Embed Size (px)
Citation preview
Joško Meter
GOSPODARSKA MATEMATIKA 1. dio
VELEUČILIŠTE VERN Studij Ekonomije poduzetništva
2
Sadržaj
Uvod ................................................................................................................................................................ 5 Zašto je matematika potrebna ekonomistima? ..................................................................................... 5 Kako se služiti skriptom i kako učiti matematiku? ................................................................................. 6
1. Repetitorij elementarne matematike ......................................................................................................... 8
1.1. Skupovi ...................................................................................................................................................... 8
Oznake .................................................................................................................................................... 8 Zadavanje skupa ..................................................................................................................................... 8 Unija, presjek i razlika skupova, komplement skupa ............................................................................. 9 Skupovi brojeva .................................................................................................................................... 10
1.2. Realni brojevi .......................................................................................................................................... 11
Brojevni pravac..................................................................................................................................... 11 Intervali ................................................................................................................................................ 11 Apsolutna vrijednost realnog broja ...................................................................................................... 12 Koordinatni sustav u ravnini................................................................................................................. 12
1.3. Razlomci .................................................................................................................................................. 13
Skraćivanje i proširivanje razlomaka .................................................................................................... 13 Uspoređivanje razlomaka ..................................................................................................................... 14 Pretvaranje razlomaka u decimalne brojeve i obratno ........................................................................ 16
1.4. Potencije ................................................................................................................................................. 16
1.5. Korijeni, potencije s razlomljenim eksponentima .................................................................................. 18
1.6. Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom ........................................................................................ 20
1.7. Linearna nejednadžba ............................................................................................................................. 21
1.8. Jednadžba pravca .................................................................................................................................... 24
1.9. Sustav jednadžbi ..................................................................................................................................... 27
1.10. Kvadratna jednadžba .............................................................................................................................. 31
1.11. Logaritmi ................................................................................................................................................. 34
1.12. Aritmetički i geometrijski niz .................................................................................................................. 36
Niz ........................................................................................................................................................ 36 Aritmetički niz ...................................................................................................................................... 36 Geometrijski niz.................................................................................................................................... 38
2. Diferencijalni račun s temeljnim primjenama u ekonomiji ........................................................................ 41
2.1. Realne funkcije realne varijable .............................................................................................................. 41
Definicija funkcije ................................................................................................................................. 43 Graf funkcije ......................................................................................................................................... 44 Linearna funkcija .................................................................................................................................. 45 Nultočka funkcije .................................................................................................................................. 46 Kompozicija funkcija ............................................................................................................................. 47 Inverzna funkcija .................................................................................................................................. 48 Rast i pad funkcije ................................................................................................................................ 49 Kvadratna funkcija ................................................................................................................................ 51 Podjela realnih funkcija realne varijable .............................................................................................. 52 Eksponencijalna funkcija ...................................................................................................................... 54 Logaritamska funkcija........................................................................................................................... 54
3
Zadaci za vježbu ................................................................................................................................... 56
2.2. Funkcije u ekonomiji ............................................................................................................................... 58
Funkcija ponude, funkcija potražnje .................................................................................................... 58 Funkcija ukupnih troškova, funkcija prosječnih troškova .................................................................... 66 Funkcija ukupnog prihoda .................................................................................................................... 70 Funkcija dobiti, rentabilnost ................................................................................................................ 72 Zadaci za vježbu (Funkcije ekonomskih varijabli) ................................................................................. 74
2.3. Derivacija funkcije jedne varijable .......................................................................................................... 77
Definicija i interpretacija derivacije ...................................................................................................... 77 Pravila deriviranja ................................................................................................................................ 81 Derivacije višeg reda ............................................................................................................................ 84 Funkcija graničnih troškova .................................................................................................................. 85 Zadaci za vježbu (derivacije i derivacije višeg reda) ............................................................................. 86
2.4. Ekstremi realnih funkcija jedne varijable ................................................................................................ 87
Problem optimuma .............................................................................................................................. 92
2.5. Elastičnost funkcija jedne varijable ......................................................................................................... 96
Koeficijent elastičnosti u jednoj točki .................................................................................................. 96
2.6. Funkcije više varijabli .............................................................................................................................. 98
Parcijalne derivacije ............................................................................................................................. 99 Parcijalne derivacije višeg reda .......................................................................................................... 100 Ekstremi funkcija više varijabli ........................................................................................................... 102 Parcijalna i ukrštena elastičnost ......................................................................................................... 104 Homogene funkcije ............................................................................................................................ 105 Zadaci za vježbu (Ekstremi i elastičnost) ............................................................................................ 106
4
Predgovor Skripta „Gospodarska matematika“ namijenjena je studentima Veleučilišta VERN kao osnovna literatura za istoimeni predmet na studiju Ekonomije poduzetništva. Neki njeni dijelovi, a posebice poglavlje „Financijska matematika“ mogu poslužiti i kao praktičan priručnik za određene slučajeve iz poslovne prakse. manje izravna formulacija
Dio skripte posvećen je obnavljanju elementarnih matematičkih znanja, a služi kao podsjetnik studentima. Posebno smo imali na umu i studente izvanrednog studija kod kojih je prošlo podosta vremena od zadnjeg susreta sa formalnim izučavanjem matematike.
Cilj predmeta Gospodarska matematika, pa tako i ove skripte, je podići razinu matematičkog znanja studenata na onu koju zahtijeva studij poslovne ekonomije, a i buduća poslovna praksa.
Ovladavanje programom predmeta predstavlja važan oslonac u daljnjem tijeku studija budući da će student steći znanja i vještine potrebne za neometano praćenja ostalih predmeta u kojima se pojavljuju matematičke ideje i metode, a istovremeno će ovladati i nekim praktičnim tehnikama koje su izravno primjenjive u poslovnoj praksi ekonomista ili poduzetnika.
Matematička zahtjevnost gradiva Gospodrske matematike nije velika i primjerena je stručnom studiju. Nastojalo se kroz jednostavne primjere izložiti osnovne ideje i načela kroz temeljne primjene u ekonomskoj analizi.
Skriptu sam napisao uz pomoć kolegica sa Odjela matematike i statistike Josipe Akalović i Anite Smud , te kolege Ivana Raguža.
Joško Meter
5
Uvod
Dosadašnje iskustvo u nastavi pokazalo je da je značajna prepreka uspješnom svladavanju nastavnog programa ovog predmeta osim neredovitog i nedovoljnog samostalnog rada, izostanak jasne motivacije za učenjem matematike kao predmeta. Naime, među studentima je dosta raširen pristup gradivu matematike u kojemu se ono smatra nečim što treba savladati, uglavnom na razini šabloniziranih postupaka, a što nema neku određenu svrhu ili korisnost. Često izvedba nastave i sadržaj nekih udžbenika s kojima su se studenti susretali u prethodnom školovanju nisu pomogli uklanjanju takvih stavova.
Želja nam je u nastavku objasniti koju korist student može imati od svladavanja našeg programa matematike.
Zašto je matematika potrebna ekonomistima?
Ekonomist često mora procjenjivati kako bi mogle reagirati neke ekonomske veličine ako se dogode određene promjene, te na temelju takvih procjena donositi odluke. Primjerice, predmet zanimanja može biti: kakav učinak će izazvati porast kamatnih stopa na cijene nekretnina a kakav na zaposlenost u građevinskom sektoru, sušna godina na cijene povrtlarskih proizvoda, promjena poreznog sustava na poslovanje obrtnika, i slično. Ekonomija kao znanost nudi niz načela i uputa koje treba slijediti ukoliko se želi efikasno rasporediti (alocirati) postojeće resurse, što je osnovna zadaća svakog poduzeća i svakog poslovanja. Matematika je neizbježno sredstvo za bilo kakvu ozbiljnu primjenu ekonomskih načela u spomenutim i sličnim analizama.
Na uvodnoj razini ekonomske analize, procjene o kretanju neke ekonomske varijable često se objašnjavaju uz pomoć grafova. Stoga je za studenta važno da dobro razumije pojam grafa, da iz njega zna očitavati sve što je potrebno, te da grafički prikaz kao sredstvo (alat) može kompetentno primjeniti i u budućim vlastitim analizama.
Ono što matematici daje važnost u izučavanju ekonomije je potreba za kvantificiranjem, mjerenjem promjena i učinaka. Može se reći da je svakome tko ima osnovna iskustva s tržištem jasno da će povećanje cijene nekog proizvoda izazvati veći ili manji pad njegove potražnje. Međutim, ekonomist bi trebao biti u stanju reći za koliko će se smanjiti potražnja nakon nekog određenog povećanja cijene. I povrh toga, kako će baš ta promjena cijene utjecati na prihod od prodaje tog proizvoda, te u konačnici na dobit poduzetnika ili poduzeća.
Kod izučavanja ekonomije, matematički zapis kao jedna vrsta kratice može neke pojmove ili odnose predstaviti jasnije nego što bi to bilo moguće učiniti riječima. Prednosti algebarskog zapisivanja, kratkoća i preciznost, još više dolaze do izražaja kada treba već usvojene odnose upotrebljavati u daljnim analizama. Primjerice, odnos između dnevne potražnje za brokulom na jednom štandu tržnice i njene cijene, možemo riječima opisati ovako: „Količina brokule
koja se dnevno proda je 300 kg po cijeni nula kuna a opada za 15 kg za svaku kunu porasta
cijene kilograma brokule.“ Isti taj odnos možemo matematički opisati ovako: 30015 +−= pq ,
uz pretpostavku da smo prethodno razjasnili da varijabla q predstavlja traženu količinu brokule u kilogramima, a p cijenu kilograma brokule na tom štandu izraženu u kunama.
6
Ukoliko se radi o složenijim odnosima, koji mogu uključivati i više varijabli, njihova matematička formulacija postaje jedini način da se oni iskažu i time omogući daljnja analiza.
Nakon završetka studija mnogi studenti će doći u priliku donositi stvarne odluke povezane sa optimalnom upotrebom resursa. Matematičke metode su temelj mnogih takvih problema. Iako se u ovom predmetu neke od tih metoda proučavaju samo u naznakama, važno je da student može prepoznati vrstu problema koji se mogu riješiti. Čak i kada je matematičko znanje potrebno za njihovo rješavanje daleko iznad razine stručnog studija ekonomije, već samo prepoznavanje problema, njegovo razumijevanje i sposobnost njegova preciznog formuliranja je značajan dobitak. Osposobljavanje u tom pogledu je jedan od ciljeva predmeta.
Kako se služiti skriptom i kako učiti matematiku?
Skripta kao pomoć u provjeri, pripremi, nadoknadi i utvrđivanju gradiva
Iako smo se trudili uključiti što više pojašnjenja, treba napomenuti da skripta ipak nije udžbenik, niti može zamijeniti redovito pohađanje nastave. Prvenstvena joj je uloga da studentu olakša provjeru i utvrđivanje znanja stečenih na nastavi, te da mu omogući nadoknadu eventualne propuštene nastave. Vrlo je poželjno da se student priprema za sat matematike proučavajući i gradivo koje predstoji, pa i tu skripta može dobro poslužiti. To je ujedno i najbolji način usvajanja gradiva, gdje se na nastavi u potpunosti razjašnjava ono što je eventualno ostalo nejasno iz samostalnog rada. U tom slučaju interaktivna nastava, kakva se na Veleučilištu VERN posebno njeguje, dolazi do punog izražaja u svojoj efikasnosti.
Izuzetna važnost redovitog samostalnog rada
Jedan od važnih preduvjeta uspješnog svladavanja progama predmeta Gospodarska matematika je redoviti samostalan rad.
Matematika je općenito po količini novih informacija i ideja relativno zahtjevan predmet. Ali to nije osnovna teškoća. Naime, kod izlaganja novog gradiva posebno je izraženo oslanjanje na prethodno gradivo. Dakle, podrazumijeva se da je student razumio i u potpunosti usvojio gradivo koje je prethodilo. Primjerice, nije moguće razumjeti pojam grafa funkcije ako se ne razumije koordinatni sustav. Ovakvih primjera u matematici ima jako puno.
Ako razumijevanje i utvrđivanje gradiva izostane, pa makar to bila samo jedna nastavna jedinica, mogu nastati teškoće u praćenju nastave. Ako se teškoće nanižu, tj. nastave, obično dovode do toga da matematika postaje „nerazumljiva, teška i odbojna“.
Ne samo da će teškoće stvarati dijelovi gradiva koje student na nastavi nije u potpunosti razumio, nego će „ishlapiti“ i ono što je shvaćeno ukoliko izostane utvrđivanje znanja kroz samostalnu vježbu i propitivanje vlastitog razumijevanja.
Kako samostalno raditi matematiku?
Učenje i napredovanje u matematici zahtijeva dosta vježbe i rješavanja problema. Važno je naglasiti da vježbanje nikako ne smije biti mehaničko, bez razumijevanja strukture problema i bez jasnog plana kako će se on (a i zbog čega) riješiti. Vrlo je korisno taj plan, kao i strukturu problema, pokušati prije rješavanja precizno opisati riječima. Provjeravajte u toku vježbanja svoje razumijevanje. Ako je potrebno, ponovo proučite temu ili problem, i uvjerite se da ste je u potpunosti razumjeli i svladali. Od koristi je nakon rješavanja određenog broja problema još jednom pročitati uvod u poglavlje i početne definicije, kako bi se dobila bolja slika o tome
7
čemu su vas trebali podučiti zadaci koje ste rješavali. Učenje odgovora ili rješenja napamet, bez znanja o tome kako se do njih dolazi, u matematici je potpuno besmisleno.
Dobar način učenja je iskušati naučeno na primjerima koje sami kreirate iz vlastitog okruženja, na nečemu što vam je blisko. Učenje s razumijevanjem je vremenski zahtjevno, budući da se o svakoj temi ili ideji treba promisliti neko vrijeme. Međutim, upravo takav način učenja jedino daje pravo i dugoročno korisno znanje, na koje se lako veže novo znanje.
Ne odustajte olako. Nemojte da vas obeshrabri ako nešto niste iz prve shvatili, ni matematičari puno toga ne razumiju otprve. Shvatite matematičke probleme kao izazov i budite uporni u nastojanju da razmišljanjem i iskušavanjem različitih pristupa problem riješite. Vidjet ćete da će se trud isplatiti, te da znanje stečeno vlastitim naporom razmišljanja ostaje dugo u vašem posjedu i možete ga uvijek primjeniti da olakšate usvajanje novog znanja. Rješenje problema servirano na pladnju „kako dođe tako i ode“. Dakle, vrlo je važno da prvo pokušate problem sami riješiti i da u tome budete uporni.
Kod učenja u grupama, što je također dobar način učenja, treba primjeniti isto načelo. Od velike važnosti je razumjeti način rješavanja, a ne samo dobiti rješenje.
Ukoliko na nečemu zapnete unatoč uloženom trudu, obratite se profesoru putem konzultacija ili studentu demonstratoru u za to predviđenim terminima. To je uobičajen i potreban način pomoći studentima.
Mi ćemo se potruditi oko načina izlaganja gradiva i svake druge vrste pomoći, a na vama je da odradite vaš dio posla. Vaš ozbiljan pristup, u smislu uloženog vremena i truda, u velikoj većini slučajeva dati će željene rezultate.
8
1. Repetitorij elementarne matematike
U ovom dijelu se obnavlja dio školskog znanja matematike koje je nužno za praćenje temeljnih sadržaja predmeta. Budući da je na ovom mjestu nemoguće u potpunosti obuhvatiti cijelo srednješkolsko gradivo matematike, naglasak je na onim tehnikama i pojmovima čije će se znanje najčešće zahtijevati.
1.1. Skupovi
Skup spada među osnovne pojmove u matematici, i nije ga moguće definirati pomoću drugih, jednostavnijih pojmova. Pretpostavlja se, međutim, da je značenje tog pojma intuitivno jasno. Skup je određen ili zadan, ako se nedvojbeno zna što su njegovi elementi. Elementi skupa mogu biti bilo kakvi objekti, a od našeg posebnog interesa su skupovi brojeva.
Oznake
Uobičajeno je skupove označavati velikim tiskanim slovima npr. A, B, X, ... Da je neki objekt x element skupa A pišemo x A∈ , a čitamo “x je element skupa A” ili “x pripada skupu A”. Oznaka x A∉ znači da x nije element skupa A. Ako primjerice sa Ν označimo skup prirodnih brojeva onda vrijedi :
35 12
4∈ ∈ ∉N , N , N .
Zadavanje skupa
Kao što je već rečeno, skup je zadan ako se zna što su njegovi elementi. Tako je, primjerice, “Skup svih knjiga u knjižnici VERN-a” dobro zadan skup. “Skup velikih brojeva” nije dobro zadan skup, jer ne znamo je li, primjerice, broj 347 element tog skupa ili nije.
Jedan od načina zadavanja skupa je nabrajanje svih njegovih elemenata. To je moguće samo ako skup ima konačan broj elemenata, a i tada je često nepraktično. Zato se obično skup zadaje pomoću nekog karakterističnog svojstva njegovih elemenata. To svojstvo mora biti takvo da ga posjeduju svi elementi tog skupa i samo elementi tog skupa.
Primjerice, jasno je što je “Skup prirodnih brojeva većih od 7”. Nazovimo taj skup slovom A. Možemo ga označiti na više načina:
{ }8,9,10,11,A = … ili { }: 7A n N n= ∈ > .
Kod drugog načina zadavanja iza dvotočke se navodi karakteristično svojstvo. Ponekad se umjesto dvotočke koristi okomita crta.
Ukoliko skup zadamo prema svojstvu kojeg ne posjeduje nijedan objekt, onda on nema elemenata. Naprimjer, neka je X skup neparnih prirodnih brojeva koji su djeljivi sa 4. Skup X
je prazan skup, a to pišemo X = ∅ ili { }X = .
Dva skupa su jednaka ako sadrže iste elemente. Primjerice, skup rješenja jednadžbe 2 4 3 0x x− + = sadrži iste elemente kao i skup neparnih brojeva manjih od 5. Stoga su oni
jednaki.
9
Za skup A kažemo da je podskup skupa B i pišemo A B⊂ ako i samo ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Matematičkim simbolima gornja tvrdnja se zapisuje ovako:
( )( )A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ .
Za primjer, skup { }4,8,12,16,...A = je podskup skupa
{ }2, 4,6,8,10,...B = .
Unija, presjek i razlika skupova, komplement skupa
Unija dvaju skupova A i B je skup elemenata koji pripadaju ili skupu A ili skupu B. Takav skup, nastao udruživanjem elemenata skupova A i B označavamo sa A B∪ .
{ }:A B x x A ili x B∪ = ∈ ∈
Presjek dvaju skupova A i B je skup elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B. Presjek dvaju skupova dakle, čine oni elementi koji su im zajednički. Označavamo ga sa A B∩ .
{ }:A B x x A i x B∩ = ∈ ∈ .
Za dva skupa koji nemaju nijedan zajednički element kažemo da su disjunktni.
Razlika skupova A i B je skup onih elemenata koji pripadaju skupu A ali ne pripadaju skupu B. Označavamo ga sa \A B .
{ }\ :A B x x A i x B= ∈ ∉
U određenim slučajevima skupovi koje promatramo smatramo podskupovima nekog danog univerzalnog skupa U. Univerzalni skup predstavljamo pravokutnikom ili ravninom. Komplement nekog skupa A čine svi elementi univerzalnog skupa osim
onih koji pripadaju skupu A: \CA U A=
Primjer 1.1 Unija, presjek i razlika skupova
Zadani su skupovi { }1,3,5,7,9,11A = i { }4,5,6,7B = . Odredite:
a) uniju skupova A i B,
b) presjek skupova A i B,
c) skup \A B .
A B
AUB
A B A B∩
A B
\A B
B A
U
CA
A
10
Rješenje:
a) { }1,3, 4,5,6,7,9,11A B∪ =
b) { }5,7A B∩ =
c) { }\ 1,3,9,11A B =
Primjer 1.2 Komplement skupa
U skupu prirodnih brojeva odredite CA ako je A skup svih parnih brojeva, tj.
{ }2 :A n n N= ∈ . Odredite i CA B∩ ako je { }1, 2,3, 4,5B = .
Rješenje:
Komplementaran skup skupu A je očito skup svih neparnih prirodnih brojeva, a možemo ga zapisati ovako:
{ }2 1:CA n n N= − ∈ .
{ } { }
{ } { }
2 1: 1,2,3,4,5
2 1: , 5 1,3,5
CA B n n N
n n N n
∩ = − ∈ ∩ =
= − ∈ ≤ =
Skupovi brojeva
Ovdje ćemo dati pregled skupova brojeva koji su od interesa u predmetu Gospodarska matematika. Skup kompleksnih brojeva nije uključen.
• Skup prirodnih brojeva { }1, 2,3, 4,=N …
Nastao je iz prirodne ljudske potrebe za brojanjem. Skup N je uređen po veličini, tj. za svaka dva elementa se može reći koji je manji. Najmanji element ovog skupa je broj 1, a najvećeg nema. Skup koji osim svih prirodnih brojeva sadrži i broj 0 označavamo sa
0N . U Skupu prirodnih brojeva možemo zbrajati i množiti a da rezultat tih operacija
bude opet prirodan broj. Već kod oduzimanja nailazimo na teškoće. Primjerice 3 7− ∉ N .
• Skup cijelih brojeva { }3, 2, 1,0,1, 2,= − − −Z … …
Sadrži osim prirodnih brojeva još i svakom od njih suprotan broj. Npr. brojevi 3 i –3 su suprotni jer zbrojeni daju 0. Osim zbrajanja i množenja, u skupu Z je moguća i operacija oduzimanja. Međutim, rezultat dijeljenja cijelih brojeva nije uvijek cijeli broj. Npr. 3 : 7 ∉ Z .
• Skup racionalnih brojeva : ,m
m nn
= ∈ ∈
Q Z N
Kao što je naznačeno, to je skup svih brojeva koji se mogu prikazati u obliku razlomka. Postoje, međutim, veličine koje nije moguće točno prikazati na taj način. Takav je naprimjer broj π , koji predstavlja omjer opsega i promjera bilo koje kružnice. Broj e, kao još jedna veličina koja je radi svoje važnosti dobila posebno ime, također je
iracionalan broj. Relativno lako se može dokazati da se ni broj 2 ne može napisati u obliku razlomka. Isto vrijedi za sve korijene koji nisu cijeli brojevi. Takve brojeve
11
nazivamo iracionalnim brojevima, a sa I označavamo skup koji sadrži sve iracionalne brojeve, dakle one koji se ne mogu prikazati u obliku razlomka.
• Skup realnih brojeva R Skup racionalnih i Skup iracionalnih brojeva čine zajedno Skup realnih brojeva. Označavamo ga sa R, a njegove elemente najčešće predočavamo točkama na brojevnom pravcu, odnosno nekoj od koordinatnih osi.
Primjetite da vrijedi ⊂ ⊂ ⊂N Z Q R , tj. da je svaki prirodan broj ujedno i cijeli broj,
racionalan broj, i na koncu realan broj.
1.2. Realni brojevi
Zbog prirode ekonomskih veličina poput cijena, količine itd., sva razmatranja u izlaganju gradiva kolegija odvijat će se unutar okvira skupa realnih brojeva.
Brojevni pravac
Za prikaz skupa realnih brojeva, odnosno njegovih podskupova, služimo se brojevnim pravcem. To je pravac kod kojega je određen i strelicom označen pozitivan smjer, odabrana i označena referentna točka 0, te jedinična dužina OE. Točka O je ishodište koordinatnog sustava na pravcu i pridružena je broju 0, a točka E broju 1. Duljina dužine OE predstavlja jediničnu dužinu.
0 E
Intervali
Intervali su važni oblici podskupova skupa R. Zapisujemo ih tako da im definiramo granice. Uglata zagrada znači da interval sadrži i granicu tj. broj na rubu intervala. Obla ili šiljasta zagrada koristi se kada se rub želi isključiti iz intervala.
Primjer 1.3 Intervali
Neka su ,a b R∈ i neka je a b< :
( ) { }, :a b x R a x b= ∈ < < otvoreni interval
[ ] { }, :a b x R a x b= ∈ ≤ ≤ zatvoreni interval
( ] { }, :a b x R a x b= ∈ < ≤ poluotvoreni (poluzatvoreni) interval
[ ) { }, :a b x R a x b= ∈ ≤ < poluotvoreni (poluzatvoreni) interval
Intervali sa beskonačnim granicama:
( ) { }, :a x R x a∞ = ∈ >
[ ) { }, :a x R x a∞ = ∈ ≥
( ) { }, :b x R x b−∞ = ∈ <
( ] { }, :b x R x b−∞ = ∈ ≤
( ) { }, :x R x R−∞ ∞ = ∈ −∞< <∞ =
12
Primjer 1.4 Presjek intervala
Odredite presjek intervala [ )1,− +∞ i [ )5, 2− i prikažite ga grafički na brojevnom
pravcu. Rješenje:
[ ) [ ) [ )1, 5, 2 1, 2− +∞ ∩ − = − .
