Probabilitet Dhe Statistike Skripte FNA K H II

7/22/2019 Probabilitet Dhe Statistike Skripte FNA K H II

1/82


2/82

I

NGJARJA E RASTITG,IASA ( PROBABILITETI ) I NGJARJES1 NGJARJA DHE BASHKESIA

Ngjarja dsht kuptimi ( koncepti) themelor nO teorind e gjasave.Dukuria, e cila ndn kushtet e caktuara mund te ndodh apo jo quhet ,quhet NGJARJENgjarjet ishnojme me shkronja te mddha A,B,C,"',M,N,"'.Qart6, dallojmd ngjarje td sigurl, ngjarje td pamundur dhe ngjarje te

rastit. Me tej me ngjarje do te ndnkuptojmd ngjarjen e rastit. Ngjarjet mund tndahen nO ato td cilat realizohen n nje rast dhe n disa raste. Ngjarjet qepdrjashtohen reciprokisht, quhen NGJARJE DISJUNKTE.Veprimet me ngjarje si shuma, prodhimi pdrkufizohen, si vijon:- Shumd te dy (ose md tepdr ) ngjarjeve, 6shtd ngjarja, e cila realizohetme realizimin e td paktes nj6rs prej atyre ngjarjeve.Si modele te thjeshta per td prshkruar ngjarjen shpesh merren: kutia metopa me ngjyra, kub6za (zari), monedha metalike etj.- Prodhim te dy (ose md tepdr ) ngjarjeve, sht6 ngjarja, e cila realizohetme realizimin e njdkohsh6m td atyre ngjarjeve.Vdrejtje: Vihet ne dukje lehtd analogjia e kuptimeve "ngjarje" e bashkdsi"gjegjsisht relacionet pdrkatdse. Bie fjala prSr td shqyftuar realizimin e ngjarjes ,gjatd provds sd hedhjes sd zarit , marrim bashksind ,S = {1,2,3,4,5,6}elementet esO cilds paraqesin ngjarje td veganta , Kdshtu ne ketd rast numri i ngjarjeve tmundshme 6sht lp(s)l =2',kujand pdrfshird edhe ngjarja e pamundur @ dhengjarja e sigurt ,S.

2. ALGJEBRA E NGJARJEVEBashkdsia e td gjitha ngjarjeve, si rezultat i ndonje prove quhetHAPSIRE E NGJARJEVE ELEMENTARE.Hapdsirat e fundme apo td numdrueshme t ngjarjeve elbmentare quhenHAPESIRA DISKRETE.Le td jete fi = {E,,Er,'..

E, (i =1,2,...,n,), n e N dheLe t jene . At6her6:,E,1, n e N- hapdsire e ngjarjeve elementareP = {lt ,e. f2}- klas ngjarjesh.

www.e-Libraria.com


3/82

)(1) A+ B = C - ngjarja, e cila realizohet me realizimin e td paktes njdrsnga ngjarjetl ose B .(2) A.B = C - ngjarja, e cila realizohet me realizimin e njdkohshdm tdngjarleve A dhe B.Me A c B , ndnkuptojmd se realizimi i ngjarjes I implikon realizimin engjarjes B,pra ngjarja I dshtepjese engjarjes B.Poashtupr Ae F,marrimngjarjen e kunddrt A' e F. Qarte ngjarjel A dhe B jane disjunkte ndseA. B =O . Vlejn relacionet:a) A+A=A, A.A=A, A+Q=Q, A'CI=A;b) A.Bc.A, A.BcB, A.BcA+8, AcA+8, BcA+B;c)

e) 'lcc\=A+BcC.B c.C)d) (A')' = A, A+ A'=Q, A'A'=Q.Konstatojmd se (F,*,'), paraqet fushd te ngjarjeve me qe vlejnd

relacionet:i) Pdr A,B e F 6shtd I c B ose Ae B;ii) Per (v,l,,a = F), A+ B e F, A-B e F;iii) O, OeF;iv) Per (vl. F), A' e F .Pdr veprimet "+ " dhe " " vlejne ligjet:1) A+B=B+A, A'B=B'A;2) (,e+ a)+c =,t+(B *C), (t n)'C = A (a'c);3) (,e+n).C=A.C+B'C;4) Ndse ne 3) veprimet " + " dhe " . "i ndrrojnd vendet pdrkatsisht,vlen barazimi: (t.n)+c =(e+c) (B+c);

Qart6 se nd bashkesitd numerike kjo veti nuk vlen, pra:(o n)+c *(a+c)-(b+c).Po ashtu as relacionet: A+Q=e\ A'A= A= A+ l, nuk vlejne pdr numra ,pla a+l+a, a.a+a+a+a,kuf a+0.

Edhe ndryshimi (diferenca ) e ngjarjeve A dhe B, e qe e sh6nojmdA- B 6sht6 ngjarje qe pdrbehet nga ngjarjet elementare q6 itakojne ngjarjesA e qd nuk i takojn6 ngjarjes B . Po ashtu vlejnd relacionet:d) A-B=A'B',

CcA)l+CcA'B;C c B)

www.e-Libraria.com


4/82

3

dh) (l+ n)' = A'' B', ('l' B)' = A' + B' (Ligjet e De Morganit)e),4+ B =7A'. B')', A. B =(A' + B')' .Shembuj:1) Provoni se ngjarja ('l+n) ('e

sigurl, kurse ngjarja (,1+ a) (l+ a').('lpamundur. ,..-1_/Zgjidhje: Me td vdrletd ,kem'6r(e+ n).(,t+ a')+(A' + bY (o' + B') =A. A+ A. B+ A. B' + B' B' + A'' A' + A'' B' + A'' B+ B' B' :: A+ A. B + A. B' +Q + A' + A' . B' + A'' B+@ == (l + A') + (,1,. B + A. B') * (,q' . a + A' . B') == f)+ ,1.(a + B')+ A'.(l+ a')= /= f)+ A.Q+ A''C)= Q+ A + A' =d+f) = Q.Ngjashdm vdrtetohet se vlen: , 1('l+ a)'(,1+ a')'(A'*'BY,n'+ B')= A'A'=Q.

2) Le te jend dhend ngjarjet A,B,C e F. Td shdnohet ngjarja:a) 6shte realizuar vetdm ngjarja A;b) jand realizuar vetm ngjarjet A dhe B:c) jand realizuar ngjarjet A,B dhe C .g) eshtd realizuar td pakten njdra nga ngjarjet A,B dhe C .d) jand realizuartd paktdn dy nga ngjarjet A,B dhe C .dh) jane realizuar md sd shumti dy nga ngjarjet A,B dhe C .t@ jand realizuar vetdm dy nga ngjarjet A,B dhe C .e) eshtd realizuar vetdm njdra nga ngjarjet A,B dhe C .0 nuk dshtd realizuar asnjdra nga ngjarjet A,B dhe C .Rezultati: a) A.B' .C'', b) A.B.C)' ', c) A.B.C', g) A+ B +C ;

d) A'B+B.C+C.A; dh) A' +B' +C' =(,1. n.C)' ;e) A.B.C'+ A'B' .C + A' .B.C ;3) Jand dhdnd rrathdt koncentrik l,(O,r,), (i = 1,2,...,10 \ < 12


5/82

4

Rezultati: a) B=As; b) C=As.3 PERKUFIZIMI KLASIK, GJEOMETRIK DHE AKSIOMATIK IGJASES

Letd jetd A ={E,,Er,"',E,1, neN, ku E, +Er+"'*E,=Q dheE,.E,=Q pdr i*j ku (t,j=r,2,"',n). NEse ngjarjetelementareEi G =1,2,..., n) kanO gjasa td barabarta 16 realizimit dhe ndse realizimi i mngjarjeve elementare realizon ngjarjen l, athere GJASE ( probabilitet) tengjarjes I quajmd numrin i ,n simbolikisht sh6nojme:P(4:+, (osm


6/82

t'.'t, a*b=Yl, ffi1h, l1Q, t


7/82

Prandaj nga njdsimi i syprinave td kdtyre sipdrfaqeve gjejm6:

p=t/) 2t1 .> |Ie-ia,. I:tu* e-x)dxo l/3 '- 2t3 = *f,n2 = 0,487 .

Shembulli 3. Segmenti idhOnd me gjatesi a 6shtd ndard rastdsisht nd 3pjese. Sa 6shtd gjasa qd nga ato pjesd mund td nddrtohet trekndshi.Zgjidhie:Shdnojme .x, y dhe z - pjesdt ndardse tO trekdnddshit dsht6 e qaft6 sex+y+z=a. Sipas kushteve t detyrds kemi relacionet: x+ y> z,y+z>x dhex+zly perkatdsisht x+y+222x, x+y+z>2y dhe x+y+z)22, e qd nga

barazimi x+y+z=a rriedhin kushtet: ,


8/82

7

A,t . p(O)= 1(gjasa e ngjarjes s6 sigurl eshtd e barabarle me 1)1,,,. Nse nglarie A dhe B pdrjashtohen reciprokisht, pra A'B:Q,

atdherd vlen barazimi.n(A+ B)= p(,t)+ p(a)Treshja e renditur (Q,F,p), quhet HAPSIRE E GJASAVE.

Qart6, (vl eF) , vlen: 0 < p('l')


9/82

Ngjashem, pn(B)=## , @Q4,0)Pra: p(A)'p^(B)= p(A.B)= p(n) p,(A) (1)Formula (1) mund te pdrgjithsohet:

(,, \pl n t, I r(A,)'pn,(A,).pn,n,Q) ...ps1 Qq) (1')\ ,=r ) \]^,NO veganti, ndse ngjarjet jane td pavarura, pra pr(A): p(A)

dhe p^(B) = p(B), atherd kemip(A.B)= p(.t).p(n)

apo n6 pergjithesi:(, \ n,lil n )=UpU,) (2')Kdshtu , ngjarjet jand te pavarura, nse plotdsohet (2) gjegjesisht (2').

Shembuj:1) Le td jene A dhe B ngjarje nga F. Atdher6.a) A dhe O jand td pavarura;b) A dhe O jan6 td pavarura;c) Nse A dhe B jane t6 pavarura, atdher edhe:i) A dhe B' jand td pavarura,ii) A' dhe B jane td pavarura,iii) A' dhe B' land td pavarura.Udhdzim:c) i) NevojitettO provohet se p(,,t.8')= p(A).p(B'). Vdrtet6, nga se(t.s) (,q.9')=o , (l n)*(A-B')=O si dhe A.B+A.B'=A(ngaseB+B'=f) ), at6her6 p(A)= p(A. B + A. B')= p(A B)* p(,q.n') dmth:

p(A.B')= p(e)- p(A.B): p(e)- p(A).p(B): p(A)lr- p(B)l= p(A).p(B'), V(sepse A dhe B ngjarje td pavarura).2) Ndse A , B dhe C jand td pavarura dhe ndse ,4 dhe Bpdrjashtohen reciprokisht(pra, A.B=@, at6her6 edhe ngjarjet A+B dhe Cjand te pavarura.V6rejtje: Kushti i pdrjashtimit reciprok td ngjarjeve eshte i nevojshdmqd ngjarjet te jene td pavarura.3) Ndse A e B jane te pavarura dhe ndse p(A)r}, p(B)r},at6herd I e B nuk p6rjashtohen reciprokisht.Zgjidhje: Duhet provuar A.B + O . PEr kete qellim, mjafton td tregojmdse ekziston td paktdn njd ngjarje elementare nd A'B . Po td iet A' B = Q ,

(2)

www.e-Libraria.com


10/82

9

atdherd p(A B)= O. Sipas supozimit , shtd p(A.B)= p(A)'p(B)*0 (sepsep(,q)ro, p(B)>o),dmth A B+Q.4) Ndse p(t''n)=g dhe p(A)r0, p(B)>0 , atdherd A e B janetd varura.Zgjidhje: Nga supozimi p(,q A) = 0, e nga ana tjetdrp(A.B)= p(A)'p^(B) rrjedhimisht p.,(r)= 0. Ngjashdm konstatojm6po(A)=0.

Ngjarjet At,Az,...,A, jand td pavarura reciprokisht, ndse ekzistonpavardsia reciprokee k-ngjarjeve k


11/82

10

p(A B)=p(t) p(r)=::=Lo; rQt c)= p(t) p(c)=)I=i,p(a c)= p(B) p(c)=+ i=*Kdshtu: p(A- B c)= p (o) =o * I : i= p(.e) p(n) p(c), q6 dmth se nsjarjetA, B dhe C nuk jan reciprokisht td pavarura.

