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PROBABILIDADPROBABILIDAD
Departamento de Matemática del IFD Comenio de Canelones
Taller de Profundización de 3er. Año - IFD Comenio de Canelones
Actualmente se entiende la necesidad de dar lugar “al pensamiento no determinista, considerando que toda actividad humana está asociada a niveles de incertidumbre”
Se llama Probabilidad a la rama de la matemática que estudia los fenómenos aleatorios, tratando de cuantificar la posibilidad que un suceso particular ocurra o no.
Un experimento aleatorio es el que cumple las siguientes características:
Pueden repetirse indefinidamente en iguales condiciones controladas.
Antes de realizar la prueba no se puede saber cuál será el resultado.
Se conocen todos los posibles resultados.
“La introducción del pensamiento aleatorio como complementario al pensamiento determinista en el Programa de Educación se justifica desde diferentes puntos de vista:
Social
Formativo
Epistemológico
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Social.- porque existen numerosas situaciones del entorno del niño que revisten un carácter aleatorio (juegos infantiles, juegos de apuestas en su entorno familiar, predicciones meteorológicas)
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Formativo.- al considerar que el pensamiento lógico-matemático no puede basarse solamente en las disciplinas con una visión determinista, sino también en modelizar un funcionamiento de lo incierto, de lo plausible, lo probable, apuntando a un pensamiento probabilístico
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Epistemológico.- a través de la introducción previa del pensamiento combinatorio para determinar correctamente los sucesos de cualquier experimento aleatorio sobre pasando los límites de la obviedad, además del tratamiento posterior de datos desde la estadística y de los conceptos vinculados al mismo”
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Fenómenos determinista
s
Fenómenos aleatorios
Interpretación clásica
Experimentos aleatorios
Laplace
Sucesos equiprobables
Espacio muestral finito
propiedades
Espacio muestral
sucesos
posible seguro Imposible compuestos simples
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Una visión restringida sobre el desarrollo de los conceptos matemáticos que impone solamente el tratamiento de una serie de temas que privilegian una interpretación determinista y cerrada del pensamiento matemático.
La concepción de utilidad inmediata que impregna la mayoría de los currícula matemáticos de este tramo educativo, desechando las posibilidades que puede proporcionar una formación matemática más completa y con una cierta perspectiva de futuro.
“El desarrollo del pensamiento aleatorio en Educación Primaria” Francisco Vecino Rubio, en “Didáctica de la Matemática” de M del C Chamorro. Pearson. Madrid. 2003
Piaget e Inhelder sostenían que la adquisición de las ideas de probabilidad eran propias del período de las operaciones formales.
Actualmente se extiende la idea que tanto la probabilidad como la combinatoria es factible de ser trabajada en el nivel de Primaria.
En el período de las operaciones concretas el niño podría determinar probabilidades ligadas a experimentos combinatorios (con reducida cantidad de elementos a combinar) mediante acciones de ensayo y error.
Estas aproximaciones se ven ayudadas por representaciones como diagramas de árbol o cuadros de doble entrada
Aprovechar el entorno familiar al niño (juegos, loterías, etc) para proponer situaciones que lo acerquen al manejo de la probabilidad.Enmarcar las situaciones propuestas en un campo de experimentación (con monedas, naipes, dados, etc) donde se hagan patentes las distintas posibilidades de combinación, las distintas posibilidades de aparición de un determinado suceso, distintas formas de registro y de organización de los resultados
Desarrollar todas las posibles representaciones que faciliten la organización de datos, la determinación de frecuencias, la obtención de las posibilidades combinatorias y la obtención de medidas de probabilidad.
Utilizar la Teoría de las Situaciones Didácticas como marco para la proposición de situaciones donde se formulen y validen los resultados obtenidos.
El juego consiste en lanzar dos dados simultáneamente y observar la suma de los puntos que aparecen en las caras que quedan hacia arriba. Los dos jugadores que participarán tirarán los dados alternadamente diez veces cada uno. El primer jugador, obtendrá un punto si la suma en los dados es igual a siete, y cero punto en cualquier otro caso. De la misma forma, el segundo jugador obtendrá un punto si la suma de los puntos es igual a cuatro o a once y cero punto en caso contrario.
1) Jugar de a pares de acuerdo a las
consignas.
2) Si tuvieras que apostar por uno de los
dos jugadores: ¿a cuál de los dos
apostarías? ¿El juego te parece justo?
Justifica tu respuesta.
Llamamos A:”obtener suma 7” B: “obtener suma 4 u 11” Contamos cuántas veces se obtuvo suma 7
en 10 tiradas y lo llamamos N(A). Este número es la frecuencia absoluta. Si dividimos el número de veces que obtuvimos suma 7 entre 10 (número total de tiradas), tendremos la frecuencia relativa con la que se obtiene suma 7. Llamemos fr(A) a dicha frecuencia.
Análogamente con B.
equipo
1 2 3
2 4 5
3 5 3
4 1 3
5 0 4
6 2 3
7 5 5
8 3 2
9
total 22 0,1375 28 0,175
)(AN )(BN)(Afr )(Bfr
Espacio muestral:
Conjunto de todos los resultados posibles
cada vez que realizamos un experimento.
Suceso:
Llamaremos suceso o evento a cualquier
subconjunto del espacio muestral
La probabilidad de obtener cierto resultado
concreto entre los resultados posibles es el valor
al cual se aproxima o tiende la frecuencia relativa
de dicho resultado cuando el experimento se
repite un gran número de veces (tiende a
infinito), siempre bajo las mismas condiciones e
independientemente de la historia previa.
