UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky

II. kvalifikačná skúška pedagogických pracovníkov

BRATISLAVA 2007

1

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky

PROBLÉM TOTOŽNOSTI

V MATEMATIKE A FILOZOFII

(Úvahy o presnosti vyjadrovania)

Záverečná práca ku II. kvalifikačnej skúške

pedagogických pracovníkov

autor: RNDr. Slavomír FLIMMEL, Gymnázium Púchov

vedúci práce: Doc. RNDr. Štefan SOLČAN, PhD.

BRATISLAVA 2007

2

Motto:

„Povedať o dvoch veciach, že sú totožné, je nezmysel a povedať o jednej veci, že je

totožná sama so sebou, nehovorí vôbec nič.“

(Ludwig Wittgenstein: Tractatus logico-philosophicus, 1921)

Čestne prehlasujem, že som prácu vypracoval samostatne s použitím

uvedenej literatúry a na základe konzultácií s vedúcim práce.

__________________________

3

ABSTRACT

Témou práce je pojem totožnosti vo filozofii a rôznych oblastiach matematiky

s dôrazom na geometriu. Na príklade rôznych vydaní a prekladov Hilbertových axióm

incidencie práca poukazuje na problematičnosť používania tohto pojmu v elementárnej

geometrii. Autor práce predstavuje možnú klasifikáciu rôznych druhov totožností

v geometrii a vlastné návrhy symbolického a slovného vyjadrenia axióm incidencie.

4

OBSAH

ÚVOD ............................................................................................... 5

1. TOTOŽNOSŤ A AXIÓMY SPOJENIA D.HILBERTA ............ 6

1.1. BESTIMMEN VERSUS INCIDUJE............................................. 7

1.2. EINE - NEJAKÁ VERZUS JEDINÁ.......................................... 10

1.3. VONEINANDER VERSCHIEDENE VERZUS TOTOŽNÉ........... 12

1.4. REVÍZIA AXIÓM V NOVŠÍCH VYDANIACH .......................... 15

2. TOTOŽNOSŤ Z POHĽADU FILOZOFIE ............................... 17

2.1. STAROVEKÁ FILOZOFIA A TOTOŽNOSŤ ............................. 18

2.2. NOVOVEKÁ FILOFOFIA A TOTOŽNOSŤ .............................. 20

3. TOTOŽNOSŤ V MATEMATIKE ............................................ 26

3.1. TOTOŽNOSŤ V LOGIKE ........................................................ 27

3.2. TOTOŽNOSŤ V TEÓRII MNOŽÍN .......................................... 28

3.3. TOTOŽNOSŤ V ALGEBRE .................................................... 30

3.4. TOTOŽNOSŤ V GEOMETRII ................................................. 31

3.5. KLASIFIKÁCIA TOTOŽNOSTI V GEOMETRII........................ 32

4. DODATOK I - HILBERTOVE AXIÓMY SPOJENIA ............ 35

4.1. HILBERTOVE AXIÓMY V LITERATÚRE ............................... 35

4.2. NOVÉ VYJADRENIA HILBERTOVÝCH AXIÓM .................... 44

5. DODATOK II - EUKLIDOVE AXIÓMY ................................ 51

ZÁVER ........................................................................................... 56

ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY ......................................... 57

5

ÚVOD

Ako stredoškolský učiteľ matematiky sa často stretávam s pre mňa ťažko

pochopiteľným tvrdením, že dva geometrické objekty sú totožné. Napríklad musím učiť

žiakov, že základnou vzájomnou polohou dvoch priamok je rovnobežnosť a súčasne

totožnosť týchto priamok. V mojom ponímaní dve totožné priamky nie sú nikdy dve,

ale jedna. Môjmu rozumu sa prieči uznať jednu priamku za prípad vzájomnej polohy

dvoch priamok.

Tento prístup je veľmi zakorenený vo všetkých učebniciach matematiky, kde sa

často pri zadaniach napr. dvoch bodov zdôrazňuje slovo rôzne. Ako by mohli byť dva

body aj nerôzne! Viem si predstaviť dve pomenovania alebo určenia jedného bodu, ale

tým sa pre mňa ešte nestanú z jedného bodu body dva.

V kurze „Porovnávacia geometria 02“ som mal problém odpovedať na otázku

I.Lénárta: „Koľko spoločných kolmých hlavných kružníc môžu mať na guľovej ploche

dve rôzne hlavné kružnice?“1. Viem, že sa odo mňa očakávala odpoveď – „jedna hlavná

kružnica“. Lenže, ak chcem byť presný, musím si všimnúť, že zadávateľ úlohy niekedy

považuje jednu hlavnú kružnicu za dve (zdôraznením, aby dané hlavné kružnice boli

rôzne). Keď uznám, že jedna hlavná kružnica môže byť považovaná za dve alebo viac

totožných hlavných kružníc, riešením úlohy nemôže byť jedna, ale nekonečne veľa

(navzájom totožných) hlavných kružníc.

Problém vidím v tom, že takto chápaná totožnosť nám neprináša nič užitočné a len

vedie k ďalším otázkam, ktoré by boli inak zbytočné: Koľko prvkov má množina, ktorá

obsahuje len dva navzájom totožné body? Stanú sa z jedného bodu dva body tým, že im

dám dve mená? Je bod bodom, ak nemá meno? Koľko totožných bodov môže

obsahovať jeden bod? Ak môže byť jeden bod považovaný za viaceré body, čo vlastne

znamená slovné spojenie „jeden bod“? Môžu existovať dve totožné pomenovania

nejakého bodu?

Pri hľadaní koreňov takéhoto uvažovania o totožnosti dvoch bodov som prišiel až

ku D.Hilbertovi a jeho knihe Grundlagen der Geometrie (1899). Hilbert podobné

formulácie vložil do samých základov euklidovskej geometrie – do jej prvých axióm.

Vďaka nemu pravdepodobne vznikla otázka: „Koľko priamok prechádza dvomi

rôznymi bodmi?“, na ktorú neviem bez pochybností jednoznačne odpovedať.

1 zvýraznil S.F.

6

1. TOTOŽNOSŤ A AXIÓMY SPOJENIA D.HILBERTA

Keď na úvodných hodinách hovorím študentom o geometrii ako o exaktnej vede,

kde veľmi záleží na každom slove, vždy narazím na problém Euklidových axióm.

Axiómy euklidovskej geometrie tak, ako sa učia na slovenských školách, neboli

pre mňa nikdy také jasné a jednoznačné, aby som ich mohol dať za príklad presnosti

a exaktnosti svojim študentom. Najväčší problém mám s pochopením, prečo sa

formuluje jej prvá axióma zvyčajne nasledovne: „Každými dvoma rôznymi bodmi

prechádza práve jedna priamka.“ Chápem, čo chce autor povedať, ale nechápem prečo

to hovorí takto zavádzajúco, prečo do znenia axiómy vkladá slovo „rôznymi“.

Dlho som si myslel, že je to len chyba slovenského prekladu, ale nedávno som na

internete našiel originálne znenie týchto axióm od D.Hilberta a s prekvapením som

čítal:

„I.1. Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

(Two distinct points A and B always completely determine a straight line a.)

I.2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen

diese Gerade.

(Any two distinct points of a straight line completely determine that line.)

I.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte ...“

(Upon every straight line there exist at least two points, ...)2

Pri preklade Hilbertových axióm predo mnou vyvstalo naraz niekoľko problémov,

ktoré všetky súvisia s pojmom totožnosť. Dajú sa stručne vyjadriť ako:

• bestimmen verzus inciduje,

• eine - nejaká verzus jediná,

• voneinander verschiedene verzus totožné.

Počas ich riešenia som narážal na hranice možností nášho jazyka, keď som

určoval určenie, rozmýšľal o menách mien (pojmov) a o podstate podstaty (totožnosti).

V mojom trápení s jednotlivými pojmami ma čiastočne upokojil L.Wittgenstein, keď

som si prečítal jeho upozornenia:

„Idea nám sedí na nose ako okuliare a čo vidíme, vidíme cez ne. Vôbec nám

nezíde na um zložiť ich. ... Naše formy vyjadrovania nám totiž rozmanitým spôsobom

bránia vidieť, že ide o celkom obyčajné veci, a posielajú nás naháňať chiméry. ...

Filozofia je boj proti pobosorovaniu nášho rozumu prostriedkami nášho jazyka.“3

2 Hilbert, 1. nemecké vydanie z roku 1899, americké vydanie z roku 1902, podčiarkol S.F. 3 Wittgenstein , 1979, s.72-73

7

1.1. BESTIMMEN VERSUS INCIDUJE

Pojem určuje sa používa v matematike vo viacerých podstatne odlišných

významoch. Samotné slovo z hľadiska etymológie zrejme súvisí so slovami „uriecť“

a „reč“ 4. Slovník slovenského jazyka vysvetľuje (určuje) význam slov: „určenie ...

1. stanovenie; vymedzenie ... 2. poslanie, cieľ ... určiť ... 1. (vopred) rozhodnúť

o niečom, stanoviť ... 2. (skúmaním) zistiť ... určitý ... 1. presný, jasný, zreteľný ...

2. známy, ale bližšie neurčený; istý, niektorý, nejaký ... určujúci ... 1. ktorým sa niečo

určuje ... 2. rozhodujúci ... stanoviť ... 1. presne určiť, vymedziť ... 2. urobiť niečo

známym, zistiť ...“5

Aby sme sa vyhli možným nedorozumeniam pri používaní pojmu určenie

navrhujem nasledovnú matematickú klasifikáciu tohto pojmu:

1. determinácia – implicitné určenie základných pojmov axiómami,

napr. pojem priamka je určený-determinovaný Hilbertovými axiómami incidencie,

2. definícia – explicitné určenie odvodených pojmov,

napr. kružnica je určená-definovaná pomocou základných a odvodených pojmov

(už predtým definovaných) ako množina bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené

od daného bodu,

3. signifikácia – určenie mena pojmu, často je vytvorené z iných mien pojmov alebo

má k nim vzťah,

napr. meno “priamka” je priradené pojmu priamka pre jej priamosť,

4. špecifikácia – určenie konkrétneho objektu, vlastnosti alebo vzťahu podmienkami,

ktoré spĺňa práve len on sám,

napr. konkrétna kružnica je určená-špecifikovaná danými tromi nekolineárnymi

bodmi, iná kružnica týmito bodmi neprechádza; na rozdiel od definície špecifikácia

nie je symetrická, tj. konkrétna kružnica neurčuje-nešpecifikuje konkrétne tri body,

5. identifikácia – určenie konkrétnych parametrov pre konkrétny objekt,

napr. kružnicu k určím-identifikujem stredom S[0,0] a polomerom r = 2 (použil som

určenie definíciou), alebo ju určím-identifikujem tromi nekolineárnymi bodmi [0,2],

[-2,0], [2,0] (použil som určenie špecifikáciou),

4 Machek, s.670 5 Peciar, 4.zv., s.696, 225

8

6. nominácia – určenie (označenie) konkrétneho objektu vlastným menom,

napr. danú kružnicu určím-signifikujem menom „k“,

7. ostentácia – určenie pojmu alebo vlastného mena objektu ukázaním,

napr. nakreslím na tabuľu dva body a ostenzívne určím ich vlastné mená, tj. ukážem

na ne a poviem: „Toto je bod A a toto je bod B“; pojem obdĺžnik ostenzívne určím

tak, že ukážem na zošit a tabuľu a poviem: „Toto a toto je obdĺžnik “.

Určenia 1., 2., 3. určujú pojmy, určenia 4., 5., 6. určujú objekty a posledné 7. určenie sa

týka aj pojmov aj objektov.

Hilbert pri axiomatickom určovaní-determinovaní základného vzťahu medzi

bodmi a priamkami (rovinami) použil slovo „bestimmen“. Podľa slovníka má tieto

významy: určiť, určovať, definovať, determinovať, dosadiť, vymenovať, ustanoviť,

rozkázať, pohnúť, prehovoriť, namieriť, prisúdiť, charakterizovať6. V autorizovanom

anglickom preklade Hilbertových axióm z roku 1902 sú použité slová „completely

determine“, ktoré sa dajú preložiť ako „úplne určujú“.

I.Hilbertova axióma (Dva jeden od druhého rozdielne body P a Q určujú-

špecifikujú vždy priamku g.) určuje-determinuje základný pojem priamka. Ak by

I.axióma úplne určila-determinovala pojem priamka, tento pojem by zahŕňal aj to, čo

bežne nazývame úsečka. II.Hilbertova axióma (Hocijaké dva jeden od druhého

rozdielne body nejakej priamky určujú-špecifikujú túto priamku.) vylučuje možnosť

chápať pod pojmom priamka to, čo bežne nazývame „úsečka“. Tieto dve axiómy sa

nápadne podobajú prvým dvom Euklidovým axiómam, kde Euklides úsečku z I.axiómy

v II.axióme ľubovoľne predĺži (na priamku).

Podobne je to s tromi bodmi a rovinou. IV.Hilbertova axióma (Tri body P, Q, R,

neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú-špecifikujú vždy rovinu.) určuje-

determinuje základný pojem rovina, ktorý bez V.axiómy (Hocijaké tri body nejakej

roviny, neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú-špecifikujú túto rovinu.) zahŕňa aj

to, čo bežne nazývame trojuholník. Navyše pojem rovina, ktorý by vyhovoval IV.

aj V. Hilbertovej axióme, by zahŕňala aj to, čo bežne nazývame kružnica. Kružnicu

vylúči až VI.Hilbertova axióma (Keď dva body P a Q nejakej priamky g ležia v nejakej

rovine α, tak leží každý bod z g v α.).

Slovo „bestimmen“ v I. a IV. Hilbertovej axióme, chápané ako „určujú-

špecifikujú“ konkrétny objekt (priamku alebo rovinu), prináša aj ďalší problém.

6 Čierna, s.114

9

Má označovať pojem, ktorý vyjadruje základný vzťah medzi pojmom bod a priamka

(resp. bod a rovina) a ktorý je určený-determinovaný práve Hilbertovými axiómami.

V anglickom preklade je výklad tohto pojmu navyše zahmlený použitím symbolu

pre rovnosť (totožnosť) a použitím ďalších predtým zaužívaných slov:

“Píšeme AB = a alebo BA = a. Namiesto "určujú" môžeme tiež použiť ďalšie formy

vyjadrenia; napríklad môžeme povedať A "leží na" a, A "je bod" a, a "prechádza" A

"a cez" B, a "spojuje" A "a" alebo "s" B, atď.”7

V neskorších prekladoch a interpretáciách sa stretneme s pojmom incidencia

a so symbolmi ε a množinovým ∈ (patrí). Samotné axiómy, ktoré nazýval Hilbert

axiómami spojenia („der Verknüpfung“, „connection“), dnes nazývame axiómy

incidencie. Okrem pojmu inciduje sa v literatúre používajú tiež vyjadrenia: patrí,

existuje, jestvuje, je, je umiestnený, vedie, má, obsahuje a pod. V desiatich mne

dostupných českých a slovenských slovných vyjadreniach I.axiómy incidencie sa slovo

„bestimmen“ prekladá 5 krát ako „prechádza“ a 5 krát ako „inciduje“.

Ak by sme v pôvodnej II.Hilbertovej axióme nahradili slovo „bestimmen“ neskôr

zaužívaným slovom „inciduje“, dostanem nezmyselnú trivialitu: „Hocijaké dva body,

ktoré incidujú s nejakou priamkou, incidujú s touto priamku.“ Podobne je to s pojmom

leží: „Hocijaké dva body, ktoré ležia na nejakej priamke, ležia na tejto priamke.“ Zdá sa

zrejmé, že Hilbertov pojem bestimmen nie je nahraditeľný (totožný) s pojmom inciduje

ani pojmami prechádza – leží.

Incidencia je slovo zložené z latinských slov „in“ = v, pri, na, medzi, voči

(zvláštnym je 2. význam - nie, negácia) a „cado“ = padať, upadať, pripadnúť8. Anglické

slovo „incidence“ znamená výskyt, rozsah pôsobnosti, dopad, dosah, náraz, zásah,

príchod, zaťaženie, pôsobnosť9. Podľa slovníkov cudzích slov je „incidencia ...

1. zhoda, súvis ... 3. mat vzťah medzi dvoma útvarmi, z ktorých jeden je časťou druhého;

súmiestnosť, zhodnosť ... incidovať ... rezať, prerezať“ 10 alebo „1. geom. vzťah dvoch

útvarov, z ktorých jeden obsahuje druhý alebo má s druhým spoločnú časť alebo

prvok“11.

Incidencia sa dá chápať ako binárna relácia ε ⊂ B x P ∪ R, ktorej „vlastnosti

presne určuje osem axióm incidencie“12. Niekedy sa v literatúre používa symbol

7 Hilbert, 1902, s.2, preklad S.F. 8 Špaňár, s.78, 290 9 PC Translator 10 Ivanová-Šalingová, s.396 11 Piťová, s.257 12 Šalát, s.68

10

množinovej relácie ∈ (patrí) súčasne aj vo význame inciduje13 a rozširuje pojem

incidencie aj na vzťah priamky a roviny - pre takúto incidenciu sa používa množinový

symbol ⊂ (podmnožina)14. Dokonca sa pojem incidencie definuje (ako odvodený

pojem?): „Dva podprostory afinního prostoru nazýváme incidentní, jestliže je jeden

z nich podmnožinou druhého.“15 alebo „Základní používané definice ... Leží-li bod A na

přímce p, říkáme, že bod A a přímka p incidují (jsou incidentní). Podobně přímka p je

incidentní s rovinou ρ, leží-li přímka p v rovině ρ.“16. V teórii grafov sa pojem

incidencie definuje ako symetrická relácia medzi vrcholmi a hranami grafov, pri ktorej

hrana incidentná naviac s dvoma vrcholmi17.