Nga se A= A'e2= A'(A+ A')= A'B+ A'B'= A'B+(A- n) e pasi qe(,q- n)-(A. B)=@ ( sepse A- B = A- B'), atdherd p(l)= p(A n)+ p(,t- B),rrjedhimisht: p(A- a)= r('e)- p(A'a) , (v't,B e F)Po ashtu, ngjashdm provohet formula:

p(A* n)= p(t)* p(n)- p(A.n), (v.t,B e F)Vertet6: A= A- B + A'8, atdher

A+ B =(A- B)+ A.B + B =(A- B)+ A'B + B'B =(A- B)+(,t+ B) B =(A- B)+ Bsepse B c A+ B . Pasi qd (e- A)' n =(A'B')'B = o, ateher6;p(A* n): nl(e- B)* B)= p(A- B)+ p(a)== p(A)- p(A.B)* p(n)= p(A)+ p(B)- p(A B).

Nd veganti n6se A'B = O (pra ndse A dhe B pdrjashtohenreciprokisht), atdherd:p(A* a)= n(t)+ p(B) (5')sepse p(A.B)= o.

Formula (5) mund td pergjithdsohet :

,[i n)=fou)-r zr? A,)+p I Er?, A, An)- (5")_ +(_r).-,"llrr)e q6 mund t6 vertetohet me parimin e induksionit matematik.N6se ngjarjet A1,A2,...,A, perjashtohen reciprokisht, atdherd kemi:

(4)

(5)

,[t n,)=tpQq)Shembuj:

(5"')

www.e-Libraria.com


12/82

ll6) Te provohen relacionet:a) fov,,.r(LI t)*,_t;

b) ,(Z^)=hpu,);Zgjidhje: Pasi qo p(A,* A,) p (t ) * p(Ar) -t .Mandej p(a, Ar.Ar)> p(A,)* p(Ar.Ar)-t> p(t)* p(Ar)* p(,q,)-2," kdshtume radh6, me induksion matematik vrtetohet barazimi.

b) Ne rastin a) nd vend se td marrim A,, marrim l,' , atdherdgjejme:

o(o,' .A,' ..' ,t,').0(4')* r(o,' )* * o(n,')-{r-r),Rrjedhimisht:dmth:

n(,1, + A,1 "' * A,) =l- p(A, + A, +"' + A,,)' -=t- p(ni .o,' ...An')=r- j-(n(a)*p(t )*...* p(t))J


13/82

l2Letdjetpra O={f,,Er,...,E,} k, E,-E,:O,(i +7) dhe AeF p(A)r0.

At6her6 nga se p(8, A)= p(E,) rs Qq)= p(A).pn(E,) rrjedh:

pn(E;=ryffi (7)ku p(l)e njehsojmd m6 pard me (6). Formula (7) quhet formula e Bajesit.Shembull:7) Nd cak gjuhet me njd nga tri pushkdt e nj6jta, e cila zgjidhet rastdsisht.a) Sa sht gjasa qd caku 6shtd qdlluar ndse nO te qOllohet mepushkdn e pa16, td dyt6, td tretd me gjasd pdrkatdsisht 0,75; 0,85; 0,05.b) Ndse caku 6shtd qdlluar, sa 6sht6 gjasa qd ai t jete i qdlluar mepushkdn e par6, dyt6, tret6?Zgjidhje: Le td jene E, ngjarjet elementare: zgjedhet pushka e t-te(i =1,2,3). Qarta p(E,t=J{t =7,2,3). Let iet A ngjarja: gjuhetnd cak.Ngagjasat e kushtdzuar kemi: pr,(A)=0,75; po,(A)= 0,85, po,(A)= 0,05

(6)a) p (t) = p (E,) - p r, (t) + p (E,)' p,, (A) + p (4)' p r, (A) == I (0,75 +0,85+ o,o5) = o,55 .b) Zbatohet formula e Bajesit, kemi:o(E,)'pr,(A)

=1'o'75n(E,)= t p(A) 0,5s =0,45 -(Kjo shtd gjasa qd caku eshtd qdlluar me pushkdn e pard). Ngjashdm gjejme:pn(Er)=0,52 dhe pn(r,) = 0,03 . Qard, vlen barazimi:pn (E,) * p n(t, ) * p A(4) =r .Vdrejtje: ( Modifikimi i formulds sO Bajesit). Le td jetd A e F dhesupozojmd se ,4 realizohet kur realizohet njdra nga ngjarjet elementareE1,82,'..,En Ateher A=A'E,+A'Er+"'+A'E^.Lete jetd B ngjarje, realizimi i \/

sd cil6s varet nga realizimi i ngjarjes A.Detyr6: T6 caktohel pt (,8) , nese jane t njohura pr,('1,) anep,, , (B) (t = l, 2,..' ,r) .Duke supozuar se eshtd realizuar I , atdherd mund td marrim

B = B.E,+ B.Ert..'+ B.En, qe do te thotd se pr(B)=tpu@ n,)j=lNd baz6 t6 formulds p.o(8.8,)= pn(E,) pu,n(B) (i =1,2,"',n), marrim:

www.e-Libraria.com


14/82

t3

p^(B) =Zoo(n,) n,,., (B) ,Nga se p(,q'n,)= p(e).po(E,) , atdherd:

p(A'r):#&: p(t) po ?)p(t) 'ku dsht6 p(l) =f ,1n,) no (l) , . q0 pas zdvenddsimit , marrim:i=l

nLp@,) p,' ('q)'pu, ^(B)p,(A) = ,_l (7',)ZP@,) P,,,(t)Nd veganti, ndse realizimi i ngjarjeve elementare E, dhe ngjarjes B nuk varetnga realizimi i ngjarjes I , pra pr,.n(B) = pr,(B) , atdherd formula (7') do td jetdnd formdn: f p@)'p, (t)'p,,(B)pu(.e)= t=t -Zp@,)'p, (,q)l=lVdrejtje: Dalluam vetdm ngjarjet e varura dhe t6 pavarura. Por, tengjarjet e varura mund td dallojme ngjarjet tek te cilat ekziston vardsi md e dobetapo m e forte. K6shtu, dshte e nevojshme qd td "matet" vardsia nddrmjet dyngjarjeve. Njd "mas" e tilld 6shte i ashtuquajturi koeficienti i korrelacionitnddrmjet ngjarjeve. Sig dim6, konditd e nevojshme dhe e mjaftueshme epavarsisd s dy ngjarjeve A dhe B dshtd p(A.B)= p(A).p(B). Prandaj ndseI dhe B iane t varura, atherd p(A B)- p(A)'p(B)*0 .

Nga se p(A) = p(A.o) = p(A. B + A' B') = p(A. B)* p('q' n') dhe ngjashmp(B)= p(A.B)* p(A'..8), atdherd,p(A)'p(B)= p(A B)[1 - p(A' 'B')]* p(A'n')+ p(A''a) dhe rrjedh:p(A. B)- p(A) p(B) = p(A. B) r(A' . B')- p(A. B'). p(,q' n) =l'11 u-), p('q' a)la ' D )= ln('l a') p(A' B')lkdshtu qd koeficientin e korrelacionit mund ta shprehim nd kdtd form6:

(7',)

Koeficienti i korrelacioni nddrmjet ngjarjeve Adhe Bp(A n)- p(a) p(B)rT

I pQq p@)' p(A)' 'p(B')

6shtd madhdsia:(a)

www.e-Libraria.com


15/82

t4

p=ln7 n) n('t' a)ln(t.a') p(,q' . a')

^, _ln^(n) p^ (B)l.ln,('t) p, (A)lr V^@') pn@')lln,('t') p,(A')l'

lp/ n) p(t' B)l lpQq.n)ln(t.a') p(t' 'a'11 ln(t a')a) p(t' B)l lr n)a') p(t' .a')l ln(t a')nga kemi se:

gjegjesisht:

p(.q''n)n(/'a'1p-- p(t) p(A)' p(a)'p(B'\

(p)

Fig.A.Nga figura 4 kemi:pr(A')- s-'tL--s2 +'s0 ; pn, (B')-'s-'sr -'t2 +'s0 ; p, (A)= P'5-Sz .t-.tt s-sz

po(A,)= sz -so ; po@)= rz -so ; pn(B')- st -so ; p^(B)=b; pr(,q)= , e q6.s2 s-sr sl st s?pas zdvendesimit nd relacionin B, marrim:

p'= (r.ro -r,.rr)'sr .sz .(r - r, )'(t - r, ) '(r.ro - r, .r, )' =t-t, al.J-Jrdse so


16/82

15

DETYRA PER USHTRIME:1)Thjeshtoni shprehjen: ,q=(B+C) (A+C') (A'+C) Rez' '4= B'C '2l Provoni se. a) (,e+ n)'('e+ A')= tr'b) (/+r) (a+c) (c+A)=A'B+B C+C'A;

c) A+(-B-A B)*(C- A'C)=A+B+C',d) (A+B).8+A'(A'B)='n

Udh6zim:c) B- A' B= B(A' B)' = B'(A'+B')= A' B' ; C- A'C = A''C''A+ A'.c + A'. B : A+ A''(B+C)= A+ A' (a+c) + A' A' == A+ A'' (A+ B + c) =,t+l('l + B + c)- Af= A+ B + c'3) Gjeni X ngabarazimi: (X+A)'+(X+A')'=B' Rez: X=B''4) Te provohet se (v'1,,a e F), vlen:a) (t+ a).(t,+ a')+(A' + B)'(A' + B') = e'b) (e+ a)'(.t.+ n')'(A' * B)'(A' + B')= qr '5) Te vdrletohen barazimet:a) (A* B)- B = A- A'B = A'B'b) (l-A'B)+B=A+Bc) (A+B)- A. B = A' B' + A'' B6) Le te jetd Ai ngjarja: prodhimi i t - te eshtd me defekt (i = 1, 2,...,n) . Teshprehen ngjarjet:a) asnjd prodhim nuk 6sht6 me defekt .b) td paktdn njd esht6 defekt .c) vetdm njd eshtd defekt .E) me shumd se njd nuk shtd me defekt 'd) te pakten dY jane me defekt .Rez:^) fiA, , t, (F x,) =Eo ,c) A, A;'...'A,+Ai'Az""'A,+"'+Ai lr' "A,*ig) A,. A;.'. - A', + 4' A2 " "' A', + "' + A,' A; " "' A, t A,' Ai' A'n + At' At " "' A,',d) ngjarja e kunddrt me c).7) Caku (objektivi ) prbehet nga 10 rrathd koncentrikd me rrezero (k=1,2,...,10), 4


17/82

l6Rez: B=C=4.g) provoni se ngjarjet A, A'.8 dhe (1,+ A)' formojnd sistem te plotd tengjarjeve.UdhEzim: Siq dihet , ngjarjet A,.A,,"',A,,, formojnO sistem td plotO 6 nglarlevenese f ,n, =f) . Pra, duhet t6 provohet barazim i: A+ A' 'B +(,1+ B)' = e>.r=l9) Te caktohet sistemi i plote i ngjarjeve kur hidhen:a) dy zard; b) lre zar6.Rez:a) Ekzistojne 62 =36- mundesi- ngjarje elementare:(t,t) (t,z) (1,6)(z,r) (z,z) (z,e)

(o,r) (6,2) (6,6)b)Ekzistojnd 63 =216- ngjarje elementare:(t, t, t) (t,t,z) (t, t, o)'' '(e , o, o) .

