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Temario

Teoría de Probabilidad

Tema 1. Conceptos básicos de probabilidad.

Tema 2. Probabilidad condicional y probabilidades de intersecciones de eventos.

Tema 3. Teorema de Bayes.

Tema 4. Técnicas de conteo.

Tema 5. Variables aleatorias.

Distribuciones de probabilidad

Tema 6. Distribución binomial.

Tema 7. Distribución geométrica, distribución binomial negativa y distribución hipergeométrica.

Tema 8. Distribución Poisson.

Tema 9. Distribución uniforme, distribución exponencial y distribución normal.

Tema 10. Distribución normal estándar.

Estadística descriptiva

Tema 11. Definiciones básicas en conceptos de Estadística descriptiva.

Tema 12. Estadística descriptiva: distribuciones de frecuencias.

Tema 13. Estadística descriptiva: distribuciones de frecuencias (2ª parte).

Tema 14. Medidas de tendencia central y de dispersión para datos no agrupados.

Tema 15. Teoría de estimación y distribuciones muestrales para la media.

Estadística inferencial

Tema 16. Distribuciones muestrales para la varianza.

Tema 17. Intervalos de confianza para la media.

Tema 18. Prueba de hipótesis para la media.

Tema 19. Prueba de hipótesis para muestras independientes.

Tema 20. Prueba de hipótesis para proporciones.



Ejercicio

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en esta sesión realiza la siguiente actividad.

1. En una encuesta hecha a la salida de la estación Cuauhtémoc del Metro, se supo que 53% de la gente lee el periódico “El Norte”, 50% lee el periódico “Milenio” y 15% no lee ninguno de estos periódicos. Si se escoge al azar a una persona:

1.1 ¿Cuál es la probabilidad de que lea ambos periódicos? 1.2 Dado que una persona lee el periódico “El Norte” ¿cuál es la probabilidad de que lea

“Milenio”? 1.3 ¿Cuál es la probabilidad de que lea al menos uno de los dos periódicos?

2. Dado S = {México, España, Sierra Leona, Australia, Brasil, Canadá, Malta}

2.1 Indica el evento A “Países de América”

2.2 Indica el evento A’

2.3 Indica el evento B “Países de Europa”

2.4 Indica el evento A B

2.5 Indica el evento A B

2.6 Indica el evento (A B)’

2.7 ¿Cuál es la probabilidad de que un país no pertenezca a Europa o a América?

2.8 ¿Cuál es la probabilidad de que un país tenga como idioma el español?

Presenta los resultados de tu actividad en forma de práctica de ejercicios.

Tarea

Resuelve los siguientes problemas:

1. Un grupo de 45 estudiantes en una escuela lleva actividades extracurriculares. De ellos, 30 cursan Taller de Teatro y 25 cursan Música.

a. Elabora un Diagrama de Venn. b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante curse solamente una de las dos

actividades? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante curse ambas actividades?

2. En cierto establecimiento, la probabilidad de que un ama de casa compre leche es de 0.60, de que compre fruta y verduras es de 0.45, de que compre pan es 0.35, de que compre los tres artículos a la vez es de 0.16, de que compre solamente leche y pan es de 0.05, de que compre solamente pan y fruta es de 0.03 y de que compre solamente leche es de 0.30. Sea L el evento “un ama de casa compra leche”, F el evento “un ama de casa compra fruta” y P el evento “un ama de casa compra pan”:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que compre solamente pan? b. ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche y fruta? c. ¿Cuál es la probabilidad de que compre solamente fruta? d. ¿Cuál es la probabilidad de que no compre ninguno de los tres artículos? Usa un diagrama de Venn para representar estos eventos.

3. La probabilidad de que un artículo de exportación sea rechazado es de 0.01, de que sea de exportación es de 0.25 y de que un artículo en general sea rechazado es de 0.03.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea rechazado o sea de exportación? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo rechazado no sea de exportación?

4. Considera la siguiente información:

S: {Balón, motor, filtro de aceite, procesador, monitor, pizarrón, asientos, teclado, llanta, mouse, puerta, ala}

a. Define el evento A “Partes de un automóvil”. b. Define el evento B “Partes de una computadora”.



c. Define el evento A B. d. Define el evento (A B)’.