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Apsolutna vrijednost realnog broja
Ukoliko neki realan broj označimo točkom na brojevnom pravcu, udaljenost te točke od 0, tj. od ishodišta, nazivamo apsolutnom vrijednošću tog realnog broja. Iz razumijevanja pojma udaljenosti, slijedi da apsolutna vrijednost nekog realnog broja ne može biti negativna. Primjerice, apsolutna vrijednost broja -5 iznosi 5. To pišemo ovako:
5 5− =
Općenito, suprotni brojevi imaju iste apsolutne vrijednosti. Ponekad nam je potrebna precizna definicija apsolutne vrijednosti, pa ćemo je ovdje navesti:
, 0
, 0
x za xx
x za x
≥=− <
Radi se o granajućoj definiciji, gdje slijedimo onu granu definicije za koju je ispunjen uvjet zadan na broju x. Dakle, za pozitivne realne brojeve uzimamo gornju granu definicije koja kaže da je apsolutna vrijednost pozitivnog realnog broja isti taj broj. Ukoliko je x negativan, njegova apsolutna vrijednost jednaka je njemu suprotnom broju – što možemo očitati iz donje grane definicije budući da se suprotan broj dobiva dodavanjem predznaka minus.
Primjerice, ( )3 3 3− =− − = .
Koordinatni sustav u ravnini
Skup uređenih parova realnih brojeva ( ){ }, : ,x y x R y R∈ ∈ označavamo sa 2R R R= × .
Svaku točku ravnine možemo predočiti nekim uređenim parom ( ),x y ovog skupa. Za takvo
pridruživanje potreban nam je Kartezijev koordinatni sustav u ravnini, koji se sastoji od dva okomita brojevna pravca. Horizontalni pravac označavamo oznakom x i nazivamo os apscisa. Vertikalni brojevni pravac označavmo sa y i nazivamo os ordinata.
Točka sa zadanim koordinatama ( ),x y ucrtava se u koordinatni sustav na mjestu do kojega
iz ishodišta dolazimo pomicanjem za x jedinica ulijevo (ako je x negativan) ili udesno (ako je x pozitivan), te zatim za y jedinica gore ili dolje (opet ovisno o predznaku – za pozitivan y gore, a za negativan y dolje).
[ )1,2−
13
Primjer 1.5 Koordinatni sustav u ravnini
Ucrtajte u koordinatni sustav sljedeće točke: ( )3, 2A − , ( )4,1B i ( )1, 2C − − .
Rješenje:
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
1.3. Razlomci
Razlomak a
b je način na koji možemo zapisati da broj a dijelimo sa brojem b .
Dakle, :a
a bb
=
Broj a nazivamo brojnik, a broj b nazivnik. Razlomci su kao zapis posebno prikladni za algebarske izraze ili formule u kojima nema stvarnih brojeva nego ih zamjenjujemo tzv. općim brojevima, tj. predstavljamo slovima abecede. I kad se radi o konkrentnim brojevima, ponekad je i računanje s razlomcima brže nego sa decimalnim zapisima istih brojeva. Ovo se prvenstveno odnosi na množenje i dijeljenje. U nekim slučajevima račun s razlomcima daje točnije rezultate u odnosu na one dobivene kalkulatorom koji koristi decimalni prikaz broja ali sa ograničenim brojem decimalnih mjesta.
Skraćivanje i proširivanje razlomaka
Svaki se racionalan broj može na više načina zapisati u obliku razlomka. Primjerice,
2 4 12 100
3 6 18 150= = = =…
( )3,2A −
( )4,1B
( )1, 2C − −
14
Razlomak se ne mijenja ako brojnik i nazivnik pomnožimo (ili podijelimo) sa istim brojem. Ponekad je za potrebe računa razlomke porebno skratiti (podijeliti brojnik i nazivnik s istim brojem), a ponekad proširiti (pomnožiti brojnik i nazivnik s istim brojem).
Primjer 1.6 Skraćivanje razlomaka
Rješenje:
d) 18 3 6 3
24 4 6 4
⋅= =
⋅ Brojnik i nazivnik podijelili smo sa 6.
e) 125 25 5 25
35 7 5 7
⋅= =
⋅
f) 120 12 10 1
480 12 4 10 4
⋅= =
⋅ ⋅
Primjer 1.7 Proširivanje razlomaka
Proširite razlomke 2 7 5
, ,3 5 6
tako da dobiju iste nazivnike tj. svedite ih na zajednički
nazivnik. Rješenje: Prvo je potrebno odrediti zajednički višekratnik nazivnika 3, 5 i 6, tj. broj koji je djeljiv sa svakim od njih. Najmanji takav broj je broj 30, stoga ćemo zadane razlomke proširiti tako da im u nazivniku bude upravo 30.
2 2 10 20
3 3 10 30
⋅= =
⋅ Brojnik i nazivnik pomnožili smo s 10.
7 7 6 42
5 5 6 30
⋅= =
⋅ Brojnik i nazivnik pomnožili smo sa 6.
5 5 5 25
6 6 5 30
⋅= =
⋅ Brojnik i nazivnik pomnožili smo s 5.
Uspoređivanje razlomaka
Dva razlomka, ukoliko nije na prvi pogled jasno koji je od njih veći, uspoređujemo svođenjem na zajednički nazivnik, ili eventualno svođenjem na decimalni zapis.
Primjer 1.8 Uspoređivanje razlomaka
Treba odrediti koji je od razlomaka veći:
a) 2
3 ili
3
4
b) 7
8 ili
8
9
15
c) 291
302 ili
356
348
d) 3
25 ili
8
70
Rješenje:
a) Ove razlomke možemo i izravno usporediti preko njihovih decimalnih zapisa: 2
0,6666...3
= , 3
0,754
= . Prema tome, 3
4 je veći broj.
2/3
1/3
3/4
1/4
Svoj ćemo zaključak potvrditi svođenjem razlomaka na zajednički nazivnik:
2 2 4 8
3 3 4 12
⋅= =
⋅,
3 3 3 9
4 4 3 12
⋅= =
⋅.
Dakle, broj 3
4 je veći.
b) 7 7 9 63
8 8 9 72
⋅= =
⋅,
8 8 8 64
9 9 8 72
⋅= =
⋅.
Znači, 8 7
9 8> .
Čitalac sa boljim osjećajem za brojeve može i ova dva razlomka izravno usporediti
uviđajući da su oba nešto manja od broja 1, ali broju 8
9 nedostaje
1
9 do jednog
cijelog, što je manje od 1
8 koliko nedostaje broju
7
8.
c) 356 291
348 302> . Ovdje nije potrebno svođenje na zajednički nazivnik, budući da je
jedan od razlomaka manji od 1, a drugi veći.
d) Iz rastava obaju nazivnika na faktore
25 5 5
70 5 2 7
= ⋅
= ⋅ ⋅
vidimo da je prikladan zajednički nazivnik ovdje broj 5 5 2 7 350⋅ ⋅ ⋅ = .
3 3 14 42
25 25 14 350
⋅= =
⋅,
8 8 5 40
70 70 5 350
⋅= =
⋅.
16
Dakle, 3 8
25 70> .
Pretvaranje razlomaka u decimalne brojeve i obratno
Ponekad nam je korisno razlomak pretvoriti u decimalni broj. Primjerice, jasnije nam je ako nam netko kaže da se “nešto povećalo za 1,75%”, nego ako nam se ista promjena opiše kao
“povećanje od 7
4%”. S druge strane, u nekim situacijama nam je koristan obratan postupak,
tj. decimalni broj želimo prikazati u obliku razlomka. Neke od veličina koje se u svakodnevnom životu često pojavljuju, upamtili smo u obe vrste
zapisa. Tako npr. znamo da je 1
2, tj. polovica jednaka 0,50; da je
1
4 jednaka 0,25; da vinska
butelja sadrži 0,75 litara vina, tj. 3
4 litre, itd.
Razlomci se u decimalne brojeve pretvaraju dijeljenjem brojnika sa nazivnikom.
Primjer 1.9 Pretvaranje razlomka u decimalni broj
a) 3
3 : 5 0,65
= =
b) ( )5
5 : 4 1, 254
− = − = −
Primjer 1.10 Pretvaranje decimalnog broja u razlomak
a) 6 2 3 3
0,610 2 5 5
⋅= = =
⋅
b) 125 5 25 5 1
0,1251000 40 25 40 8
⋅= = = =
⋅
c) 525 3 7 25 21
5,25100 4 25 4
⋅ ⋅= = =
⋅
Dakle, decimalni broj se pretvara u razlomak tako ga istovremeno pomnožimo i podijelimo sa nekom potencijom broja 10, a zatim dobiveni razlomak skratimo koliko je moguće. Ta potencija mora biti barem onolika koliko ima mjesta iza decimalnog zareza. U gornjem primjeru smo tako 5,25 pomnožili sa 100 da bi dobili cijeli broj 525, ali smo istovremeno u nazivnik zapisali 100 naznačujući tako da ga dijelimo sa 100.
1.4. Potencije
Potencija je skraćeni zapis za produkt odnosno umnožak jednakih faktora. Tako je, primjerice
3a a a a= ⋅ ⋅ .
Broj a zovemo bazom potencije, a broj 3 je u ovom slučaju eksponent.
Za svaki realan broj 0a ≠ vrijedi: 0 1a = .
17
Primjer 1.11 Potencije, potencije s negativnom bazom
a) 47 7 7 7 7 2041= ⋅ ⋅ ⋅ =
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 3 2 2 32 3 3a b a b a b a b a ab b a b a a b ab b+ = + ⋅ + ⋅ + = + + + = + + +
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 42 2 2 2 2 2 16− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = =
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 52 2 2 2 2 2 2 32− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − = − = −
e) ( ) ( ) ( ) ( )3 3
x x x x x− = − ⋅ − ⋅ − = −
f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4a a a a a a− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
g) ( )45 5 5 5 5 625− = − ⋅ ⋅ ⋅ = −
Kod množenja potencija služimo se sljedećim pravilima, tj. jednakostima.
Potencije s istom bazom množe se tako da se eksponenti zbroje:
m n m na a a +⋅ = .
Potencije s istim eksponentima mogu se pomnožiti tako da se baze pomnože:
( )mm ma b ab⋅ = .
Ako bismo gornju jednakost čitali zdesna na lijevo, rekli bi da se umnožak potencira tako da se svaki faktor potencira posebno.
Primjer 1.12 Množenje potencija
a) ( ) ( )4 3 4 3 7x x x x x x x x x x x
+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
b) 3 4 1 3 4 8a a a a a+ +⋅ ⋅ = =
c) ( )33 3 3x y z xyz⋅ ⋅ =
Kod potenciranja potencija baza se prepisuje, a eksponenti pomnože.
( )n
m m na a ⋅= .
Primjer 1.13 Potenciranje potencija
a) ( )3
2 2 2 2 3 2 6x x x x x x⋅= ⋅ ⋅ = =
b) ( ) ( )4 4 22 2 2 2 2 8a a a a a a a⋅ −− − − − − −= ⋅ ⋅ ⋅ = =
Potencije s jednakim bazama dijele se tako da se baza prepiše a eksponent djeljenika umanji za eksponent dijelitelja:
:m
m n m n
n
aa a a
a
−= = .
18
Vrijedi i pravilo o potenciranju količnika:
:
n nn n
n
a aa b
b b
= =
.
Primjer 1.14 Dijeljenje potencija
a) 5 3 5 3 2:x x x x x
x x x xx x x
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
b) 4 3
4 3 2 3
2:
a ba b ab a b
ab= =
c) 4 7 4 7 3:x x x x− −= =
d) 4 7
3
1:
x x x xx x
x x x x x x x x
⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vidjeli smo u prethodnom primjeru da smo 3x− i 3
1
x dobili kao rezultat dijeljenja istih
potencija. Općenito vrijedi
1n
na
a
− = .
Primjer 1.15 Potencije s negativnim eksponentom
a) ( )3
3
1 13
3 27
−= =
b) 3 3 3
3
3
1 1 1 28
12 2 1
2
− −
−
= = = =
c) ( ) ( )2 3
4 2 3 1 8 4 9 3 8 9 4 3a b a b a b a b a b ab−
− − − − − + −⋅ = ⋅ = =
d) ( ) ( )8 6 11
2 34 3 1 2 11 12
3 6 12:
a b aa b a b a b
a b b
−− − −
−= = =
1.5. Korijeni, potencije s razlomljenim eksponentima
Korjenovanje je inverzan postupak od potenciranja. Tako je npr. 3 8 2= upravo zato jer je 32 8= .
U zapisu n a broj n zovemo eksponent korijena.
Koristeći jednakost m
n m na a= , svaki korijen možemo zapisati u obliku potencije s
razlomljenim eksponentom
19
Primjer 1.16 Korijeni
Izračunajte ili napišite u obliku potencije:
a) 16
b) 3 125
c) 3 6x
d) x
e) 3 x
f) 3 2x
g) 3 4
1
x
h) 5 4x
i) 5 8
4
16
a b
c
Rješenje:
a) 16 4= jer je 24 16=
b) 3 125 5= jer je 35 125=
c) 3 6 2x x= jer je ( )3
2 2 3 6x x x⋅= = , tj. primjenom gornjeg pravila 6
3 6 23x x x= =
d) 1
12 2x x x= =
e) 1
3 13 3x x x= =
f) 2
3 2 3x x=
g) 4
343 43
1 1x
xx
−
= =
h) 5
5 4 1,254x x x= =
i)
5 85 8 5 8 1,25 2 1,25 24 4 4
1 1,25 2 0,2541 0,254 4 44
216 216 16
2
a b a b a b a b a ba b c
c cc cc
− −⋅ ⋅ ⋅= = = = = ⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅
20
1.6. Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom
Jednadžba je jednakost u kojoj postoji jedna ili više nepoznatih veličina. Njih nazivamo nepoznanicama.
Osnovni oblik linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom je
ax b= ,
gdje su a i b realni brojevi. Riješiti jednadžbu znači odrediti nepoznati broj x za koji vrijedi jednakost. Zadanu jednadžbu rješavamo svođenjem na spomenuti osnovni oblik, koristeći se sljedećim postupcima:
(1) Ako jednadžba sadrži razlomke, rješavamo ih se množenjem jednadžbe zajedničkim nazivnikom. Jednadžba se množi brojem različitim od nule tako da s tim brojem pomnožimo njene obje strane.
(2) Oslobađamo se zagrada ako ih ima, pazeći na predznake.
(3) Slijedi transponiranje, tj. prebacivanje članova s nepoznanicom na lijevu stranu, a ostalih na desnu. Pri promjeni strane, članovima mijenjamo predznak.
(4) Reduciramo istoimene članove.
(5) Jednadžbu oblika bxa =⋅ rješavamo dijeljenjem cijele jednadžbe s koeficijentom uz nepoznanicu, tj. brojem a .
Primjer 1.17 Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom
a) 3
8
2
1
3
12 +=− xx
Rješenje:
2
9:189
216312
163212
63
8
2
1
3
12
=
=
+=−
+=−
⋅+=−
x
x
xx
xx
xx
b) ( ) ( )13
2
4
13
2
15 −⋅+=−⋅− xxxx
Rješenje:
21
( ) ( )
( ) ( )
11
2
55
101055
88361860
1833660
1213
2
4
13
2
15
===
−+=+−
−⋅+=−⋅−
⋅−⋅+=−⋅−
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Zadaci za vježbu:
1. ( )1
0 33 2
x xx
−− = =
2. 1,2 35,5 3,6 12,5 ( 10)p p p− + = − =
3. ( ) ( )3
2,5 3 1 1, 25 2 410
x x x
⋅ − = + ⋅ + =
4. 3 4 3 6
0 2 3 7
x xx
− − − = =
5. 2 3 10
1 1,5 2 4 3
xx x
− − = − =
6. 2 2 7 4
( 5)3 5
a aa
a a
− −+ = =
7. ( ) ( )7 2 2 2 4 ( 2)a a a− = − =
8. ( )1 1 1 2 11
4 4 13 2 2 3 3 2 3 4
x x x x xx x
− − − − − = + =
1.7. Linearna nejednadžba
Osnovni oblici linearne nejednadžbe su:
, , ,ax b ax b ax b ax b≤ ≥ < > .
Riješiti linearnu nejednadžbu znači odrediti realne brojeve za koje, ako ih uvrstimo umjesto x-a, vrijedi nejednakost postavljena u nejednadžbi.
Linearna nejednadžba se rješava svođenjem na jedan od osnovnih oblika. Pri tom se služimo sljedećim postupcima:
(1) Premještanje članova nejednadžbe s jedne na drugu stranu znaka nejednakosti uz promjenu predznaka.
Općenito: a b c a c b+ ≤ ⇒ ≤ − .
22
Primjer 1.18
2 5 2
2 2
x x
x x
x
− < +
− < 5 +
< 7 .
(2) Množenje nejdnadžbe (obje njene strane) s nekim pozitivnim realnim brojem. Pri tom se znak nejednakosti ne mijenja.
Općenito: a b a c b c≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅
Primjer 1.19
3 52
2 2 2
2 3 5
2 5 3
8 .
xx
x x
x x
x
− ≤ + ⋅
− ≤ +
− ≤ +
≤
(3) Ukoliko je broj kojim množimo nejednadžbu negativan, znak nejednakosti se mijenja u suprotan.
Općenito: a b a c b c≤ ⇒ ⋅ ≥ ⋅
Primjer 1.20
( )
5 3
2 3 5
1
x x
x x
x
x
+ < 2 −
− < − −
− < −8 ⋅ −
> 8 .
(4) Ako nejednadžba ima u nazivniku izraz koji sadrži nepoznanicu, prije množenja cijele nejednadžbe sa zajedničkim nazivnikom moramo utvrditi na kojem dijelu skupa R je taj nazivnik pozitivan, a na kojem negativan. To je potrebno kako bismo znali postupati sa znakom nejednakosti. Nejednadžbu tada rješavamo odvojeno za ta dva podskupa skupa R.
Primjer 1.21 Linearna nejednadžba s nepoznanicom u nazivniku
Treba riješiti nejednadžbu 1 1
2 3x≤
−.
1. Zadanu nejednadžbu rješavamo prvo za ( )3 2x⋅ − > 0 , tj. za x > 2 .
( )1 1
3 22 3
3 2
5
xx
x
x
≤ ⋅ −−
≤ −
≥
23
Znak nejednakosti se ne mijenja, jer je za x > 2 , ( )3 2x⋅ − pozitivan broj. Budući da
smo se ograničili na skup ( )2,+∞ , moramo provjeriti kako se naše rješenje 5x ≥ , tj.
interval )5, ∞ uklapa u takvo ograničenje. Tražimo zapravo presjek [ ) ( )5, 2,∞ ∩ ∞ , a
to je skup [ )5,∞ .
2. Sada istu nejednadžbu rješavamo za ( ), 2x ∈ −∞ , gdje je izraz ( )3 2x⋅ − negativan.
( )1 1
3 22 3
3 2
5
xx
x
x
≤ ⋅ −−
≥ −
≤
Znak nejednakosti smo promijenili jer smo nejednadžbu množili izrazom koji za promatrani interval
ima negativnu vrijednost. Budući da nejednadžbu rješavamo u
intervalu ( ), 2−∞ , tržimo presjek tog intervala i skupa dobivenog rješavanjem. Znači,
rješenje je presjek ( ) ( ], 2 ,5−∞ ∩ −∞ , tj. interval ( ), 2−∞ .
Ukupno rješenje je unija skupova koje smo dobili odvojenim rješavanjem nejednadžbe u dva disjunktna podskupa skupa R.
Dakle, rješenje nejednadžbe je skup ( ) ),2 5,−∞ ∪ ∞ .
24
1.8. Jednadžba pravca
Primjer 1.22 Jednadžba pravca
Promotrimo jednadžbu 2 4x y− = .
Ukoliko linearna jednadžba ima dvije nepoznanice, njeno rješenje je svaki uređeni par
brojeva ( ),x y čiji uvrštavanje zadovoljava jednakost.
Proizvoljno određujući vrijednost jedne varijable, te računajući odgovarajuću vrijednost druge, možemo lako doći do nekoliko takvih parova:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, 3 , 0, 2 , 2, 1 , 4,0 , 5,0.5 , 6,1 , ...− − − −
Ukoliko ove parove shvatimo kao koordinate točaka u ravnini, uočit ćemo da sve leže na pravcu:
X
Y
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Uređenih parova koji su rješenje postavljene jednadžbe možemo naći beskonačno mnogo – onoliko koliko ima točaka na pravcu koji je određen ovim točkama. Stoga se linearna jednadžba s dvije nepoznanice nazova još i jednadžbom pravca.
Gore postavljenu jednadžbu možemo napisati i tako da varijablu y izrazimo na lijevoj strani:
12
2y x= − . U tom slučaju govorimo o eksplicitnom obliku jednadžbe pravca.
Opći oblik jednadžbe pravca y ax b= +
Koeficijent smjera a određuje koliko će se promijeniti y ako se x poveća za 1. Broj b naziva se odsječkom na y-osi.
25
Ovo značenje koeficijenta smjera pravca treba zapamtiti jer će ono u mnogim primjerima imati praktično značenje. U takvim slučajevima će se gore navedeno općenito tumačenje preformulirati u skladu sa promatranim primjerom.
Pravac čiju jednadžbu znamo crtamo tako da u koordinatni sustav ucrtamo bilo koje dvije njegove točke, te kroz njih povučemo ravnu crtu.
Primjer 1.23
Treba nacrtati pravac čija je jednadžba 1
33
y x= − + .
Rješenje: Do dviju točaka ćemo doći računanjem odgovarajućeg y za proizvoljni x (ili obratno):
0 3
3 2
x y
x y
= ⇒ =
= ⇒ =
U koordinatni sustav treba ucrtati točke (0,3) i (3,2), te kroz njih povući traženi pravac.
x
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
(0,3)
(3,2)
Za svaki nacrtani pravac moguće je odrediti njegovu jednadžbu. Potrebno je uočiti odsječak na y -osi, te promatrajući kako se mijenja y za određenu promjenu x -a, odrediti i
koeficijent smjera. Naime, za bilo koje dvije točke pravca, koeficijent smjera jednak je omjeru promjene ordinate i promjene apscise:
2 1
2 1
y ya
x x
−=
−.
Ovu činjenicu možemo koristiti i kod crtanja pravca. Označimo točku u kojoj pravac siječe y -
os, tj. točku (0,b), a zatim još jednu točku do koje dođemo tako što se pomaknemo za jedan udesno, te za iznos koeficijenta smjera dolje ili gore - ovisno o predznaku koeficijenta smjera. Ukoliko je koeficijent smjera razlomak, drugu točku određujemo ovako: udesno se pomaknemo za nazivnik tog razlomka, a brojnik određuje koliko idemo gore ili dolje. Prije
26
rješavanja idućeg primjera, uvjerite se da biste pravac iz prethodnog primjera znali nacrtati ovom metodom.
Primjer 1.24
Pomoću odsječka na y-osi i koeficijenta smjera odredite jednadžbe nacrtanih pravaca.
X
Y
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Rješenje:
2 14, 4, 3, 2 8, 2, 2 8
3 3y y x y x y x y x y x= = + =− + =− + = − = −
Ukoliko znamo koordinate dviju točaka kroz koje pravac prolazi, njegovu jednadžbu određujemo formulom:
Jednadžba pravca
Neka su zadane dvije točke ravnine sa svojim kordinatama: ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ,T x y T x y .
Tada jednadžba pravca koji prolazi tim dvjema točkama glasi:
( )2 11 1
2 1
y yy y x x
x x
−− = −
−
27
Ponekad imamo poznat koeficijent smjera pravca i jednu točku kojom pravac prolazi. U takvom slučaju gornja formula ima oblik:
1.9. Sustav jednadžbi
Kod sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, tražimo vrijednosti za nepoznanice (npr. x i y) koje zadovoljavaju obje jednadžbe. Za to se služimo nekom od dolje navedenih metoda, a izbor metode bi trebao biti takav da najbrže i najjednostavnije vodi do rješenja.
Metoda supstitucije sastoji se u tome da se iz jedne od jednadžbi izrazi jedna od nepoznanica pomoću druge, te taj izraz uvrsti u preostalu jednadžbu. Nepoznanicu i jednadžbu iz koje ćemo ju izraziti, biramo tako da račun bude što jednostavniji. Ovo je osnovna metoda koja se koristi i kod sustava s više od dvije jednadžbe.
Primjer 1.25 Metoda supstitucije
Treba riješiti sustav 2 7
2 3 7
x y
x y
− =
+ = −
Rješenje:
( )
2 7
2 3 7
7 2
2 3 7
7 2
2 7 2 3 7
7 2
14 4 3 7
7 21 3
7 2( 3) 1.
x y
x y
x y
x y
x y
y y
x y
y y
y y
x x
− =
+ = −
= +
+ = −
= +
+ + = −
= +
+ + = −
= − ⇒ = −
= + − ⇒ =
Potrebno je napomenuti da je metoda supstitucije osnovna metoda i koristimo ju i kada je jednadžbi u sustavu više od dvije. Stoga ju je važno ispravno shvatiti i uvježbati. Metoda suprotnih koeficijenata. Koristi se kada su koeficijenti u jednadžbama takvi da množenjem jedne ili obje jednadžbe s nekim brojevima, dobivamo u jednadžbama uz istu nepoznanicu suprotne brojeve kao koeficijente. Tako postižemo da se nakon zbrajanja
Jednadžba pravca
Jednadžba pravca koji prolazi točkom ( )0 0,T x y i ima zadani koeficijent smjera a :
( )0 0− = −y y a x x .
Ovdje smo x izrazili pomoću varijable y.
U drugoj jednadžbi varijablu x zamijenjujemo (supstituiramo). Dobili smo jednadžbu s jednom nepoznanicom.
Uvrštavamo dobiveni y kako bismo odredili x.
