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PAGE 49Captulo 3.- Probabilidades y distribuciones de probabilidad.

Captulo 3.

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

3.1. Introduccin.

En el lenguaje corriente se utiliza el termino "probabilidad" para designar el grado de confianza que una persona tiene sobre la ocurrencia de un determinado suceso futuro.

La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos a la incertidumbre y la utilizamos la teora de la probabilidad, admitimos o no el uso de algo tan complejo. Cuando escuchamos una prediccin de un 70% de posibilidades de lluvia, cambiamos nuestros planes de salir el da de campo y nos quedamos viendo televisin o escuchando msica. Los administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer deben preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto nivel.

3.2. Experimento aleatorio, espacio muestral, eventos.

3.2.1. Experimento aleatorio. Es todo proceso que consiste de la ejecucin de un acto (o prueba) una o ms veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.

Por ejemplo, son experimentos aleatorios: lanzar un dado y observar el resultado, contar objetos defectuosos producidos diariamente por cierto proceso, aplicar una encuesta para obtener opiniones, etc.

3.2.2. Espacio muestral. Se denomina espacio muestral al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Este conjunto se denota por (.

Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral y se denomina tambin punto muestral.

Ejemplo 3.1. Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda y un dado a la vez, y observar los resultados posibles. En este caso espacio muestral es el conjunto:

(1 = { 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S (Ejemplo 3.2. El experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces, consiste de 3 pruebas, cuyo espacio muestral puede escribirse como el conjunto de ternas ordenadas:

(2 = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS (NOTA. Los espacios muestrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o ms pruebas sucesivas obtienen tambin de un diagrama tipo rbol, como el la figura 3.1, para (2

1. Prueba 2. Prueba 3. Prueba puntos muestrales C CCC

C

C S CCS

C CSC

S

S CSS

C SCC

C

S S SCS

C SSC

S

S SSS

Figura 3.1. Diagrama del rbol.

3.2.3. Eventos. Se denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral y lo denotaremos por A, B, C, D, E, etc. As si A es un evento entonces A ( (.

En particular ( y ( (conjunto vaco) son eventos. Al espacio muestral ( se le llama evento seguro y a ( evento imposible.

Ejemplo 3.3. En el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior, el espacio muestral asociado este experimento es:

( = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:

i)A : observar un nmero impar, entonces A = {1, 3, 5 (ii) B : observar un nmero menor que 4, entonces B = { 1, 2, 3 (iii)C : observar un nmero mltiplo de 3, entonces C = { 3, 6 (3.3. Principios bsicos de probabilidades.

Cuando se hacen afirmaciones como "Juan probablemente ganara la partida de tenis", " tengo el 50% de posibilidad de obtener un nmero par al lanzar un dado", "No estoy seguro de ganar en la Tinka este domingo". En cada caso se expresa un resultado del cual no se tiene plena certeza, pero en virtud de la informacin que se tiene del pasado o de la compresin de la estructura del experimento, se logra cierto grado de confianza en la validez de la aseveracin.

3.3.1. Definicin de probabilidad. La probabilidad de un evento es la razn entre el nmero de casos favorables y el nmero total de casos posibles.

La probabilidad del evento A, denotado por " P(A)" es expresada como:

La probabilidad de un evento vara entre 0 y 1 (aunque a veces se expresa en tantos por cien; entonces varia entre 0 y 100). Una probabilidad igual a 1 indica nuestra absoluta certeza de que el suceso ocurrir, mientras que una probabilidad nula indica nuestra absoluta certeza de que el suceso no ocurrir. Valores intermedios sealan estados de mayor o menor confianza en la ocurrencia del suceso.

3.3.2. Probabilidad experimental.

La probabilidad que se ha estado considerando estn basadas en un conocimiento a priori de las frecuencias favorables de un evento y de todos los resultados posibles que puede ocurrir.

En algunas ocasiones, la nica forma de determinar una probabilidad es repitiendo un experimento muchas veces, para ver la frecuencia con que ocurriran los posibles resultados. Mientras ms se repita el experimento aparece un modelo de regularidad, esto es, habr una estabilidad de la fraccin (frecuencia relativa), donde

n = es el nmero de repeticiones y f es el nmero de xitos de un particular resultado establecido antes de la realizacin del experimento.

Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, se puede estimar la probabilidad de caras y sellos al repetirlo un gran nmero de veces y registrar los resultados.

3.4. Algunos teoremas sobre probabilidad.

3.4.1. Teorema de adiccin.

Teorema 1. Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces la probabilidad de que tenga

lugar uno de los dos eventos, es:

Corolario 1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

Corolario 2. Si A1, A2, ..., An son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

Teorema 2. Para tres eventos A, B y C

Teorema 3. Si A y A' son eventos complementarios, entonces:

Ejemplo 3.4. Los empleados de una cierta compaa han elegido a cinco de ellos para que les representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Los perfiles de los cinco elegidos son:

1. hombre edad 30

2. hombre 32

3. mujer 45

4. mujer 20

5. hombre 40

Este grupo decide elegir un vocero, la eleccin se efecta sacando de un sombrero uno de los nombres impresos. Nuestra pregunta es, cul es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad est por arriba de 35 aos?.-

Utilizando el teorema 1, podemos establecer la respuesta a nuestra pregunta como:

P(mujer o mayor de 35 aos) = P(mujer) + P(mayor de 35 aos) - P(mujer y mayor de 35) =

= + - =

Ejemplo 3.5. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:

a) slo uno de los dos premios, b) ninguno de los dos premios.

Solucin.-

Sean los eventos: A: " ganar el primer premio" y B: "ganar el segundo premio".

Se tiene P(A) = 2/5 , P(B) = 3/8 , y P(A(B) = 3/4.

Sustituyendo estos valores en:

resulta:

Las probabilidades de cada una de las partes de ( se indican en la figura siguiente:

a) la probabilidad de ganar slo uno de los dos premios es:

b) La probabilidad de no ganar ninguno de los premios es:

Ejercicio. De 100 personas que presentaron solicitud para un puesto de analista de sistemas en una empresa grande el ao pasado, 40 tenan alguna experiencia de trabajo (T) y 30 tenan un certificado profesional (C). Sin embargo, 20 de los solicitantes tenan tanto experiencia de trabajo como certificado, y, por ello, estn incluidos en ambos conteos.

a) construya un diagrama de Venn para ilustrar estos eventos.

b) cul es probabilidad de que un solicitante elegido al azar tenga experiencia de trabajo o certificado (o ambos).

c) cul es probabilidad de que un solicitante elegido al azar tenga experiencia de trabajo o certificado, pero no ambos.

3.4.2. Probabilidad condicional.A la probabilidad de que un evento B se d cuando se sabe que algn otro evento A se ha presentado se llama "probabilidad condicional" y se escribe P(B/A). Est expresin, se lee: " probabilidad de que B ocurra dado que ocurri A ".

Definicin. La probabilidad condicional de B, dado A, se define

, si

3.4.3. Regla de multiplicacin.

Teorema 1. Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces

As, la probabilidad de que se presenten ambos es igual a la de que se d A multiplicada por la de que ocurra B, dado que ocurri A.

Tambin se puede escribir:

Teorema 2. Dos eventos A y B son independientes s y slo si:

Es decir, si la ocurrencia (o no-ocurrencia) de un evento no influye en la ocurrencia ( o no-ocurrencia) del otro evento.

Teorema 3. Si en un experimento, los eventos A1, A2, ... , AK , pueden ocurrir, entonces:

Si los eventos A1, A2, ... , AK son independientes, entonces:

Ejemplo 3.6. Dos divisiones de productos distintos de una empresa grande son productos marinos (M) y equipos de oficina (O). Se estima que la probabilidad de que productos marinos tenga un margen de utilidad de cuando menos 10% en este ao fiscal es de 0.30, la probabilidad de que la divisin de equipo de oficina tenga un margen de utilidad de cuando menos 10% es 0.20 y la probabilidad de que ambas divisiones tengan un margen de utilidad de cuando menos 10% es 0.06.

a) Determinar la probabilidad de que la divisin de equipo de oficina tenga un margen de utilidad de cuando menos 10%, dado que la Divisin de productos marinos alcanza ese criterio de utilidad.

b) Aplique una prueba apropiada para determinar si el logro de la meta de utilidades de las dos divisiones es estadsticamente independiente.