Ejercicio


1. Martín tiene 8 macetas para colocar 5 plantas iguales ¿de cuántas maneras diferentes puede colocar las plantas?

2. En un lote hay 10 piezas, de las cuales 2 son defectuosas. Se rechaza el lote si en una muestra aleatoria de 2 piezas se halla una defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado?

3. Un coche viene con transmisión estándar o automática, eléctrico o manual, con clima o sin clima, en tres colores diferentes: blanco, rojo y negro. ¿Cuántas configuraciones de coches diferentes se tienen?

4. Una pareja de novios va al cine con dos amigos en común. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse si los dos novios siempre deben ir juntos?

5. Una locomotora arrastra 8 vagones: 3 pipas con un químico, 2 con artículos de acero y 3 con ganado.

a. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse los 8 vagones?

b. Si por disposición sanitaria los vagones de ganado y los del químico no pueden ir

juntos, ¿de cuántas maneras diferentes es posible este acomodo?


Tarea


1. En un estacionamiento hay 10 lugares disponibles. ¿De cuántas maneras diferentes

es posible acomodar los 6 coches siguientes que lleguen?

2. Se van a repartir 3 premios de $1,000,000.00, $750,000.00 y $500,000.00. Si se

vendieron 1000 boletos, ¿de cuántas maneras podrían seleccionarse los ganadores?

3. Una panadería elabora bizcochos, volcanes y donas. Cada tipo de pan puede venir

en sabores fresa, chocolate y vainilla, y en presentaciones de 2 ó 4 piezas de pan,

en harina normal o harina integral. ¿Cuántas presentaciones diferentes hay

disponibles para el público consumidor?

4. Tres hombres y dos mujeres hacen fila para entrar a un cine. ¿De cuántas maneras

pueden entrar si

a. Las dos mujeres deben ir juntas?

b. Dos de los hombres deben ir juntos?

c. Un hombre y una mujer deben ir juntos?

5. Se va a generar un código de identificación de 7 caracteres usando 3 letras (de 26

disponibles) y cuatro dígitos (del 0 al 9 disponibles). ¿Cuántos códigos de pueden

generar si

a. No es posible repetir caracteres?



b. Es posible repetir caracteres?


Ejercicio


Resuelve los siguientes problemas: 1. En un sistema bancario, 10% de las veces se excede el tiempo promedio de atención al

cliente. Para los siguientes 10 clientes encuentra:

a. La probabilidad de que al menos 6 excedan el tiempo promedio de atención.

b. Haya clientes que excedan el tiempo promedio de atención.

c. Más de dos y menos de 7 excedan este tiempo.

d. La probabilidad de que menos de 5 excedan el tiempo de atención.

2. 35% de los jóvenes que asisten a un restaurant fuman. Si se escogen al azar 5 jóvenes, calcula la probabilidad de que:

a. Ninguno fume.

b. Más de 3 fumen.

c. Cuando mucho 2 fumen.

d. Exactamente 5 fumen.

e. Encuentra el valor esperado y la varianza del número de jóvenes fumadores.


Tarea


1. Una línea aérea llega a destiempo 35% de las veces. Para los siguientes 10 vuelos, calcula la probabilidad de que:

a. Haya retrasos. b. Tenga al menos 5 retrasos. c. Tenga exactamente 1 retraso. d. ¿Cuál es el número esperado de retrasos en 16 vuelos? (usa E(x) = np)

2. Una cadena de comida rápida recibe quejas en 1 de cada 10 clientes que atiende. Si en un lapso de 5 minutos atiende a 20 clientes. Calcula la probabilidad de que:

a. No reciba quejas. b. Reciba al menos una queja. c. Reciba menos de una o reciba más de 10 quejas.

3. Un sistema de control de calidad revisa 3 piezas cada hora. La probabilidad de obtener una pieza defectuosa es de 0.1.

a. Completa la función de probabilidad f(x) mostrada, usando



para x = 0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3

f(x)

F(x)

b. Una función de distribución acumulada F(x) se define como:

para i = 0, 1, 2, 3 Completa la tabla del inciso b y con ella calcula la probabilidad de que haya 2 o más

artículos defectuosos, haciendo F(3) – F(1). 4. Una empresa tiene 20% de sus clientes en la cartera vencida. Una auditoría pondrá a la

empresa en clasificación de riesgo si al seleccionar aleatoriamente 12 clientes al menos dos están en la cartera vencida. Calcula la probabilidad de que la empresa no sea colocada en clasificación de riesgo.