28
jednadžbi ponište članovi s tom nepoznanicom, dobivajući tako linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.
Primjer 1.26 Metoda suprotnih koeficijenata
Treba riješiti sustav 2 4
2 3 6
x y
x y
− + =
+ =
Rješenje:
2 4 2
2 3 6
2 4 8
2 3 6
2
x y
x y
x y
x y
x
− + = ⋅
+ =
− + =+
+ =
− 4 2y x+ + 3 6 8
7 14
2
2 3 2 6
2 0 0 .
y
y
y
x
x x
+ = +
=
=
+ ⋅ =
= =
Metoda komparacije upotrebljava se kada u objema jednadžbama imamo jednu nepoznanicu eksplicitno izraženu. Ponekad, primjerice, treba odrediti x za koji funkcije
( ) ( )1 2 i f x f x imaju jednaku vrijednost, te još ustanoviti o kojoj se vrijednosti radi.
Primjer 1.27 Metoda komparacije
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1 2
1 2
3
1
Iz slijedi:
3 1
2 3 1 - 2 -2 1
1 1 2
f x x
f x x
f x f x
x x
x x x
f f
= − +
= +
=
− + = +
− = − + ⇒ = ⇒ =
= =
Prisjetimo se da je svaka linearna jednadžba s dvije nepoznanice jednadžba nekog pravca.
Budući da par ( ),x y koji je rješenje sustava dviju takvih jednadžbi zadovoljava obje te
jednadžbe, zaključujemo da točka s tim koordinatama pripada obama pravcima. Radi se, dakle, o njihovu sjecištu.
Primjer 1.28 Sjecište dvaju pravaca
Nađite računski i grafički sjecište pravaca 2 2 8x y i x y− = − = .
• Množimo prvu jednadžbu s 2, kako bi dobili uz nepoznanicu x koeficijent suprotan odgovarajućem koeficijentu u drugoj jednadžbi.
• Nakon toga, jednadžbe zbrajamo na način da posebno zbrajamo lijeve strane obiju jednadžbi, a posebno desne. Ovako smo dobili novu jednadžbu kod koje se poništavaju članovi koji sadrže nepoznanicu x, pa zapravo imamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.
• Rješavanjem te jednadžbe, dobivamo vrijednost y. Uvrštavanjem te vrijednosti u bilo koju od početnih jednadžbi, izračunavamo vrijednost preostale nepoznanice (ovdje je to x).
29
Rješenje:
( )
( )
2
2 8
2
2 2 8
6
4 6, 4
x y
x y
y x
x x
x
y S
− =
− =
= −
− − =
=
= ⇒
Primjer 1.29 Sustav triju jednadžbi sa tri nepoznanice
Treba riješiti sustav jednadžbi:
2 9
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + = + − =
Rješenje:
Iz npr. prve jednadžbe ćemo izraziti jednu nepoznanicu pomoću preostalih dviju, te uvrstiti u preostale jednadžbe. Neka to bude nepoznanica z:
9 2
2 3(9 2 ) 4
2(9 2 ) 3
2 27 3 6 4
18 2 4 3
7 23
3 5 21
7 23
3( 7 23) 5 21
21 69 5 21
4816 48 3 7 3 23 2 9 2 2 3 1
16
2, 3, 1
z x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
y y
y y
y y x z
x y z
= − −
− + − − =
+ − − − =
− + − − =
+ − + + =
− − = −
+ =
= − +
− + + =
− + + =
−− = − ⇒ = = ⇒ = − ⋅ + = ⇒ = − − ⋅ =
−
= = =
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
a
b
S = (6, 4)
30
Zadaci za vježbu
Riješite sustave jednadžbi:
1. 2 1
5 0 (Rj. 2, 3)
x y
x y x y
+ =
+ − = = = −
2. 5 4 17
2 2 (Rj. 0,5; 3)
y x
x y x y
− =
+ = = − =
3. 3 3 0
2 5 5 (Rj. 30, 11)
x y
x y x y
− + + =
− = − = − = −
4.
3 6 9
1 8 5 15 25 ( . , )
5 5
x y
x y Rj x y
− − =
− = = = −
5. 2 7
2 3 7 (Rj. 1, 3)
x y
x y x y
− =
+ = − = = −
6. 0,3 0,4 0,4
0, 2 0,2 0,3 (Rj. 14, 20)
y x
y x x y
= +
− − = − = =
7. 1,2 1,8 3,6
0,8 0,6 2, 4 (Rj. 3, 0)
x y
x y x y
− =
+ = = =
U sljedećim zadacima treba uvježbati postavljanje i rješavanje jednadžbi (ili više njih) koje bi predstavljale matematički zapis problema izrečenog u tekstu zadatka.
7. Otac ima 36 godina, sin 6. Za koliko će godina otac biti tri puta stariji od sina? (Rješenje: Za 9 godina.)
8. Treba platiti dva računa koji zajedno iznose 840 kn, a jedan je za 322 kn veći od drugoga. Koliko iznose računi pojedinačno? (Rj. 581+259)
9. Treba platiti dva računa koji zajedno iznose 840 kn, a jedan je za 3,2 puta veći od drugoga. Koliko iznose računi pojedinačno? (Rj. 640+200)
10. Na brodu “Veselka” bilo je dva puta više turista nego na brodu “Sirena”.Nakon što je u luci s “Veselke” sišlo 98 turista, a sa “Sirene” 16, na svakom je brodu ostao jednak broj turista. Koliko je na svakom brodu bilo turista prije uplovljavanja u luku? (Rj. Veselka 164, Sirena 82)
31
1.10.Kvadratna jednadžba
Opći oblik kvadratne jednadžbe je 2 0ax bx c+ + = . a,b i c su realni brojevi, pri čemu je a različit od 0.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
1. Ako je 0c = , tada imamo tzv. prikraćenu kvadratnu jednadžbu oblika 2 0ax bx+ = .
Ovakva jednadžba se rješava na sljedeći način: Izlučujemo x iz oba člana s lijeve strane jednadžbe, pa dobivamo umnožak. Umnožak dvaju faktora je jednak nuli ako je jedan od njih jednak nuli. Iz ovoga je jasno da će jedno od rješenja uvijek biti 0, a drugo dobijemo rješavanjem jednadžbe ax+ b=0.
Primjer 1.30 Prikraćena kvadratna jednadžba
Treba riješiti jednadžbu 23 15 0x x+ = .
Rješenje: 2
2
3 15 0 :3
5 0
x x
x x
+ =
+ =
( )
1 2
5 0
0, 5
x x
x x
⋅ + =
= = −
2. Ako je 0b = , dobivamo čistu kvadratnu jednadžbu, čiji je oblik 2 0ax c+ = Rješavamo ju na sljedeći način:
2
2
2
0ax c
ax c
cx
a
+ =
= −
= −
1 2
c cx x
a a= − = − −
Primjer 1.31 Čista kvadratna jednadžba
Treba riješiti jednadžbu 22 18 0x − = .
Rješenje: 2
2
2
1 2
2 18 0 : 2
9 0
9
9
3, 3
x
x
x
x
x x
− =
− =
=
= ±
= − =
( )
2
1
2
2
0
0
0
0
ax bx
x ax b
x
ax b
bx
a
+ =
+ =
=
+ =
= −
32
Potpuna kvadratna jednadžba 2 0ax bx c+ + = rješava se uvrštavanjem koeficijenata a,b,c u sljedeću formulu:
2
1,2
4,
2
b b acx
a
− ± −=
Prije uvrštavanja je potrebno jednadžbu napisati u standardnom obliku, tako da a predstavlja koeficijent kvadratnog člana, b linearni koeficijent i c slobodni koeficijent.
Primjer 1.32
Riješite jednadžbu 214 0
2x x+ − = .
Rješenje:
( )
2
2
22
1,2
1,2
1 2
14 0 2
2
2 8 0
1, 2, 8
2 2 4 1 84
2 2 1
2 4 32 2 6
2 2
2 6 2 64, 2
2 2
x x
x x
a b c
b b acx
a
x
x x
+ − = ⋅
+ − =
= = = −
− ± − ⋅ ⋅ −− ± −= = =
⋅
− ± + − ±= =
− − − += = − = =
Izraz pod korijenom označava se sa D , a naziva se diskriminanta.
Dakle, 2 4D b ac= − .
Pomoću diskriminante možemo klasificirati rješenja kvadratne jednadžbe:
• Ako je D > 0 , jednadžba ima dva realna rješenja.
• Ako je D = 0 , jednadžba ima jedno realno rješenje.
• Ako je D < 0 , jednadžba nema realnih rješenja (rješenja su kompleksni brojevi) Ako se radi o jednostavnijim kvadratnim jednadžbama s cjelobrojnim koeficijentima, rješenja ponekad možemo naći kraćim postupkom, pomoću Vietovih formula:
1 2 1 2,b c
x x x xa a
+ = − ⋅ =
Sustav kvadratne i linearne jednadžbe rješava se tako da se iz linearne jednadžbe izrazi jedna nepoznanica i uvrsti u kvadratnu jednadžbu.
33
Primjer 1.33
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
4
2 2
2 4
4 4 4
2 4 0 : 2
2 0
2 0
0 Odavde slijedi: 2 , tj. 2
2 0
2 Sada je: 2 , tj. 0
x y
x y x y
y y
y y y
y y
y y
y y
y x y x
y
y x y x
+ =
+ = = −
− + =
− + + =
− =
− =
− =
= = − =
− =
= = − =
Zadaci za vježbu
1. ( )2
1 20,6 1,8 6 2, 5x x x x− = = − =
2. ( )2
1 21 9
,2 2
2 3 8 z zz z
= =
− =
3. ( )1 21, 42 2
12
x xx
xx
= =−+
= +−
4. ( )21 21, 42 6 8 0 x xx x =− =− − =
5. Riješite sustav kvadratne i linearne jednadžbe:
a) ( )
2
1 2 1 2
4
2 4 4, 0, 0, 2, j. ( 4,0)i (0, 2)
y x
y x x x y y t
= +
= + = − = = = −
b) ( )
2 2
1 2 1 2
3
2 0 2, 2, 1, 1, j. (2, 1)i( 2,1)
x xy y
x y x x y y t
+ + =
+ = = = − = − = − −
c) ( )1 2 1 2
2
1, 2, 3, 9, j. ( 1,3) i (2,9)
2 1
2 5 x x y y t
y x
x y = − = = = −
= +
= −
34
1.11. Logaritmi
Logaritam pozitivnog broja y je eksponent kojim treba potencirati bazu a da bi se dobila potencija y. Drugim riječima, vrijedi ekvivalencija:
logx
ay a x y= ⇔ =
Broj a nazivamo bazom logaritma. Mora biti pozitivan i različit od 1. ( 1, 0)a a≠ > .
Od posebnog su značaja logaritmi s bazom 10 i brojem e, pa oni imaju i posebne oznake:
• Dekadski logaritam( ) 1010 : log loga y y= =
• Prirodni logaritam( ) : ln logea e y y= =
Primjer 1.34
Zapišite u logaritamskom obliku:
a) 32 8=
b) 25 25=
c) 210 0,01− =
d) 1 12
2
− =
e) 3
18
2
− =
f) 3
11000
10
− =
Rješenje:
a) 3
22 8 log 8 3= ⇒ =
b) 2
55 25 log 25 2= ⇒ =
c) 2
1010 0,01 log 0,01 2− = ⇒ =−
d) 1
2
1 12 log 1
2 2
− = ⇒ =−
e) 3
1
2
18 log 8 3
2
− = ⇒ =−
f) 3
1
10
11000 log 1000 3
10
− = ⇒ =−
35
Primjer 1.35
Odredite logaritme:
a) log1000
b) log100
c) 2log 8
d) 5log 5
e) 5log 25
f) 2log 16
g) 2
1log
8
h) 3log 27
i) 3
1log
9
Rješenje:
a) log1000 3= , jer je 310 1000=
b) log100 2= , jer je 210 100=
c) 2log 8 3= , jer je 32 8=
d) 5log 5 1= , jer je 15 5=
e) 5log 25 2= , jer je 25 25=
f) 2log 16 4= , jer je 42 16=
g) 3
2 2
1log log 2 3
8
−= =−
h) 3log 27 3= , jer je 33 27=
i) 2
3 3
1log log 3 2
9
−= =−
Pravilo pod brojem 5) koristi se kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi kako bi se nepoznanica „spustila“ iz eksponenta te tako dobila linearna jednadžba.
Primjer 1.36 Eksponencijalna jednadžba
Treba riješiti jednadžbu 1,4 3x = .
Rješenje:
1,4 3 log
log1,4 log 3
log3log1,4 log3 3,2651
log1,4
x
x
x x
=
=
⋅ = ⇒ = ≈
Pravila logaritmiranja
1) log 1a a = , Primjer: 5log 5 1=
2) log 1 0a = , Primjer: ln1 0=
3) log ( ) log loga a axy x y= + , Primjer: log(10 1000) log10 log1000 4⋅ = + =
4) log ( ) log loga a a
xx y
y= − , Primjer: 2 2 2
32log log 32 log 8 5 3 2
8
= − = − =
5) log logn
a ax n x= ⋅ , Primjer: 4log10 4 log10 4 1 4= ⋅ = ⋅ =
6) loga ya y= , Primjer: ln10 10e = .
Logaritmiramo jednadžbu, tj. njenu lijevu i desnu stranu. Ako su one jednake, jednaki su i njihovi logaritmi.
36
1.12. Aritmetički i geometrijski niz
Upoznavanje sa svojstvima aritmetičkog i geometrijskog niza pomoći će nam kod rješavanja nekih tipičnih problema. Geometrijski niz će nam još poslužiti za izvođenje nekih formula kod složenog kamatnog računa.
Niz
Niz je uređeni skup oblika { }1 2 3, , , , ,n
a a a a… … , gdje su ia -ovi realni brojevi, koje nazivamo
članovima niza. U nizu imamo članove u određenom poretku: 1a je prvi član, 2a drugi, itd.
Član na nazivamo opći ili n-ti član niza. Niz { }1 2 3, , , , ,n
a a a a… … ponekad se još označava
oznakom ( )na .
Primjer 1.37 Niz parnih brojeva
Jedan primjer niza je niz parnih prirodnih brojeva : 2, 4, 6, 8, .... Njegov opći član je
2na n= .
Za niz neparnih prirodnih brojeva 1, 3, 5, 7,.... opći član ćemo zapisati ovako:
2 1na n= − .
Primjer 1.38 Padajući niz
Pogledajmo niz 1 1 1
1, , , ,2 3 4
… Ovdje se radi o padajućem nizu, budući da su mu
članovi sve manji i manji realni brojevi. Opći član tog niza je 1
na
n= .
Aritmetički niz
Aritmetički niz je niz brojeva kod kojega je razlika između susjednih članova uvijek jednaka. Njena oznaka je d (diferencija). Primjerice, u nizu parnih prirodnih brojeva razlika između susjednih članova je uvijek 2. Dakle, niz parnih brojeva je aritmetički niz. Evo još nekoliko primjera aritmetičkog niza:
10,15,20,25,30, ...
1,4,7,10,13,16,19, ...
-3,-6,-9,-12,-15, ...
Aritmetički niz je u potpunosti određen svojim prvim članom i diferencijom d. To znači da, poznavajući ta dva broja, možemo odrediti bilo koji član niza.
Ako je ( )na aritmetički niz, tada vrijedi:
2 1 3 2 1i id a a a a a a −= − = − = = −… .
1 11 1 1 12
2i i
i i i i i i i i
a ad a a a a a a a a − +
− + − +
+= − = − ⇒ = + ⇒ = .
Vidimo da je svaki član aritmetičkog niza jednak aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova.
37
Pogledajmo sada na koji način možemo, poznavajući 1a i d , odrediti bilo koji član
aritmetičkog niza:
( )
1
2 1
3 2 1
4 3 1
1
2
3
1n
a
a a d
a a d a d
a a d a d
a a n d
= +
= + = +
= + = +
= + −
�
�
Dakle, opći član aritmetičkog niza dobiva se pomoću formule
( )1 1n
a a n d= + − .
Suma prvih n članova aritmetičkog niza računa se po formuli
( )12
n n
nS a a= + ,
koja, uvrštavanjem izraza ( )1 1a n d+ − umjesto na , prelazi u
( )12 12
n
nS a n d= + − .
Primjer 1.39 Zbroj članova aritmetičkog niza
Odredite zbroj prvih 8 članova aritmetičkog niza 2;3,5;5;6,5;8;…
Rješenje:
Uočimo da se radi o aritmetičkom nizu kojemu je 1 2, 1,5a d= = .
( )
8 1
8
7 2 7 1,5 2 10,5 12,5
82 12,5 4 14,5 58.
2
a a d
S
= + ⋅ = + ⋅ = + =
= + = ⋅ =
Primjer 1.40
Neka tvornica pločica proizvela je 1982. godine 12.000.000 komada pločica. Ako svake godine proizvede 25.000 komada više nego prethodne, kolika će biti proizvodnja 2003. godine? Koliko je ukupno proizvedeno pločica u tih 22 godine?
Rješenje: Ovdje se radi o aritmetičkom nizu kojemu je prvi član 12.000.000, a 25.000d = .
Tražimo, dakle, 22 22a i S .
( )
22 1
22
21 12.000.000 21 25.000 12.525.000
2212.000.000 12.525.000 269.775.000 .
2
a a d
S
= + ⋅ = + ⋅ =
= + =
38
Primjer 1.41 Jednostavno ukamaćivanje
Na koliko će narasti ulog od 100 kn za 9 godina, ako su godišnje kamate 10%? Ukamaćivanje je jednostavno, dakle kamate se ne pribrajaju glavnici.
Rješenje:
Budući da se ostvarene kamate ne pripisuju osnovici za obračun kamata u idućem razdoblju, ulog će se svake godine povećavati za isti iznos od 10 kn. Toliko, naime iznosi 10% od 100 kn. Iznosi na kraju svake godine će izgledati ovako: 110 kn, 120 kn,
130 kn, ... Radi se dakle o aritmetičkom nizu za kojeg je poznato: 1 110, 10a d= = .
Prema tome, 9. član niza dobit ćemo pomoću formule za opći član aritmetičkog niza:
9 1 (9 1) 110 8 10 190a a d kn kn kn= + − ⋅ = + ⋅ = .
Geometrijski niz
1 2 3, , ,a a a … je geometrijski niz , ako za svaki 1,2,3,i = …vrijedi 1
i
i
aq
a −
= , tj. kvocijent bilo
kojeg člana niza i njegova prethodnika je uvijek jednak. Taj kvocijent označavamo sa q. Evo nekih primjera geometrijskog niza:
( )11,2,4,8,16,32,64, 1, 2a q= =…
( )12,6,18,54,162, 2 , 3a q= =…
( )12, 6,18, 54,162, 2, 3a q− − = = −…
( )11, 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641, 1, 1,1a q= =… .
Slično kao kod aritmetičkog niza, pokazati ćemo kako se dobiva n-ti član geometrijskog niza,
ako znamo 1a i q.
( )
( )
1
2 1
2
3 2 1 1
2 3
4 3 1 1
1
1
n
n
a
a a q
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q −
= ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅
�
�
Znači, n-ti član geometrijskog niza se dobiva formulom:
1
1
n
na a q
−= ⋅
Zbroj prvih n članova nekog geometrijskog niza računa se pomoću formule
1
1
1
n
n
qS a
q
−= ⋅
−.
Primjer 1.42 Zbroj članova geometrijskog niza
Odredite zbroj prvih 12 članova niza 1, 2, 4, 8, 16,…
39
Rješenje:
Uočimo da se radi o geometrijskom nizu kojemu je 1 1, 2a q= = . Uvrštavanjem u
formulu dobivamo:
12 1212
12
2 1 2 11 2 1 4095.
2 1 1S
− −= ⋅ = = − =
−
Sljedeći primjer je izveden iz tradicionalnog zadatka sa šahovskom pločom i pšenicom (zrno pšenice na prvom polju, a zatim udvostručen broj zrna na svakom idućem polju).
Primjer 1.43 Geometrijski niz
Studenti VERN-a dužni su svaki tjedan napisati zadaću iz matematike. Iako je zadaća
uvijek zanimljiva, primjećeno je da neki studenti tu ugodnu i korisnu obvezu
izbjegavaju. Stoga je dogovoreno da za prvu nenapisanu zadaću uplate u "Fond za
popularizaciju matematike" 1 lipu, a za svaku iduću nenapisanu - dvostruko više od
prethodnog puta. Koliko će u Fond uplatiti student koji u svih 30 tjedana nastave ne
napiše ni jednu zadaću? Koliko zadaća može student propustiti, ako je odlučio u tu
svrhu potrošiti do 200 kuna?
Rješenje:
Niz uplata u blagajnu zapravo čine geometrijski niz: 1 1, 2a q= = . Kao odgovor na
prvo pitanje, treba naći zbroj prvih 30 članova tog niza:
30 3030
30 1
1 2 11 2 1 1.073.741.823
1 2 1
qS a
q
− −= ⋅ = ⋅ = − =
− −.
Dobiveni rezultat je iznos u lipama, a pretvoren u kune iznosi 10.737.418,23 kn.
U drugom pitanju nepoznat nam je n tj. broj članova niza koji zbrajanjem ne prelaze iznos 200 kuna odnosno 20.000 lipa. Postavljamo jednadžbu:
2 120000 1
2 1
20000 2 1 2 20000 1
2 20001
n
n n
n
−= ⋅
−
= − ⇒ = +
=
Dobili smo jednadžbu kojoj je nepoznanica u eksponentu. Takve jednadžbe nazivamo eksponencijalnim jednadžbama, a rješavamo ih logaritmiranjem cijele jednadžbe.
2 20001 log
log 2 log 20001
log 2 log 20001
log 20001
log 2
4,3010517114,29
0,30103
n
n
n
n
n
=
=
⋅ =
=
= ≈
Rješenje zadanog problema mora biti cijeli broj, pa se odlučujemo za 14n = , ukojem slučaju troškovi ostaju ispod zadanih 200 kuna, dok bi za 15n = troškovi prešli 200 kuna.
40
Znajući da n mora biti cijeli broj, umjesto logaritmiranjem jednadžbe, problem smo
mogli riješiti isprobavanjem različitih n-ova u jednakosti 2 20001n = . Nakon određenog broja pokušaja, došli bismo do točnog rješenja. Npr. prvi pokušaj bi mogao biti 10n = , pa bismo nakon uvrštavanja zaključili da nam treba veći n. Pokušali bi sa 20n = , koji bi pak bio prevelik. To nam govori da je traženi broj između 10 i 20, stoga bi naš idući pokušaj bio raspolavljanje tog intervala, tj. 15. Nakon
uvrštavanja broja 15, postalo bi nam jasno nalazi li se traženi broj u intervalu ( )10,15
ili ( )15, 20 .
Idući korak bi bio raspolavljanje tog intervala na dva jednaka, i tako dalje do željene točnosti. Ovakav postupak zove se metoda raspolavljanja, i može poslužiti ukoliko ne znamo drugačije riješiti problem.
Primjer 1.44 Složeno ukamaćivanje
Na koliko će narasti ulog od 100 kn za 9 godina, ako su godišnje kamate 10%? Ukamaćivanje je složeno, što znači da se na kraju svakog obračunskog razdoblja kamate pripisuju glavnici. U idućem obračunskom razdoblju kamate se obračunavaju na tako uvećanu osnovicu. Rješenje:
Ako promatramo stanje uloga na kraju svake godine nakon obračuna kamata, ustanovit ćemo da je na kraju svake godine stanje za 10% veće od stanja sa kraja prethodne godine. Ako zamislimo ta stanja kao niz, to znači da je svaki sljedeći član tog niza za 1,10 puta veći od prethodnika:
110 kn; 121 kn; 133,10 kn, ...
Dakle, radi se o geometrijskom nizu: 1 110, 1,10a q= = . Zanima nas vrijednost 9.
člana tog niza:
9 1 8
9 1 1,1 110 1,1 235,79a a kn kn−= ⋅ = ⋅ = .
Usporedite ovaj rezultat sa rezultatom iz Primjera 1.41 gdje je ukamaćivanje bilo jednostavno.
41
2. Diferencijalni račun s temeljnim primjenama u ekonomiji
U ovom poglavlju obradit ćemo diferencijalni račun na razini potrebnoj za ilustraciju nekih njegovih osnovnih primjena u ekonomskoj analizi. Pritom će funkcije koje će se koristiti u primjerima biti odabrane tako da budu što jednostavnije, a da ipak mogu približno predstavljati odnos stvarnih ekonomskih veličina. Za početak, moramo se dobro upoznati s pojmom varijable i funkcije, te sa nekim osnovnim oblicima funkcija i njihovim uobičajenim primjenama u poslovnoj analizi.
2.1. Realne funkcije realne varijable
Jedna od najvažnijih ideja u matematici je pojam funkcije. Dio svake ekonomske analize je proučavanje učinka promjene jedne ekonomske veličine na ekonomsku veličine koja je s njom povezana. Ako tu vezu nemamo jasno matematički iskazanu, nije moguće dovoljno precizno procijeniti učinak promjene neke ekonomske veličine. Primjerice, svakome je jasno da povećanje cijene nekog proizvoda izaziva pad njegove potražnje. Ali, prava pitanja glase: Koliko će se smanjiti potražnja ako cijenu povećam za npr. 5%? Kako će se promijeniti prihod
od prodaje? A kako dobit? Funkcija je prikladno sredstvo za opisivanje odnosa među ekonomskim veličinama. Ovdje nam je cilj obnoviti i učvrstiti razumijevanje funkcije i s njom povezanih pojmova. Posebno je važno razumjeti pojam promjenljive veličine, tj. varijable.