Podstata pojmu incidencia z Hilbertových axióm sa najpresnejšie vyjadrí slovami

„spojenie“ alebo „súvis“ (v neskorších vydaniach použil namiesto slova „bestimmen“

slovo „zusammengehört“). Škoda, že sa pre túto reláciu nezaužívalo napríklad

výstižnejšie latinské slovo „konjunkcia“ alebo „koherencia“.

Ak skúmame vlastnosti relácie incidencie a porovnáme ich s vlastnosťami

množinových relácií patrí a je podmnožina, prídeme k podstatným rozdielom. Relácia

incidencie je symetrická: Ak bod A inciduje s priamkou p, tak aj priamka p inciduje

s bodom A. Pri slovenských synonymách pojmu inciduje možno o symetričnosti trochu

zapochybovať: Ak bod A leží na priamke p, potom priamka p prechádza bodom A.

Prečo treba používať rôzne pomenovania toho istého vzťahu? Naproti tomu množinové

pojmy patrí a je podmnožina a takisto pojem určuje-špecifikuje nie sú symetrické.

Množinová relácia ⊂ (je podmnožina) je na rozdiel od relácie incidencie pre

priamky a roviny reflexívna (p ⊂ p, α ⊂ α). Ak chceme pojem inciduje používať aj vo

význame podmnožiny, mali by sme v axiómach používať iný pojem na vyjadrenie

základného vzťahu medzi pojmom bod a priamka (resp. bod a rovina).

1.2. EINE - NEJAKÁ VERZUS JEDINÁ

Vyjadrenie “bestimmen eine Gerade “ („completely determine a straight line“)

v pôvodnej I.Hilbertovej axióme možno najpresnejšie preložiť ako „nejaká (jedna

z mnohých) jediná (práve jedna)“. Pri interpretácii slova „eine“ však možno dať dôraz

na prvú zložku prekladu „nejaká“ a chápať ho aj vo význame „aspoň jedna“.

13 Sekanina, s.220, Piják, s.46 14 Piják, s.47 15 Lávička, s.22 16 http://cs.wikipedia.org - heslo Deskriptivní geometrie 17 Šalát, s.602

11

Interpretácia „prechádza aspoň jedna priamka“ sa vyskytuje vo všetkých mne

dostupných českých a slovenských prekladoch.

Niektorým prekladateľom sa zdá nadbytočná podmienka pre body P a Q, aby boli

„jeden od druhého rozdielne“ – veď aj dvomi totožnými bodmi prechádza aspoň jedna

priamka. Takýto preklad nevylučuje existenciu inej priamky, rôznej od g, ktorá je tiež

takto určená (?) totožnými bodmi P a Q. Až slová „bestimmen diese“ v pôvodnej

II.Hilbertovej axióme chápu českí a slovenskí prekladatelia ako určenie jednoznačné,

t.j. že týmito bodmi okrem „tejto“ neprechádza iná priamka18.

Interpretácia slov „eine“ = „aspoň jedna“ v prvej axióme a „diese“ = „najviac

jedna“ v druhej axióme vedie väčšinu českých a slovenských prekladateľov k spojeniu

týchto dvoch axióm do jednej slovným spojením „práve jedna“ 19.

Problém ako preložiť slovo „eine“ v I.Hilbertovej axióme má ľahké riešenie,

ak namiesto „inciduje“ alebo „prechádza“ použijeme pôvodné Hilbertove vyjadrenie

„určujú-špecifikujú“. Slovo „eine“ netreba vôbec prekladať, pretože už pojem „určujú-

špecifikujú“ v sebe obsahuje interpretáciu „nejaká (jedna z mnohých) práve jedna“.

Vyjadrenie „X určuje-špecifikuje Y“ znamená, že existuje práve jedno Y, ktoré

vyhovuje podmienkam X. V slovenčine navyše na rozdiel od nemčiny či angličtiny aj

samotné slovo „priamka“ v sebe obsahuje interpretáciu „nejaká (jedna z mnohých)

práve jedna“. Tým, že je napísané s počiatočným malým písmenom „p“, vyjadrujeme,

že neoznačuje vlastné meno, ale pojem – je teda nejaká jedna z mnohých. Jednotné číslo

slova „priamka“ v nematematickej slovenčine jednoznačne určuje počet – tj. jedna

= práve jedna. Problém však komplikuje matematický úzus, že aj presnejšie slovné

spojenie „jedna priamka“ znamená v geometrii vždy „aspoň jedna priamka“.

I.axióma môže mať rozdielne znenie podľa toho, či použijeme pojem “určujú“

alebo pojem „incidujú“:

1. „Dva body určujú-špecifikujú priamku“ alebo

2. „Každé dva body incidujú s práve jednou priamkou“ (alebo „Pre každé dva body

existuje práve jedna priamka, ktorá s obidvoma inciduje“).

Prvá verzia je najstručnejšia, ale chýba jej kvantifikácia – Hilbert použil slovo „vždy“,

ja predpokladám, že kvantifikácia je už obsiahnutá v pojme „určuje-špecifikuje“.

Ak použijem slovné spojenie „každé dva body“, môže to zvádzať k predstave existencie

jedinej priamky určenej hocijakou dvojicou bodov. Až III.axióma zabezpečí, že existujú

viaceré priamky.

18 Svitek, s.70, Šalát, s.68 19 Piják, s.46, Kouřim, s.119, Sekanina, s.220, Kuniak, s.5, Velichová, s.21, Bělík, s.45, Sklenáriková, s.9

12

Je možné, že problém s prekladom slova „eine“ súvisí najmä s problémom

bestimmen verzus inciduje (určuje verzus prechádza). Pripúšťam tiež možnosť,

že preklady českých a slovenských matematikov vychádzajú zo znení neskorších vydaní

Hilbertových axióm alebo z ich revízií od iných matematikov, ktoré sú mi neznáme.

1.3. VONEINANDER VERSCHIEDENE VERZUS TOTOŽNÉ

Po uvažovaní o rovnosti (totožnosti) pojmov bestimmen a inciduje a skúmaní

podstaty (totožnosti) slova „eine“ prichádzame k hlavnému problému tejto práce: Prečo

Hilbert použil v I.axióme slová „voneinander verschiedene“? Ak môžu byť dva body

jeden od druhého rozdielne (netotožné), tak môžu byť aj dva body jeden od druhého

nerozdielne (totožné). Potom nerozdielne (totožné) môžu byť aj dve alebo viac priamok.

Takže dané dva netotožné body neurčujú jedinú priamku, určujú aj iné priamky – všetky

tie, ktoré sú s danou priamkou totožné.

Ak chceme byť dôslední, I.Hilbertova axióma by mala znieť:

„Každými dvoma rôznymi bodmi sú určené-špecifikované (prechádzajú) len navzájom

totožné priamky.“

Hilbert možno chcel označením priamky vlastným menom „g“ vylúčiť

interpretáciu, že dvoma bodmi sú určené viaceré totožné priamky. Českí a slovenskí

prekladatelia to však väčšinou po ňom nezopakovali – napriek tomu, že všetci píšu

o „dvoch rozdielnych“ bodoch, priamka je nimi určená „práve jedna“ aj bez jej

označenia vlastným menom20.

Mohli by sme na chvíľu pripustiť možnosť, že slová „voneinander verschiedene“

Hilbert použil len v súvislosti s pomenovaním bodov v prvej axióme. Naozaj dve rôzne

mená bodov („P“ a „Q“) ešte nemusia znamenať dva rôzne body. V pôvodnej

III.axióme autor body nepomenoval, tak možno predpokladal, že dva bezmenné body

nemôžu byť dva totožné body. V protiklade s tým však autor v pôvodnej II.axióme

použil slová „voneinander verschiedene“ aj bez pomenovania bodov. Navyše Hilbert

slová „voneinander verschiedene“ nepoužil v axiómach VI. a VII., kde boli objekty

pomenované.

Nadbytočným a zahmlievajúcim sa javí použitie slova „zwei“ v I.axióme - dva

body nemôžu byť nerozdielne. Ak by išlo o dve mená, ich vymenovaním („P“ a „Q“)

sa stáva zrejmým, že sú dve, netreba to zdôrazňovať slovom “zwei“. Ak slovo “zwei“

20 Šalát, s.68, Piják, s.46, Kouřim, s.119, Sekanina, s.220, Kuniak, s.5, Velichová, s.21, Bělík, s.45, Sklenáriková, s.9

13

patrí nie menám „P“ a „Q“, ale bodom, netreba zdôrazňovať, že sú rozdielne.

Pomenovanie priamky menom „g“ tiež celkom nezabezpečuje jej jedinečnosť – ak

môže mať jeden bod dve mená, môže ich mať aj priamka.

Ak Hilbert v pôvodnej II.axióme použil slová „voneinander verschiedene“ aj bez

pomenovania bodov, mal ich použiť aj v pôvodnej III.axióme. Autor určite nechcel

postulovať, že na ľubovoľnej priamke vždy jestvujú aspoň dva totožné body. Keď raz

pripustíme možnosť, že totožné body (priamky, roviny ...) sú dva, mali by sme s touto

možnosťou počítať dôsledne vždy. Všetci českí a slovenskí prekladatelia okrem

M. Sekaninu21 v tomto D. Hilberta dôsledne opravili22. Axióma podľa ich interpretácie

znie: „Na každej priamke ležia aspoň dva rôzne body.“

Ak chceme použiť pomenovanie bodov alebo priamok s možnosťou viacerých

mien jedného objektu, Hilbertove axiómy by mala v slovenčine znieť:

„I. Pre ľubovoľné P a Q (pričom „P“ a „Q“ neoznačujú práve jeden bod) platí, že ak

súčasne incidujú s nejakými g a h, potom „g“ a „h“ sú označenia práve jednej priamky.

II. S každou g incidujú aspoň nejaké P a Q (pričom „P“ a „Q“ neoznačujú práve jeden

bod).“

Prijal by tiež som symbolickú formuláciu ∀A, B ∈ B, A ≠ B ∃!a ∈ P : A, B ∈ a

za predpokladu, že zápis A ≠ B sa nebude čítať „A je rôzny bod od bodu B“, ale „mená

″A″ a ″B″ neoznačujú práve jeden bod“. Môže to však zvádzať k čítaniu ďalšej časti

tvrdenia: „existuje práve jedno pomenovanie priamky a“, čo nie je pravda, pretože

ak môže mať bod viaceré pomenovania, môže ich mať aj priamka. Ak považujeme

A a B za premenné, ani vtedy neexistuje jediná premenná a s danou vlastnosťou.

V prípade slovného vyjadrenia axióm považujem za nadbytočné používať

označenie objektov vlastnými menami. Ak nepoužijem takéto označenie, je úplne

zbytočné a zavádzajúce použitie slova „rôzne“. Použitie slova „rôzne“ vedie často

ku zbytočným komplikáciám a často až k nepravdivým tvrdeniam.

Napríklad Svitek formuluje axiómy a komentár k nim:

„A1. Ak A, B ∈ B a A ≠ B, potom existuje a ∈ P tak, že A, B ε a.

A2. Ak A, B ∈ B a a, b ∈ P, pričom A ≠ B splňuje vzťah A, B ε a, b, potom a = b.

A3. Ku každej priamke a ∈ P existujú aspoň dva rôzne body A, B ∈ B, o ktorých platí,

že A, B ε a. ... Ak axióma A1 tvrdí, že dvoma bodmi včítane splývajúcich prechádza

priamka, potom axióma A2 vyzdvihuje, že dvoma bodmi prechádza najviac jedna

21 Sekanina, s.220 22 Svitek, s.70, Šalát, s.68, Piják, s.46, Kouřim, s.119, Kuniak, s.5, Velichová, s.21, Bělík, s.45, Sklenáriková, s.9

14

priamka, z čoho bezprostredne nasleduje dôsledok: Ľubovoľnými dvoma rôznymi

bodmi prechádza jediná priamka: t.j. priamka je jednoznačne určená dvoma rôznymi

bodmi.“23

Autor v komentár tvrdí, že v axióme A1 môžu byť body A a B aj totožné, pričom

v znení axiómy je podmienka A ≠ B. V komentári tiež nedôsledne používa slovo

„rôznymi“ - chýba pri axióme A2, kde je najdôležitejšie. Potom možno odvodiť

tvrdenie, že aj „dvoma totožnými bodmi prechádza najviac jedna priamka“, čo nie je

pravda. Je možné, že išlo len o nepozornosť autora alebo chybu tlače, ale aj tak sa mi to

javí príznačné. Autor chcel axiómy vylepšiť nadbytočným slovom, a len vďaka tomu

vyslovil úplné nezmysly.

Problémy vzniknú aj pri preklade IV.axiómy (Tri body P, Q, R, neležiace na

jednej a tej istej priamke, určujú vždy nejakú jedinú rovinu.), kde Hilbert pri bodoch

nepoužil slovo „rôzne“. Svitek ho opravuje použitím podmienky „A ≠ B ≠ C ≠ A“ 24.

Ostatní autori okrem Kuniaka25 si uvedomujú, že podmienka netotožnosti bodov je

nadbytočná, pretože sa dá odvodiť z nekolineárnosti týchto bodov.

V prekladoch III.axiómy (... v nejakej-každej jednej rovine existujú vždy aspoň tri

body neležiace na nejakej jednej priamke), štyria autori Hilberta opravili použitím

nadbytočného slova „rôzne“26. Zaujímavá je nedôslednosť Kuniaka, ktorý na rozdiel

od IV.axiómy slovo „rôzne“ nepoužil.

Nepochopiteľné je, že nikto zo štyroch autorov, ktorí opravili Hilberta

v III.axióme, neurobili tak aj pri preklade VIII.axiómy (Existujú najmenej štyri body

neležiace v nejakej práve jednej rovine.) a nedoplnili do znenia slovo „rôzne“. Neurobil

tak ani nikto z ďalších šiestich prekladateľov.

V VI.axióme až siedmi autori27 opravili pôvodné znenie slovom „rôzne“. Naopak

Klenková28 spolu s Hilbertom pripúšťa možnosť: „Ak dva (aj totožné) body priamky

ležia v rovine, tak každý bod tejto priamky leží v danej rovine“, čo je nepravda.

Pri interpretáciách VII.axiómy (Ak dve roviny α a β majú nejaký spoločný bod P,

tak oni majú najmenej ešte nejaký ďalší spoločný bod Q.) sú ešte väčšie rozdiely. Štyria

autori29 doplnili slovo „rôzne“ pri rovinách a traja pri bodoch30.

23 Svitek, s.70-71 - zvýraznil S.F. 24 Svitek, s.70 25 Kuniak, s.5 26 Svitek, s.70, Piják, s.46, Sekanina, s.220, Velichová, s.21 27 Svitek, s.70, Šalát, s.68, Piják, s.46, Sekanina, s.220, Kuniak, s.5, Velichová, s.21, Bělík, s.45, Sklenáriková, s.9 28 Klenková, s.9 29 Svitek, s.70, Piják, s.46, Sekanina, s.259, Velichová, s.21 30 Svitek, s.70, Šalát, s.68, Piják, s.46

15

Dúfam, že som dostatočne na príkladoch vysvetlil, prečo som dospel

k presvedčeniu, že slovo „rôzne“ sa používa pri formulovaní axióm incidencie zbytočne

a dokonca nesprávne.

Slovné formulácie Hilbertových axióm považujem za presnejšie, pochopiteľnejšie

a krajšie bez slova „rôzne“. V symbolickom vyjadrení axióm, kde znova narazím

na problém „rôzne-totožné“ sa možno tiež zaobísť bez vyjadrenia „A ≠ B“ („A = B“),

ako to uvádzam v kapitole 4.2.

1.4. REVÍZIA AXIÓM V NOVŠÍCH VYDANIACH

Po niekoľkomesačnom rozmýšľaní a diskusiách o axiómach spojenia (incidencie)

z Hilbertových Grundlagen der Geometrie a tesne pred dokončením tejto práce sa mi

podarilo získať zo skladu fakultnej knižnice FMFI Univerzity Komenského v Bratislave

9. vydanie z roku 1962, revidované a doplnené P.Bernaysom. Na Slovensku je to

pravdepodobne jediný exemplár Hilbertovej knihy, ktorý sa nachádza v systéme

verejných knižníc – aj to dobre utajený (nezaradený do internetovej databázy). Znenie

niektorých axióm spojenia (incidencie) je v tomto vydaní podstatne zmenené:

„I 1. Zu zwei Punkten A, B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte

A, B zusammengehört.

I 2. Zu zwei Punkten A, B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden

Punkte A, B zusammengehört. ...

I 4. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkten A, B, C gibt es

stets eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C zusammengehört. Zu jeder

Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörigen Punkt. ...