5. En una encuesta hecha a adultos que declaran leer el periódico se supo que 40% de la gente lee el periódico “A”. Si se seleccionan al azar a cinco personas, calcula la probabilidad de que:

a. Al menos una lea solamente “A”. b. Exactamente dos lean “A”.


Ejercicio


1. Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:

a. Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.

b. De 5 piezas producidas, la quinta sea la primer pieza producida en menos de 14.5

minutos. 2. El tiempo de atención a clientes (en minutos) en un call center está modelado por la

función de densidad para x > 5. La función de probabilidad es 1/6*e^(-1/6*x). Calcula la probabilidad de que:

a. Un cliente tarde menos de 6 minutos en ser atendido.

b. Un cliente tarde entre 6.5 y 7.2 minutos en ser atendido.

c. ¿Cuál es el valor arriba del cual está 5% los clientes que más tardan en ser

atendidos?


Tarea

1. La tienda “La Bandera de Las Panaderías” elabora donas cuyo diámetro externo es una



variable aleatoria con distribución uniforme entre 12 y 12.8 cms. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de una dona

a. exceda los 12.6 cms? b. esté entre 12.1 y 12.7 cms? c. sea mayor o igual a 12.5 cms.? d. Para las siguientes 10 donas producidas calcula la probabilidad de que al menos

una exceda los 12.6 cms. 2. El tiempo que tarda Carlos en viajar de su casa al trabajo se puede considerar una

variable aleatoria exponencial con media de 25 minutos. Si Carlos sale de su casa a las 8:00 y debe estar en su trabajo a las 8:30.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde al trabajo? b. Si su semana laboral comienza el lunes ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde

por primera vez el miércoles? 3. El tiempo que tarda un torno en maquinar una pieza es una variable aleatoria exponencial

con media de 3.4 minutos. a. Calcula la probabilidad de que el tiempo de maquinado sea mayor a 4 minutos. b. Calcula la probabilidad de que el tiempo de maquinado esté entre 3 y 3.5 minutos. c. Calcula la probabilidad de que el tiempo de maquinado no esté entre 3 y 3.5

minutos. 4. Se sabe por experiencia que el saldo promedio de los clientes de un banco se distribuye

uniformemente entre $25 y $35 (en miles de pesos). a. ¿Cuál es la probabilidad de hallar un cliente con un saldo promedio menor a $26.5

(en miles de pesos)? b. De 50 clientes, ¿cuántos tendrán un saldo promedio menor a 28$ (en miles de

pesos)?


Ejercicio

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en esta sesión, realiza la siguiente actividad.

Solo o en equipo genera dos ejemplos de:

Experimento

Población surgida a raíz del experimento

Muestra tomada de la población para ser analizada.

Tipo de datos generados por el experimento (numéricos, por atributos, continuos o discretos)


Tarea



Elabora un pequeño resumen sobre el uso de aplicaciones de estadística descriptiva dentro de diversas ciencias. La finalidad es que amplíes tu panorama en esta materia. Puedes hacer consultas de bibliografía en Internet o en libros sobre el tema.

Presenta los resultados de tu actividad en forma de resumen.

Ejercicio


1. Se analiza el contenido de dos grupos de estudiantes que cursan la misma materia con el mismo profesor. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Grupo A Grupo B

n 35 35

s2 43.5 39.7

Calcula la probabilidad de que la diferencia entre ambos grupos sea mayor a 5 puntos.

Calcula la probabilidad de que la diferencia entre ambos grupos sea de entre 4 y 8 puntos.

2. Si en el problema anterior las muestras hubieran sido para el grupo A de 6 y para el grupo B de 8, ¿cambiaría en algo la técnica a usar para el cálculo de las probabilidades?

3. Dada una muestra de n = 5 datos y si sabemos que =5 ¿cuál es la probabilidad de que la varianza s

2 de la muestra exceda a 13.52?