(Definición frecuencialista)
Cuando el espacio muestral elegido es equiprobable podemos aplicar la definición clásica de probabilidad para calcular la probabilidad teórica de un suceso. En este caso la probabilidad de un evento A es la relación entre el número de casos favorables al evento , n(A), y el número de casos posibles.
, es decir
(Ley de Laplace)
n
ANAP
)()(
posibles casos de número
A a favorables casos de númeroAP )(
1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 – 6
2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 – 6
3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 – 6
4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 – 6
5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 – 6
6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6
Los 36 resultados son igualmente probables . Sus frecuencias son
prácticamente las mismas. Por ley de Laplace, la probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea
siete es de 6/36 y de que la suma sea 4 u 11 es de 5/36.
El ejemplo nos muestra que existen sucesos más
probables que otros.
La probabilidad intenta medir la posibilidad de que un
suceso ocurra o no.
La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1,
incluyendo estos.
Si un suceso tiene probabilidad 1, decimos que es un
suceso seguro. (los que ocurren siempre)
Si un suceso tiene probabilidad 0, decimos que es un
suceso imposible. ( los que nunca ocurren)
“suceso simple” es el que contiene un único elemento del espacio muestral. Ejemplo: “salir 2 en un dado”
“suceso compuesto” es el que está formado por más de un elemento del espacio muestral.
Ejemplo: “salir un número par en un dado”
“sucesos compatibles” son sucesos que pueden ocurrir simultáneamente.
Ejemplo: A: “salir par en el dado” y B: “salir mayor que 3 en el dado”
“sucesos incompatibles” son los sucesos que es imposible que ocurran simultáneamente.
Propuesta: El daltonismo es una enfermedad que se caracteriza por la incapacidad de distinguir colores, y la ocasiona un gen recesivo ubicado en el cromosoma X. Un hombre no daltónico y una mujer no daltónica pero heterocigota, tienen un hijo:◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer sana?◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre
daltónico?◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónico?◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónica, si
es mujer?
XD XD se trata de una mujer sana, XD Y se trata de un hijo varón sano, Xd XD se trata de una hija mujer con gen enfermo pero físicamente sana (fenotípicamente como se dice en biología), Xd Y se trata de un hijo varón enfermo dado que el único gen que queda ligado al cromosoma X que tiene, es propio de la enfermedad.
MUJER
DX YDXdX
D DX X DX Yd DX X dX Y
En una población se sabe que una persona con HIV (E) sometida a un examen de sangre tiene un 95% de chance de ser diagnosticada enferma (D.E) y la probabilidad de que un individuo no afectado por el virus del HIV (N.E) sea diagnosticado erróneamente como tal es de 0,02. Sabiendo que el 1% de la población está afectada por el virus,
a) Si uno de los residentes es D.E, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo sea?
b) Si tú resides en esa población y eres D.N.E ,¿te quedas tranquilo con el diagnóstico o emprendes acciones complementarias?
E N.E
D.E 95 198 293
D.N.E 5 9702 9707
100 9900 10000
Materiales: Se distribuyen a los grupos de trabajo bolsitas idénticas con carteles que contienen señales de tránsito de distinto tipo (Pare, Giro obligatorio, Contramano y Ceda el paso) pero con distintas cantidades de uno y otro tipo.
Propuesta: Respecto a una esquina peligrosa y conocida,
suponiendo que el conductor debe detenerse (porque por ejemplo, los autos vienen por la otra calle de la derecha):
¿Cuál/es es el cartel que debería colocarse algunos metros
antes de la esquina? Si se extrae un cartel de la bolsita: ¿cuál es la probabilidad
de que contenga la señal adecuada para dicha esquina?
Indica cuáles de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles deterministas:
1) Sacar una carta de una baraja española y observar si es de oros.
2) Observar si en las próximas 24 horas sale el sol.
3) Poner agua a enfriar y observar si se congela a cero grados.
4) Lanzar un tiro a una canasta de baloncesto y observar si el balón entra.
5) Dejar caer un huevo desde el tercer piso y observar si se rompe al chocar con el suelo.
En un pote opaco se colocan 10 bolitas de dos colores, por ejemplo 3 rojas y 7 azules. Los niños no conocen estos datos.
La tapa del recipiente debe tener un orificio que deje pasar las bolitas de a una, pero que no permita ver el contenido del recipiente.
Se forman dos equipos de niños que se turnan. Cada equipo tiene un casillero que va de 0 a 10. El punto de partida es 5. Cuando le toca el turno, el equipo decide si va a ser el rojo o el azul el que indique que debe desplazarse una casilla hacia arriba. Los jugadores de cada equipo se turnan para sacudir el pote boca abajo, hasta que caiga una bolita. Si la bolita es del color que se había predicho, el equipo avanza una casilla. De lo contrario, retrocede una. La bolita se repone al pote.
El primer equipo que llegue al 0 o al 10 es el que gana. Hay que pedir a los niños que lleven un registro de los colores que aparecen para poder analizarlos y discutirlos más tarde.
Al final del juego, cada equipo intenta adivinar en número de bolitas de cada color que hay en el recipiente.
Bibliografía Bressan, A.de;Bressan,O.(2008) Probabilidad
y Estadística: Cómo trabajar con niños y jóvenes. BsAs: Ed.Novedades Educativas.
De Guzman M – Colera J. (2000) Matemática Bachillerato I. Editorial Anaya
Godino J, Matemática para maestros: http://www.ugr.es/~jgodino/manual/matematicas_maestros.pdf
Godino J, Didáctica de la Matemática para maestros: http://www.ugr.es/~jgodino/manual/didactica_maestros.pdf
http://www.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar
