Problem Korelasi Regresi-ANOVA Biostatik Nurul 081210

Penyelesaian Kasus Korelasi dan RegresiCourse : Nutrition Biostatistik

1. Contoh Korelasi Product Moment

Sebuah penelitian untuk mengetahui ada tidaknya hubungan pendapatan dan pengeluaran. Untuk itu dipilih sampel 10 orang secara acak. Data pendapatan dalan ratusan ribu sebagai berikut : 800, 900, 700, 600, 700, 800, 900, 600, 500, 500 per bulan. Sementara data pengeluaran 300, 300, 200, 200, 200, 200, 300, 100,100,100 per bulan. Hitung koefesien korelasi dan ujilah hipotesis nol bahwa tidak ada hubungan antara pendapatan dan pengeluaran dengan uji taraf nyata 0,05

Jawaba. Hipotesis

H0 : = 0H1 : 0

b. Work Sheet untuk mencari Koefesien Korelasi

x(ratusan ribu)

y(ratusan ribu)

x - x y - y X2(x - x)

Y2(y - y)

XY

800900700600700800900600500500

300300200200200200300100100100

1002000-1000100200-100-200-200

1001000000100-100-100-100

100004000001000001000040000100004000040000

1000010000000010000100001000010000

1000020000000020000100002000020000

∑= 7.000X = 700

∑= 2.000Y = 200

∑=200.000 ∑=60.000 ∑=100.000

c. Koefesien korelasi Product Moment

∑ xy Rumus rxy =

∑x2 y2

100.000 rxy =

200.000 x 60.000= 0,9129

Korelasi-regresi_Nutrition Biostatistic_prepared by Nurul/8 Desember 2010 Page 1

d. Pengujian hipotesis 1. Bandingkan r tabel Lihat tabel r Product Moment dengan N=10 dan taraf nyata 5% r tabel =0,632 r hitung 0,9129 > r tabel 0,632 Kesimpulan H0 ditolak dan H1 diterima jadi ada hubungan yang signifikan antara Pendapatan dan Pengeluaran dan nilai koefesien korelasi antara Pendapatan dan Pengeluaran sebesar 0,9129

2. Uji t t = 0,9129 √10-2

√ 1 (0.9129)2

= 6,33 t tabel dengan uji taraf nyata 5% dan uji dua pihak dan dk = n-2 =8 maka t tabel = 2,306 t hitung 6,33 > t tabel 2,306 jadi Ho ditolak dan ada hubungan yang signifikan antara Pendapatan dan Pengeluaran dan nilai koefesien antara Pendapatan dan Pengeluaran sebesar 0,9129

2. Contoh Korelasi Parsial

Korelasi antara IQ dengan nilai kuliah 0,58 dan korelasi antara nilai kuliah dengan waktu belajar 0,1 serta korelasi antara IQ dengan waktu belajar – 0,4. Jika waktu belajarnya sama berapa korelasi antara IQ dengan nilai kuliah dan uji signifikannya dengan uji taraf nyata 5% dan jumlah sampel 25

Y = nilai kuliahX1 = waktu belajarX2 = IQ ryx2 = 0,58rx1x2 = 0,1ryx1 = - 0,4Jika x1(waktu belajar dikendalikan) maka

ryx2 – ryx1 rx1x2

Ryx2x1 = √1 – r2

x1x2 - √1 – r2yx1

= 0,58 – (-0,4) (0,1)

√1-(-0,4)2 - √1-(0,1)2

= 4,35


Untuk pengujian hipotesis bandingkan dengan t tabel dk = n – 1 =25-1 dan uji dua pihak maka t tabel 2,064.Jadi t hitung 4,35 > t tabel 2,604 dan H0 ditolak

