ESTADSTICA, DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y PERIODOS DE
RETORNO
UNIVERCIDAD NACIONALCURSO: HIDROLOGIASANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
PROF: ABELARDO DIAZ S.UNIVERCIDAD NACIONALCURSO: HIDROLOGIASANTIAGO
ANTUNEZ DE MAYOLO PROF: ABELARDO DIAZ S.
UNIVERCIDAD NACIONALCURSO: HIDROLOGIASANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
PROF: ABELARDO DIAZ S.
INTRODUCCIN
Debido a que la toma de datos se realiza de una muestra
representativa, la hidrologa utiliza los conceptos de probabilidad
y estadstica, para estimar los parmetros de la poblacin del
conjunto de datos a partir de las caractersticas de la muestra,
adems de realizar una proyeccin probable de la posible ocurrencia
de algn fenmeno.En el presente trabajo se calcularn las principales
caractersticas de un conjunto de datos obtenidos de las estaciones
de Quillcay, Querococha y Olleros.La importancia de la elaboracin
de la estadstica de los datos de caudales mximos anuales reside en
la utilidad como herramienta para la toma de decisiones.
EL GRUPO
ContenidoINTRODUCCIN1ESTADSTICA, DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Y PERIODOS DE RETORNO1I.OBJETIVOS1II.1III.MARCO
TEORICO13.1.CONCEPTO DE ESTADSTICA13.2.- ESTADSTICA DESCRIPTIVA E
INFERENCIAL23.3.- CONCEPTOS BSICOS DE ESTADSTICA33.4.- OBTENCIN DE
DATOS. FUENTES, CENSOS, ENCUESTAS, REGISTROS43.5.-
VARIABLES5CATEGORAS DE UNA VARIABLE53.6.- PRESENTACIN DE DATOS6La
codificacin tabulacin:63.7.- TABLAS DE FRECUENCIAS6- TABLAS DE
FRECUENCIAS SIMPLES7- FRECUENCIAS ACUMULADAS.8- TABLAS DE
FRECUENCIAS PARA VALORES AGRUPADOS83.8.- HERRAMIENTAS DE LA
ESTADISTICA113.8.1.- HISTOGRAMA Y POLGONOS DE FRECUENCIA113.8.2.-
MEDIA123.8.3.- MEDIANA123.8.4.- MODA133.8.5.- DESVIACIN DE LA
MEDIA133.8.6.- DESVIACIN ESTNDAR Y VARIANCIA143.8.7.-
COVARIANZA143.8.8.- COEFICIENTE DE CORRELACIN143.8.9.- COEFICIENTE
DE VARIACIN153.8.10.- DESVIACIN ESTNDAR MUESTRAL.153.9.-
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA163.11.- ANALISIS DE
FRECUENCIA193.12.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
CONTINUAS203.12.1.- DISTRIBUCION NORMAL203.12.2.- DISTRIBUCION
LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS213.12.3.- DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA
TIPO I233.12.4.- DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON
TIPO 3244.12.5.- DISTRIBUCION LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3
PARAMETROS26IV.CALCULOS Y
RESULTADOS:27V.CONCLUSIONES32VI.RECOMENDACIONES32VII.REFERENCIAS
BIBLIOGRFICAS32
ESTADSTICA, DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y PERIODOS DE
RETORNO
OBJETIVOS
Objetivo General
Elaborar la Estadstica de los Datos de los Caudales medios
AnualesObjetivos Especficos
Conocer las caractersticas Principales de los datos de los
Caudales medios Anuales, utilizando los mtodos estadsticos. Conocer
los Caudales medios Instantneos Anuales y las Probabilidades de las
mismas. Realizar la tabla de frecuencias. Determinar le funcin de
distribucin de probabilidad adecuado.