Primjer 2.1 Linearni funkcijski odnos
Pretpostavimo da se u nekom gradu cjenik taksi usluga sastoji od samo dvije stavke:
Start: 30 kn Prijevoz po km: 6 kn
U tablici su navedeni podaci o zadnjih osam vožnji u tom gradu. Uočite da brojevi koji predstavljaju duljine vožnje variraju. To je razlog zašto možemo reći da je „duljina vožnje“ varijabla. Duljina vožnje u kilometrima neke buduće vožnje može biti bilo koja u nekim razumnim granicama i ne ovisi o nekoj drugoj varijabli, stoga kažemo da je riječ o nezavisnoj varijabli. Cijene vožnje, navedene u drugom stupcu, također variraju – dakle i “cijena vožnje” je varijabla. Međutim, cijene vožnje ne variraju baš bilo kako. One ovise o odgovarajućem broju iz prvog stupca, tj. o duljini vožnje. Takvu promjenljivu veličinu nazivamo zavisnom varijablom. Ako označimo oznakom x duljinu neke vožnje, a sa C(x) cijenu takve vožnje, možemo vezu između duljine vožnje i njene cijene iskazati algebarskim izrazom:
( ) 6 30C x x= + .
Duljina vožnje Cijena vožnje
12 km 102 kn
20 km 150 kn
8 km 78 kn
5 km 60 kn
32 km 222 kn
18 km 138 kn
5 km 60 kn
25 km 180 kn
42
Provjerite jesu li svi parovi brojeva po retcima tablice u ovakvom odnosu. Da bismo ustvrdili da su cijena vožnje i duljina vožnje u funkcijskom odnosu, moramo se uvjeriti da se za svaku moguću duljinu vožnje može točno utvrditi cijena. Budući da je na početku navedeni cjenik vrlo jasan, možemo zaključiti da se ovdje radi o funkcijskom odnosu. Kažemo da je cijena vožnje funkcija duljine vožnje, tj. C je funkcija od x. U dobivenom algebarskom izrazu možemo prepoznati linearnu funkciju, pa kažemo da je u ovom slučaju cijena vožnje linearna funkcija njene duljine.
Pojam promjenljive varijable i funkcijskog odnosa ćemo ilustrirati na još jednom primjeru.
Primjer 2.2 Nelinearni funkcijski odnos
Marica se odlučila prihvatiti organizacije jednodnevnog izleta s ručkom u prirodnom ambijentu za studente svoje grupe. Cijena ručka iznosi 60 kn po osobi, a cijena dnevnog najma autobusa s vozačem iznosi 2000 kn. Zamišljeno je da se ukupan trošak podijeli na sve sudionike jednako. Kako odrediti cijenu po osobi?
Rješenje: Nakon kraćeg razmišljanja, Marica je zaključila da ne može znati cijenu po osobi bez da prethodno zna koliko se studenata za izlet prijavilo. Ovako je ona to formulirala:
„Cijena po osobi ovisi o broju prijavljenih studenata.“
Ako potražite u gornjoj rečenici izraze koji se odnose na neku količinu (broj, novčani iznos, i sl.), pronaći ćete ih u potcrtanim dijelovima:
„Cijena po osobi ovisi o broju prijavljenih studenata.“
I jedna i druga „količina“ mogu poprimiti različite vrijednosti, tj. mogu varirati - stoga je riječ o varijablama. Iako bismo mogli nastaviti razmatranje i koristeći pune izraze za navedene varijable, radi praktičnosti varijablama se dodjeljuju kratke oznake. Za nezavisnu varijablu je to najčešće x, ili neko slovo uobičajeno za određene vrste varijabli (npr. p za cijenu, q za količinu, ...). Napravimo to za naše varijable:
x – broj prijavljenih studenata C – cijena po osobi
Ako sada zamijenimo u promatranoj rečenici nazive varijabli njihovim skraćenim oznakama, dobit ćemo sljedeću tvrdnju:
C ovisi o x.
Dakle, x odnosno broj prijavljenih studenata, je nezavisna varijabla, a C (cijena po
osobi) je zavisna varijabla. Da nas zanima na koji način C ovisi o x, naznačit ćemo jednostavnim zapisom iz kojeg se jasno vidi što držimo nezavisnom varijablom, a što zavisnom:
C(x).
Da bismo došli do algebarskog izraza (formule) koji opisuje promatranu zavisnost, prvo ćemo izračun cijene po osobi provesti za neki određeni broj prijavljenih studenata. Neka to bude npr. 10:
43
10
10
2000 60( ) 260
Trošak autobusa ručkovaCijena po osobi
studenata
kn knC kn po osobi
1010
10
+=
+ ⋅= =
Sada izračun istovjetan gornjemu, provodimo za x studenata i to tako da broj 10 zamijenimo slovom x na svim mjestima u izračunu:
2000 60 2000 60 2000( ) 60
x xC x
x x x x
+ ⋅ ⋅= = + = +
.
Izračunom cijene po osobi za neki neodređeni broj prijavljenih studenata x zapravo smo definirali funkciju – pridruživanje kojim se svakom mogućem broju prijavljenih studenata pridružuje iznos u kunama koji predstavlja cijenu izleta po osobi (studentu). Kažemo da je cijena izleta po osobi funkcija broja prijavljenih studenata. Pravilo prodruživanja određeno je formulom:
2000( ) 60C x
x= +
.
U nastavku iznosimo formalnu definiciju funkcije, te definicje nekih pojmova usko povezanih sa funkcijama.
Definicija funkcije
Dakle, funkcija je preslikavanje izmedu dva skupa (domene i kodomene) koje svakom elementu prvog skupa (domene) pridružuje točno jedan element drugog skupa (kodomene). Relacija koja nekom elementu pridružuje dva ili više elemenata drugog skupa nije funkcija. Napomenimo da funkcija dozvoljava da se dva različita elementa domene preslikaju u isti element kodomene.
A B f
x
y
Definicija funkcije
Neka su A i B neprazni skupovi. Neka je svakom elementu x A∈ pridružen točno jedan element y B∈ . Kaže se da je tim pridruživanjem definirana funkcija :f A B→ i pišemo
( )f x y= .
Skup A zove se domena ili područje definicije funkcije f , a skup B kodomena funkcije f .
Domenu funkcije f označavamo još i sa ( )D f ili fD .
44
Općenito, odnos između vrijednosti dviju varijabli može se odrediti kao funkcija ako vrijednost jedne varijable jednoznačno određuje vrijednost druge.
Zadavanje funkcije
Funkcija je zadana ako je zadana njezina domena, kodomena i pravilo pridruživanja (postupak pomoću kojeg se svakom elementu domene pridružuje jedinstveni element kodomene).
Funkciju možemo zadati:
• nabrajanjem parova pridruženih elemenata (npr. u tablici)
• grafički
• algebarski (pomoću formule)
Prvi način zadavanja je nepraktičan ako elemenata domene ima previše.
Primjer 2.3 Algebarski zadana funkcija 2: , ( ) 1f f x x→ = +� � .
Dakle, da bismo zadali funkciju naveli smo domenu i kodomenu, te pravilo pridruživanja. Varijablu x zovemo argument funkcije, a f(x) je vrijednost funkcije. Gornje pravilo
pridruživanja može se zapisati i u obliku jednadžbe: 2 1y x= + . Tada x zovemo nezavisnom
varijablom, a y zavisnom.
U gornjem primjeru je zadana realna funkcija realne varijable. Tako zovemo one funkcije kojima su domena i kodomena neki podskupovi skupa ℝ. U našim primjerima će to biti uglavnom intervali od ℝ.
U daljnjem tekstu ćemo, ako nije drugačije naznačeno, podrazumijevati da govorimo o realnim funkcijama realne varijable.
Graf funkcije
Graf funkcije f je skup točaka ( , )x y ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu
( )y f x= .
x
y
x
( )f x
fΓ
( , )x y
45
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
Graf funkcije f možemo definirati i na ovaj način: { }( , ( )) : ( )f
x f x x D fΓ = ∈ .
Linearna funkcija
Primjer 2.4 Linearna funkcija i njen graf
Nacrtajte graf funkcije 1
: , ( ) 32
f f x x→ = − +� � .
Rješenje:
Općenito, graf linearne funkcije ( )f x ax b= + je
pravac čija je jednadžba y ax b= + . Kao što je već
objašnjeno u poglavlju 1.8., dovoljno je odrediti koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu
funkcije 1
( ) 32
f x x= − + , tj.
pravcu 1
32
y x= − + .
( , ( ))
(0, (0)) (0,3)
(4, (4)) (4,1)
x f x
f
f
→
→
Koeficijente 1
2a = − i 3b = još nazivamo i parametrima funkcije. Tako je linearna funkcija
određene sa dva parametra. Prisjetimo se značenja broja a, tj. koeficijenta smjera: on predstavlja promjenu vrijednosti funkcije f koji odgovara porastu varijable x za 1. Budući da će nam linearna funkcija često služiti za približno opisivanje veze između nekih ekonomskih veličina, poznavanje značenja koeficijenta a će nam pomoći da opisanu vezu bolje sagledamo.
Primjer 2.5 Konstantna funkcija
Zadana je funkcija: : , ( ) 2f f x→ =� � . Odredite
( 6)f − i nacrtajte njen graf.
Rješenje:
Budući da zadana funkcija svakom realnom broju pridružuje broj 2, jasno je da je i ( 6) 2f − = . Graf ove funkcije
je pravac koji je paralelan sa osi apscisa i prolazi točkom (0,2).
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
46
Primjer 2.6 Identiteta
Zadana je funkcija: : , ( )f f x x→ =� � . Nacrtajte njen graf.
Rješenje:
Identiteta je linearna funkcija koja svakom broju pridružuje isti taj broj. Stoga se njen graf sastoji od točaka oblika (x,x), tj. radi se o pravcu koji prolazi ishodištem i raspolavlja 1. i 3. kvadrant koordinatnog sustava.
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
Nultočka funkcije
Nultočka neke funkcije je svaki broj za koji funkcija ima vrijednost 0. Dakle, neki broj 0x je
nultočka funkcije f ako vrijedi 0( ) 0f x = . Neke funkcije nemaju nultočku, a neke ih imaju i
više od jedne.
Budući da se sve točke čija je ordinata jednaka 0 nalaze na osi apscisa (tj. x-osi), u grafičkom smislu nultočka je apscisa tj. 1. koordinata točke u kojoj graf funkcije siječe x-os. Uvjerite se pomoću grafa da funkcija iz gornjeg primjera ima nultočku 6x = .
Budući da zapravo tražimo x za koji funkcija ima vrijednost 0, nultočke funkcije f određujemo postavljanjem i rješavanjem jednadžbe:
( ) 0f x = .
Primjer 2.7 Nultočke kvadratne funkcije
Odredite nultočke funkcije: 2: , ( ) 4 3f f x x x→ = − +� �
Rješenje:
Izjednačavanjem funkcije sa 0, dobiva se kvadratna jednadžba koju rješavamo po odgovarajućoj formuli:
47
2
2
1,2 1 2
( ) 0
4 3 0
4 4 16 4 3 4 22 1 1, 3
2 2 2
f x
x x
b b acx x x
a
=
− + =
− ± − ± − ⋅ ±= = = = ± ⇒ = =
Dakle, ova funkcija ima dvije nultočke. Uvjerite se da vrijedi: (1) (3) 0f f= = .
Kompozicija funkcija
Neka su BAf →: i CBg →: dvije funkcije. Kompozicija funkcija f i g je funkcija
CAfg →:� ,
))(())(( xfgxfg =�
Funkcija f preslikava element x u element f(x). Dobiveni element f(x) funkcija g preslikava u element g(f(x)). Funkciju koja izravno preslikava element x u element g(f(x)) označavamo sa
))(( xfg � .
Da bi bilo moguće komponirati ove dvije funkcije, domena funkcije g mora sadržavati sliku, tj. skup funkcijskih vrijednosti funkcije f .
Primjer 2.8 Kompozicija funkcija
Zadane su funkcije: 12)(,: −=→ xxfRRf i 3)(,: xxgRRg =→ . Odredite
funkcije ))(( xgf � i ))(( xfg � .
Rješenje:
Prvo funkcija g broj x preslikava u 3x , a onda funkcija f sa 3x radi ono što inače radi sa x – množi brojem 2 i umanjuje dobiveni umanožak za 1:
12)())(())(( 33 −=== xxfxgfxgf � .
Prvo funkcija f broj x preslikava u 12 −x , a onda funkcija g sa 12 −x radi ono što
inače radi sa x – potencira na treću potenciju:
( )312)12())(())(( −=−== xxgxfgxfg � .
Uočimo da ove dvije kompozicije funkcija nisu jednake, tj. da nije svejedno koja funkcija djeluje prva, a koja druga po redu.
A B C
f(x) x g(f(x) f g
g o f
))(( xfg
48
Inverzna funkcija
Primjer 2.9 Konverzija kilometara u nautičke milje
Pretpostavimo da je poznata formula za pretvorbu udaljenosti izražene u nautičkim miljama u udaljenost izraženu u kilometrima: xxK ⋅= 852,1)( , gdje je x udaljenost u
nautičkim miljama. Treba naći formulu za pretvorbu udaljenosti izražene u kilometrima u udaljenost iskazanu nautičkim miljama.
Rješenje:
Označimo za početak )(xK sa y. Iz dobivene jednadžbe xy ⋅= 852,1 , treba izraziti
varijablu x: 852,1
yx = . Zamjenom naziva nezavisne varijable (x uzmjesto y), te
zavisne (N(x) umjesto x), dobiva se konačan oblik tražene formule za pretvorbu:
xxN ⋅=852,1
1)( , tj. xxN ⋅= 54,0)( .
Ako u zadatku zadanu formulu shvatimo kao funkciju koja «miljama pridružuje kilometre», u rješenju smo dobili tzv. inverznu funkciju koja «kilometre pretvara opet u milje».
Općenito se za svaku funkciju f određenu svojim pravilom pridruživanja koje opisuje na koji način varijabli x pridružujemo varijablu y, možemo pitati postoji li pravilo g koje određuje na koji način varijabli y pridružiti varijablu x.
Ukoliko postoji takva funkcija, kažemo da funkcija f ima inverznu funkciju koju označavamo
sa 1f − .
Primjer 2.10 Inverzna funkcija
Odredite inverznu funkciju ako je : , ( ) 2 4f R R f x x→ = + .
Nacrtajte grafove obiju funkcija i uvjerite se da su simetrični s obzirom na pravac y x= .
Rješenje:
2 4 2 4
4 12
2 2
y x x y
yx x y
= + ⇒ = − ⇒
−= ⇒ = −
Zamjenom naziva varijabli (x
uzmjesto y i 1( )f x− umjesto x)
dobivamo traženu funkciju:
1 1( ) 2
2f x x
− = − .
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
x y
A B f
g
49
Primjer 2.11
Provjerite je li funkcija [ ): 0, , ( )g g x x∞ = inverz funkcije [ ) 2: 0, , ( )f f x x∞ = .
Rješenje:
Treba pokazati da je ( ( ))g f x x= :
2( ( )) ( )g f x f x x x= = =
Rast i pad funkcije
Često nas kod neke ekonomske funkcije zanima što se događa s njenim vrijednostima ako se povećava vrijednost nezavisne varijable. Stoga ćemo ovdje definirati i usvojiti pojam rastuće, odnosno padajuće funkcije.
Rastuća i strogo rastuća funkcija
Za funkciju f kažemo da je rastuća na nekom intervalu I ⊂ � ako vrijedi:
1 2 1 2 1 2Ako su , takvi da je , onda vrijedi ( ) ( )x x I x x f x f x∈ < ≤ .
Za funkciju f kažemo da je strogo rastuća na nekom intervalu I ⊂ � ako vrijedi:
1 2 1 2 1 2Ako su , takvi da je , onda vrijedi ( ) ( )x x I x x f x f x∈ < < .
x
y
Dakle, funkcija je strogo rastuća ako porastu nezavisne varijable odgovara i porast vrijednosti funkcije. Ponekad skraćeno kažemo rastuća funkcija misleći pritom na strogo rastuću.
1x 2x
1( )f x
2( )f x
50
Primjer 2.12 Rastuća ili padajuća funkcija
Za navedene funkcije treba odrediti jesu li rastuće ili padajuće:
a) ( ) 2 500f x x= −
b) ( ) 5 3f x x= − +
c) 1
( ) 2f xx
= +
d) 2( )f x x=
Rješenje:
a) Budući da se radi o linearnoj funkciji, odgovor ćemo saznati iz predznaka koeficijenta smjera. Budući da je za ovu funkciju on pozitivan i jednak 2, to znači da povećanje x-a za 1 dovodi do povećanja vrijednosti funkcije (i to za 2) – dakle, radi se o rastućoj funkciji.
b) Ovdje zaključujemo da se radi o padajućoj funkciji jer je također linearna, ali sa negativnim koeficijentom smjera.
Padajuća i strogo padajuća funkcija
Za funkciju f kažemo da je padajuća na nekom intervalu I ⊂ � ako vrijedi:
1 2 1 2 1 2Ako su , takvi da je , onda vrijedi ( ) ( )x x I x x f x f x∈ < ≥ .
Za funkciju f kažemo da je strogo padajuća na nekom intervalu I ⊂ � ako vrijedi:
1 2 1 2 1 2Ako su , takvi da je , onda vrijedi ( ) ( )x x I x x f x f x∈ < > .
x
y
Dakle, funkcija je strogo padajuća ako porastu nezavisne varijable odgovara smanjenje vrijednosti funkcije. Ponekad skraćeno kažemo padajuća funkcija misleći pritom na strogo padajuću.
2( )f x
1( )f x
1x 2x
51
c) Ukoliko u ovu funkciju uvrštavamo sve veće vrijednosti varijable x, vrijednost
funkcije će biti sve manja budući da je razlomak 1
x sve manji. Uvjerite se da
ovo vrijedi i za pozitivne i za negativne vrijednosti x-a.
d) Ako uvrštavamo samo pozitivne brojeve u funkciju, dobivat ćemo sve veće vrijednosti kako uvrštavamo veće x-eve. Međutim, za negativne vrijednosti varijable x, vrijednosti funkcije padaju kako se približavamo nuli s lijeve strane
brojevnog pravca. Dakle, ova funkcija je padajuća na intervalu ( ),0−∞ , a
rastuća na intervalu [ )0, +∞ . U ovo se možete lako uvjeriti ako nacrtate graf
ove funkcije.
Funkcija { }: , ( )f R c f x c→ = naziva se konstantna funkcija. Radi se o preslikavanju koje
svakom realnom broju pridružuje realan broj c.
Kvadratna funkcija
Opći oblik kvadratne funkcije je: 2( ) ( , , , 0)f x ax bx c a b c R a= + + ∈ ≠ .
Koeficijente a,b,c redom zovemo koeficijent kvadratnog člana, linearni koeficijent, te slobodni koeficijent.
Graf kvadratne funkcije je ravninska krivulja koju zovemo parabola.
• Ako je 0a > , tada funkcija ima minimum (parabola je postavljena s tjemenom nadolje)
• Ako je 0a < , tada funkcija ima maksimum (parabola je postavljena s tjemenom nagore)
Skiciranje grafa kvadratne funkcije
1. Određujemo nultočke rješavanjem jednadžbe ( ) 0f x = , tj. 2 0ax bx c+ + = .
2
1,2
4
2
b b acx
a
− ± −=
Dobivene vrijednosti ucrtavamo na x-osi koordinatnog sustava.
2. Određujemo koordinate tjemena po formuli 24
, ,2 4 2 2
b ac b b bT ili T f
a a a a
− − − −
.
Ako postoje nultočke i izračunate su, koristimo se simetričnošću parabole s obzirom na pravac koji prolazi tjemenom i okomit je na os apscisa, te koordinate tjemena
određujemo ovako: 1 2 1 2,2 2
x x x xT f + +
.
Tjeme označavamo u koordinatnom sustavu, te zatim skiciramo parabolu koja prolazi trima dosad određenim točkama.
3. Za uredniju skicu dobro je odrediti još poneku pomoćnu točku koja pripada grafu naše funkcije.
52
Primjer 2.13 Skiciranje grafa kvadratne funkcije
Nacrtati graf funkcije ( ) 2 4 3f x x x= − + .
Rješenje: 1) Nultočke:
1,2
4 16 12
2x
± −=
1 21 , 3x x= =
2) Tjeme:
( )
3 1 3 1,
2 2
2, 1
T f
T
+ +
−
3) Pomoćne točke: (0,3), (4,3), (-1,8), (5,8), ...
Podjela realnih funkcija realne varijable
Funkcije dijelimo prema analitičkom obliku u dvije skupine:
• algebarske – nad argumentom funkcije se izvode algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja racionalnim brojem. Algebarske funkcije dijelimo na racionalne i iracionalne. Racionalne su one kod kojih se argument potencira samo s cijelim brojem, dakle nema korijena.
• transcedentne – naziv za funkcije koje nisu algebarske (eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, ciklometrijske,...)
Primjer racionalne funkcije je polinom n-tog stupnja, tj. funkcija oblika:
1
1 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + +
gdje su 0 1, ,..., , 0n na a a a∈ ≠� .
Već smo upoznali svojstva polinoma prvog stupnja ( )f x ax b= + , i polinoma drugog stupnja 2( )f x ax bx c= + + .
Primjer 2.14 Kubna funkcija (polinom trećeg stupnja)
Treba nacrtati graf funkcije ( ) 3 213 1
9f x x x x= − + − .
Rješenje:
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
53
Napomena: Crtanje grafa ove funkcije zahtijeva poznavanje nekih tehnika za određivanje karakterističnih točaka neke funkcije, kao i njenog tijeka. Pokušajte nacrtati ovaj graf određivanjem i ucrtavanjem velikog broja njegovih točaka. Možete se poslužiti i MS Excel tabličnim kalkulatorom.
Primjer 2.15 Iracionalna funkcija
Treba odrediti domenu i nacrtati graf funkcije ( ) 20f x x= − .
Rješenje: Budući da se radi o realnoj funkciji, domenu čine samo brojevi za koje izraz pod korijenom nije negativan (korijen negativnog broja nije realan broj, nego kompleksan).
( ]
20 0 20
( ) , 20
x x
D f
− ≥ ⇒ ≤
⇒ = −∞
Graf nacrtajte opet pomoću većeg broja njegovih točaka, vodeći računa da vrijednosti funkcije računate samo za x-eve iz domene. Prvo odredite točke sa cjelobrojnim koordinatama.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
54
Eksponencijalna funkcija
Funkciju ( ): 0,f → ∞R oblika ( ) xf x a= , gdje je 0, 1a a> ≠ nazivamo eksponencijalnom
funkcijom s bazom a.
Njena svojstva su:
1) 0(0) 1f a= = . To znači da graf svake eksponencijalne funkcije prolazi točkom (0,1).
2) ( ) 0f x > na cijeloj domeni. Dakle, graf eksponencijalne funkcije uvijek se nalazi iznad
x-osi. Slika funkcije: { } ( )( ) ( ) : 0,S f f x x= ∈ = +∞R
3) Ako je 1a > tada eksponencijalna funkcija raste na cijeloj domeni. Rast je „brži“ što je broj a veći.
4) Ako je 1a < tada eksponencijalna funkcija pada na cijeloj domeni. Pad je „brži“ što je broj a manji.
Primjer 2.16 Eksponencijalna funkcija
Nacrtajte graf funkcije ( ) 2xf x = . Uvjerite se da vrijede gore navedena svojstva.
Rješenje: Ucrtati ćemo sljedeće točke:
x f(x)
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Logaritamska funkcija
Funkciju ( ): 0,f ∞ → R oblika ( ) loga
f x x= , gdje je 0, 1a a> ≠ nazivamo logaritamskom
funkcijom. Radi se o inverznoj funkciji eksponencijalne funkcije ( ): 0,g → ∞R , ( ) xg x a= .
Neka njena svojstva su:
1) (1) log 1 0a
f = = . To znači da graf logaritamske funkcije prolazi točkom (1,0).
2) Ako je 1a > tada logaritamska funkcija raste na cijeloj domeni. 3) Ako je 1a < tada eksponencijalna funkcija pada na cijeloj domeni.
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
55
Primjer 2.17 Logaritamska funkcija
Nacrtajte graf funkcije ( ) 2logf x x= . Uvjerite se da vrijede gore navedena svojstva.
Rješenje: Kako bismo ucrtali krivulju, poslužit ćemo se sljedećim točkama:
Baza logaritamske funkcije ovdje je 2, pa se radi o funkciji inverznoj onoj iz prethodnog primjera. Stoga su vrijednosti argumenta jedne funkcije jednake vrijednostima druge funkcije – uvjerite se usporedbom tablica.
x f(x)
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3 x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
56
Zadaci za vježbu
1. Serviser kućanskih aparata naplaćuje dolazak u kuću 50 kn, a svaki sat rada naplaćuje
75 kn. Zapišite funkciju koja izražava cijenu popravka ovisno o vremenu utrošenom
na popravak aparata.
2. Nalazi li se točka (4,5) na grafu funkcije x
xf8
2)( += ?
3. Je li funkcija x
xf8
2)( += padajuća ili rastuća? Koja je njena domena?