3. Contoh Korelasi GandaSebuah penelitian yang berjudul :Hubungan antara kepemimpinan dan tata ruang kantor dengan kepuasan kerja pegawai di lembaga A. Berdasarkan data yang terkumpul untuk setiap variabel dan setelah dihitung korelasi sederhannya ditemukan Korelasi antara kepemimpinan dan kepuasan kerja pegawai r1=0,45; antara tata ruang kanor dengan kepuasan kerja pegawai r2=0,48 serta korelasi antara kepemimpinan dengan tata ruang kantor r3= 0,22. Hitung korelasi ganda dan uji hipotesisnya dengan taraf nyata 5% dan jumlah sample 30

Jawab:

Rumus Ryx1x2 = (0,45)2 + (0,48)2 – 2(0,45)(0,48)(0,22) √ 1 – (0,22) 2

= 0,5959 Pengujia hipotesis

Rumus Fh = R2/k (1-R2)/(n-k-1)

Fh = (0,5959)2/2 (1-(0,5959)2)/(30-2-1)

= 7,43

Bandingkan dengan harga F tabel dengan dk pembilang/numerator =k dan dk /denumerator = (n-k-1). Jadi dk pembilang 2 dan dk penyebut = 10-2-1 =7. Dengan taraf kesalahan 5% harga F tabel 4,74

F hitung 7,43 > Ftabel 4,74 jadi H0 ditolakJadi Ada hubungan yang signifikan


4. Regresi Linear Sederhana

Langkah-langkah membuat persamaan regresi linear sederhanaa. Hitung nilai ∑xi , ∑yi, ∑X2, ∑Y2, ∑xiyib. Hitung harga a dan bc. Susun Persamaan regresi d. Buat garis regresie. Uji Linearitas Regresi

- Asumsi analisis regresi adalah linearitas artinya garis regresi antara X dan Y membentuk garis linear

Rumus JK (T) = ∑Y2

JK (a) = (∑Y)2

n

JK (b│a) = b ∑XY – (∑X) (∑Y)

n

= {n ∑XY – (∑X) (∑Y) }2

n { n ∑ X2 – (∑X)2 }

JK (S) = JK (T) – JK (a) – JK (b│a)

JK (G) = ∑ ∑Y2 – (∑Y)2

xi ni

JK (TC) = JK (S) – JK (G)

Keterangan :JK (T) = Jumlah Kuadrat TotalJK (a) = Jumlah Kuadrat Koefesien aJK (b│a) = Jumlah Kuadrat Regresi (b│a)JK (S) = Jumlah Kuadrat SisaJK (TC) = Jumlah Kuadrat Tuna CocokJK (G) = Jumlah Kuadrat Galat


Untuk mempermudah uji linearitas gunakan tabel berikut ini

Daftar Analisis Varians (ANOVA) Regresi Linear SederhanaSumber Variasi dk JK KT FTotal n ∑Y2 ∑Y2

Koefesien (a)

Regresi (b│a)

Sisa

1

1

n-2

JK (a)

JK (b│a)

JK (S)

JK (a)

S2reg = JK (b│a)

S2sis = JK (S)

n - 2

S2reg

S2sis

Tuna Cocok

Galat

k-2

n-k

JK (TC)

JK (G)

S2TC = JK (TC)

k - 2

S2G = JK (G)

n - k

S2TC

S2G

dk: derajat kebebasan JK : jumlah kuadrat KT : kuadrat tengah

ContohSebuah permintaan terhadap bahan makanan (Y) bergantung dari Produk Nasional Bruto (X) dan data yang diperoleh sebagai berikut :

Tahun Permintaan Bahan Makanan (Y) Produk Nasional Bruto (X)1960196119621963196419651966196719681969

