a

a

a

2

2

2

6

6 5

6 25

150

P a

P

P

P cm

= ⋅

= ⋅

= ⋅

=

3

3

3

5

125

V a

V

V cm

=

=

=

a

a

a

a

2d a=

dijagonalni presek Kocka ima 12 ivica. Znači da ćemo dužinu jedne ivice dobiti 24 :12 2a cm= =

2

2

24

2

2

cmP

aP

aaP

DP

DP

DP

=

⋅=

⋅⋅=

a

b

2 2 2D a b c= + +

c

2192

962

)12312443(2

)(2

cmP

P

P

acbcabP

=

⋅=

⋅+⋅+⋅=

++=

cmD

D

D

D

cbaD

13

169

144169

1243 222

222

=

=

++=

++=

++=

Najpre da sa slike odredimo dužine ivica a , b i c.

2cm 2cm

2cm

2cm

2cm

a=4cm

b=2cm

c=4cm

264

322

)8168(2

)424424(2

)(2

cmP

P

P

P

bcacabP

=

⋅=

++=

⋅+⋅+⋅=

++=

Ovde ustvari tražimo površinu kutije, odnosno kvadra.

Pošto rešenje traže u metrima kvadratnim, odmah ćemo pretvoriti:

a = 50cm = 0,5m

b = 40cm = 0,4m

c = 45cm = 0,45m

2

2( )

2 (0,5 0, 4 0,5 0, 45 0, 4 0, 45)

2 (0,2 0, 225 0,18)

2 0,605

1,21

P ab ac bc

P

P

P

P m

= ⋅ + +

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + +

= ⋅

=

a

a

H

H

a

a

Iz površine baze ćemo naći dužinu osnovne ivice a:

2

249

49

7

B a

a

a

a cm

=

=

=

=

2

2

182

8498

374492

42

2

cmP

P

P

HaaP

MBP

=

+=

⋅⋅+⋅=

⋅⋅+=

+=

a

a

a

a

d=5cm

H=12cm

H

I način :

Upotrebljavamo formulu za površinu kvadrata(baze) 2

2

dB =

2

2

3

2

512

2

2512

2

150

V BH

dV H

V

V

V cm

=

=

= ⋅

= ⋅

=

II način :

Ko nezna onu formulu mora ovako:

2

5 2

5 2

2 2

5 2

2

d a

a

a

a cm

=

=

= ⋅

=

3

2

2

150

124

225

122

25

cmV

V

V

HaV

HBV

=

⋅⋅

=

⋅

=

⋅=

⋅=

a

a

H

H

a

a

d

d

1

2

=16cm

=12cm

Primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao nalazimo a:

2 2

2 1 2

2 2 2

2

2

2 2

8 6

64 36

100

10

d da

a

a

a

a cm

= +

= +

= +

=

=

1 2

2

2

2 42

16 12 4 10 4

192 160

352

P B M

d dP aH

P

P

P cm

= +

= +

= ⋅ + ⋅ ⋅

= +

=

Proučimo najpre sliku:

a

a

H

H

a

a

d

D

60o

30o

A

E

M

Uočimo osenčeni trougao AME. On ima uglove od 60, 30 i 90 stepeni pa je on ustvari polovina jednakostraničnog

trougla čija je stranica AE.

A M

E

H

60o

30o

3

2

3

2

8 2 3

2

4 6

ah

AEH

H

H cm

=

⋅=

⋅=

=

△

△

Iz dijagonale osnove nañemo a:

2

4 2 2

4

d a

a

a cm

=

=

=

3

2

664

6416

cmV

V

HaV

HBV

=

⋅=

⋅=

⋅=

aa

H

a=9cm

d=15cm

Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći visinu.

cmH

H

H

H

adH

12

144

81255

915

2

222

222

=

=

−=

−=

−=

3

2

3243

3381

124

39

cmV

V

V

HBV

=

⋅=

⋅⋅

=

⋅=

Iz površine baze najpre nañemo dužinu osnovne ivice.

2

3

4

336 3

4

144

12

aB

a

a

a cm

=

=

=

=

aa

H

a

H

( ) 2

2

2 3

2 36 3 3 12 8

72 3 72 4

72 3 4

P B M

P B a H

P

P

P cm

= +

= + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅

= +

Proučimo najpre sliku.

Tavan je trostrana prizma visine H = 10m.