Solucin.

a)

b)

Como 0.06 = 0.60, los dos eventos son independientes

Ejemplo 3.7. De doce cuentas que se tiene en un archivo, cuatro contienen un error de procedimiento en la elaboracin de los saldos.

a) Si un auditor elige al azar dos de las 12 cuentas (sin reemplazo), cul es la probabilidad de que las cuentas contenga error de procedimiento?

b) Si el auditor elige al azar dos cuentas (sin reemplazo), cul es la probabilidad de que ninguna de las cuentas contenga error de procedimiento?

c) Si el auditor muestrea tres cuentas, cul es la probabilidad de que ninguna de las cuentas incluya el error?-

d) Si el auditor muestrea dos cuentas al azar, cul es la probabilidad de que cuando menos una de ellas tenga error?Solucin.

a) En este caso los eventos son dependientes porque el resultado de la primera cuenta de la muestra afecta las probabilidades que se aplican a la segunda.

Sean los eventos: E1 : La primera cuenta que se muestrea contiene error.

E2 : La segunda cuenta que se muestrea contiene error.

b)

c)

d) P(cuando menos un error) =

3.4.4. Teorema de Bayes.Teorema 1. (Probabilidad total)Si los eventos B1, B2, ... , Bk constituyen una particin del espacio muestral (, de tal forma que P(Bi) >0 para i =1, 2, ..., k, entonces para cualquier evento A en (,

Ejemplo 3.8. Si hay un aumento en las inversiones de capital el siguiente ao, la probabilidad de que aumente el precio del acero estructural es de 0.90. si no hay aumentos en esa clase de inversiones, la probabilidad de aumento es de 0.40. en forma global, se estima que existe una probabilidad del 60% de que aumenten el siguiente ao las inversiones de capital.

a) Al utilizar I e I para indicar que se dan los aumentos y que no se dan aumentos en las inversiones de capital, y utilizando A y A para representar los aumentos y los no aumentos en los precios del acero estructural, construya un diagrama de rbol para est situacin que implica eventos dependientes.

b) Cul es la probabilidad global de un aumento en el precio del acero estructural del siguiente ao?Solucin.

a)

0.90 A

0.60 I

0.10 A

0.40 A

0.40 I

0.60 A

b)

Teorema 2. (Regla de Bayes)

Si los eventos B1, B2, ... , Bk constituyen una particin del espacio muestral (, de tal forma que P(Bi) >0 para i =1, 2, ..., k, entonces para cualquier evento A en ( tal que P(A) >0,

para i = 1, 2, ... , k

Ejemplo 3.9. Con respecto al ejemplo 3.8, suponga que, de hecho, aumentan los precios del acero estructural en el siguiente ao. Cul es la probabilidad de que haya habido un aumento en las inversiones de capital?.

Solucin. Mediante la frmula de Bayes, tenemos:

Ejercicio. Se estima que la probabilidad de que una compaa B tenga xito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidora la compaa A no interviene en el mercado, y es de 0.15 si la compaa A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendra en el mercado con probabilidad de 0.7.

a) Cul es la probabilidad de que la Ca. B tenga xito? Respuesta: 0.39

b) Si la compaa B no tuviera xito, en cuanto se estima la probabilidad de que A intervenga en el mercado? Respuesta: 0.975

3.5. Variables aleatorias.

Definicin. Una funcin X definida sobre un espacio muestral (, donde cada elemento w ( ( le corresponde un nmero real x = X(w), se denomina variable aleatoria.

Una variable aleatoria puede ser:

Discreta, si el rango de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir,

Continua, si el rango de X, RX , es un intervalo sobre la recta de los nmeros reales.

Ejemplo 3.10. Sea el experimento (: lanzar 3 monedas y observar el resultado.

En este caso tenemos que, ( = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS(.