67810891091110

50525559575862657870


Jawab :a. Worksheet untuk Analisis Regresi Sederhana

Y Xi Y2 Xi2 YXi67810891091110

50525559575862657870

364964100648110081121100

2.5002.7043.0253.4813.2493.3643.8444.2256.0844.900

300364440590456522620585858700

∑ 88 ∑ 596 ∑ 796 ∑ 35.916 ∑ 5.325

b. Perhitungan nilai a dan b (∑yi) (∑xi2) – (∑xi) (xiyi)a = n ∑xi2 – (∑xi)2

(88) (35.916) – (596) (5.325)a = 10 (35.916) - (596)2 = - 3,3

n ∑xiyi - (∑xi) (∑yi)b = n ∑xi2 – (∑xi)2

10 (5.325) – (596) (88)b = 10 (35.916) - (596)2

= 0,203

c. Persamaan regresi Linear sederhana

Y = - 3,3 + 0,203 X


d. Uji linearitas

JK (T) = ∑Y2 = 796

JK (a) = (∑Y)2

n

= (796)2 = 63.361,6

10

JK (b│a) = 0,203 5.325 – (596) (88)

10

= - 956,6

JK (S) = JK (T) – JK (a) – JK (b│a)

= 796 – 63.361,6 – (-956,6)

= - 61.609

JK (G) = ∑ ∑Y2 – (∑Y)2

xi ni

X Kelompok ni Y

50

52

55

57

58

59

62

65

70

78

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

36

49

64

64

81

100

100

81

100

121

JK (G) = { (362 – (36)2/1) + (492 – (49)2/1) + (642 – (64)2/1) + (642 – (64)2/1) +

(812 – (81)2/1) + (1002 – (100)2/1) + (1002 – (100)2/1) + (812 – (81)2/1) +

(1002 – (100)2/1) + (1212 – (121)2/1) }

= 0

JK (TC) = - 61.609 – 0

= - 61.609


Daftar Analisis Varians (ANOVA) Regresi Linear SederhanaSumber Variasi dk JK KT FTotal 10 796

Koefesien (a)

Regresi (b│a)

Sisa

1

1

10-2

63.361,6

- 956,6

- 61.609

S2reg = -956,6

S2sis = - 61.609

10 – 2

= - 7.701,13

S2reg

S2sis

- 956,6/-7.701,3= 0,124

Tuna Cocok

Galat

10-2

10-10

- 61.609

0

S2TC = - 61.609

8 = - 7.701,13S2

G = 0

0

S2TC

S2G

-7.701,13/0= 0

Uji Hipotesis

H0 : koefesien arah regresi tidak berarti ( b=0)

H1 : Koefesien regresi berarti (b0)

Dengan uji taraf nyata 5 %

F hitung = S2reg

S2sis

0,124

Cari F tabel dengan dk pembilang = 1 dan dk penyebut = n – 2

Kriteria H0 ditolak jika F hitung > F tabel

F tabel (1,8) = 5,32.

F hitung 0,124 < F tabel.

Kesimpulan H0 diterima

Uji Linearitas

H0 : Regresi linear

H1 : Regresi non linear

F hitung = S2TC = 0

S2G

Cari F tabel dengan dk pembilang (k – 2) dan dk penyebut ( n – k)

Kriteria H0 ditolak jika Fhitung > F tabel

F tabel dk pembilang (10-2) dan dk penyebut (10-10) = 238,9

F hitung < F tabel jadi H0 diterima


5. Regresi Ganda

Diduga ada hubungan yang linear antara pengeluaran untuk pakain (Y) dengan total pengeluaran (X1) dan

harga bahan pakaian (X2). Buat persamaan regresi berganda dari data dibawah ini

Pengeluaran untuk pakaian(puluhan ribu)

Total Pengeluaran(puluhan ribu)

Harga Bahan Pakaian(puluhan ribu)