I 5. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Gerade liegenden Punkten A, B, C gibt es

nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C

zusammengehört.“31

Ak by sa mi dostalo ako prvé do rúk citované vydanie, asi by som túto prácu

nenapísal. Problém „rôzne-totožné“ tu neexistuje, podobne sa v novom znení

nevyskytuje slovo „bestimmen“. Jediným zadosťučinením mi môže byť potvrdenie

správnosti môjho uvažovania, ktorého výsledky nenachádzali medzi kolegami

matematikmi takmer žiadnu akceptáciu.

31 Hilbert, 1962, s.3

16

Zaujímavým by bolo porovnanie všetkých vydaní Hilbertových Grundlagen der

Geometrie. Z prehľadu jednotlivých vydaní a ich počtu strán sa 9. vydanie javí ako

definitívne, pretože nárast počtu strán v jubilejnom 14. vydaní zrejme nesúvisí

s revíziou znenia axióm:

vydanie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

rok 1899 1903 1909 1913 1922 1923 1930 1956 1962 1968 1972 1977 1987 1999

strán 92 175 279 258 265 264 326 251 271 271 271 271 271 412

Všetky vydania tejto knihy však nie sú k dispozícii ani v systéme Deutschen

Nationalbibliothek. 7. vydanie z roku 1930, ktoré je posledným vydaním za autorovho

života, je napr. dostupné cez medzinárodnú medziknižničnú výpožičnú službu

z knižnice Matematicko-fyzikálnej fakulty Karlovej univerzity v Prahe. Formulácie

Hilbertových axióm spojenia (incidencie) sú v 7. a 9. vydaní úplne totožné. Je na škodu

veci, že Hilbertove Grundlagen der Geometrie sú na internete sprístupnené širokej

verejnosti len v pôvodnom znení 1. nemeckého (resp. amerického) vydania starého vyše

sto rokov.

Od začiatku štúdia problému totožnosti dvoch objektov v jednom objekte som mal

pocit, že s totožnosťou v stredoškolskej geometrii je to ako so špenátom. V 19. storočí

profesor Gustav von Bunge vo Švajčiarsku analyzoval sušený - a nie čerstvý - špenát

a chybne určil, že sa v špenáte nachádza 10-krát viac železa ako v ostatnej zelenine.

Viac ako sto rokov boli celé generácie detí nezmyselne nútené jesť špenát. V roku 1899

David Hibert v Grundlagen der Geometrie nepresne postuloval (asi z nepozornosti)

prvé Euklidovské axiómy a odvtedy tieto formulácie všetci po ňom opisujú. Sto rokov

deti v školách učíme, že jeden bod sú dva totožné body, že jedna priamka sú dve

rovnobežky a podobne. Pritom najneskôr v 7. vydaní z roku 1930 D.Hilbert svoje

nepresné formulácie opravil.

17

2. TOTOŽNOSŤ Z POHĽADU FILOZOFIE

Z obvyklého matematického pohľadu na slovné spojenie „dva totožné objekty“ mi

vyplývajú protiklady:

• keď sú objekty totožné, nemôžem ich považovať za dva objekty,

• keď sú objekty dva, nemôžem ich považovať za navzájom totožné.

Stručne povedané: „dva totožné objekty“ sú buď dva alebo totožné, ale nikdy

nemôžu byť oboje súčasne, čiže toto slovné spojenie je nezmyselné.

Stará židovská múdrosť hovorí: „Všetko je inak“. S pojmom totožnosť je to

v skutočnosti (na rozdiel od sveta matematických ideí) naozaj úplne inak. Pri listovaní

v knihe P.Vopěnku som našiel krátku kapitolu s názvom „Totožnosť“, ktorá moje

uvažovanie nasmerovala úplne iným smerom:

„Porozumenie pre totožnosť javu čiže porozumenie, že v rôznych súvislostiach sa

ukazuje stále ten istý jav, teda napríklad nielenže strom, ktorý pozorujeme, je stále

ten istý strom, ale že je to stále ten istý strom, ktorý sme tu videli pred rokom, patrí

k najpozoruhodnejším, tiež však k najťažšie vysvetliteľným javom nášho porozumenia

sveta. Pritom v našom porozumení sveta hrá porozumenie pre totožnosť javov kľúčovú

úlohu. Oň sa opiera porozumenie pre nadväznosť sveta, jeho trvanie i zmeny. Meniť sa

totiž môže len to, čo ostáva stále sebou, teda prísne vzaté to, čo sa vlastne nemení.“

Bohužiaľ po takomto úvode, ktorý určite každého čitateľa navnadí, vzápätí kapitola

končí konštatovaním: „Hlbší výklad porozumenia pre totožnosť javov nemáme odkiaľ

odpísať a na jeho vypracovanie nám nielenže nebol pridelený dostatok stránok v tejto

knihe, ale ani rozumu.“32

Keď učím žiakov na hodine matematiky chápať rozdiel medzi pojmami totožný

a zhodný, chytím do každej ruky jednu kriedu a poviem: “Toto sú z matematického

pohľadu dve zhodné kriedy“. Potom jednu kriedu odložím a žiakom ukážem len jednu

kriedu so slovami: „Toto sú pre matematikov dve (alebo viaceré) totožné kriedy“.

Na častú otázku žiakov, z akého dôvodu matematici považujú jednu kriedu za dve

kriedy, môžem len odpovedať, že doteraz som na to neprišiel aj keď som sa nad tým

veľakrát zamýšľal.

Z pohľadu filozofov platí pravý opak: keď držím v rukách dve kriedy, nemôžem

držať dve zhodné kriedy, pretože v reálnom svete (na rozdiel od sveta ideí) neexistujú

nijaké dva zhodné objekty. Pritom dve kriedy už tým, že ich považujem za kriedy (majú

to isté meno), majú spoločnú jednu totožnosť. Dve kriedy majú spoločné niečo

32 Vopěnka, s.19

18

podstatné, čo ma oprávňuje dať im jedno meno. Svojim spôsobom filozofi považujú dve

kriedy za jednu – dva nezhodné objekty stotožnia. A nerobia to len filozofi, robíme to

my všetci. Vždy, keď hovoríme (rozmýšľame), používame slová, a tie nie sú ničím

iným len pomenovaním spoločnej totožnosti nezhodných objektov. Ľudia by ani

nevymysleli čísla, ak by sme dva nezhodné objekty nevedeli stotožniť (chápať ako

jedno), a tak ich mohli považovať za dva.

Ešte väčší význam z pohľadu filozofa má skúmanie totožnosti jednej kriedy. Ani

jedna krieda sama so sebou v rôznom čase nie je zhodná (nič nie je stále, všetko sa

v čase mení), a predsa jej totožnosť považujeme za zachovanú. Žiakom to možno

demonštrovať nasledovne: jednu kriedu nazvem menom „A“ - tým sme jej pridelili

individuálnu totožnosť a odlíšili ju od iných kried. Ak používaním kriedu A aj podstatne

zmenším (môžem ju vypísať skoro celú), totožnosť kriedy A stále môžem považovať

za zachovanú.

Zdá sa teda, že pojem totožnosť matematici (vo svete matematických ideí)

a filozofi (ak sa znížia zo sveta ideí k skutočnosti) chápu inak, dokonca protikladne.

Múdrejšie a zmysluplnejšie sa mi javí skôr rozmýšľanie nad totožnosťou dvoch

nezhodných objektov, ako označovanie jedného objektu za dva alebo viac totožných

objektov.

Takto som donedávna rozmýšľal o totožnosti a moje sedliacke rozumovanie

nazýval filozofiou. Po prelistovaní niekoľkých desiatok filozofických kníh som zistil,

že ani filozofi nie sú v chápaní totožnosti jednotní a mnohí tento pojem skôr

zahmlievajú, ako vysvetľujú. Rozlišujem dva druhy filozofov: jedni používajú veľké

množstvo pojmov s význammi, ktorým okrem nich takmer nikto nerozumie; druhí

redukujú počet slov na minimum a hľadajú múdrosť v každom jednom slove. Vážim si

viac tých druhých, ale uvediem ukážky aj filozofov, ktorí podľa môjho názoru často len

zbytočne hromadia slová. Používam veľa citácií, pretože sa chcem vyhnúť podozreniu

z dezinterpretácií. Uvedené citáty sú preklady, tj. interpretácie, niektoré dokonca

viacnásobné.

2.1. STAROVEKÁ FILOZOFIA A TOTOŽNOS Ť

Jeden z najstarších známych filozofov a matematikov Pytagoras (580-500 p.n.l.),

ktorý podľa tradície vymyslel samotné slovo „filosofos“ a ako prvý použil matematickú

definíciu, považoval za podstatu všetkého číslo. Dlho bol terčom posmechu mnohých,

ktorí nechápali zmysel tejto myšlienky. V dnešnej digitálnej dobe získalo tvrdenie

19

o číselnej podstate sveta nový význam. Princípom čísla je podľa Pytagora monas =

jedno vo význame jednota, totožnosť, všeobecná podstata, bod. Pytagoras považuje za

druhé najdôležitejšie po jednotke jej protiklad – dyas = dva vo význame dvojitosť,

rozdiel, rozdielnosť, zvláštnosť, priamka.33

Zaujímavým je pytagorejské stotožňovanie pojmov jedno – totožnosť – bod a dva

– rozdielnosť – priamka. Prvá Euklidova axióma („2 body incidujú s 1 priamkou“)

nemusí hovoriť len o bodoch a priamkach. Keď zabudneme na význam slov bod,

priamka a inciduje (môžeme ju preformulovať: „2 oné ondia 1 onú“), Euklidova axióma

určuje-determinuje aj samotné pojmy totožnosť a rozdielnosť. Ak v dvoch nezhodných

objektoch vidím niečo spoločné, stotožňujem dva do jedného a len pomocou tohto

jedného môžem vidieť niečo ako dve rozdielne. Takto všeobecne chápaná axióma

hovorí aj o pojmoch jeden, dva a o vzťahu medzi nimi (jeden bez druhého neexistuje).

Hegel považoval pytagorejcov za objaviteľov protikladu ako podstaty všetkého:

„Pythagorovci měli nepochybně na mysli substanci jsoucna, takže každá věc je ve své

podstatě jednotou, dvojitostí, jakož i protikladem jednoty a dvojitosti a vztahem jednoty

a dvojitosti k tomuto protikladu“34.

Ďalšou podstatou protikladu jednoty a dvojitosti (totožnosti a rôznosti) reálneho

sveta je pohyb. Herakleitos (540-480 p.n.l.) rozvinul teóriu protikladov a teóriu

pohybu: „... jedno samo osebe nie je nič ... nič nie je jedno ani niečo ani nejaké ...

prísudok ″je″ neprináleží nikdy ničomu, lebo všetko ustavične vzniká ... je všetko

v pohybe ... nezhodné sa vždy zhoduje ... Protikladné sa zhoduje ... všetky veci sú

jedno ...“35. „Vše plyne, nic nezůstává totožné ... Toliko Jedno trvá a z něho se přetváří

vše ostatní; vše ostatní, mimo toho Jedno, nemá trvání ... Tím, že vše je a současně není,

Hérakleitos vyjádřil, že Vše je děním“36. Herakleitov žiak Kratylos išiel ešte ďalej, keď

odmietol používať slová a len kýval prstom. Vyjadril tým svoj názor, že ak je všetko

v pohybe, neexistuje nič jednotlivé s vlastnou totožnosťou, ktorú by sme mohli vyjadriť

slovami. Podľa Aristotela „...vytýkal Hérakleitovi jeho výrok, že nelze vstoupit dvakrát

do téže řeky, neboť sám myslil, že to není možné ani jednou.“37

Samotný Aristoteles (384-322 p.n.l) rozlišoval viaceré významy pojmu totožnosť:

1. totožnosť viac mien jedného – napr. „vrchný odev“ a „plášť“,

2. totožnosť čo do druhu – napr. človek a človek,

33 Laertios, s.97-105, Svoboda, s.185, Hegel, 1961, s.195-206 34 Hegel, 1961, s.203 35 Špaňár, 1985, s.210-241 36 Hegel, 1961, s.248 37 Svoboda, s.65

20

3. totožnosť čo do rodu – napr. človek a kôň.

„... totožné je v nejvlastnějším smyslu slova to, co je na počet jedno...“38

Vo svojom diele Metafyzika Aristoteles píše: „O totožnosti hovoríme v rozličných

významoch. V jednom význame označujeme ňou veci, ktoré sú počtom to isté. Potom

hovoríme o totožnosti, keď je niečo pojmove a počtom jedno, ako napríklad ty sám si

tvarom a látkou to isté. Napokon veci nazývame totožnými, keď je pojem ich prvej

podstaty jeden; napríklad rovnako dlhé priamky sú totožné a práve tak rovnaké

a rovnouhlé štvoruholníky; je ich síce viac, ale u nich rovnakosť znamená aj jednotnosť.

Podobnými nazývame veci, ktoré jednoducho nie sú totožné, ... ale ktoré sú totožné

podľa tvaru“.39

Pri dobrej vôli možno tomuto prekladu Aristotela porozumieť, ale matematikom

asi vadí miešanie pojmov totožnosť, rovnakosť (zhodnosť?) a podobnosť, nehovoriac

o tom, že prekladateľ zamenil pojem úsečka s pojmom priamka.

2.2. NOVOVEKÁ FILOFOFIA A TOTOŽNOS Ť

Dvetisíc rokov po Aristotelovi píše o totožnosti T.Hobbes (1588-1679) v diele

O telese: „Predovšetkým je zrejmé, že dve telesá nie sú tie isté. Pretože sú dve,

nachádzajú sa v tom istom čase na dvoch miestach, čo je však totožné, je v tom istom

čase na jednom mieste. ... Pojmy totožnosť a rozdielnosť v počte sú kontradiktórne.“

Rozdielnosť, ktorá je rozdielnosťou len veľkosťou, nazýva podobnosťou. „Porovnávať

možno aj tú istú vec s ňou samou, ale v rozličnom čase. Tu má koreň veľký spor

filozofov o tzv. princíp totožnosti ...v akom zmysle a kedy možno o nejakej veci hovoriť

ako o tej istej a kedy ju pokladať za inú ako bola ... Niektorí pripisujú totožnosť látke,

iní forme a ďalší tvrdia, že spočíva v jednote všetkých vlastností.“ Podľa Hobbesa

princíp totožnosti nemožno „...aplikovať vzhľadom iba výhradne na látku, ani výhradne

na formu“.40

J.Lock (1632-1704) v Rozprave o ľudskom rozume píše: „Identita spočíva v tom,

že idey, ktorým sa pripisuje, vôbec sa nelíšia – keď porovnávame ich súčasnú existenciu

– od toho, čím boli v okamihu, keď sme vnímali ich vtedajšiu existenciu ... všetko,

čo niekde v nejakom čase existuje, vylučuje všetko ostatné rovnakého druhu a vyskytuje

sa tam len samo. Keď sa teda spytujeme, či je niečo totožné, alebo nie, vždy sa to

vzťahuje na niečo, čo existovalo v danom čase a na danom mieste a čo bolo v tom

38 Aristoteles, 1975, s.30, 153 39 Aristoteles, 1973, s.400 40 Hobbes, s.100-102

21

okamihu nepochybne totožné iba so sebou a s ničím iným. ... nie je možné, aby dve veci

rovnakého druhu boli alebo existovali v tom istom okamihu na tom istom mieste alebo

aby jedna a tá istá vec bola či existovala na rozličných miestach. ... Keby mohli byť

napríklad dve telesá súčasne na tom istom mieste, potom by museli byť ... totožné;

ba všetky telesá by museli byť totožné. ... Keby sa dal prijať taký predpoklad, bolo by

po rozlišovaní medzi totožnosťou a rozdielnosťou jednej veci i viacerých vecí. Keďže si

to však protirečí, aby dve alebo viaceré veci boli jednou vecou, identita a odlišnosť sú

pre rozum dobre zdôvodniteľnými a užitočnými vzťahmi a spôsobmi porovnávania.“41

Podľa G.W.Leibniza (1646-1716) a jeho Monadológie základom všetkých vecí

sú monády, tj. jednoduché substancie, ktoré už nemajú časti. Každá monáda je

od každej inej odlišná, „neboť v přírodě nikdy neexistují dvě jsoucna, která by byla

dokonale identická a v nichž by nebylo lze nalézt vnitřní nebo na vnitřním určení

založený rozdíl.“ Každá monáda podlieha neustálej zmene, ktorá sa deje kontinuálne

a z vnútorného princípu. „Kromě principu změny je však třeba zvláštní svébytnosti

v tom, co se mění, což způsobuje specifičnost a rozmanitost jednoduchých substancí.“42

„Svojbytnosť“ vecí je pravdepodobne len iné slovo pre totožnosť meniacich sa vecí

v čase. Sformuloval zákon totožnosti nerozlíšiteľných vecí: predmet x a y sú totožné

vtedy a len vtedy, keď všetky vlastnosti x sú zároveň aj vlastnosťami y a naopak. Podľa

Leibniza neexistujú dva predmety, ktoré sa líšia priestorovým alebo časovým

umiestnením, ktoré by sa ešte vzájomne neodlišovali niečím iným než týmito časovo

priestorovými charakteristikami.43

V Nových úvahách o ľudskom rozume píše totožnosti: „Prvotné rozumové

pravdy nazývame spoločným menom identické, pretože sa zdá, že len opakujú tú istú

vec, ale nič nové nás neučia. ... To, čo je, je. Každá vec je to, čo je. Príkladov je, koľko

chcete: A je A, B je B. Budem to, čo budem. ... Pristúpim teraz k záporným identitám,

ktoré sú založené alebo na princípe kontradikcie, alebo sú disparátne. Princíp

kontradikcie je všeobecne tento: veta je alebo pravdivá, alebo nepravdivá...“ Niekto by

si mohol myslieť, „že všetky identické vety neslúžia ničomu. Tento názor môže mať

však len ten, kto o veci dosť neuvažoval. Logické dôsledky sa napríklad dokazujú na

základe princípov identity, matematici potrebujú pre svoje dôkazy redukcie na nemožné

princíp kontradikcie. ... najčistejšie identické vety a zdanlivo najzbytočnejšie sú veľmi

závažné pri používaní abstraktných i všeobecných pojmov...“44

41 Lock, s.273-275 42 Leibniz, 1982, s.156 43 Čížek, s.460 44 Leibniz, 1970, s.357-360

22

J.G.Fichte (1762-1814) v Základoch všeobecného vedoslovia hľadá základnú

vetu ľudského myslenia: „Máme zistiť absolútne prvý, úplne nepodmienený princíp

všetkého ľudského vedenia. Ak má byť absolútne prvý, nedá sa ani dokázať ani určiť. ...

musíme vychádzať z nejakej takej vety, ktorú nám každý bez odporu prizná. ... Každý

pripustí vetu: A je A (znamená toľko, čo A = A, taký je význam logickej kopuly);

a pripustí ju bez najmenšieho váhania, lebo sa uznáva za úplne istú a overenú. ...

