka.gsp.
U datoteci se nalaze 23 zadatka čiji je cilj upoznati učenike s osnovnim alatima i transformacijama programa dinamične geometrije The Geometer’s Sketchpad. Detaljne upute za rješavanje zadataka nalaze se u priručniku za učenike i iznimno je važno da im budu dostupne prilikom rješavanja. Učenici bi trebali biti samostalni u radu kako bi se što bolje snalazili s programom u daljnjim zadacima i uočili njegove prednosti i nedostatke. Ukoliko je netko od učenika prije radio s programom može preskočiti jednostavnije zadatke.
Nastavnik tijekom sata obilazi učenike i pomaže im ukoliko imaju problema. Važno je tijekom rješavanja svih zadataka napomenuti da se sve pomoćne dužine, pravci ili likovi koji ne trebaju biti na završnoj slici sakriju (kratica Ctrl+H). Oni se uvijek mogu vratiti pritiskom naredbe Vratite sve sakriveno. Međutim, ukoliko žele vratiti samo neke objekte, oni se prvo trebaju sakriti pomoću akcijskog gumba koji će se tada pojaviti na radnoj površini. Prilikom crtanja treba obratiti pažnju i na debljinu i izgled ravnih linija. Poželjno je da pomoćne linije budu tanje i/li iscrtkane/točkaste te da nije sve u istoj boji kako bi crtež bio pregledniji.
U zadnjem zadatku učenici trebaju korištenjem akcijskih gumba napraviti prezentaciju koraka rješenja prethodnog zadatka. Svaki akcijski gumb predstavlja jedan korak rješenja i oni se moraju umetati točno po redu kojim će se kasnije ti koraci pojavljivati. Poželjno je da za rješenja svih samostalnih zadataka u sljedećim poglavljima naprave takvu prezentaciju. To će ujedno i olakšati nastavniku da uoči grešku pri konstrukciji ukoliko se figura pomicanjem raspada.
Dodatne upute za rad s programom mogu se pronaći u izborniku Help ili na sljedećim linkovima:www.dynamicgeometry.comwww.keycurriculum.comwww.proven.hr
( ) ( )( )1
1
116
1 1 306 3
P S ženaP S žena
P žena∩
= = =+ +
15
2.2. Kako nacrtati ono što ne vidim?
Cilj:Riješiti temeljne zadatke iz područja stereometrije kao uvod u učenje Perspektive.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Odrediti probodište pravca i ravnine2. Razlikovati centralno i paralelno projiciranje3. Odrediti presjek dviju ravnina4. Nacrtati tlocrt, nacrt i bokocrt složenog geometrijskog tijela prikazanog u kosoj projekciji5. Prikazati složeno tijelo u kosoj projekciji pomoću tlocrta, nacrta i bokocrta
Upute za nastavnika: Učenici na početku sata otvaraju datoteku Kako nacrtati ono što ne vidim.gsp. Ovisno o dobi, odnosno predznanju učenika, na početku je nužno ponoviti u kakvom sve odnosu mogu biti pravci i ravnine u prostoru te definirati ortogonalnu i centralnu projekciju kako bi se u narednim zadacima odredila probodišta zadanih pravaca i ravnina te presjeci ravnina. Važno je istaknuti kako je kosa projekcija oblik paralelnog projiciranja, koje za razliku od centralnog, čuva paralelnost pravaca. Kako bi se 3D objekt što vjernije prikazao na 2D plohi koristimo ortogonalne projekcije na tri, u parovima međusobno okomite ravnine, koje nazivamo ravnina tlocrta, ravnina nacrta i ravnina bokocrta. Nakon što nastavnik zajedno s učenicima u primjeru 1 odredi tlocrt, nacrt i bokocrt zadanoga složenog tijela, isto će uraditi učenici samostalno u zadatku 1. Iako zadatak rješavaju na predlošku kocke koja se može rotirati, pa prema tome i postaviti u položaj nacrtne, tlocrtne i bokocrtne ravnine, učenici trebaju zadatak riješiti bez rotacije. Cilj je da kocku mentalno zarotiraju i „vide“ ono što nije direktno vidljivo na crtežu. Rotiranjem kocke mogu na kraju provjeriti rješenje.Primjer 3 predstavlja obrnutu i zahtjevniju situaciju gdje je na temelju prikazanog tlocrta, nacrta i bokocrta potrebno reproducirati tijelo u kosoj projekciji. Ovi zadatci obično zahtijevaju nešto više vremena i možda se ne stignu svi riješiti na satu, ali su jako važni za razvijanje prostornog zora kod učenika. Za domaću zadaću učenici mogu osmisliti vlastito složeno tijelo i poslati kolegama iz razreda njegov tlocrt, nacrt i bokocrt na temelju kojega će ga trebati rekonstruirati.