3,54,35,06,07,09,08,010,012,014,0

15203042505465728590

16131077543

3,52,0

Jawab

Worksheet untuk Regresi ganda

Y X1 X2 Y2 X12 X2

2 YX1 YX2 X1X2

3,54,35,06,07,09,08,010,012,014,0

15203042505465728590

16131077543

3,52,0

12,2518,49

2536498164100144196

225400900

1.7642.5002.9164.2255.1847.2258.100

2256169100494925169

12,24

52,586150252350486520720

1.0201.260

5655,95042494532304228

240260300294350270260216

297,5180

78,8 523 70,5 725,74 33.439 689,25 4.896,5 429,9 2.667,5

Persamaan a dan b

78,8 = 10 a + 523 b1 + 70,5 b2 (persamaan 1)

4.896,5 = 523 a + 33.439 b1 + 2.667,5 b2 (persamaan 2)

429,9 = 70,5 a + 2.667,5b1 + 689,25 b2 (persamaan 3)


Persamaan matematika :

4.121,2 = 523a + 27.352,9 b1 + 3.687,2 b2 (persamaan 1)

4896,5 = 523 a + 33.439 b1 + 2.667,5 b2 (persamaan 2)

- 775,3 = 0 + 6.086,1b1 + 1.019,7 b2 (persamaan 4)

555,54 = 70,5a + 3.687,2 b1 + 497,03 b2 (persamaan 1)

429,9 = 70,5 a + 2.667,5b1 + 689,25 b2 (persamaan 3)

125,64 = 0 + 1,019,7 b1 + 192,22 b2 (persamaan 5)

- 790.573,4 = 6.205.996,1 b1 + 1.039.788 b2 (persamaan 4)

764.657,6 = 6.205.996,1 b1 + 1.169.870,1 b2 (persamaan 5)

- 1.555.231 = 0 – 130082,1 b2

Maka b2 = -1.555.231/-130.082,1

= 11,96

125,64 = 1.019,7 b1 + 192,22 (11,96)

Maka b1= -2.173,3 /1.019,7

= - 2,13

4.121,2 = 523a + 27.352,9 (-2,13) + 3.687,2 (11,96)

a = 34,96

Persamaan regresi ganda =

Y = 34,96 – 2,13 X1 + 11,96 X2

Catatan :

a. Koefesien determinasi regresi sederhana

R2 = b2 ∑X2

∑Y2

b. Koefesien determinasi regresi ganda

R2 = b12 ∑X1Y + b2 ∑X2Y

∑Y2

c. Penyusunan selang kepercayaan

S2e = n – 1 (S2y – b2S2x)


n – 2

S2x = n ∑ X2i – (∑Xi)2

n (n-1)

S2y = n ∑ Y2i – (∑Yi)2

n (n-1)

S2a = S2y 1/n + x2

∑ (xi- x )2

S2b = S2y / ∑ (xi- x )2

Selang kepercayaan

a – t1/2(1+) Sa < 1 < a + t1/2 (1+ ) Sa

a – t1/2(1+) Se ∑ X2i < 1 < a + t1/2 (1+ ) Se ∑ X2i Sx n (n-1) Sx n (n-1) dengan derjat kebebasan dk = n- 2 pada distribusi t

contoh :

Buat selang kepercayaan 95% jika S2x = 61,174 dan S2e = 18,656 dan ∑ X2i = 44.475 dan

a = 30,056

Tabel t 0.025 = 2.228 dengan n =12 jadi dk = 10

Maka selang kepercayaan

7,510 < < 53,602


Analysis of Variance (ANOVA)

Problem : Sebuah penelitian ingin mengetahui tingkat produktivitas 15 karyawan sebuah pabrik setelah

diberi intervensi tablet besi dan tablet besi ditambah vitamin C selama 1 bulan. Dari hasil pengukuran

diperoleh data sebagai berikut:

No Produktivitas kerja sebelum intervensi

(X1)

Produktivitas kerja pada kelompok

intervensi Tablet Besi (X2)

Produktivitas kerja pada kelompok

intervensi Tablet Besi + Vitamin C (X3)