Sea X: nmero de caras obtenidas en las tres monedas, entonces X as definida es una variable aleatoria que toma los siguientes valores:

X(SSS) = 0

X(CSS) =.X(SCS) = X(SSC) = 1

X(CCS) =.X(CSC) = X(SCC) = 2

X(CCC) = 3

Luego RX = { 0, 1, 2, 3 (.

Ejemplo 3.11. Un lote de artculos grande contiene artculos defectuosos D, y no defectuosos N. Se extrae sucesivamente artculos hasta lograr un artculo defectuoso y definimos X como el nmero de extracciones. Determinar el rango de la v.a X.

Solucin.-

3.6. Distribuciones de Probabilidad de tipo discreto: binomial, Poisson. Caracterstica. Aplicaciones.

3.6.1. Distribucin Binomial.La distribucin binomial es una distribucin de probabilidad discreta aplicable como modelo a diversas situaciones de toma de decisiones, siempre y cuando pueda suponerse que el proceso de muestreo se ajuste a un proceso Bernoulli. Un proceso Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

1) Slo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin. Por conveniencia, a estos resultados se les denomina xito y fracaso.

2) Los resultados del conjunto de ensayo u observaciones, constituyen eventos independientes.3) ) La probabilidad de xito, que se denota mediante p, permanece constante de un ensayo a otro.Puede utilizarse la distribucin binomial para determinar la probabilidad de obtener un nmero determinado de xitos en un proceso Bernoulli. Se requieren tres valores: el nmero especifico de xitos (X), el nmero de ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de xito en cada uno de los ensayos ( p). La frmula para determinar la probabilidad de un nmero determinado de xitos X para una distribucin binomial es:

, donde q = 1 - p

Teorema . Si X.( B(n ,p), entonces,

a) , b)

Ejemplo 3.12. Debido a las elevadas tasas de inters, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar de otras empresas estn vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) ninguna de las cuentas est vencida, b) exactamente dos cuentas estn vencidas, c) a lo ms hay tres cuentas vencidas d) la mayor parte de las cuentas estn vencidas e) exactamente el20% de las cuentas estn vencidas.

Solucin.

Sea la variable aleatoria X: nmero de cuentas vencidas, RX ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (X ~ B(5, 0.3)

a)

b)

c)

d)

e)

Ejemplo 3.13. El Sr. Seminario est a cargo de la seccin de electrnica de un gran centro comercial. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentra curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la seccin de electrnica cada hora.

a) Cul es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada?b) Cul es la probabilidad de que no ms de cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada?c) Cul es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo en una hora dada?d) Cul es el nmero esperado de personas que curiosean compren algo en una hora dada?

Solucin. Sea la v.a X: "el nmero de clientes que curiosean compren algo durante una hora dada".

RX ={ 0, 1, 2, 3, 4, ..., 15 (. X ~ B(15, 0.3)

a) 0.0047b) 0.5154

c)

e) Como n = 15 y p = 0.3, entonces el nmero esperado de personas que compren algo en una hora dada es : E(X) = np = 15x0.3= 4.5 personas.

3.6.2. Distribucin de Poisson.La distribucin de Poisson debe su nombre a Simen Denis Poisson (1781 - 1840), un francs que desarrollo la distribucin a partir de los estudios que realiz durante la ultima parte de su vida.

La distribucin de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentran las llamadas telefnicas que llegan a la central telefnica de la UNP entre las 8 a.m a 12 a.m, la demanda diaria de los pacientes que requieren servicio en el hospital "Cayetano Heredia"-Piura, las llegadas de camiones y automviles a una garita de peaje en una hora punta, el nmero de accidentes regristados en una cierta interseccin de calles durante un mes y el nmero de piezas defectuosas por lote en un proceso de produccin. Estos ejemplos tienen en comn un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.). El nmero de pacientes que llegan al consultorio de un medico en un cierto intervalo de tiempo ser de 0, 1, 2, 3, 4, 5 algn otro nmero entero. De manera parecida, si usted cuenta el nmero de automviles que llegan a una garita de peaje de alguna carretera durante un perodo de 20 minutos, el nmero ser de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y as consecutivamente.