4. Dadas dos muestras n1 = 5 y n2 = 7 datos ¿cuál es la probabilidad de que la relación de varianzas de ambas muestras exceda a 4.53?


Tarea

1. Se tienen los siguientes tiempos de duración (en horas) en dos marcas distintas de baterías:

Marca 1 Marca 2

n 5 4

31.36 35.26

Si se sabe que la duración de estas baterías es normal, calcula la probabilidad de que exista una diferencia de al menos 4 horas de la marca 2 sobre la marca 1. Dibuja la región de la curva normal que represente esta condición.

2. Se hizo un estudio para saber si existe alguna diferencia entre el verdadero contenido promedio (en gramos) de los paquetes de dos marcas de cereal que nominalmente contienen la misma cantidad de producto. La información es la siguiente:



Marca Oro Marca SuaviFlakes

n 10 10

s 32 35

Calcula la probabilidad de que exista una diferencia de 5 gramos entre la marca Oro y la marca SuaviFlakes.


Ejercicio

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en esta sesión realiza la siguiente actividad:

1. Una firma crediticia asegura que el saldo promedio deudor en sus clientes es mayor de $11,000.00. Para confirmar lo anterior se extrae una muestra aleatoria de 64 clientes de su base de datos, la cual dio como resultado un saldo promedio de $11,789.62 con una desviación estándar de $3,270.60. Prueba a un nivel de significancia de 5% si la suposición planteada es correcta.

2. Se desea analizar la eficiencia de una máquina despachadora de refrescos, pues se sospecha que sirve cantidades menores a 400 mililitros y para tal efecto se toma una muestra aleatoria de 8 vasos despachados, de la cual se obtienen las siguientes cantidades de refresco: 401, 396, 404, 384, 402, 392, 385, 404. Prueba a un nivel de significancia de 1% si la suposición planteada es correcta.


Tarea

1. Una compañía de alimento para perro produce bultos de 5 kg de alimento y es auditada por un inspector de la PROFECO, quien hace una medición del contenido de 7 unidades del producto; dicha medición arrojó un promedio de 4.89 kg y una desviación estándar de 0.19 kg. Prueba a un nivel de significancia de 10% si en realidad los bultos cumplen con el peso especificado de 5 kg.

2. Se plantea la posibilidad de que los asistentes a un estadio de futbol consumen en promedio $100.00 en alimentos y souvenirs. Una encuesta hecha a 50 aficionados revela que en promedio consumieron $97.00, con una desviación estándar de $16.70. Prueba a un nivel de significancia de 1% si la suposición planteada es correcta.

3. Una compañía que elabora componentes electrónicos saca al mercado su procesador de 3 GHz. Sin embargo, debido a variaciones en los materiales empleados en su elaboración, puede haber distintas velocidades. La velocidad de desempeño de un procesador puede considerarse una variable aleatoria con una media de 3 GHz y una desviación estándar de 0.23 GHz. Para probar si el diseño funciona acorde a especificaciones se toma una muestra aleatoria de n = 6 procesadores y se obtienen las siguientes velocidades: 3.1, 3.0, 2.9, 2.8, 3.3 y 3.1. Prueba a un nivel de significancia de 2.5% si realmente estos procesadores funcionan a una velocidad de 3 GHz.

4. Una estación de radio recibe llamadas que se estima que en promedio duran 4.5 minutos. Al gerente de la estación le interesa saber si realmente esto es cierto, por lo que decide tomar una pequeña muestra de 10 llamadas las cuales tuvieron una duración de 6.0, 2.2,



2.8, 4.9, 4.1, 5.8, 1.6, 4.4, 4.7 y 1.6 minutos respectivamente. Prueba a un nivel de significancia de 5% si realmente las llamadas tienen una duración promedio mayor a 4.5 minutos.