123456789101112131415

121310151314101213141310131015

131512181517182014161816151316

181814201519202118171719161714

Sebelumnya kita uji homogenitas varians

Fhit = varians terbesar : varians terkecil

Kelompok 1 s2 = 3,12, kelompok 2 s2 = 4,92 dan kelompok 3 s2 = 4,55

F hit = 4,92 / 3,12 = 1,58

Ftabel dengan dk pembilang =n2 -1 dan dk penyebut = n1 – 1dan dari Ftabel untuk 5 % dengandk

pembilang dan penyebut 14 adalah 2,48

Jadi Fhit < F tabel maka varians adalah homogen

Jawaban

Step 1 :

H0 : µ1 = µ2 = µ3

H1 : µ1 µ2 µ3

Step 2 :

= 5%


Step 3 :

Worksheet untuk menghitung ANOVA

NO Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Jumlah total

X1 X12 X2 X22 X3 X32 Xtot Xtot2

123456789101112131415

121310151314101213141310131015

144169100225169196100144169196169100169100225

131512181517182014161816151316

169225144324225289324400196256324256225169256

181814201519202118171719161714

324324196400225361400441324289289361256289196

434636534350485345474845444045

637718440949619846824985689741782689650558677

total 187 2375 236 3782 263 4675 686 10832

n1 = 15 n2 = 15 n3 = 15 N=45

Rata-rata 12,47 15,73 17,53

s2 3,12 4,92 4,55

a. Menghitung Jumlah Kuadrat Total (JK tot) (∑X)2 (686)2

JK tot = ∑X2 – = 10.832 - = 374,3 N 45

b. Menghitung Jumlah Kuadrat Antar Kelompok (JK ant) (∑ Xkel)2 (∑ Xtot)2

JK ant = ∑ - nkel N = 1872 2362 2632 6862

+ + - 15 15 15 45 = 197,92

c. Menghitung Jumlah Kuadrat Dalam Kelompok (JK dal)JK dal = JK tot – JK ant

= 374,3 – 197,92= 176,38


d. Menghitung Mean Kuadrat Antar Kelompok (MK ant)Mk ant = JK ant = 197,92 = 98,96

m – 1 3 - 1

m adalah jumlah kelompok sampel

e. Menghitung Mean Kuadrat Dalam Kelompok (MK dal) JK dal = 176,38 = 4,2

MK dal = N – m 45 – 3 N adalah ju,lah seluruh anggota sampel

f. Menghitung F hitung (Fhit)

Fhit = MK ant = 98,96 = 23,56 MK dal 1,82

Step 4 :Membandingkan Fhit dengan F tabelF tabel dengan dk pembilang (m-1) dan dk penyebut (N-1) adalah 3,22 pada

(dk pembilang 2 dan dk penyebut 44)

Wilayah kritis : H0 ditolak jika Fhit > FtabelFhit 23,56 > Ftabel 3,22 maka H0 ditolak

Tabel Ringkasan ANOVA Hasil PerhitunganSumber Variasi

dk Jumlah Kuadrat

MK Fhit Ftabel Keputusan

Total N – 145 - 1

JK tot374,3

23,56Pada 5%

= 3,22

Fhit > Ftabel23,56 > 3,22

Jadi H0 ditolak dan H1 diterima

Antar Kelompok

m – 13 - 1

JK ant197,92

98,96

Dalam Kelompok

N – m45 - 3

JK dal176,38

4,2


Analisis Varians Dua Arah (Two way Anova)

Problem:Sebuah penelitian ingin mengetahui hasil padi dengan menggunakan 4 varietas bibit padi

yang berbeda dan tiga jenis pupuk yang berbeda. Dan dari hasil penelitian diperoleh data sebagai berikut:

Hasil Padi dalam Kilogram Varitas Padi Jenis Pupuk Total

V1 V2 V3T1T2T3T4

64555958

72576657

74475853

210159183168

Total 236 252 232 720

Jawaban

Step 1 :