4. Odredite domenu funkcije xxf −= 30)( .
5. Odredite nultočke funkcije 25,3)( 2 −−= xxxf .
6. Prikažite grafički funkcije. Svakoj funkciji računski i grafički odredite nultočke.
a) 12
1−= xy
b) 33 +−= xy
c) xy2
3−=
d) 2−=y
e) 22 2 += xy
f) xxy 62 2 +=
g) 42
1 2 ++−= xxy
7. Grafički su prikazane dvije linearne funkcije. Odredite njihove algebarske izraze.
8. Nacrtajte grafove funkcija x
xf
=
2
1)( i xxf 5,0log)( = .
9. Treba odrediti koji od nacrtanih grafova pripada kojoj linearnoj funkciji.
23
2)(1 −−= xxf , 33)(2 += xxf , 3
2
3)(3 −= xxf , 3)(4 +−= xxf
57
10. Nacrtajte graf linearne funkcije baxxf +=)( ako je 6)3( ,2)1( =−=− ff . U kojoj
točki graf funkcije siječe os y ? Koliki je nagib te funkcije?
11. Na slici su dani grafovi kvadratnih funkcija:
1)( 2
1 += xxf , 13)( 2
2 += xxf , xxxf 3)( 2
3 −−= , 142
10
2
1)( 2
4 −+−= xxxf
Koji graf pripada kojoj funkciji?
58
2.2. Funkcije u ekonomiji
Primjer 2.18
Zamislite poduzetnika kojemu su se povećali troškovi proizvodnje, primjerice radi
poskupljenja sirovina. Ukoliko želi da mu dobit ostane na istoj razini, on na to
povećanje troškova mora nekako reagirati. Može pokušati sniziti troškove
proizvodnje. Može, umjesto toga, razmisliti o povećanju cijena sa željom da poveća
prihod. Međutim, povećanje cijena može izazvati i suprotan učinak, tj. smanjenje
prihoda. Naime, za očekivati je da se potražnja (prodaja) nešto smanji radi povećanja
cijena, ali što ako se smanji previše? Time pi povoljan učinak povećanja cijena na
prihod bio poništen, te bi prihod bio niži nego prije. Možda bi trebao smanjiti cijenu?
Ili povećati proizvodnju? Ako želi donijeti dobru odluku, morao bi što točnije znati
kakav učinak će neka od razmatranih promjena imati na ostale važne veličine
(potražnja, prihod, troškovi,...), odnosno mora znati u kakvom su one odnosu. Idealno
bi bilo da te odnose može opisati matematičkim izrazima.
Kao što gornji primjer ilustrira, za potrebe ekonomske analize potrebno je veze međuzavisnosti ekonomskih veličina odrediti kao funkcijske veze. To znači da ćemo utjecaj jedne varijable na drugu opisati algebarskim izrazom, odnosno funkcijom. Osnovni cilj je predstaviti koristi od modeliranja odnosa promatranih ekonomskih veličina funkcijama. Stoga će odnosi između ekonomskih varijabli biti pojednostavljeni, odnosno često će biti iskazani funkcijama koje mogu samo približno poslužiti opisivanju realnih odnosa.
U ovom poglavlju navodimo nekoliko primjera često promatranih funkcija u ekonomskim analizama.
Funkcija ponude, funkcija potražnje
Funkcija potražnje ( )q p izražava zavisnost količine tražene robe q o njenoj cijeni p . Iz
stvarnog okruženja znamo da povećanje cijene nekog proizvoda uzrokuje smanjenje potražnje, pa očekujemo da je funkcija potražnje padajuća funkcija.
Zamislimo proizvođača povrća koji, između ostaloga, uzgaja brokulu. Ukoliko on poveća cijenu, može očekivati pad potražnje tj. prodaje. Potencijalni kupci mogu se okrenuti i drugim dobavljačima, ili možda nekim sličnim vrstama povrća.
Funkcija ponude 1( )q p izražava zavisnost količine ponuđene robe o cijeni p te robe. Ukoliko
se cijena neke robe na tržištu poveća, za očekivati je rast ponude, odnosno povećani interes ponuđača. Stoga je funkcija ponude, definirana na ovaj način, rastuća.
Vratimo se opet na uzgajivača povrća: ako na tržištu dođe do povećanja cijene brokule, on može u idućem ciklusu povećati njenu proizvodnju. Budući da će slično postupiti i ostali proizvođači, doći će do povećanja ponude.
Na slobodnom tržištu, cijenu robe određuje odnos ponude i potražnje. Cijena pri kojoj se ostvaruje ravnoteža ponude i potražnje, naziva se ravnotežna cijena, i određuje se iz
jednakosti 1q q= , tj. 1( ) ( )q p q p= .
59
U idućim primjerima i zadacima ove funkcije će biti zadane. Nećemo isticati o kakvoj se robi radi, a osim ako u zadatku to ne bude navedeno, neće nam biti važni ni vremenski okviri ponude ili potražnje. U stvarnosti, potražnja je uvijek vezana za neko razdoblje, primjerice dnevna potražnja, mjesečna, godišnja itd. Također, količinu potražnje i ponude ćemo često izražavati samo brojčano. Na tržištu su to možda komadi, kilogrami, litre, tone i sl.
Primjer 2.19
Zadane su funkcije ponude i potražnje: 1
20 40( ) 10 70 , ( )
3 3q p p q p p= − + = − .
Odredite cijenu pri ravnoteži ponude i potražnje.
Rješenje:
1
20 40( ) ( ) 10 70 3
3 3
20 40 30 210
50 250 50
q p q p p p
p p
p p
= ⇒ − = − + ⋅
− = − +
= ⇒ =
Primjer 2.20 Funkcija ponude i funkcija potražnje
Funkcije ponude i potražnje neke robe dane su izrazima:
1( ) 2 20 , ( ) 3 180q p p q p p= − = − + .
a) Odredite domenu funkcije potražnje. b) Odredite ravnotežnu cijenu robe. c) Kolika je potražnja za cijenu 30? d) Za koju cijenu počinje ponuda? e) Za koje cijene je potražnja manja od 90? f) Kod koje cijene će zaliha robe biti 50? g) Nacrtajte (u istom koordinatnom sustavu) grafove obaju funkcija. Očitajte iz
grafičkog prikaza odgovore na sva prethodna pitanja. Rješenje:
a) Domenu funkcije potražnje čine one cijene za koje je potražnju moguće odrediti. Osim matematičkih ograničenja, kojih za linearnu funkciju nema, treba uzeti u obzir da su i cijena i količina potražnje nenegativne veličine. Prema tome, tražimo rješenja sustava nejednadžbi 0, 0p q≥ ≥ .
3 180 0 3 180 60p p p− + ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≤
Dakle, domena ove funkcije je: [ ]0,60p ∈ .
b) Izjednačit ćemo ponudu i potražnju i riješiti dobivenu linearnu jednadžbu:
1( ) ( ) 2 20 3 180
5 200 40
q p q p p p
p p
= ⇒ − = − +
= ⇒ =
c) U funkciju potražnje uvrštavamo količinu 30: (30) 3 30 180 90q = − ⋅ + = .
d) Da bi odredili za koju cijenu počinje ponuda, naći ćemo nultočku funkcije ponude.
1( ) 0 , 2 20 0 10q p p p= − = ⇒ = .
60
e) Kao što kaže rečenica, postavit ćemo i riješiti nejednadžbu: ( ) 90q p < .
3 180 90 , 3 90 30p p p− + < − < − ⇒ > .
f) Zaliha se javlja kao razlika ponude i potražnje. U ovom slučaju ta razlika iznosi 50, pa
postavljamo jednadžbu: 1( ) ( ) 50q p q p− = .
2 20 ( 3 180) 50 50p p p− − − + = ⇒ = .
g) Obje funkcije su linearne, što znači da im je graf pravac. Za nacrtati grafove, trebamo za svaku funkciju dvije točke koje pripadaju njenom grafu. Te točke prvo određujemo za funkciju potražnje i to na način da odredimo određene točke: Odsječak na osi ordinata uvrštavanjem 0p = , i cijenu pri kojoj potražnja prestaje uvrštavanjem 0q = .
Time smo ujedno i odredili izgled koordinatnog sustava, tj. duljinu jedinične dužine na svakoj osi. Tako je vidljivo da nam na ordinati ne trebaju brojevi veći od 180, budući
da je to iznos najveće potražnje. Domena funkcije potražnje je interval [ ]0,60p ∈ pa
nas ne zanimaju ni cijene veće od 60.
Grafove prikazujemo u I kvadrantu, budući da su cijena, ponuda i potražnja pozitivne veličine.
p
q
10 20 30 40 50 60 70 80
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0
Primjer 2.21
U nekoj trgovini je funkcija dnevne potražnje nekog proizvoda dana sa
( ) 50 300q p p= − + . Funkcija dnevne ponude je slijedeća: 1( ) 50 100q p p= + .
Pretpostavimo da se proizvod traži ravnomjerno tijekom cijelog dana.
a) Koju cijenu treba postaviti da bi svi dnevno nabavljeni proizvodi bili prodani?
p q p q1
0 180 10 0
60 0 40 60
61
b) Za koju cijenu će se svi nabavljeni proizvodi prodati u prve 3
5 radnog vremena?
c) Odredite na grafu područje cijena za koje je potražnja veća od 200. Rješenje:
a) Treba dakle naći cijenu kod koje su ponuda i potražnja jednake:
50 300 50 100 100 200 2p p p p− + = + ⇒ − = − ⇒ = .
b) Uz pretpostavku ravnomjerne potražnje tijekom cijelog dana, ovo zapravo znači da
ponuda iznosi 3
5 dnevne potražnje, pa postavljamo jednadžbu:
1
3
5q q= ⋅ .
( )3
50 100 50 3005
50 100 30 180
80 80 1.
p p
p p
p p
+ = − +
+ = − +
= ⇒ =
c) Tražimo cijene za koje se graf funkcije potražnje nalazi iznad pravca koji je paralelan s p-osi, a prolazi točkom (0,200). Na slici je taj pravac u sivoj boji. Iz slike se također vidi da je potražnja veća od 200 za cijene od 0 do 2 , dakle
[ )0,2p ∈ . To područje na osi p je
podebljano. U dosadašnjim primjerima smo imali zadane funkcije potražnje i ponude. U realnom okruženju se do takvih funkcija dolazi statističkim metodama temeljenim na bilježenju cijena i odgovarajućih količina potražnje ili ponude. Slijede jednostavni primjeri.
Primjer 2.22 Određivanje parametara linearne funkcije potražnje
Treba odrediti funkciju potražnje ako je poznato da uz cijenu 4 potražnja iznosi 100, a uz cijenu 2 potražnja je 200. Pretpostavljamo da je funkcija potražnje linearna.
Grafičko rješenje se sastoji u tome da se u koordinatni sustav koji na osi apscisa ima
cijene, a na osi ordinata količinu potražnje, ucrtaju točke čije su koordinate ( )4,100 i
( )2, 200 . Pravac koji prolazi tim točkama grafički predstavlja traženu funkciju
potražnje.
p
1 2 3 4 5 6 7
100
200
300
400
0
62
Cijena
Potraznja
1 2 3 4 5 6 7 8
100
200
300
0
Rješenje pomoću formule. Ovaj problem je ekvivalentan problemu određivanja jednadžbe pravca koji prolazi točkama (2, 200) i (4,100).
Dakle, zadane podatke predočili smo uređenim parovima ( )1 1 2 2( , ) i ,x y x y . Sada te
vrijednosti uvrštavamo u formulu:
( )
( )
2 11 1
2 1
100 200200 2
4 2
200 50( 2)
50 100 200
50 300
y yy y x x
x x
y x
y x
y x
y x
−− = −
−
−− = −
−
− = − −
= − + +
= − +
Zamjenom x sa p, te y sa q, dobivamo funkciju potražnje: ( ) 50 300q p p= − + .
Rješenje pomoću sustava jednadžbi. Budući da je naša funkcija potražnje linearna, znamo da je njen oblik ( )q p a p b= ⋅ + , gdje su a i b nepoznati parametri tražene
funkcije. Iz podataka danih u zadatku, znamo da je ta funkcija takva da vrijedi:
( )
( )
( )
,
2,200 2
100
200
44 ,100
q a
a
p
b
p q
a
b
b
= ⋅ +
= ⋅
=
←+
⋅ +
←
Dakle, postavili smo sustav koji se sastoji od dviju jednadžbi sa dvije nepoznanice: i a b . Njegovim rješavanjem dolazimo do nepoznatih parametara linearne funkcije
potražnje.
200 2
100 4
a b
a b
= ⋅ +
= ⋅ +
63
2 200
4 100
200 2
100 4 (200 2 )
100 2 200
2 100 50
200 2( 50) 300
a b
a b
b a
a a
a
a a
b b
+ =
+ =
= −
= + −
= +
= − ⇒ = −
= − − ⇒ =
Dakle, funkcija potražnje glasi: ( ) 50 300q p p= − + . Lako je provjeriti ispunjava li ovaj
izraz uvjete zadane u zadatku. Rješavanje postavljanjem sustava jednadžbi u kojemu su nepoznanice nepoznati parametri funkcije, primjenjivo je na bilo koji oblik funkcije. Primjerice, ako je tražena funkcija kvadratna, budući da ona ima tri parametra (koeficijenta), potrebno je 3 para podataka kako bi se mogle formirati tri jednadžbe.
Primjer 2.23 Određivanje linearne funkcije ponude
Pretpostavimo da su ponuda i potražnja nekog proizvoda linearne funkcije cijene. Ako je potražnja 20 kom. uz cijenu 3 kune, a ravnotežna cijena 7 kuna uz prodanih 12 komada, odredite funkciju potražnje. Kako glasi funkcija ponude za isti proizvod, ako je poznata ponuda 11 uz cijenu 3 kune ?
Rješenje:
Funkciju potražnje, koja je oblika q ap b= + , određujemo postavljanjem sustava:
20 3
12 7
20 3
12 7 20 3 4 8 2 26
Dakle, 2 26 .
a b
a b
b a
a a a a b
q p
= ⋅ +
= ⋅ +
= −
= + − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
= − +
Sada nam treba još funkcija ponude. Njen oblik je 1q c p d= ⋅ + . Naizgled imamo
samo jedan par podataka: 13, 11p q= = . No znamo da je za ravnotežnu cijenu
ponuda jednaka potražnji, a u zadatku stoji da za ravnotežnu cijenu 7 kuna potražnja iznosi 12. Zaključujemo da je za cijenu 7 ponuda također jednaka 12, tj.:
1(7) (7) 12q q= = .
Postupkom koji je opisan u prethodnom primjeru, dobivamo:
1
1 41
4 4q p= + .
Primjer 2.24 Ponuda i potražnja kao kvadratne funkcije
Funkcije ponude i potražnje nekog proizvoda glase:
2 2
1
10,4 2,5 , 2 30
2q p q p p= − = − − + .
64
a) Nacrtajte grafove ovih funkcija. b) Odredite ravnotežnu cijenu i pripadnu količinu prodane robe. c) Za koje je cijene potražnja manja od 19,5?
Rješenje:
a) Skiciramo graf funkcije q1
Računamo nultočke funkcije 2
1 0, 4 2,5q p= − . 2
2 2
1 2
0,4 2,5 0
2,5 25 25 5 25 5,
0,4 4 4 2 4 2
p
p p p p
− =
= = ⇒ = = = − = −
Računamo koordinate tjemena: 1
50,
2q
T
−
.
Skiciramo graf funkcije q:
Računamo nultočke funkcije 212 30
2q p p= − − + .
( )2
2
1,2 1 2
12 30 0 2
2
4 60 0
4 16 24010, 6 .
2
p p
p p
p p p
− − + = ⋅ −
+ − =
− ± += ⇒ = − =
Računamo koordinate tjemena: ( )2, 32qT − .
p
q
1 2 3 4 5 6 7
5
10
15
20
25
30
0
b) Određujemo ravnotežnu cijenu:
2 2
2 2
10,4 2,5 2 30 10
2
4 25 5 20 300
p p p
p p p
− = − − + ⋅
− = − − +
65
29 20 325 0p p+ − =
Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe dobiju se rješenja:
1 27, 22 5.p i p≈ − =
Budući da analizu provodimo samo za pozitivne cijene, odbacujemo negativno rješenje ove jednadžbe i zaključujemo da je ravnotežna cijena 5. Još moramo odrediti količinu prodane robe po toj cijeni:
( ) 215 5 2 5 30 7,5
2q = − − ⋅ + = .
c) Ovdje postavljamo nejednadžbu 19,5q < .
( )2
2
2
12 30 19,5 2
2
4 60 39
4 21 0
p p
p p
p p
− − + < ⋅ −
+ − > −
+ − >
Radi se o kvadratnoj nejednadžbi, koju rješavamo tako što lijevu stranu nejednadžbe promatramo kao funkciju, te skiciramo njen graf. Rješenje postavljenje nejednadžbe je područje cijena za koje graf leži iznad osi p.
X
Y
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
25
30
0
U ovom slučaju je to interval ( ) ( ), 7 3,−∞ − ∪ +∞ . Međutim, budući da su za naš
problem dolaze u obzir samo pozitivne cijene, zanima nas samo interval ( )3, +∞ . Ako
još uzmemo u obzir da potražnja prestaje za cijene veće od 6, konačno rješenje je
interval ( )3,6p∈ . Dakle, potražnja je manja od 19,5 za cijene od 3 do 6.
66
Funkcija ukupnih troškova, funkcija prosječnih troškova
Analiza troškova je važan dio poslovne analize. Kako bismo mogli planirati proizvodnju i pripadajuće troškove, korisno je poznavati međusobni odnos obujma proizvodnje i troškova. Ovdje iznosimo neke elementarne primjere primjene funkcija u analizi troškova.
Ukupni troškovi sastoje se od fiksnih i varijabilnih troškova proizvodnje. Fiksni troškovi su oni koji ne ovise o obujmu, tj. o količini proizvodnje – postoje čak i kad proizvodnja stoji. Tipični fiksni troškovi su plaće zaposlenika, najam prostora, najam ili amortizacija strojeva i sl.
Varijabilni troškovi ovise o količini proizvodnje, a dobivaju se kao umnožak prosječnih varijabilnih troškova i količine proizvodnje. Prosječni varijabilni troškovi su najčešće troškovi materijala i energije potrebnih za proizvodnju jedne jedinice količine proizvoda, npr. komada ili kilograma.
Analizirajmo za primjer mjesečne troškove proizvodnje jednog postolarskog obrta.
Primjer 2.25 Proizvodnja cipela u postolarskom obrtu
Fiksni troškovi:
• Plaće za 2 zaposlenika, ukupno 20.000 kn
• Najam prostora, 5000 kn
• Otplata strojeva i pomagala, 3000 kn
• Licencna prava, 1000 kn
• Ostali fiksni troškovi, 1000kn
Varijabilni troškovi:
• Materijal potreban za izradu para cipela (više vrsta kože, ljepila, gumeni potplati, konac, vosak, laštila...) – 230 kn po paru
• Utrošena energija (šivanje, grijanje kalupa,...) – približno 20 kn po paru cipela
Prikazat ćemo u tablici spomenute vrste troškova za tri slučaja različitog obujma mjesečne proizvodnje, te u zadnjem stupcu prosječne troškove tj. troškove po jedinici količine:
Količina
Q
Fiksni troškovi
FT
Prosječni varijabilni troškovi
Ukupni troškovi
v FT T T= +
Prosječni troškovi
T T Q=
40 30.000 kn 250 kn/par 40.000 kn 1000 kn/par
60 30.000 kn 250 kn/par 45.000 kn 750 kn/par
80 30.000 kn 250 kn/par 50.000 kn 625 kn/par
U ovom primjeru je vidljivo da povećanjem obujma proizvodnje ukupni troškovi rastu, a prosječni troškovi padaju.
Razmislite o ovim pitanjima:
a) Ako je uobičajena proizvodnja 60 pari mjesečno, kolika mora biti prodajna cijena para cipela (bez PDV-a)?
67
b) Pretpostavimo da je postolar dobio ponudu novog kupca: lokalni salon cipela bi naručivao 60 pari mjesečno, uz fiksnu otkupnu cijenu 540 kn. Ukoliko bez dodatnih ulaganja postoji kapacite za proizvodnju dodatnih 60 pari, treba li postolar prihvatiti ovu ponudu?
c) Ako prihvati i počne suradnju već idućeg mjeseca, koliko novaca za idući mjesec mora osigurati za pokrivanje troškova proizvodnje?
U ovakvim i sličnim analizama od velike su nam koristi sljedeće dvije funkcije:
Funkcija ukupnih troškova ( )T Q izražava zavisnost ukupnih troškova o obujmu
proizvodnje Q. Obujam ili količina proizvodnje može biti izražena u tonama, kilogramima, litrama, komadima i sl.
Funkcija prosječnih troškova ( )T Q izražava troškove po jedinici količine proizvoda (komad,
kilogram ili sl. ), a u ovisnosti o obujmu proizvodnje. Prosječni ili jedinični troškovi pri nekoj količini Q računaju se kao omjer ukupnih troškova i obujma (količine) proizvodnje:
( )( )
T QT Q
Q=
Iz ovakve funkcije možemo utvrditi npr. koliki će biti troškovi po komadu (ili nekoj drugoj jedinici količine) ako je proizvedeno 100 komada nekog proizvoda, a koliki ako je proizvedeno npr. 1800 komada istog proizvoda. Poznavanje ove zavisnosti vrlo je važno za različite ekonomske analize. Posebno je neophodno poznavati odnos količine proizvodnje i prosječnih troškova u određivanju prodajne cijene proizvoda.
Odgovorimo sada na postavljena pitanja iz primjera proizvodnje cipela.
Rješenje:
Prvo ćemo odrediti funkciju ukupnih troškova, a zatim funkciju prosječnih troškova. Za izračunati ukupan trošak za neku količinu prouizvodnje, treba tu količinu pomnožiti sa prosječnim varijabilnim troškovima od 250 kn, te tome dodati fiksne troškove iznosa 30.000 kn. Prema tome, funkcija ukupnih troškova glasi:
( ) 250 30.000T Q Q= + .
Funkciju prosječnih troškova dobit ćemo dijeljenjem funkcije ukupnih troškova sa količinom:
( ) 250 30.000( )
T Q QT Q
Q Q
+= = .
Radi boljeg uvida u strukturu prosječnih troškova, zapisat ćemo gornju funkciju ovako:
30.000( ) 250T Q
Q= + .
a) Prodajna cijena para cipela mora pokriti troškove njegove proizvodnje ili biti od njih veća. Trebaju nam, dakle, prosječni troškovi pri proizvodnji 60 pari:
30.000(60) 250 750
60T kn= + = .
68
b) Iako se otkupna cijena novog kupca čini niska, treba provjeriti može li se ona postići na temelju veće količine proizvodnje koja sada iznosi ukupno 120 pari cipela mjesečno:
30.000(120) 250 500
120T kn= + = . Dakle, ponuda se može prihvatiti.
c) Ovdje nas zanimaju ukupni troškovi proizvodnje za razinu proizvodnje od 120 pari cipela:
(120) 250 120 30.000 60.000T kn= ⋅ + = .
Prikažimo ove dvije funkcije grafički, te analizirajmo kretanje i ukupnih i prosječnih troškova s obzirom na količinu proizvodnje:
Q
T
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
0
Q
T/ Q
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
0
69
Kao što možemo vidjeti i iz algebarskog izraza i iz grafa, funkcija ukupnih troškova je rastuća funkcija, a funkcija prosječnih troškova je padajuća. Kako bi malo pojasnili zbog čega je funkcija prosječnih troškova padajuća, pogledajmo njihovu strukturu:
Količina Prosječni troškovi
30 250+30.000/30= 250+1000=1250
60 250+30.000/60= 250+500=750
100 250+30.000/100= 250+300=550
150 250+30.000/150= 250+200=450
Primjećujemo da u prosječnim troškovima imamo uvijek jednaki dio od 250 kn, te jedan dio koji se smanjuje porastom količine proizvodnje. Taj dio predstavlja tzv. prosječne fiksne troškove, tj. doprinos svake jedinice pokriću fiksnih troškova. Razumljivo je da ako proizvoda ima sve više, da je iznos kojim svaki od njih mora doprinositi pokrivanju fiksnih troškova sve manji.
Iz gornje tablice i iz grafa funkcije prosječnih troškova vidljivo je da oni, iako se smanjuju porasdtom količine proizvodnje, nikad ne mogu biti manji od 250 kn. Logično, budući da 250 kn predstavlja iznos materijala i energije potrebnih za izradu para cipela.
Pravci kojima se graf funkcije približava ali ih nikad ne siječe, zovu se asimptote. Graf funkcije
T ima ih dvije - os ordinata (jer funkcija nije definirana za Q=0), i pravac 250T = , koji predstavlja donju graničnu vrijednost prosječnih troškova.
Primjer 2.26
Zadana je funkcija ukupnih troškova ( ) 30 1200T Q Q= + . Odredite:
a) Troškove za proizvodnju 100 kom. b) Prosječne troškove po komadu, ako se proizvodi 100kom. c) Koliko iznose fiksni troškovi? d) Koliko iznose prosječni varijabilni troškovi? e) Odredite funkciju prosječnih troškova. f) Kojeg obujma mora biti proizvodnja da bi prosječni troškovi bili ispod 35 kn/kom?
