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8/17/2019 ProbCIIdeal

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UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA

Dpto. de Ingeniería Eléctrica , Electrónica y Automática

Área de MÁQUINAS ELÉCTRICAS

PROBLEMA: CURVA DE INDUCCIÓN

Idealizar la máquina de la figura ya) representar la curva de caída de tensión magnética

(cdtm) en el entrehierro para cada uno de loscircuitos,

b) representar la curva resultante, sumando lasanteriores,

c) representar la curva de inducción resultante,d) calcular el flujo máximo por polo.

Los datos necesarios son:Bobinado polar:

I ex = 2 A N b = 500ψ = 2/3

Bobinado cilíndrico:r g = 20 cm

A(θ ) = –2500 cos(2θ) A/m

Entrehierro:μ 0 = 4π 10

-7 H/mlax = 30 cm δ = 1,5 mm

RESOLUCIÓN

Apdo. a)

Después de idealizar el rotor, éste queda como en la Fig. 1a.

Fig. 1a. Idealización del rotor

θ = 0

Fig. 1b. Curva de cdtm del rotor

θ π/2

π/6

π 0

1000

cdtm (A-v)(2/3) ( /2)π


2/5


3/5




Hay que tener en cuenta dos cosas para simplificar el cálculo:1.

Esta integral nos da la cdtm en θ pero, por simetría, cambiando el signo delresultado, obtendríamos la cdtm en θ + π/p. Por tanto basta resolver medio ciclo(en este caso entre 0 y π/2 pues p = 2) y completar el ciclo repitiendo la curva

obtenida con signo contrario.2. Por otro lado, debemos ir integrando en los intervalos en los que la definición dela función subintegral no varíe formalmente.

De esta forma, los intervalos a integrar son los siguientes:• Entre θ = 0 y π/6 la expresión (1) queda particularizada y resuelta como sigue:

/ 6 / 2

/ 3

1( ) ( 2500)(0,2) cos(2 ) cos(2 )

2cdtm d d

π θ π

θ π θ θ θ θ θ

+⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ =

= [ ] [ ]1 1

250 sen(2 / 6) sen(2 ) sen(2 2 / 2) sen(2 / 3)2 2

π θ θ π π ⎧ ⎫− − + + −⎨ ⎬⎩ ⎭

=

= [ ]125 sen(2 ) sen(2 )θ θ π − − + + = [ ]125 2sen(2 )θ − − =

= + 250 sen (2θ

)

Esta función da, por tanto, el tramo de la curva de cdtm entre θ = 0 y π/6, lugaren el que la cdtm vale 216,5 A-v como se ve en la Fig. 2b.

• Entre θ = π/6 y π/3 la línea concatena la misma distribución de corriente que enθ = π/6, luego en este intervalo la cdtm es constante (ver Fig.2b)

• Entre θ = π/3 y π/2 (este intervalo podría llevarse hasta 2π/3, pero no esnecesario, como se ha justificado) la semicorriente concatenada vale:

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

θ

(rad)

A

( A / m )

ππ/2π/6

Fig. 3. Distribución de corriente de capa

5π/62π/3π/3


4/5




2 /3 /2

5 / 6

1( ) ( 2500)(0,2) cos(2 ) cos(2 )

2cdtm d d

π θ π

θ π θ θ θ θ θ

+⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ =

= [ ] [ ]1 1250 sen(4 / 3) sen(2 ) sen(2 2 / 2) sen(5 / 3)2 2

π θ θ π π ⎧ ⎫− − + + −⎨ ⎬⎩ ⎭

=

= [ ]125 sen(2 ) sen(2 )θ θ π − − + + = [ ]125 2sen(2 )θ − − =

= + 250 sen (2θ

)

Analíticamente la solución es la misma que en el caso anterior, pero el intervalo deaplicación en θ es diferente y conduce al tramo que aparece en la Fig. 2b y querepresentamos hasta θ = 2π, pues ahí se cubre un semiperiodo. El resto de la curva(entre θ = π/2 y π) se construye repitiendo este semiperiodo con signo contrario.

Apdo. b)

La curva de cdtm resultante aparece en la Fig. 4a y es el resultado de sumar las curvasde las Figs. 1b y 2b.

Apdo. c)

Como sabemos, la inducción en cada punto θ del entrehierro se calcula a partir de lacdtm en dicho punto como:

0 B cdtm μ

δ =

Como μ 0/δ es constante en θ , la curva de inducción tiene la misma forma que la de laFig. 4a, pero escalada por el factor:

70

3

4 10

1,5 10

μ π

δ

−

−

×= =

×0,000838

Fig. 4a. Curva de cdtm resultante

θ π/2π/6 π 0

216,5

cdtm (A-v)

1216,5

0,18

B (T)

1,02

Fig. 4b. Escala para B


5/5




La Fig. 4b muestra los valores más significativos de la escala correspondiente a la curvade inducción.

Apdo. d)

El flujo máximo por polo es el producto de la longitud axial, lax, por el radio delentrehierro, r g, y por el área de la curva de inducción entre dos líneas neutras.Matemáticamente,

Φ = lax r g/

( ) LN p

LN B d

π

θ θ +

∫

ya que la integral es el área mencionada.En la figura 5 se ha elegido, para resolver la integral, las posiciones A y B (área

sombreada), separadas, por supuesto, π/2.

La simple observación permite resolver el área en dos sumas: la inferior, llamémosla A1, y la superior, llamémosla A2. A1 es un rectángulo:

A1 = 0,18· π/2 ≈ 0,285 (ui) A2 tiene su lado superior con la forma de la función senoidal que aparece en la Fig. 2b,en esa misma posición del entrehierro. Su valor medio es nulo y esto permite resolveresta zona como:

A2 = (0,84 – 0,18) π/3 ≈ 0,691 (ui)

En consecuencia, el flujo valdrá:Φ = lax r g ( A1 + A2) = 0,3 · 0,2 (0,285 + 0,691) ≈ 0,0586 Wb,

es decir:

= 58,6 mWb

Fig. 5. Área para el cálculo del flujo máximo

θ π/2π/6 π 0

0,18 B

1,02

A

B (T)

C

D0,84

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