PROGRAMA DE ENTRENAMIENTO En la Universidad TecMilenio, en un curso de introductorio sobre electrónica, se emplea un sistema personalizado en el que cada estudiante ve una clase grabada en una videocinta y después se le da un texto de enseñanza programada. Los estudiantes trabajan con el texto en forma independiente hasta que terminan y aprueban un examen. Aquí preocupan los diferentes ritmos en que los estudiantes realizan esta etapa de su capacitación. Algunos asimilan el texto de enseñanza programada relativamente pronto, mientras que otros necesitan mucho más tiempo. Entonces los primeros deben esperar hasta que los estudiantes más lentos estén listos y todo el grupo pueda pasar a otra etapa de la capacitación. Se ha propuesto un sistema alternativo en el que se emplea enseñanza asistida por computadora. Este método consiste en que todos los estudiantes vean la misma clase grabada y después a cada uno se le asigne una terminal de computadora para continuar con la capacitación. La computadora guía al estudiante, quien trabaja en forma independiente, a través de esta parte de la capacitación. Para comparar estos métodos, el propuesto y el actual, a los integrantes de un nuevo grupo de 200 estudiantes se les asignó en forma aleatoria uno de los métodos de capacitación. Un grupo de 100 estudiantes usó el método del texto programado y el otro grupo de 100 estudiantes usó el método de enseñanza asistida por computadora. Se registró el tiempo, en horas, que necesitó cada estudiante. Los datos se presentan a continuación:

Horas necesarias para terminar el curso empleando el método actual

70 72 71 68

80 74 81 75

76 76 77 81

73 77 74 77

85 74 79 72

76 70 70 76

81 73 71 65

78 76 74 75

73 78 66 78

72 81 77 77

66 78 80 77

74 78 80 71

74 68 79 78

75 78 77 78

68 86 69 73

73 70 67 77

76 83 79 76

82 76 71 73

75 68 77 77

71 80 66 77



76 77 76 84

75 77 80 85

72 73 77 68

74 81 78 75

75 75 74 74

Horas necesarias para terminar el curso empleando el método de enseñaza asistida por computadora

77 75 73 80

75 74 78 77

79 75 75 75

74 76 76 79

78 79 78 76

76 75 71 74

79 77 80 79

70 74 76 73

75 77 79 75

76 73 75 76

77 74 71 77

71 71 74 82

75 79 76 74

75 75 76 74

79 78 74 73

77 76 79 77

70 80 78 75

75 75 77 72

71 76 74 74

77 73 79 76

77 76 77 74

70 78 73 75

71 72 79 72

75 72 77 76

79 76 74 74

Aplica la estadística descriptiva para resumir las horas que se necesitaron con cada método. ¿Qué diferencias y semejanzas observas entre estos datos muestrales?

Determina el coeficiente de variación (CV) para cada método y establece ¿cuál de los dos métodos establecidos tiene una menor variación?

Construye una tabla de distribución de frecuencias para cada método. Selecciona k de acuerdo a alguno de los criterios vistos en clase.

Elabora un histograma, polígono de frecuencias y ojivas en el mismo sistema de ejes, para el método actual y para el método asistido por computadora.

Con base en la forma del histograma plantea la distribución para estos métodos de enseñanza.

Calcula para cada método de capacitación su promedio y su desviación estándar. Considera estos valores como estimadores de los parámetros de la distribución de los procesos que propusiste en el inciso anterior.



1. Calcula la probabilidad de que el método de capacitación caiga entre (entre

).

2. Obtén una muestra aleatoria de tamaño para cada uno de los métodos. Calcula un

intervalo de confianza de para el verdadero promedio de estos métodos (obtén el

valor de a partir de esta muestra). 3. Datos anteriores señalan que la media en el proceso debería ser 75. ¿Cómo plantearías

esta prueba? Para validar esta prueba considere la primera muestra de cada uno de los grupos utilizando un nivel de significancia 0.01., determine las medidas a tomar.

4. Con las mismas muestras del inciso anterior, prueba a un nivel de significancia de si

existe diferencia entre los promedios de los métodos (obtén el valor de a partir de esta muestra). ¿Qué conclusión obtienes acerca de las diferencias entre los dos métodos?, ¿Qué recomienda? Explique.

5. ¿Sugiere otros datos o pruebas que sean de utilidad, antes de decidir qué método de capacitación usar?

Presenta los resultados de la actividad en forma de práctica de ejercicios y anexa:

El reporte de la investigación

Las tablas de números seleccionados aleatoriamente

Las distribuciones de frecuencias generadas

Los histogramas

Los cálculos de los estimadores

Los valores de probabilidad solicitados

Los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis solicitadas

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