10) Hidhet zari n - her6 . T6 paraqitet gjasa q6 n -her6 t6 paraqitet numri gift ipikdve (* < n) .Zgjidhje : Numri i gjithmbarshdm i ngjarjeve elementare 6shtd 2', kshtu qE1.#ti.iri ngjarjes le ne zarin e hedhur n - her6 td paraqitet z -herd numri gift(n\i pikdveeshte l'' | (kombinacionet e n-elementeve.tdklasds m'pr?,C'),,' \m) (n\[*lkdshtu gjasa e kdrkuar shtd p =Y. Nd veqanti, bie fjala, t6 caktohet gjasa qend zarin e hedhur tri herd, td paktdn nd dy raste tO bie numri gifi i pikeve:p = P (, = 3, * > 2) = P (n = 3,m = 2) + (n = 3't = 3) ==;[[]).(i)]=]' *' shdnojmd' =+(:)

11) T6 caktohet gjasa q6 n6 n- hedhje te dy zareve t6 paraqiten t6 pakten dyher6 numri gift..4, _3,_=l_f1)'.Rez. p=- 4, \4iudhEzim: sistemi i plot6 i ngjarjeve elementare p6rb6het prej 4" -ngjarjeveelementare.12| recaktohet gjasa q6 shkronjat a)a'a)e)i,k,m,t,t,m t6 radhiten . rastesishtnd matematika '

www.e-Libraria.com


18/82

t7Udh6zim: Numri i gjithmbarshdm i munddsive 6shtd numri i permutacioneveme p6rsritje prej 10elementeve, pra , =-101 = 15i200.312 21Pra gjasa e kdrkuar 6shtO: p =:rverr v' "-rsrif,o13) Numri i zgjedhur rast6sisht telefonik pdrbdhet prej 5 shifrave . Tdcaktohet gjasa qd shifrat e ketij numri td jene td ndryshme.Rez. o-m =vi -189 .' n 10' 625141Te caktohet gjasa qd numri i zgjedhur rastdsisht dy shifror te jet6:a) i thjeshte; b) fuqi e ndonjd numri natyror me eksponent md td madh se l;c) i plotepjestueshm me 2. .15) Ne kuti nd td cildn ndodhen n-topa, zgjedhim rastdsisht disa nga ata. Sa6shtd gjasa q numri i tyre te jet6:a) gift; b) tek.zglidhie:Numri it6 sjitha munddsive sht [;). (:). .[;) =2, -t.("\ (n\I lrl 1r...tz)'lq)' zn-t-la\ - - \ / \ /, r 2'-r 2'-lb) p 6shtd gjasa pdr numrin gift nddrsa q dshte gjasa p6r numrin tek.

nn-l r ^n-lGjasa e gjithembar6shme dsht6: p+q =I= q =1- p =l-t== -=' =+ .2',-l 2" -116) Ne rrethin e dhdnO me rreze r jan6 zgjedhur rastdsisht tri pika A,B dheC . Sa 6shtd gjasa qe trekdnddshi MBC te jetd kdndngushtd ,Zgjidhje: Le td jend x,y gjatesite e harqeve 78,fu, pdrkatdsisht. Atdherd td

gjitha rastet e mundshme plotdsojnd kushtin x+ y


19/82

l819) .Ne segmentin AB me gjatdsi a zgjedhdn rastdsisht dy pika , me t cilatsegmenti ndahet n tri pjese. Te provohet gjasa q6 nga kdto tri pjese td mundtd ndrtohet trekdnddshi , eshte .'420) a) Tregoni se nga kushti i pavar6sisd s dy ngjarjeve rrjedh nga tjetra;

b) Te shnohen td gjitha kushtet e nevojshme qd tri dhe kat6r ngjarje tdjend td pavarura.Zgjidhje: a) Duhet treguar se po te jet6 pr(l)= p(A), atdherd vlenedhe p,(B)= p(B). Nsa se p(A.B\= p(B) p,(A)= p(B).p(A) si dhep(A B)= p(A) p,(B), athero vlen p (.a)p^(a)= p(B) p(.4)= p(n)= p,(n)b) Ngjarjet A,Bdhe C janA t0 pavarura ndsep,(A)= p(A),p,,,(A)= p(A),pr(B)= p(B) dhe pn (c)= p(c). Kshtu sipasa) dhe tri kushteve td para n b) marrim edhepr(B)= p(B), pn(c)= pu(C)= p(c) e nga se si dhe pn'(c): p(c), kemip(A. B. c) = p(A)' p(B). p(c).

Nga ana tjeter p(A.B.c)= p(A).p^(c)-pnr,(B), pra :p(A)' p(B)' p(c)= p(A)' p^(c)' p^r(B), dmth p(B)= pnr(B) sepsep^(C)= p(C). Ngjashem provohet se prr(A)= p(A).21) Ngjarjet Ai jane te pavarura dhe le td jene p(A,) = p, (i =1,2,"',n). Gjenigjasat q6:a) Te realizohet td pakt6n njdra nga keto ngjarje;b) Te mos realizohet asnjdra nga kdto ngjarje;c) Te realizohet vetdm njdra nga kdto ngjarje.Rez: a) ,[I n)=r-r(il A") -LI('-p,); b) ,([l *)=U(r-p,);

/, \ ,c) pl>A,nA,l=Ip,fl 0- p,) .\,=t i*i ) ,=t j+i22) Eshte konstatuar se pjesa 4, nd njd tip auto obilash zdvendsohetnE 36% td rasteve, kurse pjesa Pz zdvend6sohet nd 42% E rasteve, e tddyja njekohsisht nd 30% td rasteve. Te gjendet gjasa qd nd ndrrimin epjesds Pz duhet td nddrrohet edhepjesa P,.23) Makina pdrbdhet prej dy pjeseve: puna e secilds pjese varet nga puna epjes6s tjeter. Gjasa qdtd funksionoi pjesa e i-td eshtd P,(t=1,2). Tecaktohet gjasa qd vetdm njera pjesd nuk funksion'Zgiidhie: HiPotezat jan6:

www.e-Libraria.com


20/82

I

NGJARJA E RASTITGJASA ( PROBABILITETI ) I NGJARJES1. NGJARJA DHE BASHKESIA

Ngjarja 6sht6 kuptimi ( koncepti) themelor n6 teorind e gjasaveDukuria, e cila n6n kushtet e caktuara mund td ndodh apo jo quhet ,quhet NGJARJENgjarjet i shdnojmd me shkronja te mddha A,8.C,...,M,N,....Qartd, dallojme ngjarje td sigurt, ngjarje t pamundur dhe ngjarje t6

rastit. Me tej me ngjarje do td ndnkuptojmd ngjarjen e rastit. Ngjarjet mund tdndahen nd ato td cilat realizohen n6 nje rast dhe nd disa raste. Ngjarjet qepdrjashtohen reciprokisht, quhen NGJARJE DISJUNKTE.Veprimet me ngjarje si shuma, prodhimi pdrkufizohen, si vijon:- Shumd te dy (ose m6 tep6r ) ngjarjeve, 6shtd ngjarja, e cila realizohetme realizimin e td paktes njdrds prej atyre ngjarjeve.Si modele t thjeshta pdr tO pdrshkruar ngjarjen shpesh merren: kutia metopa me ngjyra, kubdza (zari), monedha metalike e tj.- Prodhim td dy (ose m6 tepdr ) ngjarjeve, 6shtd ngjarja, e cila realizohetme realizimin e njkohshem td atyre ngjarjeve.V6rejtje: Vihet ne dukje lehtd analogjia e kuptimeve "ngjarje" e bashkdsi"gjegjdsisht relacionet pdrkatdse. Bie flala per td shqyrtuar realizimin e ngjarjes ,gjatd provds sd hedhjes sd zarit , marrim bashkdsind S = {1,2,3,4.5.6}elementet es cil6s paraqesin ngjarje td veganta , Kdshtu n6 ketd rast numri i ngjarjeve tdmundshme shtd l"(S)l =2u , kujane perfshird edhe ngjarja e pamundur O dhengjarja e sigurt ^t.2. ALGJEBRA E NGJARJEVE

Bashkdsia e td gjitha ngjarjeve, si rezultat i ndonjd prove quhetHAPSIRE E NGJARJEVE ELEMENTARE.Hapdsirat e fundme apo td numdrueshme tE ngjarjeve elementare quhenHAPESIRA DISKRETE.Le tO jete O = {E,, Er,....E,}. ne N - hapdsird e ngjarjeve elementare

E, (i=1,2,---,n,), neN dhe p={A/AeOl- klasd ngjarjesh.Le t jend . Atdher6:

www.e-Libraria.com


21/82

l9Hn: td dy pjesdt funksionojnd; H,t pjesa e par6 nukfunksionon; Hrt pjesa edyt nukfunksiononi Ht: asnjera pjese nukfunksionojne; Qartp(Hr) = pr. pz; p(Ht) = (t - p,)' pr', p(Hr) = p,'(t- pr) ; p(nr) = (t -p,) (l - pr) .Le td jete ngjarja l: makina nddrpret pundn, at6her6:pr,,(A)=0, pu,U)= pr,(A)= pr,(A)=l dhe rrjedhimisht kemi:p(A)= p(A'Ho* A.H,+ A.Hr+ A.Hr)=(sipas formulds sO probabilitetit teploto)= p(Hr). pr,,(A) *t,o@,) pr,(A)

i=l= (1- p,,). p,+(t- p,). p,+(t-p,).(l - p,)=r - p,' p,.Sipas formulEs sd Bajesit, kemi:P,,(H,) = p(H,).pr,(A)

P.,(Hr) =p(A)p(n,)'pn (A)p(A)

II. NDRYSHORJA E RASTITEdhe ndryshorja e rastit 6sht nje nga kuptimet themelore nd teorinde gjasave. Ne praktik ndeshen nd shumd shembuj td ndryshoreve td rastit ,si bie fala shuma e pikeve tE rdna ne hedhjen e dy zareve, shpejt6sia emolekulave td gazit, numri i grimcave kozmike qe bijdn ne nj6 pjese tecaktuar td sipdrfaqes sd tokds, etj.Le te jete A,eF (i=1,2,"',n), ngjarje me gjasd td njejte te

realizimit. Shnojmd me {X =xlxeR} , bashkdsind e vlerave td Ai p6r tdcilat 6shte X(Ar)=x. Keshtu X dshte funksion numerik, pra XiF -+ R.Kdshtu X e quajme NDRYSHORE TE RASTIT.Do te sh6nojmd me p(X =x) gjasdn qd ndryshorja e rastit X merrvlern x. Vardsisht nga ajo se ndryshorja e rastit merr numdr td fundm(apo td num6rueshem) vlerash tE ndryshme, pdrkatdsisht vlera t6gfaredoshme nd ndonje interval tE caktuar, ndryshorja eshtd diskretegjegjesisht e vazhdueshme.

l- p,,' p,

www.e-Libraria.com


22/82

20

1. LIGJI I SHPERNDARJES SE GJASAVEFUNKSIONI DHE DENSITETI I SHPERNDARJESLe t6 jete X ndryshorja e rastit diskrete dhe xt vlerat e mundshmet6 saj me gjas6 pi= p(X = r,) . Rregulla me an6n e sd cil6s p6rcaktohengjasat pi quhet LIGJI I SHPERNDAERJES SE GJASAVE TE X .Qiftet (r,,p,), mund ti konsiderojmd si pika. Kur 6sht6 e mundshmepikat e njepasnjshme..bashkohen me segmente dhe kOshtu formohet iashtuquajturi SHUMeffruESHt t GJASAVE.Pasi qd xi jan te gjitha vlerat e mundshme td X, atdherd' ngjarjet ,4, formojnd sistem te plot6 t6 ngjarjeve, rrjedhimisht

f o,=r, (p, r 0). Keshtu ligji i shperndarjes sd gjasave pdr ndryshoreni=l

Shembull:1) Nje qit6s shtien 3-her6 mbi nj6 shenjd me gjas6 t6 goditje p. Le t6jetd X numri i goditjeve. Td caktohet ligji i shpdrndarjes s gjasave E X 'Zgjidhje: Le te jen6 l, ngjarjet: shenja goditet n6 gjuajtjen e t-t6(i =1,2,3). Qartd, vlerat e mundshme t x jan 0,1,2,3. Gjasat pdrkatdsejan6: p(x = o) = r(4 A; A;)= (l - p)' , p(x =3) = p(A, A, Ar) = p' ,p(x =r) = p@.,q:'Ai+ Ai'A,.Ai+ Ai'Ai'A,)=3p(t- p'),p(x =2)= p(A,'lr.Ar+ A,.Ai.Ar+ Al,.A-,.Ar)=tpt (t- p),ku me A' kemi sh6nuar ngjarjet e kund6rta me ngjarjet A,, prap(A,) =t- p(A,) (t =r,2,3) 'Kdshtu kemi ndryshoren e rastit:

" - [,,-or,' ,o(l- il' to'lr- o) ;)Edhe pse ligji i shpdrndarjes sO gjasave per ndryshoren diskreteX, i dhdn me (1) shtd karakteristik6 e plot6, ajo nuk 6sht6 e

(1)

www.e-Libraria.com


23/82

21

pergjithshme, sepse nd rastin kur X dshtd ndryshore e rastit evazhdueshme, nuk mund td pdrcaktohet shprndarje pdrkatse e trajtds(1) Kdshtu, pr t marrd njd karakteristikd td pergjithshme ( pdrndryshoren diskrete apo td vazhdueshme) shqyrlojm6 gjasat p(X < r) ndvend t p(X = x).Me qd p(X < x) varet nga x , shdnojmd:p(x .x)= P(x) (2)

Pikdrisht, funksionin p(r) te dhene me (2) e quajmd FUNKSIONTE SHPERNDARJES te X ( ligji komulativ i shpdrndarjes, ligji integral ishperndarjes).Kshtu, n6 veganti, ndse X- diskrete, atdher6:

r(x)=ln, , (2')rilrku f O,=1 (i = 1,2,...,n ose i =\,2,...), pr4

0 , per x1x,A t Pt xr


24/82

22

1) 0


25/82

23

Densitet t shp6rndarjes sd gjasave t ndryshores sd rastit X mefunksion td shpdrndarjes p(r) quajm funksionin p(r) te tille q:

n(x) = P'('),ku P' (r) 6shtd derivati i funksionit r (x) .(4)

Qart6 nd bazd E (2) dhe (3) marrim.bp(o


26/82

24

0, x2't paraqet densitetin e shparndarjes p6r ndryshoren e rastit x .Td gjenden P(r) dhe p(0. X .r).Zgiidhie: b za) Nga barazimi [p(r)ar= la x'

