FORMULARIO DE PROBABILIDAD Josué García Ávila

 Axiomas  de  la  probabilidad    

1.  Si  A  es  un  evento,  P A es  un  número  real  tal  que  0≤P A ≤1  2.  Si  A  y  B  son  e  eventos  ajeno  o  disjuntos   mutuamente  excluyentes    

e𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠  𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)  𝑆𝑖  Ω  𝑒𝑠  𝑒𝑙  𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜  𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠  𝑃 Ω = 1  

 Algunas  propiedades  útiles  de  los  conjuntos  𝐴 ∩ ∅ = ∅   𝐴 ∩ 𝐴! = ∅  𝐴 ∪ ∅ = 𝐴     ∅! = Ω  Ω! = ∅   (𝐴 ∪ 𝐵)! = 𝐴! ∩ 𝐵!  

(𝐴 ∩ 𝐵)! = 𝐴! ∪ 𝐵!   𝐴 ∪ 𝐴! = Ω    

P E =número  de  casos  favorablestotal  de  casos  posibles

 

 𝑆𝑖  𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠  𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)  

 𝑃𝑎𝑟𝑎  𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎  𝑑𝑜𝑠  𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠  𝐴,𝐵, 𝑠𝑒  𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎  

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)    

A  y  B  son  independientes  si  y  sólo  si  P A∩B =P A P(B)    

𝑃𝑎𝑟𝑎  𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟  𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜  𝐸,𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐸! = 1    

𝑃 ∅ = 0    

𝑃 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵!    

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙  𝑃 𝐴 𝐵 =  𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑃(𝐵)

 

 𝐴  𝑦  𝐵  𝑠𝑜𝑛  𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠  𝑎𝑗𝑒𝑛𝑜𝑠   𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒  𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠  

si  y  sólo  si  A∩B=∅    

PERMUTACIONES  

𝑛𝑃𝑟 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 𝑛 − 𝑟 + 1 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!  

COMBINACIONES  

𝑛𝐶𝑟 =𝑛𝑟 =

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 𝑛 − 𝑟 + 1𝑟! =

𝑛!𝑟! (𝑛 − 𝑟)! =

𝑛𝑃𝑟𝑟!  

 𝑛𝑟 =

𝑛𝑛 − 𝑟  

1  𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞  𝐚𝐥𝐞𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚  𝐝𝐢𝐬𝐜𝐫𝐞𝐭𝐚  (vad)  

𝑃 𝑥 = 1  

Media-­‐Valor  esperado-­‐Esperanza,  𝜇 = 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑃 𝑥  

Varianza-­‐Variancia-­‐Desviación  cuadrática  media,  𝜎! = 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑉 𝑥 = 𝑥 − 𝜇 !𝑃 𝑥  

Desviación  estándar-­‐típica,  

𝜎 = + 𝜎! = 𝑥 − 𝜇 !𝑃 𝑥  

 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒  𝑑𝑒  𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛,  𝐶𝑣 = !

!×  100  (en  %)  

 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎,  

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =12

!

!  

 𝑀𝑜𝑑𝑎,  

𝑀𝑜 = 𝐸𝑠  𝑒𝑙  𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟   𝑒𝑠  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒  𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎  𝑞𝑢𝑒  𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒  𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟  𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑜  𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟  𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎  𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎  

   

                                                                                                               

 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆  𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂  𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂  (vac)  

𝑓(𝑥)  es  la  función  de  densidad  de  probabilidad  (fdp)  

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =!

!!1  

Función  de  distribución  acumulada  (fda),    

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡!

!!  

Media-­‐Valor  esperado-­‐Esperanza,  

𝜇 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!!  

Varianza-­‐Variancia-­‐Desviación  cuadrática  media,  

𝜎! = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑉 𝑋 = 𝑥 − 𝜇 !𝑓 𝑥!

!!𝑑𝑥 = 𝑥!𝑓 𝑥

!

!!𝑑𝑥 − 𝜇!  

Desviación  estándar-­‐típica,  𝜎 = + 𝜎!  

 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙    𝑃 𝐵 𝐴 =

𝑃 𝐵 (𝑃 𝐴 𝐵𝑃(𝐴)

 

   𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎  𝜇 = !"

!  

 

Hipergeométrica    (Muestreo  sin  reposición)  

ℎ 𝑥;𝑁,𝑛, 𝑘 =!!

!!!!!!!!

   𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎  𝜎! =𝑛𝑘(𝑁 − 𝑘)(𝑁 − 𝑛)

𝑁!(𝑁 − 1)  

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎  𝜇 = 𝑛𝑝    

Binomial  (Muestreo  con  reposición)  𝑏 𝑥;𝑛, 𝑝 =

𝑛𝑥𝑝!𝑞!!! ,    

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒  𝑞 = 1 − 𝑝  𝑦  𝑥 = 0,1,2,… ,𝑛  𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎  𝜎! = 𝑛𝑝𝑞  

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎  𝜇 =𝑘𝑝   Binomial  Negativa  (Pascal)  

𝑏∗ 𝑥; 𝑘, 𝑝 =𝑥 − 1𝑘 − 1

𝑝!𝑞!!! ,  𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1,…  𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎  𝜎! =

𝑘𝑝1𝑝− 1    

Geométrica  𝑔 𝑥; 𝑝 = 𝑝𝑞!!!  

Geométrica  acumulada  

𝑔 𝑥; 𝑝 =!

!!!

 1 − 𝑞!  

 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎  𝜇 = 𝜆    

Poisson  

℘ 𝑥; 𝜆 =𝑒!!𝜆!

𝑥!,  

 𝑥 = 0,1,2…  𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎  𝜎! = 𝜇  

   

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙  𝑎  𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛   𝑛  𝑒𝑠  𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒  𝑦  𝑝  𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑎  𝑏 𝑥;𝑛, 𝑝 → ℘ 𝑥; 𝜇 , 𝜇 = 𝑛𝑝  

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙  𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙   𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜  𝑛𝑝 ≥ 5  𝑦  𝑛𝑞 ≥ 5  𝑏 𝑥;𝑛, 𝑝 → 𝑛 𝑥; 𝜇,𝜎 , 𝜇 = 𝑛𝑝,𝜎 = 𝑛𝑝𝑞    

(𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟  𝑞𝑢𝑒  𝑎𝑞𝑢𝑖  𝑠𝑒  𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎  𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑖ó𝑛  𝑝𝑜𝑟  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑)  

Aproximación    Hipergeométrica  a  Binomial    

ℎ 𝑥;𝑁,𝑛, 𝑘 =!!

!!!!!!!!

→ 𝑏 𝑥;𝑛,𝑘𝑁    

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑑𝑎  𝑠𝑖  𝑁 ≫ 𝑛    𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒  𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙  𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎  𝑦  𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙    

𝑏∗ 𝑥; 𝑘, 𝑝 =𝑘𝑥𝑏 𝑘; 𝑥, 𝑝  

Desigualdad  de  Chébyshev    

𝑃 𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎 ≥ 1 −1𝑘!  

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙    𝑛!

𝑥!! 𝑥!!⋯ 𝑥!!𝑝!!!𝑝!

!!⋯ 𝑝!!!  

Tipificación  de  la  normal      

𝑧 =𝑥 − 𝜇𝜎