MARCO TEORICO
1.1. CONCEPTO DE ESTADSTICA
La Estadstica tiene por objeto la recoleccin, presentacin,
anlisis e interpretacin de observaciones o mediciones hechas sobre
un conjunto de objetos, personas, procesos, fenmenos, etc.Dos
corrientes de influencia han conducido al desarrollo de los mtodos
estadsticos. Una de ellas, tena por objeto mantener en orden
registros del gobierno (de hecho, estado y estadstica vienen de la
misma raz latina, status).
En Hidrologa es Costumbre trabajar con los datos como los
mostrados en el Cuadro N 01, estos datos son recopilados de las
oficinas como del Servicio Nacional de Meteorologa e
Hidrologa-SENAMHI en el Per.Los datos tienen 2 Partes: La fecha de
suceso, en este caso los aos, y los nmeros que representan la
ocurrencia o suceso de una variable hidrometerolgica (Datos
Observados y medidos), que son las descargas mximas instantneas
anuales en este caso.[footnoteRef:1] [1: Estadstica y Probabilidad
en la Hidrologa Ing. Abelardo M. Daz Salas - Pag.27.]
CUADRO N 1.1.1.:[footnoteRef:2] [2: Estadstica y Probabilidad en
la Hidrologa Ing. Abelardo M. Daz Salas - Pag.28]
DESCARGAS MXIMAS INSTANTNEAS ANUALES DEL RIO QUEROCOHA
AOQAOQAOQ
1953-19546.941963-19645.881973-19747.48
1954-19557.951964-19659.11974-197510.72
1955-19566.51965-19666.521975-197610.21
1956-19576.771966-19679.81976-19778.97
1957-19586.391967-19684.931977-19788.13
1958-19596.261968-19693.981978-19798.96
1959-19608.91969-19706.871979-19804.89
1960-196181970-19716.71980-19819.4
1961-19629.41971-19728.91981-198210.78
1962-19637.561972-19735.8
3.2.- ESTADSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL
LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA, es la rama de la Estadstica dedicada
a descubrir las regularidades o caractersticas existentes en un
conjunto de datos mediante la utilizacin de grficos y de medidas
numricas de resumen. La estadstica descriptiva resume y transforma
datos para poder interpretar la informacin.LA ESTADSTICA
INFERENCIAL, permite mediante la utilizacin de mtodos estadsticos
basados en la teora de las probabilidades, generalizar las
conclusiones obtenidas a partir de una muestra a la poblacin de la
que ha sido extrada. Es importante destacar que para que las
conclusiones sean vlidas, la muestra debe ser representativa de la
poblacin.
3.3.- CONCEPTOS BSICOS DE ESTADSTICALa estadstica est compuesta
por mtodos cientficos mediante los cuales podemos recolectar,
organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un
conjunto de individuos u observaciones que nos permiten extraer
conclusiones vlidas y efectuar decisiones lgicas basadas en dichos
anlisis. En cualquier trabajo en el que se aplique, la estadstica
debe hacer referencia a un conjunto de entidades, conocido como
poblacin.POBLACIN O UNIVERSO:Es la fuente de observacin o de los
datos, por ejemplo el numero de datos de la poblacin formada por
las descargas mximas anuales de la estacin de Querococha es
infinito, porque se considera a las Descargas mximas Instantneas
Anuales desde el Primer Suceso de la Descarga Mxima instantnea
anual en esta estacin de aforo; como es lgico, nunca se podrn
contabilizar la totalidad de estos datos. [footnoteRef:3] [3:
Estadstica y Probabilidad en la Hidrologa Ing. Abelardo M. Daz
Salas Pag.30]
MUESTRA:Es el conjunto de Observaciones (datos) que se obtienen
de una fuente de observacin (Poblacin). El nmero de datos de una
muestra es finito[footnoteRef:4] [4: Estadstica y Probabilidad en
la Hidrologa Ing. Abelardo M. Daz Salas Pag.29]
UNIDAD DE ANLISIS: es el objeto del cual se desea obtener
informacin. Muchas veces nos referimos a las unidades de anlisis
con el nombre de elementos. En estadstica, un elemento o unidad de
anlisis puede ser algo con existencia real, como un automvil o una
casa, o algo ms abstracto como la temperatura o un intervalo de
tiempo. Dada esta definicin, puede redefinirse poblacin como el
conjunto de unidades de anlisis.