Rješenje:
a) (100) 30 100 1200 (100) 4200T T= ⋅ + ⇒ =
b) ( ) (100) 4200
42100 100
T Q T
Q= = =
c) (0) 30 0 1200 1200T = ⋅ + = . Dakle, za proizvodnju nula komada imamo troškove
1200. Znači, fiksni troškovi ( ne ovise o obujmu proizvodnje) iznose 1200. d) Iz koeficijenta smjera linearne funkcije ukupnih troškova ( ) 30 1200T Q Q= +
vidljivo je da varijabilni troškovi iznose 30 kn po komadu.
e) 30 1200 1200
30Q
TQ Q
+= = + .
f) Treba riješiti nejednadžbu 35T < :
70
120030 35
30 1200 35
5 1200 : ( 5)
240
Q Q
Q
Q
+ < ⋅
+ <
− < − −
>
Dakle, količina proizvodnje mora biti veća od 240 komada.
Funkcija ukupnog prihoda
Kao što smo već naznačili u uvodnom primjeru, zanima nas na koji način promjena cijene ili količine proizvodnje utječe na prihod. Ukupan prihod je umnožak količine potražnje i cijene robe:
R q p= ⋅ .
Primjer 2.27 Cijena i prihod
Neka je funkcija dnevne potražnje za kuhanim kukuruzima na nekom gradskom uglu dana izrazom: ( ) 5 80q p p= − + . Provjerite utječe li promjena cijene kukuruza na
dnevni prihod od prodaje.
Rješenje:
U tablici ćemo odrediti potražnju a zatim i prihod za niz cijena:
Cijena Potražnja Prihod
5 kn 55 275 kn
6 kn 50 300 kn
7 kn 45 315 kn
8 kn 40 320 kn
9 kn 35 315 kn
10 kn 30 300 kn
11 kn 25 275 kn
12 kn 20 240 kn
Vidljivo je da cijena utječe na prihod od prodaje. Kako se može vidjeti iz tablice, nije dobro ni da je premala ni prevelika. Izrazit ćemo ovu funkciju algebarski i grafički je prikazati. Zatim ćemo odrediti cijenu za koju je prihod najveći, te koliko tada iznosi.
2
( ) ( ) ( 5 80)
( ) 5 80
R p p q p p p
R p p p
= ⋅ = − +
= − +
Radi se o kvadratnoj funkciji. Njene nultočke su 1 0p = i 2 16p = , a tjeme T(8,320). Iz
koordinata tjemena, poznavajući svojstva kvadratne funkcije, vidimo da se najveći prihod postiže za cijenu 8 kn, a tada iznosi 320 kn.
71
Osim gore navedenih karakterističnih točaka, za crtanje grafa nam mogu poslužiti i točke čije koordinate možemo pronaći u gornjoj tablici.
p
R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
50
100
150
200
250
300
350
400
0
Primjer 2.28 Funkcija ukupnog prihoda
Neka je funkcija potražnje neke robe dana izrazom 2 8q p= − + .
a) Nacrtati graf funkcije potražnje. b) Odredite funkciju ukupnog prihoda i nacrtajte njen graf. c) Uz koju cijenu će prihod biti najveći i koliko će tada iznositi?
Rješenje:
a) Graf funkcije potražnje je pravac (označen crvenom bojom).
b) ( ) 22 8 2 8R q p p p p p= ⋅ = − + = − +
2( ) 2 8R p p p= − +
• Nul-točke: 22 8 0p p− + =
2 ( 4) 0p p− − =
1 20 , 4p p= =
• Tjeme: ( )2 , 8T
c) Tražimo maksimum funkcije ukupnog prihoda. Iz skice se vidi da funkcija postiže maksimum za 2p =
(apscisa tjemena) , a vrijednost funkcije je tada (2) 8q = . Za cijenu 0,
prihod je 0 iako potražnja postoji, a za cijenu 4 prihod je 0 zbog prestanka potražnje.
p
q,R
1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
0
Created with an unregistered version of Advanced Grapher - http:/ / www.serpik.com/ agrapher/
72
Funkcija dobiti, rentabilnost
Dobit se računa kao razlika prihoda i troškova. Tako i funkciju dobiti možemo odrediti oduzimanjem funkcije ukupnih troškova od funkcije ukupnih prihoda. Važna pretpostavka je da su obje funkcije iste varijable. U slučaju da se promatra zavisnost dobiti o obujmu proizvodnje, možemo pisati:
( ) ( ) ( )D Q R Q T Q= − .
Proizvodnja se smatra rentabilnom (isplativom) ako je dobit pozitivna, tj. ako su ukupni prihodi veći od ukupnih troškova.
Primjer 2.29 Funkcija dobiti, rentabilnost proizvodnje
Poznata je funkcija ukupnih troškova neke proizvodnje: 10 400T Q= + . Funkcija ukupnih
prihoda zadana je izrazom: 2 60R Q Q= − + .
a) Odredite funkciju dobiti kao funkciju količine proizvodnje Q. b) Odredite granice (pragove) rentabilnosti, te područja dobiti i gubitka. c) Za koji obujam proizvodnje je dobit najveća i koliko tada iznosi? d) Prikažite sve funkcije grafički.
Rješenje:
a) ( ) ( ) ( )D Q R Q T Q= − 2
2
( ) 60 (10 400)
( ) 50 400
D Q Q Q Q
D Q Q Q
= − + − +
= − + −
b) Odredit ćemo nultočke funkcije dobiti. To su ujedno i točke u kojima je prihod jednak troškovima:
2
2
1 1
50 400
0 50 400 0
10, 40
D Q Q
D Q Q
Q Q
= − + −
= ⇒ − + − =
= =
�
Dakle, 1 110, 40Q Q= = su granice rentabilnosti. Budući da je funkcija dobiti takva da
je tjeme postavljeno gore, zaključujemo da je proizvodnja rentabilna ako se proizvodi
količina između 10 i 40, tj. ( )10,40Q∈ .
c) Kako bi odgovorili na ovo pitanje, naći ćemo koordinate tjemena ove funkcije. Apscisa tjemena dobiva se kao aritmetička sredina nultočki:
max
10 4025
2Q
+= = .
Vrijednost funkcije dobiti za Q=25 iznosi: (25) 225D = .
Stoga zaključujemo da je dobit najveća za količinu proizvodnje Q=25 i tada iznosi 225.
d) Koristimo se već poznatim načinima crtanja grafova linearne i kvadratne funkcije:
73
Q
R,T,D
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
50
100
150
200
250
300
350
400
0
Graf funkcije dobiti prikazan je iscrtkano. Uočite iz grafičkog prikaza da je za bilo koju količinu proizvodnje Q, razlika između pripadajućeg prihoda i troškova jednaka dobiti za tu količinu proizvodnje.
Primjer 2.30 Očitavanje područja rentabilnosti
Grafički su zadane funkcija ukupnog prihoda (linearna funkcija) i funkcija ukupnih troškova, obje kao funkcije količine proizvodnje. Odredite:
a) Fiksne troškove proizvodnje
b) Iznos prihoda koji ne potječu od proizvodnje
c) Pragove rentabilnosti
d) Područja dobiti i gubitka
e) Za koju količinu je dobit najveća i koliko tada iznosi.
Rješenje:
a) Približno 90
b) Približno 60
c) Funkcije imaju iste vrijednosti za količine u kojima se njihovi grafovi sijeku: 500 i 1100
d) Područje dobiti su one količine za koje je graf funkcije prihoda iznad grafa
funkcije troškova: ( )500,1100Q ∈ . ostalo su područja gubitka.
e) Približno 850, jer je razlika, tj. udaljenost grafova najveća za tu količinu.
q
R ,T ,D
-1 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
1 0 0 0
0
74
Zadaci za vježbu (Funkcije ekonomskih varijabli)
1) Funkcija potražnje glasi 0,8 10q p= − + , gdje je p cijena robe.
a) Koju će najvišu cijenu potrošač platiti za tu robu?
b) Za koju je cijenu potražnja manja od 3?
( ). )12,5 ; ) 8,75Rj a b p >
2) Odredite funkciju potražnje ako uz cijenu 10 potražnja iznosi 160, a uz cijenu 50 potražnja prestaje. Pretpostavlja se da je funkcija potražnje linearna.
( ). 4 200Rj q p= − +
3) Funkcije ponude i potražnje neke robe dane su izrazima:
10,2 50 , 0,375 7,5q p q p= − + = − .
a) Odredite ravnotežnu cijenu robe. b) Kolika je potražnja za cijenu 150? c) Kod koje cijene počinje ponuda? d) Za koju cijenu potražnja prestaje? e) Za koje cijene je potražnja veća od 10? f) Kod koje cijene će zaliha robe biti 11,5? g) Nacrtajte (u istom koordinatnom sustavu) grafove obiju funkcija, te iz grafikona
očitajte odgovore na prethodna pitanja.
[ )( ). ) 100 ; ) (150) 20; ) 20; ) 250; ) 0, 200 ; ) 120t
Rj a p b q c p d p e p f p= = = = ∈ =
4) Potražnja nekog proizvoda je dana sa 4
105
q p= − + , gdje je p cijena robe.
a) Koju će najvišu cijenu potrošač platiti za tu robu? b) Za koje cijene je potražnja veća od 5?
[ )( ). ) 12,5 ; ) 6, 25Rj a p b p= ∈ 0;
5) Potražnja nekog proizvoda kao funkcija cijene je dana sa 1
303
q p= − + , a ponuda sa
1 0,5 7,5q p= − .
a) Odredite ravnotežnu cijenu. b) Za koju cijenu potražnja prestaje?
c) Za koju cijenu je potražnja manja od 20? Nacrtajte grafove funkcija 1,q q .
(Rj. a) 45, b) 90, c) (30,90)p ∈ )
6) Odredite linearnu funkciju ukupnih troškova, ako su za izradu 10 komada proizvoda ukupni troškovi 3000 kn, a za 20 proizvoda 3600 kn.
a) Koji je iznos fiksnih troškova? b) Koliki su troškovi za izradu 35 proizvoda? c) Koliki su prosječni troškovi ako se proizvodi 50 komada? d) Kojeg obujma treba biti proizvodnja da bi prosječni trokovi bili ispod 110kn/kom ? ( Rj. a) 2400, b) 4500, c) 108, d) veća od 48 )
75
7) Odredite funkciju ponude neke robe ako ponuda počinje za cijenu 2, za cijenu 3 iznosi 7
9,
a za cijenu 4 iznosi 16
9. Pretpostavite da je funkcija ponude kvadratna, tj. oblika
2
1q ap bp c= + + . (Rj. 2
1
1 2 8
9 9 9q p p= + − )
8) Poznata je funkcija ponude 2
1q p= i funkcija potražnje 2 8q p= − + , gdje je p cijena
proizvoda. Odredite cijenu u ekvilibriju i nacrtajte grafove . (Rj. 2tp = )
9) Zadana je funkcija ponude nekog proizvoda 2
1 2 2q p p= + + . Za koje cijene je ponuda
26 ili veća? (Rj. 4p ≥ )
10) Poznata je funkcija ukupnih troškova neke proizvodnje: 2 80T Q= + . Funkcija ukupnih
prihoda zadana je izrazom: 20,2 12R Q Q= − + .
a) Odredite funkciju dobiti kao funkciju količine proizvodnje Q. b) Odredite zone dobiti i gubitka. c) Za koji obujam proizvodnje je dobit najveća i koliko tada iznosi? d) Prikažite sve funkcije grafički.
(Rj. a) 2( ) 0,2 10 80D Q Q Q= − + − ,b) ( )10,40Q∈ zona dobiti, c) 25, (25) 45Q D= = )
11) Odredite kvadratnu funkciju ukupnih troškova 2T ax bx c= + + ako proizvodnji 2 komada odgovaraju troškovi 20 kn, proizvodnji 4 komada odgovaraju troškovi 34 kn, a
proizvodnji 6 komada troškovi 52 kn. (Rj. 24 10
1
2T x x= ++ )
12) Poznato je da troškovi proizvodnje 120 komada nekog proizvoda iznose 2000 kn, a troškovi proizvodnje 300 komada tog istog proizvoda iznose 4700 kn. Uz pretpostavku da je linearna, odredite funkciju ukupnih troškova (kao funkciju broja proizvedenih komada). Odredite još ukupne troškove proizvodnje 240 komada, te pripadajuće
prosječne troškove po komadu. ( ( ) 15 200, (240) 3800, (240) 15,83T Q Q T T= + = = )
13) Zadane su funkcije dnevne ponude i potražnje neke robe: 2
1 4 4 , 16q p q p= + = − + .
a) Odredite ravnotežnu cijenu i skicirajte grafove tih funkcija. b) Sa skice odredite za koje je cijene potražnja manja od 12. c) Za koju cijenu dnevna zaliha iznosi 9 ? (Rj. a) 2, c) p=3)
14) Zadana je funkcija potražnje 2
43
q p= − + .
a) Odredite funkciju ( )R p ukupnog prihoda i nacrtajte njen graf.
b) Za koju cijenu će prihod biti najveći i koliko on tada iznosi?
(Rj. 22( ) 4
3R p p p= − + , b) p=3, R(3)=6)
76
15) *Funkcije ponude i potražnje neke robe dane su izrazima: 1
80010 , 10
20q p q
p= − = −
+.
Odredite ravnotežnu cijenu, nacrtajte grafove i odredite za koje cijene je potražnja veća od 6. (Rj. p=20, p<30)
16) Neko poduzeće proizvodi određenu vrstu aparata. Troškovi proizvodnje dani su
funkcijom 10 180T Q= + , gdje je Q mjesečna proizvodnja. Neka je 210 120R Q Q= − +
funkcija ukupnog mjesečnog prihoda. Odredite:
a) Dobit za mjesečnu proizvodnju 8 komada.
b) Područje rentabilnosti proizvodnje.
c) Maksimalnu dobit i količinu Q pri kojoj se ona ostvaruje.
17) Neka su ukupni troškovi dani funkcijom 3 2400 40040T Q Q Q= − + , gdje je Q obujam
proizvodnje. Odredite obujam proizvodnje za koji su prosječni troškovi najniži.
18) * Odredite ravnotežnu cijenu i nacrtajte grafove funkcija ponude i potražnje ako su one
zadane ovako: 1
31,5 1, 6
5q p q p= ⋅ − = − + .
19) Kestenjar u Tomićevoj dnevno proda 64 mjerice po cijeni 10kn. Ako cijenu povisi na 12 kn, proda se samo 48 mjerica. Odredite linearnu funkciju dnevne potražnje.
20) Nastavak prethodnog zadatka. Odredite funkciju ukupnog dnevnog prihoda kao funkciju cijene mjerice, te odredite cijenu pri kojoj je dnevni prihod najveći.
21) Odredite funkciju ukupnih dnevnih troškova kao funkciju količine prodanih mjerica. Nabavna cijena mjerice je 3,60 kn, trošak ugljena 0,40 kn po mjerici, a cijena dnevnog zakupa prodajnog mjesta 360 kn.
22) Odredite funkciju dnevne dobiti kao funkciju cijene koristeći podatke iz prethodna tri zadatka. Koristite činjenicu da ukupan dnevni trošak ovisi o broju prodanih mjerica, koji je pak jednak potražnji. Budući da potražnja ovisi o cijeni mjerice, ukupni troškovi se mogu izraziti kao funkcija cijene. Za koju cijenu je dobit maksimalna i koliko tada iznosi?
77
2.3. Derivacija funkcije jedne varijable
I u idućim poglavljima zanimat će nas kako se mijenja funkcija odnosno njene vrijednosti, s obzirom na promjenu nezavisne varijable. Posebno će nas to zanimati u slučaju jako malih (beskonačno malih) pomaka vrijednosti nezavisne varijable. Uočili smo u nekim dosadašnjim primjerima da rast neke nelinearne rastuće funkcije nije svuda jednak, pa kažemo da na nekom dijelu domene funkcija raste brže nego na nekom drugom. Ono što će nas posebno zanimati je “brzina” tog rasta u pojedinoj točki, odnosno za pojedini x. Riječ brzina je u navodnicima jer bi bila ispravna samo ako je na osi apscisa vrijeme, a koristi se jer nam je intuitivno bliska.
Definicija i interpretacija derivacije
Pretpostavka razumijevanju pojma derivacije je razumijevanje pojma granične vrijednosti.
Prije nego što definiramo pojam derivacija funkcije u točki, provest ćemo neka razmatranja koja će nam približiti problematiku.
Granična vrijednost
Pojam granične vrijednosti ključan je za razumijevanje pojma derivacije funkcije. Neće biti navedene formalne definicije, nego će se dati nekoliko primjera granične vrijednosti odnosno limesa niza i limesa funkcije.
Primjer 2.31 Granična vrijednost niza
Promotrimo dva niza brojeva, tj. vrijednosti njihovih članova:
Niz nb : 2, 4,6,8,… Opći član: 2nb n=
Niz na : 1 1 1
1, , , ,2 4 8
… Opći član: 1
1
2n n
a−
=
Za niz nb vidljivo je da su mu članovi sve veći i veći brojevi, kao i to da najveći ne postoji. Radi
se o rastućem nizu koji nije ograničen odozgo.
Članovi niza na su sve manji brojevi, međutim svi su veći od 0. Dakle ovaj niz je padajući i
odozdo ograničen. To znači da on ima graničnu vrijednost, tj. da postoji broj kojemu njegovi članovi teže (konvergiraju). To je broj 0. Na donjoj slici vidi se kako se članovi ovog niza gomilaju sve bliže broju 0.
X
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125
Da je 0 granična vrijednost niza na kada n teži u beskonačno pišemo ovako: lim 0nn
a→∞
= .
1a2a3a4a5a6a
78
Primjer 2.32 Granična vrijednost funkcije
Promotrimo još jednom funkciju prosječnih troškova 1200
30TQ
= + iz Primjera 2.26.
Radi se o padajućoj funkciji što je vidljivo i iz njenog grafa. Kako se povećava vrijednost nezavisne varijable Q, vrijednost funkcije tj. prosječnih troškova se smanjuje. Međutim, ta je funkcija ograničena odozdo, što znači da postoji vrijednost ispod koje prosječni troškovi ne mogu ići. Ovdje je to vrijednost 30, a predstavlja iznos varijabilnih troškova po jedinici količine proizvoda. Dakle, kako x teži prema beskonačno, vrijednosti ove funkcije približavaju se
vrijednosti 30. Kažemo da je 30 granična vrijednost te funkcije kada Q teži u
beskonačno. To zapisujemo ovako: lim 30Q
T→∞
= .
Prirast funkcije
Sa x∆ označimo veličinu prirasta nezavisne varijable x, a sa y∆ odgovarajući prirast funkcije
(tj. zavisne varijable y). Ako te priraste promatramo u odnosu na neku izabranu vrijednost
0x , omjer tih prirasta je tada jednak:
0 0( ) ( )y f x x f x
x x
∆ + ∆ −=
∆ ∆.
Primjer 2.33 Prirast linearne funkcije
Promotrimo spomenuti omjer na y ax b= + . Hoće li se taj omjer
promijeniti ako x∆ povećamo ili smanjimo? Uočimo da su prirasti
x∆ i y∆ katete pravokutnog
trokuta. Ako bi promijenili iznos x∆ , dobili bi trokut sličan
polaznom (svi kutevi su im jednaki), a kod sličnih trokuta omjeri stranica
su isti. Prema tome, omjer y
x
∆
∆
ostaje isti. Na sličan bi se način, koristeći sličnost trokuta, uvjerili da taj omjer ostaje isti i ako bi za
početnu vrijednost 0x odabrali neki
drugi broj na osi x.
Q
T/ Q
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
50
100
150
200
250
300
0
0x x+ ∆0x x
y
0( )f x x+ ∆
0( )f x
y∆
x∆
79
Dakle, kod linearne funkcije taj omjer ne ovisi o odabiru 0x , niti o veličini prirasta x∆ . Uvijek
je jednak i zovemo ga koeficijentom smjera (nagibom) pravca y ax b= + . Dakle, y
ax
∆=
∆.
Prisjetimo se:
Npr. ako je funkcija potražnje zadana formulom 2,5 453q p= − + , lako možemo vidjeti (bez
računanja vrijednosti funkcije potražnje) da će se potražnja smanjiti za 2,5 ako se cijena poveća za 1 kn, ili primjerice, za 25 ako se cijena poveća za 10 kn.
Kod nelinearnih funkcija taj omjer ovisi i o odabiru promatranog broja 0x i o veličini prirasta
x∆ . Na sljedećem primjeru ćemo vidjeti da je granična vrijednost tog omjera jednaka
koeficijentu smjera tangente na graf funkcije u odabranoj točki 0x .
Primjer 2.34 Problem tangente
Neka je f bilo koja neprekidna funkcija. Pretpostavimo da želimo odrediti tangentu
na graf te funkcije u točki 0x . Budući da jednu
točku kojom prolazi imamo, treba nam njen koeficijent smjera. Međutrim, koeficijent smjera možemo kao omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta odrediti samo za pravac koji graf siječe u dvije točke. Stoga promatramo relativnu promjenu funkcije za
neki fiksni 0x x= . Ukoliko bi smanjili x∆ ,
omjer y
x
∆
∆ bi se promjenio. To lako vidimo po
tome što taj omjer predstavlja nagib pravca p, a smanjivanjem veličine x∆ točka B bi se po krivulji grafa funkcije f približila točki A. Tako bi točke A i B određivale novi pravac koji
ima drugačiji nagib od početnog, prema tome i novonastali omjer y
x
∆
∆ bi bio različit od
početnog.
Ukoliko bi nastavili smanjivati veličinu x∆ , nagib pravca bi se i dalje mijenjao, dakle mijenjao
bi se i omjer y
x
∆
∆ koji je tom nagibu jednak. Jasno je vidljivo da promjena nagiba ima svoje
ograničenje, tj. ukoliko bi x∆ bio jako mali broj, pravac p bi bio "zamalo" tangenta na graf funkcije f u točki A, i daljnjim smanjivanjem veličine x∆ bi se nagib pravca p sve manje razlikovao od nagiba tangente.
Koeficijent smjera linearne funkcije Koeficijent smjera (nagib) a određuje koliko će se promijeniti f(x) ako se x poveća za 1.
x
y
0x x+ ∆0x
0( )f x x+∆
0( )f x
y∆
x∆
A
B
p
f
80
Znači, granična vrijednost 0
limx
y
x∆ →
∆
∆ ukoliko postoji, zavisi samo o odabiru točke 0x i jednaka
je koeficijentu smjera (nagibu) tangente na graf funkcije f u točki 0x .
Dakle, derivacija funkcije f u nekoj točki je granična vrijednost kojoj teži omjer prirasta
funkcije i prirasta nezavisne varijable, kada prirast varijable teži u 0.
Iz ovoga slijedi da nam derivacija funkcije u nekoj točki može poslužiti za određivanje nagiba funkcije (tj. krivulje njenog grafa) u toj točki, a time i kao mjera intenziteta promjene funkcije.
Derivacija funkcije: Ukoliko isti postupak određivanja derivacije funkcije f u točki možemo napraviti za svaku točku na nekom intervalu skupa R , onda kažemo da je funkcija f na tom intervalu derivabilna. Dakle, postoji preslikavanje tj. funkcija koja svakoj točki (broju) tog intervala pridružuje derivaciju funkcije f u toj točki. Takvo preslikavanje označavamo sa f ′ i
kažemo da je to derivacija funkcije f . Uobičajeno je umjesto f koristiti oznaku y, pa sukladno tome derivacija te funkcije ima oznaku y′ .
Primjer 2.35 Derivacija linearne funkcije
Pokažite da je derivacija linearne funkcije y ax b= + konstantna funkcija, tj. da je y a′ = .
Rješenje: Za bilo koji x tražimo graničnu vrijednost 0
( ) ( )limx
f x x f x
x∆ →
+ ∆ −
∆:
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim
lim lim
x x
x x
f x x f x a x x b ax bf x
x x
ax a x b ax b ax
x
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ + − +′ = = =
∆ ∆
+ ∆ + − −= =
∆
a x b+ ∆ + ax− b−
0 0lim limx x
x
a x a x
x∆ → ∆ →
=∆
∆ ∆= =
∆ x∆ 0lim .x
a a∆ →
= =
Za ostale funkcije njihovu derivaciju nećemo izvoditi, nego ćemo se služiti pravilima deriviranja. Kombiniranjem pravila za derivaciju elementarnih funkcija i ostalih pravila (derivacija zbroja, derivacija umnoška, derivacija količnika i derivacija kompozicije funkcija), može se derivirati veliki broj funkcija različitih vrsta.
Derivacija funkcije u nekoj točki je broj (koef. smjera tangente), a derivacija funkcije je
nova funkcija.
Geometrijska interpretacija: Derivacija funkcije f u nekoj točki jednaka je koeficijentu
smjera tangente na graf funkcije f u toj točki.
Definicija. Derivaciju funkcije f u točki 0x označavamo 0( )f x′ i definiramo ovako:
00
( ) limx
yf x
x∆ →
∆′ =
∆, odnosno 0 0
00
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x∆ →
+ ∆ −′ =
∆.