0, t=Oo

I*r d,=+, o


27/82

25

a) Tecaktohet parametrat A dhe .B nO mnyr qO p(r) te jet funksion ishpdrndarjes ;b) re njehsohet ,(-i. *. il 'c) Te caktohet densiteti p(x) per funksionin e shprndarjes P(x) .Rez a) A=:, a =1, il o(-;< x


28/82

26

N6se y = a(x) nuk 6sht6 funksion monoton, at6herd vlerave t6ndryshme t0 X mund ti pergjigjen vlerat e njejta te y. Ne ktd rastgjasat e vlerave td mundshme te Y jane td barabarta me shumdn egj"t"u" td atyre vlerave td X , pdr t6 cilat Y merr vlera t6 barabarta.Shembull:1)a) X-( | 2 3),"tet]"r6dsht6't [o,t 0,3 0,6)'

Y =3X +l eshtd funksion monoton.b) x -(-2 -l '.) ," t6 jeteIo,t 0,2 0,3 0,4 )

Vlerate mundshmetd Y jand f,=3(-Z)'+l=13, lr=3(-f)t *l=4',t, =3(r)t * l= 4; lo =3(z)' *l = 13 , keshtu do td kemip(Y --n)= n(X - -2)+ p(X =2)=0,5 si dhep(y =4)= p(x = -i) + p(x= l)= 0,5 dmth , -( . li)[0,5 0,5 )Shqyrtojme tani rastin kur ndryshorja X eshtd e vazhdueshme. Le tdjet6 p(r) - densiteti i shpdrndarjes pdr ndryshoren e rastit X , per x e(a,b) (mund te jete (a=-*',b=a). Supozojmd se y =p(X) i vazhdueshdm dhei diferencueshm. Caktojmd densitetin pdrkatds p(y). Shqyrtojmd rastet vege veg kur y = p(X), dshtd monotonorritds(Fig.9.), monotonozvogdluesdhe jo monoton.

(6Y=3X+l-lIo,l 70,3 8 I seDse0,6 )Y =3X2 +l .

v

xFig,9,

Le td jete Y = A(X) monoton rritds pdr a < x


29/82

27

ku p(r)- funksion ishprndarjes sd X , V(y)- funksioni invers i funksioniy=q(r). eart6 kemi p(y)= p'(y)= p'(v(y))-v'(y)= p(vOD v'(y), dmth:p(v)= p(v(v)),r'(v) (5')Ndse pdr a O nddrsa n rastin e dytd

shtd v'(y) < 0 at6herd barazimet (5') dhe (5") mund do ti shdnojmd nform6n: p(y)= p(v(y)) lv'(il|

N6 rastin kur y = p(X) nuk 6shtd funksion monoton, atdherdgjasa e ngjarjes Y . y, 6shtd barabart me gjasdn e ngjarjes 1lr. A, (y)] ,ku n, (r) jan6 intervalet n6 Ox (Fi9.11.), per td cilat dshtdY


30/82

28

Zgjidhje: Qarte densiteti i X, 6sht6:

p(*) =7to, v1 zllltlT___7_\ __, _; _ ^ _; ,7T ITTI 7T Z L__t-lz lz)7t1. x2'2

Ne (-Z.Z\, funksioni y =sinX eshtd monton q6 dmth, ekziston\ 2 2)funksioni invers itij x= V(v)=drcsin.v, ku 6shte x',=V'0)=#=lV'(il'e qd siPas barazimit (5) kemi: y)l=-+, r


31/82

29

Qart, p(y) 6shte densitet, nga se:*- I 7 I -+ ) -,-L 2 E[nU)av=h )6 e'dv=fr )e'?dt=fr li=',o* ,rl f-sepse e-t at = l; (integrali i Puasonit).6r

3. PARAMETRAT E NDRYSHOREVE TE RASTITNd praktik, nuk 6shtd gjithnje e domosdoshme qd ndryshorja e rastit tdkarakterizohet plotdsisht, por mjafton td merren nd konsiderim disa konstante,q quhen PARAMETRA (KARAKTERISTIKA NUMERIKE) td ndryshores sd

rastit. Kur themi se bie flala " ne nj6 rrugd automobilistike kalojn6mesatarisht brenda nj ore 100 automjete" atdherd 6shtd e natyrshme qenumri 100 mund tE ndryshojd (variroj). Por kjo done td thotd se n intervalet6 caktuara td kohds, denduria (frekuenca) e qarkullimit td automjeteve6sht6 af6r numrit 100. Kdshtu, numri 100 paraqet qendrn ( mesataren ) edendurisd sO qarkullimit te automjeteve brenda njd ore. Nd pergjithesiqendra e shpdrndarjes s6 vlerave te ndryshores sd rastit, shte njd vler6,n6 rrethinen e sd cils ndodhet numri i madh i vlerave te ndryshores, e samd shumd ti largohemi asaj vlere, aq md pake do te paraqiten vlera tdndryshores. Do t marrim nd konsiderim parametrat:a) Shpresa matematike- si parametdr qE reprezenton qendrdn eshp6rndarjes s vlerave td ndryshores sd rastit;b) Variansa (dispersioni) - si parametr qd vlerson shpdrndarjenrreth qendrs sE vlerave. \,,

A) SHPRESA MATEMATIKELe t jete X ndryshore e rastit.Shpres6 (pritje) matematike quajmd

*@)=l :,J' o('w 'madhdsin6:per X - dislsete

per X - vazhdueshme (7)

www.e-Libraria.com


32/82

30

Ndse shuma n6 (7) shtd e pafundme atdher Osht e domosdoshmeqO seria si dhe integrali td konvergjone absolutisht'Shembuj:1) Eshte dhdne ndryshorja e rastit x me ligjin e shperndarjes:

(t 2 "' n ),-ll r r I(.;7 7 )Qaft6 kjo paraqet shpdrndarje nga se :ll 1_*_+...+_+... = I,22'2'kdshtu q6: *(x\=t+=+ i#=L -L - =zn=tL Ln=tL .[,_ildil:ne: l+x+r' +. .'+xn+."-. r- (ltl.t) "-x \epse, s19

per fitohet +2x+3x2 +..'+ nxn-t+"' - t+ (lxl


33/82

3l-. I*(X)= )t.r-^'tu= j0

Le te jetd f = g(X) , ku X ndryshore e rastit , atdher6.i , per X-dislcrete (7'),) d*, per X-vazhdueshme

5) Eshte dhdn6: per 0


34/82

32

Teorema 1. ( Jobarazimi i Markovit) . Ndse x1,x't,"',xn jand vlerapozitive tO ndryshores sd rastit diskrete X td tilla qd x, 1d (i = l, 2."' ,k) sidhe X, ) d (t = tc +l,k +2,'" ,r), atdherd vlen jobarazimi'

p(x ,4.4P, (*)gjegjesisht: p(x.o)rr ry. (*.)Vdrtetimi: Nga kushtet e teoremds marrim:ktt*(X) =Lr, ' p, r L *,' p,,=l r= +le nga kdtu kemi:t (x , ")-- f xi' pi) of o, (sepsei=k+l i=k+l

d 1x, dt o, , fr,' r, 'of,o,'=k+l i=/


35/82

33

,(x): fl,,- *(x)f' n,,t=lJL'- *(x))' 'n(x) ax ,

perper

X - dislcreteX - vazhdueshme

(B)

- Pasi q variansa "(X) ka pdrmasdn e katrorit te X (pra t Xt),atdher6 per t pasur parametdr me pdrmasa tO ndryshores sd rastil X ,marrim td ashtuquajturin DEVIJIM STANDARD: o = Jr(X) .Le te jete X- ndryshore e rastit. DEVIJIM INORMUAR i ndryshoressd rastit x quajmd ndryshoren , -x -m(x). Ndryshorja e rastit roquhet e NORMUAR.Provohet leht6 se ^(f)=0, v(I)=1. Po te jet6 y=p(X), athersipas p6rkufizimit do td jet6:v(r)= *ly -^(y)f' = ^lv(x)--(v(x)))'Nsa se: l, - ^(x)]' = xz -zm(x). x + m2 (x) e pasi qd m(m(x)) = ^(x) ,at6herd 6shte:,(x) =.(x')- ^' (x) (8")Pasi q6 "(X)> 0( nga p6rkufizimi), atdherd *(X'). ^'(x),rrjedhimisht:

-- (-. \'I x' p(x)ax


36/82

34

p,(x)={ ;', o;:,i:;, Lrdh" p,(x)={ ;, ';,-,':-,'1,,Gjejmd:

I*(x,)= I, o, =1,, m(x,)=:'1,. a, =Lr,0kurse: llu(x,)=l(" -:)' a,=|, ,(x,)=1 I['- ])' *=1g -lPra edhe pse vlen *(x,)=^(xr)megjithatd vdrejmd se '(x')*v(xt)8) Per ndryshoren e rastit X eshte dhdn6 densiteti:, \ (r'r-^'', x>op\r)={ o, x")< ry tku e- numdr i gfarddoshdm Pozitiv'Vertetimi: Le te jet6 p(r) densiteti i ndryshores s6 rastit x 'q n()'l+e= [ n(,) a, - I pQ) a,.-@ n(x)-eDuke marr n6 konsiderim kufijte e integralin shohim se:

X ", rrjedhimisht:(x)l= ,1="'''l-'o(x)ax+ j p )e e qen(x\+t

nd bazd td jobarazimit t mdsipdrm marrim:

www.e-Libraria.com


37/82

35

,r(.\' )-6 --o(l* - *(x)l=') = J t p(') * *,,,,),.,t' p (x) dx SC:

fzav. x-1=llI x=r+t l

www.e-Libraria.com


40/82

38

2. SHPERNDARJA E PUASONITN6se per X - p(",p), numri n shtd mjaft imadh nddrsa p -

mjaftd e vogl, atdherd vlen:Teorema 1. Le td jete X - p(",p) per x td fiksuar(x e {0,t,2.'' ', n}) dhe nP = )' ( 2 - konstant), atdher:

Ir*p(x = x)=+ (.)P-+o

(np= A)

(x = 0. 1,2,..',n; )" > 0) .Vdrtetimi: Nga np=)-, pra p=L' marrim:n

p(x =', 9 [;)r' (t- q)'-' =W f ?-+)'-' =2\';)2)''")Qarte pdrn ),atdherd t-l,t-?,"',t-"t, tentojn6 nd l,e pasinnn

qe fimff -1)=e-i, atdherd vlen (*). Pikdrisht p6r ndryshoren e rastit X' ,-.f n)thuhet se ka shpdrndarje td Puasonit me parametdr 1 dhe qd e shenojmdX - P(2) , nese gjasat Pdrkatdse jan6:p^(r) = ^' '',-^ (3)xl

(x=0,I,2,...,n; lt0).Kdshtu, shpesh shp6rndarja binomiale pdr arsye praktikeaproksimohet (prafrohet) me shpdrndarjen e Puasonit, e nd veganti pdr). = np< r0 . per raportin o)(*),r--L, ^ nim formuldn rekurente:' pt("-l) xIp^(r) = t o^('- t) g)(x = l, 2,..') .

Qaft6, sipas (4) nga se pr(0) =e-7, atdherd kemi:

www.e-Libraria.com


41/82

39

p^(0) = e-^. p,(t) = 2' e-t,p^(2)= + -^,'.., p,t@) = Lnr, ^Shembuj:3) Lehte provohet se pr X - P(2), kemi m(X)= 7 dhe v(X)= t.Udhezim: Qartd per p-+0 kemi q -+1. T merret nd konsiderim shembulli1)4) Nje luster ka 200 llamba elektrike. Gjasa qd nd njO interval td caktuarkohor te digjet njd llame 6shtd 0,03. Llambat e djegura nddrrohen nsedigjen md shumd se 10 sosh. Sa dsht gjasaq6nd intervalin e caktuarkohor tE mos nddrrohen llambat (e djegura).Zgjidhje: Shnojm6 me X numrin e llambave (pogeve) te djegura.Atdherd X - p(200;0,03) , pra n=200, p=0,03. Duhettd caktohet gjasa

9p(X.10)= p(X


42/82

40

--Pdrtd provuar se .Jr(") dx=1, atdherd konsiderojme se eshtepdrkufizuar ne menyrd t drejtd densiteti (pra merret zdvenddsimi r = x-lt

@,2r-dhe shfrytzohet integrali ipuasonit. l r-t ay=l .Pra, p(r) paraqetJo Jzdensitet pr ndryshoren e rastit te vazhdueshme'

Le td jetd X - N (p,o), atdher6 gjasa:b 1 u" -A=lp(o < *.b) = n(r) d' =h ) e--'t a.Duke marrd ndryshoren e rastit td normuar (standardizuese) f = ? ,oat6her6 shte f - N(0,1)(shih vetit e shpresds matematike dhe variancds,

Kap.ll)., t'" -,'Tani, p(o.r.b)=h )e-r at,tl

(z6vendsojm6 t=r-P el, = a-P ^,-,=U7.ooo1,2

Funksioni o(r)= + I e-1 dt- quhet FUNKSION I LAPLASIT>\ zlt 0Funksioni ka vetit6:i) o(0)= 0, o(+*)= j;ii) o(-r) = -o (t) ( dmth funksion tek).Kdshtu qe vlejnd relacionet

(6)

dheP(x) = p(-- < X


43/82

4t

Mund td provohet se pdr x - N (r,o), eshte *(X) - ft, t)(X) = o' dhe ndveganti plr T=x-lt, dot jetd r-N(0,1)(nsase,n(r)=0, v(r)=t;.

Shembuj:5) Le te jetd X - N (p,o). Atdherdn (lr1. k) = p (-k .r . k) = 2a (k)

p(x-pt.k o)=rl+l.o)=6) Qit6si nuk bdnd gabime sistematike dhe shmangie nga drejtimi i gjuajtjes necak. Gabimet e rastit kan6 shpdrndarje normale X - N (O,o,). Gjasa eshmangies nga caku pdr jo me shumd se +20m 6sht6 0,8. Te caktohetdistanca e shpdrndarjes td 50% E predhave rreth cakut nd drejtim td gjuajtjessG tij.

Zgjidhie: Le td jete X - N(O,o); o =?. Caktojme o nga kushtip(xl


44/82

42

ShOnojm: ; v=(ry)r(;:)"dmth

p(X = 11=l'u'vllEQar16 pdrvlera td mddha 16 n-16, marrim x=np+h (O


45/82

43

(9')

(ku a,b e R, a 1b, o(t) = # i,r: dt- funksioni i Laplasit).V6rejtje 2: Faktikisht, shp6rndarja binomiale p(n,p) aproksimohet

shprndarje normale N (p,o) , dmth F (", p) = N (tr,o) , kur:r) "-p>o p6r p


46/82

44

DISA SHPERNDARJE TJERA TE GJASAVESHPERNDARJA POLINOMIALE

Le td jene dhdne ngjarjet A,'At""'A,, dhe supozojmd se nd n-prova t pavarura, nd t6 cilat realizohet njdra dhe vetdm njdra nga ngjarjetA,, ku p(,n,) = n, (i = 1,2,"',r) . Qarte to, =t .i=lLe t jetd p,,(r,'nr' 'n,) gjasa qd nd /?- prova td pavarura,ngjarjaA, realizohet n,- herd (i=1,2,"',s; nt+n2+ +n,=n).

Do td jet6:nrl

= .int .fl':, , (llr,t '=r \Le td jete X,'. numri i realizimit tO ngjarjes A, nd n -prova td

pavarura dhe le td jete X =(X,,Xr,"',X.,).Pdr ndryshoren e rastit X qd ka shpdrndarje td gjasave t dhdndme (10) thuhet se ka shpdrndarje polinomiale me parametrat n, Pt, p2,"', p, ,ku to,=1 dhe shnojmd simbolikisht X - P(n,Pt,Pz,"',p").

Gjasat p,(p,,p2,...,p,) mund tE merren si koeficient prand shprehjest:,,t2'',,.--,tr'", nd funksionin r?(t,tr,"',/,) =(Pr'ttt Pz'trt"'+ p,'t,)n .

Shp6rndarja polinomiale 6shtd pdrgjithdsim i shpdrndarjes binomiale.2) SHPERNDARJA GJEOMETRIKE

Le td jete I - ngjarja dhe p(A) = p gjasa e realizimit te saj. Shenojmeme X: numrin i pers6ritjeve td provave gjerd nd realizimin e ngjarjes A.Qart, vlerat e X jane 1,2,"'.Gjasa q ngjarja Atd realizohet n6 persdritjen e x -t6 t6 proves6sht6: p(X =r)= p'Q'-' , (x =1,2,3,"'),(P*q=1)Pr ndryshoren e rastit X q ka shpdrndarje te gjasave td dhdn6 me(11) thuhet se ka shpdrndarje gjeometrike me parametrin p (sepse

51)

n

(10)

(1 1)

www.e-Libraria.com


47/82

45

q =l- p), e shnojme simbolikisht X -Cj(p) Kjo shpdrndarje quhet"GJEOMETRIKE", pasi q gjasat nd shum6 paraqesin progresingjeometrik.Qad6:totx-')= 2o n'='= P'in'-' = n L-=r'Kshtu, per X - Gi (p) , kemr:(t 2 3 x ...\'-lo p(t-p) p'(t-p)' p(t-p)'-' )

dmth:. (t 2 3 x .)x-l l.[p p'q p'q2 P'q'-' )

Caktojme parametrat m(x),u(X) per x -Cj(p).Qart6:*(X) =ir. p.q'-' = p'ir'q'-'r=l .x=l

Ngase t+q+q'+.. =+. M.r)Pra 1+x+ x2 +"'=*, (ltl'r), atdherd pas derivimit kemi:

(lrl. t),dmth:l+2q +3q2 +...= ir 'q'-' =+ = 1.(r-q)' p"

pra: ^(x\= +.p'Njehsojmd"(x) per x -ci(p). Dim6 se u(x)=*(x')-^'(x).

Prandaj njehsojme:@@ o6*(X' )= Ir' . p.q'-'= Ir' (t - q) .q'-' = Ir' . q'-' -Zr' .q' =r=l r=l r=l l=li(r* t)''q' -t"'Q' =t*i('*1)'' Q' -i*''q' =r=0 x=l r=l x.l

=t+zt r.q'*iq' =l+2'n 'tr'p'q'-' *q'f,q'-' =1a? -'t *n', t =r=r ,=t' P A - .r=r P P I-q,(.r)

www.e-Libraria.com


48/82

46

-t -2Q *L:)'p-p pt+2q+p'q1tp-prandaj "(x) =+p-vdrejtje: Nje veti e shpdrndarjes gjeometrike 6shte: Nse ngjarja Anuk realizohet n n - provat e para, atdher gjasa qe ngjarja A Ierealizohet nd k -provat (rastet) vijuese (pra n + k) 6sht e njejtd me gjasdne realizimit td ngjarjes A nd k -rastet e para sepse gjasa e realizimit tdngjarjes A , nE asnjd rast nuk varet nga rezultati nd rastet paraprake.Qarte qd ngjarja A lerealizohet td paktdn nO k- rastet(provat) epara Osht6:

k 1 -kp(X sk)= p,* pz*"'+ Pt = p'Lq'-' = p'+=l-Qo 'r=l

' l-q

3) SHPERNDARJA E PASKALITSupozojmd se ngjarja A realizohet k- herd nd xprova (f


49/82

41

I q6 nga n -elementet e bashkdsise zgjidhet elementi me tipar t6 caktuar,ku supozojmd se p(A) = p .Le t6 jete p(X =x) - giasa qd nga n -elemente mund tO zgjidhen .r

elemente me tipar td caktuar nga r elemente td zgjedhur. Atdherd sipaspdrkufizimit gjeometrik te gjass, marrim:, (r=0,1,3,.-.,r


50/82

nlnl = n,' . e-,, .Jii n6 kuptim qe lim --1--: = I , marrim'' n" .e-" 'J2tn. (r\Iyp@ -')=[;.,J ,''Q'-', dmth H(n,p,r)-g("p)'PEr X - H (n,p,r) pa v6shtirsi gjejme parametrat nt(X) - r' P dhe,(x)- r' p'a'ft, xu (p*q =t).5) SHPERNDARJA EKSPONENCIALENdryshorja e rastit e vazhdueshme X ka shperndarje eksponencialeme parametrin l, qE sh6nohet X - E(l), (l>O), ndse:,^\ p(r) = 1'e-^* , (x 2 0, 1'0) 'QartP(x) = p(0. X . *) ='11. e-^'dx =l- e-t',

0rrjedhimisht:

P(a


51/82

49

Per ndryshoren e rastit X - f(r,O) p6rkatdsisht pr X - K(a,6) nukekzistojnd *(r) dhe u(')

7) GAMA, BETA, DHE HI- KATROR SHPERNDARJETFunksioni i Euler-it i llojit td pard (beta funksioni), sht6:

IB(",F)= 1,"-'.(t-t)P-'dt, (oro, f ,o),0kurse funksioni i Euler-it i llojit te dyte (Gama funksioni), sht:

f (") = 1,"-' ' e-' dt, (o t 0) .0Ndermjet B(",f) dhe f(") ekziston relacioni:B(o,f)=W

Vrtet6:,oB(o,f) ='5f".(t - r)'-' a, =lt= sin2 ol=z' 1rine)'"-' '(cosq)'P-' dp .60Nga ana tjeter:

*-df (a)= [f-t.e-'dt=lt=ttl =2lr'"-t'e-r'ds ,g0rrjedhimisht

r(a)r (B)=o[j,'" .e-"^) [i," .e-"du)=o jj,'"-t tip-' ,-(**")d,d,-

vlen (*).

(.)

www.e-Libraria.com


52/82

)n

50

t(a+l)=o f(") nd veganti pdr d=neNf (n+l)=nl(")="1 e qd pdrmjafte td madh, mund ta zbatojmd formulen e Sterlingut:f(n +i) = n t x n"',-''' JIii'

ii) t(;) :ii dt =2\r"'ou= G (sepse -1,;t au=0Puasonit).

Kdshtu duke zbatuar vlerd. .(;) = J-,r, marrim:.(;) = .(; *,) = ;'(;) = )rt-"='('.;)'(;) ='(; *')= i : '(i) =) ir" = '('.l)

integrali i

(ocact).

*(x),u(X) per X-r(a,l'), d>0,1>0.

(a+r) a.f(a) _(a+1)'at.r(a)

dhe n pdrsjithes, ,(r*+)= (zn--t)rt ',\. 2) 2',iii) r(") r(1- 4=#;,Pdr ndryshoren e rastit e vazhdueshme X themi se ka shpdrndarjeGAMA me parametral q,,), ku (ot0, 1r0), nse ka densitetin:x o (15)dhe simbolikisht shdnojm6 X - y(o,1).

Caktojme

=# +l(1" e-'dv = Tfu\'' u' o' = Th t (a +1) = ;0Lehte gjejme:*( xr1 = r=(" 12) =-\" / ,"'.f(")rrjedhimisht:

*(x)=1ft.r^.0

a-t r- 7x 4* = h- .a r- ^x 6 =li;==;l=

www.e-Libraria.com


53/82

5l

, (x) = m(xz) - *' (x) =@+t - # = #Pra p6r X -y(o,1), sht *(4=7 dhe ,(x)=#Le tO jend X, - N (fr,,o,)dh. f, =4 (7, ndryshore t6 rastit td normuaraoi(i = 1,2,...,n) .Vlen pohimi:

pohimi 1. y ='ir,t - r(:,+\,=r Y" t)(dmth I,ka shp6rndarjen gama me parametral a= , 2=l luert"timi shih2' 2'nd kapitullin vijues). ,t

Densiteti i shpdrndarjes sd ndryshores sd rastit te ketille , =Zr,sht6:(16)

Shp6rndarja e till6 gama quhet HI-KATROR shpdrndarje meparametdr n dhe simbolikisht sh6nojmd )i - Z'(r). POr n + 6 do te jetez'(") - * (",Jr"). Rrjedhimisht per x - r'(r) kemi ^(x) = n, ,(x) =2n (sepse shp6rndarja f'(") 6shte rast i vegantd i gama shpdrndarjes meoarametrat a=n . l,=L).-..-.'.'- -' 2' 2'

Pr ndryshoren e rastit e vazhdueshme X themi se ka shpdrndarjeBETA me parametrat a,p ku (or\,f ,0), nse ka densitetin:per xS0,x>1)"-t-r-u, per 0


54/82

52

r(a+1) r(P)nt(x) =d nj,",, - r)"-' " =H# =## =r(a+P)

_t(a+ f).f(a+r) _ r(a+ f)'a'r(a) = o-@ - r(") .("* F)r(a+ P) a+ f 'Ngjashm per r(X)=*(X')-^' (X), marrim:nr(x') = i^\or'' (t - r)o-' * = #d# =_f(a+ F) r(a+z) - r(a+ F) @ r) .a r(?) .,,@-

(o* F *t) ("* f)'r(a+ f) r(")'- dmth^(x')=ffi; rrjedhimisht'(x)=ffitv. FUNKS|ONI GJENERUES (FUNKSIONI KARASKTERISTIK)

1. MOMEMTET

MOMENT i rendit k i ndryshores sd rastit X nd lidhje me vlerdn aquajmd madhesind ^(X - a)r . Zakonisht zbatohen dy vlera td a -sd :i) POr, a =0 momentet quhen FILLESTARE One i shdnojmd:*-

ffik = ffi(xr)= lrr 'p(r) ar= lxr .a r(x) (1)( p(r)- densiteti , P(r)- funksioni i shpdrndarjes)'Pii) Pdr a = m(X), momentet quhen QENDRORE One i shdnojmd:ffi'o =*(x -^(x))r = j(' -*(x))r .p(*) *=-11r-*(x))r a r(x) (2)

Gjejme lidhmdrine nddrmjet tyre si vijon:

www.e-Libraria.com


55/82

53

mn=lmi =o42m)=m)-ml*i : *, -3*r'm, + mlmI = ^n - 4*r' m, + 6mr' ^i - *iNd rastin e pdrgjithshdm, vlen relacioni:

Tani mund td marrim nd konsiderimndryshoren e rastit X: asimetrind dhe edhe dy karakteristika (parametra)akscesin6.