3.4.- OBTENCIN DE DATOS. FUENTES, CENSOS, ENCUESTAS,
REGISTROS
CENSO: Es un mtodo de recoleccin de datos mediante el cual la
informacin se obtiene relevando la totalidad de los elementos que
componen la poblacin o universo bajo estudio.ENCUESTAEs un mtodo de
recoleccin mediante el cual la informacin se obtiene relevando slo
un subconjunto de elementos del universo en estudio, que permite
obtener informacin sobre el mismo. REGISTRO ADMINISTRATIVOEs un
procedimiento de recoleccin por el cual un servicio administrativo
obtiene informacin para sus propios fines.ESTACION HIDROLOGICAPara
el caso, de estudio de la hidrologa, se obtienen los datos
mustrales, a travs de una estacin hidrologa.3.5.- VARIABLES
Las variables son caractersticas observables de algn fenmeno que
son susceptibles de cambio o variacin en relacin al mismo objeto o
a diferentes objetos de la poblacin. Ejemplos de variables son:
edad, ingreso de un individuo, sexo, cantidad de lluvia cada,
etc.CATEGORAS DE UNA VARIABLECada unidad de anlisis asume un valor
o categora en cada una de las variables estudiadas. Por ejemplo:
para la variable sexo los valores o categoras posibles son
masculino y femenino, para la variable tipo de escuela podran ser:
mbito pblico, mbito privado, etc.Las categoras de una variable
deben cumplir con dos requisitos indispensables: deben ser
exhaustivas y excluyentes. 3.6.- PRESENTACIN DE DATOS
Terminada la etapa de relevamiento, se cuenta con una masa de
datos individuales, sin agrupacin alguna y carentes en un primer
momento de significacin estadstica.La etapa siguiente es la
clasificacin y agrupacin de los datos recogidos referentes a cada
variable objeto de estudio. La clasificacin comprende dos
operaciones fundamentales: La codificacin tabulacin:La codificacin
consiste en asignar a todas y cada una de las categoras que
comprende un cuestionario los nmeros y signos correlativos que sean
precisos, segn el procedimiento de tabulacin empleado, para hacer
posible la agrupacin de los datos. La codificacin permite
reemplazar por nmeros todos los datos del cuestionario. De su
realizacin correcta depende que en la tabulacin no haya errores ni
resulte falseada o viciada la distribucin de datos. La codificacin
incluye adems la categorizacin de preguntas abiertas.Una vez
procesados los datos relevados, se analiza esa informacin emprica.A
esta etapa se la subdivide en: el anlisis de los datos obtenidos y
procesados (aplicando un conjunto de instrumentos estadsticos, como
por ejemplo lecturas porcentuales, medidas de tendencia central, de
dispersin, etc.) y en la interpretacin de los datos (explicar los
datos, darles sentido y corroborar las hiptesis planteadas).
Presentar informaciones estadsticas significa ordenar datos en
forma tal que el conjunto sea fcilmente comprensible, es una forma
de compendiar cifras segn un ordenamiento preestablecido. La
finalidad principal consiste en brindar la informacin con claridad,
uniformidad y en un reducido espacio para que facilite el
entendimiento y anlisis de las cifras.3.7.- TABLAS DE
FRECUENCIAS
La primera operacin a realizar cuando se trabaja con variables
es contabilizar el nmero de casos que pertenecen a cada una de las
categoras de las variables. Esto puede realizarse organizando
tablas que sinteticen los datos originales o valores observados.