Definicin. Se dice que la variable aleatoria discreta X, cuyos valores posibles son: 0, 1, 2, ... , tiene distribucin de Poisson con parmetro ( (( > 0) y se escribe X ~ P((), si su funcin de probabilidad es:

, x = 0, 1, 2, ... ,

donde ( es el promedio eventos para el tiempo o dimensin especifico de inters.

Teorema. Si X ~ P((), entonces: a) E(X) = ( b) V(X) = (Ejemplo 3.14. Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefnica con un promedio de tres llamadas por minuto.

a) calcular la probabilidad de que en el perodo de un minuto:

a1) no ocurra llamada alguna,

a2) ocurra al menos 4 llamadas.

b) Si cada llamada cuesta S/. 0.50, cunto es el costo esperado por llamadas.

Solucin.

a) Sea X el nmero de llamadas que ocurren en el perodo de un minuto.

X ~ P((), donde ( = 3 es el promedio del nmero de llamadas por minuto.

a1) La probabilidad de que no ocurra llamada alguna en el perodo de un minuto es:

a2) La probabilidad de que ocurran al menos 64 llamadas en el perodo de un minuto es:

b) Sea C el costo por llamada, entonces, C = 0.5 X , y

Ejemplo 3.15. Una empresa textil produce un tipo de tela en rollos de 100 metros. El nmero de defectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson que tiene en promedio 4 defectos por cada 20 metros de tela.

a) Qu probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de tres defectos en los primeros 50 metros?.

b) Hallar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela.

Solucin. Sea X el nmero de defectos encontrados en un segmento de 20 metros de tela que ocurre con promedio ( = 4. La probabilidad de encontrar k defectos en el segmento de metros de tela es:

, k = 0,1, 2, 3, ....,

donde (t es el promedio de defectos en el segmento de 20 x t metros de tela.

a) El promedio de defectos en los primeros 50 metros de tela es (t = 4 x 2.5 = 10 (t = 2.5 aumenta la longitud de 20 a 50 metros) y la probabilidad de que se encuentre menos de tres defectos en los primeros 50 metros de tela es:

b) El promedio de defectos en los primeros 5 metros de tela es (t = 4 x (1/4) = 1 (t = 1/4 reduce la longitud de 20 a 5 metros) y la probabilidad de no encontrar defectos en los primeros 5 metros de tela es:

La distribucin de Poisson como una aproximacin de la distribucin binomial

En algunas ocasiones, si deseamos evitar la tediosa tarea de calcular distribuciones binomiales de probabilidad, podemos utilizar la distribucin de Poisson. La distribucin de Poisson puede ser una razonable aproximacin de la binomial, pero slo bajo ciertas condiciones. Tales condiciones se presentan cuando n es grande y p es pequea, esto es, cuando el nmero de ensayos es grande y la probabilidad binomial de tener xito es pequea.

La distribucin de Poisson es una buena aproximacin de la distribucin binomial cuando n ( 20 y p ( 0.05. En los casos en que se cumplen estas condiciones, podemos sustituir la media de la distribucin binomial (np) en lugar de la media de la distribucin de Poisson ((), de modo que la formula queda:

Ejemplo 3.16. El U.S. Bureau of Printing and Engraving (Departamento de Impresiones y grabados) de Estados Unidos es el responsable de imprimir papel moneda en aquel pas. El departamento tiene una impresionantemente baja frecuencia de errores de impresin; slo 0.5% de los billetes presentan errores graves que no permiten su circulacin. Cul es la probabilidad de que de un fajo de 1000 billetes ms de 9 presenten errores que no permitan su circulacin?-

Solucin.Sea X el nmero de billetes que presentan errores que no permitan su circulacin en el fajo de 1000 billetes. Los posibles valores de X son 0, 1, 2, 3,..., 1000 y se distribuyen segn el modelo binomial: B(1000, 0.005), esto es:

x = 0, 1, 2,..., 1000

La probabilidad de que ms de 9 de los billetes presenten errores es:

= 1- 0.969 = 0.031

Si utilizamos la distribucin de Poisson como aproximacin a la distribucin binomial, se tiene:( = np = 1000(0.005) = 5

y

= 1 - 0.968 = 0.030

Como podemos darnos cuenta, diferencia entre las dos distribuciones de probabilidad es pequea (slo de aproximadamente 3% de error en este ejemplo).