(3)

m)=*(x _*(x)), =_lh(;) ,rQaft6, *(X) = ffit, v(X)= m; -

(3')

EKSCESI i ndryshores X, quhet madhdsia E(X)=ry-3, (b)ku o2 = v(x) = mi , o dev'rjimi standard.V6rejtjeAsimetria karakterizon largimin (devijimin) e lakores s0 shprndarjesnga lakorja e shperndarjes normale, kurse ekcesi paraqet pjerrtesin ndajsaj, psh.

Fig, l2,Shembulli 1: Me andn e1) ^(x) : 2) v (x) ; 3) A(x) ia) x-p(n,p); b) x-P(1); c)

Rezultati:

Fig.l3.njehsoni:p6r:d) x - N(p,o).

momenteve4) E(x)x - n(t);

ASIMETRI e ndryshores X, quhet madhdsia A(X)=+ (a)o

P(-.)

www.e-Libraria.com


56/82

54

a) Pdr X - p(r,p), kemi: 1) ^(X)=rnt=lt'Pi 2)r,(.tr) =ntl=n.p.t=o2',3) A(x)-'4- q-p q E(x)=++U6i- J;Jrrl' 't -\--l n'P'cl

b) Per X-P(2) ,kemi. : 1) ,m(X)=ffir=l', 2) u(X)-nti=)"=02', 3)Nsase m,=1,at6her6 A(x)= =h=h(z'o) ; 4) Nsasem) =312+ 2 , ateherd E(x)=#-3 = + (2 t 0) .

c) Pr X-E(z),kemi: : 1) *(X)=ffi.=l'-['''-^'a'=l; 2)0

,(X) - ^) : mz- m', = i = o', 3)A(X) = 3 = o, 4) Nga se mi

se ml = )"1( , -l)' .r-"a, = 1, atehere..i -J (. )" ) ,z0(' -;)' e-^'dx --T,atohero E(x) = 6

Nga6- rl0

d) Per X-N(u,o),kemi: : 1) m(X)=p', 2) "(X)=^i=o'; 3) Ngase mio=Qk-l);l.o'o dhe mir,=0, (k=1,2," '), atdher6 'n(X)=0; 4)E(x)=0 .2. FUNKSIONI GJENERUES

Le td jet6 X ndryshore e rastit'

Marrim nO konsiderim serin6:tx t'xte,, =r*?* ;*...,at6he16:

FUNKSTON GJENERUES (PERFTUES) per ndryshoren e rastit Xquajmd funksionin g(r)te p6rkufizuar nO formdn:

Lt'" 'p,, per X - diskreteg(r)= m(e'r)=I r" p1*1a, = e"dP (x), per X - vazhdueshme

www.e-Libraria.com


57/82

55

g (,) = -l r" o(x)dx =, *?, * 2-i + ' ' ,ku ffi,:ffi(r')=- *'o(x)dx (5)(rir,-moment filleJtar i rendit r per X, r=0,1,2,"').Qart no =7. Nga (5) per t = 0 , kemi *,. = g'' (0) (5')(ku g'(t) derivati i rendit ri funksionit g(r))Ndse Y = e(X) funksion i ndryshores se rastit X, atdher6:g,, (t) = g,pv)Q) = ^(e''trl1 -Nd veganti, per Y = a' X + b, atdherd 6sht6:

g, (t) = g o .\' *n ('\ = *(e' @'x *t)) = * ('"' x' eb't ) ='o'' * ('"' r )'Dmth:

ga.x+b(t) = to' '^('ou'r ) (.)Vlejne vetit:1) Ndse gr\)= Sr(t), atdherd p(r)= p(y) Anasjelltas, n6 rastin eprgjithsh6m nuk vlen.2) Nse p,,(r) dhe g,(t), jand funksione gjeneruese pdr X,,e ndselgg" (t) = g(r) , ateherd edhe ly-p,(") = p(')

3) Nse X,-iand ndryshore t rastittd pavarura (i=1,2,"',n)dhe nOg.* (r) jand funksione pdrkatdse gjeneruese , at6herd s*.. (r) = lJ g", (t) (L'Y' r=lbie flala g.r., (r) - m(e'(xt))= *(r' x' et Y ) = *(r'')' *(t''' ) = r*(r)' g, (r) )Vejm nd dukje relacionet:

-(X) -- ffit = g'(o),(X) - m., -*l =.i, ku m, = g'(0) ,(gje qe provohet leht nga se g'(0) = m,)

Shembulli 2. Te caktohet funksioni gjenerues g(r) per ndryshoren erastit X, pastaj me and td tij te gjenden m(X) e v(X) per:a)x-u(a,b): b) x-|(r,p); c) x-Gi(p); E) x-P(k,p) olx-P(1);e)x-E(2)', f) x-N(r',o); 9) x-x(a,b); h)x-r(a,t).Zgjidhje:

www.e-Libraria.com


58/82

56

a) Pdr X -U(a,b), kemi:

n

p(r\ =--l- @ . b) ,r \ / b-a \Pastaj, kemi:*(x)- ffi,=s'(o) =T,

s(,)= *^l:''*=ft-L)u(x) = ffiz *? -- s' (q-(+)' =@ i:)'

Nveganti,p6rX-U(_o,o),6sht6s(,)=#,gjqkemi:,G)=*, *(x)=oe v(x)=+

b) Pdr X - p(r,p), kemi:Rez: g (,) =ir' r p(X - t) = (t + n ,')' ;.t-0

^(X) = tTt = n. p =g'(0) ; ,(X) - m2 ^l = r' p'q .c) PerX -Ci(p), kemi: -.g(r)= 2rtr.r')' =#,

^(X)= *,=|, u6)- m2 ^l =#.9) X-P(k,p), kemi:g(r) = (*)* on" rrjedhimisht:

*(X)= *, =X, r\)=m2-^i =?.d) PEr X - P(1), kemi:s(r)=ir'' +=e-)'lrry=e-. 'e''"' =rt\e'-rl .

^(X)- ffit= s'(O)= 7' u(X)- mz m,'z = g'(0)-(s'(O))' = )'2 + 2-)'2 = )" 'e) Per X - E(x\, kemi:p(r)=l'e-)' (1'o, ">o) '-. e-,, dx- I =(r-1')-' =t+1+L...(t)=)t'''^ t-t t 2) 1 ).,0Keshtu g(4 (r) , koeficienti prand ; esht ^, = # (r = 0,1,2, " ') .

www.e-Libraria.com


59/82

5l

Nd veganti mo =l; *, = i; *, = #. Dmth:*(x) = ^, = ).i ,(x) - mz *l -- s'10)-(s'(o))'f) Pdr X-N(p,o), kemi:, _(-'-r)p(r) = '= ., 2oz . Atdher:O\l ZE

g(t)=-ln' p(,) e=#i.,** *(x-t,\' l(x-u \ t:o2Bejmd transformimin:, r -3F -t o =t[-' -, o )+ p I + z

Zdvendsojm6: 7-to =t), atdherd:L,,*l'o' -" -" ,,*'l t -" -u'g(r) = #.r"'*T J ;r du = r"'-T (sepse J ;t au = Jzn ).@rLete jete r=),

-@dudhe J:l\r-:("*"ldu dv, atlhere do te jet6

00, u= p cosqpolare ' r :-' dhe Jakobjani 6shv = p Stn(p

2rl= ---=-r ^l ^',A- /-- A-

0u 0uop o(pAv Av0p )cp=P, 2@J = ll00'f1,4 , dp dp =X=[]t)' + I ==(L)'-r=J2r.2 \2)

Atdher6 marrim:*(X) - ffit = s'(0) = lr; ,(X) - mz ml = g'(0)- (s'(o))' = 02 .Nd veganti 7 =X -lt (7- ndryshore e rastit e normuar), kemi:o

t2X - N(0,1) dhe rrjedhimisht gr(t) = e2eart6, *(r)=gi(o)=o ; r(x)- m2 mi -- silo)-(sl (0))' =gi(0)=lg) Pdr X - K(a,b), kemi:N6 veganti, pdr a=1,b=0marrim shperndarjen e normuar td Koshiut

X - K(r.o), ku p(r)=l +T l+x-

www.e-Libraria.com


60/82

58

,-

^

Pdr X -*K(a,b), p(,)=:ViqNga se eo > d (" > 0), atdherd e'' > t x, rrjedhimisht:

i, ' '# ,ni #dx , prandai s(,)=+l_#- diversjon, sepseoo@divergjon integrali l+*Jol+ x'

Dmth shprndarja e Koshiut nuk ka funksion gjenerues, dmth nuk*(x)e as ,(X)h) Per X - y(o,A), kemi:p(r) = h-(),x)"^ .e-" (' t o) . Atdher6:e(r) = ^(r' ') = # l(zr)"-' ,i.f,-'l)' 4a -s(r)= (,-;)"Ne kete mdnyr gjejme:*(x)=nt= g'(o)=9^; n(x)-m2 ml = g'(0)-(s'(o))' =#.

VErejtje:Ne veganti pdr a=l eshtd f(1,1)=E(1).Shembulli 3. Nese X, - N (p,,o,) dhe X, - N (m,or), at6herd pdrx=xr*xz 6sht X-N(1t,o) ,k, o2=ol+o:.Ne pergjithsi n6se

x, - N (F,,o,) (i =1,2,"',n),atdher plr x =:E* eshte x - x(t ,ft),sepse Lx,=n X - r(, p,Ji o)).r=l

Shembulli 4. NEse X,-y(a,,2) (o,r0, 2>0, i=1,2,".,n), atherdper x=fx,, dshtd x-y(a,l),ku o=io,.t=l i-l

. Dmth(' -;)"

www.e-Libraria.com


61/82

s, (,) = s(t)= fI8' (,)= (t -+)"' ('- i)"'=[,- ;)t"'.*. "'' =[, -;)", (kua =io,, A.>o).

59

Zgjidhje: Zbatojme vetit e funksionit gjenerues:sA (t) = flg,., (r), ku x =fx, , 6sht6:L \', r=t r=l

('-+)" =

3. FUNKSIONI KARAKTERISTIK

sig pame m6 par6 shprndarja e Koshiut nuk kishte funksiongjeneruei. Qe te evitohet kjo "mangdsi" merret nd konsiderim funksioni;iarakteristikd" pdr ndryshoren e rastit X i cili duhet te jete i kufizuar per tdgjitha vlerat e r-sd dhe x-it. Nje funksion itilld eshte funksionie' ' ' =cos / r + i sin / x ( f 2 = -l , lr' ' '| = 1 , dmth i kufizuar)'

Transformimi icili bdhet me and te densitetit p(x) te p6rcaktuar mett(t) 6shtd transformimi Furie, pra kemi:1'-p(r) =; 1""' k(t) dt

Nd rastin f.r, nJryrhorja e rastit X shte1'-p(X = ,) =; Ir,, , k(t) dt

Vejm nd pah disa veti ti"t"tor" td funksionitPohimi 1. Funksioni karakteristikd t'(') kai) ,t(o)=1;

(6")diskrete, kemi:

(6"')karakteristikd t (t)vetit:

FUNKSION I(ARAKTERISTIK p6r ndryshoren e rastit X quajmefunksionin t(r) te prkufizuar nO formdn:k(t)=.(t"r) (6)

PEr ndryshoren e rastit tE vazhdueshme X , kemi:@@fr (r) = Ir' ' ' p(r) e = Ir"' dP (x) (6')

www.e-Libraria.com


62/82

60

ii) lt (r)l < t , Por edo t ,iii) k(') = k(4 , tr(-t) = t.-14, veti pr konjugim'iv) k" ,*o(t) = ei h * 'k(a t) 'v) t (,) dsht6 funksion i uniformisht i vazhdueshem p6r gdox e (-'o.oo)

Pohimi 2. Ndse ekziston llz,. pdr ndryshoren e rastit X dhe k('),atdherd ekziston edhe *t')(r) dhe *,=\t'o701 , i2 =-l (5"')ku 6sht:

m, = [x' p(r) *, k(4 (4=i "J,r'r''P(') tu' (**)Keshtu qe duke derivuar r- herd funksionin k(')=m(e"''' ) One me qdl{; ")' '"'l=x'' at6herd ot')(r) njehsohet me (*")'

pohimi 3. Vten vetia: 0i,.,(,)=l=lo, (,)(Vdrtetimi nd mdnyrd te ngjashme sikurse pr funksionin gjenerues).Shembulli 5: Te caktohet funksioni karakteristik k(/) pdr ndryshorene rastit X, pastaj me and td tij te gjenden m(X) e v(x) per:a)x-U(a,b); b) x-F(r,p); c) x-ci(p); E) x-P(tr,p)d)x-P(1),e)x-n(n); f) x-N(p,o)', s)x-K(a,b); h) x-r(a,t").