Tvrdením, že uvedená veta je osebe istá, ešte nestanovujeme, že A jestvuje. ...

Ale stanovujeme: ak jestvuje A, tak jestvuje A. ... medzi oným ak a týmto tak je

nevyhnutná súvislosť. A práve táto nevyhnutná súvislosť medzi obidvoma sa stanovuje

bezpodmienečne a bez akéhokoľvek dôvodu. Predbežne ju nazvem X. ... Pod akou

podmienkou jestvuje teda A? X sa stanovuje v Ja a prostredníctvom Ja, lebo práve ono

usudzuje spomínanou vetou ...“ Preskočíme štyri strany vysvetľovaní ako a prečo Ja je

Ja a dôjdeme k záveru: „Vyšli sme z vety A = A, no nie preto, že by sa z nej dala

vyvodiť veta: Ja som, ale preto, lebo sme museli vyjsť z nejakej istej vety, danej

v empirickom vedomí. No aj z nášho výkladu vyplývalo, že veta: A = A nezdôvodňuje

vetu: Ja som, ale naopak, táto zdôvodňuje onú. ... Každé možné A v onej vete (každá

vec) môže byť čímsi, len keď je stanovené v Ja.“45

Podľa Logiky ako vedy G.W.F.Hegela (1770-1831) „... sa podstatné určenie

identity vyjadruje vetou: Všetko sa rovná sebe samému, ... ktorá sa zvyčajne uvádza ako

prvý zákon myslenia. Táto veta, pozitívne vyjadrená ako A = A, vyjadruje iba prázdnu

tautológiu. ... tento zákon myslenia je bezobsažný a nevedie ďalej. Preto je prázdnou

identitou, v ktorej uviazli tí, čo ju ako takú pokladajú za pravdivú, že identita nie je

rôznosť, ale že identita a rôznosť sa navzájom líšia. Nechápu, ... že identita nie je rôzna

vonkajškovo, ale sama v sebe, že rôznosť patrí k jej povahe. ... pravda je úplná iba

v jednote identity s rôznosťou a že tak pozostáva iba v tejto jednote.“46

Hegel napísal o identite a rozdielnosti desiatky strán textu, ktoré by som rád

odcitoval v úplnosti. Ako ukážku jeho filozofického prístupu k problému uvediem

aspoň úvodné slová kapitoly Identita: „Podstata je jednoduchá bezprostrednosť ako

prekonaná bezprostrednosť. Jej negativita je jej bytím. Vo svojej absolútnej negativite

sa podstata rovná sebe samej; v dôsledku tejto negativity inobytie a vzťah k inému

osebe úplne zmizol v čistom rovnaní sa sebe samej. Podstata je teda jednoduchá identita

so sebou. Táto identita so sebou je bezprostrednou reflexiou. Nie je takým rovnaním sa

sebe, ktoré je bytím alebo hoci aj ničím, ale takým, ktoré vytvára jednotu, nie je

45 Fichte, s.550-555 46 Hegel, 1985, s.29-33

23

znovuvytváraním sa z čohosi iného, ale je týmto čistým vytváraním sa zo seba a v sebe,

je podstatnou identitou. Potiaľ teda nie je abstraktnou identitou, čiže nevznikla

relatívnym negovaním, ktoré by prebiehalo mimo nej a ktoré by ponechalo to, čo je

rozdielne, od nej oddelené, ale napokon také isté ako jestvujúce mimo nej predtým aj

potom. Naopak bytie a každá určenosť bytia neboli prekonané relatívne, ale samy

osebe; a touto jednoduchou negativitou bytia osebe je sama identita. Identita je potiaľ

ešte vôbec to isté čo podstata.“47 Pričom podstata je podľa Hegela pravdou bytia,

absolútnym bytím o sebe a v sebe. Podstata „ako úplný návrat bytia do seba je

predovšetkým neurčenou podstatou; určenosti bytia sú v nej prekonané; obsahuje ich

osebe, nie tak, ako sú kladené v nej a na nej ... Podstata stojí medzi bytím a pojmom ...

je prechádzanie z bytia do pojmu.“48

Zmysel každého slova sa dá pochopiť len v súvislostiach s inými slovami. Keďže

naviac všetko so všetkým nejako súvisí, na dobré pochopenie uvedených Hegelových

slov by bolo potrebné odcitovať celú 900 stranovú knihu. Najpodstatnejšie - ak som

správne pochopil - je pre Hegela to, že podstatou totožnosti je podstata, resp. totožnosť

je totožná s podstatou. Podľa A. Anzenbachera podstatou Hegelovej dialektiky

„... je identita identity a neidentity, tedy jednota jednoty a rozdílnosti ve všem

skutečném...“49 Z týchto vyjadrení jasne vidieť príčinu problematičnosti určenia pojmu

totožnosť – je potrebné porušiť základné pravidlo, ktoré zakazuje určovať pojem

samým sebou.

Zakladateľ modernej logiky J.G.Frege (1848-1925) píše: „Je rovnost vztah?

Vztah mezi předměty? Nebo mezi jmény nebo znaky pro předměty? ... a = a a a = b

jsou zjevně věty různé poznávací hodnoty: a = a platí a priori ..., zatímco věty formy

a = b obsahují často cenné rozšíření našich poznatků ... To, co se chce říci s a = b,

se zdá být, že znak nebo jméno ″a″ a ″b″ znamenají totéž, a pak by byla řeč o oněch

znacích; tvrdil by se vztah mezi nimi. ... Pak by se netýkala věta a = b již věci samé,

nýbrž už jen našeho způsobu označování; nevyjadřili bychom v ní žádné vlastní

poznání. ... Rozdílnost může vzniknout tím, že rozdíl znaku odpovídá rozdílu

ve způsobu danosti označovaného.“50

Fregeho myšlienky pomocou práce A.Churcha interpretuje slovenský logik

F.Gahér: Tvrdenie zornica = večernica (najjasnejší objekt ranného neba = najjasnejší

objekt večerného neba) nehovorí o totožnosti znakov, ani o totožnosti metód

47 Hegel, 1985, s.31 48 Hegel, 1985, s.7-9 49 Anzenbacher, s.86 50 Liessmann, s.222

24

identifikácie predmetov, ale o totožnosti výsledku týchto dvoch metód. „...priezračnejšie

by sme mali totožnosť a = b písať skôr f(a) = f(b), kde f(a) je výsledok identifikácie

pomocou metódy a a f(b) je výsledok identifikácie pomocou metódy b. ... Takže

tvrdenie typu a = b, pokiaľ je pravdivé, je o tom, že dva odlišné spôsoby vyčlenenia,

pomenované znakmi a, b, vyčleňujú náhodou ten istý predmet. ... Spôsob danosti

predmetu, ktorý je vyjadrený výrazom (menom), nazývame podľa Fregeho zmysel

výrazu a predmet, označený týmto výrazom nazývame denotát výrazu. Takže

tvrdenie zornica = večernica je o totožnosti denotátov dvoch výrazov, ktoré vyjadrujú

odlišné zmysly (významy). ... hovoríme, že zmysel výrazu je pojmom denotátu

výrazu alebo že zmysel výrazu koncipuje denotát výrazu. ... Výrazy, ktoré majú

rovnaké denotáty, nazývame rovnocenné ... ″″″″ekvivalentné″″″″ výrazy. ... Výrazy, ktoré

majú ten istý (totožný) zmysel, nazývame rovnoznačné – synonymické výrazy.“51

B.Russell (1872-1970) ma v diele Skúmanie o zmysle a pravdivosti upozornil,

aby som nekritizoval veľavravnosť filozofov: „Věda záleží do značné míry

v prostředcích k vynalézání pojmů majících větší stupeň přesnosti než pojmy

každodenního života.“52 O totožnosti však píše málo zrozumiteľne: „Chci navrhnout,

aby ″To je červené″ nebyl subjekt-predikátový výrok, nýbrž výrok formy ″Červeň je

zde″, a aby ″červený″ bylo jméno, nikoli predikát, a aby to, co se obyčejně nazývá

″věcí″, nebylo nic jiného než svazek koexistujících kvalit, takových jako červeň ...

Přijme-li se však toto hledisko, stává se identita nerozlišitelných věcí analytickou ...

Identita věcí nerozlišitelných, je-li pravdivá, bude pak šťastnou náhodou a ″identita″

bude nedefinovatelná. Navíc se může stát, že toto a tamto nejsou identické, třebaže

žádná evidence toho není představitelná. Počítání pak bude nemožné, neboť jsou-li a a b

nerozlišitelné, budu jim dávat totéž jméno a každý úkon,v němž počítám jedno z nich,

bude nutně také úkonem, v němž počítám druhé. Proto je jasné, že je-li nějaký pojem

identity, který připouští, aby nerozlišitelné věci nebyly identické, nelze takového pojmu

nikdy použít a není možné, aby měl vztah k našemu poznání.“ Russell ďalej rieši

problém miesta a času vecí, z ktorých robí kvality podobné „červenej“. Upozorňuje tiež,

že pri vnímaní vecí nie je približná podobnosť na rozdiel od presnej podobnosti

tranzitívna, podobne tiež nerozlišiteľnosť nie je tranzitívna na rozdiel od totožnosti.53

L.Wittgenstein (1889-1951) sa najskôr snažil pomocou formálnej logiky vytvoriť

ideálny univerzálny jazyk, ktorý by mohli používať všetky vedy a ktorý by vylúčil

51 Gahér, s.148-157, zvýraznil autor 52 Russell, s.130 53 Russell, s.121,153

25

všetky nepresnosti a mnohoznačnosti bežného jazyka. Neskôr zistil, že význam výrazov

nie je možné oddeliť od použitia týchto výrazov v živej reči. Úlohou filozofie je podľa

neho objasňovanie používania bežného jazyka.54 „Jazyk je labyrint ciest. Prichádzaš

z jednej strany a vyznáš sa; prichádzaš z inej strany na to isté miesto a už sa

nevyznáš.“55

O probléme totožnosti píše už v Logicko-filozofickom traktáte z roku 1921:

„Rovnost předmětů vyjadřuji rovností znaků a nikoli pomocí znaku rovnosti. Rozdílnost

předmětů rozdílností znaků. ... říci o dvou věcech, že jsou identické, je nesmysl a říci

o jedné, že je identická se sebou samou, neříká vůbec nic. ... Znak pro rovnost není tedy

podstatnou částí pojmového písma....zdánlivé věty jako ″a = a″, ″a = b . b = c . ⊃ a = c″,

″(x) . x = x″, ″(∃x) . x = a″ atd. nelze ve správném pojmovém písmu vůbec napsat.“56

Wittgenstein o identite píše aj vo svojich Filozofických skúmaniach z roku 1953:

″Vec je identická sama so sebou.″ - Niet krajšieho príkladu na neužitočnú vetu, ale

predsa spätú s hrou predstavy. Je to, akoby sme v predstave kládli vec do jej vlastnej

formy a videli, že sa tam hodí. ... Slovo ″zhoda″ a slovo ″pravidlo″ sú vzájomne

spríbuznené, sú bratrancami. ... Používanie slova ″pravidlo″ je úzko späté s používaním

slova ″ten istý″. ... nahradenie slova ″taký istý″ slovom ″identický″ (napr.) je jedným

z typických úskokov vo filozofii. Akoby sme hovorili o odtieňoch významu a išlo len

o to, postihnúť našimi slovami správnu nuansu. ... Logik si možno myslí: také isté je

také isté – ako sa človek o tej totožnosti presvedčí, je otázkou psychológie. (Výška je

výška, to že ju človek raz vidí, raz počuje – patrí do psychológie.)“ 57

Niektorí filozofi totožnosť považujú za najdôležitejší pojem ľudského myslenia

a vetu „A = A“ za prvý zákon sveta. Pripomína to až biblické tvrdenie: Na počiatku

bolo Slovo, a to Slovo bolo Boh, a ten Boh sa volal JHVH (Som = Som). Iní filozofi

považujú vetu „A = A“ za úplne bezobsažné, nič nehovoriace a neužitočné tvrdenie.

Dialektickí myslitelia zase tvrdia, že vo všetkom okolo nás je súčasne totožnosť aj

rozdielnosť, a to v neustálej zmene a pohybe. Upozorňujú nás na súvis totožnosti

s pojmom podstata a s ľudskou reflexiou reálneho sveta.

54 Anzenbacher, s.63 55 Wittgenstein, 1979, s.112 56 Wittgenstein, 1993, s. 119, 121 57 Wittgenstein, 1979, s.116, 117, 123, 152

26

3. TOTOŽNOSŤ V MATEMATIKE

V slovníkoch slovenského jazyka sa nerobí rozdiel medzi pojmami identita,

totožnosť, zhodnosť, rovnosť, rovnakosť.58 V matematike zvyčajne považujeme slovo

„ totožnosť“ len za synonymum slov „rovnosť“ alebo „identita“ a s nimi významovo

rozdielne slovo „zhodnosť“ za synonymum slov „rovnakosť“ alebo „kongruencia“.

Pojem rôznosť používame ako opak pojmu totožnosť. Pojem ekvivalencie úzko súvisí

s pojmom totožnosť, dal by sa preložiť do slovenčiny ako rovnocennosť, rovnoplatnosť

alebo totožnosť hodnôt. V matematike sa však tomuto pojmu dávajú aj ďalšie významy.

Slovo „identita“ má ten istý slovný základ ako slovo „totožnosť“. Latinské slovo

„idem“ znamená „tenže, táže, tože, ten istý, tá istá, to isté ... zároveň, vedno, spolu ...“

Z neho odvodené slovo „identidem“ znamená „znovu a znovu, opäť a opäť“.59 České

a slovenské slovo „totožnosť“ podobne ako latinská „identita“ súvisia s ukazovaním

na veci a ich stotožňovaním („toto a toto je jedno“).

Symbol „=“ pre rovnosť pochádza od waleského matematika Roberta Recorda.

Vo svojej knihe The Whetstone of Witte z roku 1557 vysvetľuje zavedenie nového

symbolu takto:

„Abych se vyhnul únavnému opakování slov "je rovno" používám (místo nich), stejně

jako to často dělám při (své) práci, dvojici rovnoběžek nebo dvě úsečky stejné délky,

tedy =, protože žádné dvě věci si nemohou být více rovny.“ 60

Zaujímavým je citované vysvetlenie z dnešného pohľadu, keď dnes takto chápeme

skôr zhodnosť, a nie totožnosť. Totožnosť by dnes lepšie znázorňovala jedna úsečka,

alebo jeden bod (Pythagoras). Relácia identity sa niekedy označuje „I“ alebo „Id“.

Symbol „=“ pre rovnosť (totožnosť) sa dlho nedočkal všeobecného uznania.

Miesto neho boli až do 18.storočia používané symboly „||“ nebo „æ“ či „œ“,

pochádzajúce z latinského slova „aequalis“ = „(je) rovné“. Totožnosť označujeme aj

symbolom „≡“, inokedy tento symbol považujeme za ekvivalenciu (logika), alebo

kongruenciu (geometria, aritmetika). Podobne je to s ďalším symbolom „∼“, ktorý

niekedy znamená podobnosť, inokedy ekvivalenciu alebo aj negáciu. Zhodnosť sa

v matematike označuje symbolom „≅“ a „≡“, priradenie definície symbolom „: =“

a približná rovnosť symbolom „≈“. Pojem ekvivalencie má zaužívaných najviac

symbolov: „⇔“, „↔“, „ ≡“, „ ∼“ alebo „ε“.

