ใบความรท 15 เรอง ความนาจะเปน

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 15 ความนาจะเปน 3. ความนาจะเปนของเหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณใด เทากบอตราสวนของจ านวนผลทจะเกดเหตการณนน ตอจ านวนผลทงหมดทอาจเกดขนได

หรอ ความนาจะเปนของเหตการณใด = ไดจะเกดขนงหมดทอาจจ านวนผลทนนในเหตการณจะเกดขนจ านวนผลท

เมอผลทงหมดทอาจจะเกดขนจากการทดลองสม แตละตวมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน ก าหนดให E เปนเหตการณทเราสนใจ P(E) เปนความนาจะเปนของเหตการณนน n(s) เปนจ านวนสมาชกทงหมดทเกดขนไดจากการทดลองสม n(E) เปนจ านวนสมาชกของเหตการณทเราสนใจ

ดงนน P(E) = )(

)(

Sn

En

ตวอยางท 1 ขวดแกวใบหนง มลกแกวอย 10 ลก เปนลกแกวสขาว 7 ลก ทเหลอเปนลกแกวส

ด า เมอสมหยบลกแกวขนมา 1 ลก ความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสขาวเปนเทาไร และความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสด าเปนเทาไร

วธท า ในขวดแกวมลกแกวสด า 10 - 7 = 3 ลก

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสขาว 107

และความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสด า 103

ตวอยางท 2 จงบอกผลทงหมดทจะเกดขนจากการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง และ จงหาความนาจะเปนทจะไดผลบวกของแตมบนลกเตาทงสองเทากบ 11

วธท า ในการทอดลกเตา 1 ลก ผลทงหมดทจะเกดขน คอ ขนแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดงรป ถาทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ผลทงหมดทเกดขนสามารถแสดงไดดวยตารางตอไปน

ลกเตา ลกท 2

ลกเตาลกท1

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

6

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5)

(6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

ในตาราง สมาชกตวหนา หมายถง แตมของลกเตาลกท 1 และสมาชกตวหลงคอ แตมของลกเตาลกท 2 จะเหนวา จ านวนผลทงหมดทเกดขนเทากบ 36 ผลบวกของแตมทงสองเทากบ 11 เมอลกเตาลกท 1 และลกท 2 ขนหนาตามคอนดบ (5, 6) และ (6, 5) ตามล าดบ

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดผลบวกของแตมบนลกเตาทงสองเทากบ 11 คอ

362 =

181

หมายเหต ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกน 1 ครง จะเกดผลทงหมดเหมอนกบการทอด ลกเตาหนงลกพรอมกน 2 ครง ตวอยางท 3 ในขวดโหลทบใบหนง มลกปงปองสสม 3 ลก และลกปงปองสแดง 2 ลกถาหยบ

ลกปงปองครงละหนงลก แลวใสกลบคน โดยหยบจ านวน 2 ครง จงหาผลทเกดขนทงหมด และความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองทแตละลกมสเดยวกนและเปนลกเดยวกน

วธท า ก าหนดให ส1 ส2 ส3 แทนลกปงปองสสมลกท 1 ลกท 2 และลกท 3 ตามล าดบ

ด1 ด2 แทนลกปงปองสแดงลกท 1 และลกท 2 ตามล าดบ

ดงนนจ านวนผลทเกดขนทงหมดเทากบ 25 จ านวนผลทไดลกปงปองแตละลกมสเดยวกนและเปนลกเดยวกนเทากบ 5 ดงนนความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองทแตละลกมสเดยวกนและเปนลกเดยวกน

เทากบ 255 =

51

ตวอยางท 4 ในการหยบไพ 1 ใบ ออกจากไพส ารบหนง จ านวนผลทงหมดทจะเกดขนเปน เทาไร จงหาความนาจะเปนทจะไดไพหมายเลข 4 โพแดง หรอไพหมายเลข 7 ขาวหลามตด

วธท า ไพ 1 ส ารบ ม 52 ใบ ซงแบงเปน 4 ชด ชดละ 13 ใบ ดงน

ผลทงหมด คอ A โพด า, 2 โพด า, 3 โพด า, ..., K โพด า A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, ..., K โพแดง A ขาวหลามตด, 2 ขาวหลามตด, 3 ขาวหลามตด, ..., K ขาวหลามตด A ดอกจก, 2 ดอกจก, 3 ดอกจก, ..., K ดอกจก จ านวนผลทงหมดทเกดขนเทากบ 52 จ านวนทจะหยบไพ 1 ใบ จะไดไพหมายเลข 4 โพแดง หรอไพหมายเลข 7 ขาวหลามตด เทากบ 2

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดไพหมายเลข 4 โพแดง หรอไพหมายเลข 7

ขาวหลามตดเทากบ 522 =

261

ตวอยางท 5 จากการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน 1) ทแตมเปนจ านวนคทงสองลก 2) ผลรวมของแตมบนหนาของลกเตาทงสองมากกวา 10 3) ผลรวมของแตมบนหนาของลกเตาทงสองเปน 15 4) ผลรวมของแตมบนหนาของลกเตาทงสองมากกวา 1 วธท า ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกนผลลพธทเกดขนทงหมดเปนดงตาราง จ านวนผลลพธทงหมดทเกดขนเทากบ 36 1) เหตการณทแตมเปนจ านวนคทงสองลก ไดแก (2, 2), (2, 4) (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6) จ านวนเหตการณทสนใจทงหมดเทากบ 9

ความนาจะเปนของเหตการณทแตมเปนจ านวนคทงสองลกเทากบ 369 =

41

2) ผลรวมของแตมมากกวา 10 ไดแก (5, 6), (6, 5), (6, 6) จ านวนเหตการณทสนใจทงหมดเทากบ 3

ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตมมากกวา 10 เทากบ 363 =

121

3) ผลรวมของแตมเทากบ 15 ไมม เพราะผลรวมของแตมสงสดเทากบ 12 จงไมมจ านวนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 15 หรอจ านวนเหตการณนน เทากบ 0

ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 15 คอ 360 = 0

4) ผลรวมของแตมมากกวา 1 ไดแก (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

จ านวนเหตการณทสนใจทงหมดเทากบ 36

ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตมมากกวา 1 เทากบ 3636 = 1

ตวอยางท 6 ในถงใบหนงมลกบอลขนาดเดยวกน แตสตางกนดงน ลกบอลสเขยว 2 ลก ลกบอล สมวง 2 ลก และลกบอลสฟา 1 ลกถาเขยาถงแลวหลบตาหยบลกบอล 2 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดลกบอลสฟา และลกบอลสมวงอยางละลก เมอ

1) หยบทละลก หยบแลวไมใสคน 2) หยบทละลก เมอหยบลกแรกแลวใสคนกอนทจะหยบลกทสอง 3) หยบสองลกพรอมกน

วธท า ให ข1 ข2 แทน ลกบอลสเขยวลกท 1 และลกท 2 ตามล าดบ

ม1 ม2 แทน ลกบอลสมวงลกท 1 และลกท 2 ตามล าดบ

ฟ แทน ลกบอลสฟา

เหตการณทจะไดลกบอลสฟาและสมวง ไดแก (ม1, ฟ), (ม2, ฟ), (ฟ, ม1), (ฟ, ม2)

จ านวนเหตการณทสนใจทงหมดเทากบ 4

1) หยบทละลกหยบแลวไมใสคน ลกบอลทงสองลกจะไมซ ากน จากตาราง จ านวนผลทเกดขนทงหมดเทากบ 20

ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสฟาและลกบอลสมวงเทากบ 204 =

51

2) หยบทละลกหยบแลวใสคน ลกบอลทหยบครงท 2 เปนลกเดยวกบลกบอลท หยบไดครงท 1 จากตาราง จ านวนผลทเกดขนทงหมดเทากบ 25

ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสฟาและลกบอลสมวงเทากบ 254

3) หยบสองลกพรอมกน ลกบอลทงสองจะไมซ ากน การหาคาความนาจะเปนท าได 2 วธ วธท 1 ใหล าดบทของลกบอลทหยบไดเปนลกบอลลกท 1 และลกท 2

ตามล าดบ วธนใชจ านวนผลทเกดขนทงหมด และจ านวนเหตการณ เชนเดยวกบขอ1

ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสฟาและลกบอลสมวงเทากบ

204 =

51

วธท 2 ไมใหล าดบทของลกบอลทหยบไดเนองจากไมทราบวาหยบลกใด กอน ในกรณนจ านวนผลทเกดขนทงหมด และเหตการณแตกตาง ไปจากขอ 1 ดงน

จากตารางขางตนถอวา (ข1, ข2) เหมอนกบ (ข2, ข1), (ข1, ม1)

เหมอนกบ (ม1, ข1), ...

ดงนนจ านวนผลทเกดขนทงหมดเทากบ 10

เหตการณทจะไดลกบอลสฟาและลกบอลสมวง คอ ม1 กบ ฟ

และ ม2 กบ ฟ (สลบทกนได)

จ านวนเหตการณทสนใจเทากบ 2 ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสฟาและลกบอลสมวงเทากบ

102 =

51

ขอสงเกต 1. ความนาจะเปนของเหตการณทไมมโอกาสเกดขนเทากบ 0 2. ความนาจะเปนของเหตการณทเกดขนแนนอนเทากบ 1 3. ความนาจะเปนจะมคาระหวางมากกวาหรอเทากบ 0 และนอยกวาหรอเทากบ 1 นนคอ 0 ≤ P(E) ≤ 1

แบบฝกทกษะท 15 เรอง ความนาจะเปน

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 15

ชอ…………………………………………..ชน………………..เลขท…….

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าในแตละขอตอไปน 1. ในลนชกมถงเทาอย 4 ค เปนถงเทาสด า 2 ค และสขาว 2 ค ถาท าการทดลองสมโดยการหยบถงเทามา 2 ค ใหหาความนาจะเปนทจะไดถงเทาทงสองเปนสเดยวกน

2. ในกลองใบหนงมเบย 6 อน ซงแตละอนเขยนตวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรอ 11 ไว ถาสมหยบเบย 1 อน ออกมาจากกลองใบน จงหาโอกาสทจะไดเบยทมตวเลขเปน

2.1 จ านวนค

2.2 จ านวนเฉพาะ

2.3 จ านวนทหารดวย 3 ลงตว

2.4 จ านวนทเปนก าลงสองสมบรณ

3. หยบลกปงปอง 1 ลก จากถงใบหนง ซงมลกปงปองสแดงอย 15 ลก สขาว 1 ลก สเหลอง 1 ลก สเขยว 1 ลก สฟา 1 ลก และสด า 1 ลก จงหา 3.1 ความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองสแดง 3.2 ความนาจะเปนทจะหยบไมไดลกปงปองสด า 3.3 ความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองสด า หรอสขาว

4. ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1.1 บตรคนแรกเปนชาย 1.2 บตรทงสองคนเปนหญง 1.3 บตรชายอยางนอย 1 คน

1.1 …………………. 1.2 …………………. 1.3 ………………….

2 จากการสอบถามนกเรยน 3 คน วาชอบเรยนคณตศาสตรหรอไม จงหาความนาจะเปนท 2.1 นกเรยนทงสามคนชอบเรยนคณตศาสตร 2.2 นกเรยนอยางนอย 1 คน ไมชอบเรยนคณตศาสตร

2.1 …………………. 2.2 ………………….

3 สมเลอกตวอกษรในค าวา “mountain” จงหาความนาจะเปน 3.1 ทจะเลอกไดสระในภาษาองกฤษ 3.2 ทจะเลอกไดตวอกษรทไมใชสระภาษาองกฤษ 3.3 ทจะเลอกได n

3.1 …………………. 3.2 …………………. 3.3 ………………….

เฉลยแบบฝกทกษะท 15 เรอง ความนาจะเปน

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 15

ชอ…………………………………………..ชน………………..เลขท…….