81
Pravila deriviranja
Osnovna pravila deriviranja nekih elementarnih funkcija
Funkcija Derivacija Primjeri
y C= 0y′ = 0,67 0
123 0
y y
y y
′= ⇒ =
′= ⇒ =
y x= 1y′ =
y ax= y a′ = 0,67 0,67
12 12
y x y
y x y
′= ⇒ =
′= ⇒ =
y ax b= + y a′ = 2 4 2y x y′= − + ⇒ = −
ny x= 1ny n x −′ = ⋅
2
5 4
2
5
y x y x
y x y x
′= ⇒ =
′= ⇒ =
ny a x= ⋅ 1ny a n x −′ = ⋅ ⋅
2
3 4
5 10
2 6
y x y x
y x y x− −
′= ⇒ =
′= ⇒ = −
xy e= xy e′ =
xy a= lnxy a a′ = ⋅ 10 10 ln10x xy y′= ⇒ =
logay x= 1
lny
x a′ =
⋅
1lny x y
x′= ⇒ =
Na isti način se derivira i funkcija koja se sastoji od više pribrojnika. Dakle, vrijedi načelo „svaki pribrojnik posebno“.
Primjer 2.36 Derivacija zbroja
a) 2 23 4 , (3 ) (4 ) 6 4y x x y x x x′ ′ ′= − = − = −
b) 4 35 4 0,2 3 ,y x x x= − − + −
Derivacija zbroja i razlike
Ukoliko se neka funkcija sastoji od zbroja ili razlike dviju funkcija, njena derivacija je jednaka zbroju derivacija svake funkcije pojedinačno.
( ) ( ) ( ) ( )y f x g x y f x g x′ ′ ′= + ⇒ = +
82
4 3
3 2
( 5 ) (4 ) (0,2 ) (3)
20 12 0,2
y x x x
x x
′ ′ ′ ′ ′= − − + − =
= − − +
Primjer 2.37 Nagib funkcije
Odredite formulu koja daje nagib funkcije 21( ) 2
2f x x x= + − za bilo koju vrijednost
x-a. Odredite nagib funkcije za x=0 i za x=2.
Rješenje:
Derivacija zadane funkcije je zapravo formula koju tražimo: ( ) 1f x x′ = + .
Za x=0 vrijedi (0) 0 1 1f ′ = + = , pa nagib za 0x = iznosi 1.
Za x=2 vrijedi (2) 2 1 3f ′ = + = , pa nagib za 2x = iznosi 3.
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Promotrite graf ove funkcije, kao i nacrtane tangente. Uvjerite se da se tangenta s nagibom 1 za svaki jedinični pomak u desno, penje za 1 jedinicu gore. Isto tako, tangenta s nagibom 3 se za isti jedinični pomak u desno po osi x, penje za 3 po y-osi.
Derivacija umnoška
Ukoliko je neka funkcija umnožak dviju funkcija, deriviramo ju na sljedeći način:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y f x g x y f x g x f x g x′ ′ ′= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
83
Primjer 2.38 Derivacija umnoška
a) (3 2) (5 3)y x x= − ⋅ +
(3 2) (5 3) (3 2) (5 3) 3(5 3) (3 2) 5 30 1y x x x x x x x′ ′ ′= − ⋅ + + − ⋅ + = + + − ⋅ = −
b) ( )33 3 3 3y x x x= ⋅ − +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 13 3 33 3 3
2 13 23 3
7 1 2 7 1 7 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
13 3 3 9 3
3
9 3 10 4
y x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
−
− −
′ ′ ′′ = ⋅ + − = + − + + − =
= + − + + =
= + − + + = + −
Primjer 2.39 Derivacija količnika
a) 2 1
2
xy
x
−=
+
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2
2 4 2 1 5
2 2
x x x x x xy
x x
x x
x x
′ ′− + − − + + − −′ = = =
+ +
+ − += =
+ +
b) 23 6 7
4
x xy
x
− +=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 6 7 4 3 6 7 4 6 6 4 3 6 7 4
164
24 24 12 24 28 12 28 3 7
16 16 4
x x x x x x x x x xy
xx
x x x x x x
x x x
′ ′− + − − + − ⋅ − − + ⋅′ = = =
− − + − − −= = =
Derivacija količnika
Ukoliko je neka funkcija količnik dviju funkcija, deriviramo ju na sljedeći način:
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x f x g xy y
g x g x
′ ′⋅ − ⋅′= ⇒ =
84
Primjer 2.40 Derivacija složene funkcije
a) ( )5
4 3y x= −
Ovu funkciju možemo gledati kao kompoziciju funkcija 5( ) i ( ) 4 3f g g g x x= = − .
U tom slučaju je ( ( ))y f g x= , pa primjenjujemo pravilo o derivaciji složene funkcije:
( ) ( ) ( ) ( )4 45 45 5 4 3 4 3 20 4 3y g g g x x x
′ ′′′ = = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − .
Nakon malo uvježbavanja, derivaciju iste funkcije ćemo provoditi ovako:
( )( ) ( ) ( ) ( )5 4 4
5 4 3 20 4 3y x x′ ′′ = = ⋅ − ⋅ = ⋅ −4x - 3 4x - 3 .
b) 2 4y x= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
2 2 2 2 22 2 2 21 1
4 4 4 4 2 42 2
y x x x x x x x− − −
′ ′′ = + = + ⋅ + = + ⋅ = +
c) 3 1xy e= −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2
3 3 31 1
1 1 1 13 3
x x x x xy e e e e e
− −′ ′′ = − = − ⋅ − = − ⋅
d) ( )2ln 2 1y x= −
( )2
2 2
1 42 1
2 1 2 1
xy x
x x
′′ = ⋅ − =− −
Derivacije višeg reda
Derivacija drugog reda ili kraće - druga derivacija funkcije ( )y f x= je derivacija prve
derivacije, tj.
( )( )y f x ′′′ ′= .
Derivacija trećeg reda ili kraće - treća derivacija funkcije ( )y f x= je derivacija druge
derivacije, tj.
( )y y ′′′′ ′′= .
Oznaka za n-tu derivaciju funkcije f je ( ) ( )ilin nf y , a dobiva se derivacijom za stupanj niže
derivacije:
( ) ( 1)( )n ny f x− ′ = .
Derivacija složene funkcije
Ukoliko je neka funkcija složena (kompozicija je dvije ili više funkcija), koristimo se pravilom o derivaciji složene funkcije. Neka je, dakle, ( ( ))y f g x= . Tada se derivacija ove funkcije računa na sljedeći način:
( ) ( )y f g x′ ′ ′= ⋅g .
85
Primjer 2.41 Derivacije višeg reda
a) Odredite treću derivaciju funkcije 32 3 5y x x= − + .
26 3 12 12y x y x y′ ′′ ′′′= − = =
b) Odredite drugu derivaciju funkcije 1
1y
x=
−.
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
1 2
2 3 3
3
1 1 1
21 1 1 2 1 2 1
1
y x x
y x x xx
− −
− − −
′ ′ = − = − ⋅ −
′ ′′ = − ⋅ − = − − − = − = −
c) Odredite 16.-u derivaciju funkcije 32 3 5y x x= − + .
Budući da je pod a) određena 3. derivacija ove funkcije, nastavljamo sa četvrtom derivacijom:
(4) (5)12, 0, 0, ...y y y′′′ = = =
Budući da su sve derivacije višeg reda počevši od četvrte jednake nuli,
zaključujemo da je (16) 0y = .
Funkcija graničnih troškova
Granični troškovi definiraju se kao odnos promjene ukupnih troškova i promjene obujma
proizvodnje, tj. ( )T
t QQ
∆=
∆. Pritom podrazumijevamo da je Q∆ vrlo mala promjena. Budući
da su količine proizvodnje uglavnom jako veliki brojevi, može se reći da je promjena od jedne jedinice jako mala, pa se često koristi ovakva interpretacija:
Funkcija graničnih troškova jednaka je derivaciji funkcije ukupnih troškova:
)()( QTQt ′= .
Primjer 2.42 Granični troškovi
Zadana je funkcija ukupnih troškova neke proizvodnje: 20004
1)( 2 += QQT . Odredite
funkciju graničnih troškova, te izračunajte i interpretirajte granične troškove za Q=60.
Rješenje:
QQT2
1)( =′ 3060
2
1)60( =⋅=′T
Ako količinu proizvodnje sa razine 60 povećamo za jednu jedinicu, ukupni troškovi će se povećati za 30.
Granični trošak
Granični ili marginalni trošak približno je jednak povećanju ukupnih troškova koje je
rezultat povećanja obujma proizvodnje za jednu jedinicu sa neke promatrane razine Q0 .
86
Zadaci za vježbu (derivacije i derivacije višeg reda)
U idućim zadacima treba odrediti derivaciju zadane funkcije.
1. 3 5y x= − ( )5y′ = −
2. 3 29 0.2 0.14 5y x x x= − + − + ( )227 0.4 0.14y x x′ = − + −
3. 3 211 0.4y x x= − − ( )233 2y x x′ = −
4. 1 2
3 36 3 1y x x− −
= − + 4 5
3 32 2y x x− −
′ = − +
5. ( )( )3 2 7 4y x x= − + ( )( )2 21 1y x′ = −
6. ( ) ( )3 29 2 2 9 1y x x x= − − + ( )3 216 108 162 2y x x x′ = − + − −
7. 23 6 7
4
x xy
x
− +=
2
2
3 7
4
xy
x
−′ =
8. 1
5 2
xy
x
−=
−
( )2
3
5 2y
x
′ =
−
9. 1
1
xy
x
−=
+
( )2
2
1y
x
′ = −
+
10. ( )41
2 32
y x= − ( )( )34 2 3y x′ = −
11. 23 4 1y x= − ( )1
2 212 4 1y x x−
′ = −
12. 23xy e x= − ( )6xy e x′ = −
13. 2
5 xy e−= ( )2
10 xy xe−′ = −
14. 4 24 2y x x= + ( ) ( )3
4 2 342y x x x x−
′ = + ⋅ +
15. 32
216q
p=
5
34q p−
′ = − ⋅
U idućim zadacima treba naći treću derivaciju zadane funkcije.
1. 4 3 23 5 2y x x x x= − + − ( )72 30y x′′′ = −
2. ( )3
2 5y x= + ( )48y′′′ =
3. 1
2y
x=
+
( )4
6
2y
x
−′′′ =
+
4. 2xy e= ( )28 xy e′′′ = ⋅
87
2.4. Ekstremi realnih funkcija jedne varijable
U nekim prethodnim primjerima zanimalo nas je koliko iznosi najveća dobit i za koji obujam proizvodnje se ta najveća dobit postiže. Taj problem smo riješili tako da smo odredili maksimum funkcije dobiti, prethodno odredivši obujam proizvodnje za koji se taj maksimum postiže. Rješavanje nam je bilo olakšano jer se radilo o kvadratnoj funkciji čiji tijek poznamo, pa se problem sveo na određivanje kordinata tjemena. U određivanju ekstrema bilo kakve zadane funkcije služit ćemo se postupkom koji uključuje deriviranje. Ekstrem funkcije je zajednički naziv za maksimum i minimum.
Apsolutni maksimum je najveća vrijednost koju funkcija postiže, a apsolutni minimum najmanja. Za početak ćemo definirati pojam lokalnog maksimuma i minimuma.
Ako nejednakosti navedene u definicijama vrijede na nekom širem području, a ne samo u
neposrednoj okolini točke Mx (ili mx ), govorimo o apsolutnom ili globalnom maksimumu (ili
minimumu) funkcije ( )f x na tom području.
Primjer 2.43 Ekstremi funkcije
Funkcija čiji je graf prikazan na slici lijevo na skupu R ima tri lokalna maksimuma (u
točkama 1 3 5, ix x x ) i dva
lokalna minimuma (u 2 4ix x ).
Apsolutnog ili globalnog minimuma nema, dok se apsolutni maksimum postiže u točki x3.
Lokalni maksimum funkcije ( )f x je vrijednost ( )Mf x te funkcije za koju vrijedi da je
( ) ( )Mf x f x≥ za svaki x iz neposredne okoline od Mx . Kažemo da f ima maksimum u
točki Mx .
Lokalni minimum funkcije ( )f x je vrijednost ( )mf x te funkcije za koju vrijedi da je
( ) ( )mf x f x≤ za svaki x iz neposredne okoline od mx .Kažemo da f ima minimum u točki
mx .
X
Y
x1 x2 x3 x4 x5
88
Točkama ekstrema zajedničko je da je tangenta na graf funkcije u tim točkama paralena sa osi apscisa. Uvjerite se u to iz grafa u primjeru 2.21. To znači da je koeficijent smjera tangente na graf funkcije u točki ekstrema uvijek jednak 0. To nas, uzimajući u obzir geometrijsku interpretaciju derivacije funkcije u točki, dovodi do sljedećeg zaključka:
Međutim to nije i dovoljan uvjet. Neki broj može biti nultočka prve derivacije funkcije f, a da nije točka ekstrema. Nužan uvjet zapravo kaže da neki broj ne može biti točka ekstrema ako
nije nultočka prve derivacije te funkcije.
Nultočke prve derivacije funkcije nazivamo stacionarnim točkama, a predstavljaju nam “kandidate” za točke ekstrema funkcije. Radi li se stvarno o točki ekstrema, provjeravamo ispitujući predznak druge derivacije:
Ovo ispitivanje predznaka druge derivacije (ili po potrebi neke parne derivacije višeg reda) provodi se za svaku stacionarnu točku, tj. za svaku nultočku prve derivacije funkcije.
Postupak utrđivanja točaka ekstrema
• Ako je 0( ) 0f x′′ < , onda funkcija f ima u točki 0x lokalni
maksimum koji iznosi 0( )f x .
• Ako je 0( ) 0f x′′ > , onda funkcija f ima u točki 0x lokalni
minimum koji iznosi 0( )f x .
• Ako je 0( ) 0f x′′ = , onda provjeravamo predznak prve parne
derivacije višeg reda koja je za 0x različita od 0. Ukoliko
takvih nema, tj. sve su parne derivacije višeg reda jednake 0
za 0x , ne radi se o točki ekstrema.
Nužan uvjet egzistencije ekstrema funkcije f u nekoj točki 0x je:
0( ) 0f x′ = .
X
Y
89
Primjer 2.44
Odredite, ako postoje, ekstreme funkcije 2( ) 2 3f x x x= + − .
Rješenje:
( ) 2 2 , ( ) 2f x x f x′ ′′= + = .
Sada tražimo x za koji vrijedi ( ) 0f x′ = :
2 2 0
1
x
x
+ =
= −
Znači, 1x = − je jedini kandidat za točku ekstrema. Sada ćemo uvrštavanjem provjeriti vrijednost druge derivacije funkcije u točki 1x = − .
( 1) 2f ′′ − = .
( 1) 0f ′′ − > , pa je 1x = − točka minimuma funkcije f, dakle minimum ima koordinate
( ) ( )1, ( 1) tj. 1, 4m f m− − − − .
Primjer 2.45
Zadana je funkcija dobiti 2( ) 50 400D Q Q Q= − + − . Odredite obujam proizvodnje za
koji je dobit najveća. Koliko iznosi najveća dobit?
Rješenje:
( ) 2 50D Q Q′ = − + .
( ) 0 2 50 0 25D Q Q Q′ = ⇒ − + = ⇒ = .
Još treba provjeriti vrijednost (25)D′′ . Prvo određujemo drugu derivaciju funkcije D :
( ) 2D Q′′ = −
Dakle, D′′ je konstantna funkcija koja svakom broju pridružuje vrijednost -2. Stoga vrijedi (25) 2D′′ = − .
Budući da je vrijednost druge derivacije u točki 25Q = negativan broj, zaključujemo
da funkcija dobiti postiže maksimum za 25Q = , a taj maksimum iznosi (25) 225D = .
Primjer 2.46 Ekstremne vrijednosti kubne funkcije
Odredite ekstreme funkcije 3 21( ) 4 12
3f x x x x= + + .
Rješenje:
2( ) 8 12, ( ) 2 8f x x x f x x′ ′′= + + = + .
Izjednačavamo ( )f x′ s nulom, odnosno rješavamo jednadžbu 2 8 12 0x x+ + = :
1,2 1 2
8 64 486 2
2x x i x
− ± −= ⇒ = − = − .
Sada računamo vrijednosti druge derivacije za 6− i 2− .
90
x
y
( 6) 4 0
( 2) 4 0.
f
f
′′ − = − <
′′ − = >
Prema tome, funkcija ima maksimum u točki 6− i on iznosi ( 6) 0y − = , a minimum
ima u točki 2− i on je jednak 32
( 2)3
f − = − .
Ekstremi su, dakle, u točkama:
( )32
6,0 2,3
M i m
− − −
.
Primjer 2.47 Točka infleksije
Odredite ekstreme funkcije 32( ) 5
3f x x= + .
Rješenje:
Pogledajmo prvo derivacije zadane funkcije:
2 (4)( ) 2 , ( ) 4 , ( ) 4, ( ) 0f x x f x x f x f x′ ′′ ′′′= = = = , i svaka iduća derivacija je
jednaka 0.
2( ) 0 2 0 0f x x x′ = ⇒ = ⇒ = . Dakle, ako funkcija ima ekstrem, postiže ga u
točki 0x = .
Međutim, (0) 0f ′′ = pa uvjet za ekstrem nije ispunjen. U tom slučaju treba pogledati
predznak prve više derivacije parnog reda koja je različita od nule u toj točki. Kako takva derivacija ne postoji, jer su od četvrte nadalje sve derivacije konstantna funkcija sa vrijednošću 0, zaključujemo da funkcija f nema ekstrem u točki 0x = . Takva točka za koju je
( ) 0 i ( ) 0f x f x′ ′′= = , a nije točka
ekstrema, zove se točka infleksije. To je točka u kojoj krivulja grafa iz konveksnosti prelazi u konkavnost ili obratno. Uočite taj prijelaz na desnoj slici.
Konkavno: Konveksno:
91
Primjer 2.48 Točka infleksije
Odredite ekstreme funkcije 41( ) 2
2f x x= + .
Rješenje:
Pogledajmo prvo derivacije zadane funkcije:
3 2 (4)( ) 2 , ( ) 6 , ( ) 12 , ( ) 12f x x f x x f x x f x′ ′′ ′′′= = = = ....
Tražimo nultočke prve derivacije: 32 0 0x x= = .
Provjeravamo predznak druge derivacije za jedinu stacionarnu točku x=0:
2(0) 6 0 0f ′′ = ⋅ = .
Budući da je druga derivacija za x=0 jednaka nuli, provjeravmo četvrtu derivaciju:
(4) (0) 12f = .
Četvrta derivacija je pozitivna za x=0, pa zaključujemo da funkcija ima lokalni
minimum u x=0. Taj minimum iznosi 41(0) 0 2 2
2f = ⋅ + = .
Primjer 2.49 Maksimum funkcije dobiti
Zadana je funkcija dobiti 3 22( ) 2 6 4
3D Q Q Q Q= − + + − , gdje Q predstavlja količinu
proizvodnje. Pri kojoj količini proizvodnje je dobit maksimalna i koliko tada iznosi?
Rješenje:
Treba naći ekstreme funkcije D.
• Određujemo prvu derivaciju i njene nultočke: 2( ) 2 4 6D Q Q Q′ = − + + .
2
1 1
( ) 0 2 4 6 0
1, 3
D Q Q Q
Q Q
′ = ⇒ − + + =
= − =
• Određujemo drugu derivaciju i provjeravamo njen predznak za Q=3. Točka Q=-1 nas ne zanima, budući da količina mora biti pozitivna veličina:
( ) 4 4D Q Q′′ = − +
(3) 4 3 4 8D′′ = − ⋅ + = − < 0 ⇒ Znači, funkcija D ima maksimum za Q=3.
Kako bismo doznali iznos te maksimalne dobiti, uvrštavamo količinu Q=3 u
funkciju dobiti: 3 22(3) 3 2 3 6 3 4 14
3D = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = .
Dakle, dobit je najveća za količinu 3 i tada iznosi 14.
Primjer 2.50 Minimum funkcije prosječnih troškova
Zadana je funkcija ukupnih troškova 21( ) 200
2T Q Q= + , gdje Q predstavlja količinu
proizvodnje. Pri kojoj količini proizvodnje su prosječni troškovi najmanji i koliko tada iznose?
92
Rješenje:
Prvo ćemo odrediti funkciju prosječnih troškova, a zatim provesti uobičajeni postupak određivanja ekstrema.
1 200( )
2T Q Q
Q= +
• Određujemo prvu derivaciju i njene nultočke:
2
1 200( )
2T Q
Q′ = − .
2
2
2 2
1 2
1 200( ) 0 0
2
1200 0 100 10, 10
2
T Q QQ
Q Q Q Q
′ = ⇒ − = ⋅
− = ⇒ = ⇒ = = −
• Određujemo drugu derivaciju i provjeravamo njen predznak za Q=10. Točka Q=-10 nas ne zanima, budući da količina mora biti pozitivna veličina:
3
3
3
400( ) 400
400(10) 0
10
T Q QQ
T
−′′ = =
′′ = >
Budući da je druga derivacija za količinu 10 pozitivna, funkcija prosječnih troškova ima minimum za Q=10. Kako bismo doznali iznos tih minimalnih prosječnih troškova, uvrstit ćemo Q=10 u promatranu funkciju:
1 200(10) 10 25
2 10T = ⋅ + = .
Dakle, minimalni prosječni troškovi iznose 25, a postižu se na razini proizvodnje 10.
Problem optimuma
Potreba optimizacije je vrlo česta u poslovanju, pa i u svakodnevnom životu. Primjerice, radnik na proizvodnoj traci ima za cilj u jednom danu obraditi što više proizvoda kako bi svome poduzeću donio što veću dobit. Međutim, ukoliko se usredotoči samo na brzinu obavljanja postupaka za koje je zadužen, ne vodeći računa o točnosti (kvaliteti), to će se negativno odraziti na dobit budući da će poduzeće imati više reklamacija i povrata proizvoda – što naravno znači dodatne troškove i umanjenje dobiti. S druge strane, ako radnik radi presporo, smanjuje se prihod budući da manje proizvoda izlazi na tržište u danom vremenu. Budući da su brzina i točnost radnih postupaka najčešće povezane i to tako da se točnost smanjuje povećanjem brzine (npr. proizvodne trake), logičan izbor radnika nije najveća brzina proizvodne trake, nego njena optimalna brzina. To je ona brzina koja omogućava maksimalnu dobit ostvarenu prodajom tog proizvoda, a predstavlja najbolji kompromis između brzine i preciznosti.
Problem optimuma sastoji se u određivanju ekstremne vrijednosti zadane funkcije (nazivamo je funkcijom cilja) uz neka ograničenja tj. uvjete.
93
U gore opisanom primjeru, funkcija cilja bi bila dobit (kao funkcija brzine i točnosti), a ograničenje neka jednadžba koja bi iskazivala vezu između brzine i točnosti. U sljedeća dva primjera opisano je rješavanje problema optimuma metodom supstitucije.
Primjer 2.51 Problem optimuma
Treba izgraditi ogradu za uzgoj lubina pravokutnog oblika i površine 600m2. Konfiguracija terena je takva da je moguće za jednu stranu pravokutnika iskoristiti dosta strmu obalu. Cijena ograde po metru iznosi 400 kn. Koje moraju biti dimenzije pravokutnog kaveza da bi troškovi bili najniži?
Rješenje:
Označimo jednu stranicu pravokutnika sa x a drugu sa y. Ukupan trošak izrade ograde tada je jednak
( , ) 400 (2 )T x y x y= ⋅ +
gdje je 2x+y ukupna duljina ograde (tri stranice pravokutnika, četvrta je obala). Cilj nam je naći minimum ove funkcije uz ograničenje 800x y⋅ = , budući da površina
kaveza mora biti 800 m2. Iz uvjeta 800x y⋅ = izrazit ćemo y i uvrstiti u funkciju ( , )T x y , te će ona tako postati
funkcija jedne varijable: 800
( ) 400 (2 )T x xx
= ⋅ + .
Sada slijedimo uobičajenu proceduru određivanja ekstrema u nadi da postoji minimum ove funkcije:
1 2
2
( ) 400(2 800 ) 400 (2 800 )
800400 (2 )
T x x x x
x
− −′ ′= + = ⋅ − ⋅ =
= ⋅ −
2
2
2
2
800( ) 0 400 (2 ) 0
400
2 800 0
400 20 20
xT x
x
x
x x ili x
′ = ⇒ ⋅ − = ⋅
− =
= ⇒ = = −
Kandidat za točku ekstrema je x=20. Provjeravamo je li to zaista uvrštavanjem u drugu derivaciju:
( )2
3
3
( ) 400 (2 800 )
400 1600400 1600
T x x
xx
−
−
′′′ = ⋅ − ⋅ =
⋅= ⋅ =
3
400 1600(20) 0
20T
⋅′′ = >
Dakle, za x=20 promatrana funkcija ima minimum. Dalje slijedi da je:
800 800
4020
yx
= = = .
Obala
x x
y
94
Znači, troškovi će biti najniži ako pravokutnik ima dvije kraće stranice po 20 metara i jednu dužu od 40 metara, te da se s obalom dodiruje u duljini od 40 metara. Iz tablice sa raznim kombinacijama duljina stranica pravokutnika površine 800m2 mogu se vidjeti uštede ostvarene izborom optimalnih dimenzija.
Primjer 2.52 Problem optimuma
Treba napraviti kutiju za prijevoz osjetljive opreme obujma 128 litara (dm3). Kutija ima dno kvadratnog oblika koje se izrađuje od materijala cijene 8 kn/dm2. Cijena materijala za izradu bočnih strana je 3 kn/dm2, a za poklopac 4 kn/dm2. Odredite optimalne dimenzije kutije tj. takve dimenzije da cijena izrade bude minimalna.