58 Peciar, s. 551 59 Špaňár, s.279 60 www.wikipedie.cz

27

3.1. TOTOŽNOSŤ V LOGIKE

V matematickej logike pojem totožnosť súvisí najmä s príbuzným pojmom

ekvivalencia, ale v literatúre sa stretávame aj s použitím slova „identita“ pre tautológie

a slova „totožnosť“ pre označovanie zložených výrokov. Na vysvetlenie týchto pojmov

je potrebné zaviesť nasledovné pojmy:

• výrok je základný pojem logiky, ktorý nedefinujeme, môžeme ho opísať ako

gramatickú vetu, o ktorej pravdivosti má zmysel uvažovať;

• logické operátory (spojky, funktory): ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔;

• atomárne výroky (jednoduché) sú výroky, ktoré neobsahujú logické operátory;

• zložené výroky sú výroky zložené z atomárnych výrokov pomocou logických

operátorov;

• výrokové premenné sú názvové premenné, za ktoré môžeme dosadzovať len

výroky; označujeme ich napr. x, y...;

• výrokové formule sú buď samotné výrokové premenné alebo z nich pomocou

logických operátorov zložené výroky; označujeme ich napr. A, B...;

• výroková funkcia f priraďuje výrokovým formulám pravdivostnú hodnotu

z množiny {0,1}, a to podľa určených pravidiel,

• ekvivalencia sa chápe rôzne, a to ako:

a) jeden z operátorov, ktorý sa označuje symbolom ⇔ (ale aj ≡, ↔, ∼);

čítame ho „práve vtedy, keď“; platí, že výrok zložený pomocou ekvivalencie je

pravdivý, ak sú obidva atomárne výroky, z ktorých je zložený, súčasne pravdivé

alebo súčasne nepravdivé;

b) zložený výrok, ktorý bol utvorený pomocou operátora ekvivalencie, a to buď

z atomárnych výrokov, alebo z výrokových formúl;

• ekvivalencia výrokových formúl sa dá definovať rôzne:

a) f(A ⇔ B) = 1 - f(A) - f(B) ,

b) A ⇔ B, ak pre ∀f platí f(A) = f(B),

c) tabuľkou pravdivostných hodnôt:

platí veta: (A ⇔ B) ⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A));

f (A) 1 1 0 0

f (B) 1 0 1 0

f (A⇔Β) 1 0 0 1

28

v literatúre sa niekedy odlišuje symbolické označenie ekvivalencie-operátora od

ekvivalencie výrokových formúl61;

• ekvivalencia výrokových formúl je:

a) reflexívna, tj. platí A ⇔ A,

b) symetrická, tj. platí (A ⇔ B) ⇒ (B ⇔ A),

c) tranzitívna, tj. platí ((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇒ (A ⇔ C);

• totožnosť výrokov vo význame označenia zloženého výroku vlastným menom,

označuje sa symbolom = (používa sa tiež symbol ∼); napr. C = (A ⇔ B);

• tautológia (logická identita) je zložený výrok, ktorý je vždy pravdivý, bez ohľadu

na pravdivostnú hodnotu jednotlivých atomárnych výrokov, z ktorých je zložený,

označuje sa symbolom ├ ; napr. najznámejšími tautológiami sú:

a) zákon totožnosti: B = (A ⇒ A), tj. pre ∀f platí f(B) = 1 a píšeme├ B,

b) zákon vylúčenia tretieho: A ∨ ¬A,

c) zákon dvojitej negácie: A ⇔ ¬(¬A),

d) zákon transpozície: (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A),

e) de Morganove zákony: (¬A ∨ ¬B) ⇔ ¬(A ∧ B), (¬A ∧ ¬B) ⇔ ¬(A ∨ B),

f) Claviov zákon: (¬A ⇒ A) ⇒ A;

• dve konštanty (vlastné mená) nazývame zhodnými, ak majú rovnaký denotát a

identickými, ak majú rovnaký denotát aj zmysel;

• ako ukážku ekvivalencie výrokových formúl uvádzam Leibnizov zákon totožnosti

nerozlíšiteľných vecí:

∀x∀y ((x = y) ⇔ (∀F (F(x) = F(y))),

tj. pre všetky entity x, y platí, že sú totožné práve vtedy a len vtedy, keď majú

totožné všetky svoje vlastnosti.

3.2. TOTOŽNOSŤ V TEÓRII MNOŽÍN

Na vysvetlenie použitia pojmov rovnosti (totožnosti) a ekvivalencie množín sú

potrebné nasledovné pojmy:

• množina (označujeme A, B...) je základný pojem, ktorý sa nedefinuje, podobne ako

pojmy prvok (označujeme a, b...) a patrí (označujeme ∈),

• podmnožinu A množiny B (označujeme A ⊂ B) definujeme:

A ⊂ B ⇔ ∀a (a ∈ A ⇒ a ∈ B),

61 Bartsch, s.63, Šalát, s.630

29

• axióma rovnosti množín: ∀A, B ((A = B) ⇔ (∀a (a ∈ A) ⇔ (a ∈ B)),

tj. dve množiny sa rovnajú (sú totožné) práve vtedy, keď majú tie isté prvky;

• rovnosť (identita) množín je:

a) reflexívna, tj. platí A = A,

b) symetrická, tj. platí A = B ⇒ B = A,

c) tranzitívna, tj. platí (A = B ∧ B = C) ⇒ A = C,

pre rovnosť množín platí: A = B ⇔ ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)),

• definícia: množiny A a B sú ekvivalentné, ak existuje bijekcia ϕ : A → B,

označujeme A ∼ B,

• ekvivalencia množín je:

a) reflexívna, tj. platí A ∼ A,

b) symetrická, tj. platí A ∼ B ⇒ B ∼ A,

c) tranzitívna, tj. platí (A ∼ B ∧ B ∼ C) ⇒ A ∼ C,

Konečné množiny sú ekvivalentné, ak majú rovnaký počet prvkov. Teória množín

bola vymyslená ako teória skúmajúca nekonečné množiny. Nekonečnú množinu možno

definovať ako množinu A obsahujúcu podmnožinu B ≠ A, s ktorou je ekvivalentná.

Pre základné číselné množiny (obory) platia vzťahy N ∼ Z ∼ Q a I ∼ R.

Pri skúmaní rovnosti množín zrejme nejde o posudzovanie triviálnych tvrdení, ako

napríklad {1, 2} = {1, 2}, ani o označovanie jednej množiny dvoma menami ako napr.

A = B = {1, 2}. O niečo zaujímavejšou je rovnosť nekonečných množín {1, 2, 3, 4, ...}

= {I, II, III, IV, ...}, kde ide o rôzne označenie tých istých prvkov,

tj. jednotlivé mená prvkov označujú ten istý denotát. Ak by sme chybne za symbolmi

„1“, „2“, „3“, „4“, ... nevideli žiaden obsah a považovali ich len za mená, potom by sa

ekvivalencia množín N a Z mohla zmeniť na ich rovnosť, pretože aj mená celých čísel

vieme zoradiť do postupnosti: „0“, „1“, „-1“, „2“, ...

• binárna relácia z množiny A do množiny B je každá podmnožina karteziánskeho

súčinu množín A x B (množiny všetkých usporiadaných dvojíc [a, b],

kde a ∈ A, b ∈ B),

• ak R je relácia na množine A a a, b, c ∈ A, hovoríme, že má vlastnosti:

a) identity , ak pre ∀a ∈ A platí [a, b] ∈ R ⇒ a = b ∈ A, označujeme I, alebo IdA,

b) reflexívnosti, ak pre ∀a ∈ A platí [a, a] ∈ R, tj. keď I ⊂ R,

c) symetričnosti, ak pre ∀a, b ∈ A platí [a, b] ∈ R ⇒ [b, a] ∈ R,

d) tranzitívnosti, ak pre ∀a, b, c ∈ A platí ([a, b] ∈ R ∧ [b, c] ∈ R) ⇒ [a, c] ∈ R,

e) antisymetričnosti, ak pre ∀a, b ∈ A platí [a, b] ∈ R ⇔ [b, a] ∉ R,

30

• R je relácia ekvivalencie na množine A, ak je reflexívna, symetrická a tranzitívna,

• Na každej množine je identická relácia I zároveň reláciou ekvivalencie. Na rozdiel

od neidentickej ekvivalencie je identita antisymetrická relácia. Relácia identity sa

niekedy nazýva tiež diagonála62.

3.3. TOTOŽNOSŤ V ALGEBRE

Algebra pôvodne vznikla ako veda, ktorá sa zaoberá riešením rovníc. Každá

rovnica je vlastne identita dvoch výrazov. Identitami sú tiež všetky mocninové,

logaritmické, goniometrické a iné vzorce, ktoré využívame v stredoškolskej matematike

na úpravu výrazov a riešenie rovníc, resp. nerovníc.

Ak by zmysel totožnosti bol len v rovnostiach typu „A = A“, nebolo by

v stredoškolskej algebre čo riešiť. O totožnosti dvoch výrazov má paradoxne zmysel

hovoriť, len v prípade, ak výrazy nie sú totožné, tj. ak sú rozdielne. Totožnými sú len

hodnoty, ku ktorým výrazy „mieria“.

Napr. je zbytočné uvažovať nad identitou √3 = √3, zaujímavejšia je identita

3/√3 = √3; podobne identita sarasara loglogloglog +=+ nevyjadruje nič na

rozdiel od identity )(logloglog rsasara =+ a pod.

Algebrická identita sa definuje ako rovnica T1(x, y, ...) = T2 (x, y,...), kde sa obor

pravdivosti P (množina všetkých koreňov rovnice) rovná definičnému oboru rovnice.63

Ako príklad možno uviesť: zápis αα=α cossin22sin je identitou vzhľadom k oboru

reálnych čísel R, pretože obor pravdivosti rovnice P = R.

Dve rovnice nazývame ekvivalentné, ak sa rovnajú ich obory pravdivosti.

Ak úpravou rovnice dostaneme ekvivalentnú rovnicu, hovoríme o ekvivalentnej úprave

rovnice.

Pojem identita sa používa v lineárnej algebre na pomenovanie jednotkovej

matice, tj. štvorcovej matice s jednotkami na diagonále a nulami na ostatných

pozíciách.64 Zaujímavou je podobnosť tejto diagonály identity-matice, s diagonálou

v tabuľkovom zápise identity-binárnej relácie:

napr. identita–matica 3x3 :

100

010

001 , identita–binárna relácia na {1,2,3}:

62 Bukovský, s. 27 63 Bartsch, s. 210 64 http://en.wikipedia.org

1 2 3 1 X 2 X 3 X

31

3.4. TOTOŽNOSŤ V GEOMETRII

V geometrii, keď rozmýšľame nad tvarom, veľkosťou a umiestnením dvoch

objektov, možno totožnosť rozdeliť na:

• totožnosť relatívnu (čiastočnú) – napr. trojuholník a kruh majú spoločnú totožnosť

útvaru alebo totožnosť množiny bodov v rovine,

• totožnosť absolútnu (úplnú) – tú môžem ešte rozdeliť na:

a) podobnosť – absolútnu totožnosť tvaru – napr. hocijaké dve kružnice (aj

s rôznymi polomermi) sú podobné,

b) zhodnosť – absolútnu totožnosť tvaru a veľkosti – napr. hocijaké dve kružnice

s rovnakými polomermi (aj s rôznymi stredmi) sú zhodné,

c) totožnosť – absolútnu totožnosť tvaru, veľkosti a miesta – napr. totožné sú

hocijaké dve(?) kružnice v rovine s rovnakými polomermi aj stredmi.

Z takto určených pojmov vyplýva, že totožnosť je špeciálny prípad zhodnosti

a zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti. Totožným zobrazením v rovine je napr.

posunutie o nulový vektor, otočenie okolo ľubovoľného bodu o nulový uhol (ale aj

o uhol k*2π, kde k ∈ Z) alebo zobrazenie zložené z dvoch osových súmerností s jednou

a tou istou osou. Identitou je tiež rovnoľahlosť s koeficientom rovnoľahlosti h = 1.

Zhodnosť (kongruencia) úsečiek a uhlov je základný pojem Hilbertovho

axiomatického systému. Určuje-determinuje ho 5 axióm kongruencie (označenie „≡”):

I. Ak U je úsečka a →p polpriamka, ktorá má začiatok v bode O, potom na →p

existuje bod A taký, že U ≡ OA.

II. Ak U1 ≡ U a U2 ≡ U, potom U1 ≡ U2 .

III. Ak platí: µ(A, B, C), µ(A′, B′, C′) a AB ≡ A′B′ , BC ≡ B′C′, potom AC ≡ A′C′ .

IV. a) Ak je daný ∠(→a→b), polrovina →α s hranicou c , na ktorej je zvolená

polpriamka →c so začiatkom O, potom exituje práve jedna polpriamka →d so

začiatkom v bode O, ležiaca v polrovine →α taká, že ∠(→a→b) ≡ ∠(→c→d).

b) Každý uhol je zhodný sám so sebou, teda ∠(→a→b) = ∠(→a→b).

V. Nech sú dané dva trojuholníky ∆ ABC , ∆ A′B′C′ a nech platí: AB ≡ A′B′,

AC ≡ A′C′ , ∠(BAC) ≡ ∠(B′A′C′), potom ∠(ABC) ≡ ∠(A′B′C′).65

Zhodnosť úsečiek aj zhodnosť uhlov sú relácie ekvivalencie. Z axióm kongruencie sa dá

odvodiť množstvo ďalších pojmov a tvrdení o zhodnosti ďalších geometrických

útvarov.

65 podľa: Šalát, s.73

32

3.5. KLASIFIKÁCIA TOTOŽNOSTI V GEOMETRII

Pre správne pochopenie pojmu totožnosť v geometrii treba rozlišovať rôzne

úrovne: vlastné meno objektu – objekt – pojem a jeho definícia (všeobecné určenie

všeobecného objektu) – meno pojmu – všeobecné určenie konkrétneho objektu –

konkrétne určenie konkrétneho objektu. Vychádzajúc z klasifikácie určení (viď

kap.1.1.) navrhujem nasledovnú klasifikáciu pojmu totožnosť:

1. koncipujúca – totožnosť spájajúca dva objekty do jedného pojmu;

napr. ostenzívne (ukázaním) môžem pomocou dvoch objektov určiť ich spoločný

pojem, tj. jednu spoločnú (spájajúcu – pojacu – pojmovú) totožnosť; ukážem na

trojuholník a obdĺžnik a poviem: „Toto a toto je mnohouholník“;

2. signifikujúca – totožnosť priraďujúca pojmu mená; často sú mená tiež nositeľmi

významu – súvisia s menami iných pojmov, ktoré súvisia daným pojmom;

napr. pojmu trojuholník priradíme meno “trojuholník” alebo meno “triangel”,

obidve mená obsahujú informáciu o troch uhlov – podstatnej vlastnosti trojuholníka;

3. definujúca – totožnosť pojmu a jeho významu, ktorý je určený definíciou; pri

základných pojmoch ide o determinovanie pojmu pomocou sústavy axióm;

4. nominujúca – totožnosť pomenovávajúca jeden objekt jedným vlastným menom

a druhý objekt druhým vlastným menom; zmysel tejto totožnosti je práve

v rozlišovaní (diferencovaní) konkrétnych objektov – je nezmyselné dávať viacerým

objektom jedno meno, alebo jeden objekt označiť viacerými menami;

napr. každý bod získa vlastnú totožnosť pomenovaním, jeden bod označíme menom

„A“ a druhý bod označíme menom „B“;

5. špecifikujúca – totožnosť konkrétneho objektu a jeho všeobecného určenia;

napr. bod je určený usporiadanou dvojicou reálnych čísel [x,y] alebo priamka je

určená všeobecnou rovnicou ax + by + c = 0;

6. identifikujúca – totožnosť konkrétneho objektu a jeho konkrétneho určenia;

napr. konkrétny bod A je určený konkrétnou usporiadanou dvojicou čísel [3,1] alebo

konkrétna priamka p je určená konkrétnou rovnicou 2x + 3y – 5 = 0;

7. substitutívna – totožnosť dvoch konkrétnych špecifikujúcich určení jedného

konkrétneho objektu;

napr. jedna priamka je určená dvoma spôsobmi: dvojicou bodov [0,0], [1,3] alebo

rovnicou y = 3x;

33

8. ekvivalentná – totožnosť dvoch konkrétnych identifikujúcich určení jedného

konkrétneho objektu;

napr. jedna priamka je určená dvoma spôsobmi: dvojicou bodov [0,0], [1,3] alebo

tá istá priamka je určená inou dvojicou bodov [2,6], [-1,-3].

9. synonymická – totožnosť dvoch mien priradených jednému pojmu; chvíľu som

váhal, či ju zaradiť medzi podstatné totožnosti – jazyk matematiky však musí byť

národný aj medzinárodný;

napr. polomer = rádius, otočenie = rotácia.

Zložitosť vzťahov medzi jednotlivými vlastnými menami objektov, objektmi,

pojmami, menami pojmov a rôznymi určeniami objektov názorne vysvetľuje

nasledovný graf.

PODSTATNÉ 1. MENO POJMU

TOTOŽNOSTI:

DEFINÍCIA POJMU "kružnica"

definujúca

synonymická

POJEM signi- 2. MENO POJMU ... kružnica fikujúca "circle"

koncipujúca

...

2. OBJEKT 1. OBJEKT b a ...

nominujúca špecifikujúca

MENO OBJEKTU 1. URČENIE 2. URČENIE

"a" tromi bodmi rovnicou

identifikujúca

identifikujúca

[0,-2],[-2,0],[2,0]∈a [0,2],[-2,0],[2,0]∈a x² + y² = 4

substitutívna

ekvivalentná

3x² + 3y² = 12

34

Tieto druhy totožností považujem za podstatné, tj. za zmysluplné. V matematike

strednej školy sú dôležité úvahy o totožnostiach špecifikujúcich konkrétne objekty.