Una distribucin de frecuencias es una tabla que presenta en forma
ordenada los distintos valores de una variable y sus
correspondientes frecuencias. Se define como frecuencia absoluta al
nmero de veces que se presenta cada valor de la variable en el
conjunto de datos observado.- TABLAS DE FRECUENCIAS SIMPLESDe
acuerdo al nivel de medicin de las variables, las tablas de
frecuencia presentan caractersticas particulares.Mediante un
ejemplo veremos la presentacin de una tabla de frecuencias simples
para una variable discreta. Consideremos la variable "nmero de
cuartos por hogar" segn datos de la Encuesta Permanente de Hogares
para la ciudad de Formosa.Nmero de cuartos por hogarFrecuencia
absolutaFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia relativa
acumulada
-1-2-3-4-5
11440,2141440,214
22250,3343690,548
31740,2595430,807
4880,1316310,938
5420,0626731,000
6731,000--
En la columna (1) se observan los valores que toma la variable
"nmero de cuartos por hogar", cuyo campo de variabilidad o
recorrido es de 1 a 5.En la columna (2) se ha colocado la cantidad
de hogares u observaciones correspondientes a cada valor de la
variable, es decir la Frecuencia Absoluta que presenta cada valor
de la misma. Si sumamos esta columna se obtiene la cantidad total
de hogares.Luego, en la columna (3) se calcula el cociente de cada
uno de los valores de la columna (2) respecto al total de hogares.
Llamamos a estos valores frecuencias relativas. Las frecuencias
relativas representan la importancia relativa de cada valor de la
variable en el total de casos.En la columna (4) se suman los
hogares acumulados hasta cada uno de los valores de la variable.
Por ejemplo: si queremos saber cuntos hogares hay que tienen como
mximo 2 cuartos, se observa que se acumulan 369, o sea, 144 hogares
con un cuarto y 225 con 2 cuartos. Estos valores se denominan -
FRECUENCIAS ACUMULADAS.Finalmente, en la columna (5) se efecta el
cociente entre los valores de la columna (4) y el total de hogares,
lo que nos indica el peso relativo de los casos acumulados hasta
cada uno de los valores de la variable, y llamamos a esta columna
frecuencia relativa acumulada.- TABLAS DE FRECUENCIAS PARA VALORES
AGRUPADOSEn el caso de tener una variable discreta con muchas
categoras o de tratarse de una variable continua, ser necesario
fijar intervalos de clase para llegar a un resumen efectivo de la
informacin original. Esta informacin se presenta en una tabla de
frecuencias para datos agrupados. Definimos como intervalos de
clase a las subdivisiones o intervalos en que se divide el dominio
o campo de variabilidad de la variable, de modo tal que cada
intervalo est compuesto por tramos del recorrido de la misma. Por
ejemplo, si se estudia la distribucin por edad de la poblacin de un
pas se est en presencia de una variable que toma muchos valores
distintos. Estos valores se pueden agrupar en intervalos de clase
tomando tramos de edades que cubran todo el recorrido de la
variable. Se podran definir, por ejemplo, los siguientes intervalos
de clase:0 a 10 aos, 11 a 20 aos, 21 a 30 aos, etc.Llamamos lmites
de clase a los valores que definen los extremos de un intervalo.
Por ejemplo: el intervalo 0 a 10 aos, tiene como lmites a los
valores 0 y 10.La amplitud del intervalo estar dada por la
diferencia entre el lmite superior y el lmite inferior. Cada
intervalo tendr tambin lo que se llama marca de clase, que es el
punto medio del mismo.Cuando los datos se agrupan en intervalos, el
problema fundamental es pensar en una amplitud adecuada para los
mismos. La amplitud de los mismos est vinculada estrechamente con
la cantidad de intervalos considerados. Generalmente se aconseja
que las tablas de frecuencias tengan entre 5 y 15 intervalos de
clase, de modo que no haya tantos como para que no sea manejable la
tabla, ni tan pocos como para que la amplitud sea tan grande que
haga perder informacin. Para calcular la amplitud de intervalo
necesaria, se busca primero la amplitud o rango de la variable, es
decir la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que
toma la variable, y luego, el resultado se divide por la cantidad
de intervalos que se quieran formar.Puede ocurrir que se necesite
la informacin agrupada en intervalos con una amplitud determinada;
en este caso, conociendo la amplitud, se divide el rango y se
obtiene la cantidad de intervalos.Ejemplo: en una empresa se obtuvo
la edad de los empleados del sector productivo. Las observaciones
se ordenaron y organizaron en la siguiente tabla:
Intervalo de claseMarca de claseFrecuencia absolutaFrecuencia
relativaFrecuencia absoluta acumuladaFrecuencia relativa
acumulada
20232210,00510,005
24272630,01540,020
28313090,045130,065
323534300,150430,215
363938600,3001030,515
404342520,2601550,775
444746350,1751900,950
485250100,0502001,000
Total2001,000
Tabla de frecuencias
Los datos se clasifican de la siguiente forma:
a) Ordenar los datos en forma descendente.b) Calcular el rango o
la amplitud de la muestra con la siguiente ecuacin.