3.7. Distribuciones de Probabilidad de tipo continuo. Normal, Caracterstica. Aplicaciones.

3.7.1. Distribucin Normal.

Hasta este del captulo, nos hemos ocupado por el anlisis de las distribuciones de probabilidad discretas. En la presente seccin fijaremos nuestra atencin a los casos en que la variable puede tomar cualquier valor que ste en un intervalo de valores dado, y en los cuales la distribucin de probabilidad es continua.

Una distribucin de probabilidad continua que es muy importante es la distribucin normal. Varios matemticos han contribuido a su desarrollo, entre los que podemos contar al astrnomo -matemtico del siglo XIX Karl Gauss. En honor a su trabajo, la distribucin de probabilidad normal a menudo tambin se le lama distribucin gaussiana.

Existen dos razones bsicas por las cuales la distribucin normal ocupa un lugar tan prominente en la estadstica. Primero, tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran nmero de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. Segundo, la distribucin normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenmenos, incluyendo caractersticas humanas (pesos, alturas, IQ), resultados de procesos fsicos (dimensiones y rendimientos) y muchas otras medidas de inters para los administradores, tanto en el sector pblico como en el privado.

3.7.1.1. Definicin. Se dice que la variable aleatoria X tiene distribucin normal con media ( y varianza (2, y se escribe X ~ N((,(2), si su funcin de densidad es dada por:

donde , ( > 0. Su grfica es la figura siguiente.

f(x)

( X

Figura 3.2. Grfica de la funcin de densidad normal

Observe durante un momento la figura 3.2. Este grfico pone de manifiesto varias caractersticas importantes de una distribucin normal de probabilidad.

1. La curva tiene un pico, por tanto, es unimodal. Tiene la forma de campana.

2. La curva es simtrica con respecto al eje vertical X = (.3. Debido a la simetra la distribucin normal, la mediana y la moda de la distribucin se encuentran tambin en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.

4. Los dos extremos de la distribucin normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal (desde luego, esto es imposible de mostrar de manera grafica).

5. El rea bajo la curva normal es 1.

3.7.1.2. Distribucin normal estndar y uso de la tabla normal.Considerando la diversidad de variables cuya distribucin es aproximadamente normal, se hace necesario emplear una funcin densidad normal que sea independiente de los valores y unidades que puedan tomar dichas variables. Para esto se define la variable estandarizada, z, de la siguiente forma:

que mide el nmero de desviaciones estndares que un valor x se desva de la media (.

Para est variable estandarizada, se define la funcin de densidad estandarizada:

La variable estndar Z tiene media igual a cero y la varianza igual a 1.

((z)

z

0

Figura 3.3. Curva normal estandarizada.

Adems, funcin de distribucin acumulada de la normal estndar es:

( (z)

Z 0 z

Figura 3.4. rea bajo la curva normal estandarizada.

No es necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. En lugar de ello podemos utilizar la distribucin de probabilidad normal estndar para encontrar reas (probabilidades) bajo cualquier curva normal.

Si la variable aleatoria X tiene distribucin N((,(2), entonces, la variable aleatoria Z = (X - ()/( tiene distribucin N(0,1).

Luego,

Ejemplo 3.17. Utilizando la tabla de probabilidad normal estndar, hallar:

a) P( Z ( 1.2) b) P(0.81 ( Z ( 1.94) c) P(Z ( -1.28) d) P(-0.46 ( Z ( 2.21)

e) P(-2.04 ( Z (-1.98) f) P(Z ( -0.68)

Solucin .

a) Directamente de la tabla normal estndar se obtiene: P( Z ( 1.2) = 0.5 + P( 0 ( Z ( 1.2) = 0.5 + 0.38849 = 0.8849