Ďalej stredoškolská matematika skúma rôzne určenia jedného konkrétneho objektu a ich

vzájomnú nahraditeľnosť – tj. substitutívne totožnosti.

Pojem totožnosť sa môže použiť aj v ďalších súvislostiach, ale zvyčajne je to už

len následok našej neznalosti, omylu alebo nesprávneho uvažovania – ako napríklad

totožnosť:

10. homonymická – totožnosť dávajúca jedno meno dvom pojmom, vedie často len

k ťažkostiam v dorozumievaní medzi ľuďmi;

napr. pojem incidencia raz znamená základný vzťah medzi bodmi a priamkami,

v teórii grafov znamená vzťah medzi vrcholmi a hranami grafov; bod, ktorý

považujeme za dva totožné body – slovo „bod“ tu má dva významy;

11. duonominálna – totožnosť dvoch vlastných mien patriacich jednému objektu,

ktoré mu dáme zvyčajne omylom, keď ho najskôr z neznalosti považujeme za dva

objekty;

napr. jeden bod má dve mená „A“ a „B“;

12. unifikujúca – totožnosť označujúca (omylom) jedným vlastným menom dva

objekty;

napr. dva body majú jedno meno „A“, pričom A ≠ A;

13. duplikujúca – totožnosť dvoch objektov, ktoré sú jeden objekt;

napr. zápis A = B = [1,3] chápaný ako dva body (pričom ide len o dve vlastné mená

jedného bodu), podobne zápis [1,3] = p ∩ q (p: y = 3, q: y = 3x) nie sú dva body,

ale dve určenia jedného bodu;

14. totožnosť dvoch totožných mien dvoch totožno-duplikovaných objektov (viď 13.);

napr. dva totožné body sú označené dvoma totožnými menami “A” a “A”; túto

úvahu považujem za nevyhnutný dôsledok chybného uvažovania o duplikujúcej

totožnosti - dostávame ešte väčší nezmysel - v skutočnosti ide o jeden bod s jedným

menom.

Niekedy mám pocit, že vedci latinskými slovami len zahmlievajú pred

obyčajnými ľuďmi jednoduché myšlienky a nerád by som teraz vyznel rovnako. Mojím

roztriedením totožností som len chcel objasniť, ktorá totožnosť je podľa mňa

zmysluplná a ktorá nie. Úlohou tejto práce bolo poukázať na zbytočnosť, či dokonca

škodlivosť duplikujúcej totožnosti, ktorá sa často používa v stredoškolskej matematike.

35

4. DODATOK I - HILBERTOVE AXIÓMY SPOJENIA

(INCIDENCIE)

4.1. HILBERTOVE AXIÓMY V LITERATÚRE

Zhromaždil som a utriedil 13 znení axióm spojenia (incidencie) pôvodne

formulovaných D. Hilbertom. Použil som nasledovné pramene:

1) Hilbert D.: Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, 1.vydanie

Hilbert D.: Grundlagen der Geometrie, Stuttgart 1962, 9.vydanie, s.3-4

2) Hilbert D.: The Foundations of Geometry, Illinois 1902, s.2, 3

3) Svitek V.: Logické základy geometrie, Bratislava 1969, s.70

4) Šalát T.: Malá encyklopédia matematiky, Bratislava 1978, s.68

5) Piják V.: Konštrukčná geometria, Bratislava 1985, s.46

6) Kouřim J.: Základy elementární geometrie, Praha 1985, s.119

7) Sekanina M.: Geometrie II, Praha 1988, s.220, 259

8) Kuniak M.: Deskriptívna geometria, Košice 1991, s.5

9) Velichová D.: Konštrukčná geometria, Bratislava 2003, s.21

10) Bělík M.: Geometrie s didaktikou, Ústí nad Labem 2005, s.45

11) Sklenáriková Z.: Elementárna geometria euklidovskej roviny, Bratislava 2005, s.9

12) Klenková P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského

priestoru, Bratislava 2006, s.9

Arabské číslo určuje prameň, rímske číslo v zátvorke za axiómou je pôvodné

číslovanie axióm v danom prameni. Podčiarknutím som zvýraznil tvrdenia o rôznosti.

Slovenský preklad nemeckého a anglického originálu som sa snažil robiť doslovne

s možným ďalším upresňujúcim výkladom v zátvorkách.

36

I. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

„Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.“

(I)

„Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen

diese Gerade.“ (II)

Dva jeden od druhého rozdielne body P a Q určujú vždy (nejakú práve jednu)

priamku g.

Hocijaké dva jeden od druhého rozdielne body (nejakej-každej jednej) priamky

určujú túto priamku.

9. vydanie:

„Zu zwei Punkten A, B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte

A, B zusammengehört.“ (I)

„Zu zwei Punkten A, B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden

Punkte A, B zusammengehört.“ (II)

Ku dvom bodom A, B existuje vždy nejaká (aspoň jedna) priamka a, ktorá s každým

z obidvoch bodov A, B patrí k sebe (súvisí).

Ku dvom bodom A, B existuje nie viac ako jedna priamka, ktorá s každým

z obidvoch bodov A, B patrí k sebe (súvisí).

2) „Two distinct points A and B always completely determine a straight line a.

We write AB = a or BA = a.“ (I)

„Any two distinct points of a straight line completely determine that line;

that is, if AB = a and AC = a, where B ≠ C, then is also BC = a.“ (II)

Dva rozdielne body A a B vždy úplne určujú (nejakú práve jednu) priamku g.

Píšeme AB = a alebo BA = a.

Hocijaké dva rozdielne body (nejakej-každej jednej) priamky úplne určujú

túto priamku;

tj. ak AB = a ∧ AC = a ∧ B ≠ C, tak je potom BC = a.

3) „Ak A, B ∈ B, potom existuje a ∈ P tak, že A, B ε a.“ (I)

„Ak A, B ∈ B a a, b ∈ P, pričom A ≠ B splňuje vzťah A, B ε a, b, potom a = b.“

(II)

37

4) „Každými dvoma bodmi A, B prechádza aspoň jedna priamka.“ (I)

„Každými dvoma rôznymi bodmi prechádza najviac jedna priamka.“ (II)

5) „∀A, B ∈ B, A ≠ B ∃!a ∈ P : A, B ∈ a

(Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.)“

6) „Každé dva různé body incidují s jedinou přímkou.“

7) „Je-li A, B ∈ M , A ≠ B, pak existuje jediná přímka (označujeme jiAB ) pro niž

A ∈ AB , B ∈ AB .“

8) „Každými dvoma rôznymi bodmi prechádza jedna priamka.“

9) „Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.“

10) „Každými dvěma různými body prochází právě jedna přímka.“

11) „Pre každé dva rôzne body existuje jediná priamka, ktorá s oboma bodmi inciduje.“

12) „Ku každým dvom rôznym bodom existuje práve jedna priamka s nimi incidentná.“

II. AXIÓMA

1) 1.vydanie (rovnako 9.vydanie):

„Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte,...“ (1. časť III)

Na (nejakej-každej jednej) priamke existujú vždy aspoň dva body, ...

2) „Upon every straight line there exist at least two points,...“ (1. časť VII)

Na každej piamke existujú najmenej dva body,

3) „Ku každej priamke a ∈ P existujú aspoň dva rôzne body A, B ∈ B, o ktorých platí,

že A, B ε a...“ (1. časť III)

4) „Na každej priamke ležia aspoň dva rôzne body...“ (1. časť III)

5) „∀a ∈ P (∃A, B ∈ B, A ≠ B) : A, B ∈ a

(Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.)“

6) „Každá přímka obsahuje alespoň dva různé body.“

7) „Na každé přímce leží aspoň dva body.“ (III)

8) „Na každej priamke ležia aspoň dva rôzne body.“

38

9) „Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.“

10) „Na každé přímce leží aspoň dva různé body.“

11) „Pre každú priamku existujú aspoň dva rôzne body, ktoré s ňou incidujú.“

12) „Na každej priamke existujú aspoň dva rôzne body.“

III. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

„... in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene

Punkte.“ (2. časť III)

... v (nejakej-každej jednej) rovine existujú vždy aspoň tri body neležiace na

(nejakej práve jednej) priamke.

9. vydanie:

„Es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.“ (2. časť III)

Existujú aspoň tri body, ktoré neležia na (nejakej práve jednej) priamke.

2) „... in every plane at least three points not lying in the same straight line, ...“

(2. časť VII)

... v každej rovine (existujú) najmenej tri body neležiace na tej istej priamke, ...

3) „... Existuje trojica rôznych bodov A, B, C ∈ B tak, že neexistuje priamka m,

ktorá by spĺňala podmienku A, B, C ε m.“ (2. časť III)

4) „... Existuje aspoň jedna trojica nekolineárnych bodov.“ (2. časť III)

5) „∃A, B, C ∈ B, A ≠ B ≠ C ≠ A: {p ∈ P; A, B, C ∈ p} = ∅

(Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.)“

6) „Existuje alespoň jedna trojice bodů, která nenáleží žádné přímce.“

7) „Existují tři různé body, které jsou nekolineární.“ (II)

8) „Existuje aspoň jedna trojica bodov, ktoré neležia na jednej priamke.“

9) „Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych (neležiacich

na jednej priamke) bodov.“

10) „Existují tři body, které neleží v přímce (říkáme, že tyto body nejsou kolineární).“

39

11) „Existujú body, ktoré neincidujú s jedinou priamkou.“

12) „Existujú body, ktoré všetky neležia na jednej priamke.“

IV. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

„Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte P, Q, R bestimmen stets

eine Ebene.“ (IV)

„Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen,

bestimmen diese Ebene.“ (V)

Tri body P, Q, R, neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú vždy (nejakú práve

jednu) rovinu.

Hocijaké tri body (nejakej-každej jednej) roviny, neležiace na jednej a tej istej

priamke, určujú túto rovinu.

9. vydanie:

„Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkten A, B, C gibt

es stets eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C zusammengehört.“

(1. časť IV)

“Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Gerade liegenden Punkten A, B, C gibt

es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C

zusammengehört.“ (V)

Ku hocijakým trom neležiacim na jednej a tej istej priamke bodom A, B, C existuje

vždy nejaká (aspoň jedna) rovina α, ktorá s každým z troch bodov A, B, C patrí

k sebe (súvisí).

Ku hocijakým trom neležiacim na jednej a tej istej priamke bodom A, B, C existuje

nie viac ako jedna rovina, ktorá s každým z troch bodov A, B, C patrí k sebe

(súvisí).

2) „Three points A, B, C not situated in the same straight line always completely

determine a plane. We write ABC = α.“ (III)

„Any three points A, B, C of a plane α, which do not lie in the same straight line,

completely determine that plane.“ (IV)

Tri body A, B, C neumiestnené na rovnakej priamke vždy úplně určujú (nejakú

práve jednu) rovinu. Píšeme ABC = α.

40

Hocijaké tri body A, B, C z (nejakej-každej jednej) roviny α, ktoré neležia na tej

istej priamke, úplne určia túto rovinu.

3) „Ak A, B, C ∈ B, pričom A ≠ B ≠ C ≠ A a ak neexistuje priamka m ∈ P tak,

aby A, B, C ε m, potom existuje rovina α ∈ R tak, že A, B, C ε α.“ (IV)

„Ak A, B, C ∈ B a α, β ∈ R, pričom A ≠ B ≠ C ≠ A a A, B, C ε α, β a ak nejestvuje

priamka m ∈ P tak, aby A, B, C ε m, potom α = β; ...“ (2. časť V)

4) “Ku každej trojici nekolineárnych bodov A, B, C existuje rovina, v ktorej tieto body

ležia...“ (1. časť IV)

„Ku každej trojici nekolineárnych bodov A, B, C existuje najviac jedna rovina,

prechádzajúca nimi.“ (V)

5) „∀A, B, C ∈ B, {p ∈ P; A, B, C ∈ p} = ∅ ∃!α ∈ R: A, B, C ∈ α

(Každé tri nekolineárne body obsahuje jediná rovina.)“

6) nemá (planimetria)

7) „Nechť A, B, C jsou tři nekolineární body. Potom existuje jediná rovina ρ taková,

že {A, B, C} ⊂ ρ.“ (VI)

8) „Troma rôznymi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, je určená jediná rovina.“

9) „Každé tri nekolineárne body obsahuje jediná rovina.“

10) „Každými třemi body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina.“

11) nemá (planimetria)

12) „Ku každým trom nekolineárnym bodom existuje práve jedna rovina s nimi

incidentná.“

V. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

pozri III

9. vydanie:

“Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörigen Punkt.“ (2. časť IV)

Ku každej rovine existuje vždy nejaký (aspoň jeden) ku nej patriaci (s ňou súvisiaci)

bod.

2) pozri III

3) „... v každej rovine α ∈ R leží aspoň jeden bod A ∈ B.“ (2. časť V)

41

4) „...V každej rovine leží aspoň jeden bod.“ (2. časť IV)

5) „∀α ∈ R ∃A ∈ B: A ∈ α

(Každá rovina obsahuje aspoň jeden bod.)“

6) nemá (planimetria)

7) „Každá rovina je neprázdná množina.“ (VIII)

8) „V každej rovine leží aspoň jeden bod.“ (VII)

9) „Každá rovina obsahuje aspoň jeden bod.“

10) nemá (?)

11) nemá (planimetria)

12) „V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.“

VI. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

„Wenn zwei Punkte P und Q einer Geraden g in einer Ebene α liegen, so liegt jeder

Punkt von g in α.“

Keď dva body P a Q (nejakej-každej jednej) priamky g ležia v (nejakej práve jednej)

rovine α, tak leží každý bod z g v α.

9.vydanie:

„Wenn zwei Punkte A und B einer Geraden a in einer Ebene α liegen, so liegt jeder

Punkt von a in der Ebene α.“

Keď dva body A a B (nejakej-každej jednej) priamky a ležia v (nejakej práve jednej)

rovine α, tak leží každý bod z A v rovine α.

2) „If two points A, B of a straight line a lie in a plane α, then every point of a lies

in α.“ (V)

Ak dva body A, B priamky a ležia v rovine α, potom každý bod priamky a leží v α.

3) „Ak A, B, C ∈ B, m ∈ P, α ∈ R, A ≠ B, pričom A, B ε α a A, B, C ε m,

potom C ε α.“

42

4) „Ak dva rôzne body A, B priamky p ležia v rovine α, potom každý bod priamky

p leží v rovine α.“

5) „∀a ∈ P, ∀α ∈ R : (A, B, C ∈ a ∧ A, B ⊂ α ∧ A ≠ B) ⇒ C ∈ α

(Ak dva rôzne body priamky a ležia v rovine α, tak všetky body priamky a ležia

v rovine α.)“

6) nemá (planimetria)

7) „Je-li p ∈ P, ρ ∈ R, A, B, ∈ p ∩ ρ, A ≠ B, pak p ⊂ ρ.“ (IV)

8) „Ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia

v rovine.“ (V)

9) „Ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, tak v nej ležia všetky body tejto

priamky.“

10) „Jestliže dva různé body přímky p leží v rovině σ, pak všechny body přímky p leží

v rovině σ.“ (V)

11) nemá (planimetria)

12) „Ak dva body priamky ležia v rovine, tak každý bod tejto priamky leží v danej

rovine.“

VII. AXIÓMA

1) 1.vydanie:

„Wenn zwei Ebenen α und ß einen Punkt P gemeinsam haben, so haben sie

wenigstens noch einen weiteren Punkt Q gemeinsam.“

Ak dve roviny α a β majú nejaký (aspoň jeden) spoločný bod P, tak oni majú

najmenej ešte (nejaký aspoň jeden) ďalší spoločný bod Q.

9.vydanie:

„Wenn zwei Ebenen α, ß einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens

noch einen weiteren Punkt B gemein.“

Ak dve roviny α, β majú nejaký (aspoň jeden) spoločný bod A, tak oni majú

najmenej ešte nejaký (aspoň jeden) ďalší spoločný bod B.

43

2) „If two planes α, β have a point A in common, then they have at least a second point

B in common.“ (VI)

Ak dve roviny α, β majú nejaký (aspoň jeden) spoločný bod A, potom oni majú

spoločný najmenej nejaký (aspoň jeden) druhý bod B .

3) „Ak A ∈ B; α, β ∈ R a A ε α, β, kde α ≠ β, potom existuje bod B ∈ B tak, že A ≠ B

a B ε α, β.“

4) „Ak dve roviny α, β majú spoločný bod A, potom majú spoločný ešte aspoň jeden

bod B, rôzny od A.“

5) „∀α, β ∈ R: (A ∈ α, A ∈ β, α ≠ β) ⇒ ∃B ∈ B (B ≠ A ∧ B ∈ α ∧ B ∈ β)

(Ak dve rôzne roviny majú spoločný jeden bod, tak majú spoločný ešte aspoň jeden

ďalší bod.)“ (VIII)

6) nemá (planimetria)

7) „Nechť ρ, σ ∈ R, ρ ≠ σ, A ∈ ρ ∩ σ. Potom existuje přímka p taková, že p ⊂ ρ ∩ σ

a A ∈ p.“ (V)

8) „Ak dve roviny α, β majú spoločný bod A, potom majú spoločný ešte jeden ďalší

bod B (teda majú spoločnú celú priamku AB priesečnicu α ∩ β = AB).“ (VI)

9) „Ak dve rôzne roviny majú spoločný jeden bod, majú spoločnú priamku, ktorá týmto

bodom prechádza.“ (VIII)

10) „Jestliže dvě roviny obsahují společný bod, pak obsahují ještě aspoň jeden další

bod.“(VI)

11) nemá (planimetria)

12) „Ak majú dve roviny spoločný bod, tak majú spoločnú aspoň jednu priamku.“

VIII. AXIÓMA

1) 1.vydanie (rovnako 9.vydanie):

„Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.“

Existujú najmenej štyri body neležiace v (nejakej práve jednej) rovine.

