Призма

Обрада

Поновимо неке основне појмове

- Шта је геометријско тело?

- Шта је површ тела?

- Шта је полиедар и који су његови елементи?

- Шта је мрежа полиедра, површина и запремина полиедра?

Геометријско тело

Површ тела дели простор на два дела – спољашњу и унутрашњу.

Површ тела и унутрашња област чине геометријско тело.

Део простора ограничен са свих страна назива се геометријско тело.

Граница која одваја део простора који захвата геометријско тело од дела простора који се налази ван њега назива се површ тела.

Полиедар је правилан ако су све његове стране правилни и међусобно подударни многоуглови.

Полиедар

Геометријско тело чија је површ састављена од коначно много многоуглова назива се полиедар.

Многоуглови који представљају границу полиедра називају се стране полиедра.

Странице тих многоуглова су ивице полиедра.

Темена многоуглова су темена полиедра.

Унија свих многоуглова који ограничавају полиедар назива се полиедарска површ.

Елементи полиедра

ивице

стране

темена

Мрежа и површина полиедраМрежу полиедра

чине многоуглови који га ограничавају.

Површина полиедра једнака је збиру површина свих његових страна.

Запремина полиедра

Запремина полиедра представља величину дела простора који заузима тај полиедар.

Неки правилни полиедри

ПризмаПризма је полиедар ограничен са два паралелна и подударна многоугла и онолико паралелограма колико страница има сваки од тих многоуглова.

1

А1

B1

C1

А

B

C

1

А1

B1

C1

А

B

C

ПризмаПризма је права ако је један многоугао ортогонална пројекција оног другог на одговарајућу раван. У супротном је коса.

1

А1

B1

C1

А

B

C

1

А1

B1

C1

А

B

C

права призмакоса призма

Даље ћемо изучавати само праве призме.

Подударни и паралелни многоуглови називају се основе или базе призме (B), а правоугаоници су бочне стране призме. Бочне стране призме чине омотач призме (М).

B1

C1А1

А C

B

базе (B)

бочне стране

Странице основе називају се основне ивице призме, а остале странице су бочне ивице призме.

B1

C1А1

А C

B

основне ивице

бочне ивице

Код праве призме је бочна ивица нормална на основе призме и назива се висина призме (H).

Према броју страница многоугла који представља базу призме, постоје:

- тростране призме,- четворостране призме,- петостране призме,- шестостране призме...

Призме чије су све ивице једнаке зову се једнакоивичне призме. Код њих су бочне стране подударни квадрати.

Призма је правилна ако је њена база правилни многоугао. Даље ће се подразумевати да се ради о правој правилној призми ако се другачије не нагласи.

база је једнакостраничн

и троугао

база је квадрат

база је правилни петоугао

база је правилни шестоугао

Дуж чије су крајње тачке два темена призме која не припадају истој страни призме назива се дијагонала призме (D).

нема дијагонала

!

има 4 дијагонала

има 10 дијагонала

има 18 дијагонала

Пресек призме и равни којој припадају једна ивица и дијагонала призме назива се дијагонални пресек призме.

нема дијагонални пресек!

има два дијагонална пресека

Поновимо:- шта је призма, - шта је права, а шта коса призма,- шта су базе, а шта бочне стране призме,- шта су основне, а шта бочне ивице призме,- шта је висина призме,- како можемо поделити призме према броју страница базе,- када за призму кажемо да је правилна,- шта је дијагонала призме,- шта је дијагонални пресек призме.

Површина призме

Површина призме једнака је збиру површина свих њених страна.

Површина призме

Ако са B обележимо површину једне основе, а са М површину омотача призме, онда се површина P те призме израчунава по формули: P=2B+M.

B

B

o м о т а ч (M)

Површина четворостране призме

Разликоваћемо површину:

- квадра,

- правилне четворостране призме,

- коцке,

- призме чија је основа ромб,

- призме чија је основа трапез.

Површина квадраБаза квадра је правоугаоник страница а и b, а омотач чине два подударна правоугаоника чије су странице а и c и два подударна правоугаоника чије су странице b и c.

P=2B+M =2аb+(2ac+2bc) =2(ab+ac+bc)

аb

ba

cacb

аc

bcacаbP 2

* Дијагонала базе: 22 bаd

* Дијагонала квадра: 222 cbаD

* 22 bаcPdp

Површина правилне четворостране призме

База правилне четворостране призме је квадрат странице а, а омотач чине четири подударна правоугаоника чије су странице а и H.