2.3. Mogu li se paralelni pravci sjeći?
Cilj: Otkriti temeljne pojmove i pravila perspektive i primijeniti ih pri rješavanju jednostavnijih zadataka.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Razlikovati perspektive prema stilskim razdobljima u likovnoj umjetnosti2. Opisati kako nastaje perspektivna slika objekta koji se nalazi u horizontalnoj, odnosno vertikalnoj ravnini3. Razmotriti utjecaj kuta koji pravac zatvara s ravninom slike na položaj nedogleda na horizontu4. Odrediti pravu duljinu dužine koja se nalazi u horizontalnoj ravnini i zadana je svojom projekcijom5. Odrediti pravu duljinu dužine okomite na horizontalnu ravninu i zadana je svojom projekcijom6. Nacrtati perspektivnu sliku kvadrata koji se nalazi u horizontalnoj ravnini
Upute za nastavnika: Učenici na početku sata otvaraju datoteku Mogu li se paralelni pravci sjeci.gsp.
Na početku će učenici pročitati kratki strip koji daje odgovor na pitanje mogu li se paralelni pravci sjeći. Potrebno je s učenicima komentirati kako naše oko paralelne pravce u horizontalnoj ravnini ne percipira kao paralelne već se oni sijeku u jednoj točki. To je motivacija za otkrivanje matematičkih pravila prilikom prikaza trodimenzionalnih objekata na dvodimenzionalnoj plohi.U odjeljku povijest perspektive nastavnik će učenicima kratko prepričati razvoj perspektive i spomenuti najznačajnije predstavnike i njihove radove.
Prije definiranja temeljnih pojmova učenici će na predlošku kocke istražiti kako nastaje perspektivna slika objekta, odnosno kako slikar vidi neki objekt. Potrebno je naglasiti kako kocka prikazana u kosoj projekciji predstavlja trodimenzionalni prostor u kojem se nalazi objekt. Važno je da učenici rotiraju kocku i sagledaju je iz različitih kutova te da otkriju što utječe na promjenu perspektivne slike. To mogu učiniti promjenom visine ili udaljenosti slikara od platna ili promjenom oblika samog lika kojeg „crtamo“. Nastavnik će potom definirati temeljne pojmove perspektive na predlošku kocke te zajedno s učenicima riješiti primjer 1.
Svako od pravila perspektive nastavnik treba demonstrirati učenicima na predlošku kocke i referirati se na prethodne crteže i fotografije na kojima je ono uočeno. Nakon toga će učenicima pojasniti što se nalazi na predlošku za crtanje na kojem će rješavati svaki od sljedećih zadataka. Primjere 2 i 3 nastavnik rješava zajedno s učenicima naglašavajući kako se prava veličina dužine nalazi na osnovici.
Zadatak 2 učenici rješavaju samostalno. Njime se provjerava samostalnost prilikom upotrebe pravila perspektive, a koristi se i veći broj alata Sketchpada. Za domaću zadaću učenici mogu istražiti što je to anamorfna, a što ulična perspektiva i usporediti ju s linearnom perspektivom.
2.4. Pogled u nedogled
Cilj:Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu sliku geometrijskog tijela.
Ishodi učenja:
Učenik će:
1. Odrediti pravu duljinu dužine zadane svojom projekcijom2. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu sliku mnogokuta koji leži u horizontalnoj ravnini3. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu sliku geometrijskog tijela kojem osnovka leži u horizontalnoj ravnini4. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu sliku složenog geometrijskog tijela
16
Upute za nastavnika:
Učenici na početku sata otvaraju datoteku Pogled u nedogled.gsp.