2) „... and in space there exist at least four points not lying in a plane.“ (3. časť VII)

44

... a v priestore existujú najmenej štyri body neležiace v (nejakej-hocijakej práve

jednej) rovine.

3) „Existuje štvorica bodov A, B, C, D ∈ B tak, že nejestvuje rovina α ∈ R spĺňajúca

podmienku A, B, C, D ε α.“

4) „Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov.“

5) „∃A, B, C, D ∈ B: {π ∈ R; A, B, C, D ∈ π} = ∅

(Existuje štvorica bodov neležiacich v jednej rovine.)“ (VII)

6) nemá (planimetria)

7) „Existují čtyři nekomplanární body.“ (VII)

8) „Existuje aspoň jedna štvorica bodov, ktoré neležia v jednej rovine.“

9) „Existuje štvorica bodov neležiacich v jednej rovine.“ (VII)

10) „Existují čtyři body, které neleží v rovině (říkáme, že tyto body nejsou

komplanární).“ (VII)

11) nemá (planimetria)

12) „Existujú body, ktoré neležia všetky v jednej rovine.“

4.2. NOVÉ VYJADRENIA HILBERTOVÝCH AXIÓM

Dal som si úlohu:

- vyjadriť axiómy spojenia (incidencie) bez nadbytočných slov,

- vyhnúť sa použitiu synoným - týka sa to najmä vzťahu incidencie,

- vyjadriť axiómy slovne aj symbolicky,

- dôsledne používať kvantifikáciu tvrdení.

Úvod k axiómam spojenia (incidencie)

Uvažujeme o troch druhoch základných objektov:

• body – označujeme A, B, C, ... ; množinu všetkých bodov označujeme B

• priamky – označujeme a, b, c, ... ; množinu všetkých priamok označujeme P

• roviny – označujeme α, β, γ, ... ; množinu všetkých rovín označujeme R

45

Medzi bodmi a priamkami a medzi bodmi a rovinami platí základný vzťah (relácia):

• incidencia (spojenie) – označujeme ε , pričom ε ⊂ B x P ∪ R.

Slovné vyjadrenie axióm spojenia (incidencie)

I. Každé dva body incidujú s práve jednou priamkou.

II. S každou priamkou incidujú aspoň dva body.

III. Existujú tri body, pre ktoré neexistuje priamka, ktorá by s nimi všetkými incidovala.

IV. Pre každé tri body, pre ktoré neexistuje priamka, ktorá by s nimi všetkými

incidovala, existuje práve jedna rovina, ktorá s nimi všetkými inciduje.

V. Pre každú rovinu existuje aspoň jeden bod, ktorý s ňou inciduje.

VI. Pre každú priamku a každú rovinu, pre ktoré existujú dva body s nimi spoločne

incidujúce, platí, že každý bod incidujúci s touto priamkou inciduje aj s touto

rovinou.

VII. Pre každé dve roviny, ktoré obidve spoločne incidujú s nejakým bodom,

existuje druhý bod, s ktorým obidve tieto roviny spoločne incidujú.

VIII. Existujú štyri body, pre ktoré neexistuje rovina, ktorá by s nimi všetkými

incidovala.

Axiómy III., IV., VIII. možno zapísať stručnejšie, ak najskôr definujeme pojmy

kolineárnosti a komplanárnosti:

• Tri body nazývam kolineárne, ak všetky incidujú s nejakou jednou priamkou.

• Štyri body nazývam komplanárne, ak všetky incidujú s nejakou jednou rovinou.

Axiómy III., IV. a VIII. potom možno vyjadriť:

III.* Existujú tri nekolineárne body.

IV.* Každé tri nekolineárne body incidujú s nejakou práve jednou rovinou.

VIII.* Existujú štyri nekomplanárne body.

46

Symbolické vyjadrenie axióm spojenia (incidencie)

pomocou symbolu ∃∃∃∃!

Ak použijeme logické symboly (∀, ∃, ∃!, ¬, ∧, ⇒), vlastné mená bodov, priamok

a rovín (zmysel vlastných mien je v označení rôznosti objektov, a preto žiadne dva

objekty nemajú to isté meno), najstručnejší symbolický zápis axióm incidencie je

nasledovný:

I. ∀A, B : ∃!a (A, B ε a)

II. ∀a : ∃A, B (A, B ε a)

III. ∃A, B, C : ∀a ¬(A, B, C ε a)

IV. ∀A, B, C : ∀a ¬(A, B, C ε a) ⇒ ∃!α (A, B, C ε α)

V. ∀α : ∃A (A ε α)

VI. ∀C ∀a ∀α : ∃A, B (A, B ε a, α ∧ C ε a) ⇒ C ε α

VII. ∀α, β : ∃A (A ε α, β) ⇒ ∃B (B ε α, β)

VIII. ∃A, B, C, D : ∀α ¬(A, B, C, D ε α)

Kvôli prehľadnosti boli použité skrátené zápisy:

∀A, B vo význame ∀A ∈ B ∀B ∈ B,

A, B ε a vo význame A ε a ∧ B ε a,

A ε α, β vo význame A ε α ∧ A ε β,

A, B ε a, α vo význame A ε a ∧ B ε a ∧ A ε α ∧ B ε α

Symbolické vyjadrenie axióm spojenia (incidencie) bez symbolu ∃∃∃∃!

I. ∀A, B ∈ B (A ≠ B) : ∃a ∈ P (A, B ε a) ∧ ∀b ∈ P (A, B ε b ⇒ a = b)

Pre všetky body A a B (ktorých mená ″A″ a ″B″ neoznačujú jeden bod) a všetky

priamky b existuje priamka a taká, že súčasne platí: body A a B incidujú s priamkou

a a ak body A a B incidujú aj s priamkou b, potom mená ″a″ a ″b″ označujú jednu

priamku.

47

II. ∀a ∈ P : ∃A, B ∈ B (A ≠ B ∧ A, B ε a)

S každou priamkou a incidujú aspoň nejaké body A a B, pričom mená ″A″ a ″B″

neoznačujú jeden bod.

III. ∃A, B, C ∈ B : ∀a ∈ P ¬(A, B, C ε a)

Existujú tri body A, B, C, ktoré neincidujú so žiadnou jednou priamkou.

IV. ∀A, B, C ∈ B ∀a ∈ P ¬(A, B, C ε a) :

∃α ∈ R [A, B, C ε α ∧ ∀β ∈ R (A, B, C ε β ⇒ α = β)]

Pre všetky body A, B, C, ktoré neincidujú s hocijakou priamkou a, a všetky roviny β

existuje rovina α taká, že body A, B, C incidujú s rovinou α a súčasne ak body A,

B, C incidujú aj s rovinou β, potom mená ″α″ a ″β″ označujú jednu rovinu.

V. ∀α ∈ R : ∃A ∈ B (A ε α)

Každá rovina α inciduje aspoň s jedným bodom A.

VI. ∀a ∈ P ∀A, B ∈ B (A ≠ B ∧ A, B ε a) ∀α ∈ R (A, B ε α) :

∀C ∈ B (C ε a ⇒ C ε α)

Ak ľubovoľné dva body A a B (ktorých mená ″A″ a ″B″ neoznačujú jeden bod),

incidujúce s ľubovoľnou priamkou a, incidujú súčasne s ľubovoľnou rovinou α,

potom každý bod, ktorý inciduje s priamkou a, inciduje aj s rovinou α.

VII. ∀α, β ∈ R : ∃A ∈ B (A ε α, β) ⇒ ∃B ∈ B (A ≠ B ∧ B ε α, β)

Ak ľubovoľné dve roviny α a β incidujú s jedným spoločným bodom A,

tak obidve incidujú ešte najmenej s druhým spoločným bodom B,

pričom mená A a B neoznačujú jeden bod.

VIII. ∃A, B, C, D ∈ B : ∀α ∈ R ¬(A, B, C, D ε α)

Existujú štyri body A, B, C, D, ktoré neincidujú so žiadnou jednou rovinou α.

Problém s totožnosťou (rôznosťou) typu A = B (A ≠ B) vznikne pri snahe vyjadriť

symbolicky tieto axiómy bez použitia symbolu ∃! („existuje práve jeden“), resp. pri

symbolickom vyjadrovaní slovného spojenia „existuje najviac jeden“.

48

Pôvodná II.Hilbertova axióma („Hocijaké dva jeden od druhého rozdielne body

hocijakej priamky určujú túto priamku.“) sa symbolicky vyjadrí:

∀a, b ∈ P ∀A, B ∈ B (A ≠ B ∧ A, B ε a) : A, B ε b ⇒ a = b.

Ak raz pripustím možnosť označenia jedného objektu dvoma vlastnými menami,

musím potom s touto možnosťou dôsledne počítať vždy. Teda ak ″a″ a ″b″ môžu

označovať jednu priamku, potom aj ″A″ a ″B″ môžu označovať jeden bod. Symbolické

vyjadrenie to komplikuje len málo, avšak slovné vyjadrenie to komplikuje podstatne.

Túto skutočnosť považujem za jeden z dôvodov vzniku a zaužívania v geometrii

nepresného čítania zápisu „A = B“ (resp. „A ≠ B“) ako: „A je totožný s B“ (resp. „A je

rôzny s B“). Presnejšie čítanie uvedeného zápisu je: „jeden objekt je označený dvoma

vlastnými menami ″A″ a ″B″ “ (resp. „vlastné mená ″A″ a ″B″ neoznačujú jeden

objekt“).

Na čítaní však ani tak veľmi nezáleží, keď si za rôznymi slovami predstavujeme

to isté. Bohužiaľ väčšina matematikov, ktorých poznám, považuje za možné, aby jeden

bod (priamka, rovina, ...) bol skutočne zároveň dvoma alebo viacerými bodmi

(priamkami, rovinami, ...). Potom však vždy - aj keď objekty nie sú označené vlastnými

menami - hovoria za slovom „dva“ slovo „rôzne“, aby vylúčili možnosť „dva totožné“.

Existuje ešte spôsob ako vyjadriť axiómy I. a IV. bez symbolu ∃∃∃∃! aj bez

totožnosti (rôznosti) typu A = B (A ≠≠≠≠ B). Opäť vychádzam z predpokladu, že objekty

nie sú označené viacerými vlastnými menami, tj. každý objekt má len jedno vlastné

meno. Výhodným sa javí rozdeliť obidve axiómy na dve tak, ako to aj pôvodne zapísal

D.Hilbert:

I.a) ∀A, B ∈ B : ∃a ∈ P (A, B ε a)

Pre ľubovoľné dva body (ktoré môžme označiť vlastnými menami ″A″ a ″B″)

existuje priamka (ktorú môžeme označiť vlastným menom ″a″), ktorá s obidvoma

týmito bodmi inciduje.

I.b) ∀a ∈ P : ∀A, B ∈ B (A, B ε a) ⇒ ∀b ∈ P ¬(A, B ε b)

Pre ľubovoľnú priamku (ktorú môžeme označiť vlastným menom ″a″) platí,

že ak ľubovoľné dva body (ktoré môžme označiť vlastnými menami ″A″ a ″B″)

49

incidujú obidva s touto priamkou, potom ľubovoľná ďalšia priamka (ktorú môžeme

označiť vlastným menom ″b″) neinciduje s obidvoma týmito bodmi.

IV.a) ∀A, B, C ∈ B : ∀a ∈ P ¬(A, B, C ε a) ⇒ ∃α ∈ R (A, B, C ε α)

Pre ľubovoľné tri body (ktoré môžme označiť vlastnými menami ″A″, ″B″, ″C″),

ktoré neincidujú so žiadnou jednou priamkou (ktorú môžeme označiť vlastným

menom ″a″), existuje rovina (ktorú môžeme označiť vlastným menom ″α″),

ktorá s nimi všetkými tromi inciduje.

IV.b) ∀α ∈ R :

[∀A, B, C ∈ B (A, B, C ε α) ∧ ∀a ∈ P ¬(A, B, C ε a)] ⇒ ∀β ∈ R ¬(A, B, C ε β)

Pre ľubovoľnú rovinu (ktorú môžeme označiť vlastným menom ″α″) platí,

že ak ľubovoľné tri body (ktoré môžme označiť vlastnými menami ″A″, ″B″, ″C″)

s ňou incidujú a súčasne tieto body neincidujú so žiadnou priamkou (ktorú môžeme

označiť vlastným menom ″a″), potom ľubovoľná ďalšia rovina (ktorú môžeme

označiť vlastným menom ″β″) neinciduje so všetkými týmito troma bodmi.

Doslovné čítanie symbolických zápisov je veľmi komplikované a neprehľadné.

Symbol „A“ sa dá chápať dvojako: ako vlastné meno jedného konkrétneho bodu,

zároveň však ako meno premennej, za ktorú môžeme dosadzovať hodnoty (určenia)

ľubovoľných bodov. Pri čítaní zápisu „∀∀∀∀A“ nie je vhodné použiť vyjadrenie „všetky A“,

pretože to môže viesť k predstave viacerých objektov s rovnakým menom, ktorej sa

chceme vyhnúť. Východiskom z problému je použitie formulácie: „ľubovoľný bod,

(ktorý môžeme označiť vlastným menom ″A″)“.

Problém s rozlíšením, či zápis „A“ je vlastným menom konkrétneho bodu alebo

bodovej premennej (či dokonca pojmu bod?) súvisí pravdepodobne s tým, že toto meno

nie je nositeľom informácie o jeho hodnote (tj. polohe). Bez nakreslenia v súradničnej

sústave alebo bez priradenia konkrétnej usporiadanej k-tice čísel vlastne nevieme

o bode A nič. Môžeme ho teda považovať za ľubovoľný bod z množiny všetkých

bodov. Porovnaním mien bodov s menami čísel zistíme veľký rozdiel. Vlastné mená

čísel v sebe obsahujú informáciu o hodnote daného čísla, alebo určujú proces, ako sa

k nej dostať (napr. čísla 1, ½, √2, π, ...) a nemôžeme ich nikdy chápať ako mená

číselných premenných.

50

Ak by sme chceli v symbolickom vyjadrení chápať symboly označujúce body,

priamky a roviny dôsledne ako premenné, bolo by vhodné zaviesť pre ne iné označenie

(napr. font písma) ako označenie vlastných mien bodov, priamok a rovín, napr. bodové

premenné – A, B, C, ..., priamkové premenné – a, b, c, ... rovinné premenné – α, β, γ, ...

Potom by sa napr. I.axióma dala symbolicky vyjadriť a čítať nasledovne:

∀A, B (A ≠ B) : ∃a (A, B ε a) ∧ ∀b (A, B ε b ⇒ a = b)

Pre ľubovoľné body, ktoré dosadíme do bodových premenných A, B (pričom

nedosadíme do obidvoch bodových premenných tie isté body), existuje priamka,

ktorú keď dosadíme do priamkovej premennej a, tak inciduje s týmito dvoma

bodmi a súčasne platí pre ľubovoľnú priamku, že ak po dosadení do priamkovej

premennej b inciduje s tými istými dvoma bodmi ako priamka a, tak priamka

dosadená do priamkovej premennej b je tá istá ako priamka dosadená

do priamkovej premennej a.

Najlepším riešením pri formulácii Hilbertových axióm spojenia (incidencie) sa

javí kombinácia symbolického zápisu s nevyhnutným použitím bodových, priamkových

a rovinných premenných so slovným znením bez týchto premenných, resp. bez použitia

vlastných mien bodov, priamok a rovín.

51

5. DODATOK II - EUKLIDOVE AXIÓMY

V stredoškolských učebniciach matematiky vydaných na Slovensku po roku 1977

sa nedozvieme znenie Euklidových axióm – ani preklad z gréčtiny, ani Hilbertovu

úpravu. Prečítame si len, že Základy sú po Biblii druhou najpredávanejšou knihou

v histórii ľudstva66, o čom vážne pochybujem. Euklidove Základy nikdy nevyšli

v slovenskom preklade a aj dva české preklady z roku 1907 sú pre verejnosť

nedostupné. Základy si môžeme prečítať len na internete - v starogréčtine alebo

v cudzojazyčných prekladoch. Euklidove Základy by mohli byť najvydávanejšou

knihou len vtedy, ak by sme za jej preklady považovali všetky učebnice geometrie

pre základné a stredné školy, čo je poriadne pritiahnuté za vlasy.

Zaujímavé je porovnanie originálneho gréckeho znenia prvých dvoch Euklidových

axióm, latinského, anglického, českých a slovenských fragmentárnych prekladov, ktoré

som našiel na internete a roztrúsené v rôznych knihách67:

„1. Êitêsthô apo pantos sêmeiou epi pan sêmeion eutheian grammên agagein.

2. Kai peperasmenên eutheian kata to suneches ep' eutheias ekbalein.“68

„Postulata 1. Postuletur, ut a quouis puncto ad quodius punctum recta linea

ducatur. 2. Et ut recta linea terminata in directum educatur in continuum...“69

„Postulate 1. To draw a straight line from any point to any point.