P=2B+M =2а2+4aH =2a(a+2H)

HаaP 22

а

H

2a

Ha

* Дијагонала базе: 2ad

* Дијагонала призме: 222 HaD

222 HaD

2aHPdp *

Површина коцкеБаза коцке је квадрат странице а, а

омотач чине четири подударна квадрата странице а. Коцка је једнакоивична призма!

P=2B+M =2а2+4а2

=6а2

2a

2a а

аа

а

26aP

* Дијагонала базе: 2ad

* Дијагонала призме: 222 aaD

222 aaD 23aD

3aD

22aPdp *

Површина призме чија је основа ромбБаза је ромб страница а и b, и

дијагонала d1 и d2, а омотач чине два подударна правоугаоника чије су странице а и H и два подударна правоугаоника чије су странице b и H.

аb2

21 dd

cacb

аc

bHaHdd

222

2 21

MBP 2

baHdd 221

Површина призме чија је основа трапезБаза је трапез основица а и b и висине

h, а омотач чине четири правоугаоника чије су странице редом а и H, b и H, c и H, d и H.

аb

Ha

а

MBP 2

Hb HcHd

cd

)( dcbаHhba

Запремина тела

Запремина тела је ненегативан број придружен телу, тако да:

- два тела која се могу довести до поклапања имају једнаке запремине;

- ако се тело може разложити на два или више тела, тада је његова запремина једнака збиру запремина делова;

- запремина коцке чија ивица има јединичну дужину је 1.

Јединице за запреминуОсновна јединица за запремину је 1m3.

Мање јединице су 1dm3, 1cm3, 1mm3.

При том је:1m3=1m1m1m=10dm10dm10dm

=1000dm3

1dm3=1dm1dm1dm=10cm10cm10cm =1000cm3

1cm3=1cm1cm1cm=10mm10mm10mm =1000mm3

Запремина призмеНека је дат квадар страница 5, 4 и 3.

Израчунати запремину овог квадра значи одредити колико се коцки чије су ивице дужине 1 могу сместити у њему.У првом реду то је 20 коцки, а како има укупно три реда, то ће бити 60 коцки.

Запремина призмеЗакључујемо:

ако са B означимо површину једне основе, а са H висину призме, онда се запремина призме израчунава по формули:

HBV

Најпре ћемо изучавати запремину четвоространих призми.

Запремина квадра

cbаV

HBV

а

c

b

Запремина правилне четворостране призме

ааH

HаV

HBV

2

Запремина коцке

3аV

HBV

Запремина призме чија је основа ромб

а

а

HHdd

V

HBV

221

а

а

а

Запремина призме чија је основа ромб

Hhba

V

HBV

2

а cdb

H

Маса телаНека су дата две лопте једнаких

запремина, али једна од дрвета, а једна од гвожђа. Које тело има већу масу? Од чега маса зависи?

Маса телаМаса тела зависи од запремине тела и

од материјала од којег је тело направљено, и израчунава се по формули:

,

где је m – маса тела

V – запремина тела

- густина материјала од којег је тело направљено.

Vm

Маса телаПример: Израчунај масу гранитне коцке

ивице 5cm, ако је густина гранита .

3

3

3

125

5

cmV

V

aV

328cm

g

kgm

gmcm

gcmm

Vm

5,3

3500

281253

3

Површина правилне тростране призмеБаза правилне тростране призме је

једнакостранични троугао странице а, а омотач чине три подударна правоугаоника чије су странице а и H.

а

H

aHa

P

aHa

P

MBP

32

3

34

32

2

2

2

Површина тростране призме чија је основа правоугли троугао

База ове призме је правоугли троугао чије су катете а и b, а хипотенуза c, а омотач чине три правоугаоника чије су странице а и H, b и H, c и H.

а

H cbaHabP

cHbHaHab

P

MBP

22

2 b

c

·

Површина правилне шестостране призме

Подсетимо се најпре правилног шестоугла.

а

ad

аа

d

ааP

аO

v

m

2

32

32

2

33

4

36

622

а

а

а

аа

а

а

ааа

Дијагонални пресеци правилне шестостране призме

Дијагонални пресеци правилне шестостране призме

а

а

а

аа

а а

а

а

аа

аH

HdP

HdD

mmdp

mm

222

HdP

HdD

vvdp

vv

222

dm

Dm

dV

DV

Површина правилне шестостране призме

Подсетимо се најпре правилног шестоугла.

аaHaP

aHа

P

MBP

633

62

332

2

2

2

а

а

аа

Hа

а

а

а

2a

2a

3aа

H

2a

2a

аb

c

22 bа

22 bа