Udhzim:Nd funksionin gjenerues g(r) nd shembullin 2, nd vend t6 t temerret i r, e pastaj me andn e (5") td gjenddn nz, dhe m, pastajcaktohen m(x)=m, dhe ,(x)-m2 nf , rue veganti kemi rastin g),g) Shohim k(t) per X - K(o,b), kemi:Pa humbur rastin e pergjithshdm , marrim rastin e vegant6, pra rastin eshpdrndarjes sd normuar X - K(1,0), (a =l,b = 0) , ku p(r) = j;5'(sepse pdr X - K(a,b) 6shtd p(t\ -==-, - -;*1)

Sipas (6'), kemi:

www.e-Libraria.com


63/82

6l

k(,) = :i # * =*i.,+? * =:i;l- ck = -,,',Pdr X .- tp(o,b),duke marr l' :+, do td jeto .Y - K(t.o) . Pra, )'b

ndryshore e rastit e normuar. Nd bazd td vetis6.*r' (t\ = k,,*h.r (r) -- e'o' k(at)= utht''-oll ='ihr-'rFl (l e n)Pra pdr X - K(a.b) eshte k(,)=r'lht-ufl. Me qd ,t"(0) =(i.h-a)', iku,t=-l) atdherd nuk ekzistojnd nt(X) dhe ',(,Y) , ku m(.\')=n1, dhet (-Y) - nt, -r,,i , ku nr, dhe tn) caktohen sipas relacionit (5").VErejtje:Ndodh qe ndvend td merret X(t)=lnk(l), pastaj me an te te

cilit caktohen parametrat ,n(X) dhe u(X) ku md par caktohen n'tt dhem,. Per kdte qellim merret:,


64/82

62

Tp q)p-Gjeometrike ci (p) r-lpq(p*q=t)(x = 1,2,"')

Paskalit P(t ,p) /--r\i; ;J po q'-o(x = k,k +l,k +2,"')

Lp kq2pPuasonit P(r) I ), t(r"-t\e' t

l.e-^ '(" > 0. 1r0)

1;L I.lAEksponenciale E(^)Normale N(p.o) , -t-ul' 2ol

--0l_-vor/Ztt(-.o. x < *)

F )6- l- o'lt t+ --'e (rr)r.,rle

Koshiut K (a,b) ol"'*('-r)'] I I I c-vGama [email protected]) h.()".x)"' .e-^''("r0)

d;A d-:;L-

4. TEOREMAT E UNICITETIT DHE INVERSIONIT

Teorema 1. ( Teorema Levi e inversionit) Ndse tr(r) eshtd funksionkarakteristik6, f (r) funksion ishperndarjes dhe nse cI , h jand pika tegfarSdoshme nd td cilat r(") (o.b) ' atdher6:1'P(h)-P(a)=ti* ^l_ l'-'"'rr'-'o''k(t)at (.)' 'l ,-^,, ), it

Formula (") vlen edhe nd pikat e kdputjes sd P(r) , por nd vend tdpikave P (t - 0) = P(x- ) , oo te merret vlera e normuar P('-)+P(x.) . K6shtun6se nd (.) marrim iz -+ -oo nd pikat e vazhdueshmdrise e nO pikat e k6putjese pdrkufizojmd qe td jetd i vazhdueshdm nga e majta , atdherd kemi:

www.e-Libraria.com


65/82

63

p(")= * mV6rtetimi: Le td jet ,tl"J ,I

o (,) = _[r"' - p (r) a, = J'" - . ar (x)Pasi qd integrali absolutisht konvergjon, mund ta nddrrojme radhen e integrimit,pra: I(,)=f i[ tr'-io' ,'-it'' 'e"'dt]arQ)= j* (r,')ar(x) 'z" _Il_I it J " -@ku eshtd marr:

dhe marrim.

,,, (r,r) = * 'e"t dtLetet"'n",rr,o)= I '1' * 6,.ni t

Nsa se "l?a.=i si dhe - \a,=i# a@1, marrim:I a>U2'0, q=0

-1. a


66/82

64

L(x,a,b) =

dmth lim /(r) = 0.Ilr(r.)-"(a ) ]

[t, a


67/82

65

Shembulli 7. Le t jene Xt,X2,"',X, ndryshore tE rastit td pavaruradhe X=fX,. Ateherd nd bazd td teorem6s 1. dhe teoremds 2,provohet

r=lse per:a) X, - P (2) eshtd X - P(Z) , ku 7 =f l,;t=lb) x, - N (1t,,o,) dshtd x - N (/,,o) , ku t, =f p, ,o2 =foi ,r=l i=lc) X,- E(1,) eshte X -y(r,r), nga sek(t)=,0r1,)=LI('-';) =('- ,;)

'

g) X, - K(o,,b,) (o,r0, i =1,2,"',n) eshte X - K(a,b) eshte, kuq =fa, dhe 6 =fu,;t-t l=ld) X,-f (a,,)") ather6 6shte X -y(a,X),ku o=fo,',=lShembulli 8. Funksionet e dhdna:a) k(r)=r-,n. b) k(t)=+; c) k(r)={t;t" ilil;i ,nuk janO funksione karakteristike.

Zgjidhje: Rastet a) dhe b) jane te qarta, sepse tr(-,)+k(t) (vetiapdr konjugim).c) Po td jete k(t) funksion karakteristik' atdher p(x), ku1-p@)= z, Ir-"' 'tr(t)at, do td jetd densitetin'pra nd rastin e p(r)=#t+ .or') ' ( pdr x*0).

Por, pasi q6 p(x) nuk 6sht6 funksion jonegativ p)r x*0, at6her6p(x)nuk shtd densitetit, gjegjdsisht as n(,) nuk dshte funksionkarakteristik, Pdr ndonjd x.

V. TEOREMAT KUFITARERdndom, nO praktik, ngjarjet me gjasd td barabart$ afr numrit 1,"jan6" gati ngjarje G sigurta, kuise ato me gjase afdr numrit 0, jand ngjarje

www.e-Libraria.com


68/82

66

pothuajse q6 nuk ndodhin (td pamundura). Pasi q6 gdo ngjarje, me gjasep > 0 (sado e vogdl te jete) mund td realizohet e ndse numri i provave6sht6 shumd i madh, atdherd gjasa p e ngiarjes nei fjal6, td paktn njeherd 6shtd afdr 1.Le te jete A- ngiarie , p(A)=p- gjasa e realizimit t6 ngjarjes A.Atdher6, gjasa qe A td realizohet td paktdn njd herd n6 n -prova, 6shtd:

P, =r-(t- p)" .Qarte, per p -+ 0, atherd P, + I, kur n -+ @. Megjithatd, nsep(A) = p Oshtd shum i vogdl, ajo ne nje prov6 pothuajse nuk realizohetasnj6her6. Por, jand shdnuar shum6 raste qd nuk i ndnshtrohen ketij ligji ,bie fjala n6 ndarjen e 36 letrave nE 4 persona , secilit prej tyre i kand rndletrat td nj ngjyre edhe pse gjasd per ketd 6sht6:

(gr)'.+r=t.1.lo_,8.36Sig kemi theksuar edhe me pare edhe ngjarja A , me gjasp (A) = 0 mund td ndodhd (realizohet)

1. KONVERGJENCA. LLOJET E KONVERGJENCESEshte dhdn vargu i pafundmd i ndryshoreve td rastit:xtrx2r.'.,xur". (1)

Thuhet se vargu (1) konvergjon sipas gjasds n6 a, nse (Vtt0), vlen:Iy plx, - ol> 4= 0 apo ekuivalente I:y p(x, - ol. t) = I dhe simbolikisht e(P\shdnojmd I X, -+ a, n -+ a l.\)

(P\Pra, I x,,Jo, n -+ @l e [p plx,-al>")=o oltg p(\x,,-o1.") = t.\")n+oNd teorine e gjasds dallojm6 katdr lloje te konvergjencds s6 vargut(1) Kdshtu, vargu (1) konvergjon:1) Sipas gjasds X , ndse (v" t 0) , vlen:l,ly, pQx, - ol> t) = 0


69/82

67

dhe simbolikisht e shdnojme lx,,\ X , ' -t -)3) Sipas mesit kuadratik n X , ndse vlen:m(lx,,l'.*), ,rlxl'.* dhe m(1",,-xl')-0 kur n)@'t' :'-'-.* ,r '^, ,^' ,,1^^',^.^,onnac o chcr ( u' o ,- *) .dhe simbolikisht k6t6 lloj t6 konvergjencs e sh6nojm6 [",,- ", )4)SipasligjitteshpdrndarjesndX,ndseP,-+P'rz-+ookuP

ligji i shperndarjes s6 gjasave dhe simbolikisht k6te lloj t6 konvergjencds( t.,n \e shnojmd lX,-X, n-->,nl.'\) ln\V6rejtje: Te konvergjenca sipas gjases pra [",,-o' n-+a)shqyrtohet ndryshorja X, dhe gjasa p(lx,-al>e) si dhe konvergjenca evargut p(lx, - ol> t) nd 0 per n =1,2,..' . Kjo 6shte ekuivalente meshqyrtimin e vargut (1) dhe konvergjencds sd tij '

Kdshtu, pdr konvergjencOn gati te sigurt dsht6:,fu{lx, -'l= "}l = 0, kur n -) @ gje qe dsht ekuivalente me\;' )

( x,\ r, n -, *) n6se pdr (va > o) vlen io(l*, -al>")'-\),=rVlen kjo teorem6:Teorema 1./ s' ,*.") =) [" -+x, )( ,,t \ii) [X,, -+X, "-*) =( P :- r-oo) :+ii) [x, ->],, )V6rtetimi:i) Marrim nd konsiderim vargun Xt-X,Xz-X,"',X,-X,"' e

baz6 t6 retacionit (Ht",t = ") = U{la.,l > a} , marrim ,[-r.y,1,,lx,lno -+ @e qe eshtd ekuivalente me:'[i n v {E'.'l=;})='

www.e-Libraria.com


70/82

68

Qartd , n6se p(ruplx,,l> a'l -+ o kur n() -> a, atdherd edhe\)"o(l*,,,,1= r)-+ 0kur no -+ a. Pra, vlen i).ii) Pohimi rrjedh drejtpdrdrej,n :,9r" iobarazimi i Qebishevit:p(x.- xl>4= V:/))' o kur n -+ @iii) Pohimi po ashtu rrjedh drejtpdrdrejte nga jobarazimi i mdsip6rm iQebishevit.V6rejtje: E anasjelltas e teoremds 1, kushti i) nuk vlen n rastin epdrgjithshEm.Shembulli 1. Supozojme se vargu i funksioneve Qt,Qz,"',Q,,"' ne[O,t], pdrkufizohet n6 form6n:er t-l

=xsp,(r)= '' J -^- i (i=1,2,"'; i=1,2,"')'ne Pi t tjera [t- Der 0


71/82

^

69

Nga supozimi se (r,,'J ,,n- -) , atdherd per (ve > 0)(4, (') -+ 0)(n -+ -) (r,,', - t) dhe (4, (') -+ l)(r -+ *)(x,,'> c + e) '

M tutjep (X, - c < -E) = p (X, < c - ) = p (X, < c - ) + p (X, = c - e) =

= P,(c-")*1r,,(r-a+0) -1k-")]= P,(r-e+0) 3P,(c-e,), kur n -+oo dhe0


72/82

70

Ly P,,(') = lT L p V, - k)=Z p 6, = k) = P (r)dmth: (r, J x,r - *)Anasjelltas le td jet: (r,-x,n-*) dmth '4,(')>p(t)' Athero:

p(x =01= r(0-;)- ,(r-:)p(x,,=k)= r(0.)-r(- _})

P6r t6 gjitha vlerat e zr -s6 e pasi qe I(xL jan6 pika t vazhdueshmeris s6P(').