Prije rješavanja zadataka poželjno je s učenicima ponoviti pravila perspektive i prisjetiti se temeljnih pojmova i njihovih oznaka. Ta će se pravila direktno koristiti u narednim zadacima te je važno inzistirati na njihovom ponavljanju.
U primjeru 1 treba konstruirati perspektivnu sliku kvadrata u horizontalnoj ravnini zadanog svojim tlocrtom. Učenicima treba pojasniti zašto se prava veličina kvadrata nalazi ispod osnovice i kako nam to pomaže pri konstrukciji. Važno je da se ovaj primjer rješava korak po korak s detaljnim objašnjenjima i da se uoče i komentiraju korištena pravila. Naročito se treba bazirati na pravila 5 i 6 s obzirom da je perspektivna slika svake točke objekta presjek slike pravaca okomitog na osnovicu i slike pravca koji s osnovicom zatvara pola pravog kuta.
U primjeru 2 prilikom konstrukcije perspektivne slike kružnice treba objasniti ulogu pomoćnog kuta od 45° konstruiranog na osnovici. Također, treba posvetiti pažnju tome da učenici razumiju što je to lokus ili geometrijsko mjesto točaka kako bi mogli samostalno koristiti tu naredbu u sljedećim zadatcima. Kod određivanja perspektivne slike kocke (primjer 3) primjenjujemo svih 6 pravila perspektive i ovo je dobro mjesto da se ona još jednom ilustriraju. Tu se treba nadovezati na prethodnu cjelinu (Mogu li se paralelni pravci sjeći?) i komentirati kako mi zapravo vidimo kocku, a kako ju zamišljamo.
Zadatke 1-3 učenici rješavaju samostalno, a ukoliko ostane vremena nacrtat će perspektivnu sliku stolice iz učionice u kojoj se nalaze. Taj se zadatak može dati i za domaću zadaću jer je koristan za uvježbavanje pravila perspektive. Umjesto stolice mogu se odabrati i neki drugi jednostavniji predmeti u prostoriji u kojoj se nalaze i nacrtati njegovu sliku.
2.5. Kako Spiderman vidi svijet?
Cilj:Nacrtati primjenom perspektive s dva i tri nedogleda perspektivnu sliku složenoga geometrijskog tijela.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Razlikovati perspektivu s jednim od perspektive s dva nedogleda2. Razlikovati perspektivu s dva od perspektive s tri nedogleda3. Nacrtati primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu sliku objekta zadanog svojim tlocrtom 4. Nacrtati primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu sliku objekta
Upute za nastavnika: Učenici na početku sata otvaraju datoteku Kako Spiderman vidi svijet.gsp.
U primjeru 1 važno je diskusijom doći do zaključka da na drugoj i trećoj fotografiji vertikalni pravci više nisu vertikalni te da i oni imaju svoj nedogled, a njegov će položaj ovisiti o smjeru gledanja promatrača. Na prvoj fotografiji Spiderman gleda prema horizontu i zato vertikalni pravci ostaju vertikalni. To je uvod za perspektivu s dva, odnosno s tri nedogleda.
U primjeru 2 učenici će na dvjema fotografijama Muzeja suvremene umjetnosti odrediti položaje nedogleda. Treba komentirati kako broj nedogleda ovisi o kutu gledanja, ali da se oni uvijek nalaze na horizontu, te da su vertikalni pravci ostali vertikalni.
Prilikom određivanja perspektivne slike kvadrata (primjer 3) u općem položaju koristimo ista pravila kao u prethodnoj lekciji. Treba naglasiti kako bez obzira što nijedna od njegovih stranica nije okomita na osnovicu niti zatvara s njom kut veličine 45°, možemo uvijek konstruirati vrhovima kvadrata te pravce i odrediti njihove perspektivne slike. Nakon što nacrtaju sliku kvadrata, učenici trebaju odrediti nedoglede međusobno paralelnih pravaca i uočiti da se oni uvijek nalaze na horizontu.U primjeru 4 treba pojasniti učenicima kako koristiti naredbu Transformacije u Sketchpadu i na taj način odjednom preslikati čitav skup točaka ravnine koji je zadan svojim tlocrtom.U zadatku 2 učenici ne trebaju crtati tlocrt kuće, već po volji odabrati položaj dvaju nedogleda na horizontu. Također, sve dimenzije kuće trebaju se moći mijenjati, ali omjer točaka A, P1, i B, odnosno A, P i B mora ostati jednak.