0.8849

Z 0 1.2

b) P(0.81 ( Z ( 1.94) = P(0 ( Z ( 1.94) - P( 0 ( Z ( 0.81) =

Z -3 0 0.81 1.94 3

c) P(Z ( -1.28) =

Z -3 -1.28 0 3

d) P(-0.46 ( Z ( 2.21) =

Z -3 -0.46 0 2.21 3e) P(-2.5 ( Z (-1.98) =

Z -3 - 2.5 -1.98 0 3f) P(Z ( -0.68) =

Z -3 -0.68 0 3Ejemplo 3.18. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviacin estndar de 3.8 minutos. Asuma que la distribucin de los tiempos de traslado est normalmente distribuida.

a) Cul es la probabilidad de que un traslado le tome al menos 1/2 hora?-

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y l sale de su casa a las 8:45 a.m. diariamente, qu porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?-

c) Si deja su casa a las 8:35 a.m. y en la oficina entre las 8:50 y las 9:00 a.m., cul es la probabilidad de que se pierda el caf?-

d) Encuentre el perodo arriba del cual se encuentra el 10% de los traslados ms lentos.

Solucin.

Sea la v.a X: tiempo que dura el traslado de un abogado desde su casa a la oficina.

Se sabe adems que X ~ N[24, (3.8)2]

a)

EMBED Equation.3 b)

c)

d) Sea x0 el perodo de tiempo arriba del cual se encuentra el 10% de los traslados ms lentos.Es decir que:

X

24 X0 Z

0 1.28

Luego:

Se observa en la tabla de la normal estandariza que , de donde resulta:28.86 minutos

Ejercicio. Investigaciones hechas por la federal Deposit insurance Corporation muestran que el tiempo de vida de una cuenta de ahorros regular que se tiene en uno de los bancos miembros de la corporacin es de 24 meses en promedio, con una desviacin estndar de 7.5 meses. Si los tiempos de vida de las cuentas de ahorros estn distribuidos aproximadamente en forma normal,

a) Si un depositante abre una cuenta en un banco miembro de la corporacin, cul es la probabilidad de que todava haya dinero en la cuenta despus de 28 meses?-

b) Cul es la probabilidad de que la cuenta sea cerrada antes de un ao?-

Aproximacin Normal a probabilidades Binomiales.

Cuando el nmero de observaciones o ensayos n es relativamente grande, puede utilizarse la distribucin normal para aproximar las probabilidades binomiales. Una regla aceptable para determinar cuando puede utilizarse la aproximacin normal a las probabilidades binomiales es tener en cuenta que tanto np ( 5 como nq ( 5.

Hemos visto que cuando p es muy pequea y n es grande, la aproximacin de Poisson a la Binomial es buena.

Ejemplo 3.19. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 100 personas han contrado est enfermedad, cul es la probabilidad de que menos de 30 sobrevivan?.-

Solucin.Sea la variable aleatoria binomial X que representa el nmero de pacientes que sobreviven.

Los posibles valores de X son 0, 1, 2, 3, ..., 100. en este caso la distribucin binomial es:

x = 0, 1, 2,..., 100

Dado que n =100 es grande, deben obtenerse resultados bastantes precisos utilizando la aproximacin de la curva normal con:

y

Entonces la probabilidad de que menos de 30 pacientes de 100 sobrevivan, es:

3.7.2. Distribucin Chi-Cuadrado.

Definicin.- Se dice que la variable aleatoria continua X se distribuye segn Chi-cuadrado con r grados de libertad, y se representa por X ~ (2(r), si su funcin de densidad es:

donde r es un nmero entero positivo.

f((2)

r=1

r=6

r=15

0 10 20 (2

Figura 3.5. Grfica de la distribucin chi-cuadrado.Si X ~ (2(r) entonces, su media y su varianza respectivamente son:

( = E(X) = r y (2 = V(X) = 2rSi la variable aleatoria X ~ (2(r), entonces, en la tabla de probabilidades chi-cuadrado se puede encontrar una probabilidad 1 - ( o un valor (2 (1-(, r) , mediante la relacin

f((2)

Figura 3.6. rea bajo la curva 1 - ( chi - cuadrado.