U bazi je pravouglo jednakokraki trougao ( polovina kvadrata ) dijagonale d = 8cm.

d=8m45

o45

o

Površinu baze ćemo naći kao polovinu površine ovog kvadrata.

2 2

2

2

832

2 2

3216

2 2

kv

kv

dP m

PB m

= = =

= = =

Zapremina je :

2

16 10

160

V BH

V

V m

=

= ⋅

=

Nacrtajmo najpre sliku.

a=15cmb=

20cm

ab

c

c

H=c

Primenom Pitagorine teoreme nañemo c.

2 2 2

2 2 2

2

2

15 20

225 400

625

25

c a b

c

c

c

c cm

= +

= +

= +

=

=

Kako je c = H, odmah znamo da je i H=25cm

Da sklopimo površinu. Pazi! Nije ona klasična formula, jer se omotač sastoji iz tri različita pravougaonika...

21800

1500300

25)252015(2015

)(2

2

2

cmP

P

P

Hcbaab

P

MBP

=

+=

⋅+++⋅=

⋅+++⋅=

+=

Da se podsetimo : 31 1litar dm=

Data nam je zapremina bazena: 3 3200 200 200000V l dm cm= = =

c=H c

a=80cm

b=50cm

Trebamo naći visinu !

200000 80 50

200000

80 50

50

V a b H

H

H

H cm

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

=⋅

=

a

a a

H

BSd

a

H H

Pitagorina teorema :

2 2 2

2

2

36 9

27

9 3

3 3

H d a

H

H

H

H cm

= −

= −

=

= ⋅

=

2

3

36

4

9 36 3 3

4

81 3

2

121,5

V B H

aV H

V

V

V cm

= ⋅

= ⋅

= ⋅

⋅=

=

32 ad =

BSd

AC je manja dijagonala baze!( pogledaj teorijske napomene i podseti se formula)

cmaa

AC 33332

32 =⋅==

⋅=

1CD je dijagonala bočne strane koju tražimo preko Pitagorine teoreme:

( ) ( )

2 2 2

1

2 22

1

2

1

2

1

1

3 22

3 22

25

5

CD CD DD

CD

CD

CD

CD cm

= +

= +

= +

=

=

Imamo dužine stranica pravougaonika, pa nije teško izračunati površinu:

2

1

15

53

cmP

P

CDACP

=

⋅=

⋅=

PIRAMIDA

Primenom Pitagorine teoreme na označeni trougao , dobijamo:

2

2 2

2 2 2

2

2

2

8 6

64 36

100

100

10

ah H

h

h

h

h

h cm

= +

= +

= +

=

=

=

2

2

2

384

240144

1012212

24

cmP

P

P

haaP

MBP

=

+=

⋅⋅+=

⋅+=

+=

2

3

3

12 8

3

144 8

3

384

B HV

V

V

V cm

⋅=

⋅=

⋅=

=

Iskorisićemo zapreminu i naći dužinu osnovne ivice a:

2

2

2

11280 15

3

1280 3

15

256

256

16

a

a

a

a

a cm

= ⋅ ⋅

⋅=

=

=

=

Pitagora:

2

2 2

2

2 2

2

2

2

1615

2

225 64

289

17

ah H

h

h

h

h cm

= +

= +

= +

=

=

2

2

800

17162256

24

cmP

P

haaP

MBP

=

⋅⋅+=

⋅⋅+=

+=

a

a

hH

s

s

a/2

2

2 2

2 2 2

2

2

2

20 12

400 144

256

16

aH h

H

H

H

H cm

= −

= −

= −

=

=

2

2

3

3

3

24 16

3

576 16

3

3072

B HV

a HV

V

V

V cm

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

=

Preko površine bočne strane ćemo naći apotemu h:

2

820

2

40

8

5

bs

a hP

h

h

h cm

⋅=

⋅=

=

=

a

a

hH

s

s

a/2

2

2 2

2 2 2

2

2

2

5 4

25 16

9

3

aH h

H

H

H

H cm

= −

= −

= −

=

=

2

2

3

3

3

8 3

3

64

B HV

a HV

V

V cm

⋅=

⋅=

⋅=

=

TETRAEDAR

Kako je piramida jednakoivična ( a = s) , njena površina se sastoji iz površine 4 jednakostranična trougla!