Nakon što učenici skiciraju tri nedogleda međusobno paralelnih pravaca (primjer 6) treba komentirati kako položaj trećeg nedogleda ovisi gledamo li prema dolje ili gore, odnosno radi li se o ptičjoj ili žabljoj perspektivi. Vezu između tih dviju perspektiva najlakše je pokazati u primjeru 7 pomicanjem trećeg nedogleda iznad, odnosno ispod horizonta.Za domaću zadaću učenici trebaju osmisliti što će crtati u sklopu završnog projekta na sljedećem satu i rukom skicirati tlocrt objekta, ulice ili unutrašnjosti interijera, ovisno za što se odlučio.
2.6.Izrada projekta
Cilj:Konstruirati perspektivnu sliku interijera ili eksterijera u programu dinamične geometrije Sketchpad.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Osmisliti projekt na zadanu temu: crtanje eksterijera ili interijera2. Isplanirati faze nastanka projekta 3. Predvidjeti moguće poteškoće pri realizaciji projekta4. Prezentirati projekt5. Komentirati probleme na koje je naišao pri realizaciji projekta6. Usporediti crtež rukom s crtežom u Sketchpadu
Kao završni rad na kraju predviđenog programa iz Nacrtne geometrije učenik treba nacrtati sliku jednog interijera ili eksterijera. Može se odlučiti za motiv s jednog od crteža kojeg je izradio rukom ili osmisliti vlastitu kuću iz snova, dizajnirati sobu, kuhinju ili dnevni boravak… Poželjno je da učenik prvo konstruira tlocrt objekta kojeg želi nacrtati, naročito ako crta neku poznatu građevinu pa može odrediti omjere njenih dimenzija.Prilikom prezentacije projekta učenik treba navesti motivaciju pri odabiru teme, detaljno opisati sve faze njegove izrade i komentirati eventualne probleme. Također, treba opisati ključne korake pri konstrukciji nekog geometrijskog lika i tijela te navesti koje je alate Sketchpada koristio. Na kraju, učenik će svoj rad usporediti sa crtežima rukom koje je načinio na početku poučavanja nacrtne geometrije i komentirati koje je greške tada radio, na što nije obraćao pažnju i koliko je napredovao.
17
3. FINANCIJSKA MATEMATIKA
U ovom poglavlju želimo ukratko učenike upoznati s osnovnim pojmovima financijske matematike. Cilj je učenicima matematiku prokazati kroz neku drugu prizmu. S jednostavnim kamatnim računom učenici su se sreli u sedmom razredu osnovne škole. No, nažalost, svjedoci smo slabe financijske pismenosti naših učeni-ka. Zbog toga želimo kroz par sati u fakultativnoj nastavi učenike upoznati s osnovnim pojmovima i želimo da sami dođu do nekih zaključaka. Što je isplativije? Koji način ukamaćivanja je za nas kao korisnika financijskih usluga koje nam pružaju banke isplativiji? i kako bi na pametan način mogli raspolagati svojim novcem. Sve u svrhu kako bi jednog dana postali savjesni ljudi, koji na racionalan način raspolažu svojim kapitalom i ako je ikako moguće da štednjom povećaju svoj kapital.
3.1. Kako postati dobar kamatar?
Cilj: Otkriti i primijeniti formule kamatnog računa.
Ishodi učenja:
Učenik će:1. Razlikovati složeni i jednostavni kamatni račun2. Primijeniti formulu složenog kamatnog računa3. Usporediti komforni i relativni način ukamaćivanja 4. Analizirati prikupljene informacije o načinu ukamaćivanja u bankama5. Razlikovati početnu i konačnu vrijednost glavnice
Upute za nastavnika: Kroz par primjera iz svakodnevnog života (potrošački krediti, minus na tekućem računu, stambeni krediti, promjenjive kamatne stope) osvijestiti učenike kako je financijska matematika bitna i kako je važno baratati nekim osnovnim pojmovima financijske matematike.