c) Calcular el nmero de intervalos de clase con la ecuacin de
Sturges.
Dnde:k: nmero de intervalo de clase.n: nmero de datos de la
muestra.
d) Calcular la amplitud de cada intervalo de clase; con la
siguiente frmula.
e) Calcular los lmites de clase de cada intervalo de clase.
Dnde:
f) Calcular las marcas de clase.
g) Tabular la tabla de frecuencia.
N de clase o intervalo de claseIntervalo de claseMarca de
clase
Frecuencia absoluta
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa acumulada
Funcin densidad emprica
1
2
k
h) Graficamos las siguientes distribuciones:
Distribucin de frecuencias absolutas.
Histograma de frecuencias absolutas.Polgono de frecuencias
absolutas.
Distribuciones de frecuencias relativas.
Histograma de frecuencias relativas.Polgono de frecuencias
relativas.
Distribuciones de frecuencias absolutas acumuladas (ojiva).
Distribuciones de frecuencias relativas acumuladas (ojiva).
Funcin de densidad emprica.
Funcin de densidad Terica.
3.8.- HERRAMIENTAS DE LA ESTADISTICA
3.8.1.- HISTOGRAMA Y POLGONOS DE FRECUENCIA
Son dos representaciones grficas de las distribuciones de
frecuencia.Un histograma o histograma de frecuencias, consiste en
una serie de rectngulos que tienen: Sus bases sobre un eje
horizontal (el eje X) con centros en las marcas de clase y longitud
igual al tamao de los intervalos de clase. Superficies
proporcionales a las frecuencias de clase.Un polgono de
frecuencias, es un grfico de lnea trazado sobre las marcas de
clase. Puede obtenerse uniendo los puntos medios de los techos de
los rectngulos en el histograma. 3.8.2.- MEDIA
La media de un conjunto N de datos numricos X1, X2, XN est
representada por y definida por:
La mediana de un conjunto N de nmeros ordenados en orden de
grandeza, corresponde al valor del punto central (N es un nmero
impar) o la media aritmtica de los dos valores centrales (en el
caso que N sea par).
3.8.3.- MEDIANA
Es el valor de la serie de datos que se sita justamente en el
centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50%
son superiores).No presentan el problema de estar influido por los
valores extremos, pero en cambio no utiliza en su clculo toda la
informacin de la serie de datos (no pondera cada valor por el nmero
de veces que se ha repetido).
3.8.4.- MODA
Se localiza el dato de mayor frecuencia. Es el valor del dato
cuya frecuencia es mxima. Si la distribucin de frecuencias tienen
un solo mximo (mximo absoluto), la moda es el valor del dato de
mayor frecuencia, y se dice que la distribucin de frecuencias es
uni- modal. Si la distribucin de frecuencias tiene ms de un mximo
(mximo relativos), se dice que la distribucin de frecuencia es
multimodal: Bimodal, Trimodal, etc. Si todas las frecuencias son
iguales se dice que la distribucin no tiene moda y se trata de una
distribucin uniforme. Para Datos Clasificados La moda es la marca
de la clase modal. Para una mejor aproximacin se puede usar la
siguiente formula
3.8.5.- DESVIACIN ESTNDAR Y VARIANCIA
Mide el grado de dispersin de los datos numricos en torno de un
valor medio. La Desviacin Estndar de un conjunto de datos X1, ...,
Xn est definida por:
La Variancia es el cuadrado de la desviacin estndar:
La frmula de la varianza ser:
3.8.6.- COVARIANZA
El valor de covarianza entre dos conjuntos de datos numricos a y
b, con N puntos es definido por:
Este valor indica el grado de similitud entre los conjuntos a y
b, o sea, como los datos estn correlacionados entre s. Cuanto mayor
es la covarianza, mayor es el grado de correlacin entre los datos.