2

2

2

2

34

4

3

6 3

36 6

aP

P a

P

P cm

=

=

=

=

a

a

s sH

rr

ou

h

Primenom Pitagorine teoreme dobijamo apotemu h . Da vas podsetimo: 3

6u

ar =

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

3

6

20 3 324

6

20 3576

6

576 100

676

26

ah H

h

h

h

h

h cm

= +

⋅= +

⋅ = +

= +

=

=

2

2

33

4 2

400 3 3 20 3 263

4 2

300 3 780 3

1080 3

P B M

a a hP

P

P

P cm

= +

⋅= + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅

= +

=

a

a

s shH

a / 2

2

2 2

2 2 2

2

2

2

5 4

25 16

9

3

ah s

h

h

h

h cm

= −

= −

= −

=

=

( ) 2

2

2

36316

2

383

4

38

23

4

3

cmP

P

haaP

MBP

+=

⋅⋅+

⋅=

⋅⋅+=

+=

Pazi: moramo da stavimo rešenje u zagradu ako ne izvlačimo zajednički!

a

a

s sH

rr

ou

h

2

2 2

2

2 2

2

3

6

313 12

6

325

6

35

6

3 30

30 racionališemo...

3

30 3

3 3

30 3

3

10 3

ah H

a

a

a

a

a

a

a

a cm

= −

= −

=

=

=

=

= ⋅

=

=

2

2

3300

124

33100

3

1

4

3

3

1

3

1

cmV

V

Ha

V

HBV

=

⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

a

a

H h

a

ss

3

2

a

2

2 2

2

2 2

2

2

3

2

6 33

2

9 27

36

6

ah H

h

h

h

h cm

= +

= +

= +

=

=

( )

2

2

36 6

4 2

36 3 6 66 6 54 3 108 54 3 54 2

4 2

54 3 2

a a hP

P

P cm

⋅= ⋅ + ⋅

⋅= ⋅ + ⋅ = + = + ⋅

= +

2

2

354

32

336

34

36

3

1

3

1

cmV

V

aV

HBV

=

⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

Iz površine omotača ćemo naći apotemu:

62

4 3120 3 6

2

120 3 12 3

10

a hM

h

h

h cm

⋅=

⋅= ⋅

= ⋅

=

Dalje nam treba visina H, dakle i slika…

a

a

H h

a

ss

3

2

a

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2

2

3

2

4 3 310

2

10 6

100 36

64

8

aH h

H

H

H

H

H cm

= −

⋅= −

= −

= −

=

=

( )

2

2

3

1

3

1 36

3 2

4 3 38

2

16 3 3 4

192 3

V B H

aV H

V

V

V cm

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

=

a

a

ss

a2a

H

60o

60o

60o

Dijagonalni presek je jednakostranični trougao, dakle s = 2a, pa je :

cma

a

5

102

=

=

Visina piramide je ustvari visina tog jednakostraničnog trougla stranice 10cm, pa je :

3

2

10 3

2

5 3

sH

H

H cm

⋅=

=

=

2

3

1

3

1 36

3 4

25 35 3

2

125 3

2

375

2

187,5

V B H

aV H

V

V

V

V cm

= ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

⋅=

=

=

a) Iskoristićemo zapreminu da nañemo H.

2 2

2

1 3 36

3 4 2

8 3352 3

2

352 32

352

32

11

a aV H H

H

H

H

H cm

= ⋅ = ⋅

= ⋅

=

=

=

b)

a

a

H h

a

ss

3

2

a

2

2 2

2 2 2

2

2

3

2

11 (4 3)

121 16 3

169

13

ah H

h

h

h

h cm

= +

= +

= + ⋅

=

=

v)

( )

2

2

2

36 6

4 2

8 3 8 136 6

4 2

64 36 6 4 13

4

96 3 52 24 4 3 24 13

24 4 3 13

P B M

a a hP

P

P

P

P cm

= +

⋅= ⋅ +

⋅= ⋅ +

= ⋅ + ⋅ ⋅

= + = ⋅ + ⋅

= +

a

Hh

a

ss

3

2

a

45o

45oO

P

S

Osenčeni trougao je jednakokrako- pravougli!

O P

S

45o

45o

h

On je polovina kvadrata. Dakle, h je dijagonala tog kvadrata čija je stranica OP.

2

2

3 3 2

3 6

d a

h OP

h

h cm

=

= ⋅

= ⋅

=

□ □

( )

2

2

36 6

4 2

36 3 6 3 66 6 54 3 54 6

4 2

54 3 6

a a hP

P

P cm

⋅= ⋅ +

⋅= ⋅ + ⋅ = +

= +