Nakon toga proći kroz priručnik s učenicima i upoznati ih s jednostavnim i složenim kamatnim računom. Pobrojati osnovne pojmove financijske matematike. Pokazati kako razlikujemo dekurzivni i anticipativni način ukamaćivanja. Učenici bi trebali uočiti razliku između tih ukamaćivanja. Kroz prvih sedam primjera učenici primjenjuju formule jednostavnog i složenog računa. Također bitno je i razlikovati početnu i konačnu vrijednost glavnice. Razlikuju li učenici te pojmove možemo provjeriti rješavajući Primjer 6. i Primjer 7.
Nakon toga, prokomentiramo s učenicima dosadašnje primjere i primjere iz svakodnevnog života. Rijetko kad uplate vršimo godišnje, uglavnom je to mjesečno. Nakon diskusije uvodimo pojam relativne i komforne kamatne stope.
Podijelite učenike u tri grupe, svaka grupa riješi po jedan zadatak (Zadatak 1. – 3.). Nakon što su riješili zadatak, učenici diskutiraju dobivena rješenja i kroz raspravu o ukamaćivanju dolaze do zaključka koja je kamatna stopa povoljnija za nas kad štedimo, a koja kada se zadužujemo.Na kraju sata učenici dobivaju zadatak istražiti situaciju u bankama koje posluju na teritoriju Republike Hrvatske.
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
3.2. Možemo li se pametno zadužiti?
Cilj:Razlikovati prenumerando i postnumerando periodične uplate/isplate od zajmova i primijeniti naučena pravila pri rješavanju zadataka.
Ishodi učenja:
Učenik će: 1. Razlikovati pojmove prenumerando i postnumerando periodične uplate/isplate 2. Razlikovati početnu i konačnu vrijednost periodičnih uplata/isplata 3. Primjenjivati formule 4. Analizirati otplatnu tablicu zajma
Cnmp
C
0
3
15000
3
12
5
====
=
%
_________
?
C C rCC
nn= ⋅
= ⋅
=
0
3
3
3
15000 1 05
17364 38
'
'
.
,
Cn nmp
C
0
3
15000
3 36
12
5
=
= ⇒ ===
=
'
'
%
_________
?
C C r
CC
n3 0
3
1236
3
15000 1 05
17364 38
' '
'
'
'
.
,
= ⋅
= ⋅
=
Cn nmp
C
r
0
3
15000
3 36
12
5
== ⇒ ===
=
%
_____________
?
p pm
r p
C
r
rr
= =
= + =
= ⋅ =
5
12
1100
1 00417
15000 1 00417 17422 083
36
,
, ,
18
Upute za nastavnika: Na početku sata treba prokomentirati s učenicima rezultate istraživanja koji način obračuna se primjenjuje u bankama i u kojim financijskim ponudama.
Nakon toga upoznati učenike s periodičnim uplatama koje se razlikuju po periodu uplate – početkom ili krajem vremenskom intervala uplata. Uvesti pojam prenumerando i postnumerando periodične uplate/isplate. Također i ovdje razlikujemo početnu i konačnu vrijednost uplata/isplata. Ovdje još uvodimo i pojam rate/rente. Kroz primjere učenici usvajaju sve te pojmove i primjenjuju formule u određivanju traženih iznosa.
U zadacima učenici primjenjuju stečeno znanje. Moraju razlikovati početnu i konačnu vrijednost glavnice i jesu li uplate prenumerando, odnosno postnumerando. U Zadatku 1. primjenjuju znanje stečeno na prethodnom satu. Moraju uočiti kako se vremenski interval ukamaćivanja razlikuje od vremenskog intervala nominalne kamatne stope, stoga moraju primijeniti komforni ili relativni način obračuna kamata.
Kao primjenu periodičnih uplata/isplata navodimo zajmove i to samo one koji se vraćaju u jednakim anuitetima ili jednakim otplatnim kvotama. Bitno je da učenici uoče razliku između tih zajmova i morali bi razlikovati pojmove anuitet i otplatna kvota. Otplatne tablice s učenicima možete izraditi i u MS Office Excel – u.