H01 : Tidak terdapat perbedaan hasil padi berdasarkan jenis pupuk yang diberikan H02 : Tidak terdapat perbedaan hasil padi berdasarkan variatas padi yang ditanamH03 : Tidak ada interaksi antara jenis pupuk dan variatas padi terhadap hasil padi

Step 2 :

= 5%

Step 3 :

Worksheet untuk menghitung ANOVA

NO Kelompok 1

(pupuk V1)

Kelompok 2

(pupuk V2)

Kelompok 3

(pupuk V3)

Jumlah total

X1 X12 X2 X22 X3 X32 Xtot Xtot2

Kelompok dengan variatas padi T1

64 4096 72 5184 74 5476 210 44100


55 3025 57 3249 47 2209 159 25281


59 3481 66 4356 58 3364 183 33489


58 3364 57 3249 53 2809 168 28224

total 236 55696 252 63504 232 53824 720 518400

Rata-rata 59 13924 63 15876 58 13456 180 129600


a. Menghitung Jumlah Kuadrat Total (JK tot) (∑X)2 (720)2 JK tot = ∑X2 – = 518.400 - = 475.200 N 12

b. Menghitung Jumlah Kuadrat Kolom (∑ Xkol)2 (∑ Xtot)2 JK kol = ∑ - nkol N = 2362 2522 2322 7202

+ + - 4 4 4 12 = 56

c. Menghitung Jumlah Kuadrat Baris (∑ Xbar)2 (∑ Xtot)2 JK bar = ∑ - nbar N = 2102 1592 1832 1682 7202

+ + + - 3 3 3 3 12 = 498

d. Menghitung Jumlah Kuadrat InteraksiJK int = JK bag – (JK tot + JK bar)

= {(642)/1+ (722)/1+ (742)/1 + (552)/1+ (572)/1+ (472)/1+ (592)/1+(662)/1 + (582)/1 + (582)/1+ (572)/1+ (532)/1 – (7202)/12} – (475.200 + 498)

= 0 – 475.698

e. Menghitung jumlah kuadrat dalam kelompok (JK dal)JK dal = JK tot – (JK kol + Jk bar + JK int)

= 475.200 – (56 + 498 -475.698)= 475.200 – 475.144

= 56

f. Menghitung dk- dk kolom = k – 1 =3 – 1 = 2- dk baris = b – 1 = 4 – 1 = 3- dk interaksi = dk kolom, x dk baris = 2 x 3 = 6- dk dalam = (N- kxb) = (12 – 3x4) = 0- dk total = (N-1) = 12-1 =11


g. Menghitung Mean Kuadrat (MK)- MK kol = JK kol/dk kol

= 56/2 = 28

- MK bar = JK bar/dk bar = 498/3 = 166

- MK int = JK int/dk int = - 475.698 /6

= - 79,283- MK dal = JK dal/dk dal

= 56/0 = 0

h. Menghitung F hitung (Fhit) - Fhit kol = MK kol/MK dal

= 28/0- Fhit bar = MK bar/MK dal

= 166/0- Fhit int = MK int/MK dal

= - 79,283 /0

i. Mencari F tabel * Kolom : dk pembilang (dk kolom) dan dk penyebut (dk dalam) (F2,0) dengan uji 5% = * Baris : dk pembilang (dk baris) dan dk penyebut (dk dalam) (F3,0) dengan uji 5% = * Interaksi : dk interaksi (dk interaksi dan dk penyebut (dk dalam) (F6,0) dengan uji 5% =

Tabel Ringkasan ANOVA Hasil PerhitunganSumber Variasi

dk Jumlah Kuadrat

Mean Kuadrat

Fhit F tabel 5 %

Antar Kolom 2 56 28 0Antar Baris 3 498 166 0Interaksi (kolom x baris)

6 -475.698 - 79,283 0

Dalam 0 6 0Total 11 475.200

j. KesimpulanH0 ditolak jika F hit > F tabel


Documents

Problem Korelasi Regresi-ANOVA Biostatik Nurul 081210