3.8.7.- COEFICIENTE DE CORRELACINEl coeficiente de correlacin mide
la similitud entre dos conjuntos de datos numricos sobre una escala
absoluta de [-1, 1]. Este coeficiente es:
Calculado a travs de la divisin del valor de covariancia entre
la raz cuadrada del producto de las desviaciones estndar de los
conjuntos de datos a y b
3.8.8.- COEFICIENTE DE VARIACIN
El efecto de la variacin o dispersin con relacin a la media
puede ser medido por la dispersin relativa, definida por: Dispersin
Relativa = Dispersin Absoluta/MediaSi la dispersin absoluta
corresponde a la desviacin estndar, la dispersin relativa es
denominada coeficiente de variacin v:
El coeficiente de variacin deja de ser til cuando la media es
prxima de cero. Su formula est representada por:
3.8.9.- DESVIACIN ESTNDAR MUESTRAL.
La varianza muestral est medida en el cuadrado de las unidades
observadas al hacer las mediciones contenidas en la muestra. Para
devolverse a una estadstica que use las mismas unidades que las
observaciones, es necesario calcular su raz cuadrada.Lo anterior
conduce a la definicin de la estadstica denominada 'desviacin
estndar muestral', que no es otra cosa que la raz cuadrada de la
varianza.Para una muestra de tamao n, x1, ..., xn, se tiene
que:
El uso de esta estadstica es recomendado en aquellos conjuntos
de datos que ofrecen cierto grado de simetra respecto de su centro.
En estos casos, habitualmente tiene sentido medir discrepancias de
un valor con el centro de los datos usando mltiplos de la desviacin
estndar.
3.9.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA
El comportamiento de las variables aleatorias discretas o
continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de
Probabilidad. La variable se designa por mayscula y un valor
especifico de ella por minscula.Por P(x = a) se denota la
probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a x
b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el
intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a x b) para todos
los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribucin de
Probabilidades de la variable x.Si x es un nmero dado y
consideramos la probabilidad P(X x):F(x)= P(X x):y llamamos F(x) la
funcin de distribucin acumuladaEjemplo Se tienen las probabilidades
de que haya 1, 2, 3, etc., das nublados por semana en un
determinado lugar, con ellos calcule la distribucin de
probabilidadesxP(x)F(x)
00.050.05
10.150.2
20.250.45
30.20.65
40.150.8
50.10.9
60.080.98
70.021
Total1
Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta
el histograma de 85 aos de registro de caudales de crecientes
(mximos instantneos) en el ro Magdalena, agrupados en 9 intervalos
de clase.