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.Prvo izračunamo koliko ćemo imati na kraju desete godine, potom odredimo iznos kojim ćemo raspolagati na kraju trinaeste godine i on će biti početna vrijednost za konačnu vrijednost od koje će se isplaćivati 6 jednakih godišnjih iznosa (koji mogu biti postnumerando ili prenumerando)
Zadatak 2.Da bismo mogli uspoređivati ponude, moramo ih svesti na isto vrijeme. Možemo određivati kolike bi ponude bile danas ili na kraju osme godine (zbog toga što bi Marko isplatio automobil za osam godina). Mi ćemo svesti na današnju ponudu.
Petrova ponuda:Petar nudi 35 000, 00 kn odmah i 18 000, 00 kn za četiri godine. Kako ponudu proučavamo dana, moramo odrediti koliko bi tih 18 000,00 kn vrijedilo danas.
Markova ponuda:Odredimo početnu vrijednost na početku treće godine postnumerando periodičnih uplata od po 10 000,00 kn tijekom 5 godina, iznos biti će iznos na kraju treće godine i tražimo onda njenu početnu (današnju) vrijednost.
Zadatak 3.
Kroz 6 godina otplatiti ćemo 6 anuiteta, što ukupno iznosi Kako smo se zadužili 250 000,00 kn, a vratiti ćemo 338 377,39 kn ukupni iznos kamata biti će razlika tih dvaju iznosa. Ukupne kamate iznose 88 377,39 kn.
Petardanas = + =3500018000
1 06149204 01
4,
,
A
Marko
post
danas
( ) = ⋅−
⋅ −( )=
5
5
510000
1 061 1
1 061 1 061 148310 68
,
, ,,
== =48310 68
1 06140448
3
,
,
A
Marko
post
danas
( ) = ⋅−
⋅ −( )=
5
5
510000
1 061 1
1 061 1 061 148310 68
,
, ,,
== =48310 68
1 06140448
3
,
,
Cnp r
a
0250000
6
9 4 1 094
=== ⇒ =
=
, ,
_________________
?
a = ⋅⋅ −( )
−=250000
1 094 1 094 1
1 094 156396 23
6
6
, ,
,,
6 56396,23 338377,39.⋅ =
O projektu Naziv projekta:Prirodoslovna lepeza za mlade znanstvenike – suvremena nastava za izazove tržišta
Vrijednost projekta:2.294.739,50 kn
EU sufinanciranje 100%:2.294.739,50 kn
Nositelj/korisnik:Gornjogradska gimnazija, Zagreb
Trajanje projekta:23.10.2015. – 22.10.2016. (12 mjeseci)
Podaci o lokaciji projekta:Grad ZagrebLičko-senjska županijaZadarska županijaPosrednička tijela
Posrednička tijelaMinistarstvo znanosti, obrazovanja i sportaDonje Svetice 38, 10000 ZagrebCentrala: 01 4569 000Faks: 01 4594 301Web: www.mzos.hrE-mail: [email protected]
Agencija za strukovno obrazovanje i obrazovanje odraslih, Organizacijska jedinica za upravljanje strukturnim instrumentima (DEFCO)Radnička cesta 37b, ZagrebTelefon: 01 62 74 666Telefaks: 01 62 74 606E-mail: [email protected]: www.asoo.hr/defco/
Više informacija o EU fondovima dostupno je na internetskoj stranici Ministarstva regionalnoga razvoja i fondova Europske unije: www.strukturnifondovi.hr
Nositelj projekta Gornjogradska GimnazijaAdresa:Trg Katarine Zrinske 5, 10 000 ZagrebTelefon: 01 4875 933 Fax: 01 4851 947E-mail: [email protected]: www.gimnazija-gornjogradska-zg.skole.hrVoditeljica projekta: Magdalena Radočaj
PartneriGimnazija Vladimira Nazora ZadarAdresa: Perivoj Vladimira Nazora 3/II, 23000 ZadarTelefon, Fax: 023 315 311E-mail: [email protected]: www.gimnazija-vnazora-zd.skole.hr
Srednja škola Pavla Rittera Vitezovića u SenjuAdresa: Vjenceslava Novaka 2, 53270 SenjTelefon: 053 881 011; Faks: 053 884 868E-mail: [email protected]: www.ss-prvitezovica-senj.skole.hr
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije, Sveučilište u ZagrebuAdresa: Marulićev trg 19, 10 000 ZagrebTelefon: 01 4597 261E-mail: [email protected]: www.fkit.unizg.hr
www.mladi-znanstvenici .eu