0 (2 (1-(, r) (2 Ejemplo 3.20. Si X ~ (2(26), determinar:

a) , b) , c) d)

Solucin.-

a) = 0.10b) =

c) =

d) =

Ejemplo 3.21. Si X ~ (2 (r), hallar:

a) a tal que , si r = 30

b) a y b tales que , , si r = 13

c) a tal que , si r = 8

Solucin.

a) Directamente se observa de la tabla chi, que a = 53.672

b) De , se tiene resultando b = 24.7356

Por otra parte, ,

de donde resulta,

, entonces , a = 5.01.

c) Por interpolacin se tiene a = 1.8267

3.7.3. Distribucin t de Student.Definicin. La variable aleatoria continua T se distribuye segn t-student con r grados de libertad y se representa por T ~ t (r), si su funcin de densidad es,

,

donde r es un nmero positivo.

La grfica de la distribucin t se representa en la figura 3.6.

T

0

Figura 3.7. Grfica de la distribucin t - Student.

La distribucin t- Student tiene las siguientes propiedades:

Si la v.a T ~ t (r), entonces su media y su varianza son respectivamente:

, r > 2.

Su grfica tiene forma de campana de Gauss, simtrica en cero.

La varianza de la distribucin t es mayor que de la distribucin N(0, 1). Pero cuando , la varianza de la t tiende a 1.

La distribucin t se aproxima a una distribucin N(0, 1), cuando . La aproximacin es buena, si .

Si la v.a T ~ t(r), en la tabla de probabilidades t-Student se puede encontrar una probabilidad 1-( o un valor t(1-(, r) , mediante la relacin

1 - (

(

T

0 t(1-(, r)Figura 3.8. rea de la distribucin t.

Ejemplo 3.22. Si T tiene distribucin t-Student con 18 grados de libertad, hallar:

a) b) c) d) e)

Solucin.

a) = 0.05

b) = 1- =

c) = =

d) =

e) Por interpolacin resulta

Ejemplo 3.23. Si X tiene distribucin t con 10 grados de libertad, hallar el valor c tal que:

a) b) c)

d) e)

Solucin.

a) , entonces, c = 2.764

b) , implica, , luego c = 3.169

c) ,

d) , implica, , luego c =

e) Por interpolacin se obtiene c = 1.548

3.7.4. Distribucin F.Definicin. Se dice que una variable aleatoria contina X tiene distribucin F con r1 y r2 grados de libertad y se representa por X ~ F(r1, r2), si su funcin de densidad es:

,

donde r1 y r2 , son nmeros enteros positivos. Su grfica es la figura 3.8.

f(x)

1.0

F(2,4)

F(10,2)

0.5 F(12, 15)

X

0 1 2 3 4 5

Figura 3.9. Grfica de la distribucin F.

Si la variable aleatoria X ~ F(r1, r2), en la tabla de probabilidades F se puede encontrar una probabilidad 1-( o un valor , mediante la relacin:

Para determinar valores de F correspondientes a reas 1- ( = 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, o para determinar valores de se usa el teorema siguiente:

Teorema. Si X ~ F(r1, r2), entonces, 1/ X tiene distribucin F con grados de libertad r2 y r1, es decir,

Ejemplo 3.24. Si X ~ F (4, 5) hallar:

a) b) c) d)

Solucin.

a) = 0.01

b) = 1- =

c) Por interpolacin: resulta

d)

Debemos calcular . En efecto, tenemos:

donde . Luego

Ejemplo 3.25. Si X ~ F (6, 10) , hallar el valor de c tal que:

a) b) c)

Solucin.

a) , entonces c = 5.39

b) De , se obtiene , luego se tiene, c =

c) , implica que .

Si U y V son dos variables aleatorias independientes tales que EMBED Equation.3 y EMBED Equation.3 , entonces, la variable aleatoria:

EMBED Equation.3

tiene distribucin F con r1 y r2 grados de libertad.

" Si Z y V son dos variables aleatorias independientes tales que Z est normalmente distribuida con media cero y varianza 1, y V est distribuida como chi-cuadrado con r grados de libertad, entonces, la variable aleatoria

EMBED Equation.3

tiene distribucin t- Student con r grados de libertad"

(

A B

A ( B

PAGE

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