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าในแตละขอตอไปน 1. ในลนชกมถงเทาอย 4 ค เปนถงเทาสด า 2 ค และสขาว 2 ค ถาท าการทดลองสมโดยการหยบถงเทามา 2 ค ใหหาความนาจะเปนทจะไดถงเทาทงสองเปนสเดยวกน

วธท า สมมต ด 1 แทน ถงเทาสด าคท 1 ด 2 แทน ถงเทาสด าคท 2 ข 1 แทน ถงเทาสขาวคท 1 ข 2 แทน ถงเทาสขาวคท 2 จะได แซมเปลสเปซ S = { ด1ด2 , ด1ข1 , ด1ข2 , ด2ข1 , ด2ข2 , ข1ข2 } ให E แทน เหตการณทหยบไดถงเทาทง 2 ค เปนสเดยวกน จะได E = { ด1ด2 , ข1ข2 }

นนคอ 3

1

6

2EP

2. ในกลองใบหนงมเบย 6 อน ซงแตละอนเขยนตวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรอ 11 ไว ถาสมหยบเบย 1 อน ออกมาจากกลองใบน จงหาโอกาสทจะไดเบยทมตวเลขเปน

2.1 จ านวนค

2.2 จ านวนเฉพาะ

2.3 จ านวนทหารดวย 3 ลงตว

2.4 จ านวนทเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า สมมตให S แทน แซมเปลสเปซของเหตการณทดลองสมครงน 1E แทน เหตการณทหยบไดเบยมตวเลขเปนจ านวนค 2E แทน เหตการณทหยบไดเบยเปนจ านวนเฉพาะ 3E แทน เหตการณทหยบไดเบยเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว

4E แทน เหตการณทหยบไดเบยเปนจ านวนทเปนก าลงสองสมบรณ จะได S = 11,10,9,7,4,3 10,41 E 11,7,32 E

9,4

9,3

4

3

E

E

นนคอ 3

1

6

21 EP

3

1

6

2

3

1

6

2

2

1

6

3

4

3

2

EP

EP

EP

3. หยบลกปงปอง 1 ลก จากถงใบหนง ซงมลกปงปองสแดงอย 15 ลก สขาว 1 ลก สเหลอง 1 ลก สเขยว 1 ลก สฟา 1 ลก และสด า 1 ลก จงหา 3.1 ความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองสแดง 3.2 ความนาจะเปนทจะหยบไมไดลกปงปองสด า 3.3 ความนาจะเปนทจะหยบไดลกปงปองสด า หรอสขาว

วธท า ให S แทน แซมเปลสเปซของการสมหยบลกปงปอง 1 ลก 1E แทน เหตการณทหยบไดลกปงปองสแดง 2E แทน เหตการณทหยบไมไดลกปงปองสด า 3E แทน เหตการณทหยบไดลกปงปองสด า หรอสขาว

ดงนน 4

3

20

1511

sn

EnEP

10

1

20

2

20

19

3

3

22

sn

EnEP

sn

EnEP

4. ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1.1 บตรคนแรกเปนชาย 1.2 บตรทงสองคนเปนหญง 1.3 บตรชายอยางนอย 1 คน

1.1 2

1

1.2 4

1

1.3 4

3

2 จากการสอบถามนกเรยน 3 คน วาชอบเรยนคณตศาสตรหรอไม จงหาความนาจะเปนท 2.1 นกเรยนทงสามคนชอบเรยนคณตศาสตร 2.2 นกเรยนอยางนอย 1 คน ไมชอบเรยนคณตศาสตร

2.1 8

1

2.2 8

7

3 สมเลอกตวอกษรในค าวา “mountain” จงหาความนาจะเปน

3.1 ทจะเลอกไดสระในภาษาองกฤษ 3.2 ทจะเลอกไดตวอกษรทไมใชสระภาษาองกฤษ 3.3 ทจะเลอกได n

3.1 2

1

3.2 2

1

3.3 4

1