Rješenje:
Cijenu izrade kutije dobit ćemo zbrajanjem cijena materijala za dno, bočne strane i poklopac. Cijena pojedinog dijela dobije se množenjem njegove površine (u dm2) s cijenom po jedinici površine.
4
8 3 4Dna Strana Poklopca
Cijena izrade Dno bočne strane Poklopac
Cijena izrade P kn P kn P kn
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
Iz ovoga se dobiva funkcija troška
2 2( , ) 8 4 3 4T x y x xy x= ⋅ + ⋅ + ⋅ ,
odnosno nakon sređivanja:
2( , ) 12 12T x y x xy= + .
To je funkcija dviju varijabli. Međutim, te varijable nisu nezavisne jedna o drugoj. Ukoliko za duljinu stranice kvadratne baze x izaberemo neki broj, time je određen i y, tj. visina sanduka kako bi on bio zadanog obujma. Budući da obujam iznosi 128 dm3,
iz 2 128x y = se izrazi 2
128y
x= i uvrsti u funkciju troškova koja je sada funkcija jedne
varijable i glasi:
2 1536( ) 12T x x
x= + .
Sada je naš zadatak odrediti minimum funkcije troškova T , a to radimo prema već utvrđenom postupku za određivanje ekstrema. Pritom očekujemo da ova funkcija ima ekstremnu vrijednost i to maksimum.
y
x
x
x y Trošak
5 160 68.000 kn
10 80 40.000 kn
16 50 32.800 kn
20 40 32.000 kn
25 32 32.800 kn
32 25 35.600 kn
40 20 40.000 kn
50 16 46.400 kn
64 12,5 56.200 kn
80 10 68.000 kn
95
1. Određivanje nultočke od T ′
2
3
2
3
1536( ) 24
1536( ) 0 24 0 24 1536 0
64 4.
T x xx
T x x xx
x x
′ = −
′ = ⇒ − = ⇒ − =
= ⇒ =
2. Provjera pripadajuće vrijednosti T ′′
3
3072( ) 24
(4) 24 48 72 0
T xx
T
′′ = +
′′ = + = >
To znači da je 4 stvarno točka minimuma funkcije T, tj. da su troškovi najniži ako je 4x = . Dalje se lako dobije 8y = .
Usporedite cijenu izrade kutije ovakvih dimenzija sa cijenom izrade kutije dimenzija 8, 2x y= = , koja također ima obujam 128 litara.
96
2.5. Elastičnost funkcija jedne varijable
Elastičnost je pokazatelj sposobnosti neke ekonomske veličine da reagira (promijeni se) manje ili više intenzivno na promjenu neke druge veličine s kojom je povezana. Primjerice, potražnja za nekim proizvodom može biti vrlo osjetljiva na promjenu cijene. U tom slučaju kažemo da je funkcija potražnje tog proizvoda elastična. Elastičnost možemo mjeriti u jednoj točki, a možemo i na nekom intervalu – tada govorimo o lučnoj elastičnosti.
Koeficijent elastičnosti u jednoj točki
Služi kao osnovna mjera elastičnosti funkcije. Koeficijent elastičnosti funkcije y u točki x je omjer relativne promjene vrijednosti funkcije y i relativne promjene nezavisne varijable x. Pretpostavka je da je promjena varijable x beskonačno mala ( 0x∆ → ).
,
relativna promjena od lim lim lim .
relativna promjena od y x
x o x o x o
y
y x y x y xyE y
xx y x y x y
x
∆ → ∆ → ∆ →
∆
∆ ∆′= = = = ⋅ = ⋅
∆ ∆ ∆
• Kaže se da je funkcija y u nekoj točki elastična, ako je u toj točki , 1
y xE > .
• Kaže se da je funkcija y u nekoj točki neelastična, ako je u toj točki , 1
y xE < .
• Funkcija y je u nekoj točki jedinično elastična, ako je u toj točki , 1y xE = .
• Funkcija y je u nekoj točki savršeno neelastična ako je u toj točki , 0
y xE = .
Primjer 2.53
Izračunajte koeficijent elastičnosti Paretove funkcije 1.8
0.38y
x= .
Rješenje:
( ) ( )1.8 2.8
, 1.8 1.80.38 0.38 1.8
0.38 0.38
0.38
y x
x x xE y x x
y x x
x
− −
− −
′′= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =⋅ ⋅
=1.8
0.38x
−⋅
⋅( ) 2.8 2.8 2.81.8 1.8 1.8x x x− −⋅ − = − ⋅ ⋅ = −
.
Dakle, ako se x poveća za 1%, vrijednost funkcije će se smanjiti za 1.8%.
Interpretacija: Koeficijent elastičnosti ,y xE možemo interpretirati kao postotnu promjenu
veličine y uz pretpostavku da se veličina x povećala za 1%.
Koeficijent elastičnosti funkcije y u točki x računamo na sljedeći način:
,y x
xE y
y′= ⋅ .
97
Primjer 2.54 Elastičnost funkcije potražnje
Funkcija potražnje nekog proizvoda zadana je izrazom 100
qp
= . Odredite
koeficijent elastičnosti i interpretirajte ga. Kako će povećanje cijene tog proizvoda od 1% utjecati na prihod od njegove prodaje?
Rješenje:
Prvo ćemo funkciju q zapisati u obliku pogodnijem za deriviranje:
1
21
2
100 100 1010q p
p pp
−
= = = = ⋅
31 22
, 1
2
1010
10q p
p p pE q p
qp
−
−
′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅
10⋅3
21 1
2 2p
− ⋅ − = −
.
Tumačenje izračunatog koeficijenta glasi: Ako se cijena poveća za 1%, potražnja će se
smanjiti za 0,5%.
Prihod od prodaje je umnožak cijene i potražnje, dakle dvaju faktora od kojih se jedan povećao a drugi smanjio. Međutim, potražnja se smanjila manje nego što se povećala cijena, pa će prihod porasti nakon povećanja cijene. To je tipično za proizvode čija je potražnja neelastična.
U prethodnom primjeru dobiveni koeficijent elastičnosti je broj koji ne ovisi o cijeni p. To znači da je funkcija jednako elastična na bilo kojoj razini cijena. To je dosta nerealan slučaj.
Primjer 2.55
Odredite i interpretirtajte koeficijent elastičnosti funkcije potražnje 2 20q p= − + za
cijenu 6p = .
Rješenje:
( ),
22 20
2 20 2 20 10q p
p p p pE q p
q p p p
−′′= ⋅ = ⋅ − + = =− + − + −
.
Sada računamo ,6qE .
,6
6 6 3
6 10 4 2q
E = = = −− −
.
Primjer 2.56 Područje elastičnosti
Odredite područje elastičnosti funkcije potražnje 200 800q p= − + .
Rješenje:
( ),
200200 800
200 800 200 800
4
q p
p p pE q p
q p p
p
p
−′′= ⋅ = ⋅ − + = =− + − +
=−
.
Ako se cijena sa razine 6 poveća za 1%, potražnja će se smanjiti za 1,5%. Potražnja je elastična za cijenu 6.
98
Zanima nas za koje cijene je zadana funkcija potražnje elastična, pa postavljamo nejednadžbu:
14
p
p>
−.
Budući da je domena funkcije potražnje interval [ ]0,4p∈ , izraz unutar zagrada
apsolutne vrijednosti nije pozitivan, pa postavljena nejednakost, zbog definicije apsolutne vrijednosti realnog broja, prelazi u
14
p
p− >
−.
Uzimajući opet u obzir da je izraz 4p − negativan za sve cijene iz domene funkcije
potražnje, rješenje ove nejednadžbe je interval ( ]2,4p∈ .
Na intervalu [ )0,2 funkcija potražnje je neelastična. Za cijenu 2 funkcija je jedinično
elastična.
2.6. Funkcije više varijabli
Funkcije koje predstavljaju zavisnost nekih veličina u ekonomiji najčešće su funkcije više varijabli. Primjerice, potražnja nekog proizvoda u stvarnosti ne ovisi samo o njegovoj cijeni, nego još i o cijeni njegovih supstituta, cijeni komplementarnih proizvoda, o trenutnoj kupovnoj moći, itd.
Primjer 2.57 Funkcija više varijabli
Pretpostavimo da se cjenik taksi usluga iz primjera 2.1 dopuni novom, trećom, stavkom:
Start: 30 kn Prijevoz po km: 6 kn Čekanje po satu: 50 kn
Kako bi u tom slučaju glasila formula za izračun cijene vožnje?
Rješenje:
Cijena vožnje kao zavisna varijabla, u tom slučaju je funkcija dviju nezavisnih varijabli:
• duljina vožnje x
• vrijeme čekanja u satima y
Traženi izraz je: ( , ) 6 50 30C x y x y= + + .
Ukoliko želimo naznačiti da veličina y zavisi o n drugih veličina, tj. da je y funkcija n varijabli, to zapisujemo ovako:
1 2( , ,..., )ny f x x x= .
Primjer 2.58 Funkcija zbrajanja
Što biste rekli da radi ova funkcija ( , )f x y x y= + ?
99
Primjer 2.59
Funkcije dviju varijabli možemo grafički predočiti u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Tako je
npr. graf funkcije 2 2( , )z x y x y= +
trodimenzionalna ploha jednaka onoj koja bi nastala rotacijom
parabole 2z x= oko osi z.
Parcijalne derivacije
Za derivaciju funkcije ( )y f x= , koristili smo se oznakom y′ ili dy
dx, želeći naznačiti da smo
funkciju y derivirali po varijabli x.
Ako funkciju više varijabli deriviramo po jednoj od varijabli, radi se o parcijalnoj (djelomičnoj) derivaciji. Pri tom sve varijable osim one po kojoj deriviramo tretiramo kao konstante tj. realne brojeve. Iz ovog načela slijedi da ako smo svladali tehniku deriviranja funkcije jedne varijable, onda znamo i parcijalno derivirati.
Primjer 2.60 Parcijalne derivacije
a) Odredite parcijalne derivacije xz i yz funkcije 2 12z x
y= − .
Rješenje:
( )
2
2
2
2
12
4 0 4
12
10
x
y
d xydz
z x xdx dx
d xydz
z ydy dy y
−
−
= = = − =
−
= = = − − =
.
Oznake
Neka je z funkcija dviju varijabli: ( , )z f x y= .
x
dzz
dx= oznaka za parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli x.
y
dzz
dy= oznaka za parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli y.
100
b) Odredite parcijalne derivacije xz i yz funkcije 2 25z xy x y= − − .
Rješenje:
( )
( )
2 2
2 2
55 2 0 5 2
55 0 2 5 2
x
y
d xy x ydzz y x y x
dx dx
d xy x ydzz x y x y
dy dy
− −= = = − − = −
− −= = = − − = −
c) Odredite parcijalne derivacije xu , yu i zu funkcije 2 2 32 2 2u x y xyz z= + + − .
Rješenje:
( )
( )
( )
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2
2 2 22 2
2 2 24 2
2 2 22 6
x
y
z
d x y xyz zduu x yz
dx dx
d x y xyz zduu y xz
dy dy
d x y xyz zduu xy z
dz dz
+ + −= = = +
+ + −= = = +
+ + −= = = −
Parcijalne derivacije višeg reda
Funkciju više varijabli možemo uzastopno parcijalno derivirati po bilo kojoj varijabli. Npr. ako bi funkciju ( , )z f x y= parcijalno derivirali po varijabli x, pa dobivenu funkciju po
varijabli y, nastalu funkciju označili bi sa xyz .
Primjer 2.61 Parcijalne derivacije višeg reda
a) Odredite sve parcijalne derivacije drugog reda funkcije 25z xy x= + .
Rješenje:
5 2xz y x= + 2
5
xx
xy
z
z
=
=
5yz x= 5
0
yx
yy
z
z
=
=
Ovdje su sve parcijalne derivacije drugog reda konstante, što znači da bi sve parcijalne derivacije trećeg reda bile jednake 0.
b) 0dredite sve parcijalne derivacije drugog reda funkcije 22 x yz ye x e= + .
Rješenje:
101
2 2x y
xz ye xe= + ⇒ 2 2
2 2
x y
xx
x y
xy
z ye e
z e xe
= +
= +
22 x y
yz e x e= + ⇒
2
2 2x y
yx
y
yy
z e xe
z x e
= +
=
Uočimo da je
xy yxz z= u oba primjera. Vrijedi i općenitije, tj. nije važan redoslijed
parcijalnih derivacija, nego samo koliko smo puta po kojoj varijabli funkciju derivirali.
Tako je npr. xxxyyxyy yyxxyyxx
z z= za bilo koju funkciju z za koju navedene parcijalne
derivacije višeg reda postoje.
c) Odredite parcijalnu derivacije trećeg reda xxyz funkcije 35 xz ye x= + .
Rješenje:
25 3
5 6
5
x
x
x
xx
x
xxy
z ye x
z ye x
z e
= +
= +
=
Provjerite vrijedi li xxy yxx
z z= .
102
Ekstremi funkcija više varijabli
Primjer 2.62 Ekstremi funkcije dviju varijabli
Odredite lokalne ekstreme funkcije 2 22 2z x y= + − .
Rješenje:
1) Određujemo stacionarne točke postavljanjem jednadžbi 0xz = i 0yz = :
4
2
x
y
z x
z y
=
= , pa iz sustava
4 0
2 0
x
y
=
= dolazimo do jedine stacionarne točke ( )0,0 .
2) Određujemo parcijalne derivacije xxz ,yyz i
xyz u točki (0,0) :
40
2
0
xx
yy
xy
z
z
z
= >
=
=
Provjeravamo uvjet 0xx yy xy yxz z z z⋅ − ⋅ > : 24 2 0 8 0⋅ − = > .
Prema tome, funkcija z ima ekstrem u točki (0,0) i radi se o točki minimuma. Uvrštavanjem
ove točke u funkciju dobivamo minimum m ( )0,0, 2− .
Postupak određivanja lokalnih ekstrema funkcije ( , )z f x y=
1) Odredimo stacionarnu točku 0 0( , )x y , tj. točku za koju vrijedi
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
z x y
z x y
=
= Nužni uvjeti
Stacionarnih točaka može biti više, pa iduće korake treba provoditi za svaku od njih.
2) Odredimo parcijalne derivacije drugog reda xxz , yyz i
xyz . Provjeravamo
uvjet:
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xy yxz x y z x y z x y z x y⋅ − ⋅ >
Ako vrijedi 0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
xx
yy
z x y
z x y
<
< z ima maksimum u točki 0 0( , )x y .
Ako vrijedi 0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
xx
yy
z x y
z x y
>
> z ima minimum u točki 0 0( , )x y .
3) Odredimo vrijednost zadane funkcije u točkama ekstrema da bi dobili sve
koordinate ekstrema: ( )0 0 0 0, , ( , )x y z x y .
103
Primjer 2.63
Odredite lokalne ekstreme funkcije 2 22 2 4 14 1z x xy y x y= − + + − − + .
Rješenje:
1) Određujemo stacionarne točke postavljanjem jednadžbi 0xz = i 0yz = :
2 2 4
2 4 14
x
y
z x y
z x y
= − + −
= + − .
Dakle, treba riješiti sustav
2 2 4 0
2 4 14 0
x y
x y
− + − =
+ − =
Rješenje ovog sustava je uređeni par, tj. točka ( )1,3 , i to je jedina stacionarna
točka. Sada treba provjeriti ostale uvjete.
2) Određujemo parcijalne derivacije xxz ,
yyz i xyz u točki (1,3) :
2
4
2
xx
yy
xy
z
z
z
= −
=
=
Uočavamo da nije ispunjen uvjet 0xx yy xy yxz z z z⋅ − ⋅ > , jer
dobivamo 22 4 2 12 0− ⋅ − = − < , pa zaključujemo da funkcija nema ekstrem u točki
(1,3) , dakle nema ga uopće budući da je ta točka bila jedini kandidat.
104
Parcijalna i ukrštena elastičnost
Neka je zadana funkcija potražnje nekog proizvoda kao funkcija više varijabli
1 1 2 3( , , , ... , , , ...)q f p p p k t= .
• 1p predstavlja cijenu tog proizvoda
• 2 3, , ... , kp p p su cijene nekih drugih, srodnih proizvoda
• , , ...k t su ostale varijable (dohodak, vrijeme,...)
Ukoliko promatramo reakciju potražnje na promjenu bilo koje pojedine varijable (uz pretpostavku da se ostale varijable ne mijenjaju), kažemo da nas zanima parcijalna elastičnost funkcije potražnje.
Posebno, parcijalne elastičnosti po varijablama 2 3, , ... , kp p p nazivamo ukrštene elastičnosti.
Koeficijent ukrštene elastičnosti je pokazatelj tržišnog odnosa dvaju proizvoda. Ako je on relativno velik i pozitivan broj, radi se o dobrim supstitutima (npr. autobusni i željeznički prijevoz). Ako je po apsolutnoj vrijednosti relativno velik a negativan (npr. -0,92), radi se o komplementarnim proizvodima. Komplementarni proizvodi su oni koji se nadopunjuju, odnosno zajedno čine smislenu cjelinu ili proizvod (primjeri: flomaster za bijelu ploču - spužva za suho brisanje, olovka - gumica, automobil - benzin, ...).
Primjer 2.64 Parcijalne elastičnosti i tumačenje
Zadana je potražnja margarina kao funkcija cijene margarina i cijene maslaca: 0,8 0,7
A A Bq p p−= ⋅ .
Aq je količina potražnje margarina, Ap je cijena margarina, Bp je cijena maslaca.
a) Odredite koeficijente parcijalnih elastičnosti i protumačite značenje svakog od njih
b) Što na temelju koeficijenta ukrštene elastičnosti možete zaključiti o tržišnom odnosu margarina i maslaca?
Rješenje:
a) Računamo koeficijent elastičnosti po cijeni margarina:
,
1,8 0,7
0,8 0,7
0,8 0,7
( 0,8)A A A
A Aq p A p A B
A A B
A
A B
p pE q p p
q p p
p
p p
−
−
−
= ⋅ = ⋅ − ⋅ =⋅
=⋅
1,8 0,7( 0,8)A B
p p−⋅ − ⋅ 1,8 1,8( 0,8)
0,8
A Ap p −= − =
= −
Koeficijent parcijalne elastičnosti funkcije 1 2 3( , , ,..., )nz f p p p p= po varijabli ip računa
se ovako:
, i i
iz p p
pE z
z= ⋅ .
105
Dobiveni koeficijent –0,8 tumači se ovako: Ako se cijena margarina poveća za 1%
(uz neizmjenjenu cijenu maslaca), potražnja margarina smanjit će se za 0,8%.
Računamo koeficijent elastičnosti po cijeni maslaca:
, 0,8A B B
B Bq p A p
A A
p pE q
q p−
= ⋅ = 0,8
0,7 A
B
pp
−⋅⋅
0,3
0,3 0,3
0,7
0,7
0,7
B
B B
p
p p
−
−
⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
=
Dobiveni koeficijent 0,7 tumači se ovako: Ako se cijena maslaca poveća za 1% (uz
neizmjenjenu cijenu margarina), potražnja margarina povećat će se za 0,7%.
b) Budući da je koeficijent ukrštene elastičnosti pozitivan i relativno velik, zaključujemo da su maslac i margarin relativno dobri supstituti.
Homogene funkcije
U mnogim dosadašnjim razmatranjima, u sklopu neke ekonomske analize, proučavali smo kako se mijenja vrijednost neke funkcije ako mijenjamo neku od nazavisnih varijabli, pretpostavljajući da se ostale varijable nisu mijenjale. Postoje funkcije koje imaju svojstvo homogenosti. To svojstvo nam omogućava iskazivanje promjene vrijednosti funkcije u slučaju da sve nezavisne varijable promjenimo na jednak način istovremeno – množeći ih istim koeficijentom.
Primjer 2.65 Homogena funkcija
Odredite stupanj homogenosti funkcije 2 2( , ) 2f x y x y= + .
Rješenje:
Pretpostavimo da smo obje varijable uvećali za koeficijent k:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
( , ) 2( ) ( ) 2 (2 )
( , )
f kx ky kx ky k x k y k x y
k f x y
= + = + = ⋅ + =
= ⋅
Dakle, ova funkcija je homogena i to drugog stupnja homogenosti.
Primjer 2.66 Funkcija proizvodnje
Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o uloženom radu L i uloženom kapitalu C na sljedeći
način: ( ) 2 2, lnC
P L C L CL
= ⋅ + . Kako će se promijeniti proizvodnja ako se oba faktora
povećaju istovremeno za 10%? Radi li se o homogenoj funkciji? Ako da, kojeg stupnja homogenosti?
Funkcija 1 2 3( , , , ... , )nz f x x x x= je homogena stupnja α , ako vrijedi:
1 2 3 1 2 3( , , , ... , ) ( , , , ... , )n nf kx kx kx kx k f x x x xα= ⋅ .
106
Rješenje: Provjeravamo radi li se o homogenoj funkciji:
( ) 2 2
2 2
, ( ) ln ( )
ln
kCP kL kC kL kC
kL
kk L
= ⋅ + =
= ⋅C
k
( )
2 2 2 2 2
2
ln
,
Ck C k L C
LL
k P L C
+ = ⋅ ⋅ + =
= ⋅
Dakle, radi se o funkciji stupnja homogenosti 2. To znači da će povećanje svakog
faktora za 10%, tj. s koeficijentom 1,10 povećati proizvodnju s koeficijentom 21,10 , tj.
za 21%.
Zadaci za vježbu (Ekstremi i elastičnost)
1. Odredite ekstreme funkcija:
a ) 4116
2y x x= + ( )( )Rj. 2, 24m − −
b ) 2 1x
yx
+= ( ) ( )( )M 1, 2 ; 1,2m− −
c ) Zadana je funkcija ukupnih troškova 3 2000T Q= + . Za koji obujam proizvodnje su
prosječni troškovi minimalni? Koliko iznose? (Rj. ( )10,300 )
2. Treba napraviti sanduk za prijevoz osjetljive opreme obujma 250 litara. Sanduk ima dno kvadratnog oblika koje se izrađuje od materijala cijene 10 kn/dm2. Cijena materijala za izradu bočnih strana je 3 kn/dm2, a za poklopac 2 kn/dm2. Odredite dimenzije sanduka tako da cijena izrade bude što manja. (Rj. 5x = )
3. Odredite koeficijent elastičnosti funkcije 0.23 0.3210y x−= ⋅ . ( ), 0.32
y xE =
4. Odredite koeficijent elastičnosti za funkciju 5
210y x−
= . ,
5
2y x
E
= −
5. Odredite koeficijent elastičnosti za funkciju 3
1000y
x= .
,
3
2y x
E
= −
6. Zadana je funkcija ukupnih troškova 3 5T q= + . Odredite koeficijent elastičnosti ukupnih
troškova za 5
3q = .
5,3
1
2TE
=
7. Odredite lokalne ekstreme funkcije 4 2 22 2 1z x x y y= − + − + .
( ) ( )( )1 2. 1,1, 1 ; 1,1, 1Rj m m− − −
8. Neka su Ap i Bp cijene proizvoda A i B koji su pušteni u prodaju. Odredite cijene Ap i
Bp za koje je prihod najveći, ako je funkcija prihoda
107
2 2( , ) 5 500 15 3000A B A A B BR p p p p p p= − + − + . Koliki je najveći prihod?
( )( ). 50,100,162500$Rj
9. Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o uloženom radu L i uloženom kapitalu C kako slijedi:
( ) 2 2, lnC
P L C L CL
= ⋅ + . Ako se oba faktora povećaju istovremeno za 10%, za koliko
postotaka se mijenja proizvodnja? ( )Poveća se za 21%
9. Odredite derivacije funkcija:
a) ( )2ln 2y x= + ( )2
2.
2
xR j
x
+
.
b) ( )24 1y x x= + + ( )( )( )4 3. 2 1 4 1R j x x x+ + + .
c) ( )6
3x
y e= ( )( )6. 6 3 ln 3
xR j e e⋅ .
10. Odredite područje elastičnosti funkcije potražnje 1
502
q p= − + .
( ). 50,100Rj p ∈
11. Zadana je potražnja proizvoda A kao funkcija cijene tog proizvoda Ap i cijene nekog
drugog proizvoda Bp :
1.32 0.80.25A A Bq p p−= ⋅ ⋅ .
a) Izračunajte koeficijent parcijalne elastičnosti ,A Aq pE , i koeficijent ukrštene elastičnosti
,A Bq pE (Elastičnost potražnje proizvoda A s obzirom na promjenu cijene proizvoda B).
b) Protumačite dobivene koeficijente. Što na temelju koeficijenta ukrštene elastičnosti možete zaključiti o tržišnom odnosu proizvoda A i B ?
12. Odredite ekstreme funkcije xy xe= .
1. m in 1,R j
e
− −
.
13. Odredite ekstreme funkcije 2 24 2 8z x x y y= − + − + ( )( ). m in 2 ,1, 3R j .
14. Odredite ekstreme funkcije 1864 22 +++−= yyxxz .
108
Literatura:
1. B. Šego: "Matematika za ekonomiste", Narodne novine d.d., Zagreb, 2005.
2. B. Relić, "Gospodarska matematika", Računovodstvo i financije, Zagreb, 2002.
3. Dabčević, N. Dravinac, I. Franić, B. Sekulić, B. Šego: "Primjena matematike za ekonomiste", Informator, Zagreb, 1996.
4. Neralić, Šego: „Matematika“. Element, Zagreb, 2009.