Rrjedhimi 1. Le td jet )'>0, ,,- u(,,+),@eN,2">o)' Atehere:( t't \I x,,- P(2),n -+ o l.\ " \/ )V6rtetimi: Pohimi rrjedh nga teorema e m6sipdrmePuasonit pdr shprndarjen prkatdse:lrg P(X = 4 = + (x = t'2'"'; t' o) 'P-o(n'P=l=consr)

Teorema 6. NOse X1,X2,"' jane t pavarura atdher6:( s' '- n -+*). {o.r} .pl x,-+ x,'\ " ) \./Kjo teoreme osht6 rrjedhim i ashtuquajtures "Ligji zero-nj" i :Kolmogorovit. N6se X1'X2'--. jan6te pavarura at6her6 "mbetja" efushse,={AlA- ngiarje \ sht6 triviale, dmth p('q)=0 ose p(A)=l'2. LIGJI I NUMRAVE TE ruEoHeHlE (LNM)Esht dhend vargu i ndryshoreve td pavarura:x1'x2'... (1)

vend t6 shqyrtimit te ketij vargu, shqyrtojme konvergjencen e vargut:i}r -l?*v),

dhe pohimi i

(2)

www.e-Libraria.com


73/82

7T

ne zero ose nje.Teoremat p$rkatdse nd td cilat p$rcaktohen kushtet e nevojshme e tdmjaftueshme pr konvergjence , quhen me nj6 em6r LIGJI I NUMRAVE TEMEDHENJE.Varesisht se a 6sht fjala per konvergjence sipas gjasds apo gati t sigurlthemi se vargu (1) i nenshtiohet LNM te dobdt pdrkatdsisht te fort6.Tneksojme'se kushtet e mjaftueshme pr LNM te dobet , vlejnd edhe pdrLNM te fort6.Teorema 1. (Barazimi Bienjemea ). Nse ndryshoret e rastitxk (k = l, 2,...,n), jan t6 pavarura nd qifte, at6her6 vlen barazimi:

"(**r)=r"t"lVdrtetimi: Ndse Xo (k=1,2,'.',n), jand td pavarura nd qifte, ather t

tilla jane edhe X o - m(X o), (k =1,2,"') . Pra'.

= -ltx o -m(&)] . *l1=,(xr -*(X o)) (x, -*(x,))] = ;" (x o),sepse *(x - *(x)) = *(x) - ^(*(x)) = *(x) - m(x) = oTeorema 2. (Teorema e Qebishevit ). Le te jete X1,X',,"' vargu indryshoreve t6 rastit t pavarura n6 qifte (dy nga dy), t6 tilla qev(X o) < c, (ft : l, 2,"', c -kons)atdherd (v" t 0)vlen barazimi:

,*r[|} Lxo :h*(xol=")='gjegjdsisht: ,*'[l; zxo-: E-(x-)l' ") = oVdrtetimi: Zbatojmd jobarazimin e Qebishevito (lx - *(x)l> ") < rp , ,n, ,(x)- e fundme dhe e - efarddoshem) dhebarazimin e Bjenemeas r(E*r)= t",O), p,r'

"(; " )= *lt, - *( r>"* r)]' =, [t x o -L*@ )) =

,e F"xo - k^(x o) .)=' -i,(: zxo : E*@))=

www.e-Libraria.com


74/82

72

=r-+ i,(p,C o - *(xol)) =' i ;8""("-))'-t-1 +i'='-4 n':=t-- ,- n'E ' n- n'-Pasi qd ,(m(X o))= "(t)= 0, gka u deshtd td vdrtetohet.Rrjedhimi 1. Le td jetd Xt,X2,"' vargu indryshoreve td rastit qplotesojne kushtet e teorems 2.(Teoremds sd Qebishevit ) dhe le te jetdm(X,,)=a, ne N, atdherd Pdr e>o vlen:,,,,fll i x, -ot \,,+r' fr n tr " l= t )=' aPo ekuivalente:

,*r[|} Lxr-,|'")='Teorema 3. (Ligji i Bernulit ), Per 9do a > 0 vlen barazimi:,*rl+-rl = ") = oapo ekuivarente r*rl+-ol. ")=,, n,

X = Xt + X,+"'* X, - B(",p).Vertetimi: t(l+-olt ,)= o(lx -,pl>,.,)= r(lx -*(x)l>n',)a,

E qd sipas Teoremds 1 (teorema prkat6se nd V.1) rrjedh(1 i xo3 a,n-->a).nff

Shembulli 1. Le tO jetd p(r)=: # (x e R) , densiteti i ndryshorevet6 pavarura Xt,Xz,...(pra, me shpdrndarje td Koshiut) Funksioni karakteristikper X,,, (n=7,2,"') 6shte k(t)=s-14 e rrjedhimisht per i7,*r,eshte/ lrl\"L-li I -r-n.IJ

www.e-Libraria.com


77/82

15

Dimd se *(X o) , nuk ekziston Prandajnnshtrohet LNM (te dobet).Deri tani, LNM u vdrtetua kur ndryshoretgifte. KOshtu n rastin e pergjithshdm vlen:

ky varg i ndryshoreve nuk ie rastit ishin td Pavarura ntl

vargun X,Xr,...vleneorema 6. (Teorema e Markovit). Ndse prrin u[ix, )= 0, atdherd va > 0 , vlen barazimi:n+6 [.fi ^ ) ,*rffi Zxr :t"*(xu,l.')='

Vdrtetimi: Zbatojmd lobarazimin e Qebishevit dhe gjejm:(tJ---),[[ fxr :2,(Xo,l.") ,,-'l; h'r)=,- -+r,n-+ 'N verletimin e LNM t for1d, zbatohet jobarazimi i Kolmogorovit ( qe eshtdpergjith6sim i jobarazimit te Qebishevit).Teorema 7. ( Jobarazimi i Kolmogorovit). Le td jend X, ,Xr,"' ndryshoretd rastit ku m(xo)=0,v(xr).-, (t=t.2,"',n)' Atdher , Vt>0 vlen:

,(p,g lx,+ x',*"'xnlt") ''::'(Per n=\ merret jobarazimi iQebishevit) ,t^r(2**l=O,atdherd Ve>0,' ,-* \.fi ^)vlen barazimi:

Teorema 8. (Teorema Kolmogorov). Ndse vargu i ndryshoreve tdpavarura X1,X2,.'. kand shpdrndarje te njejtd si dhe.1) *(X o) = o .oo, , atdherd vlen(t f.*r\o, ,-'*.l,l' "o=, )(pra vargu i ndnshtrohet LNM - te fortd).2) *(xo)= 0 , dhe t-J]. o, atdherd (t f,rr\o, n- -l3 n' lnfr K ' )(pra vargu i ndnshtrohet LNM - t fortd) ,

mr( :Zxo-L t^(xo).)='

www.e-Libraria.com


78/82

t6Shembuj:1) Eshte dhdnd vargu i ndryshoreve X1,X2,... qd marrin vlera -Ji,O, Jime gjasa L,t-?, 1, perkatdsisht:nnnA i nenshtrohet ky varg LNM ?

Zsjidhje: ^(x,,)=-+- o (t -) . *=0,' u(X,)=*(",,') -r'(X)=I . :-o=2;E qd sipas teoremds se Qebishevit, kemt.Ior rxr + xz+... x,l. "j r r_"(r),\l n I ) n't-Rrjedhimisht:,*r[|} Lx,l.")=, apo ,*r(|} zxrl=')=oPra vargu i dhdne i ndnshtrohet LNM.

2) Sa prova td pavarura duhet td behen pdr realizimin e ngjarjes A kup(a)= p=0,71, n6 mdnyre qd td jete ,(l+-ol=o, r)ro,ru , ku x: numriirealizimeve td ngjarjes A nd /?- prova.

zgiidhie: Nd baze te lisjit td Bernulit. ,(l+-ol=")-t -#,marrim 1- P'Q, >0,96 =n>131, ku p=0,71; q=0,29; e=0,2'n- -3) Esht dhend vargu Xt,X2,"', kU

1,2,"')'Nd baz td teoremds sd Kolmogorovit (T.8.), ky varg i ndnshtrohet

LNM, nga se ^(x,)=0, u(x" )=z-1, rrjedhimisht seria;^lE+=2+'6shtd konvergjente.

www.e-Libraria.com


79/82

l74. TEOREMA QENDRORE KUFITARE (TOK)

E ashtuquajtura TEOREMA QENDRORE KUFITARE (TQK), ka rdnddsitO vegant6 si teoiike ashtu edhe praktike nd teorin6 e gjasds, prandaj edhequhet "QENDRORE".Si TeK perfshihen teoremat q me kushtet , me td cilat ligji kufitari shperndarjes s6 gjasave anon n6 shperndarjen normale.Teorema 1.Ndse Xo-N(lto,oo), (k=1,2,"',n) ,atdherd edhex_N(l,o) ,ku:yxr; /t=tr* o'=for' .ijn",,-,, i,n orre te letisd s funksionit karakteristik t (t)funksioni karakteristik i shumds 6shtd i barabartd me prodhimin efunksioneve karakteristike marrim:

11Lr|2.)k(r,,,)=1-1 ,ttrt't-:ot'r =r'"-1"-'' dtth X - N(tr,o).k=l

Supozojmo se xo - N(Fo,ot), (k=1,2,.",n), ku :h= llz= F3="'- Fn= lt: Or'=Or' ="r= Or'=O2, at$hefd/r.t.:n.lri or' = o'. Ndryshorja e rastit e normuar I ka trajtdn:T =x - /tr -' -' =r.'r-Tu=-lX x,-n rt) .o.\. o.tln ii o'rln o.Jn E 'Pdr nje ndryshore td tilld T vlen kjo teoremd:Teorema 2. (Lindberg-Levi). Vlen barazimi:

1 b- -''I:XP@


80/82

78

*(X o) = p, v(X o) = 62 , (k =1,2,.'.,r), atdherd X - l,(tr, ft), kuIX = .(X, * Xr. +... * X,,).n Shembuj:1) Le td jen X o- ngjarje td rastit tO pavarura td tilla qdxk - p0), (k=1,2,...,100) Te caktohet p(90


81/82

x --Zxrt(P*Q=1,

79

(n \nt(x)- n.p ='[; rr), (x)= n Pp,q e[O,t]) , rrjedhimisht Teorema e

/,, \o = "[7--,'- )'Muavdr LaPlasit merr

trajtn: t=l )) t22 dt.Pyetja: A vlen ky relacion ( barazim)

ka vend edhe p6r madhdsi (ndryshore) tjera?me zgjidhje td vegantd te Xo, aPo

Pergjigje Pozitive jeP TQK'supozojme se ndryshoret rastit xt,x2,"',kan6 shpres matematikedhe varianset6 fundme. Qfar6 kushtesh duhet v6n6 p6r X,,Xz,"',t16mdnyrd qd funksionet e shperndarjes sd shumave:

td anoi nd funksion td ndryshores me shpdrndarje normale' Per kdt arsyeformulohen td ashtuquajturit KUSHTETE E LINDBERGUT dhe shdnojm6:Itr =ffiV); oo' =r(Xu); Ln' =tr("-)'Teorema 3. (Lindberg). Nese pdr gdo r>0,6shtd:ri,n+ i I (" - p)' dPo(x)=o, (L)n+e Irz fr p_pel>t.L,

ku 4 (r)- 6sht6 funksion ishperndarjes s6 ndryshores xo, atdhere vlen:mr[* E rr - pn)


82/82

80

Shnojmd . o2 =v(Xo) , at6her6/n \ , nA,' =rlLXr l= I ,@) =Zo' = n.02\ t=r ) t=t r=rQartd pr n-).o, Au2 )oo, Le te jet6 *(Xo)= p, pr(r)=p(") pr gdo

k dhe shohim kushtin (L)t+ J G-4' ar(x)=:= I ('-rt)' ar(x1=k=t An l.r-al>r a, n'o- |r_p1 , d,=+ J ("-a)'ar(x)-0, kur n-+@,o 1'-r1i, o,Gje qe duhej td vdrtetohet.Teorema 4. (Ljapunov). Ndse pdr ndryshoret reciprokisht t6 pavaruraX1, X2,. .. gjendet njd num6r e > 0 , i tille q6 t jet6:

m ^ ; T.*lxo - pol'*' =o (Lr),on k=latdherd ka vend TQK, pra vlen:n^ pl o. ; EV r - *(xo)). r] = #j,,-', o,= o(D)-o(o),n+6 Lku ,(X n) = o*2 ) A,' = fr,xr) =fri .k=l k=tPdr kdtd arsye mjafton td tregohet se nga Lo) /. Kjo shihet nga

jobarazimi:# t l. ('-p)' ar(x)=E+'20_^ ,^.(,-(o)'.' aro(x)r.A,,- r-0 L,'*t ?"Gje qe duhej td vdrtetohet.V6rejtje: Teorema Muavdr - Laplasit esht6 rast i veganet i reK, ngaSE:*(x)=^( ,\x-l= n.p, L,,2=r(x)="[t xr)=n.p.q, keshtu q6 kemi:\r=r )

Documents

Probabilitet Dhe Statistike Skripte FNA K H II