xP(x)F(x)
10.050.05
20.10.15
30.150.3
40.20.5
50.10.6
60.10.7
70.150.85
80.10.95
90.051
Total1
Cuando el nmero de observaciones se incrementa, el tamao de los
intervalos decrece y se puede tener algo s
Donde f(x) es la llamada funcin de densidad de probabilidades y
tiene las siguientes caractersticas
i)
ii)
iii)Lo que implica que las probabilidades se definen solo como
AREAS bajo la funcin de densidad de probabilidad (FDP) entre lmites
finitos.3.11.- ANALISIS DE FRECUENCIA
El anlisis de frecuencia es una herramienta utilizada para,
predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de
inters, a partir de la informacin histrica de caudales. Es un mtodo
basado en procedimientos estadsticos que permite calcular la
magnitud del caudal asociado a un perodo de retorno. Su
confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie
histrica, adems de la incertidumbre propia de la distribucin de
probabilidades seleccionada. Cuando se pretende realizar
extrapolaciones, perodo de retorno mayor que la longitud de la
serie disponible, el error relativo asociado a la distribucin de
probabilidades utilizada es ms importante, mientras que en
interpolaciones la incertidumbre est asociada principalmente a la
calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es
alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et
al. 1994). La extrapolacin de frecuencias extremas en una
distribucin emprica de crecientes es extremadamente riesgosa
(Garcon, 1994).Para determinar la magnitud de eventos extremos
cuando la distribucin de probabilidades no es una funcin fcilmente
invertibles se requiere conocer la variacin de la variable respecto
a la media. Chow en 1951 propus determinar esta variacin a partir
de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado:
y se puede estimar a partir de los datos
Para una distribucin dada, puede determinarse una relacin entre
K y el perodo de retorno Tr. Esta relacin puede expresarse en
trminos matemticos o por medio del uso de una tabla.El anlisis de
frecuencia consiste en determinar los parmetros de las
distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de
frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado.A
continuacin se describen las principales distribuciones de
probabilidad utilizadas en hidrologa, la forma de estimar sus
parmetros, el factor de frecuencia y los lmites de confianza. Estos
ltimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con las
extrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde
realmente estara la variables, si el rango es muy grande la
incertidumbre es muy alta y si es pequeo, por el contrario, habr
mucha confianza en el valor estimado.5
3.12.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
CONTINUAS
3.12.1.- DISTRIBUCION NORMAL
La distribucin normal es una distribucin simtrica en forma de
campana, tambin conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces
no se ajusta a los datos hidrolgicos tiene amplia aplicacin por
ejemplo a los datos transformados que siguen la distribucin
normal.
FUNCIN DE DENSIDAD:
La funcin de densidad est dada por
Los dos parmetros de la distribucin son la media y desviacin
estndar para los cuales (media) y s (desviacin estndar) son
derivados de los datos.
ESTIMACIN DE PARMETROS:
FACTOR DE FRECUENCIA:
Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como
Este factor es el mismo de la variable normal estndar
LIMITES DE CONFIANZA:
Donde es el nivel de probabilidad es el cuantil de la
distribucin normal estandarizada para una probabilidad acumulada de
1- y Se es el error estndar 3.12.2.- DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS
PARAMETROS
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen
normalmente se dice que X se distribuye normalmente.Esta
distribucin es muy usada para el clculo de valores extremos por
ejemplo Qmax, Qmnimos, Pmax, Pmnima (excelentes resultados en
Antioquia). Tiene la ventaja que X>0 y que la transformacin Log
tiende a reducir la asimetra positiva ya que al sacar logaritmos se
reducen en mayor proporcin los datos mayores que los
menores.Limitaciones: tiene solamente dos parmetros, y requiere que
los logaritmos de la variables estn centrados en la media FUNCIN DE
DENSIDAD:
y = ln xDonde:
y : media de los logaritmos de la poblacin (parmetro escalar),
estimado y : Desviacin estndar de los logaritmos de la poblacin,
estimado sy.
ESTIMACIN DE PARMETROS:
FACTOR DE FRECUENCIA:
Puede trabajarse en el campo original y en el campo
transformado.CAMPO TRANSFORMADO:Si se trabaja en el campo
transformado se trabaja con la media y la desviacin estndar de los
logaritmos, as:Ln(XTr) = xTr+KSyDe donde,XTr = eln (xTr)Con K con
variable normal estandarizada para el Tr dado, xy media de los
logaritmos y Sy es la desviacin estndar de los logaritmos.Campo
original:Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula
como
K es la variable normal estandarizada para el Tr dado, es el
coeficiente de variacin, x media de los datos originales y s
desviacin estndar de los datos originales.
LIMITES DE CONFIANZA:En el campo transformado.