2. To produce a finite straight line continuously in a straight line...“70

„Předpokládá se, že se může vésti přímka od kteréhokoli bodu ku kterémukoli.

Že každou přímku konečnou v témže směru do nekonečna lze prodloužiti.“71

„Jest vésti přímou čáru z libovolného bodu ku libovolnému bodu.

Konečnou přímku prodloužiti nepřetržitě v přímce.“72

66 Hecht, s.2 67 slová podčiarknutím zvýraznil S.F. 68 www.perseus.tufts.edu 69 www.euclides.org 70 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#posts 71 Smolík, In Bečvářová, s.137-138 72 Fabinger, In Bečvářová, s.137-138

52

„Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.

A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti.“73

„Postuláty žiadajú: 1. aby každý bod s každým ďalším bodom bolo možné spojiť

priamkou; 2. aby každú časť priamky bolo možné neobmedzene predĺžiť...“74

„a) Z každého bodu roviny do každého iného možno viesť priamku.

b) Každú priamku možno ľubovoľne predĺžiť...“75

„1. Viem od každého bodu ku každému bodu viesť priamu čiaru

2. A ohraničenú priamku nepretržite priamo predlžovať...“76

„Pripusťme, že možno: 1. Od každého bodu ku každému viesť spojnicu.

2. A ohraničenú spojnicu ľubovoľne predĺžiť...“77

Z Euklidových formulácií prvých dvoch axióm nevzniká žiadny problém dvoch

rôznych (totožných) bodov, ktorý som riešil v interpretáciách týchto axióm D.Hilberta

a jeho českých a slovenských prekladateľov. Oveľa väčší problém je s pomenovaním

(totožnosťou) toho, čo sme doteraz volali „priamka “.

Euklides nepísal v týchto axiómach o takej priamke, ako ju chápeme dnes my –

bola to skôr úsečka, ktorú možno ľubovoľne predĺžiť. V slovenských prekladoch je

preto veľký problém, aké slová použiť v preklade Euklidovho slova „eutheian“.

Svitek a Horák použili etymologicky presne z gréčtiny okopírované slovo

„priamka “ - podobne ako Hilbert (gerade – die Gerade). V druhej axióme však potom

Horák použil matematicky divnú predstavu priamky, ktorú ešte môžeme ľubovoľne

predlžovať (kam?). Možno vychádzal z českých prekladov zo začiatku 20. storočia,

ktoré všetky tri hovoria o konečnej (obmedzenej) priamke.

Použitie slova „úsečka“ nemá jazykové opodstatnenie v gréckej pôvodine. Slovo

„úsečka“ v sebe neobsahuje to podstatné, čo chcel Euklides o danom objekte povedať,

t.j. vlastnosť priamosti, rovnosti. Okrem toho sa dnes úsečka skôr chápe ako časť

priamky, teda ako pojem odvodený od pojmu priamka. Naznačuje to aj jej pomenovanie

ako „úseku“ priamky. 73 Servít, In Bečvářová, s.137-138 74 Svitek, s.58 75 Horák, s.463 76 Znám, s.70 77 Hejný, s.321

53

Hejný použil slovo „spojnica“, ktoré obsahuje dôležitú vlastnosť - spojitosť

(nepretržitosť, kontinuitu). Slovom „spojnica“ tiež mieri k najpodstatnejšej vlastnosti

úsečky ako najkratšej čiare-spojnici dvoch bodov, ale už neobsahuje Euklidovu

„priamosť“. Z významu samotného slova „spojnica“ totiž nevyplýva, že je to spojnica

priama. Dokonca zo slova „spojnica“ nevyplýva ani to, že je najkratšia, a teda že je

jediná.

Znám tento problém vyriešil najlepšie, keď použil nové slovné spojenie „priama

čiara“, ktoré nenavodzuje predstavu neohraničenej priamky ani predstavu úsečky ako

časti priamky. Škoda, že ho nepoužil aj v druhej axióme a pokazil to pojmovou

absurditou „ohraničená priamka“.

Zaujímavým (čarovným) je v tejto súvislosti spoločný slovný základ slova

„čiary “ a slova „čary“ = kúzla78. V čase, keď obidve slová vznikli, bol pravdepodobne

vzdelanec (ten, čo poznal čiary – písmo) v očiach ostatných ľudí čarodejníkom. Tiež sa

dá povedať, že ľudstvo vďaka Euklidovým čiaram vytvorilo za stáročia množstvo

čarov (zázrakov).

Dovoľujem si za použitia horeuvedených znení predložiť nasledovnú formuláciu

prvých dvoch Euklidových axióm, ktorú považujem za najpresnejšiu (v zmysle

historickej vernosti a zároveň správnej voľby slovenských slov používaných v dnešnej

matematike):

„Pripusťme, že možno:

1. od každého bodu ku každému bodu viesť priamu čiaru

2. a každú ohraničenú priamu čiaru priamo a nepretržite ľubovoľne predĺžiť.“

Ani takáto slovenská formulácia Euklidových axióm určite nie je dokonalá.

Problematickým sa mi javí slovo „viesť“ (ako aj v iných prípadoch slová „prechádzať“,

„ležať“ a pod.), ktoré je však zaužívané a ťažko nahraditeľné iným slovom. Súvisí

pravdepodobne s kreslením priamky. Nedá mi v tejto súvislosti nespomenúť jednu

humornú príhodu zo stredoškolského života. Nedávno na mojej hodine osemnásťročná

študentka oduševnene tvrdila, že dvoma bodmi musia viesť dve priamky – jedna

priamka vedie bodmi zľava doprava a druhá vedie tými istými bodmi sprava doľava.

Chcel som jej to vysvetliť použitím iného slova. Keď som použil slovo „prechádza“,

nepohol som sa ani o krok dopredu. Aj slovo „vedie“, aj slovo „prechádza“ obsahujú

78 Machek, s.95

54

v sebe predstavu pohybu, navyše sú spojené so skúsenosťou kreslenia priamok. Horko-

ťažko som jej to vyhovoril – musel som použiť spojenie „je určená“, ktoré má však

odlišný význam. Slovo „inciduje“ sa v stredoškolskej matematike nepoužíva, a preto by

som študentov asi ťažko presvedčil použitím neznámeho slova. Príhoda ma opäť

upozornila na dôležitosť správnej voľby slova pre presné a zároveň zrozumiteľné

vyjadrenie myšlienky.

Filozof Wittgenstein hovorí o slovách: „Na náš jazyk sa môžeme dívať ako na

nejaké staré mesto. Spleť uličiek a malých námestí, starých a nových domov, domov

s prístavbami z rozličných dôb ...“79 Podobne, ako nechceme búrať staré centrá miest,

nemôžeme úplne zavrhnúť používanie starých zaužívaných slov, aj keď už dnes málo

vyhovujú pri formulácii našich myšlienok. Napríklad slovo „inciduje“, ktoré

najpresnejšie vyjadruje vzťah medzi bodom a priamkou (rovinou), nedokáže na úrovni

matematiky základnej alebo strednej školy nahradiť zaužívané slová „leží“, „vedie“,

„prechádza“ a pod. Vo vedeckej literatúre by však malo byť jeho použitie samozrejmé

a výlučné.

Mnohé slová sú zároveň myšlienkami, obsahujú múdrosť, vyjadrujú podstatu

(totožnosť) toho, čo pomenúvajú. Zaujímavé je zistenie, že v gréčtine, nemčine aj

slovenčine majú slová „priamka“ (aj „rovina“) a „rovnosť“ významovo totožný slovný

základ, spoločnú totožnosť. Priamka dostala svoje meno podľa svojej podstatnej

vlastnosti - priamosti (rovnosti).

Podľa fyzikov priestor, v ktorom existujeme, je zakrivený - roviny v ňom nie sú

rovné a priamky nie sú priame. Teda múdrosť, ktorú obsahuje slovo „priamka“ je

pravdivá len v ríši ideí euklidovskej „rovnej“ geometrie - v reálnom svete nie je

pravdivá.

Matematici, ktorí rozvíjajú neeuklidovské geometrické teórie lepšie opisujúce náš

skutočný priestor, upozorňujú na inú podstatnú vlastnosť priamky. Priamka vzniká

predĺžením úsečky (radšej by sa mala volať skratka) ako najkratšej spojnice dvoch

bodov.

Keď som na začiatku prišiel s otázkou, koľko priamok prechádza dvomi bodmi,

musím teraz konštatovať, že v reálnom svete pravdepodobne ani jedna „priama“

priamka. Napríklad vo sférickej geometrii možno tvrdiť, že úsečka sa „vyrovnáva“ tým

viac, čím sú jej krajné body bližšie pri sebe. Úsečka bude časťou „priamej“ priamky len

vtedy, keď oba body, ktoré ju určujú, splynú do jedného. Priamka je „priama“ len

v bode!

79 Wittgenstein, 1979, s.28

55

Priamka (úsečka) určená dvoma bodmi, o ktorých sa sporím, či musia byť

postulované ako rôzne, skrátená do jediného bodu by bola peknou bodkou na konci

môjho bádania. Bohužiaľ, problémy priamky v zakrivenom svete ešte pokračujú.

Keď sa vzdáme pri uvažovaní o priamke priamosti ako jej podstatnej vlastnosti

a budeme považovať za jej najpodstatnejšiu vlastnosť skratkovitosť, vieme

vymyslieť zakrivený priestor, v ktorom neplatia ani prvé dve Euklidove axiómy.

Dva body môže spájať aj viac ako jedna takáto úsečka-skratka.

Našťastie to už je mimo zadania, ktoré som si vytýčil v tejto práci.

56

ZÁVER

Chcel som objasniť, prečo sa mi zdá nesprávne považovať v geometrii jeden

objekt za dva totožné objekty. Dúfam, že sa mi podarilo preukázať na rôznom znení

Hilbertových axióm, že takéto uvažovanie veľmi komplikuje slovné formulácie

základných geometrických tvrdení a robí ich nejednoznačnými.

Ďalej som chcel upozorniť na rozdielne až protikladné chápanie pojmu totožnosť

v matematike a filozofii. Zjednodušene povedané: filozofi vidia jedno v dvoch

a matematici dve v jednom. Dôležité je, aby si učiteľ matematiky vždy uvedomoval,

keď hovorí žiakom o dvoch totožných objektoch, že dve sú len mená (resp. určenia)

a daný objekt je vždy len jeden.

Zistil som, že takmer všetci ľudia, ktorých poznám, nemajú problém považovať

jeden geometrický objekt za skutočne viaceré (totožné) objekty. Bol som preto šťastný,

keď som našiel podporu mojich názorov aspoň v literatúre.

P.Vopěnka píše:

„Hoci zápis X = Y niekedy čítame "objekt X sa rovná objektu Y" alebo "objekt X je

totožný s objektom Y", vždy tým rozumieme, že znaky X, Y označujú ten istý objekt.

Nejaký objekt môže byť totožný iba so sebou, a nie s nejakým iným objektom ... Nejaký

objekt nám totiž môže byť daný odlišnými spôsobmi, takže spočiatku môžeme mať

dojem, že ide o rôzne objekty, napríklad o objekty dva, ktoré si označíme X a Y. ...

Ak však zistíme, že v oboch prípadoch ide o ten istý objekt, teda prísne vzaté, že sme sa

vlastne dopustili omylu, môžeme všetko, na čo sme prišli, keď sme uvažovali zvlášť

o objekte X, a tiež všetko, na čo sme prišli, keď sme uvažovali zvlášť o objekte Y,

preniesť na tento jediný objekt označený znakmi X a Y.“80

Pekne to vyjadril aj M.Hejný:

„ Identita či rovnosť – to je uvedomenie si toho, že dve rôzne pomenovania znamenajú

to isté. ... Zmysel identity je v tom, že umožňuje pre skúmaný objekt zvoliť to meno,

to vyjadrenie, ktoré je v danom kontexte najvhodnejšie.“81

Každé slovo je veľmi dôležité. Ak chceme vyjadriť nejakú myšlienku, treba veľmi

pozorne vyberať slová a používať ich v správnych súvislostiach. Tento poznatok bol

hlavným cieľom mojich úvah.

80 Vopěnka, s.22, zvýraznil S.F. 81 Hejný, s.158, zvýraznil S.F.

57

ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY

1. Anzenbacher, A. Úvod do filosofie. Praha: SPN, 1990.

2. Aristoteles. Metafyzika. In Martinka, J. a kol. Od Aristotela po Plotina.

Bratislava: Pravda, 1973.

3. Aristoteles. Topiky. Praha: Academia, 1975.

4. Bartsch, H.-J. Matematické vzorce. Praha: SNTL, 1983.

5. Bečvářová, M. Euklidovy Základy, jejich vydání a překlady. Praha: Prometheus,

2002.

6. Bělík, M. Geometrie s didaktikou. Ústí nad Labem: UJEP, 2005.

7. Bukovský, L. Množiny a všeličo okolo nich. Bratislava: Alfa, 1985.

8. Čierna, M. a kol. Nemecko-slovenský slovník. Bratislava: SPN, 1981.

9. Čížek, F. a kol. Stručný filosofický slovník. Praha : Svoboda, 1966.

10. Fichte, G. W. Základy všeobecného vedoslovia. In Várossová, E. a kol. Novoveká

racionalistická filozofia. Bratislava: Epocha, 1970.

11. Gahér, F. Logika pre každého. 3. vyd. Bratislava: IRIS, 2003.

12. Hegel, G.W. Dějiny filosofie I. Praha: NČSAV, 1961.

13. Hegel, G.W. Logika ako veda II. Bratislava: Pravda, 1985.

14. Hecht, T. a kol. Matematika pre 1. ročník gymnázií a SOŠ: Planimetria.

Bratislava: OrbisPictusIstropolitana, 1996.

15. Hejný, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1990.

16. Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. 1.vyd. Leipzig: 1899. In

www.de.wikipedia.org

17. Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. 9.vyd. Stuttgart: 1962.

18. Hilbert, D. The Foundations of Geometr., Illinois: 1902. autorizovaný preklad

E.J.Townsenda. In www.gutenberg.org/etext/17384

19. Hobbes, T. O telese. Bratislava: VSAV,1965.

20. Horák, P., Niepel, Ľ. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1983.

21. Ivanová-Šalingová, M., Maníková, Z. Slovník cudzích slov. 2. vyd. Bratislava:

SPN, 1983.

22. Klenková, P. Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského

priestoru. Bratislava: Diplomová práca FMFI UK, 2006.

23. Kouřim, J. a kol. Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ.

Praha: SPN, 1985.

24. Kuniak, M., Schewczuková Ž. Deskriptívna geometria, Košice: TU, 1991.

58

25. Laertios, D. Životopisy slávnych filozofov II. Bratislava: VSAV, 1954.

26. Lávička, M. KMA/G1 Geometrie 1. Plzeň: ZU, 2005.

27. Leibniz, G.W. Monadologie a jiné práce. Praha: Svoboda, 1982.

28. Leibniz, G.W. Nové úvahy o ľudskom rozume. In Várossová, E. a kol. Novoveká

racionalistická filozofia. Bratislava: Epocha, 1970.

29. Liessmann, K., Zenaty, G. O myšlení: úvod do filosofie. Olomouc: Votobia, 1994.

30. Locke, J. Rozprava o ľudskom rozume. Bratislava: Pravda, 1983.

31. Machek, V. Etymologický slovník jazyka českého. 3. vyd. Praha: Akademia, 1971.

32. Peciar Š. a kol. Slovník slovenského jazyka. Bratislava: VSAV, 1959–1968.

33. Piják, V. a kol.: Konštrukčná geometria. Bratislava: SPN, 1985.

34. Piťová, M., Piťo, V. Slovník cudzích slov. Bratislava: Kniha-spoločník, 2001.

35. Russell, B. Zkoumání o smyslu a pravdivosti. Praha: Academia, 1975.

36. Sekanina, M. a kol. Geometrie II. Praha: SPN, 1988.

37. Sklenáriková, Z., Čižmár, J. Elementárna geometria euklidovskej roviny.

Bratislava: UK, 2002.

38. Smida, J. Matematika pre 1. ročník gymnázia. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1990.

39. Svitek, V. Logické základy geometrie. Bratislava: SPN, 1969.

40. Svoboda, K. Zlomky předsokratovských myslitelů. Praha: NČSAV, 1962.

41. Šalát, T. a kol. Malá encyklopédia matematiky. 3. vyd. Bratislava: Obzor, 1978.

42. Šedivý, J. a kol. Matematika pre gymnáziá 2. Bratislava: SPN, 1977.

43. Špaňár, J. Herakleitos z Efezu. Bratislava: Tatran, 1985.

44. Špaňár, J. Latinsko-slovenský slovník. 3. vyd. Bratislava: SPN, 1983.

45. Velichová, D. Konštrukčná geometria. Bratislava: STU, 2003.

46. Vopěnka, P. Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín. Bratislava:

Alfa, 1989.

47. Wittgenstein, L. Filozofické skúmania. Bratislava: Pravda, 1979.

48. Wittgenstein, L. Tractatus logico-philosophicus. Praha: OIKOYMENH, 1993.

49. Zedek, M. a kol. Matematika pre I. ročník všeobecnovzdelávacích škôl. 2.vyd.

Bratislava: SPN, 1967.

50. Znám, Š. a kol. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1986.

51. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#posts

52. http://wikipedia.org/

53. www.euclides.org

54. www.perseus.tufts.edu