En donde, n nmero de datos, Se error estndar, KT variable normal
estandarizada. 3.12.3.- DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO IUna
familia importante de distribuciones usadas en el anlisis de
frecuencia hidrolgico es la distribucin general de valores
extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el
comportamiento de crecientes y sequas (mximos y mnimos). FUNCIN DE
DENSIDAD:
En donde y son los parmetros de la distribucin.
ESTIMACIN DE PARMETROS
Donde son la media y la desviacin estndar estimadas con la
muestra. FACTOR DE FRECUENCIA:
Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribucin Gumbel se
tiene que el caudal para un perodo de retorno de 2.33 aos es igual
a la media de los caudales mximos. LIMITES DE CONFIANZAXt t(1-)
Se
KT es el factor de frecuencia y t(1-) es la variable normal
estandarizada para una probabilidad de no excedencia de 1-.
3.12.4.- DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON TIPO 3Esta
distribucin ha sido una de las mas utilizadas en hidrologa. Como la
mayora de las variables hidrolgicas son sesgadas, la funcin Gamma
se utiliza para ajustar la distribucin de frecuencia de variables
tales como crecientes mximas anuales, Caudales mnimos, Volmenes de
flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y
volmenes de lluvia de corta duracin. La funcin de distribucin Gamma
tiene dos o tres parmetros. FUNCIN DE DENSIDAD:
Donde, x0 x para 0 x x0 para 0 y son los parmetros de escala y
forma, respectivamente , y x0 es el parmetro de localizacin.
ESTIMACIN DE PARMETROS:
Cs es el coeficiente de asimetra, son la media y la desviacin
estndar de la muestra respectivamente. FACTOR DE FRECUENCIA:
Donde z es la variable normal estandarizada Este valor de K se
encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la
muestra.
INTERVALOS DE CONFIANZA:Xt t(1-) Se
Donde S es la desviacin estndar de la muestra, n es el nmero de
datos y se encuentra tabulado en funcin de Cs y Tr.
3.12.5.- DISTRIBUCION LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARAMETROS
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una
distribucin Pearson tipo III, se dice que la variable aleatoria X
se ajusta a una distribucin Log Pearson Tipo III. Esta distribucin
es ampliamente usada en el mundo para el anlisis de frecuencia de
Caudales mximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III
pero con Xy y Sy como la media y desviacin estndar de los
logaritmos de la variable original X.
FUNCIN DE DENSIDAD:
Donde, y0 y para 0 y y0 para 0 y son los parmetros de escala y
forma, respectivamente , y y0 es el parmetro de localizacin.
ESTIMACIN DE PARMETROS:
Cs es el coeficiente de asimetra, , son la media y la desviacin
estndar de los logaritmos de la muestra respectivamente.
FACTOR DE FRECUENCIA:
Donde z es la variable normal estandarizada Este valor de K se
encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la
muestra. INTERVALOS DE CONFIANZA:Xt t(1-) Se
Donde Sy es la desviacin estndar de los logaritmos de la
muestra, n es el nmero de datos y se encuentra tabulado en funcin
de Cs y Tr.
CALCULOS Y RESULTADOS:
Estacin de Querococha
AOSQUEROCOCHAAOSQUEROCOCHA
19702.0219702.71
19711.819712.43
19721.6719722.41
19732.4319732.34
19741.7119742.06
19751.819752.02
19761.3919762.01
19771.7819771.98
19782.0619781.97
19791.4319791.8
19801.9719801.8
19812.0119811.78
19822.4119821.71
19832.3419831.68
19841.6819841.68
19851.5819851.68
19861.519861.67
19871.6819871.6
19881.619881.58
19890.9919891.5
19901.3619901.5
19911.0319911.43
19921.6819921.39
19932.7119931.36
19941.519941.03
19951.9819950.99
Calculamos la amplitud :
R=1.72
Calculo de numero de intervalos:
K=5
Calculo de a amplitud de cada intervalo de clase:
X=0.344
Elaborar la tabla estadstica:
